Ötelemeyi Koruyan Çok Değişkenli İntegral Operatörleri

∫

₋^{− + =}

∫

^{+ −}

=

− ^{1 1}

0( ) ^{x ju} ( ) 0 ( )

ju x

f x ju f t dt f w x ju du

c

den

)) 0 (

( ₀

− ≥

i f i

dx ju x c d

ifadesi elde edilir ki bu da (L_0,jf)⁽ⁱ⁾(x)≥0 olduğunu gösterir.

(4)

∑

=

∗

∗

∗ 







 − +

=

−

n

j j f

n ju j x f w ju

x

0

0 ( )

γ

dan

)) 0 (

( ₀

− ≥

i f i

dx ju x d γ

elde edilir ki yine (Γ_0,jf)⁽ⁱ⁾(x)≥0 olduğunu gösterir.

(II) Yukarıdan şu sonucu çıkarabiliriz. Eğer f⁽ⁱ⁾ ≥0 ise herhangi k∈Ζ, Ν

∈

j için (A_k,jf)⁽ⁱ⁾ ≥0, (B_k,jf)⁽ⁱ⁾ ≥0, (L_k,jf)⁽ⁱ⁾ ≥0, (Γ_k,jf)⁽ⁱ⁾ ≥0 olur.

3.3. Ötelemeyi Koruyan Çok Değişkenli İntegral Operatörleri

f ∈X :=C_U(R^d) olsun. Bu durumda her ε >0 için en az bir δ >0 bulunur ki δ

≤

− y

x şartını sağlayan x,y∈R^d için f(x)− f(y) <ε vardır. f ∈X için f fonksiyonunun birinci dereceden süreklilik modülünü

) ( ) ( sup : )

; (

,

1 f f x f y

y x

R y

x ^d

−

=

≤

−

∈ δ

δ

ω , δ >0

eşitliği ile tanımlayalım. Burada ⋅ , R^d üzerinde normdur.

{ }

lk _k∈Ζ pozitif lineer operatörler dizisi, her x∈R^d ve f ∈X için,

∫ ∫ ∫ ∏

₋⁺_∞^∞ ₋⁺_∞^∞ ₋⁺_∞^∞

∏ ∫

Tanım 3.3.1. α∈R^d için f_α(⋅):= f(⋅+α) ve φ bir operatör olsun. Eğer

α

α φ

φ(f )=( f) ise φ ’ye ötelemeyi koruyan operatördür denir.

Teorem 3.3.1. Her k∈Ζ , sabit α∈R^d, her u∈R^d ve herhangi f ∈X için l₀(f(2^−k ⋅+α);2^ku)=l₀(f(2^−k⋅);2^k(u+α)) (3.3.8) olsun. O halde _Lk ötelemeyi koruyan operatördür.

İspat.

( L0 f)(x₁,...,x_d)=

∫ ∫ ∫

₋^+∞_{∞ −}^+∞_∞...₋^+∞_∞(l₀f)(u₁,...,u_d)^ϕ(x₁−u₁,...,x_d −u_d)⋅du₁...du_d

=

∫ ∫ ∫

₋^+∞_{∞ −}^+∞_∞...₋^+∞_∞(l₀f)(x₁ −u₁,...,x_d −u_d)^ϕ(u₁,...,u_d)⋅du₁...du_d için (3.3.7) kullanarak

Lk (f(⋅+α);x)= Lk (f_α;x)= L0 (f_α(2^−k⋅);2^kx) =

∫

_R^{dl0(f(2−k ⋅+α);2kx−u)ϕ(u)du}

=

∫

_R^{dl0(f(2−k⋅+α);2k(x−2−ku))ϕ(u)du}

yazabiliriz. (3.3.8) ifadesini kullanırsak

Lk (f(⋅+α);x) =

∫

_R^{dl0(f(2−k⋅);2k(x−2−ku+α))ϕ(u)du}

=

∫

_R^{dl0(f(2−k⋅);2k(x+α)−u))ϕ(u)du}

= L₀ (f (2^−k⋅);2^k(x+α))

= Lk (f;x+α). Yani L k (f_α)= ( L k ( f))α dır.

Aşağıdaki teoremde _Lk operatörleri ile süreklilik modülünün korunumu özelliği verilecektir.

