6.4 Maddesel nokta için impuls ve momentum ilkesi

6.4 Maddesel nokta için impuls ve momentum ilkesi

F kuvveti etkisindeki m kütleli bir maddesel nokta için Newton’un ikinci hareket kanunu

d ( )

F mV

 dt

şeklinde yazılabilir. Buradaki mV vektörüne Lineer momentum veya hareket miktarı denir ve L ile gösterilir.

Lineer Momentum : LmV

d ( )

F mV

 dt denklemi Fdt d mV( ) şeklinde yazılıp maddesel noktanın hareketi esnasında 1. konumdan 2. konuma kadar integre edilirse

2 2

1 1

( )

t V

t V

Fdt  d mV

 

^{ 2}

1

2 1

t

t

Fdt mV mV



veya

2

1

1 2

t

t

mV 



Fdt mV

impuls momentum ilkesi elde edilir.

buradaki

2

1 t

t



Fdt ifadesine Lineer impuls denir.

mV₁

2

1 t

t



Fdt mV₂

2

1

1 2

( ) ( )

t

x x x

t

m V 



F dt m V

2

1

1 2

( ) ( )

t

y y y

t

m V 



F dt m V

2

1

1 2

( ) ( )

t

z z z

t

m V 



F dt m V

Problem 6.4.1 130 Newton ağırlığındaki bir paket döşemenin üzerinde hareketsiz durmaktadır. Aniden P=250 Newton şiddetindeki bir kuvvet şekilde gösterildiği gibi uygulanmaktadır.Paketin kuvvet uygulandıktan 3 saniye sonraki hızını bulunuz. ( Döşeme ile paket arasındaki sürtünme katsayısı 0.35 dır.

W P 10⁰

f

N

Çözüm

y W t P t 10⁰

mV₂ x

f t mV₁= 0 N t

2

1

1 2

( ) ( )

t

x x x

t

m V 



F dt m V ^{ 0 P tcos100  f t m V( x)2}

0 250 3 0,9848 3 ¹³⁰ ( )₂ 9,81 ^x

f V

     

2

1

1 2

( ) ( )

t

y y y

t

m V 



F dt m V ^{ 0}     ^{N t W t P tsin100} ⁰ 0N 3 130 3 250 3 0,17365  0  N 86, 588Newton.

^f ^N  f 0, 35 86, 588 , ^f ^{30, 306Newton} 0 250 3 0,9848 3 ¹³⁰ ( )₂

9,81 ^x

f V

       250 3 0,9848 30,306 3 ¹³⁰ ( )₂ 9,81 V^x

    

(V_x)₂ 48,9m s/

Problem 6.4.2 100 km/h hızla giden 1000 kg kütleli bir deney otomobili bir bari yere çarptırılıyor. çarpışma süresi 0.3 s. olduğuna göre bari yerden otomobile gelen ortalama tepki kuvvetini bulunuz.

100 km/h y

1000 kg

x

Çözüm

mV₁ W t mV ₂ 0

R t

N t

100 / ^{100 *1000} / 60 * 60

km h m s , 100km h/ 27, 778m s/

2

1

1 2

( ) ( )

t

x x x

t

m V 



F dt m V ^{ 0,3}

0

1000 27, 778  



R dt 0 ^{ 0,3}

0

27778 R dt  Ns



0,3 .

0

1 27778

0, 3 0, 3

Rort 



R dt  N ^{, Rort. 92, 6kN}

Problem 6.4.3 2000 kg kütleli bir otomobil 5⁰ derece eğimli bir yolda 90 km/h hızla hareket ederken frene basılıyor. zeminin lastiklere uyguladığı toplam sürtünme kuvveti 7,5 kN olduğuna göre otomobil durana kadar geçen zamanı bulunuz.

5⁰

Çözüm:

W

5 ⁰

f1

f2

N1

N2

mVImp_12 mV₂  mV₁Wsin 5⁰ t (f₁ f₂  f₃ f₄)t mV₂ V₂ 0 (son hız sıfır olacağından )

V₁ 90 1000 /(60 * 60) m s/ , V₁ 90 1000 /(60 * 60) m s/

V₁ 25m s/ , f₁ f₂ f₃ f₄ 7,5kN , W 2000g

2000 25 2000 9,81 sin 5    ⁰ t 7500t 0  ^{2000 25} ₀

7500 2000 9,81 sin 5

 

  

t

t 8, 64s

Problem 6.4.4 15 N ağırlığındaki bir bloğun başlangıç hızı V₁15i 15 (j m s/ )

olarak verilmektedir. F250i 250t j N( ) şeklinde ifade edilen bir kuvvet bu cisme t 0 dan t 0, 3s ye kadar etki etmektedir. Bu cismin t 1s deki hızını sürtünmeyi ihmal ederek bulunuz.

