OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨onem

(1)

Kesi¸sen Nesiller Ekonomisi (Overlapping Generation (OLG) Models):

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

1 nesil ve 2 d¨onem:

Varsayımlar:

Sadece 1 nesil olsun ve bu nesil 2 d¨onem ya¸sasın: Gen¸clik (t=1) ve ya¸slılık (t=2). Tek tip mal var.

˙Indirgeme fakt¨or¨u: 0 < β < 1 ¨

Uretim yok yani takas ekonomisi (endowment) ekonomisi ge¸cerli: 1. d¨onem endowment w1ve 2.

d¨onem endowment w2olsun.

1. dönemde tüketim ve tasarruf (birikim ya da bor¸c) kararı verilirken, 2. dönemde sadece tüketim kararı veriliyor.

Yani 1. dönem birikim yapılarak eldeki endowment faiz geliri elde etmek üzere 2. döneme aktarılabilsin (s1> 0) veya 2. dönemde faiziyle ödenmek üzere 2. dönemden 1. döneme bor¸c alınabilsin (s1< 0).

Birikim ve bor¸clar veri bir faiz haddi (r1) ¨uzerinden yapılmaktadır.

2. dönem sonunda ki¸si öldü˘gü i¸cin bir tasarruf yok: s2= 0.

(2)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

1 nesil ve 2 d¨onem: Varsayımlar:

(3)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

Sadece 1 nesil olsun ve bu nesil 2 d¨onem ya¸sasın: Gen¸clik (t=1) ve ya¸slılık (t=2).

Tek tip mal var.

(4)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

(5)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

˙Indirgeme fakt¨or¨u: 0 < β < 1

¨

(6)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

Uretim yok yani takas ekonomisi (endowment) ekonomisi ge¸cerli: 1. d¨onem endowment w1ve 2. d¨onem endowment w2olsun.

(7)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

(8)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

(9)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

(10)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

(11)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

(12)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

T¨uketicinin problemi ¸su sekilde yazılabilir (not:Burada problemi SM formunda yazdık. Bu nedenle p1= 1 ve p2= 1 normalizasyonu yaptık): max c1,c2,s1log (c1) + βlog (c2) s.t. c1+ s1≤ w1 c2≤ w2+ (1 + r1)s1 c1, c2≥ 0

Uc1> 0 ve Uc2> 0 oldu˘gundan 2 kısıtı e¸sitlik halinde yazıp tek bir kısıta indirgiyebiliriz.

Inada ko¸sulu sa˘glandı˘gından non-negativity kısıtı da ihmal edilebilir. Problemi yeniden yazarsak:

max c1,c2log (c1) + βlog (c2) s.t. c1+ c2 (1 + r1) = w1+ w2 (1 + r1)

(13)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

(14)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

(15)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

(16)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

(17)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

(18)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

Inada ko¸sulu sa˘glandı˘gından non-negativity kısıtı da ihmal edilebilir.

Problemi yeniden yazarsak:

(19)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

(20)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

(21)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

(22)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

Lagrange fonksiyonunu yazarsak:

L = log (c1) + βlog (c2) + λ w1+ w2 (1 + r1) − c₁− c2 (1 + r1) !

FOC c1’e g¨ore:_c11 = λ

FOC c2’ye g¨ore:β_c2 = λ_(1+r1)1

˙Iki ko¸sulu bir araya getirirsek:

c1= 1 β(1 + r1) c2 (∗1) B¨ut¸ce kısıtını kullanırsak: 1 β(1 + r1) c2+ c2 (1 + r1) = w1+ w2 (1 + r1) (∗2)

Yukarıdaki denklemi c2i¸cin ¸c¨ozersek: c₂∗= β

1 + β(w1(1 + r1) + w2) (∗3) (∗1) ile (∗3) denklemlerini birle¸stirirsek c∗1 denklemini buluruz:

c₁∗= 1 β(1 + r1)

β

(23)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

c₁∗= 1 β(1 + r1)

β

(24)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

c₁∗= 1 β(1 + r1)

β

(25)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

FOC c2’ye g¨ore:_c2β = λ_(1+r1)1

c₁∗= 1 β(1 + r1)

β

(26)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

c₁∗= 1 β(1 + r1)

