4-boyutlu 2-indeksli yarı-öklidyen uzayda genelleştirilmiş null mannheım eğriler

Tam metin

(1)KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. MATEMATİK ANABİLİM DALI DOKTORA TEZİ. 4-BOYUTLU 2-İNDEKSLİ YARI-ÖKLİDYEN UZAYDA GENELLEŞTİRİLMİŞ NULL MANNHEIM EĞRİLER. Nihal KILIÇ ASLAN. OCAK 2021.

(2) Matematik Anabilim Dalında Nihal KILIÇ ASLAN tarafından hazırlanan 4BOYUTLU 2-İNDEKSLİ YARI-ÖKLİDYEN UZAYDA GENELLEŞTİRİLMİŞ NULL MANNHEIM EĞRİLER adlı Doktora Tezinin Anabilim Dalı standartlarına uygun olduğunu onaylarım. Prof. Dr. Ali OLGUN Anabilim Dalı Başkanı. Bu tezi okuduğumu ve tezin Doktora Tezi olarak bütün gereklilikleri yerine getirdiğini onaylarım. Prof. Dr. Kazım İLARSLAN Danışman. Jüri Üyeleri. Başkan. : Prof. Dr. Halit GÜNDOĞAN. ______________. Üye (Danışman). : Prof. Dr. Kazım İLARSLAN. ______________. Üye. : Prof. Dr. Levent KULA. ______________. Üye. : Prof. Dr. Mehmet YILDIRIM. ______________. Üye. : Prof. Dr. İsmail GÖK. ______________. 25/01/2021 Bu tez ile Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Doktora derecesini onaylamıştır. Prof. Dr. Recep ÇALIN Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü.

(3) Oğluma ve kızıma….

(4) ÖZET 4-BOYUTLU 2-İNDEKSLİ YARI-ÖKLİDYEN UZAYDA GENELLEŞTİRİLMİŞ NULL MANNHEIM EĞRİLER. KILIÇ ASLAN, Nihal Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Ana Bilim Dalı, Doktora Tezi Danışman: Prof. Dr. Kazım İLARSLAN Ocak 2021, 68 sayfa. Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde tezde gerekli olan kavramlar ve tanımlar verilmiştir. Üçüncü bölümde, 4-boyutlu 2-indeksli yarı-Öklidyen uzayda genelleştirilmiş null Mannheim eğrileri ile bu eğrilerin genelleştirilmiş Mannheim partner eğrilerinin Frenet çatıları ve eğrilik fonksiyonları arasındaki ilişkiler elde edilmiş ve bu eğriler ile ilgili örnekler şekilleri ile birlikte verilmiştir. Dördüncü bölümde, 4-boyutlu 2-indeksli yarı-Öklidyen uzayda. genelleştirilmiş partially null Mannheim eğrilerin karakterizasyonları elde edilmiştir. Beşinci bölümde ise 4-boyutlu 2-indeksli yarı-Öklidyen uzayda genelleştirilmiş pseudo null Mannheim eğrilerin karakterizasyonları elde edilmiştir. Altıncı bölüm ise tartışma ve sonuç için ayrılmıştır.. Anahtar Kelimeler: Yarı-Öklidyen uzay, null eğri, partially null eğri, pseudo null eğri, spacelike düzlem, timelike düzlem, lightlike düzlem.. i.

(5) ABSTRACT GENERALIZED NULL MANNHEIM CURVES IN SEMI-EUCLIDEAN 4-SPACE WITH INDEX 2. KILIÇ ASLAN, Nihal Kırıkkale University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics, Doctoral Thesis Supervisor: Prof. Dr. Kazım İLARSLAN January 2021, 68 pages. This thesis consists of six chapters. The first chapter is devoted to the introduction. The second chapter contains concepts and definitions which are needed throughout the thesis. In the third chapter, the relations between the curvature functions and the frames of the generalized null Mannheim curves and generalized Mannheim partner curves of theirs are obtained and the examples of such curves are given with their projected images. In the fourth chapter Frenet frame and Frenet equations of generalized. partially null Mannheim curves are obtained in semi-Euclidean 4-space with index 2. In the fifth chapter, characterizations of generalized pseudo null Mannheim curves are given in semi-Euclidean 4-space with index 2. The sixth chapter is devoted to the discussion and conclusion.. Key Words: Semi-Euclidean space, null curves, partially null curves, pseudo null curves, spacelike plane, timelike plane, lightlike plane.. ii.

(6) TEŞEKKÜR. Doktora tez konumun belirlenmesinden, tezin yazım aşamasına kadar her türlü desteğini esirgemeyen, bilgi ve tecrübesi ile zaman ayırıp, doktora eğitimimi tamamlamamda rehberliği ile ışık tutan danışman hocam Sayın Prof. Dr. Kazım İLARSLAN’a teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca doktora eğitimim boyunca bana her türlü desteği veren sevgili aileme teşekkürlerimi sunarım.. iii.

(7) İÇİNDEKİLER DİZİNİ Sayfa ÖZET....................................................................................................................... i. ABSTRACT ............................................................................................................ ii. TEŞEKKÜR ........................................................................................................... iii. İÇİNDEKİLER DİZİNİ ....................................................................................... iv. ŞEKİLLER DİZİNİ .............................................................................................. v. SİMGELER DİZİNİ ............................................................................................. vi. 1. GİRİŞ ................................................................................................................. 1. 1.1. Kaynak Özetleri ............................................................................................ 4. 2. TEMEL KAVRAMLAR .................................................................................. 5. 3. 4-BOYUTLU 2-İNDEKSLİ YARI-ÖKLİDYEN UZAYDA GENELLEŞTİRİLMİŞ NULL MANNHEIM EĞRİLER ................................ 11 4. 4-BOYUTLU 2-İNDEKSLİ YARI-ÖKLİDYEN UZAYDA GENELLEŞTİRİLMİŞ PARTIALLY NULL MANNHEIM EĞRİLER........ 41 5. 4-BOYUTLU 2-İNDEKSLİ YARI-ÖKLİDYEN UZAYDA GENELLEŞTİRİLMİŞ PSEUDO NULL MANNHEIM EĞRİLER ............... 49 6. TARTIŞMA VE SONUÇ.................................................................................. 54 KAYNAKLAR ...................................................................................................... 55 ÖZGEÇMİŞ ........................................................................................................... 59. iv.

(8) ŞEKİLLER DİZİNİ Sayfa Şekil 3.1.. Genelleştirilmiş null Mannheim β eğrisi ve onun timelike Mannheim eşleniği β∗ eğrisinin 𝑥 =0 uzayına izdüşümü................................... 24. Şekil 3.2.. Genelleştirilmiş null Mannheim β eğrisi ve onun timelike Mannheim eşleniği β∗ eğrisinin 𝑥 =0 uzayına izdüşümü .................................. 24. Şekil 3.3.. Genelleştirilmiş null Mannheim β eğrisi ve onun timelike Mannheim eşleniği β∗ eğrisinin 𝑥 =0 uzayına izdüşümü .................................. 25. Şekil 3.4.. Genelleştirilmiş null Mannheim β eğrisi ve onun timelike Mannheim eşleniği β∗ eğrisinin 𝑥 =0 uzayına izdüşümü .................................. 25. Şekil 3.5.. Genelleştirilmiş null Mannheim θ eğrisi ve onun spacelike Mannheim eşleniği θ∗ eğrisinin 𝑥 =0 uzayına izdüşümü................................... 27. Şekil 3.6.. Genelleştirilmiş null Mannheim θ eğrisi ve onun spacelike Mannheim eşleniği 𝜃 ∗ eğrisinin 𝑥 =0 uzayına izdüşümü .................................. 27. Şekil 3.7.. Genelleştirilmiş null Mannheim θ eğrisi ve onun spacelike Mannheim eşleniği 𝜃 ∗ eğrisinin 𝑥 =0 uzayına izdüşümü .................................. 28. Şekil 3.8.. Genelleştirilmiş null Mannheim θ eğrisi ve onun spacelike Mannheim eşleniği 𝜃 ∗ eğrisinin 𝑥 =0 uzayına izdüşümü .................................. 28. Şekil 3.9.. Genelleştirilmiş null Mannheim γ eğrisi ve onun pseudo null Mannheim eşleniği γ∗ eğrisinin 𝑥 =0 uzayına izdüşümü ................ 39. Şekil 3.10.. Genelleştirilmiş null Mannheim γ eğrisi ve onun pseudo null Mannheim eşleniği γ∗ eğrisinin 𝑥 =0 uzayına izdüşümü. ............... 39. Şekil 3.11.. Genelleştirilmiş null Mannheim γ eğrisi ve onun pseudo null Mannheim eşleniği γ∗ eğrisinin 𝑥 =0 uzayına izdüşümü ................ 40. Şekil 3.12.. Genelleştirilmiş null Mannheim γ eğrisi ve onun pseudo null Mannheim eşleniği γ∗ eğrisinin 𝑥 =0 uzayına izdüşümü ................ 40. v.

(9) SI·MGELER DI·ZI·NI·. R. Reel say¬lar kümesi. R0. S¬f¬rdan farkl¬reel say¬lar. R+. Pozitif reel say¬lar. E3. 3-boyutlu Öklid uzay¬. E4. 4-boyutlu Öklid uzay¬. E41. 4-boyutlu Minkowski uzay¬(Minkowski uzay-zaman). E42. 4-boyutlu 2-indeksli yar¬-Öklidyen uzay. g. Simetrik bilineer form. jj; jj Norm fonksiyonu. h ; i I·ç çarp¬m fonksiyonu ki. Ana e¼ grinin i. yinci e¼ grilik fonksiyonu. ki. E¸slenik e¼ grisinin i. T. E¼ grinin te¼ get vektörü. N. E¼ grinin asli normal vektörü. B1. E¼ grinin birinci binormal vektörü. B2. E¼ grinin ikinci binormal vektörü. T. E¸slenik e¼ grisinin te¼ get vektörü. N. E¸slenik e¼ grisinin asli normal vektörü. B1. E¸slenik e¼ grisinin birinci binormal vektörü. B2. E¸slenik e¼ grisinin ikinci binormal vektörü. yinci e¼ grilik fonksiyonu. vi.

