KONU 3:

1 KONU 3: DUYARLILIK ANALİZİ-III

Katsayılar Matrisindeki Değişim

Katsayılar matrisindeki değişim iki durumda incelenir.

Durum 1: (Temel dışındaki X değişkenine ilişkin _k a katsayısındaki değişim) _k

Temel dışındaki X değişkeninin katsayısı _k a olsun. _k a katsayısında _k  kadar değişim yapılsın,

  

ˆ_{k k}

a a . Yapılan bu değişim, primal uygunluğu (X_B0 olması durumu) etkiler mi?



 1

k B k

y a olduğundan, a ’ daki değişim _k y ’ yı etkiler. Buna göre, _k





            1 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ k k k k k k B B B B B y a a Δ a Δ y y Δ dır. Buradan,









                1 1 1 ˆ _ˆ ˆ k k B k k B k k B k B k k k k k B Z c c B c B c Z c Z c B c y c y Δ c y c Δ c Δ

elde edilir. En iyi değeri elde edilmek istenilen amaç fonksiyon türü minimizasyon ise,

 

ˆ ₀

k k

Z c olmalıdır. Maksimizasyon problemi için, Zˆ_k  c_k 0 olma koşulu aranır. Problem türlerine göre, en iyilik koşulları sağlanıyorsa, a ’ daki değişim en iyi çözüm sonucunu _k etkilememiştir. Son bulunan çözüm yine en iyi çözümdür. En iyilik koşulu bozuluyorsa, en iyi çözüme ulaşabilmek için, y yerine ˆ_k y alınarak, en iyilik ölçütü sağlanıncaya kadar bilinen _k simpleks tablo algoritması uygulanır.

Durum 2: (Temeldeki X değişkenine ilişkin _k a katsayısındaki değişim) _k

k

X , en iyi çözüm tablosunda, temelin r. elemanı olsun. yˆ_k B1ˆa_k hesabında iki durum söz konusudur.

i. y_rk0 ise, son temel değişir. Temele bir yapay değişken eklenir. Bu yapay değişken temeldeki X değişkeni ile yer değiştirir. Bundan sonra optimal çözümü bulmak için, _k

2

ii. y_rk0 ise, y yerine ˆ_k y alınır. ˆ_k y pivot eleman olur. Burada, en iyi çözüm _rk

bulununcaya kadar simpleks tablo algoritması uygulanır.

Örnek 3.1:           1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 max 5 4 2 2 4 4 4 2 12 , , 0 Z X X X X X X X X X X X X

biçiminde tanımlı primal problemin en iyi çözüm tablosu

En iyi çözüm tablosu 5 4 2 0 0 B C T _V X _B y ₁ y ₂ y ₃ y ₄ y ₅ 5 X ₁ 1 0 1 1/2 1 -1/4 4 X ₂ 2 1 0 0 -1 1/2  * ₁₃ Z 0 0 1/2 1 3/4 biçiminde tanımlanmıştır.

a. Temel dışı X değişkenine ilişkin katsayı vektörü, ₃       3 3 ˆ 1 a olursa, optimal çözüm değişir mi?

b. Temeldeki X değişkenine ilişkin katsayı vektörü, ₂       2 4 ˆ 8 a olursa, optimal çözüm değişir mi?

c. Temeldeki X değişkenine ilişkin katsayı vektörü, ₂       2 4 ˆ 2 a olursa, optimal çözüm değişir mi? Çözüm: a. Zˆ₃ c₃ c y_Bˆ₃ c₃ 0 olmalıdır. Buradan,   _     _{   } _ _  _{   }   1 3 3 1 _{1 / 4 3 11 / 4} ˆ ˆ 1 5 / 2 1 1 / 2 B

y a elde edilir. Buna göre,





      _{ }     3 3 3 3 11 / 4 ˆ _{ˆ 5 4 2 7 / 4 0} 5 / 2 B Z c c y c

3

b. X değişkeni, temelin 2. elemanıdır (r=2). Buna göre, ₂

  _      _{    }        1 2 2 1 _{1 / 4 4} 2 ˆ ˆ 8 0 1 1 / 2 B y a

elde edilir. yˆ₂₂0 olduğundan, son temel değişir. yˆ₂₂0 olması istenmeyen bir durumdur. Çünkü, pivot eleman sıfır olamaz. Temele yapay değişken eklenir. Bu yapay değişken ile temeldeki X değişkeni yer değiştirir. Charnes’in M Algoritması uygulanır. ₂

5 4 2 0 0 -M B C T _V X _B y ₁ y ₂ y ₃ y ₄ y ₅ q ₂ 5 X ₁ 1 0 2 1/2 1 -1/4 0 -M q ₂ 2 1 0 0 -1 1/2 1   * _{5 2} Z M 0 6 1/2 5+M (-5-2M)/4 0 En iyi çözüm tablosu 5 4 2 0 0 B C T _V X _B y ₁ y ₂ y ₃ y ₄ y ₅ 5 X ₁ 2 0 2 1/2 1/2 0 0 X ₅ 4 1 0 0 -2 1  * 10 Z 0 6 1/2 5/2 0 0 sağlandı

Primal uygunluk ve dual uygunluk sağlanmıştır. Buna göre, en iyi çözüm,    _{   }

    1 * 2 2 0 X X X elde edilir.

c. X değişkeni, temelin 2. elemanıdır (r=2). Buna göre, ₂

  _  _ _{ }_ _         1 2 2 1 1 / 4 ₄ 7 2 ˆ ˆ 2 1 1 / 2 3 B y a