mV₁ mV₁

2

1 t

t



Fdt

mV₂

2

1 t

t



Fdt

Çözüm

15 m 9,81kg

2

1

1 2

t

t

mV 



Fdt mV ^{ 0,3 2}

0

15 15

(15 15 ) (250 250 )

9,81 i  j 



i  t j dt 9,81V

0,3 2

0

(15 15 ) 9,81 (250 250 )

V  i  j  15



i  t j dt

 ²

2

9,81 9,81 0, 3

(15 250 0, 3) [15 250 ]

15 15 2

V    i    j , ^V₂ ^{64, 05i} ^{7, 64 (j m s/ )} 0.3

t  s den sonra cisme kuvvet uygulanmadığı için hızı değişmez.

6.5 Maddesel nokta için Açısal impuls-Açısal momentum ilkesi 6.5.1 Maddesel noktanın açısal momentumu

y

H_O mV

P O r

z x

P maddesel noktasına ait mV Momentumunun O noktasına göre momentine P maddesel noktasının O noktasına göre açısal momentumu denir ve H_O ile gösterilir.

H_O  r mV

F m a denklemini  d mV^{( )}

F dt şeklinde yazıp her iki tarafın soldan r

vektörü ile vektörel çarpımı yapılırsa   d mV^{( )}

r F r

dt denklemi elde edilir.

d (  ) dr   d mV^{( )}

r mV mV r

dt dt dt eşitliğinde dr  0

dt mV olduğundan d mV^{( )}  d (  )

r r mV

dt dt eşitliği kullanılırsa   d (  )

r F r mV

dt denklemi elde edilir.

r  F M_O olduğu bilindiğine göre bu son iki denklemden _O  d (  )

M r mV

dt denklemi bulunur. H_O  r mV olduğundan

_O  dH^O

M dt elde edilir.

Maddesel noktaya etki eden kuvvetlerin bir noktaya göre momentleri

toplamı aynı noktaya göre hesaplanan açısal momentumun zamana göre türevine eşittir.

6.5.2 Maddesel noktanın Açısal İmpulsu

 ^O

O

M dH

dt denkleminden elde edilen M dt_O dH_O denkleminin her iki tarafı

t1 den t₂ ye integre edilirse ²

   

1

2 1

 

t



O O O

t

M dt H H veya

 

²

 

1

1^t



 2

O O O

t

H M dt H maddesel nokta için Açısal impuls-Açısal momentum denklemi bulunur.

Eğer ²

1

0

t



O t

M dt ise

   

^HO ₁^{ HO} ₂ olur. Diğer bir deyişle açısal momentum korunur.

Problem 6.5.1

5 kg kütleli İki adet küre , kütleleri ihmal edilen ve uzunlukları L5m olan iki rijid çubuğa monte edilmiştir. Çubuklar düşey şaft etrafında serbestçe dönmektedir. Düşey şaft  60⁰ iken n₁ 120dev dak/ ile döndüğüne göre  45⁰ iken açısal hızı ne olur ?

L5m L5m

 

5 kg 5 kg 

Çözüm :

Düşey eksene göre açısal momentumun korunumu

1 2

Z Z

H  H

H_Z  R mR H_Z (5sin )5(5sin )   , H_Z 125 sin ²

²

60

  ^n , ²⁵ sin²

Z 6

H  ^n 

1

2 0

25 sin 60

Z 6

H 

 ,

2

2 0

25 2

sin 45

Z 6

H n



H_Z1  H_Z2  ²⁵ sin 60^{2 0 25 2}sin 45^{2 0}

6 6

n

  

2 0

2 2 0

120 sin 60 sin 45 n 

n₂ 180dev dak/

Problem 6.5.2

Şekilde görüldüğü gibi 1.5 Mg kütleli bir otomobil dairesel yol üzerinde

dolanmaktadır. Eğer yoldaki tekerlekler üzerindeki yol kuvveti F (150 ) .t² N ise ( t burada saniye cinsindendir ) t 5s de otomobilin hızını belirleyiniz.

Otomobilin başlangıçtaki hızı 5 m/s dir. Otomobilin büyüklüğünü ihmal ediniz.

Çözüm:

Aşağıdaki şekilde otomobilin serbest cisim diyagramı gösterilmektedir. Eğer z eksenin göre açısal impuls ve momentum ilkesini uygularsak, ağırlık, normal kuvvet ve merkeze doğru olan sürtünme kuvvetinin açısal impulsları, z

ekseninden geçtiği veya paralel oldukları için elimine edilir. Sadece F kuvvetinin impulsu göz önüne alınır.

