ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-1

(1)

PRİZMA

1. Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları 3,5,7 ile orantılıdır. Bu prizmanın tüm alanı 568 cm² olduğuna göre hacmi kaç cm³dür?

A) 440 B) 540 C) 840 D) 740 E) 640

2. Bir dikdörtgenler prizmasının ayrıtları 1, 3, 5 sayıları ile orantılıdır. Bu dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni 70 cm oldu- ğuna göre hacmi kaç cm³ tür?

A) 120 B) 92 C) 30 2 D) 15 E) 15 6

3. 10 cm boyunda 1 cm çapında silindir bi- çimindeki 10 kalem beşerli iki sıra halinde, dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kutuya konulacaktır. Bu kutunun hacmi en az kaç cm³ olmalıdır?

A) 300 B) 200 C) 150 D) 100 E) 50

4. Bir dikdörtgenler prizmasının ayrıtları x, x, h cm dir. Bu prizmanın hacmi 75 cm³ ol- duğuna göre yüzlerinin toplam alanının x cinsinden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x

x 300

2 ²  B) x²+4x C) x²+75

D) 4x

2

x²  E) 300x 2

x² 

5. Boyu eninin iki katı uzunluğunda olan dikdörtgen şeklindeki bir kartonun tümü kullanılarak 16 cm³hacminde, kare prizma şeklinde kapaksız bir kutu yapıyorlar. Kare prizmanın taban kenarı, verilen kartonun enine eşit olduğuna göre kullanılan kartonun alanı kaç cm²dir?

A) 128 B) 96 C) 64 D) 32 E) 16

6. Bir dikdörtgenler prizmasının x, y, z boyut- ları 2, 3, 4 sayıları ile doğru orantılıdır. Bu prizmanın hacmi 3000 cm³olduğuna göre, alanı kaç cm² dir?

A) 1100 B) 1200 C) 1300 D) 1400 E) 1500

7. Kare tabanlı kapalı bir dik prizmanın hacmi 30 cm³ tür. Karenin bir kenarı x cm olduğuna göre, prizmanın tüm alanını veren y=f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

A) ₂

x 60 x

y 2  B)

x 30 y x² 

C) x

120

y x²  D) ² ₂ x

60 y x 

E) x

120 x

y 2 ³



KÜP

8. Bir küpün alanı b cm² dir. İkinci bir küpün hacmi bu küpün hacminin c katıdır. İkinci kü- pün alanı kaç cm²dir?

A) b^{3 2}c B) c³b² C) b²c D) b²c E) c³b

9.

A) 3 3 B) 2 3 C) 3 D) 2

3_E) 4

3

ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-1

(2)

ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-1

10.

Küp biçimindeki tahta bir bloktan küçük bir küp alınmıştır. Kalan tahtanın hacmi 208 cm³ olduğuna göre BC kaç cm dir?

A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5

11.

Şekildeki ABCD ve ADEF kareleri birbirine dik ve eşittir. AB=4 birim olduğuna göre,

FC=x kaç birimdir?

A) 2 3 B) 4 2 C) 3 5 D) 4 3 E) 2 5

12. Kenarları 3 cm, 6 cm ve 12 cm olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmine eşit ha- cimde olan küpün bir kenarı kaç cm dir?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

13. Tabanının boyutları 6 cm ve 8 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir kapta bir miktar su vardır. Bir ayrıtının uzunluğu 5 cm olan kapalı bir küp, tabanı kabın tabanı- na değecek biçimde suya batırılınca su se- viyesi küpün yarısına kadar yükseliyor. Bu- na göre, suyun ilk yüksekliği kaç cm dir?

A) 96 115 B)

94 113 C)

92 111 D)

90 109 E)

90 103

14.

Bir kenarı a cm olan içi dolu tahta bir küpün köşesinden, bir kenarı

3

a cm olan bir küp kesi-

lerek çıkartılıyor. Geriye kalan büyük küp par- çasının alanının, küçük küpün alanına oranı kaçtır?

A) 9 B) 12 C) 18 D) 27 E) 36

PRAMİD

15. Hacmi 28 cm³olan bir kesik piramidin alt tabanının alanı 12 cm², üst tabanının alanı 3 cm² olduğuna göre yüksekliğe kaç cm dir?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

16. Tabanın bir kenarı 8 cm, yüksekliği 3 cm olan düzgün kare piramidin bütün alanı aşağı- dakilerden hangisi olabilir?

A) 224 cm² B) 144 cm² C) 112 cm² D) 80 cm² E) 64 cm²

17. Tabanı 12 cm², yüksekliği 6 cm olan bir piramit tabana paralel bir düzlemle kesiliyor.

Düzlem tepeden 2 cm uzaklıktadır. Kesit alanı aşağıdakilerden hangisidir (cm²boyutunda) A) 4 cm² B) 3/2 cm² C) 2/3 cm² D) 4/3 cm² E) 3 cm²

(3)

18.

üzerindedir. Üstte kalan küçük piramidin yüksekliği 3 cm, hacmi 9 cm³ olduğuna gö- re, büyük piramidin taban kenarlarından biri kaç cm dir?

A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5

19.

Taban kenarı 10 cm olan bir düzgün kare piramidinin bütün alanı 360 cm²dir. Buna göre piramidin yüksekliği kaç cm dir?

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

20.

A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 16

21.

ABCD kare tabanlı ABCDA'B'C'D' dikdörtgenler prizmasında D' noktası A ve B ile D noktasın da B ile birleştirilirse, hacmi 300 cm³olan (D',ABD) piramidi elde ediliyor. ABCDA'B'C'D' prizmasının yüksekliği 15 cm olduğuna göre, tabanının bir kenarı kaç cm dir?

A) 15 B) 2 15 C) 3 15 D) 2 30 E) 3 30

22.

Yukarıda, ABCDEF üçgen tabanlı dik prizması ile, köşeleri bu prizmanın ayrıtları üzerinde olan MLEK piramidi verilmiştir. [ML]//[DF],

3 1 DE ME  ,

3 1 EB

EK  olduğuna göre,

) ABCDEF (

Hacim

) MLEK ( Hacim

oranı kaçtır?

A) 81 1 B)

64 1 C)

49 1 D)

36 1 E)

27 1

(4)

DÖRTYÜZLÜ

23.