(10) 1. GI·RI·S ¸ Diferensiyel geometrinin önemli bir çal¬¸sma alan¬olan e¼ grilerin geometrisi, 17. yüzy¬lda diferensiyel hesab¬n geli¸smesiyle birlikte bilim insanlar¬taraf¬ndan yo¼ gun bir ¸sekilde çal¬¸s¬lmaya ba¸slanm¬¸st¬r. Descartes (1596-1650) taraf¬ndan koordinat geometrinin (analitik geometri) in¸sas¬ ile düzlemde baz¬ e¼ griler (spiral e¼ griler gibi) daha detayl¬çal¬¸s¬lm¬¸st¬r. Leibniz (1646-1716) taraf¬ndan 1686 y¬l¬nda ilk olarak bir e¼ grinin bir noktas¬ndaki e¼ grili¼ gi, e¼ grilik çemberleri (osculating cir1 cle) yard¬m¬yla tan¬mlanm¬¸s ve bir e¼ grinin e¼ grili¼ ginin = (r e¼ grilik çemberinin r yar¬çap¬ olup r 2 R+ d¬r) oldu¼ gu gösterilmi¸stir. Öklid uzay¬nda sabit e¼ grilikli e¼ grilerin do¼ grular, çemberler, helisler (dairesel helisler) oldu¼ gu bilinmektedir. E¼ grilik kavram¬, diferensiyel hesap yard¬m¬yla Newton (1642-1727) taraf¬ndan hesaplanm¬¸st¬r. Uzay e¼ grilerinin e¼ griliklerinin bulunmas¬n¬sa¼ glayan formül 18. yüzy¬lda Euler (1707-1783) taraf¬ndan verilmi¸stir.Uzay e¼ grilerinin diferensiyel geometrisinde önemli bir geli¸sme ise Frenet-Serret denklemlerinin elde edilmesidir. Bu denklemlerde e¼ grinin te¼ get (T ), asli normal (N ) ve binormal (B) vektörlerinin türevlerini; kendileri, e¼ grilik ( ) ve burulma ( ) fonksiyonlar¬ cinsinden ifade edilmektedir. Günümüzde bu denklemler Frenet denklemleri olarak bilinmektedir ([1]). Uzay e¼ grilerinin Frenet vektörleri aras¬ndaki ili¸skilerin incelenmesi, e¼ grilerin s¬n¬‡and¬r¬lmas¬nda büyük bir öneme sahiptir. Bu s¬n¬‡and¬rmada öne ç¬kan e¼ gri örneklerinden birisi Bertrand e¼ grileridir. 1845 y¬l¬nda Venant taraf¬ndan ortaya konulan bir e¼ grinin asli normal vektör alan¬n¬n bir ba¸ska e¼ grinin asli normal vektör alan¬olup olamayaca¼ g¬problemi 1850 y¬l¬nda J. Bertrand taraf¬ndan yay¬nlanan bir makalede cevapland¬r¬lm¬¸st¬r ([2]). Böyle bir ikinci e¼ grinin var olmas¬için gerek ve yeter ¸sart verilen e¼ grinin e¼ griliklerinin ve s¬f¬rdan farkl¬ ve. sabitlerinin. +. = 1 denklemini sa¼ glamas¬d¬r. Bu tarihten itibaren. bu ¸sart¬sa¼ glayan e¼ griye Bertrand e¼ grisi ve ikinci e¼ griye de bu e¼ grinin Bertrand e¸slenik e¼ grisi ad¬verilmi¸stir ([3]). Bir di¼ ger önemli e¼ gri örne¼ gimiz Mannheim e¼ grilerdir. Diferensiyel geometride Bertrand e¼ gri çiftinin karakterizasyonu iyi bilinirken, Mannheim e¼ gri çifti üzerine nispeten daha az çal¬¸sma bulunmaktad¬r. 3-boyutlu Öklid uzay¬nda Mannheim e¼ gri kavram¬Mannheim (1831-1906) taraf¬ndan çal¬¸s¬lm¬¸s ve bu e¼ grilere ‘Mannheim. 1.

(11) e¼ gri’ ad¬ Wöl¢ ng (1899) taraf¬ndan verilmi¸stir. Mannheim e¼ gri tan¬m¬ 1878 y¬l¬nda ¸su ¸sekilde verilmi¸stir: E3 , h; i standart iç çarp¬m¬ ile verilen üç boyutlu Öklid uzay¬olsun. Bu uzayda bulunan bir. uzay e¼ grisinin asli normal do¼ grusu ile. e¼ grisinin binormal do¼ grusu lineer ba¼ g¬ml¬ise e¼ grisi de. e¼ grisi bir Mannheim e¼ grisi,. e¼ grisinin Mannheim e¸slenik e¼ grisi ve ( ;. ) da Mannheim e¼ gri çiftidir. ([4]). E3 uzay¬nda yap¬lan bir di¼ ger önemli çal¬¸smay¬ 1960 y¬l¬nda Eisenheart, Mannheim e¼ grinin parametrik denklemini vererek yapm¬¸st¬r: Bir C e¼ grisi Z Z Z X(u) = h(u) sin u du; h(u) cos u du; h(u) g(u) du ; u2U. R ile tan¬mlans¬n. Burada. pozitif sabit say¬, R reel say¬lar kümesini. göstermek üzere, g : U ! R bir diferensiyellenebilir fonksiyon ve h : U ! R fonksiyonu n o 3 2 3 0 00 1 + (g(u))2 + g (u) + 1 + (g(u))2 g (u) + g(u) h(u) = o5=2 n 3=2 1 + (g(u))2 1 + (g(u))2 + (g 0 (u))2. denklemi ile verilir ve C e¼ grisinin e¼ grili¼ gi ( ) ve torsiyonu ( ),. =. (. 2. 2. +. 2. ) den-. klemini sa¼ glar ([5]). Matsuda ve Yorozu, Eisenheart’¬n bu parametrik denklemini kullanarak 3-boyutlu Öklid uzay¬nda a¸sa¼ g¬daki Mannheim e¼ gri örneklerini vermi¸slerdir ([9]): 1) g(u) = c (sabit) ise h(u) = 1 dir. Böylece C e¼ grisi bir dairesel helistir. 2) g(u) = tan u. 2. <u<. ise. 2. pozitif sabit say¬ olmak üzere C. Mannheim e¼ grisi. x(u) = (. ile verilir.. R (5 + 3 cos2 u) cos u sin u. (1 + cos2 u)5=2 R (5 + 3 cos2 u) sin u du) (1 + cos2 u)5=2. 3) g(u) = sinh u (u 2 R) ise. du;. R (5 + 3 cos2 u) cos2 u (1 + cos2 u)5=2. du;. pozitif sabit say¬olmak üzere C Mannheim. e¼ grisi R 1 + cosh2 u sin u R 1 + cosh2 u cos u x(u) = ( p du; p du; cosh2 u cosh2 u 2 2 R 1 + cosh2 u sinh u p du) cosh2 u 2 2.

(12) ile verilir. 2008 y¬l¬nda Liu ve Wang Mannheim e¼ gri çiftlerini üç boyutlu Öklid uzay¬ E3 ve üç boyutlu Minkowski uzay¬ E31 de çal¬¸sm¬¸slar ve E3 uzay¬nda ¸su önemli karakterizasyonu elde etmi¸slerdir: Bir için gerek ve yeter ¸sart. e¼ grisinin. e¼ grisinin e¼ grili¼ gi. n¬n Mannheim e¸sleni¼ gi olmas¬. , burulmas¬. ve. 2 R0 olmak. üzere a¸sa¼ g¬daki denklemi sa¼ glamas¬d¬r ([6]): 0. =. 1+. 2. 2. :. Minkowski 3-uzay¬nda null Mannheim e¼ grileri ilk olarak Öztekin ve Ergüt 2013 y¬l¬nda çal¬¸sm¬¸st¬r ([7]). 2014 y¬l¬nda Grbovic, I·larslan ve Nesovic ise bu uzayda null Mannheim e¼ grilerin olmad¬g¼¬n¬, sadece pseudo null Mannheim e¼ grilerin varl¬g¼¬ndan söz edilebilece¼ gini ortaya koymu¸slard¬r ([8]). Ayr¬ca pseudo null Mannheim e¼ grilerin, e¼ gri çifti pseudo null do¼ gru olan, pseudo null do¼ gru ve pseudo null çember oldu¼ gunu göstermi¸slerdir. 4-boyutlu Öklid uzay¬nda yap¬lan çal¬¸smalarda, 3-boyutlu uzayda oldu¼ gu gibi klasik anlamda bir Mannheim e¼ grinin olamayaca¼ g¬Matsuda ve Yorozu taraf¬ndan 2009 y¬l¬nda ispatlanm¬¸s ve genelle¸stirilmi¸s Mannheim e¼ gri kavram¬4-boyutlu Öklid uzay¬nda yine bu yazarlar taraf¬ndan ¸su ¸sekilde tan¬mlanm¬¸st¬r: özel bir Frenet e¼ grisi olsun.. ; E4 de. e¼ grisinin her noktas¬ndaki asli normal do¼ grular¬. ayn¬uzayda bulunan ba¸ska bir özel Frenet e¼ grisi olan. e¼ grisinin ' dönü¸sümü. alt¬nda kar¸s¬l¬k gelen noktalar¬ndaki birinci ve ikinci binormallerin gerdi¼ gi düzlemde yat¬yorsa. e¼ grisine genelle¸stirilmi¸s Mannheim e¼ grisi ad¬verilir. Burada. ' : I ! I bir di¤eomor…zmdir.. e¼ grisine. e¼ grisinin genelle¸stirilmi¸s Mannheim. e¸sleni¼ gi ad¬verilir ([9]). Minkowski uzay-zamanda ise ilk çal¬¸sma 2010 y¬l¬nda Ersoy, Tosun ve Matsuda taraf¬ndan yap¬lm¬¸st¬r ([10]). Bu uzayda genelle¸stirilmi¸s spacelike Mannheim e¼ griler, sadece null olmayan vektörler içeren Frenet çat¬s¬ile karakterize edilmi¸stir. Devam¬nda partially null Mannheim e¼ griler Grbovic ve Nesovic, spacelike ve timelike Mannheim e¼ griler ise Uçum, I·larslan ve Nesovic taraf¬ndan çal¬¸s¬lm¬¸st¬r ([1113]). 2016 y¬l¬nda Grbovic, I·larslan ve Nesovic’in Minkowski uzay-zamanda null Mannheim e¼ griler ile ilgili çal¬¸smas¬nda Mannheim e¼ gri çifti partially null veya pseudo null e¼ gri olan null Mannheim e¼ gri olmad¬g¼¬ispatlanm¬¸st¬r ([13]).. 3.

(13) Doktora tezi olarak haz¬rlad¬g¼¬m¬z bu çal¬¸smam¬zda 4-boyutlu 2-indeksli yar¬-Öklidyen uzay, E42 de genelle¸stirilmi¸s null Mannheim e¼ griler incelenmi¸stir. Bu e¼ griler ile genelle¸stirilmi¸s Mannheim e¸slenik e¼ grileri aras¬nda Frenet vektörleri ve e¼ grilik fonksiyonlar¬n¬n sa¼ glamas¬gerekli olan ba¼ g¬nt¬lar elde edilmi¸stir. I·lgili örnekler in¸saa edilerek verilen sonuçlar¬n do¼ grulu¼ gu peki¸stirilmi¸stir. Örnek e¼ grilerin farkl¬3-boyutlu alt uzaylara projeksiyonlar¬al¬narak Mathematica program¬ yard¬m¬yla gra…kleri çizilmi¸stir. 1.1.. Kaynak Özetleri. Bu tez çal¬¸smas¬nda temel kavramlar için ba¸sl¬ca O’Neill (1983), Kuhnel (1999), Duggal ve Bejancu (1996) kitaplar¬n¬n yan¬s¬ra Mannheim e¼ griler için Grbovic, I·larslan ve Nesovic (2016) makalelerinden yararlan¬lm¬¸st¬r. Di¼ ger bölümlerde yukar¬da ifade edilen çal¬¸smalar¬n yan¬s¬ra referans listesinde ad¬geçen makaleler ve kitaplardan yararlan¬lm¬¸st¬r.. 4.

(14) 2. TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde tezde gerekli olan kavramlar ve tan¬mlar verilecektir. Tan¬m 2.1. (Simetrik Bilineer Form) Bir reel vektör uzay¬V için V !R. g:V dönü¸sümü 8a; b 2 R ve 8u; v; w 2 V için i. g (u; v) = g (v; u). ii. g (au + bv; w) = ag (u; w) + bg (v; w) g (u; av + bw) = ag (u; v) + bg (u; w) ¸sartlar¬sa¼ glan¬yorsa g dönü¸sümüne V reel vektör uzay¬üzerinde simetrik bilineer form denir ([17]). Tan¬m 2.2. V reel vektör uzay¬üzerinde bir simetrik bilineer form g olsun. (i) 0 6= w 2 V olmak üzere 8u 2 V için g (u; w) = 0 ise g ye V üzerinde dejeneredir denir. Aksi durumda g ye non-dejeneredir denir. Bu tan¬ma göre g nin non-dejenere olmas¬için gerek ve yeter ¸sart 8w 2 V için g (u; w) = 0 iken u = 0 olmas¬d¬r. (ii) (Skalar çarp¬m) Non-dejenere simetrik bilineer form, skalar çarp¬m olarak adland¬r¬l¬r. (iii) E¼ ger her 0 6= w 2 V için g (w; w) > 0 ise g simetrik bilineer formu pozitif tan¬ml¬, e¼ ger her 0 6= w 2 V için g (w; w) < 0 ise g simetrik bilineer formu negatif tan¬ml¬d¬r. (iv) E¼ ger her 0 6= w 2 V için g (w; w). 0 ise g simetrik bilineer formu yar¬-. pozitif tan¬ml¬, e¼ ger her 0 6= w 2 V için g (w; w). 0 ise g simetrik bilineer formu. yar¬-negatif tan¬ml¬d¬r. (v) g (v; v) > 0 ve g (w; w) < 0 olacak biçimde v; w 2 V mevcut ise g ye inde…nit denir ([18]).. 5.

