Ödev 1 ( ) Ödev 2 (2 Mart 2012)

(1)

ĐST-554 Rasgele Sayılar ve Simülasyon

(2011/2012 Ders Yılı, Bahar Dönemi)

Ödev 1 (24.2.2012)

http://en.wikipedia.org/wiki/Random_number_generation

adresindeki

Random number generation

başlıklı yazıyı okuyup anlamaya çalışın. Bu yazıyı aranızda işbirliği yaparak Türkçeye çeviriniz.

Ödev 2 (2 Mart 2012)

1. James E. Gentle

Random Number Generation and Monte Carlo Methods

kitabındaki 1. Bölüme ait 1.5 ve 1.7 alıştırmalarını çözünüz.

2. Đlerideki ödevlerde kullanmak üzere, (0,1) aralığından rasgele sayı üreten kendinize ait, özgün bir üreteç oluşturunuz. Üretecinizi, birinci problemdekine benzer incelemelerden geçiriniz.

Not: Ödevinizi Matlab’da hazırlayınız ve kâğıt üzerine çıktı alarak teslim ediniz.

http://80.251.40.59/science.ankara.edu.tr/ozturk/Dersler/ist320/Ders3/LineerUretecler.doc

(2)

Ödev 3 (9 Mart 2012)

1. James E. Gentle

Random Number Generation and Monte Carlo Methods

kitabındaki 2. Bölüme ait 2.1 alıştırmasını çözünüz. Kendi sayı üretecinizi de “zar testinden” geçiriniz.

2. Öztürk ve Özbek

Matematiksel Modelleme ve Simülasyon

kitabındaki: run testi, permütasyon testi, poker testi ve kupon biriktirme testi’ni gözden geçiriniz ve sayı üretecinizi bu testlerden geçiriniz

Not: Ödevinizi kâğıt üzerine çıktı alarak teslim ediniz.

(3)

Ödev 4 (16 Mart 2012)

1. James E. Gentle

Random Number Generation and Monte Carlo Methods

kitabındaki (sayfa 77)

için Matlab programı yazınız ve üreticinizi bu testten geçiriniz.

(4)

2. James E. Gentle

Random Number Generation and Monte Carlo Methods

kitabındaki

düşüncesine uygun bir test geliştiriniz ve üreticinizi bu testten geçiriniz.

3. DIEHARD

testlerinden bir tanesinin Matlab programını yazmaya çalışınız.

Not: Ödevinizi kâğıt üzerine çıktı alarak teslim ediniz.

(5)

Ödev 5 (23 Mart 2012)

1. Rasgele Sayı Üreteç’lerinin kalitesini ortaya çıkarabilecek,

DIEHARD

testlerinden en az bir tanesini içeren ve en az 5 tane test bulunduran bir test takımını Matlab yazılımında hazırlayınız.

2. Hazırladığınız test takımından başarı ile geçen bir üreteç ile U(0,1) düzgün dağılımdan ürettiğiniz sayıları kullanarak aşağıdaki dağılımlardan 100 ‘er tane sayı üretiniz ve histogram çizdiriniz. Histogramın üstüne, ilgili dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiğini çizdiriniz (y-ekseni boyunca olasılık yoğunluk fonksiyonu değerlerini, histogram ile uyumlu olacak şekilde ölçeklendiriniz).

a) = < <

. . , 0

20 0

) ,

(

2

y d

x x cx

f

b)

{ }

( ) 1

2

( ) /

1 2

( ) 1 ,

(1 )

( / ) 1 ,

2 (0,1)

( )

: 1, 2, 3,...

, ,..., ,...

k

t t

k y x

Y Y

t t

n

f x x

x

g y x e y

X N Y Y t

X X X

π

θ

+

− −

= − ∞ < < ∞

+

= − ∞ < < ∞

=

∈R

∼

c) ⁵

1 10

( ) ,

10

x

f x e⁻ x

−

= − ∞ < < ∞

d) N( =10,µ σ²=9)

e) Γ( =5, ) ,α β β=1,2,5,10,15

f) Weibull (2,5)

Not: Ödevleri,

ist554odev5adsoyad.doc biçiminde bir tek dosyada

fikriozturk.odevler@gmail.com adresine gönderiniz.