Şekildeki ABCD dörtyüzlüsünün ABC yüzü bir kenarının uzunluğu a olan bir eşkenar üçgen, BDC yüzü ise D açısı dik olan bir üç-

gendir. AD ayrıtı BDC düzlemine dik olduğuna göre, bu dörtyüzlünün hacmi ne kadardır?

A) 24 a³

B) 24

2 a³

C) 24

3 a³

D) 24 6 a³

E) 48

3 a³

24. Bir düzgün dörtyüzlünün tüm alanı 3

256 birim karedir? Bu dörtyüzlünün yanal yüksekliği kaç birimdir?

A) 6 3 B) 7 3 C) 8 3 D) 9 3 E) 10 3

1-C 1979 ÜSS 2-C 1981 ÖYS 3-D 1984 ÖSS 4-A 1985 ÖYS 5-D 1988 ÖYS 6-C 1996 ÖSS 7-E 1998 ÖYS 8-A 1981 ÖSS 9-D 1987 ÖYS 10-D 1989 ÖYS 11-D 1994 ÖYS 12-E 1995 ÖSS 13-A 1997 ÖSS 14-A 2002 ÖSS 15-C 1967 ÜSS 16-B 1969 ÜSS 17-D 1970 ÜSS 18-D 1986 ÖSS 19-C 1987 ÖYS 20-B 1996 ÖYS 21-D 1998 ÖSS 22-A 2001 ÖSS 23-B 1980 ÜSS 24-C 1995 ÖYS

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(62)

(63)

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

(70)

(71)

(72)

(73)

(74)

(75)

(76)

(77)

(78)

(79)

(80)

(81)

SİLİNDİR

1. Hacimleri eşit iki silindirin yan alanları arasındaki oran aşağıdakilerden hangisidir?

A) h h

 B) r

r

 C) r r

 D)

r r²

E) h h²



2. Bir silindirin yanal alanı 20 ve yüksekliği 10 birim olduğuna göre hacmi kaç birim küptür?

A) 2 B) 20 C) 10 D) 40 E) 200

3.

Taban çapı 2R=20 cm olan silindir biçimin- deki bir kapta, başlangıçta 200  cm³ su vardır. Bu kaba yeniden su konmakta ve kaptaki suyun h yüksekliği, t zamanına göre

h=at+b

bağıntısı ile değişmektedir. Bu kaba su konmaya başladıktan 2 sn sonra suyun yüksekliği 8 cm olduğuna göre, 3 sn daha sonra (beşinci saniye sonunda) suyun yük- sekliği kaç cm olur?

A)32 B) 23 C) 19 D) 17 E) 14

4.

Şekildeki dik silindirde AB anadoğru, BD doğru parçası taban çapıdır. C taban çevresi üzerin- de bir nokta,

AB=8 cm

BD=10 cm

CD=8 cm olduğuna göre ACD üçgeninin alanı kaç cm² dir?

A) 32 B) 36 C) 40 D) 44 E) 48

5.

Yukarıdaki I. şekil taban çapı 4 cm, yüksekliği 10 cm olan bir silindir. Bu silindirdeki suyun yüksekliği h dır. Bu kap 45⁰lik açı yapacak bi- çimde eğildiğinde su düzeyi şekildeki gibi ka- bın ağzına dayanmaktadır. Buna göre h kaç cm dir?

A) 9 B) 8 C) 7 D) 8 E) 5

6.

İç içe girilmiş ve yükseklikleri eşit, dik silindir biçimindeki iki kaptan dıştakinin çapı içtekinin çapının iki katıdır. İçteki kap ağzına kadar su ile dolu iken tabanına çok yakın bir delik açılır- sa , ikisi arasındaki boşlukta su hangi yüksek- liğe çıkar? (İçteki kabın kalınlığı önemsenme- yecektir.)

A) 2

h B) 4

h C) 3

h D) 3

h 2 E)

4 h 3

ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-2

(82)

7.

Yukarıdaki düzenekte, dikey doğrultudaki kalın silindirik boruların kesitleri s, sağ kola eklenmiş olan ince silindirik borunun kesiti ise 4

s tür. Piston 20 cm aşağı indirildiğinde,

öteki kolda su yüzeyi kaç cm yükselir?

A) 52 B) 50 C) 46 D) 42 E) 38

8.

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

9. Yüksekliği 60 cm ve taban kenar uzunlu- ğu a cm olan kare prizma su ile doludur.

Yarıçapı a cm olan bir silindirin prizmadaki suyun tamamını alabilmesi için yüksekliği en az kaç cm olmalıdır? (=3 alınız)

A) 22 B) 20 C) 18 D) 16 E) 15

10. Kenarları, 60 cm ve 80 cm olan dik- dörtgen biçimindeki karton, bükülerek dik silindir biçiminde bir boru haline getirilecek- tir. Bükme işlemi uzun kenar ve kısa kenar üzerine yapıldığında elde edilecek iki farklı boru silindirin yan alanları oranı kaçtır?

A) 1 B) 2

1 C) 3

2 D) 4

3 E) 5 4

11.

Yarıçapı 5 cm, yüksekliği 24 olan dik silindir biçimindeki bir kutunun alt tabanı üzerindeki A noktası ile üst tabanı üzerindeki B noktası aynı düşey doğru üzerindedir. Şeklideki gibi, A dan hareket edip kutunun yalnızca yanal yüzeyi tek bir dolanım yaparak en kısa yoldan B ye giden bir karıncanın aldığı yol kaç cm dir?

A) 26 B) 25 C) 24 2 D) 25 3 E) 25 2

KONİ

12. Taban yarıçapı 1 ve 2, yüksekliği 3 olan kesik koninin hacmi nedir?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

13. Bir dönel koni, tabana paralel üç düzlemle kesilerek, yükseklikleri eşit olan dört parçaya ayrılıyor? Tepeden birinci parçanın hacminin ikinci parçanın hacmine oranı nedir?

A) 7

1 B) 6 1 C)

4

1 D) 3 1 E)

2 1

14.

Taban alanı S olan yandaki dik konide, alanları S1 , S2olan tabana paralel iki kesit ve bu kesitlerin merkezleri verilmiştir. TC=2 cm,

(83)

TA=1 cm ve S=S₁+S₂olduğuna göre,

AB kaç cm dir?

A) 5 B) 2 C) 3 1 D) 2  E) 1 3  2

15. Taban yarıçapı 8 cm, yanal yüzeyinin alanı 96 cm²olan bir dönel koninin, yük- sekliğinin bir ana doğrusuna oranı kaçtır?