(15) Tan¬m 2.3. V reel vektör uzay¬üzerinde bir simetrik bilineer form g olsun. Bu durumda W !R. gW : W. negatif tan¬ml¬olacak ¸sekilde en büyük boyutlu W alt uzay¬n¬n boyutuna g nin indeksi denir ve q ile gösterilir. g skalar çarp¬m¬n¬n indeksi, q ise 0 < q < boyV dir ([18]). Tan¬m 2.4. V reel vektör uzay¬üzerinde bir simetrik bilineer form g olsun. V nin RadV = f 2 V : g ( ; v) = 0; 8v 2 V g ¸seklinde tan¬ml¬alt uzay¬na g ye göre V uzay¬n¬n radikal (veya null) uzay¬denir. RadV nin boyutuna g nin nulluk derecesi denir ve nullV ile gösterilir. E¼ ger nullV > 0 ise g dejeneredir, e¼ ger nullV = 0 ise non-dejeneredir ([18]). Tan¬m 2.5. n-boyutlu q-indeksli yar¬-Öklidyen uzay Rnq uzay¬n¬n bir dik koordinat sistemi (x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn ) olmak üzere 2. ds =. n q X. dx2i. i=1. n X. dx2i. i=n q+1. olarak tan¬mlanan non-dejenere metrik ile donat¬lm¬¸s n boyutlu Öklid uzay¬d¬r. Rnq uzay¬n¬n skalar çarp¬m¬n¬ h ; i ile gösterelim. Özel olarak n = 4 ve q = 2 al¬n¬rsa 4-boyutlu 2-indeksli yar¬-Öklidyen uzay E42 elde edilir. Tan¬m 2.6. v 2 E42 nf0g olmak üzere, e¼ ger i. hv; vi > 0 ise, v spacelike (uzays¬) vektör ii. hv; vi < 0 ise, v timelike (zamans¬) vektör iii. hv; vi = 0 ise, v null veya lightlike (¬¸s¬ks¬) vektör olarak adland¬r¬l¬r ([18]). Tan¬m 2.7. v 2 E42 nf0g olmak üzere, E42 uzay¬nda v vektörünün normu jjvjj =. p j hv; vi j. olarak tan¬mlan¬r. jjvjj = 1 ise v vektörüne birim vektör denir. ([18]) Tan¬m 2.8. v, w 2 E42 olmak üzere, v ve w vektörlerinin dik olmas¬için gerek ve yeter ¸sart hv; wi = 0 olmas¬d¬r ([18]). 6.

(16) Tan¬m 2.9. 0. vektörü. :I. gri olsun. E¼ ger R ! E42 bir e¼. e¼ grisinin 8s 2 I için h¬z. (s) s¬ras¬yla spacelike, timelike veya null vektör ise. e¼ grisi s¬ras¬yla. spacelike, timelike veya null e¼ gri olarak adland¬r¬l¬r ([17]). Özel olarak bir null e¼ gri için k2 = 0 ise null kübik e¼ gri ad¬verilir. Ayr¬ca gri veya timelike e¼ grinin asli normal vektör alan¬N ve ikinci E42 de bir spacelike e¼ binormal vektör alan¬B2 null vektör alanlar¬ise e¼ griye pseudo null e¼ gri, birinci ve ikinci binormal vektör alanlar¬B1 ve B2 null vektör alanlar¬ise e¼ griye partially null e¼ gri ad¬verilir. Null, pseudo null ve partially null e¼ griler için in¸sa edilecek olan Frenet çat¬lar¬ortonormal çat¬olmay¬p quasi-ortonormal çat¬d¬r. [17,18] Tan¬m 2.10.. :I. R ! E42 bir e¼ gri olsun.. null bir e¼ gri olmak üzere, e¼ ger 8s 2 I için h. i.. sa¼ glan¬yorsa. 00. (s);. 00. (s)i =. e¼ grisine pseudo yay parametresi ile parametrelendirilmi¸stir denir. null olmayan bir e¼ gri olmak üzere, e¼ ger 8s 2 I için h 0 (s);. ii.. 1 ¸sart¬. ¸sart¬sa¼ glan¬yorsa. 0. (s)i =. 1. e¼ grisine yay uzunlu¼ gu parametresi ile parametrelendirilmi¸stir. denir ([19]). Genel olarak, bir e¼ grinin karakteri I n¬n bütün noktalar¬nda ayn¬de¼ gildir. Yani. e¼ grisinin spacelike, timelike, lightlike oldu¼ gu noktalar olabilir. Bununla. beraber. e¼ grisinin spacelike ve timelike oldu¼ gu noktalar aras¬nda, lightlike oldu¼ gu. bir nokta da vard¬r. E¼ ger ; bir s0 2 I noktas¬nda spacelike ya da timelike ise e¼ grisinin ayn¬karaktere sahip oldu¼ gu bir (s0. ; s0 + ) aç¬k aral¬g¼¬vard¬r.. Lemma 2.1. Her spacelike ya da timelike e¼ gri yay parametresi ile parametreR ! E42 e¼ grisi için bir ' : J ! I di¤eomor…zmi vard¬r öyle D 0 E 0 ki = o' bir e¼ gri olmak üzere her s 2 J için spacelike ise (s); (s) = 1, D 0 E 0 timelike ise (s); (s) = 1 dir.. lendirilebilir.. :I. M ; ba¼ glant¬l¬ bir yüzey ve x : M ! E42 bir immersiyon öyle ki Tp M;. p 2 M noktas¬ndaki te¼ get düzlem olmak üzere x in p noktas¬ndaki diferensiyeli (dx)p : Tp M ! E42 olsun. Bu durumda (dx)p Tp M; E42 de Tp M. (dx)p Tp M. ¸seklinde bir düzlem olur. gp (u; v) = hdxp (u); dxp (v)i metri¼ gi için x : (M; gp ) ! E42 , M nin bir izometrik immersiyonudur. Bununla beraber M ye x ile beraber E42 de bir yüzey denir ([36]).. 7.

(17) Tan¬m 2.11. Bir x : M ! E42 immersiyonu için p noktas¬ndaki birinci esas form gp : Tp M. Tp M ! R metri¼ gidir. Tp M üzerindeki metrik üç ¸sekilde olabilir:. (i) Tp M , spacelike bir düzlem ise gp pozitif tan¬ml¬d¬r. (ii) Tp M , timelike bir düzlem ise gp non-dejenere bir metriktir. (iii) Tp M , lightlike bir düzlem ise gp dejenere bir metriktir. 2.1.. Frenet Denklemleri. E¼ grilerin diferensiyel geometrisini çal¬¸smak için Frenet denklemleri ve e¼ grilik fonksiyonlar¬n¬n büyük önem arz etti¼ gini biliyoruz. Tezimizde kullan¬lacak olan Frenet denklemleri için kaynaklar¬m¬z ([22-25]) olacakt¬r.. e¼ grisinin nedensel. (causal) karakterine göre Frenet denklemleri ¸su ¸sekilde verilebilir: e¼ grisi null olmayan e¼ gri ise; 3 2 2 0 T0 2 k1 7 6 6 6 0 7 6 6 N 7 6 0 1 k1 7 6 6 6 0 7=6 6 B1 7 6 0 2 k2 5 4 4 0 0 B20. 1.. 0. 0. 3. T. 7 76 7 76 7 6 N 7 0 7 76 7 76 2 3 k3 7 6 B1 7 5 54 B2 0. 3 k2 1. 3 k3. ile verilir ([25]). Ayn¬zamanda hepsi 1 veya i. 32. 0. 1 olmamak ¸sart¬ile;. (2.1). 1 2 3 4. = 1;. 2 f 1; 1g; i 2 f1; 2; 3; 4g olmak üzere a¸sa¼ g¬daki ko¸sullar sa¼ glan¬r: g(T; T ) =. 1;. g(N; N ) =. 2;. g(B1 ; B1 ) =. 3;. g(B2 ; B2 ) =. 4. (2.2). g(T; N ) = g(T; B1 ) = g(T; B2 ) = g(N; B1 ) = g(N; B2 ) = g(B1 ; B2 ) = 0: e¼ grisi null Cartan e¼ gri ise;. 2. ;. E42. de bir null e¼ gri olsun (g(T; T ) = 0).. e¼ grisi s(t) =. Z. 0. pseudo-yay fonksiyonu s ile parametrelendirilmi¸s ise. tp. k. 00 (u)kdu. e¼ grisi null Cartan e¼ gri. olarak adland¬r¬l¬r. Bu durumda geodezik olmayan (k1 (s) 6= 0) null Cartan e¼ grisi boyunca bir tek Cartan çat¬s¬ fT; N; B1 ; B2 g vard¬r ve a¸sa¼ g¬daki denklemleri sa¼ glarlar ([23,24]): 2. T0. 3. 2. 6 7 6 6 0 7 6 6 N 7 6 6 7 6 6 0 7=6 6 B1 7 6 4 5 4 0 B2. 0 1 k2. 0 2 k3. k1 0. 0 1 k1. k2. 0. 0. 0. 8. 0. 32. T. 3. 76 7 76 7 0 76 N 7 76 7 76 7 k3 7 6 B1 7 54 5 0 B2. (2.3).

(18) Burada birinci Cartan e¼ grilik fonksiyonu k1 (s) = 1, (k1 (s) = 0 ise e¼ gri bir do¼ grudur), ikinci ve üçüncü Cartan e¼ grilik fonksiyonlar¬k2 (s), k3 (s) pseudo-yay parametresi s nin fonksiyonlar¬d¬r. E¼ ger k2 (s) = 0 ise null Cartan e¼ grisi null kübik (null cubic) e¼ gri olarak adland¬r¬l¬r. Cartan çat¬s¬n¬olu¸sturan vektörler aras¬nda 1 2. =. 1 olmak üzere a¸sa¼ g¬daki ili¸skiler vard¬r: g(N; N ) =. 1;. g(B2 ; B2 ) =. 2;. g(T; T ) = g(B1 ; B1 ) = 0;. g(T; N ) = g(T; B2 ) = g(N; B1 ) = g(N; B2 ) = g(B1 ; B2 ) = 0;. (2.4). g(T; B1 ) = 1: Tezimizin geri kalan¬nda null Cartan e¼ gri ifadesi yerine k¬saca null e¼ gri olarak bahsedilecektir. 3.. e¼ grisi pseudo null 3 2 2 T0 7 6 6 6 0 7 6 6 N 7 6 7 6 6 6 0 7=6 6 B1 7 6 5 4 4 0 B2. e¼ gri ise: 0. k1. 0. 0. 0. k2. 0. k3. 0. 1 k1. 0. 0. 32. 3. T. 7 76 7 76 0 76 N 7 7 76 7 76 2 k2 7 6 B1 7 5 54 B2 0. 2 k3. (2.5). olarak verilir ([22]). Burada. do¼ gru ise birinci e¼ grili¼ gi k1 (s) = 0, di¼ ger durum-. larda k1 (s) = 1 d¬r ve. 1 olmak üzere a¸sa¼ g¬daki ko¸sullar sa¼ glan¬r:. g(T; T ) =. 1;. 1 2. =. g(B1 ; B1 ) =. 2;. g(N; N ) = g(B2 ; B2 ) = 0;. g(N; B2 ) = 1. g(T; N ) = g(T; B1 ) = g(T; B2 ) = g(N; B1 ) = g(B1 ; B2 ) = 0: (2.6) 4.. e¼ grisi partially null e¼ gri 2 3 2 T0 0 6 7 6 6 0 7 6 6 N 7 6 k1 6 7 6 6 0 7=6 6 B1 7 6 0 4 5 4 B20 0. ise: k1. 0. 0. k2. 0. k3. 2 k2. 0. 0. 32. T. 3. 76 7 76 7 7 6 0 N 7 76 7 76 7 0 7 6 B1 7 54 5 k3 B2. olarak verilir ([22]). Burada üçüncü e¼ grilik k3 = 0 d¬r ve. 1 2. =. (2.7). 1 olmak üzere. a¸sa¼ g¬daki ko¸sullar sa¼ glan¬r: g(T; T ) =. 1;. g(N; N ) =. 2;. g(B1 ; B1 ) = g(B2 ; B2 ) = 0. g(T; N ) = g(T; B2 ) = g(N; B1 ) = g(N; B2 ) = 0; g(B1 ; B2 ) = 1:. 9. (2.8).

