FEN BİLİMLERİ DERGİSİ JOURNAL OF SCIENCE
KATSAYILARI LEBESGUE İNTEGRALLENEBİLİR
FONKSİYONLAR OLAN ADİ DİFERANSİYEL OPERATÖRLERİN ÖZDEĞERLERİ ÜZERİNE
Alp Arslan Kıraç
Pamukkale Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fak., Matematik Böl., 20070 Kınıklı / DENİZLİ.
ÖZET
Bu makalede, p2(x), p3(x) şeklinde Lebesgue integrallenebilen kompleks değerli katsayılara sahip
y x p y x p y
y) ( ) ( )
( 2 3
diferansiyel ifadesi ve t -periyodik sınır koşulları tarafından, L2[0,1]’de üretilen L( p) diferansiyel operatörü ele alındı. L( p) operatörünün özdeğerleri için asimptotik formüller elde edildi.
Anahtar Kelimeler: Self-adjoint olmayan operatörler, t-periyodik sınır koşulları, Asimptotik formüller.
ON THE EIGENVALUES OF THE ORDINARY DIFFERENTIAL OPERATORS WHEN ITS COEFFICIENTS ARE LEBESGUE
INTEGRABLE FUNCTIONS ABSTRACT
In this article, we consider an operator L( p) generated by differential expression
y x p y x p y
y) ( ) ( )
( 2 3
,
in L2[0,1] and t-periodic boundary conditions, where p2(x),p3(x) are complex-valued functions in L1[0,1]. we obtain the asymptotic formulas for the eigenvalues of the differential operator L( p).
Key Words:Non-selfadjoint operators, t-periodic boundary conditions, Asymptotic formulas.
1. GİRİŞ
[0,1] kapalı aralığında kompleks değerli ve Lebesgue integrallenebilen ),
2(x
p p3(x)şeklinde katsayılara sahip y
x p y x p y
y) ( ) ( )
( 2 3
(1)
diferansiyel denklemi ve t sabit bir kompleks parametre olmak üzere )
0 ( )
1
( ( )
)
(ν eity ν
y , ν0,1,2 (2)
t-periodik sınır koşulları ([1]) tarafından, L2[0,1]’de üretilen L( p) diferansiyel operatörünü gözönüne alalım.
[2,3,4]’te özdeğerlere asimptotik formülleri verebilmek için kullanılan metod; (y ) λy denkleminin lineer bağımsız çözümleri ve onların türevlerinin karakteristik determinantta yerine yazılmasına bağlı olduğundan,
) ( p
L operatörünün k ’ıncı özdeğerleri için O(k)’ıncı mertebeden daha iyi asimptotik formüller verilebilmesi, (1) denklemindeki p2(x), p3(x) katsayıları üzerine koyulan sürekli türevlenebilme şartına bağlıdır.
Bu makalede, (1) denkleminin p2(x), p3(x) katsayıları, [0,1] kapalı aralığı üzerinde kompleks değerli Lebesgue integrallenebilen fonksiyonlar olduğunda, L( p) operatörünün k ’ıncı özdeğerleri için O(k(lnk k)2) mertebeden asimptotik formüller elde edildi. Sonuç olarak; (1) denkleminin katsayıları için herhangi bir sürekli türevlenebilme şartı yoktur.
2. ÖZDEĞERLER İÇİN ASİMPTOTİK FORMÜLLER
(1) denkleminin derecesi tek olduğundan dolayı, her t için (2) sınır koşulları regülerdir ve L( p) operatörünün yeterince büyük özdeğerlerinin katlılığı birdir (simple), ([4, sf. 64]). Buradan, [5, 6] göz önüne alınacak olursa,
N
k için L( p) operatörünün
λk(t):kZ
özdeğerleri aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:) ( ) 2
( )
(t kπi it 3 O k
λk (3)
Burada, N yeterince büyük bir tamsayıyı ifade eder. (3) formülündeki )
( p
L ’nin λk(t) özdeğerinin asıl önemli kısmı olan (2kπiit)3’ün, L(0) )
0 ) ( ) (
(p2 x p3 x için operatörünün e(2kπiit)x özvektörüne karşılık gelen özdeğeri olduğu kolayca görülebilir. Yani, k N ise L( p)’nin λk(t) özdeğeri için aşağıdaki eşitsizlikler elde edilir:
k c it i π k t
λk( )(2 )3 1 , (4)
3
1) )
( 2 ( )
(t πi k k it
λk
1 2 2
1
2 2πi(k k ) it 2kπi it 2πi(k k ) it 2kπi it
c
(5)
Burada k 1 Z/{0}ve cm, m1,2,..., N’den bağımsız pozitif sabitlerdir.