A) 4

6 B) 3

5 C) 4

3 D) 3

2 E) 2 1

16. Yanal alanı 135 cm²olan bir dik koninin taban yarıçapı 9 cm dir. Bu koninin hacmi kaç cm³ tür?

A) 282 B) 292 C) 302

D) 312 E) 324

17.

Yukarıdaki şekil, ana doğrusunun uzunluğu a cm olan bir dik koninin açılımıdır. Dik koninin hacmi 96 cm³ ve m(AOˆB)216⁰ ol- duğuna göre, OA=OB=a kaç cm dir?

A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

18.

Yukarıdaki şekil, dik koni biçiminde idealleş- tirilmiş bir dağı; A ve B noktaları ise bu dağ eteğindeki iki köyü temsil etmektedir. Bu iki köyü birleştiren, dağ yüzeyi üzerindeki en kısa yol kaç km dir?

A) 3

 B) 3

2 C)  D) 3 E) 3

KÜRE

19. Çapı d olan kürenin hacmi çap cinsinden yazılsa, aşağıdakilerden hangisi elde edilir?

A) d³

3

v 4 B) d³ 3

v 2

C) d³

6

v 1 D) d³ 3 v 1

E) d³

2 v 1

20. Ayrıtlarından biri s uzunluğunda olan bir küpün içine, teğet bir küre çiziliyor. Küpün bir köşesinin, kürenin yüzüne olan uzaklığı aşağı- dakilerden hangisidir?

A) 2

) 1 3 (

s 

B) 3

) 3 3 (

s 

C) 3 s1

D) 2 2

s E) 2

3 s

21. Bir kürenin, merkezinden 4 cm uzaklıktaki kesitlerin çevresi 6 olduğuna göre bu kürenin yarıçapı kaç cm dir?

A) 5 B) 22 C) 6 D) 52 E) 8

22.

Yukarıdaki şekilde P düzlemi üzerine konmuş kürenin çapı 10 cm, tabanı P üzerinde bulunan dik dönel koninin taban çapı da 16 cm dir. P düzleminden 8 cm uzaklıktaki bir Q düzleminin küre ve koni ile arakesit dairelerinin alanları eşit olduğuna göre, koninin yüksekliği kaç cm dir?

A) 32 B) 24 C) 20 D) 16 E) 12

(84)

23. Yarıçapı R olan bir küre, merkezinden 3

R uzaklıkta bir düzlemde kesiliyor. Elde

edilen kesitin alanı kaç R² dir?

A) 9

8 B) 2 C) 3

4 D) 9

4 E) 3 8

24.

Şekilde, taban yarıçapı 6 cm olan dik koninin tepe noktası ve taban çemberi, O merkezli kü- renin yüzeyindedir. Dik koninin hacmi 216

cm³ olduğuna göre, kürenin yarıçapı kaç cm dir?

A) 9 B) 10 C) 12 D) 13 E) 15

1-B 1967 ÜSS 2-C 1976 ÜSS 3-D 1981 ÖSS 4-C 1982 ÖYS 5-B 1982 ÖYS 6-B 1983 ÖSS 7-B 1982 ÖSS 8-C 1983 ÖYS 9-B 1987 ÖSS 10-A 1995 ÖSS 11-A 2000 ÖSS 12-C 1966 ÜSS 13-A 1978 ÜSS 14-C 1990 ÖYS 15-B 1995 ÖSS 16-E 1998 ÖSS 17-D 1998 ÖYS 18-E 2002 ÖSS 19-C 1968 ÜSS 20-A 1974 ÜSS 21-A 1977 ÜSS 22-D 1984 ÖYS 23-A 1982 ÖYS 24-B 1999ÖSS1

(85)

UZAY GEOMETRİ

Başlıktan korkmayın. Oturduğumuz yerden Dünya ile Mars arasındaki uzaklığı filan ölçecek değiliz. İstersek ölçeriz ama konumuz bu değil. Çünkü bu uzay, o uzay değil. O uzaysa bi- le, işimiz gücümüz gezegenlerle değil, noktalar, doğrular ve düzlemlerle olacak.

P

Geometride tüm noktalar kümesine uzay denir.

Uzayın bir alt kümesi olan düzlem de yine bir noktalar küme- si gibi düşünülebilir. Masanın yüzeyi, duvarın yüzeyi, kitabın yüzü gibi. Düzlem genel olarak bir paralelkenar çizerek ve P, E, F gibi büyük harflerle gösterilir. Yalnız çizime aldanıp düzlemin sonlu olduğu zannedilmesin, düzlem sınırlı olma- yıp, burada sadece çizim olarak gösterilmiştir. P düzlemi ile notlarımızın bu sayfası aynı düzlemi göstermektedir.

(86)

Uzay Geometri TMOZ-OZEL Mustafa YAĞCI

2

P A

d

Bir doğru ile bir düzlemin sadece bir ortak noktası varsa doğ- ru düzlemi kesiyordur.

Şeklimizde d doğrusu ile P düzleminin ara kesiti şekilde gös- terildiği üzere A noktasıdır. Zaten bir doğru ile bir düzlem arasında üç ilişki olabilir, ya doğru düzlemin içindedir ya kesiyordur ya da dışındadır.

(87)

3

P A B

Eğer bir doğru ile bir düzlemin ortak iki noktası varsa, doğru düzlemin içindedir.

Doğru düzlemi kesseydi eğer, tek noktada keserdi. İki ortak noktaları varsa, kesmiyor da olamaz. Dolayısıyla ortak iki nokta varsa, tek bir şans kalıyor, doğrunun o düzlemde olma- sı. Sonuç olarak, ortak iki nokta varsa, aslında ortak sonsuz nokta vardır.

(88)

4

P arakesit doğrusu

E

İki düzlem eğer kesişiyorlarsa bir doğru boyunca kesişirler.

Bu doğruya arakesit doğrusu denir.

Gazetelikleri ve Kur’an-ı Kerim rahlelerini hayal edebilirsi- niz. Fakat, bu örnekler sınırlı olduğundan arakesit doğru par- çası gibi olur. Buna aldanmayın. Gerçek düzlemler sınırsız olduğundan kesişim de sınırsızdır.

(89)

5

P d

l

Aynı düzlem içinde bulunmayan ve birbirini kesmeyen doğ- rulara aykırı doğrular denir.

Şeklimizde d ∩ l = ∅ olup d ile l aykırı doğrulardır. Küpün ayrıtlarından kaç çiftin aykırı olduğunu hesaplamaya çalışı- nız.