(6)

Ödev 6 (30 Mart 2012)

1. Öztürk ve Özbek, “Matematiksel Modelleme ve Simülasyon” kitabındaki, Kabul-Red Yöntemi (sayfa 182) ile ilgili algoritma ve örnekler için Matlab yazılımında programlar yazınız. Matlab’daki randn, normrnd, gamrnd, kısaca ...rnd gibi hazır fonksiyonları (deyimleri, komutları) kullanmayacaksınız.

Bunlardan iki tanesinin Matlab programlarını toolbox’dan alıp irdeleyiniz.

2. Önceki ödevde, olasılık yoğunluk fonksiyonu

5

1 10

( ) ,

10

t

f t e⁻ t

−

= − ∞ < < ∞

olan dağılımdan sayı ürettiniz. Şimdi, _θ∈R için

( / ) 1 ,

2

g y θ = e^{− −}y ^θ − ∞ < < ∞y

olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip dağılımdan sayı üreten bir Matlab programı yazınız. Bu programı, bir adım gecikmeli koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonları

( ) 1

( ) /

( / ) 1 ,

2

k t t

k

Y Y

g y x e y x y

+

− −

= − ∞ < < ∞

ve y₀ = ∈x₀ R olan {Y t_t ^: =0,1, 2,3,...} Markov sürecinden sayı (yörünge) üretmek için kullanarak, Metropolis-Hastings Algoritması yardımıyla standart normal dağılımdan (X ∼N(0,1) rasgele değişkenin dağılımından) sayı üreten bir Matlab programı yazınız. {Y t_t ^: =0,1, 2,3,...} süreci ve üretilen X X₁, ₂,...,X_n,... sürecinin farklı başlangıç değerleri için yörüngelerini çizdiriniz. X X₁, ₂,...,X_n,... sürecinin durağanlaşması için geçen süreyi (“burn-in” periyot uzunluğunu) görmeye çalışınız.

Standart normal dağılımdan Metropolis-Hastings Algoritması ile sayı ürettiğinizden emin olmak için bu sayılara normallik testi yapınız.

Not: Ödevleri,

Ödev 7 (6 Nisan 2012) James E. Gentle

Random Number Generation and Monte Carlo Methods

kitabındaki 5. Bölümden 5.1 ve 5.2 alıştırmalarını çözünüz.

Not: Ödevinizi el yazısı olarak teslim ediniz.

(7)

Ödev 8 (13 Nisan 2012)

1. Đki Değişkenli Normal Dağılıma sahip X₁,X₂ rasgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,

( )

⁽ ⁾ ¹ ¹ ¹ ¹

1 2 1 2 1 1 2 2

2 2 2

1 1

, exp , ,

2 det 2

x x

f x x x x

x x

µ µ µ π µ

 −  −  −∞ < < ∞

= − − −  

− −∞ < < ∞

 



∑



∑

olmak üzere, burada,

( ) ( )

( )

1 1 2 2

11 12

21 22

,

, (0, ) , , 1, 2 , pozitif tanımlı matris

i j ij

E X R E X R

Cov X X i j

µ µ

σ σ

σ σ σ

= ∈ = ∈

 

= ∈ ∞ = = 

 

∑

dır. X₁ ile X₂ ‘nin marjinal dağılımları

1 ( 1, 11)

X ^∼N µ σ

2 ( 2, 22)

X ^∼N µ σ ve koşullu dağılımları,

11 2

22 2

12 12 21

2

2 1 1 11

1 1 22 22

(1 )

12 12 21

1

2 2 2 22

2 2 11 11

(1 )

( ),

X N x

X x

X N x

X x

ρ

σ

σ σ σ

µ µ σ

σ σ

σ σ σ

µ µ σ

σ σ

−

 

 

 + − − 

=  

 

 

 

 

 + − − 

=  

 

 

∼

dır.