Teorem 3.3.2. Bütün u∈R^d , herhangi x,y∈R^d ve herhangi bir f ∈X için kabul edelim ki

l₀(f;x−u)−l₀(f;y−u) ≤ω₁

(

f; x−y

)

(3.3.9) olsun. Buradan herhangi δ >0 için

ω₁( Lk f;δ)≤ω₁(f;δ) (3.3.10) eşitsizliği sağlanır.

İspat. L₀ (f;x) operatörünün tanımından

| L0 (f;x)− L0 (f;y)|=

∫

_R^{dl0(f;u)ϕ(x−u)du−}

∫

_R^{dl0(f;y)ϕ(y−u)du}

=

∫

_R^{dl0(f;x−u)ϕ(u)du−}

∫

_R^{dl0(f;y−u)ϕ(u)du}

_d u l f x u l f y u du

∫

R ^{− − −}

≤ ϕ( )| ₀( ; ) ₀( ; )|

(u)du sup|l₀(f;x u) l₀(f;y u)|

d d

R

R u − − −



 



≤

∫

^ϕ ∈

≤ω₁(f; x−y )^. (3.3.7)’yi kullanırsak

| L_k (f;x)− L_k (f;y)|=| L₀ (f(2^−k⋅);2^kx)− L₀ (f(2^−k⋅);2^ky)|

|)

|

; (

|)

| 2 );

2 ( (

1 1

y x f

y x

f ^{k k}

−

=

−

⋅

≤ ⁻

ω ω

yazabiliriz. Her iki tarafın δ >0 için supremumunu alırsak

δ

≤

−

∈ y x

R y x, ^d

sup | L_k (f;x)− L_k (f;y)|≤

δ

≤

−

∈ y x

R y x, ^d

sup ω₁(f; x−y)

yani ω₁( Lk f;δ)≤ω₁(f;δ) olur.

d =1 olduğunda bütün u∈Riçin

Lk ^(f;x)=

∫

₋^+∞_∞^{lk(f;u)ϕ(2kx−u)du,}

l_k(f;u)=l₀(f(2^−k⋅);u) olduğunu biliyoruz.

Sonuç 3.3.1. Bütün u,x,y∈R için

y x u y id

l u x id

l₀( (2^−k⋅);2^k − )− ₀( (2^−k⋅);2^k − )= − olsun. Buradan bütün x,y∈R için

L_k (id;x)− L_k (id;y)= x− y yani herhangi δ >0, bütün x∈R için id(x)=x olduğunda

1(

ω L_k (id);δ)=ω₁(id;δ) vardır. (3.3.10) eşitsizliği d =1 olduğu durumda kesindir.

İspat.

Lk ^(f;x):=

∫

₋^+∞_∞^{lk(f;u)ϕ(2kx−u)du}

⁼

∫

₋^+∞_∞^{l0(f(2−k⋅);u)ϕ(2kx−u)du}

⁼

∫

₋^+∞_∞^{l0(f(2−k⋅);2kx−u)ϕ(u)du}

olduğundan

L_k (f;x)− L_k ^(f;y)=

∫

₋^+∞_∞

[

^l0^{(f(2−k⋅);2kx−u)−l}0^{(f(2−k⋅);2ky−u)}

]

ϕ^(u)du yazabiliriz. f(x)= x için

L_k (id;x)− L_k ^(id;y)=

∫

₋^+∞_∞^{(x− y)ϕ(u)du}

^=(x−y)

∫

₋^+∞_∞^{ϕ(u)du =x−y}

buluruz. Her iki tarafın δ >0 için supremumunu alırsak

δ

≤

−

∈ y x

R y x, ^d

sup | Lk (id;x)− Lk (id;y)|=

δ

≤

−

∈ y x

R y x, ^d

sup x− y

yani ω₁( Lk (id);δ)=ω₁(id;δ) olur.

Sonuç 3.3.2. d ≥2 olduğunda i∈

{

1,...,d

}

için ^{pr R}

(

^{x x}d

)

^xi ^R d

i : ∋ ₁,..., → ∈ , i nci koordinattaki izdüşümü göstersin. Bütün x,y,u∈R^d ve en az bir i için

i i k

k i k

k

i x u l pr y u x y

pr

l₀( (2⁻ ⋅);2 − )− ₀( (2⁻ ⋅);2 − )= − olduğunu kabul edelim. δ >0 için

1(

ω Lk pr_i;δ)=ω₁(pr_i;δ) ifadesinden (3.3.10) eşitsizliği d ≥2 için kesindir.