β

(27)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

c₁∗= 1 β(1 + r1)

β

(28)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

Yukarıdaki denklemi c2i¸cin ¸c¨ozersek:

c₂∗= β

1 + β(w1(1 + r1) + w2) (∗3)

(∗1) ile (∗3) denklemlerini birle¸stirirsek c∗1 denklemini buluruz:

c₁∗= 1 β(1 + r1)

β

(29)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

Yukarıdaki denklemi c2i¸cin ¸c¨ozersek:

c₂∗= β

1 + β(w1(1 + r1) + w2) (∗3) (∗1) ile (∗3) denklemlerini birle¸stirirsek c1∗denklemini buluruz:

c₁∗= 1 β(1 + r1)

β

(30)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

D¨uzenlersek: c∗₁ = 1 1 + β w1+ w2 1 (1 + r1) ! (∗4)

Optimal tasarruf s∗₁ ise c1+ s1= w1e¸sitli˘ginden elde edilir:

s∗₁ = w1− 1 1 + β w1+ w2 1 (1 + r1) ! (∗5)

(31)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

s∗₁ = w1− 1 1 + β w1+ w2 1 (1 + r1) ! (∗5)

(32)

OLG Modeli: 1 Nesil ve 2 D¨

onem

s∗₁ = w1− 1 1 + β w1+ w2 1 (1 + r1) ! (∗5)

(33)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Varsayımlar:

Sonsuz sayıda nesil olsun ve her bir nesil 2 d¨onem (gen¸clik ve ya¸slılık) ya¸sasın.

Nesiller do˘gdukları dönem ile adlandırılmaktadırlar. Örne˘gin t = 1 döneminde do˘gan bir nesil 1. nesil olarak adlandırılmkatadır.

Ekonomi t = 1 den ba¸slıyor. Ba¸slangı¸c nesli (t=0 döneminde do˘gdu˘gu varsayılan nesil) ise t=1 döneminde sadece 1 dönem (ya¸slılık olarak) ya¸samaktadır.

Dolayısıyla her dönem (t ≥ 1) gen¸cler ve ya¸slılar olmak üzere birlikte 2 nesil ya¸sıyor. Örnegin t=1 döneminde 0. nesil ya¸slı ve 1. nesil gen¸c olarak birlikte ya¸samaktadır.

ct

t→ t döneminde do˘gan neslin (üstteki t) t dönemindeki tüketimini (alttaki t) göstermektedir.

ct

t+1→ ise t döneminde do˘gan neslin (t+1) dönemindeki tüketimini göstermektedir.

¨ Uretim yok.

Sahip olunan endowment: wt

t, wt+1t (sırasıyla t’de do˘gan bir neslin t ve t+1’deki endowment

miktarları).

0. nesil w₁0endowment miktarına sahiptir. Her d¨onemde tek tip mal olsun.

Malları d¨onemler arası saklama olmasın (no storage). β = 1 olsun.

(34)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Varsayımlar:

ct

¨ Uretim yok.

miktarları).

(35)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Varsayımlar:

ct

¨ Uretim yok.

miktarları).

(36)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Varsayımlar:

ct

¨ Uretim yok.

miktarları).

(37)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Varsayımlar:

ct

¨ Uretim yok.

miktarları).

(38)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Varsayımlar:

ct

t → t döneminde do˘gan neslin (üstteki t) t dönemindeki tüketimini (alttaki t) göstermektedir.

ct

¨ Uretim yok.

miktarları).

(39)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Varsayımlar:

ct

¨ Uretim yok.

miktarları).

(40)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Varsayımlar:

ct

¨ Uretim yok.

miktarları).

(41)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Varsayımlar:

ct

¨ Uretim yok.

miktarları).

(42)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Varsayımlar:

ct

¨ Uretim yok.

miktarları). 0. nesil w0

1endowment miktarına sahiptir.

Her d¨onemde tek tip mal olsun.

(43)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Varsayımlar:

ct

¨ Uretim yok.

(44)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Varsayımlar:

ct

¨ Uretim yok.

Malları d¨onemler arası saklama olmasın (no storage).

(45)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Varsayımlar:

ct

¨ Uretim yok.