(19) Not. Null, pseudo null ve partially null e¼ grileri için k1 e¼ grili¼ gi 0 (e¼ gri bir do¼ gru ise) veya 1 (di¼ ger tüm durumlarda) dir. k1 = 1 durumunda e¼ griye geodezik olmayan e¼ gri ad¬da verilir.. 10.

(20) 3. 4-BOYUTLU 2-I·NDEKSLI· YARI-ÖKLI·DYEN UZAYDA ¼ I·LER GENELLE¸ STI·RI·LMI·S ¸ NULL MANNHEIM EGR E42 uzay¬nda 8s 2 I. R için bir null. e¼ grisinin üçüncü e¼ grili¼ gi k3 (s) 6= 0. olarak al¬nm¬¸st¬r. k3 (s) s¬f¬rdan farkl¬oldu¼ gunda. e¼ grisinin ikinci e¼ grili¼ gi k2 (s). s¬f¬ra e¸sit veya s¬f¬rdan farkl¬olabilir. Çal¬¸smam¬zda bu iki durum ayr¬ayr¬ele al¬narak sonuçlar elde edilmi¸stir. I·lk olarak genelle¸stirilmi¸s null Mannheim e¼ griler için a¸sa¼ g¬daki tan¬m¬verelim. Tan¬m 3.1.. 4-boyutlu 2-indeksli yar¬-Öklidyen uzay, E42 de bulunan. e¼ grisinin asli normal vektör alan¬N , ayn¬uzayda bulunan bir. null. e¼ grisinin birinci. gi düzlemde binormal vektör alan¬B1 ve ikinci binormal vektör alan¬B2 ¬n gerdi¼ yat¬yorsa. e¼ grisi genelle¸stirilmi¸s null Mannheim e¼ grisi,. e¼ grisi de. genelle¸stirilmi¸s Mannheim e¸slenik e¼ grisi ad¬n¬ al¬r. Bu durumda ( ;. e¼ grisinin ) e¼ gri çifti. de genelle¸stirilmi¸s Mannheim e¼ gri çifti olarak adland¬r¬l¬r. E42 uzay¬nda bulunan. genelle¸stirilmi¸s null Mannheim e¼ grisinin Frenet. çat¬s¬fT; N; B1 ; B2 g ve onun genelle¸stirilmi¸s Mannheim e¼ gri çifti olan Frenet çat¬s¬da fT ; N ; B1 ; B2 g olsun.. e¼ grisinin. e¼ grisinin asli normal vektör alan¬N ;. B1 ve B2 taraf¬ndan gerilen düzlemde yatt¬g¼¬ndan N (s) = a(s)B1 (s) + b(s)B2 (s) e¸sitli¼ gini sa¼ glar. Burada a(s) ve b(s) diferensiyellenebilir fonksiyonlard¬r. Bu noktada ara¸st¬rmam¬z¬ SpanfB1 ; B2 g düzleminin nedensel (causal) karakterine ba¼ gl¬olarak üç duruma ay¬raca¼ g¬z: (A) SpanfB1 ; B2 g spacelike düzlemdir, (B) SpanfB1 ; B2 g timelike düzlemdir, (C) SpanfB1 ; B2 g lightlike düzlemdir. S ¸imdi bu üç durumu ayr¬ayr¬inceleyelim. (A) SpanfB1 ; B2 g düzlemi bir spacelike düzlem olsun: Teorem 3.1. e¸sleni¼ gi. : I ! E42 asli normal vektör alan¬N , null olmayan Mannheim. : I ! E42 e¼ grisinin birinci ve ikinci binormal vektör alanlar¬B1 ve B2. taraf¬ndan gerilen SpanfB1 ; B2 g spacelike düzleminde Z s yatan genelle¸stirilmi¸s bir null Mannheim e¼ grisi olsun. Bu durumda f (s) = k 0 (t)k dt olmak üzere 0. e¼ grisi. (f (s)) = (s) +. 11. 1 N (s) 2k2.

(21) ili¸skisini sa¼ glayan timelike Frenet e¼ grisidir. b; m; n =. 1 olmak üzere. ve. e¼ grilerinin e¼ grilik fonksiyonlar¬ ve Frenet vektörleri aras¬nda a¸sa¼ g¬daki ¸sartlar sa¼ glan¬r: k2 =. 1 ; 2. 6 0; jk1 j = jk2 j = jk3 j =. ve. jk3 j =. 1. 2 R+. ;. 1 p (T 2 B1 ), 2 N = nB2 ; m p (T + 2 B1 ) ; B1 = 2 B2 = bN . T =. I·spat. dan 1,. e¼ grisinin asli normali N; SpanfB1 ; B2 g spacelike düzleminde yatt¬g¼¬n; (2.1) denklemlerini sa¼ glayan null olmayan bir e¼ gridir. Burada. 3. =. 4. 1. =. 2. =. ginin kendisi ile skalar = 1 d¬r. Buna göre, N = aB1 + bB2 e¸sitli¼. çarp¬lmas¬yla g(N; N ) = a2 g(B1 ; B1 ) + 2abg(B1 ; B2 ) + b2 g(B2 ; B2 ) g(N; N ) = a2 + b2 bulunur. a2 + b2 > 0 olaca¼ g¬ndan g(N; N ) = 1, yani 2. =. 1 dir. S ¸imdi. 1. = 1 elde edilir. Dolay¬s¬yla. ; (3.1). (f (s)) = (s) + (s)N (s). ¸seklinde parametrize edilebilir. Burada s, e¼ grisinin pseudo yay uzunlu¼ gu paraZs 0 metresi; s = f (s) = (t) dt, e¼ grisinin yay uzunlu¼ gu parametresi; 0. f : I. R ! I. R ve. düzgün fonksiyonlard¬r.. e¼ grisinin k2 e¼ grili¼ gine. göre ispat¬m¬z¬iki alt duruma ay¬rabiliriz: (A.1) k2 = 0 ve (A.2) k2 6= 0. (A.1) k2 = 0 olsun. (3.1) denkleminin s ye göre türevi al¬n¬r ve (2.3) e¸sitli¼ ginden faydalan¬l¬rsa 0. T f0 = T +. N. (3.2). B1. bulunur. (3.2) denkleminin N = aB1 + bB2 ile çarp¬lmas¬yla. 0. = 0 elde edilir.. Bunu (3.2) denkleminde yerle¸stirirsek; T f0 = T. B1 ,. 12. 2 R0. (3.3).

(22) elde edilir. (3.3) denkleminden g(T f 0 ,T f 0 ) =. f 02 =. 2 bulunur ve böylelikle. f 02 = 2 = sabit 6= 0. (3.4). oldu¼ gu görülür. (3.3) denkleminin s ye göre türevinin al¬nmas¬yla ve (2.1), (2.3) k1 N f 02 = N. ve (3.4) denklemlerinin kullan¬lmas¬yla,. e¸sitli¼ gin N = aB1 + bB2 ile çarp¬lmas¬yla g(N; N ) =. 1. k3 B2 elde edilir. Son. = 0 elde edilir. Bu ise bir. çeli¸skidir. (A.2) k2 6= 0 olsun. (3.1) denkleminin s ye göre türevinin al¬nmas¬yla ve (2.3) Frenet çat¬s¬n¬n kullan¬lmas¬yla T f 0 = (1. k2 )T +. 0. N. (3.5). B1. buluruz. (3.5) denkleminin N = aB1 + bB2 ile çarp¬lmas¬yla 0. (3.6). =0. oldu¼ gu görülür. (3.6) e¸sitli¼ ginin (3.5) de yerle¸stirilmesiyle T f 0 = (1. k2 )T. (3.7). B1. bulunur. (3.7) denkleminin s ye göre türevinin al¬nmas¬yla ve (2.1), (2.3) Frenet çat¬lar¬n¬n kullan¬lmas¬yla k1 N f 02 + T f 00 = (1. k2 )0 T + (1. 2 k2 )N. k3 B2. (3.8). yaz¬labilir. (3.8) denkleminin N = aB1 + bB2 ile çarp¬lmas¬yla k2 =. 1 = sabit, 2. 2 R0. (3.9). bulunur. Ayr¬ca (3.7) denkleminden g(T f 0 ; T f 0 ) =. f 02 =. 2 (1. k2 ). (3.10). elde edilir. (3.9) in (3.10) de yerle¸stirilmesiyle f 02 =. = sabit;. bulunur. Böylelikle, f 0 (s) =. 13. p. 2 R+. (3.11). (3.12).

(23) elde edilir ve (3.9), (3.12) e¸sitlikleri (3.7) da yaz¬larak 1 T = p (T 2. (3.13). 2 B1 ). bulunur. Ayr¬ca (3.8), (3.9), (3.11) ve (3.12) ba¼ g¬nt¬lar¬ndan k1 N = k3 B2 elde edilir. Bu da gösterir ki k1 = nk3 , N = nB2 : Burada n =. (3.14). 1 dir. N = nB2 e¸sitli¼ ginin s ye göre türevinin al¬nmas¬yla ve (2.1),. (2.3) Frenet denklemlerinin uygulanmas¬yla a¸sa¼ g¬daki e¸sitlik elde edilir: (k1 T + k2 B1 )f 0 = nk3 T:. (3.15). (3.15) nin N = aB1 + bB2 ile çarp¬lmas¬yla ak2 f 0 = 0 bulunur. k2 = 0 ise (3.15) g¬ml¬d¬r. ba¼ g¬nt¬s¬ndan görülür ki timelike T vektörü ile null T vektörü lineer ba¼ Bu ise çeli¸skidir. Sonuç olarak a = 0 d¬r ve buradan (3.16). N = bB2. elde edilir. g(N; N ) = 1 ¸sart¬ndan b2 = 1 olarak elde edilir. (3.16) e¸sitli¼ ginin s ye göre türevini al¬r ve (2.1), (2.3) Frenet denklemleri kullan¬l¬rsa. k2 T. B1 =. bf 0 k3 B1 elde edilir. Son denklem ile birlikte (3.9) ve (3.12) kullan¬larak B1 =. 2. b p. k3. (T + 2 B1 ). (3.17). bulunur. Di¼ ger taraftan (3.12), (3.13), (3.14) ve (3.15) kullan¬larak k B1 = p 1 (T + 2 B1 ) 2 k2. (3.18). elde edilir. (3.13), (3.14), (3.16), (3.18) e¸sitliklerinin kullan¬lmas¬yla ve det(T ; N ; B1 ; B2 ) = 1 ¸sart¬yla k1 = mk2. m=. 1. (3.19). bulunur. (3.17) ve (3.19) birlikte ele al¬n¬rsa b k = 1 k3 k2. 14. (3.20).