İspat.

pri, R^d uzayında düzgün sürekli fonksiyondur. Bununla birlikte (3.3.4)’ü kullanarak

Lk (pr_i;x)− _Lk ^{pr y}

[

^{l pr x u l pr y u}

]

^{u du}

Rd

k k i k

k i

i; ) ( (2 );2 ) ( (2 );2 ) ( )

( ⁼

∫

₀ ^{− ⋅ − −} ₀ ^{− ⋅ −} ϕ

⁼

∫

⁻

Rd

i

i y u du

x ) ( )

( ϕ = xi −yi

şeklinde yazabiliriz. Yani

| L_k (pr_i;x)−L_k (pr_i;y)|=|x_i −y_i^|=| pr_i(x)− pr_i(y)| olur. Bu ifadenin her iki tarafının δ >0 için supremumu alınırsa

δ

≤

−

∈ y x

R y x, ^d

sup | Lk (pr_i;x)−Lk (pr_i;y)|=

δ

≤

−

∈ y x

R y x, ^d

sup pr_i(x)− pr_i(y)

yani ω₁( Lk pr_i;δ)=ω₁(pr_i;δ) olur.

Teorem 3.3.3. f ∈X , m∈Ν, n∈Ζ₊, k,r∈Ζ ve a:=max(a_i), i=1,...,n için (3.3.2) önermesi doğru olsun. Bu durumda

| Lk 





 



 +

≤ _∞ ma_r n

g; 2

,

ω1





 



 +

= _∞ ma_k+rn f; 2

,

ω1

yazılabilir. Yani

| Lk (f;x)− f(x)| 



 



 +

≤ _∞ ma_k+rn f; 2

,

ω1 ^.

Sonuç 3.3.3 (O,A,µ)

− ölçü uzayı olsun. U , d ≥1 için R^d uzayının açık bir alt kümesi ve f U×O→R

: − fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahip bir fonksiyon olsun.

(a) Tüm x∈U için ω → f(x,ω), µ - integrallenebilir.

(b) ω → f(x,ω)’in x_i’ye göre U’nun her bir noktası için kısmi türevi alınabilir.

(c) Tüm

× −

∈U O

x, )

( ω için (x,ω) h(ω)

x f

i

∂ ≤

∂ olacak şekilde

−

O’da h≥0

sağlayan bir µ -integrallenebilen fonksiyon vardır.

Bundan sonra ϕ fonksiyonu U kümesinde ) ( ) , ( )

( 0 ω µ ω

ϕ x

∫

f x d

−

=

olarak tanımlanır. Bu fonksiyonun tüm U ’larda x_i’ye göre kısmi türevi alınabilir.

µ -integrallenebilen ise

) ,

( ω

ω x

x f

∂ i

→ ∂

dönüşümü yapılabilir ve her x∈U için

)

σ - lebesque ölçülebilir alt kümelerinin alanı) nin ölçüm alanı olduğunu düşünelim.

W’nin R^d’nin içinde bir bölüm olduğunu ve (x₁,...,x_d)’nin (W):=W⁰ :=U’nun içinde bir nokta olsun.

)

(a) Elde ettiğimiz fonksiyon

)

[ ] fonksiyondur. Bundan dolayı doğal olarak Sonuç 3.3.3.’den

fonksiyonunun x_j’ye göre R^d’nin her bir noktasında j∈

{

1,...,d

}

için

olarak tanımlanır. M^*⋅ϕ(u) integrali alınabilen bir fonksiyondur. Sonuç 3.3.3.’den

sürekli olduğunu kabul edersek

j

vardır. Bu yüzden

k k

j i j i

k

k k

x x

j

∂

∂

∂

∑

₌

...

1 1

1 L_k(f,x) vardır.

Sonuç 3.3.5. Eğer, her x∈R^d için

0 ) , ... ⁰(

1

1 1

∂ ≥

∂

∂

∑

₌

x f x l x

j

k k

j i j i

k

k k

olduğunu kabul edersek

k k

j i j i

k

k k

x x

j

∂

∂

∂

∑

₌

...

1 1

1 L₀(f,x)≥0

ve

k k

j i j i

k

k k

x x

j

∂

∂

∂

∑

₌

...

1 1

1 L_k(f,x)≥0

vardır.