(46)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Arrow-Debreu Ekonomisini tanımlayalım:

AD ekonomisi ˆc₁0, (ˆc_tt, ˆc_t+1t )∞_t=1miktar serileri ve ( ˆpt)∞t=1fiyat serilerinden olu¸smaktadır. Bu seriler

a¸sa˘gıdaki ko¸sulları sa˘glar:

0. nesil icin: ˆp1veri iken ˆc10a¸sa˘gıdaki problemi ¸c¨ozer:

max c0₁ log c0₁ s.t ˆ p1c10≤ ˆp1w10 c0₁≥ 0

Di˘ger nesiller i¸cin (her bir t ≥ 1 nesli i¸cin): ( ˆpt, ˆpt+1) veri iken (ˆctt, ˆctt+1) a¸sa˘gıdaki problemi ¸c¨ozer:

max ct_{t ,c}t_t+1 log c_tt+ log c_t+1t s.t ˆ ptctt+ ˆpt+1ct+1t ≤ ˆptwtt+ ˆpt+1wt+1t c_tt, c_t+1t ≥ 0

(47)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Arrow-Debreu Ekonomisini tanımlayalım: AD ekonomisi ˆc0

1, (ˆctt, ˆctt+1)∞t=1miktar serileri ve ( ˆpt)∞t=1fiyat serilerinden olu¸smaktadır. Bu seriler

(48)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

(49)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

(50)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

(51)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

(52)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

(53)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

(54)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

(55)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

(56)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Market Clearing Condition:

Market Clearing: t d¨

oneminde gen¸c ve ya¸slıların t¨

uketti˘

gi

toplam mal, yine t d¨

onemindeki gen¸

c ve ya¸slıların toplam

endowment miktarına e¸sit olmalıdır.

ˆ

(57)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Market Clearing Condition:

Market Clearing: t d¨

oneminde gen¸c ve ya¸slıların t¨

uketti˘

gi

toplam mal, yine t d¨

onemindeki gen¸

c ve ya¸slıların toplam

endowment miktarına e¸sit olmalıdır.

ˆ

(58)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Market Clearing Condition:

Market Clearing: t d¨

oneminde gen¸c ve ya¸slıların t¨

uketti˘

gi

toplam mal, yine t d¨

onemindeki gen¸

c ve ya¸slıların toplam

endowment miktarına e¸sit olmalıdır.

ˆ

(59)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Nicel ¨Ornek:

˙Ilave varsayımlar: Sahip olunan endowment miktarları: wt

t= 2, wt+1t = 1 ∀t ≥ 1 .

0. nesil i¸cin w₁0= 1.

Problemi basitle¸stirilmi¸s ¸sekilde yazarsak: 0. neslin problemi: max c0₁ log c0₁ s.t ˆ p1c₁0= ˆp1w₁0 |{z} =1

Di˘ger nesillerin problemi:

max ct_{t ,c}t t+1 log c_tt+ log c_t+1t s.t ˆ ptctt+ ˆpt+1ct+1t = ˆpt wtt |{z} =2 + ˆpt+1wt+1t | {z } =1

Market clearing condition: ˆ

c_tt+ ˆc_tt−1= w_tt+ w_tt−1

| {z }

=3

(60)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Nicel ¨Ornek:

t= 2, wt+1t = 1 ∀t ≥ 1 .

| {z }

=3

(61)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Nicel ¨Ornek:

t= 2, wt+1t = 1 ∀t ≥ 1 .

| {z }

=3

(62)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Nicel ¨Ornek:

t= 2, wt+1t = 1 ∀t ≥ 1 .

Problemi basitle¸stirilmi¸s ¸sekilde yazarsak:

0. neslin problemi: max c0₁ log c0₁ s.t ˆ p1c₁0= ˆp1w₁0 |{z} =1

| {z }

=3

(63)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Nicel ¨Ornek:

t= 2, wt+1t = 1 ∀t ≥ 1 .

| {z }

=3

(64)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Nicel ¨Ornek:

t= 2, wt+1t = 1 ∀t ≥ 1 .