Açısal impuls ve momentum ilkesi :

Cevap

BÖLÜM 7

MADDESEL NOKTALAR SİSTEMİNİN KİNETİĞİ

7.1 Kütle merkezinin hareketi teoremi

Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi maddesel noktalardan oluştuğu düşünülen sistem veya rijid cismin hareketinde her bir maddesel nokta için yazılan F ma

 denklemi alt alta yazılıp toplanırsa

a3

y a₂ m₃ F_i m_i a_i

m₂ m_n a_n

F2

^{G(,,)}

Fn

^a₁

m₁

F₁

 x

z

F₁ m₁a₁



^F₂ ^m₂^a₂

F3 m3a3



……….

Fi miai



……….

Fn mnan



 

 



n i

n i

i i

i m a

F

1 1

 

denklemi elde edilir. Burada G maddesel noktalar sisteminin kütle merkezidir.

Kütle merkezinin yer vektörü

¹

1 n

i i

i n

i i

m OA OG

m











şeklinde yazılabilir. Bu denklem aşağıdaki gibi düzenlenebilir.

1

1











i

n i A i

G n

i i

m r r

m



1 1

( )

 







i

n n

i G i A

i i

m r m r

Bu eşitliğin her iki tarafının zamana göre ikinci türevi alınırsa





 ⁿ

i

i i

G m a

a m

1





yazılabilir. Burada





 ⁿ

i

mi

m

1

toplam kütleyi gösteriyor

 

 



n i

n i

i i

i m a

F

1 1

 

ifadesindeki 

 n i

i ia m

1

 yerine ma_G

yazılırsa



^{F maG}

şeklindeki kütle merkezinin hareketi teoremi olarak bilinen denklem elde edilir.

Bu denkleme göre maddesel noktalar sisteminin veya rijid cismin kütle merkezi bütün kuvvetler ona uygulanmış ve toplam kütle orada yoğunlaşmış bir

maddesel nokta gibi hareket eder.

Problem 7.1.1

Çözüm: Dış kuvvet olmadığı için sistemin kütle merkezi v₀ 150i m s/ sabit hızı ile hareket eder, yeri ise

0 (150 / ) (2.5 ) (375 ) rG v t  m s i s  m i

1 1

( )

 







i

n n

i G i A

i i

m r m r denklemi kullanılırsa

G A A B B C C

mr m r m r m r

200 375 i 100 (555 i 180j240 )k 60 (255 i120 )k 40r_C Bu eşitlikten r_C çekilirse istenen sonuç bulunmuş olur.

105 450 420 rC  i  j  k

SORU 4: Kütle merkezi G1 de ve kütlesi 1600 kg olan bir forklift dikey kaldırma ünitesine sahiptir.

Kaldırılan kütle ve dayandığı dikey doğrultuda hareket eden parçanın birlikte kütlesi 900 kg ve merkezi G2 dedir. B deki yuvarlanmalı destek sadece yatay doğrultuda tepki gösterirken, C deki bağlantı hem yatay hem de düşey doğrultuda tepki göstermektedir. Yükün yukarı doğru yeteri düzeyde bir a ivmesi ile çıktığında A arka tekerleğinde tepki sıfır olduğuna göre, bu durumda B deki tepkiyi bulunuz.

SORU 4: Bir takozlu konveyer, katı homojen silindirleri 15⁰ eğimli bir düzlemde taşıyor. Her bir silindirin çapı yüksekliğinin yarısıdır.

İlk hareketde silindirlerin devrilmeden taşınabilmesi için, konveyörün sahip olması gereken maksimum ivme ne olmalıdır.

Cev. a0.224g

SORU 5: Bir yangın söndürme helikopteri bir gölün üzerinde uçarken su kovasını göle daldırıp içini su ile dolduruyor.

Yavaşça yükseliyor, kovayı gölden çıkarıyor, ve aslında havada dururken yatay doğrultudaki a₀ ivmesi ile uçmaya başlıyor.  nün maksimum değerinde,  açısı için bir eşitlik elde ediniz. Ayrıca  nın fonksiyonu olarak kablodaki T gergi kuvvetini bulunuz

7.2 Maddesel noktalar sisteminin hareketinde iş ve enerji ilkesi

Tek bir maddesel nokta için bulunan _{(1)( 2)} T₂T₁

denklemi maddesel noktalar sisteminde her bir nokta için ayrı ayrı yazılabilir. İş ve enerji skaler büyüklükler oldukları için sayısal toplamları alınır.

2 1 n

i i i

T m v







Bu durumda Bir maddesel noktalar sisteminin hareketinde (1) konumundan (2) konumuna hareketinde sisteme etki eden tüm kuvvetlerin yaptığı işler toplamı maddesel noktaların bu konumlar arasındaki kinetik enerjiler toplamının farkına eşittir.

Kinetik enerjiler maddesel noktaların hareket ettiği yola bağlı değildir. Sadece son ve ilk konumlarındaki hızlarına bağlıdır. Etki eden kuvvetlerin yaptığı işler ise mekanik enerjinin korunmadığı durumlarda yola bağlıdır.