(90)

6

P A B C

Doğrusal olmayan üç nokta bir düzlem (sadece tek bir düzlem) belirtir.

Aynen tek bir üçgen belirttikleri gibi… Bunları şöyle düşün- mekte fayda olabilir: Bir kağıda doğrusal olmayan üç farklı nokta çizin. O noktaları köşe kabul eden üçgeni kim gelirse gelsin aynı çiziyorsa, demek ki o noktalar tek bir üçgen belirtir.

Ayrıca bir kağıda kondurulmuş 3 nokta, o kağıdın yüzeyi dı- şında bir düzlem belirtemez. Her üç noktayı içeren bir başka düzlemi gösteremeyeceğinize ikna oluncaya kadar çizmeye ça- lışınız. Zira bir aksiyom olduğundan kanıtı yoktur.

(91)

7

P d k

Kesişen iki doğru bir düzlem (sadece tek bir düzlem) belirtir.

Doğruların üzerindeki tüm noktaları içeren başka bir düzlem olmadığına ikna olana kadar araştırmaya devam ediniz. So- nunda hidayete ereceksiniz.

(92)

8

P A d

Bir doğru ile dışındaki bir nokta, bir düzlem (sadece tek bir düzlem) belirtir.

Hem bu noktayı hem de doğrunun üzerinde bulunan tüm nok- taları içeren başka bir düzlem çizmeye veya hayal etmeye ça- lışınız, başaramayacaksınız.

(93)

9

P d

k

Paralel iki doğru da diğerleri gibi sadece tek bir düzlem be- lirtir.

Aslında bu üstteki kuralın bir versiyonudur. Üst şekildeki A noktasını, bu şekildeki d doğrusunun üstünde farzederseniz, bahsi geçen şartları sağlayan P düzleminden başka düzlem olmadığını göreceksiniz.

(94)

10

A B

C T

Dördü aynı düzlemde olmayan birbirinden farklı en az dört nokta uzay belirtir.

Uzay belirtmeyi aklınızda şöyle canlandırabilirsiniz. Verilen tüm noktaları ya da doğruları içeren bir düzlem bulamayınca, yani bu verileri bir düzleme sığdıramayınca anlıyoruz ki, hepsini içine alan bir şey ancak üç boyutlu olabilir. Örneğin, yan- daki şekilde ABC düzlemi T’yi içermiyor, BCT düzlemi A’yı içermiyor, ACT düzlemi B’yi içermiyor, ABT düzlemi de C’yi içermiyor.

(95)

11

P A

Bir düzlem ile dışındaki bir nokta uzay belirtir.

Zaten kanıt teoremin içinde gibi. A noktası P düzleminin içinde olmadığından, hem düzlemdeki sonsuz noktayı hem de A noktasını içeren bir düzlem çizmenin mümkünatı yoktur.

Var diyorsanız gösterin.

(96)

12

P

d

Bir düzlem ile dışındaki bir doğru uzay belirtir.

Bu da üstteki kuralın bir başka versiyonudur. Üst şekildeki A noktasını, bu şekildeki d doğrusunun üstündeymiş gibi düşünü- nüz. Aynı çıkarım kurallarını burada da uygularsınız.

(97)

13

P

E

Kesişen ya da paralel olan iki düzlem uzay belirtir.

Her ikisinin de sebebi aşikar sanırım. Hem P’deki, hem de E’deki tüm noktaları içine alan tek bir düzlem olmasına im- kan olmaması.

(98)

14

E P

S A

Bir noktadan birden fazla düzlem geçer.

Geçer dediysek geçebilir manasında dedik. Mesela şekildeki E, P ve S düzlemlerinin ortak noktası A noktasıdır. Bu nokta- dan geçen başka bir düzlemi de siz gösteriniz.

(99)

15

P S E T

Bir doğruyu barındıran 1’den çok düzlem vardır.

Yani, bu doğruyu içeren sonsuz farklı düzlemin varlığından sözediliyor. Şekilden de açıkça görüldüğü üzere doğrunun noktalarının tümü T, S, E ve P düzlemlerinin hepsinde de bu- lunuyor. Düzlem sayısını istediğimiz kadar arttırabileceğimizi çoktan anlamış olmalısınız.

(100)

16

P

A B

d

E

Farklı iki düzlemin ortak iki noktası varsa, bu noktalardan geçen doğru, her iki düzlemin arakesit doğrusudur.

Zaten o olmayacaktı da ben mi olacaktım? Arakesit doğrusu iki düzlemin tüm ortak noktalarını barındırdığından A ve B noktalarını da mecburen içerir.

(101)

17

P A B C E

İki düzlemin doğrusal olmayan, ortak üç noktası varsa bu iki düzlem çakışıktır.

Doğrusal olmayan üç değişik noktanın sadece tek bir düzlem belirteceğini sezgisel de olsa kanıtlamıştık. O halde bu P ve E düzlemleri aynı düzlemdir aslında, biz de böyle aslında aynı olan şeylere matematikte çakışık deriz.

(102)

18

P E

d l

Bir d doğrusu P ve E düzlemlerinin arakesit doğrusuna para- lel ise her iki düzleme de paraleldir.

Şeklimizden bakınız: d // l ise d // (P) ve d // (E) olur. Hatta bu arakesit doğrusunu içeren başka düzlemler de çizersek, o düzlemlere de paralel olur. Birinin de içinde olur.

(103)

19

P

d

Bir doğru ile bir düzlemin ortak noktası yoksa, doğru düzleme paraleldir.

Bunu zaten daha önce olabilecek üç şıktan biri olarak açıkla- mıştık. Yineleyelim: Tek bir ortak nokta doğru düzlemi kesiyordur, en az iki ortak nokta varsa, doğru düzlemin içindedir.

(104)

20

P d

k

Aynı düzlemde bulunan iki doğrunun ortak noktaları yoksa, bu iki doğru paraleldir.

Bu zaten direkt olarak düzlem geometrinin tanımlarından bi- ridir. Kesişmeyen doğrulara paralel doğrular denir.

(105)

21

E P

A

Bir düzleme, dışında alınan bir noktadan yalnız bir paralel düzlem çizilebilir.

Açıklayalım: Düzlemimiz her zamanki gibi P, noktamız da A olsun. A noktasından, P düzleminde kaç farklı paralel doğru çizebiliriz? Sonsuz değil mi? İşte o sonsuz doğrunun oluştur- duğu tek düzlem olan E düzlemi istenen düzlemdir. Başka böyle bir düzlem yoktur.