Problemi basitle¸stirilmi¸s ¸sekilde yazarsak: 0. neslin problemi: max c0₁ log c0₁ s.t ˆ p1c10= ˆp1w10 |{z} =1

| {z }

=3

(65)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Nicel ¨Ornek:

t= 2, wt+1t = 1 ∀t ≥ 1 .

| {z }

=3

(66)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Nicel ¨Ornek:

t= 2, wt+1t = 1 ∀t ≥ 1 .

| {z }

=3

(67)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Nicel ¨Ornek:

t= 2, wt+1t = 1 ∀t ≥ 1 .

| {z }

=3

(68)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Nicel ¨Ornek:

t= 2, wt+1t = 1 ∀t ≥ 1 .

| {z }

=3

(69)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

Nicel Örnek i¸cin AD Dengesi Ç özümü:

0. nesil probleminin ¸cözümünden ˆc₁0= 1 elde edilir (¸cünkü endowment israf edilmez ve tümü ya¸slılık tüketimi olarak kullanılır).

ˆ

c0₁= 1 bilgisi ve Market Clearing ko¸sulu kullanılarak ˆc₁1= 2 elde edilir.

Bu sonu¸ctan 1. nesildeki ki¸sinin gen¸clik döneminde tüm gelirini kullandı˘gını anlıyoruz. Dolayısıyla ya¸slılık i¸cin harcaması gereken miktar ancak ve ancak ya¸slılıktaki endowment miktarı kadar olmalıdır. Bu durumda 1. neslin ikinci dönemdeki tüketimi de ikinci dönemdeki gelirine e¸sit olacaktır. Yani, ˆc1₂= 1 olur.

Buraya kadar elde edilen sonu¸clardan gen¸c ve ya¸slının aralarında takas yapmadıkları sonucuna ula¸stık. ˆ

c1₂= 1 bilgisi ve Market Clearing ko¸sulu kullanılarak ˆc₂2= 2 elde edilir. Yukarıdaki ¸c¨oz¨um mantı˘gı genellenerek ˆc0

1= 1, ˆctt= 2 ve ˆct+1t = 1 sonucu elde edilir.

Yani denge de˘gerleri sahip olunan endowment miktarlarına e¸sittir.

(70)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

ˆ

c0₁= 1 bilgisi ve Market Clearing ko¸sulu kullanılarak ˆc₁1= 2 elde edilir.

(71)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

ˆ

c₁0= 1 bilgisi ve Market Clearing ko¸sulu kullanılarak ˆc₁1= 2 elde edilir.

(72)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

ˆ

Bu sonu¸ctan 1. nesildeki ki¸sinin gen¸clik d¨oneminde t¨um gelirini kullandı˘gını anlıyoruz.

Dolayısıyla ya¸slılık i¸cin harcaması gereken miktar ancak ve ancak ya¸slılıktaki endowment miktarı kadar olmalıdır. Bu durumda 1. neslin ikinci dönemdeki tüketimi de ikinci dönemdeki gelirine e¸sit olacaktır. Yani, ˆc1₂= 1 olur.

(73)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

ˆ

Bu sonu¸ctan 1. nesildeki ki¸sinin gen¸clik döneminde tüm gelirini kullandı˘gını anlıyoruz. Dolayısıyla ya¸slılık i¸cin harcaması gereken miktar ancak ve ancak ya¸slılıktaki endowment miktarı kadar olmalıdır. Bu durumda 1. neslin ikinci dönemdeki tüketimi de ikinci dönemdeki gelirine e¸sit olacaktır. Yani, ˆc₂1= 1 olur.

(74)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

ˆ

Buraya kadar elde edilen sonu¸clardan gen¸c ve ya¸slının aralarında takas yapmadıkları sonucuna ula¸stık.

ˆ

(75)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

ˆ

c₂1= 1 bilgisi ve Market Clearing ko¸sulu kullanılarak ˆc₂2= 2 elde edilir.

Yukarıdaki ¸c¨oz¨um mantı˘gı genellenerek ˆc0

(76)

OLG Modeli: Sonsuz Nesil ve 2 D¨

onem

ˆ

c₂1= 1 bilgisi ve Market Clearing ko¸sulu kullanılarak ˆc₂2= 2 elde edilir. Yukarıdaki ¸c¨oz¨um mantı˘gı genellenerek ˆc0