3.4. Örnekler

Aşağıda l_k yardımıyla verilen çok değişkenli integral operatörlerin yer aldığı dört örnek verilecektir. Bölüm 3.3 de geçen teorilerin bu operatörler tarafından tam olarak doğrulandığı gösterilecektir. ϕ temel fonksiyonu Bölüm 3.3 deki gibi olacaktır. Ek olarak ϕ sürekli ve çift fonksiyon kabul edilecektir. Özel çok değişkenli operatörlerin özelikleri Bölüm 3.3 deki genel çok değişkenli k∈Ζ için Lk operatörlerinin özeliklerinin sırasına göre verilecektir. İlk olarak her bir k∈Ζ için çok değişkenli operatörleri tanımlayalım.

1. A f x _k^f u ^kx u du

k )( ): Rd ( ) (2 )

( =

∫

^τ ⋅^ϕ − (3.4.20) operatörünü alalım. Burada

^{= ⋅}

∫

⁻

Rd

k kd

f

k (u): 2 f(t)ϕ(2 t u)dt

τ (3.4.21)

olarak tanımlanır. Yani ∀ u∈R için

l_k(f;u)=τ_k^f(u). (3.4.22)

2. ⁼

∫

^_^{ }_^{ −}

Rd

k

k uk x u du

f x f

B (2 )

: 2 ) )(

( ϕ (3.4.23)

Şeklinde tanımlı operatör için





 



=  _k

k

f u u f

l ( ; ) 2 (3.4.24) olur.

3. ⁼

∫

⁻

R

k f

k

kf x c u x u du

L )( ): ( ) (2 )

( ϕ (3.4.25)

olarak alınırsa

^{( ):=2 ⋅}

∫

^...

∫

₂^{2−−k( i+1) ( )}

i k

u u kd

f

k u f t dt

c (3.4.26)

olur. Burada ∀ u∈R için

l_k(f;u)=c_k^f(u) (3.4.27) olur.

4. ^{Γ =}

∫

⁻

Rd

k f

k

k f)(x): (u) (2 x u)du

( γ ϕ (3.4.28)

olarak alınırsa (n₁,...,n_d)∈Ν^d , _1,..., ≥0

jd

wj ,

∑ ∑

= =

=

1

1

0 0 1

,..., 1 ...

n

j n

j

j j

d

d

w d için

∑ ∑

= = 







 +

+ ⋅

⋅

=

1

1

1

0 0 1

1 1

,....,

. 2 ,...,2

2 ... 2

:

n

j n

j d

k d k d k

j k j f

k

d

d

d n

j u n j f u

γ w (3.4.29)

dir. Burada

l_k(f;u)=γ_k^f (u) (3.4.30) dir.

(3.3.1) ifadesi k∈Ζ için bütün l_k’lar için geçerlidir ((3.4.22), (3.4.24), (3.4.27) ve (3.4.30) için geçerlidir). (3.3.7) eşitliği bütün A_k, B_k, L_k, Γ_k için doğrudur. Yani, ∀ k∈Ζ, ∀ x∈R^d için

A_k(f;x)= A₀(f(2^−k⋅);2^kx)

B_k(f;x)=B₀(f(2^−k⋅);2^kx)

(3.4.31) L_k(f;x)=L₀(f(2^−k⋅);2^kx)

Γ_k(f;x)=Γ₀(f(2^−k⋅);2^kx) yazılabilir. Ayrıca

A_k(1)=B_k(1)=L_k(1)=Γ_k(1)=1 (3.4.32) olduğu açıktır.

Teorem 3.4.1. A_k , B_k , L_k, Γ operatörleri ötelemeyi koruyan operatörlerdir. _k

İspat. Her bir operatörün ötelemeyi koruduğunu göstermek için her k∈Ζ, α∈R^d

sabit, her u∈R^d, herhangi f ∈X için

)) (

2 );

2 ( ( ) 2 );

2 (

( ₀

0 f ⁻ ⋅+α u =l f ⁻ ⋅ u+α

l ^{k k k k}

olduğunu kabul edeceğiz.

