1 KONU 3: DUYARLILIK ANALİZİ-III
Katsayılar Matrisindeki Değişim
Katsayılar matrisindeki değişim iki durumda incelenir.
Durum 1: (Temel dışındaki X değişkenine ilişkin k a katsayısındaki değişim) k
Temel dışındaki X değişkeninin katsayısı k a olsun. k a katsayısında k kadar değişim yapılsın,
ˆk k
a a . Yapılan bu değişim, primal uygunluğu (XB0 olması durumu) etkiler mi?
1
k B k
y a olduğundan, a ’ daki değişim k y ’ yı etkiler. Buna göre, k
1 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ k k k k k k B B B B B y a a Δ a Δ y y Δ dır. Buradan,
1 1 1 ˆ ˆ ˆ k k B k k B k k B k B k k k k k B Z c c B c B c Z c Z c B c y c y Δ c y c Δ c Δelde edilir. En iyi değeri elde edilmek istenilen amaç fonksiyon türü minimizasyon ise,
ˆ 0
k k
Z c olmalıdır. Maksimizasyon problemi için, Zˆk ck 0 olma koşulu aranır. Problem türlerine göre, en iyilik koşulları sağlanıyorsa, a ’ daki değişim en iyi çözüm sonucunu k etkilememiştir. Son bulunan çözüm yine en iyi çözümdür. En iyilik koşulu bozuluyorsa, en iyi çözüme ulaşabilmek için, y yerine ˆk y alınarak, en iyilik ölçütü sağlanıncaya kadar bilinen k simpleks tablo algoritması uygulanır.
Durum 2: (Temeldeki X değişkenine ilişkin k a katsayısındaki değişim) k
k
X , en iyi çözüm tablosunda, temelin r. elemanı olsun. yˆk B1ˆak hesabında iki durum söz konusudur.
i. yrk0 ise, son temel değişir. Temele bir yapay değişken eklenir. Bu yapay değişken temeldeki X değişkeni ile yer değiştirir. Bundan sonra optimal çözümü bulmak için, k
2
ii. yrk0 ise, y yerine ˆk y alınır. ˆk y pivot eleman olur. Burada, en iyi çözüm rk
bulununcaya kadar simpleks tablo algoritması uygulanır.
Örnek 3.1: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 max 5 4 2 2 4 4 4 2 12 , , 0 Z X X X X X X X X X X X X
biçiminde tanımlı primal problemin en iyi çözüm tablosu
En iyi çözüm tablosu 5 4 2 0 0 B C T V X B y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 5 X 1 1 0 1 1/2 1 -1/4 4 X 2 2 1 0 0 -1 1/2 * 13 Z 0 0 1/2 1 3/4 biçiminde tanımlanmıştır.
a. Temel dışı X değişkenine ilişkin katsayı vektörü, 3 3 3 ˆ 1 a olursa, optimal çözüm değişir mi?
b. Temeldeki X değişkenine ilişkin katsayı vektörü, 2 2 4 ˆ 8 a olursa, optimal çözüm değişir mi?
c. Temeldeki X değişkenine ilişkin katsayı vektörü, 2 2 4 ˆ 2 a olursa, optimal çözüm değişir mi? Çözüm: a. Zˆ3 c3 c yBˆ3 c3 0 olmalıdır. Buradan, 1 3 3 1 1 / 4 3 11 / 4 ˆ ˆ 1 5 / 2 1 1 / 2 B
y a elde edilir. Buna göre,
3 3 3 3 11 / 4 ˆ ˆ 5 4 2 7 / 4 0 5 / 2 B Z c c y c3
b. X değişkeni, temelin 2. elemanıdır (r=2). Buna göre, 2
1 2 2 1 1 / 4 4 2 ˆ ˆ 8 0 1 1 / 2 B y a
elde edilir. yˆ220 olduğundan, son temel değişir. yˆ220 olması istenmeyen bir durumdur. Çünkü, pivot eleman sıfır olamaz. Temele yapay değişken eklenir. Bu yapay değişken ile temeldeki X değişkeni yer değiştirir. Charnes’in M Algoritması uygulanır. 2
5 4 2 0 0 -M B C T V X B y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 q 2 5 X 1 1 0 2 1/2 1 -1/4 0 -M q 2 2 1 0 0 -1 1/2 1 * 5 2 Z M 0 6 1/2 5+M (-5-2M)/4 0 En iyi çözüm tablosu 5 4 2 0 0 B C T V X B y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 5 X 1 2 0 2 1/2 1/2 0 0 X 5 4 1 0 0 -2 1 * 10 Z 0 6 1/2 5/2 0 0 sağlandı
Primal uygunluk ve dual uygunluk sağlanmıştır. Buna göre, en iyi çözüm,
1 * 2 2 0 X X X elde edilir.
c. X değişkeni, temelin 2. elemanıdır (r=2). Buna göre, 2
1 2 2 1 1 / 4 4 7 2 ˆ ˆ 2 1 1 / 2 3 B y a