ÖZEL ÇÖZÜM BULMA METODLARI

(1)

ÖZEL ÇÖZÜM BULMA METODLARI

a

₀

; a

₁

; :::; a

_n

’ler reel sabitler ve a

₀

6= 0 olmak üzere n-yinci basamaktan sabit katsay¬l¬lineer homogen olmayan diferensiyel denklem

a

₀

y

⁽ⁿ⁾

+ a

₁

y

^{(n 1)}

+ ::: + a

_{n 1}

y

⁰

+ a

_n

y = f (x) (1) formundad¬r. Bu denkleme ili¸ skin homogen denklem

a

0

y

⁽ⁿ⁾

+ a

1

y

^{(n 1)}

+ ::: + a

n 1

y

⁰

+ a

n

y = 0 (2) dir. (2) denkleminin genel çözümü y

h

(x), (1) denkleminin bir özel çözümü y

p

(x) olsun. Bu durumda (1) denkleminin genel çözümü

y = y

h

(x) + y

p

(x)

dir. ¸ Simdi y

p

(x) özel çözümünü bulmak için baz¬yöntemler verelim.

1. Belirsiz Katsay¬lar Metodu

f (x) fonksiyonunun polinom, üstel fonksiyon yada sin ax ( yada cos ax) yada birbirleriyle çarp¬mlar¬ olmas¬ durumunda a¸ sa¼ g¬daki formlarda özel çözümler aran¬r.

f (x) y

_p

(x)

1 A

x ax + b

x

ⁿ

a

n

x

ⁿ

+ ::: + a

1

x + a

0

e

^ax

Ae

^ax

cos ax ( yada sin ax) A cos ax + B sin ax e

^x

cos ax ( yada e

^x

sin ax) e

^x

(A cos ax + B sin ax)

x

ⁿ

e

^ax

(a

n

x

ⁿ

+ ::: + a

1

x + a

0

) e

^ax

Uyar¬! Seçilen y

_p

(x) özel çözümü homogen diferensiyel denklemin genel çözümü olan y

h

(x) de içeriliyorsa, y

h

(x) de içerilmeyecek ¸ sekilde x’in en küçük kuvveti ile çarp¬larak özel çözüm aran¬r.

Örnek 1. y

⁰⁰

+ y = e

^2x

diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

1

(2)

Çözüm. Bu denkleme ili¸ skin homogen denklem y

⁰⁰

+ y = 0 olup bu den- klemin genel çözümü

y

_h

(x) = c

₁

cos x + c

₂

sin x

dir. y

_p

(x) = Ae

^2x

formunda özel çözüm arayal¬m. y

⁰_p

(x) = 2Ae

^2x

; y

⁰⁰_p

(x) = 4Ae

^2x

olup bunlar denklemde yerine yaz¬l¬rsa

y

_p⁰⁰

(x) + y

_p

(x) = e

^2x

4Ae

^2x

+ Ae

^2x

= e

^2x

5Ae

^2x

= e

^2x

den A =

¹₅

elde edilir. y

_p

(x) = 1

5 e

^2x

özel çözümü bulunur. Verilen denklemin genel çözümü

y = y

_h

(x) + y

_p

(x) y = c

₁

cos x + c

₂

sin x + 1

5 e

^2x

olarak elde edilir.

Örnek 2. y

⁰⁰

4y

⁰

+ 4y = 3e

^2x

diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

Çözüm. Bu denkleme ili¸ skin y

⁰⁰

4y

⁰

+ 4y = 0 homogen denklemin genel çözümü

y

h

(x) = (c

1

+ c

2

x) e

^2x

dir. e

^2x

ve xe

^2x

homogen k¬sm¬n lineer ba¼ g¬ms¬z çözümleri oldu¼ gundan y

p

(x) = Ae

^2x

ve y

p

(x) = Axe

^2x

formunda özel çözüm arayamay¬z. y

p

(x) = Ax

²

e

^2x

formunda özel çözüm aran¬rsa

y

_p⁰

(x) = 2Ax

²

e

^2x

+ 2Axe

^2x

; y

⁰⁰_p

(x) = 4Ax

²

e

^2x

+ 8Axe

^2x

+ 2Ae

^2x

olup bu de¼ gerler denklemde yerine yaz¬l¬rsa

y

_p⁰⁰

4y

⁰_p

+ 4y

_p

= 3e

^2x

=) 4Ax

²

e

^2x

+ 8Axe

^2x

+ 2Ae

^2x

4 2Ax

²

e

^2x

+ 2Axe

^2x

+ 4Ax

²

e

^2x

= 3e

^2x

=) 2Ae

^2x

= 3e

^2x

den A = 3

2 olarak bulunur. Buradan özel çözüm y

_p

(x) = 3

2 x

²

e

^2x

olup verilen denklemin genel çözümü

y = (c

₁

+ c

₂

x) e

^2x

+ 3 2 x

²

e

^2x

olarak elde edilir.

2

(3)

Örnek 3. y

⁰⁰

6y

⁰

+ 9y = x + 1 diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

Çözüm. Bu denkleme ili¸ skin y

⁰⁰

6y

⁰

+ 9y = 0 homogen denklemin genel çözümü

y

_h

(x) = (c

₁

+ c

₂

x) e

^3x

dir. y

_p

(x) = Ax + B formunda özel çözüm aran¬rsa y

⁰_p

(x) = A; y

⁰⁰_p

(x) = 0 d¬r.

Buradan

y

⁰⁰_p

6y

⁰_p

+ 9y

p

= x + 1 6A + 9 (Ax + B) = x + 1 9Ax + (9B 6A) = x + 1 olup A = 1

9 ; B = 5

27 olarak elde edilir. Özel çözüm y

p

(x) = x 9 + 5

27 olup verilen denklemin genel çözümü

y = (c

1

+ c

2

x) e

^3x

+ x 9 + 5

27 formunda bulunur.

Örnek 4. y

⁰⁰

2y

⁰

3y = sin x diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

Çözüm. Homogen diferensiyel denklemin genel çözümü y

h

(x) = c

1

e

^3x

+ c

2

e

^x

dir. y

p

(x) = A cos x + B sin x formunda özel çözüm aran¬rsa y

p