1. A_k operatörünü alalım (ϕ çift).

l₀(f;x)=τ₀^f(x)=

∫

_R^{d f(t)ϕ(t−x)dt}

⁼

∫

_R^{d f(t)ϕ(x−t)dt =}

∫

_R^{d f(x−t)ϕ(t)dt}. (3.4.32)

şeklinde yazabiliriz. α∈R^d için

^{l0(f(2−k ⋅+α);2ku)=}

∫

_R^{d f(2−k(2ku−t)+α)ϕ(t)dt}

=

∫

_R^{d f(u+α −2−kt)ϕ(t)dt}

=

∫

_R^{d f(2−k2k(u+α)−2−kt)ϕ(t)dt}

=

∫

_R^{d f(2−k[2k(u+α)−t])ϕ(t)dt}

= l₀(f(2^−k⋅);2^k(u+α))

yazılabilir. Burada τ , (3.3.8) ifadesini sa₀^f ğlar. Şimdi A_k operatörünün ötelemeyi koruduğunu gösterelim.

A_k(f(⋅+α);x)= A₀(f(2^−k ⋅+α);2^kx)

=

∫

_R^{dτ0fα(2−k⋅)(u)ϕ(2kx−u)du.}

u x

u= 2^k − dönüşümü yaparsak

A_k(f(⋅+α);x) =

∫

_R^{dτ0fα(2−k⋅)(2kx−u)ϕ(u)du}

=

∫

_R^{dl0(f(2−k⋅+α);2kx−u)ϕ(u)du}

=

∫

_R^{dl0(f(2−k⋅+α);2k(x−2−ku))ϕ(u)du}

=

∫

_R^{dl0(f(2−k⋅);2k(x−2−ku+α))ϕ(u)du}

=

∫

^{∞ l (f(2−k⋅);2k(x+α)−u)ϕ(u)du}

=

∫

_R^{dτ0f(2−k⋅)(2k(x+α)−u)ϕ(u)du}

olur. Yine u=2^k(x+α)−u dönüşümü yaparsak

A_k(f(⋅+α);x) =

∫

_R^{dτ0f(2−k⋅)(u)ϕ(2k(x+α)−u)du}

= A₀(f(2^−k⋅);2^k(x+α)) = A_k(f(⋅+α);x)

olur.

2. B_k operatöründe l₀ f = f olduğunu biliyoruz.

l₀(f(2^−k ⋅+α);2^ku)= f(2^−k2^ku+α) = f(u+α)

= l₀(f(2^−k⋅);2^k(u+α)) olur. Şimdi de B_k nın ötelemeyi koruduğunu gösterelim.

B_k(f(⋅+α);x) = B₀(f(2^−k ⋅+α);2^kx) =

∫

_R^{d f(u)ϕ(2kx−u)du.}

u x

u= 2^k − dönüşümü yapalım.

B_k(f(⋅+α);x) =

∫

_R^{d f(2kx−u)ϕ(u)du}

= l f ^kx u u du

R

k

d ₀( (2 ⋅+α);2 − )ϕ( )

∫

⁻

1. örnekteki işlemler tekrarlanırsa

B_k(f(⋅+α);x) =

∫

_R^{dl0(f(2−k⋅);2k(x+α)−u)ϕ(u)du}

=

∫

_R^{d f(2k(x+α)−u)ϕ(u)du.}

u x

u=2^k( +α)− dönüşümünü uygularsak

B_k(f(⋅+α);x) =

∫

_R^{d f(u)ϕ(2k(x+α)−u)du}

=B₀(f(2^−k⋅);2^k(x+α)) =B_k(f;x+α).

3. L_k operatörünü göz önüne alalım. x=(x₁,...,x_d), t =(t₁,...,t_d) için

∫

∫

^{+ +}

=

= ₀ ^{1 1}

0( ; ) ( ) ¹ ... ( )

1 d

d

x x x x

f x f t dt

c x f l

dir. Burada α =(α₁,...,α_d) için

) 2 );

2 (

0(f u

l ^−k⋅+α ^k =

∫

₂^{2 1+1...}

∫

₂^{2 +1 (2− + )}

1

d k

d k k

k

u u u k

u f t α dt

=

∫

₂²₍^{( 1}₊^{+ 1}₎^)...

∫

₂²₍⁽ ₊⁺ ₎^{)+1 (2− )}

1 1

d d k

d d k k

k

u u u k

u ^α f t dt

α α

α

=l₀(f(2^−k⋅);2^k(u+α)). Şimdi L_k operatörünün ötelemeyi koruduğunu gösterelim.

L_k(f(⋅+α);x)=L₀(f(2^−k⋅+α);2^kx)

=

∫

_R^{dc0fα(2−k⋅)(u)ϕ(2kx−u)du.}

u x

u= 2^k − dönüşümü yapalım.