(106)

22

E P

S

Paralel iki düzlemden birine paralel olan düzlem diğerine de paraleldir.

Düzlemlerde paralellik bağıntısının geçişken olduğunu söylü- yor. (P) // (E) ve (E) // (S) ise (P) // (S) dir. Haklı da. Aksi dü- şünülebilir mi? E düzlemi ile P düzlemi arasındaki uzaklık sabittir. E ile S düzleminin de. O halde sonuç olarak P ile S düzlemleri arasındaki uzaklık da sabit çıktı. Bu da istediğimi- ze kavuştuk demek!

(107)

23

P E S

İki düzlem ya paraleldir ya da kesişir.

Bir de çakışık olabilirlerdi hani? E, çakışıklarsa paralellerdir zaten. Unutma, her şey kendine paraleldir.

Paralel iki düzlemden birini kesen düzlem, diğerini de keser.

P ile S düzlemleri paralel olsun. E düzlemi P düzlemini kesi- yormuş, o halde P’ye paralel değil, o halde mecburen S’ye de paralel değil. Paralel değilse keseceğini söylemiştik zaten.

(108)

24

E P

A B

d

Paralel iki düzlemden birini kesen doğru, diğer düzlemi de keser.

Yukardaki çıkarım kurallarının hepsi burada da geçerlidir.

Uğraşın, yapamazsanız gelin.

(109)

25

P d A

Düzlemin dışındaki bir noktadan düzleme yalnız bir dik doğru çizilebilir.

Bunu da tersten kanıtlayalım. A noktasından P düzlemine bir dik indirin. Dikme ayağına B deyin. Başka bir dik daha indi- rin (yok ama siz yine de indirin), onun ayağına da C deyin.

ABC üçgeninin iç açılar toplamı 180^o’den büyük çıktığı için başka bir dikin indirilemeyeceğini anlamış olmalısınız.

(110)

26

P d A

Düzlem dışındaki bir noktadan, düzleme dik çizilen bir doğru, düzlemi kestiği noktadan geçen doğruların tümüne dik olur.

Düzlemdeki doğruları bir kalemmiş gibi düşünün ve ufak ufak kalemi çevirmeye başlayın. Her zaman d doğrusuna dik olduğuna ikna olursunuz. Bir parşömen kağıdını hayal edin, kaç derece döndürürseniz döndürün, köşe açılarının dikliği bozulmuyor, değil mi?

(111)

27

P

A

Düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme dik olan birden fazla düzlem vardır.

Şeklimizdeki A noktasından P düzlemine bir dik indirin. Dik- me ayağından geçen ve P üzerinde olan sonsuz doğru oldu- ğunu söylemiştik. İnen dikme ile o sonsuz doğrunun her birinin oluşturduğu düzlemler istenen düzlemlerdir.

(112)

28

P

dA

Paralel iki doğrudan birini dik kesen doğru, diğerini ya dik keser ya da dik durumlu olur.

Yeni bir kavram var: Dik durumlu olmak. Bu, tam üstünde ol- saydım, seni dik keserdim demek. Ama değilim. Dik durumlu doğrular, aykırıdır.

(113)

29

A d

Bir doğrunun üzerindeki bir noktadan, bu doğruya birden faz- la dik doğru çizilebilir.

Bulunduğunuz odada üç duvarın kesiştiği yeri inceleyin. Siga- ra paketi, kibrit kutusu gibi cisimlerin herhangi bir köşesini göz önüne getirin.

n tane doğru bir düzlemi

en az n + 1 bölgeye, en çok

2 2

2 n + +n

bölgeye

ayırır. Bunun kanıtını permutasyon-kombinasyon notlarında yapmıştık. Unutan tekrar oradan öğrenebilir.

(114)

30

UZAYDA BAZI GEOMETRİK YERLER

A

B d lk

İki noktaya eşit uzaklıkta olan noktaların kümesi, orta dikme düzlemidir.

Bir doğruya üzerindeki bir noktadan sonsuz farklı doğru çize- bileceğimizi söylemiştik. O halde bir doğru parçasının tam orta noktasından, doğruyu dik kesen sonsuz doğru çizilebilir.

Bu doğruların hepsini taşıyan öyle bir düzlem vardır ki ona orta dikme düzlemi deriz. Şekilden görebilirsiniz.

(115)

31

P A

B

C T

A, B, C gibi üçü aynı doğru üzerinde olmayan sabit üç nokta- dan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, bu üç noktadan geçen çemberin merkezinden çember düzlemine çı- kılan dik doğrudur. A, B, C noktaları doğrusal değilse, üçgen belirtirler. Her üçgenin çevrel çemberi olduğu gibi bu üçgenin de vardır. Bu çember, noktaların bulunduğu P düzlemindedir.

Çemberin merkezinden P düzlemine çıkılan dikme OT olsun.

TOA, TOB ve TOC birer eş dik üçgen olduklarından hipote- nüsleri eşit boyda olmalıdır. O halde |TA| = |TB| = |TC|.

(116)

32

P

E S T

Kesişen düzleme eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bu iki düzlemin oluşturduğu iki düzlemli açının açıortay düzle- midir.

S düzlemi üzerinde hangi noktayı alırsanız alın, o noktanın P ve E düzlemlerine olan uzaklıkları eşittir.

(117)

33

R O R C

A B

Sabit bir noktadan eşit uzaklıkta olan noktaların kümesine düzlemde çember, uzayda küre denir.

Üst şekildeki küre, R yarıçaplı olup, O merkezlidir. C küre üzerinde bir nokta ve [AB] çap ise m(ACB) = 90° dir. Bunu zaten çember derslerimizde etraflıca görmüştük.

(118)

34

O r

Kürenin bir düzlemle arakesiti bir çemberdir.

Küre kesitinin yüzeyi merkezi O ve yarıçapı r olan bir daire- dir.

(119)

35

DİK İZDÜŞÜM A

A'

f

f ' P

P

A B

A' B'

Bir A noktasından bir P düzlemine çizilen dik doğrunun düz- lemi kestiği A′ noktasına, A noktasının P düzlemindeki dik izdüşümü denir.

Bir noktalar kümesinin bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü, bütün noktaların bu düzlem üzerindeki dik izdüşümlerin kü- mesidir. Yani bir doğru parçası ya da bir şeklin bir düzlem üzerindeki izdüşümünü bulmak için şeklin tüm noktalarının izdüşümünü almak gerekir.