Parametreleri ₁ 10 , ₂ 15, ⁹ ¹²

12 25

µ = µ = =^ ^

 

∑

olan Đki Değişkenli Normal Dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiğini çizdiriniz. Matlab’daki normrnd komutu ile normal dağılımdan sayı üretiyor olabilelim. Bu dağılımdan:

a) ¹

2

0 1 0

( , )

0 0 1

Z N

Z

     

     

   

 ∼ olmak üzere ¹ ^1/2 ¹ ¹

2 2 2

Z X

X Z

µ µ

   

 

= Σ   + 

 

      dönüşümünü,

b)

f x x ( ,

1 2

) = f

_X₁

( ) x f

1 _X₂/_x₁

( x

2

)

gösterimini, c) Gibbs Algoritmasını

kullanarak 200 birimlik örnek üretiniz ve histogram çizdiriniz.

(8)

2. Olasılık yoğunluk fonksiyonu,

( )

⁽ ⁾

1 1 1

1

1 2 1 1 2 2

2 2 2

1 2

1 1/2

, exp , ,

2 det

x x

f x x x x

x x

µ µ µµ

π

−

   −   −∞ < < ∞

 

= − − −  −   −∞ < < ∞

∑ ∑

olan dağılımı (Đki Değişkenli Üstel Dağılım) göz önüne alalım.

1 2

9 12

10 , 15,

12 25

µ = µ = =^ ^

 

∑

için olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiğini çizdiriniz. Bu parametreli dağılımdan 200 birimlik örnek üretiniz (Gentle (2003),sayfa207) ve histogram çizdiriniz.

Kaynak: Gentle, J.E. (2003), Random Number Generation and Monte Carlo Methods, Springer.

Not: Ödevleri,

(9)

Ödev 9 (20 Nisan 2012) James E. Gentle

Random Number Generation and Monte Carlo Methods

kitabından, 6. Bölümdeki alıştırma 6.6 ‘yı çözünüz.

Not: Ödevleri, ist554odev9adsoyad.doc biçiminde fikriozturk.odevler@gmail.com adresine gönderiniz.

(10)

Ödev10 (27 Nisan 2012)

James E. Gentle

Random Number Generation and Monte Carlo Methods

kitabındaki, 7. Bölüme ait 7.3, 7.9 ve 7.10 alıştırmalarını çözünüz.

(11)

(12)

(13)

Ödev11 (4 Mayıs 2012)

James E. Gentle

Random Number Generation and Monte Carlo Methods

kitabındaki, 7. Bölüme ait 7.1, 7.4 ve 7.12 alıştırmalarını çözünüz.

(14)

12. Ödev (11 Mayıs 2012)

James E. Gentle

Random Number Generation and Monte Carlo Methods

kitabındaki, 7. Bölüme ait 7.8, 7.16, 7.17 ve 7.18 alıştırmalarını çözünüz.

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

13. Ödev (18 Mayıs 2012) James E. Gentle

Random Number Generation and Monte Carlo Methods

kitabındaki, 9. Bölüme ait alıştırma 9.1’i yapınız.

Ödev Notları: 12.Ödev

Sultan CAN 100 100 95 95 85 90 90 90 80 60 70 Mustafa Hilmi PEKALP 100 90 90 90 85 90 75 90 85 60 60

Fatih POYRAZ 95 75 0 0 0 0

Nihat YILMAZ 100 95 95 95 100 90 90 100 80 * *

Mustafa YILDIZ 90 80 0 0 0 0

Uğur BOZKURT 90 85 80 70 90 0 0 50

Rana ŞEN 100 100 95 100 100 90 90 95 80 90 70 Yunus AKDOĞAN 100 85 85 85 100 95 70 95 85 0 75 Yener ÜNAL 100 85 85 85 100 95 70 90 80 0 50 Erol ŞANLI 100 100 95 90 100 90 90 85 0 0 0