L_k(f(⋅+α);x)=

∫

_R^{dc0fα(2−k⋅)(2kx−u)ϕ(u)du}

= l f ^kx u u du

R

k

d ₀( (2 ⋅+α);2 − )ϕ( )

∫

⁻

olur. Önceki örneklerdeki işlemleri tekrar edersek

L_k(f(⋅+α);x) =

∫

_R^{dl0(f(2−k⋅);2k(x+α)−u)ϕ(u)du}

=

∫

_R^{dc0f(2−k⋅)(2k(x+α)−u)ϕ(u)du.}

u

olur. Diğer örneklerdeki işlemleri tekrarlarsak )

);

(

(f x

k ⋅+α

Γ =

∫

_R^{dl0(f(2−k⋅);2k(x+α)−u)ϕ(u)du}

=

∫

_R^{dγ0fα(2−k⋅)(2k(x+α)−u)ϕ(u)du.}

u x

u=2^k( +α)− dönüşümünü uygularsak

Γ_k(f(⋅+α);x)=

∫

_R^{dγ0fα(2−k⋅)(u)ϕ(2k(x+α)−u)du}

=Γ₀(f(2^−k⋅);2^k(x+α)) =Γ_k(f;x+α).

Ak , B_k , L_k, Γ operatörlerinin süreklilik modülünü korudu_k ğunu gösterelim.

Terorem 3.4.2. d ≥1 için her f ∈C_U(R^d) ve her δ >0 için (i) ω₁(A_k f;δ)≤ω₁(f;δ)

(ii) ω₁(B_kf;δ)≤ω₁(f;δ)

(iii) ω₁(L_k f;δ)≤ω₁(f;δ) (3.4.34) (iv) ω₁(Γ_k f;δ)≤ω₁(f;δ).

İspat. Burada (3.4.9) eşitliğini ve Teorem 3.4.1.’ i kullanacağız.

(i) A_k operatörünü alalım(ϕ çift). (3.4.4) ve (3.5.33)’den

|l₀(f;x−u)−l₀(f;y−u)|=

∫

_R^{d(f(x−u−t)− f(y−u−t))ϕ(t)dt}

≤

∫

_R^{d| f(x−u−t)− f(y−u−t)|ϕ(t)dt}

≤

∫

_R^{dω1(f; x−y )ϕ(t)dt}

=ω₁(f; x−y )

olur. Buradan

| )

; ( )

; (

|A_k f x−u −A_k f y−u

=|A₀(f(2^−k⋅);2^k(x−u))−A₀(f(2^−k⋅);2^k(y−u))|

=

∫

_R^{dτ0f(2−k⋅)(v)ϕ(2k(x−u)−v)dv−}

∫

_R^{dτ0f(2−k⋅)(v)ϕ(2k(y−u)−v)dv .}

Burada v=2^k(x−u)−v ve v=2^k(y−u)−v dönüşümü yaparsak

| )

; ( )

; (

|A_k f x−u − A_k f y−u

=

∫

_R^{d[τ0f(2−k⋅)(2k(x−u)−v)−τ0f(2−k⋅)(2k(y−u)−v)]ϕ(v)dv}

_d ^k x u v ^k y u v v dv

R

k f

k

f^{(2 )}(2 ( ) ) ₀^{(2 )}(2 ( ) ) ( )

0 τ ϕ

∫

τ ^{− − − − −}

≤ ^{− ⋅ − ⋅}

=

∫

_R^{d l0(f(2−k⋅);2k(x−u)−v)−l0(f(2k⋅);2k(y−u)−v)ϕ(v)dv}

₁( (2 );2 ) ( ) , ( ₁,... _d)

R k

k x y v dv v v v

f ⋅ − ⋅ _d =

≤^{ω −}

∫

^ϕ

=ω₁(f; x−y )

olur. Her iki tarafın δ >0 için supremumunu alırsak

δ

≤

− y x

sup |A_k(f;x−u)− A_k(f;y−u)|=

δ

≤

− y x

sup ω₁(f; x−y)

yani ω₁(A_kf;δ)≤ω₁(f;δ)elde edilir.