(120)

36

A' B' C' E' D'

A B

C E D

Q P

α

Yandaki izdüşüm şekillerini inceleyiniz. A noktasını dik izdü- şümü A′ noktası f eğrisinin dik izdüşümü f ′ eğrisi, [AB] doğru parçasının izdüşümü [A′B′] doğru parçasıdır.

İki düzlem arasındaki açıya ölçek denir.

(P) ve (Q) düzlemlerinin ölçek açısı α’dır.

(121)

37

(P) düzlemindeki ABCD dörtgeninin (Q) düzlemindeki izdü- şümü A′B′C′D′ dörtgenidir.

ABCD ve A′B′C′D′ dörtgenleri eş zannedilmesin, değildir!

Yani (P) düzlemindeki bir çemberin izdüşümü, (Q) düzle- minde bir çember olmayabilir. Olmayabilir dedik, çünkü ba- zen olur.

Örneğin, (P) ve (Q) düzlemleri paralel olursa, (P) düzlemin- deki bir şeklin izdüşümü, (Q) düzleminde yine kendisi olur.

(122)

38

İzdüşüm Uzunluğunun ve Alanının Bulunması

A' B' Q P

α A

B

(P) ve (Q) düzlemlerinin ölçek açısı α ise (P) düzlemi içindeki [AB]’nin (Q) düzlemindeki dik izdüşümü [A′B′] ise |A′B′| =

|AB|·cos α olur.

Aslında sebebi çok basit. A noktasından A’B’ doğrusuna bir paralel çizin. BB’ doğrusunu kestiği nokta K olsun. AA’B’K bir dikdörtgen olacağından |A’B’| = |AK| olur. BAK dik üçge- ninde kosinüs tanımı gereği |AK| = |A′B′| = |AB|·cos α.

(123)

39

Q P

α

S

S'

(P) ve (Q) düzlemlerinin ölçek açısı α ise (P) düzlemindeki bir bölgenin alanı S, bu bölgenin (Q) düzlemindeki izdüşümü- nün alanı S′ ise S′ = S·cos α olur.

Bunu da şöyle açıklayalım: Bir an için P ve Q düzlemlerinin şekilde paralelkenarlarla gösterildiği gibi sınırlı olduklarını farzedelim. Q düzlem parçası da P düzlem parçasının izdü- şümü olsun. S şekli o paralelkenarın kaçta kaçıysa, S’ şekli de aşağıdaki sınırlı Q paralelkenarının da o kadar da o kadarıdır.

(124)

40

Q düzlem parçasının alanının P düzlem parçasının alanının cosα katı olduğunu biliyoruz. Kısa kenar uzunluklarının de- ğişmediğine, uzun kenarların da cosα katına çıktığına dikkat ediniz. O halde istenen kanıtlanmıştır.

PARALELLİK AKSİYOMLARI 1. Uzayda paralel iki doğru bir tek düzlem belirtir.

2. Uzayda bir doğru ve dışında bir nokta verildiğinde veri- len noktadan geçen ve verilen doğruya paralel olan bir tek doğru vardır.

3. Paralel iki doğrudan birini bir tek noktada kesen bir düz- lem, diğer doğruyu da keser.

4. Aynı doğruya paralel olan farklı iki doğru paraleldir.

(125)

41

5. Bir düzlemin içindeki bir doğruya paralel olan ve bu düz- lemin dışında bulunan bir doğru bu düzleme paraleldir.

6. Bir doğru bir düzleme paralelse bu düzlemdeki bir A nok- tasından geçen ve bu doğruya paralel olan doğru bu düz- lemin içindedir.

7. Bir doğru bir düzleme paralelse bu düzlemdeki bir A nok- tasından geçen ve bu doğruya paralel olan doğru bu düz- lemin içindedir.

8. Kesişen iki düzlemin her birine paralel olan bir doğru, bu düzlemlerin arakesit doğrusuna paraleldir.

9. Aynı düzleme paralel olan ve kesişen iki doğrunun belirt- tiği düzlem ilk düzleme paraleldir.

(126)

42

10. Uzayda bir düzlem ve bu düzlemin dışında bir nokta ve- rildiğinde, verilen noktadan geçen ve verilen düzleme paralel olan bir tek düzlem vardır.

11. Paralel iki düzlemin birinin içindeki her doğru diğer düz- leme paraleldir.

12. Paralel iki düzlemden birine paralel olan bir düzlem diğe- rine de paraleldir.

13. Paralel iki düzlemden birini kesen bir düzlem diğerini de keser ve arakesit doğruları paraleldir.

14. Paralel iki düzlemden birini kesen bir doğru diğerini de keser.

(127)

43

UZAYDA DOĞRULARIN VE DÜZLEMLERİN DİKLİĞİ

1. Bir düzlemin kesişen iki doğrusuna kesişme noktasında dik olan bir doğru, bu düzleme diktir.

2. Paralel iki düzlemden birine dik olan bir doğru diğer düz- leme de diktir.

3. Aynı doğruya farklı noktalardan dik olan iki düzlem bir- birine paraleldir.

4. Bir noktadan geçen ve bir doğruya dik olan bir tek düz- lem vardır.

5. Uzayda bir doğru parçasının uç noktalarından eşit uzak- lıkta bulunan noktaların kümesi, bu doğru parçasının orta dikme düzlemidir.

6. Aynı düzleme dik olan iki doğru birbirine paraleldir.

7. Paralel iki doğrudan birine dik olan düzlem diğerine de diktir.

(128)

44

8. Bir düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme dik olan bir tek doğru vardır.

9. Bir düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme dik olan bir tek doğru vardır.

10. (Üç Dikme Teoremi): Bir düzlemin dışında bulunan bir noktadan bu düzleme ve düzlem içindeki bir doğruya birer dikme çizilirse iki dikme ayağını birleştiren doğru düzlem içindeki doğruya diktir.