Mekanik enerjinin korunduğu durumlarda yapılan iş, potansiyel enerji farkının -1 ile çarpımına eşittir. Potansiyel enerjiler de sayısal olarak toplanabilir.

G

7.2.1 Maddesel noktalar sisteminin kütle merkezini orijin alan referans sistemini kullanarak kinetik enerjinin hesabı

y

y_G v_G v_G

v_G A_{i /}

A Gi

v m_i

x_G r_G

z_G

O x z

1 ²

2 ⁱ

i i A

T  m v ²

i i i

A A A

v v v , _/

i i

A G A G

v v v , ² ( _/ ) ( _/ )

i i i

A G A G G A G

v  v v  v v

²

1

1

2 ⁱ

n i A i

T m v







^{, / /}

1

1 ( ) ( )

2 ^{i i}

n

i G A G G A G

i

T m v v v v







  

² _/ ²_/

1 1 1

1 1

( )

2 ⁱ 2 ⁱ

n n n

i G i G A G i A G

i i i

T m v m v v m v

  









 



Burada _{/ /}

1 1

( ) 0

i i

n n

i G A G G i A G

i i

m v v v m v

 

   

 

G kütle merkezi olduğundan

/ 1

i 0

n

i A G i

m v





 olur böylece toplam kinetik enerji

^{2 2}_/

1 1

1 1

2 2 ⁱ

n n

i G i A G

i i

T m v m v

 









şeklinde yazılabilir. Bu denklem parçacık sisteminin toplam kinetik enerjisinin, Tüm sistemin kütle merkezinde toplandığı maddesel noktanın kinetik enerjisi ile parçacıkların kütle merkezine göre kinetik enerjileri toplamına eşittir.

7.3 Maddesel noktalar sistemi için impuls ve momentum ilkesi

Bir maddesel noktalar sisteminde her bir maddesel nokta için yazılan

2

1

1 2

t

t

mV 



Fdt mV denklemleri alt alta yazılıp toplanırsa

2

1

1 2

t

t

mV  Fdt  mV

   

maddesel noktalar sistemi için impuls momentum denklemi elde edilir.

Burada kütle merkezinin yeri dikkate alındığında



mV yerine (



m V) _G

alınabileceğinden yukarıdaki denklem

 

²

 

1

1 2

( ) ( )

t

G G

t

m V  Fdt  m V

   

şeklinde yazılabilir.

Eğer sisteme etki eden kuvvetlerin impulsları toplamı sıfır ise

1 2

mV  mV

 

maddesel noktalar sistemi için momentumun korunumu denklemi elde edilir.

Eğer sistemin kütle merkezi göz önüne alınırsa

 

G

mV  m V

 

eşitliği dikkate alındığında sistemin kütle merkezinin hızının momentumun korunumu durumunda değişmediği görülür.

Problem 7.3.1

Ayrıca bu problemde 2.5s için A parçasının hızının v_A 270i 120j160k ve B parçasının hızının ise xz düzlemine paralel olduğu biliniyor. C parçasının hızını bulunuz.

Çözüm: Dış kuvvet olmadığı için sistemin kütle merkezi v₀ 150i m s/ sabit hızı ile hareket eder, yeri ise

0 (150 / ) (2.5 ) (375 ) rG v t  m s i s  m i

1 1

( )

 







i

n n

i G i A

i i

m r m r denklemi kullanılırsa, mr_G m r_{A A}m r_{B B} m r_{C C} 200 375 i 100 (555 i 180j240 )k 60 (255 i120 )k 40r_C Bu eşitlikten r_C çekilebilir, r_C 105i 450j 420k

7.3.1 Maddesel noktalar sisteminin açısal momentumu

Bir maddesel noktalar sisteminin bir noktaya göre açısal momentumu her bir maddesel nokta için hesaplanan açısal momentum toplanarak elde edilir.

Maddesel noktaların birbirine aynı doğru üzerinde eşit şiddette ters yönde kuvvet uyguladıkları bilindiğinden bunların toplam momentleri sıfır olur.

Bundan dolayı denklemlerde sadece dış kuvvetlerin momentleri göz önüne alınır.

^{HO }

 

^{r mV}



  

^{MO dış dH}_dt^O

7.3.2 Maddesel noktalar sistemi için açısal impuls ve açısal momentum ilkesi

Bir maddesel noktalar sistemi için açısal impuls-açısal momentum denklemi her bir maddesel nokta için yazılan denklemler taraf tarafa toplanarak elde edilir.

 

²

 

1

1 2

t

O O O

t

H 



M dt H

Eğer açısal impuls sıfır ise Açısal momentum korunur.

2

1

0

t O t

M dt 



^

   

^HO ₁ ^{ HO} ₂