(ii) B_k operatöründe l₀f = f olduğunu biliyoruz. (3.3.9) eşitliğini kullanırsak |l₀(f;x−u)−l₀(f;y−u)|=| f(x−u)− f(y−u)|

≤ω₁(f; x−y) olduğunu görebiliriz.

| )

; ( )

; (

|B_k f x−u −B_k f y−u

=|B₀(f(2^−k⋅);2^k(x−u))−B₀(f(2^−k⋅);2^k(y−u))|

=

∫

_R^{d[f(v)ϕ(2k(x−u)−v)− f(v)ϕ(2k(y−u)−v)]dv}

yazabiliriz. Burada v=2^k(x−u)−v ve v=2^k(y−u)−v dönüşümü yaparsak

| )

; ( )

; (

|B_k f x−u −B_k f y−u

=

∫

_R^{d[f(2k(x−u)−v)− f(2k(y−u)−v)]ϕ(v)dv}

dv v v u y f v u x

d f

R

k

k( ) ) (2 ( ) ( )

2

( ϕ

∫

^{− − − − −}

≤

=

∫

_R^{d l0(f(2−k⋅);2k(x−u)−v)−l0(f(2k⋅);2k(y−u)−v)ϕ(v)dv}

) ,...

( ,

) ( ) 2

);

2 (

( ₁

1 R d

k

k x y v dv v v v

f ⋅ − ⋅ _d =

≤^{ω −}

∫

^ϕ

olur. (3.3.4) ifadesini kullanırsak

| )

; ( )

; (

|B_k f x−u −B_k f y−u ≤ω₁(f; x−y) olur. Her iki tarafın δ >0 için supremumunu alalım.

δ

≤

− y x

sup |B_k(f;x−u)−B_k(f;y−u)|=

δ

≤

− y x

sup ω₁(f; x−y)

yani ω₁(B_kf;δ)≤ω₁(f;δ)olur.

(iii) L_koperatörünü göz önüne alalım.

|l₀(f;x−u)−l₀(f;y−u)|=|c₀^f (x−u)−c₀^f (y−u)|

=

∫

_x^x₋⁻_u^{u+1 f(t)dt−}

∫

_y^y₋⁻_u^{u+1 f(t)dt}

=

∫

₀^1...

∫

₀^{1(f(x−u+t)− f(y−u+t))dt}

^≤

∫

₀^1...

∫

₀^{1 | f(x−u+t)− f(y−u+t)|dt}

¹... ₁(f; x y )dt

0 1

0 −

≤

∫ ∫

^ω

=ω₁(f; x−y ) olduğundan

| )

; ( )

; (

|L_k f x−u −L_k f y−u

=|L₀(f(2^−k⋅);2^k(x−u))−L₀(f(2^−k⋅);2^k(y−u))|

=

∫

_R^{d[c0f(2−k⋅)(v)ϕ(2k(x−u)−v)−c0f(2−k⋅)(v)ϕ(2k(y−u)−v)]dv}

yazabiliriz. Burada v=2^k(x−u)−v ve v=2^k(y−u)−v dönüşümü yaparsak

| )

; ( )

; (

|L_k f x−u −L_k f y−u

=

∫

_R^{d[c0f(2−k⋅)(2k(x−u)−v)−c0f(2−k⋅)(2k(y−u)−v)]ϕ(v)dv}

dv v v u y c

v u x

d c

k k

R

k f

k

f^{(2 )}(2 ( ) ) ₀^{(2 )}(2 ( ) ) ( )

0 ϕ

∫

^{− − − − −}

≤ ^{− ⋅ − ⋅}

=

∫

_R^{d l0(f(2−k⋅);2k(x−u)−v)−l0(f(2k⋅);2k(y−u)−v)ϕ(v)dv}

) 2

);

2 (

1(f ^k⋅ ^k x−y

≤ω ⁻

= ω₁(f; x−y )

olur. Her iki tarafın δ >0 supremumunu alırsak

δ

≤

− y x

sup |L_k(f;x−u)−L_k(f;y−u)|=

δ

≤

− y x

sup ω₁(f; x−y)

yani ω₁(L_kf;δ)≤ω₁(f;δ)elde ederiz.

(iv) Γ operatörünü alalım. _k

|l₀(f;x−u)−l₀(f;y−u)|=|γ₀^f(x−u)−γ₀^f(y−u)|

=

∑ ∑

= = 



 − + − +

⋅

1

1

1

0 0 1

1 1 1

,..., ,...,

...

n

j n

j

d d j

j

d

d

d x u

n u j x f w

∑ ∑

olur. Her iki tarafın supremumunu alırsak

δ

İspat. (i) A_k operatörünü alalım (ϕ çift).