11. Bir düzleme dik olan bir doğruyu içinde bulunduran düz- lemler bu düzleme diktir.

12. Paralel iki düzlemden birine dik olan bir düzlem diğerine de diktir.

13. Bir doğru iki düzlemden birine paralel, diğerine dik ise bu iki düzlem birbirine diktir.

(129)

45

UZAY KAVRAMI VE KONUM AKSİYOMLARI

1. Uzayda farklı iki doğrunun en çok bir ortak noktası var- dır.

2. Uzayda bir doğru ve bu doğru üzerinde bulunmayan bir nokta bir düzlem belirtir.

3. Uzayda kesişen farklı iki doğru bir düzlem belirtir.

4. Bir doğru, üzerinde bulunmadığı bir düzlemi keserse arakesiti bir noktadır.

5. Farklı iki düzlemin bir ortak noktası varsa bu nokta ortak doğru üzerindedir.

6. Farklı iki düzlemin en çok bir ortak doğrusu vardır.

7. Farklı iki düzlem kesişirse, bu düzlemlerin arakesiti bir tek doğrudur.

(130)

CEVAPLI TESTLER 1.

Aşağıdakilerden hangisi kesin olarak bir düzlem belirt- mez?

A) Üç nokta B) İki nokta C) İki doğru D) Kesişen iki doğru E) Bir nokta ile bir doğru

(131)

47

2.

Beş farklı nokta en çok kaç doğru belirtir?

A) 12 B) 11 C) 10 D) 8 E) 6

(132)

48

3.

Beş farklı nokta en çok kaç düzlem belirtir?

A) 12 B) 11 C) 10 D) 8 E) 6

(133)

49

4.

\³’de herhangi üçü doğrusal olmayan altı nokta kaç düz- lem oluşturur?

A) 25 B) 24 C) 20 D) 18 E) 16

(134)

50

5.

Aynı düzlemde bulunan 7 farklı doğru düzlemi en az kaç düzlemsel bölgeye ayırır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

(135)

51

6.

Aynı düzlemde bulunan 10 doğru düzlemi en çok kaç böl- geye ayırır?

A) 56 B) 54 C) 52 D) 50 E) 48

(136)

52

7.

Uzayda birbirine paralel 3 doğru ile herhangi üçü doğrusal olmayan 4 nokta en çok kaç düzlem belirtir?

A) 16 B) 18 C) 19 D) 24 E) 32

(137)

53

8.

Adedi sabit bir miktar doğru düzlemi en az 9 bölgeye ayırı- yorsa en çok kaç bölgeye ayırır?

A) 35 B) 36 C) 37 D) 38 E) 39

(138)

54

9.

Adedi sabit bir miktar doğru bir düzlemi en çok 46 bölgeye ayırıyorsa, bu doğrular bu düzlemi en az kaç bölgeye ayı- rır?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

(139)

55

10.

Bir doğru parçasının bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü aşa- ğıdakilerden hangisi olabilir?

A) Bir nokta B) Doğru C) İki nokta D) Işın E) Üçgen

(140)

56

11.

Bir doğru ile bu doğru üzerinde bulunmayan dört farklı nokta en çok kaç düzlem belirtebilir?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15

(141)

57

12.

Uzayda aykırı iki doğru ve bunların dışında bir nokta veriliyor.

Verilen noktadan geçen ve aykırı iki doğrunun her birini de kesen kaç doğru çizilir?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) Sonsuz çoklukta

(142)

58

13.

Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Bir doğru üzerinde sonsuz nokta vardır.

B) Bir düzlem üzerinde sonsuz nokta vardır.

C) Paralel iki düzleme dik sonsuz doğru vardır.

D) Bir noktadan geçen sonlu sayıda doğru vardır.

E) Bir düzlem üzerinde sosuz doğru vardır.

(143)

59

14.

Aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?

A) Bir düzleme içindeki bir P noktasından sadece bir dik doğ- ru çizilebilir.

B) Bir doğruya üzerindeki noktadan 3 dik düzlem çizilebilir.

C) Paralel iki doğrunun ikisini de kesen bir doğru varsa üç doğru da aynı düzlemdedir.

D) Bir düzleme dışındaki bir noktadan bir dikme inilir.

E) Bir doğru bir düzleme dik ise, doğruyu içine alan her düz- lemde bu düzleme diktir.

(144)

60

15.

Aşağıdaki koşullardan hangisi, farklı iki doğrunun paralel olmasına yeter?

A) Birbirine paralel farklı iki düzlemin içinde bulunması.

B) Birbirine dik iki düzlemin içinde bulunmaları.

C) Aynı doğruya dik olmaları.

D) Arakesitlerinin boş küme olması

E) Aynı doğruya paralel olan iki doğru olması.

(145)

61

16.

Aşağıdakilerden hangisi doğru değildir?

A) Bir düzlemin içinde alınan bir noktadan geçen ve düzleme dik olan bir tek doğru vardır.

B) Bir düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme dik olan bir tek doğru vardır.

C) Aynı düzleme dik olan doğrular birbirine paraleldir.

D) Uzayda bir doğru parçasının, uç noktalarından eşit uzak- lıkta bulunan noktaların kümesi orta dikme doğrusudur.

E) Paralel iki doğrudan birine dik olan düzlem diğerine de diktir.

(146)

62

17.

Uzay ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Herhangi bir doğru üzerinde sınırlı sayıda nokta vardır.

B) Düzlemde bir noktadan sınırlı sayıda doğru geçer.

C) Uzayda bir doğrudan sınırlı sayıda düzlem geçer.

D) Uzayda bir noktadan sınırlı sayıda düzlem belirlenir.

E) Düzlemde bir doğruya paralel sınırsız doğru vardır.

(147)

63

18.

A) Düzlemde bir doğruya dışındaki bir noktadan bir tane paralel doğru çizilebilir.

B) Düzlemde bir doğruya dışındaki bir noktadan bir tek dikme çizilebilir.

C) Düzlemde aynı doğruya dik olan iki doğru birbirine paraleldir.

D) Düzlemde birbirine paralel olan doğrulardan birbirine paralel olan doğru diğerine de paraleldir.

E) Düzlemde kesişen iki doğrudan birine dik olan doğru diğe- rine de diktir.

(148)

64

19.

A) Bir doğruya üzerindeki bir noktadan yalnız bir dikme çıkı- lır.

B) Paralel iki doğru bir düzlem belirtir.

C) Farklı iki noktadan bir doğru geçer.

D) Kesişen farklı iki düzlemin bir ortak doğrusu vardır.

E) Yalnız bir ortak noktası olan doğrular kesişen doğrulardır.

(149)

65

20.

\³’de aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

A) Aynı düzleme dik iki düzlem birbirine paraleldir.

B) Paralel iki doğrudan birini kesen bir düzlem diğerine paralel olur.

C) Aynı düzlemde olup birbirini kesmeyen doğrulara aykırı doğrular denir.