(24) elde edilir. (3.19) denkleminin (3.20) e¸sitli¼ ginde yaz¬lmas¬yla k3 =. mb. ;. mb =. 1. sonucuna ula¸s¬l¬r. Bu sonuç (3.17) de yaz¬l¬rsa m B1 = p (T + 2 B1 ) 2 bulunur. Bu sonuçla teorem ispatlanm¬¸s olur. ; E42 uzay¬nda pozitif ve sabit k2 ikinci e¼ grili¼ gine sahip bir null. Teorem 3.2.. grisi, : I ! E42 e¼. e¼ gri olsun. E¼ ger. + (1=2k2 )N ile tan¬mlan¬rsa,. =. genelle¸stirilmi¸s null Mannheim e¼ gri ve. ,. e¼ grisinin genelle¸stirilmi¸s timelike. Mannheim e¸slenik e¼ grisidir. I·spat. s;. e¼ grisinin pseudo-yay parametresi ve s = f (s) =. Zs. 0. (t) dt,. 0. e¼ grisinin yay parametresi olmak üzere = ile tan¬mland¬g¼¬n¬ dü¸sünelim. görülür ki g. 0. ;. 0. gelir. Ayr¬ca f (s) = p 0 f = kullan¬l¬rsa. = p. e¼ grisinin (3.21). + (1=2k2 )N. = 1=2k2 (k2 2 R+ ) olarak al¬rsak kolayl¬kla. : Bu da. e¼ grisinin timelike e¼ gri oldu¼ gu anlam¬na. s olarak elde edilir. (3.21) denkleminin türevi al¬n¬r ve. 1 T = p (T 2 B1 ) (3.22) 2 oldu¼ gu görülür. (3.22) denkleminin türevi al¬n¬p, (2.1), (2.3) Frenet denklemleri kullan¬larak (3.23). k1 N = k3 B2 bulunur. Buradan da k1 = nk3 ;. N = nB2 ;. n=. 1. (3.24). oldu¼ gu görülür. N = nB2 e¸sitli¼ ginin türevinden 0. (3.25). (k1 T + k2 B1 ) f = nk3 T 02. 02. elde edilir. Son ifadeyi kendisiyle çarparsak ( k1 2 + k2 2 ) f = 0 bulunur. f 6= 0 oldu¼ gundan gerekli düzenlemeler yap¬ld¬g¼¬nda k1 = mk2 ;. 15. m=. 1. (3.26).

(25) 0. (3.22) denklemini (3.25) da yerle¸stirilip, (3.24) ve (3.26) denklemleri ve f =. p. kullan¬l¬rsa m B1 = p (T + 2 B1 ) 2. m=. 1. (3.27). bulunur. Son e¸sitli¼ gin türevi al¬n¬r ve (2.1), (2.3), (3.24) denklemleri kullan¬l¬rsa (3.28). k3 B2 = mN elde edilir. (3.22), (3.25), (3.27), (3.28) denklemleri kullan¬l¬r ve det(T ; N ; B1 ; B2 ) = 1 ¸sart¬göz önünde bulundurulursa k3 =. n. ;. n=. 1. elde edilir. Son e¸sitlik (3.28) denkleminde yerle¸stirilirse B2 =. (3.29). N. olarak bulunur. (3.22), (3.25), (3.27), (3.29) denklemleri kullan¬larak. ve. e¼ grilerinin çat¬lar¬aras¬ndaki ili¸ski 1 p (T 2 B1 ); 2 N = nB2 ; m p (T + 2 B1 ) ; B1 = 2 B2 = nmN; T =. m; n =. 1 d¬r.. e¼ grisinin asli normal vektör alan¬N , SpanfB1 ; B2 g spacelike. düzleminde yatt¬g¼¬ndan. genelle¸stirilmi¸s null Mannheim e¼ gri ve. da. e¼ grisinin. genelle¸stirilmi¸s timelike Mannheim e¸slenik e¼ grisidir. A¸sa¼ g¬daki sonuç Teorem 3.1 in A.1. ¸sart¬ndan kolayca görülebilir: Sonuç 3.1. E42 de null kübik genelle¸stirilmi¸s null Mannheim e¼ grisi bulunmamaktad¬r. (B) SpanfB1 ; B2 g düzlemi bir timelike düzlem olsun: Bu durumda SpanfB1 ; B2 g timelike düzleminin B1 ve B2 baz vektörlerinin nedensel karakterine ba¼ gl¬olarak üç teorem elde ettik. Bilindi¼ gi gibi bir timelike. 16.

(26) düzlem; spacelike ve timelike ortogonal birim vektörler ya da iki lineer ba¼ g¬ms¬z null vektör taraf¬ndan gerilir. Buna göre a¸sa¼ g¬daki alt durumlar¬ele alal¬m. B.1) B1 spacelike, B2 timelike ise; s;. e¼ grisinin pseudo-yay parametresi, s = f (s) =. Zs. 0. (t) dt;. 0. e¼ grisinin yay uzunlu¼ gu parametresi ve f : I. R ! I. R olmak üzere. e¼ grisi (3.30). (f (s)) = (s) + (s)N (s) ¸seklinde parametrize edilebilir. S ¸imdi. e¼ grisinin ikinci e¼ grili¼ gine göre B.1.1). k2 = 0 ve B.1.2) k2 6= 0 ¸seklinde iki alt duruma daha ay¬ral¬m. B.1.1) k2 = 0 olsun. (3.30) denkleminin s ye göre türevi al¬p, (2.3) çat¬s¬ndan faydalanarak T f0 = T +. 0. N. 1. B1 0. bulunur. Son denklemin N = aB1 + bB2 ile çarp¬lmas¬yla. = 0 elde edilir ve. tekrar düzenlenmesiyle T f0 = T. 1. B1 ,. (3.31). 2 R0. elde edilir. (3.31) denkleminden g(T f 0 ,T f 0 ) =. 1f. 02. =. 2. 1. bulunur. Böyle-. likle f 02 =. 2. = sabit 6= 0. 1 1. (3.32). oldu¼ gu görülür. (3.31) denkleminin s ye göre türevinin al¬nmas¬yla ve (2.1), (2.3) ve (3.32) e¸sitliklerinin kullan¬lmas¬yla. 2 k1 N. e¸sitli¼ gi de N = aB1 + bB2 ile çarparsak. 1. f 02 = N. 1. k3 B2 bulunur. Bu. = 0 elde edilir ki bu bir çeli¸skidir.. B.1.2) k2 6= 0 olsun. (3.30) denkleminin s ye göre türevi al¬n¬p (2.3) çat¬s¬ndan faydalan¬l¬rsa T f 0 = (1. 1. k2 ) T +. 0. N. 1 B1. (3.33). bulunur. Son denklemin N = aB1 + bB2 ile çarp¬lmas¬yla 0. 2 R0. = 0;. 17. (3.34).

(27) elde edilir ve (3:33) e¸sitli¼ ginde yerle¸stirilirse T f 0 = (1. k2 ) T. 1. (3.35). 1 B1. bulunur. (3:35) denkleminin türevinden 2 k1 N. 00. f 02 + T f = (1. 0. k2 ) T + (1. 1. 2. k2 ) N. 1. (3.36). k3 B2. 1. oldu¼ gu görülür. (3:36) denkleminin N = aB1 + bB2 ile çarp¬lmas¬yla ve (3:34) e¸sitli¼ ginin de kullan¬lmas¬yla k2 =. 1. 2. (3.37). 2 R0. ;. elde edilir. Ayr¬ca yine (3:35) denkleminden g (T f 0 ; T f 0 ) =. 1f. 02. =. 2. 1. (1. 1. (3.38). k2 ). bulunur. (3:37), (3:38) denkleminde yerle¸stirilir ve düzenlenirse f 02 =. (3.39). 1 1. oldugu görülür. Buldu¼ gumuz (3:37) ve (3:39) e¸sitliklerinin (3:35) e¸sitli¼ ginde yerle¸stirilmesiyle T = p 2. elde edilir. S ¸imdi de B.1.2.a). 1 1. 1. (T. 2. 1. (3.40). B1 ). 1 1. = 1;. < 0 ve B.1.2.b). 1 1. =. 1;. > 0. olmak üzere iki durumu ayr¬ayr¬inceleyece¼ giz. B.1.2.a). 1 1. = 1 ve. < 0 ise; bu ¸sarta göre (3:39) ve (3:40) e¸sitlikleri. s¬ras¬yla f 02 =. (3.41). ve 1 T = p 2. (T. 2. 1. B1 ). olarak düzenlenir. (3:41) e¸sitli¼ gini (3:36) denkleminde yerle¸stirirsek. (3.42) k1 N =. k3 B2 elde edilir ve k1 = mk3 ;. N = mB2 ;. 18. m2 = 1. (3.43).

(28) olarak yaz¬labilir. N = mB2 e¸sitli¼ ginin türevinden (. 0. 1 k1 T. + k2 B1 ) f =. (3.44). m 2 k3 T 0. (3:44) denkleminin N = aB1 + bB2 ile çarp¬m¬ndan ak2 f = 0 buluruz. k2 = 0 ise (3:44) e¸sitli¼ ginde null T ile null olmayan T vektörlerinin kolineer oldu¼ gu görülür. 0. f = 0 olmas¬halinde de çeli¸ski olaca¼ g¬ndan a = 0 d¬r. Bu durumda (3.45). N = bB2 olarak yazabiliriz. g(N; N ) = 1. =. 1 ve. 2. =. 2. 1. b2 oldu¼ gundan. =. 1. =. 1; dolay¬s¬yla da. = 1 oldu¼ gunu söyleyebiliriz. Ayr¬ca b2 = 1 dir. (3:45) 0. denkleminin türevinden k2 T + B1 =. bk3 B1 f elde edilir. Son denklem, (3.37). kullan¬larak düzenlenirse B1 =. b p. (T. 2 k3. 2 B1 ). (3.46). olarak bulunur. Di¼ ger taraftan (3:42), (3:43) ve (3:44) denklemleri düzenlenirse k1 p. B1 =. (T. 2k3. 2 B1 ). (3.47). elde edilir. (3:42), (3:43), (3:45), (3:47) e¸sitliklerinin det(T ; N ; B1 ; B2 ) = 1 olmas¬¸sart¬ndan jk1 j = jk2 j elde edilir. Ayr¬ca g(B1 ; B1 ) = 1 oldu¼ gunu (3:46) denkleminde göz önüne al¬rsak k3 2 =. 1 2. olarak bulunur. B.1.2.b). 1 1. =. 1 ve. > 0 ise; benzer i¸slemler yap¬larak. B1 =. b p (T 2 k3. 2 B1 ). elde edilir. Ancak g(B1 ; B1 ) = 1 ¸sart¬n¬göz önünde bulundurursak k3 2 =. 1=. 2. elde edilir ki bu ise çeli¸skidir. Teorem 3.3.. : I ! E42 e¼ grisinin timelike asli normal vektör alan¬N ; Mannheim. e¸sleni¼ gi olan. : I ! E42 e¼ grisinin s¬ras¬yla birinci ve ikinci binormal vektör 19.