∫

∫

^{− = +}

= _{d d}

R

R f t t u dt f s u s ds

u f

l₀( ; ) ( )ϕ( ) ( )ϕ( ) . Burada s=t−u dönüşümü yapıldı. i∈

{

1,...,d

}

için

−

−

− ⋅);2 )

2 (

0(pr x u

l _i ^{k k} l₀(pr_i(2^−k⋅);2^ky−u)

_{∫ ∫}

^∞

[ ]

∞

−

∞

∞

−

−

− − − ⋅

−

= ... (x_i 2 ^ku_i) (y_i 2 ^ku_i) ϕ(s)ds

^{=(xi − yi)⋅}

∫

_R^{dϕ(s)ds =xi −yi}

şeklinde yazabiliriz.

)−

; (pr x

A_{k i} A_k(pr_i;y)= A₀(pr_i(2^−k⋅);2^kx)− A₀(pr_i(2^−k⋅);2^ky)

⁼

∫

_R^{dτ0pri(2−k⋅)(u)ϕ(2kx−u)du−}

∫

_R^dτ₀^{pri(2−k⋅)(u)ϕ(2ky−u)du.}

u x

u= 2^k − ve u = 2^ky−u dönüşümü yapılırsa )−

; (pr x

A_{k i} A_k(pr_i;y) ⁼

∫

_R^{dτ0pri(2−k⋅)(2kx−u)ϕ(u)du−}

∫

_R^dτ₀^{pri(2−k⋅)(2ky−u)ϕ(u)du}

⁼

∫

_R^d

[

^{τ0pri(2−k⋅)(2kx−u)−τ0pri(2−k⋅)(2ky−u)}

]

^ϕ(u)du

⁼

∫

_R^d

[

^{l0(pri(2−k⋅);2kx−u)−l0(pri(2−k⋅);2k y−u)}

]

^ϕ(u)du

^{=(xi −yi)⋅}

∫

_R^{dϕ(u)du =xi −yi = pri(x)−pri(y)}

olur. Her iki tarafın δ >0 supremumunu alalırsak

| )

; ( )

; (

| sup

,

y pr A x pr

A_{k i k i}

y x

R y

x ^d

−

≤

−

∈ δ

=

δ

≤

−

∈ y x

R y x, ^d

sup | pr_i(x)− pr_i(y)|

yani ω₁(A_kpr_i;δ)≤ω₁(pr_i;δ) elde edilir.

(ii) B_k operatöründe l₀(f;x)= f(x) dir. Burada

−

−

− ⋅);2 )

2 (

0(pr x u

l _i ^{k k} l₀(pr_i(2^−k⋅);2^ky−u)

= pr_i(2^−k⋅)(2^kx−u)− pr_i(2^−k⋅)(2^ky−u)

olduğundan Teorem 3.3.2.' yi kullanarak

olur. Teorem 3.3.2.' yi kullanırsak

Γ_k(pr_i;x)−Γ_k(pr_i;y)=Γ₀(pr_i(2^−k⋅);2^kx)−Γ₀(pr_i(2^−k⋅);2^k y) yakınsadığını gösterelim.

Teorem 3.4.4. k∈Ζ, a:=max_1≤i≤d(a_i) iken

İspat. m, n, r'nin uygun değerleri için

eşitsizliğinden yararlanarak Teorem 3.3.2.'ye göre ispatlayabiliriz.

(i) A_k operatörünü ele alalım (ϕ çift).

olduğundan aşağıdaki ifadeleri yazabiliriz.

|

∫ ∫

⁺

∫

yazabiliriz. Teorem 3.3.2 .'yi kullanarak (3.4.36)' nın doğru olduğunu gösterebiliriz.

|

⁼

∫

_R^d

[

^{f(2−k⋅)(u)− f(2−k(2kx))}

]

^{ϕ(2kx−u)du}

⁼

∫

_R^d

[

^{l0(f(2−k⋅);u)− f(2−k(2kx))}

]

^{ϕ(2kx−u)du}

olur. Önceki örnekteki işlemler tekrarlanırsa

|

=ω_1,∞(f;1+a)

yazabiliriz. Böylece sonuca aşağıdaki işlemlerle ulaşabiliriz.

|

(i) deki işlemler tekrarlanırsa

|

∑ ∑

Belgede Genelleştirilmiş integral operatörleri ve süreklilik modülü ile ilişkileri (sayfa 65-98)