D) İki noktadan eşit uzaklıktaki noktalar aynı düzlem üzerin- dedir.

E) Bir doğru bir düzleme dik değilse doğrunun bu düzlem üzerindeki dik izdüşümü bir noktadır.

(150)

66

21.

Aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?

I. Paralel iki doğrudan birine paralel olan doğru diğerine de paraleldir.

II. Paralel iki düzlemden birine dik olan doğru diğerine de diktir.

III. Aynı doğruya dik olan düzlemler birbirine paraleldir.

IV. Uzayda paralel iki doğrudan birini dik kesen doğru, di- ğerine ya dik, ya da dik durumludur.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

(151)

67

22.

\³’de aşağıdakilerden hangileri yanlıştır?

I. Üç düzlemin arakesit doğruları en fazla 2 tanedir.

II. Bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar bir düzlem belirtir.

III. Bir doğruya üzerindeki bir noktadan sonsuz tane dikme çıkılır.

IV. Düzlem üzerinde olmayan bir doğru düzlem içindeki bir doğruya dik ise düzlemle arakesiti bir noktadır.

A) I, II, IV B) I, III, IV C) I, IV D) I, II E) II, IV

(152)

68

23.

\³’de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Düzlemde paralel iki doğrudan birine paralel olan herhangi bir doğru diğerine de paraleldir.

B) Aynı doğruya paralel olan farklı iki doğru birbirine paraleldir.

C) Düzlemde paralel iki doğrudan birine dik olan doğru diğe- rine de diktir.

D) Paralel iki düzlemi üçüncü bir düzlem kesiyor ise oluşan arakesitler birbirine paraleldir.

E) Paralel iki doğrudan geçerek kesişen iki düzlemin arakesi- ti, bu doğrulara dik doğrudur.

(153)

69

24.

Düzlemde bir d doğrusu ve bu doğrudan 5 cm uzaklıkta bir A noktası veriliyor.

A noktasına 8 cm, d doğrusuna 3 cm uzaklıktaki noktala- rın geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) Doğru parçası B) Çember yayı C) Üç nokta D) İki nokta E) Dört nokta

(154)

70

25.

\²’de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Aynı doğruya dik olan iki doğru birbirine paraleldir.

B) Paralel iki doğruya paralel olmayan üçüncü doğru mutlaka diğer doğruları keser.

C) Doğrunun üzerindeki bir noktadan geçen ve bu doğruya dik olan bir tek doğru vardır.

D) Paralel iki doğrudan birine paralel olan bir doğru diğerine de paraleldir.

E) Doğrunun dışındaki bir noktadan bu doğruya birden fazla dik doğru çizilebilir.

(155)

71

26.

A) Paralel iki doğrudan birini dik kesen düzlem diğerine diktir.

B) Çakışık doğruların ortak en az iki noktası vardır.

C) Paralel iki doğru yalnız bir düzlem belirtir.

D) İki doğrunun ortak bir noktası var ise bu doğruları üzerin- de bulunduran bir düzlem vardır.

E) Birbirini kesmeyen iki doğrunun içinde bulundukları düz- lemler birbirine daima paraleldir.

(156)

72

27.

\³’de aşağıdakilerden hangisi yanlış olabilir?

A) Bir doğrunun iki düzlem üzerindeki izdüşümü aynı ise bu doğru iki düzlemin açıortay düzlemi içindedir.

B) İki noktanın ortak doğruları çakışıktır.

C) Bir şeklin verilen bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü ken- disiyle aynı ise şekil düzleme paraleldir.

D) iki doğrunun bir düzlemdeki dik izdüşümleri kesişiyorsa doğrularda kesişiyordur.

E) Bir doğru kesişen iki düzlemin arakesit doğrusuna dik ise düzlemlerin içinde olmayabilir.

(157)

73

28.

A, B, C uzayda verilen doğrular ise aşağıdakilerden han- gisi daima doğrudur?

A) A ⊥ B ve B ⊥ C ise A // C’ dir.

B) A ⊥ B ve B ⊥ C ise A ⊥ C’dir.

C) A // B ve B ⊥ C ise A ⊥ C’dir.

D) A // B ve A ⊥ C ise B ∩ C = ∅ E) A // C ve A ⊥ B ise C ∩ B ≠ ∅

(158)

74

29.

\²’de aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?

A) Aynı doğruya paralel olan iki doğru, birbirine paraleldir.

B) Aynı doğruya dik olan iki doğru, birbirine paraleldir.

C) Paralel iki doğrudan birine dik olan doğru, diğerine de diktir.

D) Aynı düzlemde kesişen iki doğrunun iki tane ortak noktası vardır.

E) Paralel iki doğru arasındaki uzaklık, bunlara dik olan doğ- ru parçasının uzunluğudur.

(159)

75

30.

\³’de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Bir düzleme dışındaki bir noktadan sadece 1 tane paralel düzlem çizilir.

B) İki paralel doğrudan biri kesen doğru diğerini kesmeyebi- lir.

C) Dört düzlem uzayı en çok 14 bölgeye ayırır.

D) Doğrusal olmayan üç nokta bir düzlem belirtir.

E) Farklı iki düzlem kesişirse bu düzlemlerin arakesiti bir noktadır.

(160)

76

31.

Bir E düzlemine teğet ve yarıçap uzunlukları 4 cm olan kürelerin merkezlerinin geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) E’ye dik bir düzlem.

B) E’ye paralel bir düzlem.

C) E’ye 4 cm uzaklıkta paralel iki düzlem.

D) E’ye 4 cm uzaklıkta paralel iki doğru.

E) E’ye dik bir doğru.

(161)

77

32.

\²’de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Bir noktadan sonsuz doğru geçer.

B) Düzlemde farklı üç doğru farklı üç noktada kesişebilir.

C) Düzlemde farklı iki doğru ya paraleldir ya da kesişir.

D) Bir düzlemde üç doğru düzlemi en az 4, en çok 8 bölgeye ayırır.

E) Düzlemde paralel iki doğrudan birine dik olan doğru diğe- rine de diktir.

(162)

78

33.

\³’de iki doğru aynı düzlemin elemanı iseler aşağıdaki- lerden hangisi söylenemez?

A) İki doğru tek noktada kesişebilir.

B) İki doğru dik olabilir.

C) İki doğru aykırı olabilir.

D) İki doğru paralel olabilir.

E) İki doğru düzlemi 4 bölgeye ayırabilir.