(29) alanlar¬B1 (spacelike) ve B2 (timelike) taraf¬ndan gerilen SpanfB1 ; B2 g timelike düzleminde yatan genelle¸stirilmi¸s bir null Mannheim e¼ grisi olsun. Bu durumda e¼ grisi timelike Frenet e¼ grisidir ve bu e¼ grilerin e¼ grilik fonksiyonlar¬ ile Frenet vektörleri aras¬nda a¸sa¼ g¬daki ¸sartlar sa¼ glan¬r: k2 =. 1 1 ; jk1 j = jk2 j = jk3 j = 6 0; jk3 j = ; 2. 2 R0. ve 1 p (T + 2 B1 ), 2 N = mB2 , b p B1 = (T 2 B1 ) ; 2 B2 = bN: T =. Burada b; m =. 1 d¬r.. B.2) B1 timelike, B2 spacelike ise; B.1 de yap¬lan i¸slemlere benzer olarak a¸sa¼ g¬daki teoremler elde edilir. I·spatlar benzer oldu¼ gu için burada verilmemi¸stir. Teorem 3.4.. grisi spacelike asli normal vektör alan¬N ; Mannheim : I ! E42 e¼. e¸sleni¼ gi olan. : I ! E42 e¼ grisinin s¬ras¬yla birinci ve ikinci binormal vektör. alanlar¬B1 (timelike) ve B2 (spacelike) taraf¬ndan gerilen SpanfB1 ; B2 g timelike düzleminde yatan genelle¸stirilmi¸s bir null Mannheim e¼ grisi olsun. Bu durumda e¼ grisi spacelike Frenet e¼ grisidir ve bu e¼ grilerin e¼ grilik fonksiyonlar¬ile Frenet vektörleri aras¬nda a¸sa¼ g¬daki ¸sartlar sa¼ glan¬r: k2 =. 1 1 ; ; jk1 j = jk2 j = jk3 j = 6 0; jk3 j = 2. ve 1 p (T 2 N = mB2 , k p1 B1 = k2 T =. B1 = bN . Burada b; m =. 1 d¬r.. B.3) B1 ve B2 null ise;. 20. 2 B1 ),. 1 T + B1 , 2. 2 R0.

(30) grisi genelle¸stirilmi¸s Mannheim e¼ grisi ve onun partially null : I ! E42 e¼ e¸slenik e¼ grisi de. : I ! E42 ise. ; (3.48). (f (s)) = (s) + (s)N (s). olarak parametrize edilebilir. Burada s, n¬n pseudo-yay parametresi; s = Zs 0 f (s) = (t) dt, ¬n yay uzunlu¼ gu parametresi; f : I R ! I R 0. ve. düzgün fonksiyondur. S ¸imdi. e¼ grisinin k2 e¼ grili¼ gine göre ispat¬m¬z¬B.3.1). k2 = 0 ve B.3.2) k2 6= 0 olmak üzere iki alt duruma daha ay¬ral¬m. B.3.1) k2 = 0 olsun. (3.48) denkleminin s ye göre türevi al¬n¬r ve (2.3) çat¬s¬ndan faydalan¬l¬rsa T f0 = T +. 0. N. 1 B1. 0. bulunur. Son denklemin N = aB1 + bB2 ile çarp¬lmas¬yla. = 0 elde edilir ve. tekrar düzenlenmesiyle T f0 = T. 1. B1 ,. (3.49). 2 R0. elde edilir. (3.49) denkleminden g(T f 0 ,T f 0 ) =. 1f. 02. =. 2. 1. bulunur. Böyle-. likle f 02 =. 2. = sabit 6= 0. 1 1. (3.50). oldu¼ gu görülür. (3.49) denkleminin s ye göre türevinin al¬nmas¬yla ve (2.3), (2.7) ve (3.50) denklemlerinin kullan¬lmas¬yla k1 N f 02 = N e¸sitli¼ gi de N = aB1 + bB2 ile çarparsak. 1. 1. k3 B2 bulunur. Bu. = 0 elde edilir ki bu bir çeli¸skidir.. B.3.2) k2 6= 0 olsun. (3.48) denkleminin s ye göre türevi al¬n¬r ve (2.3) çat¬s¬ndan faydalan¬l¬rsa T f 0 = (1. 1. k2 ) T +. 0. N. 1. B1. bulunur. Son denklemin N = aB1 + bB2 ile çarp¬lmas¬yla. 0. = 0 elde edilir ve. tekrar düzenlenmesiyle T f 0 = (1. 1. k2 ) T. 21. 1. B1 ,. 2 R0. (3.51).

(31) bulunur. (3.51) denkleminin tekrar türevini al¬r ve (2.3), (2.7) Frenet denklemleri kullan¬l¬rsa 00. k1 N f 02 + T f = (1. 1. 0. k2 ) T + (1. 2. 1. k2 ) N. 1. k3 B2. (3.52). oldu¼ gu görülür. (3.52) denklemi N = aB1 + bB2 ile çarp¬l¬rsa 1. k2 =. 2. (3.53). 2 R0. = sabit;. elde edilir. Ayr¬ca (3.51) e¸sitli¼ ginden g (T f 0 ; T f 0 ) =. 1f. 02. =. 2. 1. (1. 1. (3.54). k2 ). oldu¼ gu görülür. (3.53), (3.54) denkleminde yerine yaz¬l¬rsa; f. 02. =. 1 1. elde. edilir. (3.52), (3.53) ve son e¸sitlikten. 1 k1 N. = k3 B2. bulunur. Son e¸sitlik gösterir ki; 1 k1. m=. = mB2 ;. (3.55). N = mB2 ;. 1 d¬r. N = mB2 denkleminin türevinden 0. (k1 T + k2 B1 ) f = m (. (3.56). 2 k3 T ). 0. elde edilir. (3.56) denklemi, N = aB1 + bB2 ile çarp¬l¬rsa bk2 f = 0 yaz¬labilir. E¼ ger k2 = 0 ise; (3.56) denkleminden görülür ki null olmayan T vektörü, null T vektörü ile kolineerdir. Bu bir çeli¸skidir. S ¸ayet b = 0 ise N = aB1 d¬r. Null olmayan N vektörü, null B1 vektörü ile kolineer oldu¼ gu görülür ki bu da bir çeli¸skidir. Buna göre a¸sa¼ g¬daki teoremi verebiliriz: Teorem 3.5. E42 de Mannheim e¼ gri çifti partially null olan genelle¸stirilmi¸s null Mannheim e¼ grisi bulunmamaktad¬r. Örnek 3.1. E42 de a¸sa¼ g¬da denklemi verilen bir null e¼ grisini ele alal¬m: (s) =. sinh (As) cosh (Bs) cosh (As) sinh (Bs) p ; p ; p ; p 2A 2B 2A 2B. 22.

(32) e¼ grisinin Frenet çat¬s¬ cosh (As) sinh (Bs) sinh (As) cosh (Bs) p p p p ; ; ; ; 2 2 2 2 A B A B p sinh (As) ; p cosh (Bs) ; p cosh (As) ; p sinh (Bs) ; = 2 2 2 2 cosh (As) sinh (Bs) sinh (As) cosh (Bs) p p p p ; ; ; ; = 2 2 2 2 B A B A p sinh (As) ; p cosh (Bs) ; p cosh (As) ; p sinh (Bs) = 2 2 2 2 p p p p Burada A = 1 + 2 ve B = 1 + 2 ve e¼ grisinin e¼ grilikleri; p k2 (s) = 2, k3 (s) = 1 dir. Kolayl¬kla görülür ki e¼ grisi asli normali. T (s) = N (s) B1 (s) B2 (s) ile verilir. k1 (s) = 1,. timelike olan bir null e¼ gridir. Teorem 3.3. den Mannheim e¼ gri çifti. =. p 4. 2. elde edilir.. e¼ grisinin. a¸sa¼ g¬da verilen timelike e¼ gri olarak elde edilir: p 2 (s) = (s) N (s) 4. yani;. p p 2 2 A2 2 2 B2 (s) = ( sinh (As) ; cosh (Bs) ; 4A p p 4B 2 2 2 B2 2 2 A cosh (As) ; sinh (Bs)): 4A 4B e¼ grisinin Frenet çat¬s¬: p p 2+1 2 1 T (s) = ( p cosh (As) ; p sinh (Bs) ; 4 2 2 242 p p 2+1 2 1 p sinh (As) ; p cosh (Bs)); 4 2 2 242. B A B A N (s) = ( p sinh (As) ; p cosh (Bs) ; p cosh (As) ; p sinh (Bs)); 2 2 2 2 p. p 2 1 2+1 B1 (s) = ( p cosh (As) ; p sinh (Bs) ; 4 2 2 242 p p 2 1 2+1 p sinh (As) ; p cosh (Bs)) 4 2 2 242 A B A B B2 (s) = ( p sinh (As) ; p cosh (Bs) ; p cosh (As) ; p sinh (Bs)) 4 4 4 4 2 2 2 2 p d¬r. e¼ grisinin e¼ grilikleri; k1 (s) = k2 (s) = 1, k3 (s) = 2 2 olarak bulunur. Örnekteki genelle¸stirilmi¸s null Mannheim e¼ gri ve onun timelike e¸slenik e¼ grisinin s¬ras¬yla x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 ve x4 = 0 uzaylar¬ndaki izdü¸sümleri a¸sa¼ g¬da verilmi¸stir.. 23.

(33) 2460. 20. 40. 60. 20. 0. - 20. Sekil ¸ 3.1. Genelle¸stirilmi¸s null Mannheim β e˘grisi (mavi) ve onun timelike Mannheim e¸sleni˘gi β ∗ e˘grisinin (siyah) x1 = 0 uzayına izdü¸sümü. 1. 0. 4. -1. 2. 1.5. 2.0 0. Sekil ¸ 3.2. Genelle¸stirilmi¸s null Mannheim β e˘grisi (mavi) ve onun timelike Mannheim e¸sleni˘gi β ∗ e˘grisinin (siyah) x2 = 0 uzayına izdü¸sümü. 24.

(34) -20. 0. 20. 5. 0. -5. 60. 40. 20. 0. Sekil ¸ 3.3. Genelle¸stirilmi¸s null Mannheim β e˘grisi (mavi) ve onun timelike Mannheim e¸sleni˘gi β ∗ e˘grisinin (siyah) x3 = 0 uzayına izdü¸sümü. -5 100 0 50 5. 2. 4. 6. 0. Sekil ¸ 3.4. Genelle¸stirilmi¸s null Mannheim β e˘grisi (mavi) ve onun timelike Mannheim e¸sleni˘gi β ∗ e˘grisinin (siyah) x4 = 0 uzayına izdü¸sümü. 25.

(35) g¬da denklemi verilen bir null e¼ grisini ele alal¬m: Örnek 3.2. E42 de a¸sa¼ (s) =. sinh (As) cosh (Bs) cosh (As) sinh (Bs) p ; p ; p ; p 2A 2B 2A 2B. :. e¼ grisinin Frenet çat¬s¬ cosh (As) sinh (Bs) sinh (As) cosh (Bs) p p p p ; ; ; ; 2 2 2 2 A B A B p sinh (As) ; p cosh (Bs) ; p cosh (As) ; p sinh (Bs) ; = 2 2 2 2 cosh (As) sinh (Bs) sinh (As) cosh (Bs) p p p p ; = ; ; ; 2 2 2 2 B A B A p sinh (As) ; p cosh (Bs) ; p cosh (As) ; p sinh (Bs) = 2 2 2 2 p p p p 1 + 2 ve e¼ grisinin e¼ grilikleri; Burada A = 1 + 2 ve B = p k2 (s) = 2, k3 (s) = 1 dir. Kolayl¬kla görülür ki e¼ grisi asli normali. T (s) = N (s) B1 (s) B2 (s) ile verilir. k1 (s) = 1,. spacelike olan bir null e¼ gridir. Teorem 3.4. den Mannheim e¼ gri çifti. =. p 4. 2. elde edilir.. e¼ grisinin. a¸sa¼ g¬da verilen spacelike e¼ gri olarak elde edilir: p 2 (s) = (s) N (s) 4. yani; p. p 2 1 2+1 (s) = ( sinh (As) ; cosh (Bs) ; 4A 4B p p 2 1 2+1 cosh (As) ; sinh (Bs)): 4A 4B e¼ grisinin Frenet çat¬s¬: p p 2 1 2+1 cosh (As) ; p sinh (Bs) ; T (s) = ( p 4 2 2 242 p p 2 1 2+1 p sinh (As) ; p cosh (Bs)); 4 2 2 242 B A B A N (s) = ( p sinh (As) ; p cosh (Bs) ; p cosh (As) ; p sinh (Bs)); 2 2 2 2. B1 (s) =. p. p 2+1 2 1 ( p cosh (As) ; p sinh (Bs) ; 4 2 2 242 p p 2+1 2 1 p sinh (As) ; p cosh (Bs)); 4 2 2 242. A B A B B2 (s) = ( p sinh (As) ; p cosh (Bs) ; p cosh (As) ; p sinh (Bs)) 2 2 2 2. 26.

(36) d¬r.. p 1; k2 (s) = 1, k3 (s) = 2 2 olarak bulunur.. eg¼risinin eg¼rilikleri; k1 (s) =. Örnekteki genelles¸tirilmis¸ null Mannheim eg¼ri ve onun spacelike es¸lenik eg¼risinin s¬ras¬yla x1 = 0 , x2 = 0, x3 = 0 ve x4 = 0 uzaylar¬ndaki izdüs¸ümleri as¸ag¼¬da verilmis¸tir.. 1.5. 2.0. 1. 0. -1. 4 2 0. Sekil ¸ 3.5. Genelle¸stirilmi¸s null Mannheim β e˘grisi (mavi) ve onun spacelike Mannheim e¸sleni˘gi β ∗ e˘grisinin (siyah) x1 = 0 uzayına izdü¸sümü. 1. 0. -1 5. 0 0 2. 4 -5. Sekil ¸ 3.6. Genelle¸stirilmi¸s null Mannheim β e˘grisi (mavi) ve onun spacelike Mannheim e¸sleni˘gi β ∗ e˘grisinin (siyah) x2 = 0 uzayına izdü¸sümü. 27.

(37) 2.0-5 1.5 0. 5. 1. 0. -1. Sekil ¸ 3.7. Genelle¸stirilmi¸s null Mannheim β e˘grisi (mavi) ve onun timelike Mannheim e¸sleni˘gi β ∗ e˘grisinin (siyah) x3 = 0 uzayına izdü¸sümü. -5. 0. 5. 4. 2. 0 2.0 1.5. Sekil ¸ 3.8. Genelle¸stirilmi¸s null Mannheim β e˘grisi (mavi) ve onun timelike Mannheim e¸sleni˘gi β ∗ e˘grisinin (siyah) x4 = 0 uzayına izdü¸sümü. 28.

(38) (C) SpanfB1 ; B2 g düzlemi bir lightlike düzlem olsun: Bu durumda da SpanfB1 ; B2 g lightlike düzleminin B1 ve B2 baz vektörlerinin nedensel karakterine ba¼ gl¬ olarak dört teorem elde ettik. Bilindi¼ gi gibi bir lightlike düzlem; spacelike ve null birim vektörler taraf¬ndan gerilir. I·lk teoremimizde B1 spacelike, B2 null vektörler olarak ele al¬nd¬. Teorem 3.6. I üzere. grisi ve R ! E42 genelle¸stirilmi¸s null Mannheim e¼. : I. R ! E42 e¼ grisi de. :. e¼ grisinin genelle¸stirilmi¸s Mannheim e¸slenik e¼ grisi olmak e¼ grisinin spacelike B1 ve null. n¬n spacelike asli normal vektör alan¬N ,. B2 vektörleri taraf¬ndan gerilen SpanfB1 ; B2 g lightlike düzleminde yats¬n. Bu durumda. bir pseudo null e¼ gri olup a¸sa¼ g¬daki iki durumdan birisi sa¼ glan¬r:. i) k2 = 0 ise. ve. e¼ grisinin e¼ grilik fonksiyonlar¬ ve Frenet vektörleri. aras¬ndaki ili¸ski a¸sa¼ g¬daki gibidir: c1. k3 =. k2 =. ;. c2 ; 2 2. k3 = 0. ve T =. 1 p (T 2. N =. 1 (N 2. B1 ) ,. c1 B2 ) ,. c2 B1 = p (T + B1 ) ; 2 B2 =. (N + c1 B2 ). d¬r. Burada c1 ; c2 =. 1 d¬r.. ii) k2 =sabit6= 0 ise. ve. e¼ grisinin e¼ grilikleri ve Frenet vektörleri aras¬n-. daki ili¸ski a¸sa¼ g¬daki gibidir:. jk3 j =. k3 =. 1. 2 k2. ;. jk2 j =. 1 4 (1. 1 2. 2. 2 k2 ; (1 k2 ). ( + k2 )2 +. k 2 ) k2. 29. 2 2 k3.

(39) E4 " ' . . . . 8;4 E4A8;8A.

(40)

(41) 0 .

(42) 0 "

(43) .

(44) 0

(45)

(46) 0 . . *0 +0 ' 0

(47)

(48) 0 . . ".

(49) 0 . 0. '. *

(50)

(51) 0 . . . ' 0 *

(52)

(53) 0 0 0 , ' 0 +

(54)

(55) 0 0 . 6A8B8 E4 >=D= "0==748< 9 20'3 DI0HR=30 64=4;;4TBC8A8;<8TB =D;; "0==748< 4U 6A8B8 >;BD= 4U 6A8B8 4TB;4=8U 68 34 4U , 8 8

(56) 8 8.

(57) . TB4:;8=34 ?0A0<4CA8I4 438;418;8A DA030 8 4U 6A8B8=8= ?B4D3>H0H DID=;DU 6D ?0A0 !. . 9 *9 4U <4CA4B8 8 , 8 6A8B8=8= H0H DID=;DU 6D ?0A0<4CA4B8 . , E4

(58) 3[I6[= 5>=:B8H>=;0A3RA 4U 6A8B8=8= 0 4U 6A8;8U 68=4 6ZA4 8B?0CR<RIR 8:8 0;C 3DAD<0 0HRA018;8A8I 0 E4 0

(59) 0 >;BD=

(60) 34=:;4<8=8= 8 H4 6ZA4 C[A4E8 0;R=RA E4

(61) A4=4C 34=;4<;4A8 :D;. ;0=R;RAB0 " , "

(62) 1D;D=DA (>= 34=:;4<8=8=. .

(63) . ( 8;4 Y0A?R;<0BRH;0

(64) 4;34 438;8A. >;0H;R:;0 " , "

(65)

(66) .

(67) . >;3DU 6D 6ZA[;[A DA030 >;0A0: 85034 438;8A

(68) 34=:;4<8=34= -" , " , ,

(69) 1D;D=DA E4 1ZH;4;8:;4 ,

(70) B018C

(71)

(72) .

(73) .

(74) yaz¬labilir. (3.58) denkleminin s ye göre türevinin al¬nmas¬yla ve (2.3), (2.5), (3.59) denklemlerinin kullan¬lmas¬yla; N f 02 = N. (3.60). k3 B2 2 2 k3. elde edilir. Son e¸sitli¼ gin gösterir ki; g (N f 02 ; N f 02 ) = 1 c1. k3 =. ;. c1 =. = 0 d¬r. Buradan (3.61). 1. elde edilir. (3.59) ve (3.61) e¸sitliklerini (3.60) denkleminde yerle¸stirirsek N =. 1 N 2. c1 B2 2. bulunur. Son e¸sitli¼ gin s ye göre türevi al¬n¬p, (2.3), (2.5) ve (3.61) denklemlerinin kullan¬lmas¬yla 1 2 k2 f 0. B1 =. 1. (3.62). T + B1. elde edilir. g (B1 ; B1 ) = 1 oldu¼ gu göz önünde bulundurulursa k2 =. c2 ; 2 2. c2 =. (3.63). 1. bulunur. (3.62) denkleminin s ye göre türevi al¬n¬p, (2.3) ve (2.5) denklemlerinin kullan¬lmas¬yla k3 N. k2 B2 =. 1 2 k2 f 0. 1. N+. elde edilir. Son e¸sitli¼ gin kendisiyle çarp¬lmas¬yla. c1. B2. 2k2 k3 = 0 oldu¼ gu görülür.. (3.63) e¸sitli¼ ginden k2 s¬f¬r olamayaca¼ g¬ndan k3 = 0 bulunur. Böylelikle B2 =. (N + c1 B2 ). oldu¼ gu görülür. Bu da i) ¸s¬kk¬n¬ispatlar. (C.2) k2 6= 0 olsun. (3.57) denkleminin s ye göre türevi al¬n¬r ve (2.3) e¸sitli¼ ginden faydalan¬l¬rsa T f 0 = (1. k2 ) T +. çarp¬lmas¬yla. 0. 0. B1 bulunur. Son e¸sitli¼ gin N =. N. B1 + bB2 ile. = 0 elde edilir. Bu durumda T =. 1. k2 f0. T. 31. f0. B1 ;. 2 R0. (3.64).

(75) oldu¼ gu görülür. g (T ; T ) =. 1 ¸sart¬ndan f 02 = 2 (1. elde edilir. f 02 > 0 oldu¼ gundan. (3.65). k2 ). sabiti ve k2 e¼ grili¼ gi aras¬ndaki ili¸ski a¸sa¼ g¬daki. durumlar¬sa¼ glar: 1 a) 6= ; k2 b) > 0 ise k2 < 1; c). < 0 ise k2 > 1:. (3.64) e¸sitli¼ ginin s ye göre türevi al¬n¬p, (2.3), (2.5) ve (3.65) denklemlerinin kullan¬lmas¬yla 0. k2 T+ 2f 0 2. N =. 1. 3. 2 k2 f 02. N. f. 0. k2. 04. B1. k3 B2 f 02. (3.66). elde edilir. k2 e¼ grili¼ ginin sabit olup olmamas¬na göre (C.2.1) k2 6=sabit ve (C.2.2) k2 =sabit6= 0 olmak üzere iki alt duruma ay¬r¬p inceleyelim. (C.2.1) k2 6=sabit ise: (3.66) ve g(N ; N ) = 0 ¸sart¬gösterir ki: 4. k32. =. 0. 0. k22 + f 2 (1 2 02 f. 2 k2 )2. d¬r. (3.65) e¸sitli¼ gi son denklemde yerle¸stirilirse 3. k32. =. k22 + 2 (1 2 k2 )2 (1 2 2 (1 k2 ) 0. k2 ). (3.67). olarak elde edilir. (3.66) denkleminde 0. m=. k2 1 2 k2 n= p= 02 ; 2f f 02. 3. f. 0. k2. q=. 04. k3 f 02. (3.68). al¬n¬r ve yerle¸stirilirse N = mT + nN + pB1 + qB2 haline gelir. Bu e¸sitli¼ gin türevini al¬rsak; 0. k2 B1 f =. m. 0. + p elde edilir. Son e¸sitli¼ gin N = 0. 0. nk2 + qk3 T + m + n + pk2 N 0. (3.69). 0. n B1 + pk3 + q B2 B1 + bB2 ile çarp¬lmas¬yla. 0. 0. k2 f = m + n + pk2. 0. bulunur. S ¸imdi k2 f = m + n + pk2 oldu¼ gunu farzedelim. Böylelikle (3.69) e¸sitli¼ ginden B1 =. m. 0. nk2 + qk3 k2 f 0. 0. T +N +. 32. p n k2 f 0. B1 +. pk3 + q k2 f 0. 0. B2.

(76) bulunur. g(B1 ; B1 ) = 1 ¸sart¬göz önüne al¬n¬rsa 2 m. 0. nk2 + qk3. p. 0. n. pk3 + q. 2. 0. (3.70). =0. elde edilir. (3.67) ve (3.68) e¸sitliklerinin kullan¬lmas¬yla m. 0. 00. k2. nk2 + qk3 =. ve p. 0. 00. 2. k2. n=. 2. (1. (1. k2 ). 0. 2 3 k22 4 2 (1 0. 2 3 k22 4 (1. k2 ). k2 )2 (1. 2 (1 k2 )2. k2 )2 (1. 2 (1 k2 )3. 2 k2 ). 2 k2 ). (3.71). (3.72). oldu¼ gu görülebilir. Bu iki e¸sitli¼ gin aras¬nda m. 0. nk2 + qk3 =. (1. k2 ). p. 0. (3.73). n. ¸seklinde bir ili¸ski vard¬r. (3.73), (3.70) denkleminde yerle¸stirilirse 2. 1. k2. p. 2. 0. n. pk3 + q. 0. 2. =0. bulunur. k2 6= 0 oldu¼ gundan son e¸sitlikten görülür ki p. 0. (3.74). n=0. ve 0. (3.75). pk3 + q = 0: (3.67) ve (3.68) e¸sitliklerinin kullan¬lmas¬yla 0. pk3 + q =. 0. 00. k2 k 2. 2. (1. 0. k2 ) + 2 3 k22. (1. 4 k3 (1. k2 ) (1. 2 k2 ) (1 + 2 k2 ). 3. k2 ). (3.76). olarak hesaplan¬r. Ayr¬ca (3.72) ve (3.74) den 00. k2. 2. (1. 0. 2 3 k22. k2 ). 2 (1. k2 )2 (1. 2 k2 ) = 0. (3.77). ve benzer olarak (3.75) ve (3.76) e¸sitliklerinden h 00 0 k2 k2. 2. (1. 0. k2 ) + 2 3 k22. (1. k2 ) (1. elde edilir. (3.77) ve (3.78) den görülür ki k2 = Bu da k2 6= sabit ¸sart¬m¬zla çeli¸sir. (C.2.2) k2 = sabit6= 0 ise:. 33. i 2 k2 ) (1 + 2 k2 ) = 0. (3.78). 1 1 =sabit ve k2 = =sabittir. 2.

(77) k2 = sabit6= 0 oldu¼ gundan (3.66) e¸sitli¼ gi 1. N =. 2 k2 f 02. N. k3 B2 f 02. (3.79). olarak düzenlenebilir. g (N ; N ) = 0 oldu¼ gundan k32. =. 2 k2 )2. (1. 2. (3.80). = sabit. elde edilir. (3.79) e¸sitli¼ ginde d=. 1. 2 k2 ; f 02. k3 f 02. e=. (3.81). al¬rsak (3.82). N = dN + eB2. 0. haline gelir. Aç¬kt¬r ki d ve e sabittir. (3.82) e¸sitli¼ ginin türevi al¬n¬rsa k2 B1 f = ( dk2 + ek3 ) T. dB1 bulunur. Son e¸sitlik düzenlenirse dk2 + ek3 k2 f 0. B1 =. T. d B1 k2 f 0. (3.83). oldu¼ gu görülür. g(B1 ; B1 ) = 1 ¸sart¬ndan 2d2 k2. 2edk3 = k2 2 f. 02. elde edilir. (3.65), (3.80) ve (3.81) e¸sitlikleri göz önünde bulundurularak gerekli hesaplamalar yap¬ld¬g¼¬nda k2. 2. 2 k2 )2 = 4 4 (1 k2 )2 (1. bulunur. (3.83) denkleminde =. dk2 + ek3 ; k2 f 0. =. d k2 f 0. ; = sabit. olarak al¬rsak B1 = T + B1 haline dönü¸sür. Son e¸sitli¼ gin türevinden (k3 N. 0. k2 B2 ) f = ( + k2 ) N + k3 B2. elde edilir. (3.84) kendisiyle çarp¬l¬rsa kolayl¬kla k3 =. 1 4 (1. ( + k2 )2 +. k 2 ) k2. 34. 2 2 k3. (3.84).

(78) oldu¼ gu görülür. (3.82) e¸sitli¼ gi (3.84) de yerle¸stirilirse B2 =. 1 k2 f 0. k3 df. 0. k2 N + k3 ef. 0. k3 B2. elde edilir. Böylelikle (ii) ¸sart¬da ispatlan¬r. Bu ispat¬n (C.2.1) durumuna göre ¸su sonucu söyleyebiliriz: E42 uzay¬nda spacelike asli normal vektör alan¬ N , pseudo null. Sonuç 3.2.. e¸sleni¼ gine ait spacelike B1 ve null B2 vektörleri taraf¬ndan gerilen SpanfB1 ; B2 g lightlike düzleminde yatan genelle¸stirilmi¸s null Mannheim e¼ grisinin, ikinci e¼ grili¼ gi (k2 ) sabit olmal¬d¬r. Asli normali timelike olan genelle¸stirilmi¸s null Mannheim e¼ grisi için a¸sa¼ g¬daki teoremi verebiliriz. Teorem 3.7. E42 uzay¬nda timelike asli normal vektör alan¬ N , pseudo null e¸sleni¼ gine ait spacelike B1 ve null B2 vektör alanlar¬taraf¬ndan gerilen SpanfB1 ; B2 g lightlike düzleminde yatan genelle¸stirilmi¸s null Mannheim e¼ grisi bulunmamaktad¬r. I·spat. Bir e¼ grinin asli normal vektör alan¬N , SpanfB1 ; B2 g düzleminde yat¬yorsa a; b 2 R olmak üzere N = aB1 + bB2 olarak yaz¬l¬r. N timelike vektör oldu¼ gundan (2.4) ve (2.6) e¸sitliklerinden g (N; N ) = a2 =. 1 olarak hesaplan¬r.. Bu ise çeli¸skidir. A¸sa¼ g¬daki teoremlerimizde null B1 ve spacelike B2 vektörleri taraf¬ndan gerilen SpanfB1 ; B2 g lightlike düzlemini ele ald¬k. I·spat¬Teorem 3.6 ile benzer olarak yap¬labilir. Teorem 3.8.. : I. R ! E42 asli normal vektör alan¬ N spacelike olan bir. genelle¸stirilmi¸s null Mannheim e¼ grisi ve. :I. genelle¸stirilmi¸s Mannheim e¸slenik e¼ grisi olmak üzere alan¬ N ,. R ! E42 e¼ grisi de. e¼ grisinin. e¼ grisinin asli normal vektör. e¼ grisinin null B1 ve spacelike B2 vektör alanlar¬ taraf¬ndan gerilen. lightlike SpanfB1 ; B2 g düzleminde yats¬n. Bu durumda a¸sa¼ g¬daki iki durumdan birisi sa¼ glan¬r:. 35. bir null e¼ gri olup.

(79) i) k2 = 0 ise. e¼ grisinin e¼ grilikleri. p. sinh2. 1 k2 =. ve 2 s 2. cosh2. 2 s 2. p. jk3 j = cosh6. ;. p. 2 s 2. jk3 j =. ;. 1 p. cosh2. 2 s 2. ;. Frenet vektörleri aras¬ndaki ili¸ski;. T =. 2 s 2 p 2 s 2. cosh4. T+. p. 2 s 2. 2 sinh. cosh3. 1. N. p. 2 s 2. B1 ,. p. cosh2. 2 s 2. sgn(k3 )B2 ,. N =. p. B1 = cosh2. 2 s 2. T; 0 p. sgn(k3 ) @. B2 =. dir. Burada c1 ; c2 =. 2 s 2. ve. 6= 0;. 2. 2. 0. NA. T. e¼ grisinin e¼ grilikleri;. 02. 2. 2 s 2. p. cosh. 1. p. 2 sinh. 1 d¬r.. ii) k2 6= 0 ise k2 =. p. p. sinh2. X 0 2 2f 2. 0. +. X 6= 0; 02 0 f2. k2 =. 2 04 f +X 2. 2. 2. + X. 3 02. f. jk3 j =. f. 00. olarak verilebilir. Burada X(s) =. jk3 j =. X 0 02 f. +. p. 0. 2. f 04 + X 2 2. X f. 02. 2. 02 02. 2. 2. 02. 02. 00. R. 0. 02. ds. 0. ,f =e. d¬r ve (s). sabitten farkl¬olmak üzere a¸sa¼ g¬daki diferensiyel denklemi sa¼ glar: 2. 0. X 24 2 02 2 f. !0. X. 2. +. 2. h. 2. 2. 04. f +X 2f 0 2 3. 0. 04. f + 4. X. 02. 2. 0. + X. 3. f 04. 36. ;. 2. f 04. 00. 3". X 0 0 f2. 5. +2 X2. 02. 3. 0. X 2 02 f. X. i2. #. = 0:.

(80) ve. e¼ grilerinin Frenet vektörleri aras¬ndaki ili¸ski 02. T =. N =. 0. 2 f0. T+. N. f0 0. f0. 0. B1 ,. 00. sgn(k3 ) @. 1. 02. 2 2f 02 q. 2. 00. AT +. 0. 00. f 04 +. 0. f 02. !. B1. 2. 02. B2 ;. f 02. B1 = xT + yB1 + zB2 ;. B2 =. sgn(k3 ) 0 [ x + zk3 f 0 k3. 0. k2 uf T + (x + yk2 ) N + y. 0. 0. k2 f B1 + yk3 + z. 0. 0. k2 wf B2 ]. olarak verilir. Burada x; y; z. x=. 0. 1 @ X 0 2 02 f 2 f. 1 y= 0 f z= ve u; ; w. 0. 1 @ f0. !0. 0. X. X 0 0 f2 h. 2. X 02 0 f2 0. 0. f4+ 2. 0. u= 02. = w=. 2. +. 0. 2. !. X. 0. 0. 02. f. 00. 00. 3 p. 0. 2. f. 04. +2. 02. A; 3. X2. X. i1 A. ; 2. 0. f 02 0 00 +2. 2. + X. 1. 03. 2 2 f0 0 200 + 0. f +X 2 3f 02. 2. ;. 0. 02. 04. 2. 02. ;. ile verilir. Genelle¸stirilmi¸s null Mannheim e¼ grisinin asli normali N timelike ise a¸sa¼ g¬daki teoremi verebiliriz. Teorem 3.9. E42 uzay¬nda timelike asli normal vektör alan¬ N , pseudo null e¸sleni¼ gine ait null B1 ve spacelike B2 vektörleri taraf¬ndan gerilen SpanfB1 ; B2 g 37.

(81) ;867C;8:4 3[I;4<8=34 H0C0= 64=4;;4TBC8A8;<8TB =D;; "0==748< 4U 6A8B8 1D;D=<0<0: C03RA 9 20'3 S B?0CR )4>A4<

(82) H4 14=I4A TB4:8;34 H0?R;018;8A =1.)+ 34 0TB0U 6R30 34=:;4<8 E4A8;4= 18A =D;; 4U 6A8H8 4;4 0;0;R<

(83)

(84) 8 8 8 8 8 4U 6A8B8=8= A4=4C Y0CRBR.

(85)

(86)

(87) " 8 8 8 8 8 .

(88)

(89)

(90). 8 8 8 8 8 .

(91)

(92) 8 8 8 8 8

(93)

(94)

(95) 8 8 8 8 : . 4U 6A8;8:;4A8 34 0 8 0 8 0 8 >;0A0: E4A8;418;8A. >;0H;R:;0. 6ZA[;[A :8 4U 6A8B8 0B;8 =>A<0;8 B?024;8:4 >;0= 18A =D;; 4U 6A838A . 8 8 8. 6A8B8 C0=R<;0H0;R< D=0 6ZA4 >;020: 18Y8<34 18A 4U

(96)

(97) . 8 8 8 8 8 . >;0A0: E4A8;418;8A )4>A4<

(98) 88 TB0ACR=30= 4U 6A8B8=8= A4=4C Y0CRBR

(99)

(100)

(101) 8 8 8 8

(102)

(103)

(104)

(105) 8 8 8 8 8 .

(106)

(107)

(108) 8 8 8 8 8

(109)

(110)

(111). 8 8 8 8 8 " 8 . . E4 4U 6A8;8:;4A8 0 8 0 8 0 8 >;0A0: 74B0?;0=R;0 18;8A -" " -. . . . - E4 - >;0A0:. 6A8B8=8= ?B4D3> =D;; 4U 6A8 >;3DU 6D=D 6ZBC4A8A )4>A4<4 6ZA4 1D;D=DA :8 1D 30 4U.

(112) .