(4) ve (5)’e ilave olarak, ileride ispatlanan lemmada özellikle kullanılan, aşağıdaki eşitsizlik verilebilir:
3
1) )
( 2 ( )
(t πi k k it
λk
2 1 1
3 2πi(k k ) it 2kπi it 2πi(k k ) it
c
c4 k13 (6)
Burada, k N için k1 3k
yani kk1 2k
. (4) ve (5) kullanılarak aşağıdaki bağıntıların gösterilmesi zor değildir [7]:
0
: 3
1 1
1 1
ln )
) ( 2 ( ) (
) ( 2
k
k k k
O k it k k i π t λ
it k k i
π , (7)
0
: 3 2 2
1 2
1 1
1 )
) ( 2 ( ) (
k
k k O k
it k k i π t λ
k (8)
Burada k N. ψk,t(x) birim özvektörlere karşılık gelen, L( p) operatörünün λk(t) özdeğerlerine asimptotik formülleri elde etmek için aşağıdaki bağıntıyı gözönüne alalım:
) ),
( ( ) ) 2
( ) (
(λk t kπiit 3 ψk,t x e(2kπiit)x ) ,
) ( ) ( ) ( ) (
(p2 x ψk,t x p3 x ψk,t x e(2kπiit)x
(9)
Burada, (.,.), L2[0,1] uzayındaki iç çarpımı ifade eder.
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( 2 , 3 , ,
,t x p x kt x p x kt x k t kt x
k
eşitliğinin her iki tarafı e(2kπiit)x ile çarpılır ve
x it i π
e k
L(0) (2 ) (2kπiit)3e(2kπiit)x kullanılırsa, (9) bağıntısının elde edildiği görülür.
Lemma 2.1. k N için p2(x) ve p3(x) Lebesgue integrallenebilen fonksiyonlar olmak üzere;
p2(x)ψk,t(x) p3(x)ψk,t(x),e(2kπiit)x
1
1 1
) ) ( 2 ( , ,
2 ( ),
k
x t i k k i π t
k
k ψ x e
p
1
1 1
) ) ( 2 ( , ,
3 ( ),
k
x t i k k i π t
k
k ψ x e
p (10)
elde edilir. Burada, ps,k (ps(x),ei2πkx), s2,3. Ayrıca;
, ,
) ( ) ( ) ( )
( , 3 , (2 ) 5
2 x ψ x p x ψ x e c k
p kt kt nπi it x
n Z. (11)
İspat: İlk olarak k N için (10) eşitliğini ispatlayalım. ψk,t(x) ve ψk,t(x) fonksiyonları [0,1] kapalı aralığı üzerinde sınırlı olduğundan, Lebesgue integrallenebilen p2(x) ve p3(x) fonksiyonları için
( ) )
( ,
2 x x
p kt p3(x)k,t(x)L1[0,1] olduğu açıktır. Buradan,
0 ,
) ( ) ( ) ( )
( , 3 , (2 ( ) )
2 1
p x ψk t x p x ψkt x e πi kk it x , k1 (12)
olduğu görülür. Böylece, aşağıdaki eşitliği sağlayacak şekilde bir C(k) pozitif sabiti ve k tamsayısı vardır: 0
x t i k k i π t
k t
Z k
k p2 x ψ , x p3 x ψ , x e(2 ( 1) )
1
, ) ( ) ( ) ( ) ( max
= p2(x)ψk,t(x) p3(x)ψk,t(x),e(2k0πi it)x C(k)
(13)
Buradan, (9) göz önüne alınacak olursa,
3 1 )
) ( 2 (
, ( ) (2 ( ) )
) ), (
( 1
it k k i π t λ
k e C
x ψ
k x t i k k i π t
k
(14)
eşitsizliği elde edilir. (14) ve (6) eşitsizliklerinden
2 2 6 3
:
) ) ( 2 ( ,
2 1 1
), 1
(
k e c
x ψ
k k k
x t i k k i π t
k
(15)
elde edilir. Burada, k 2 k ve k1 3k2 3k (yani, kk1 2k ) şeklindedir. Böylece, ψk,t(x) fonksiyonu için {e(2πi(kk1)it)x :k1Z} bazı tarafından üretilen aşağıdaki toplam elde edilir:
) ( ),
( )
( (2 ( ) ) 0
3 :
) ) ( 2 ( ,
, 1
2 1 1
1 e g x
e x
x i k k it x
k k k
x t i k k i t
k t
k
. (16)
Burada,
2 2 6 0
] 1 , 0 [
) ( sup
k x c g
x
.
(14) eşitsizliğinin her iki yanı 2πi(kk1)it ile çarpıldıktan sonra, kısmi integrasyon ve (2) sınır koşulları kullanılarak aşağıdaki eşitsizlik bulunur:
3 1 ) 1
) ( 2 (
, () (2 ( ) )
) ( ) ( 2 ),
( 1
it k k i π t λ
k C it k k i e π
x ψ
k x t i k k i π t
k
(17)
Benzer şekilde, (6) eşitsizliği kullanılarak, ψk,t(x) fonksiyonu için }
:
{e(2πi(kk1)it)x k1Z bazı tarafından üretilen aşağıdaki toplam elde edilir:
) ( ),
( )
( (2 ( ) ) 1
3 :
) ) ( 2 ( ,
, 1
2 1 1
1 e g x
e x ψ x
ψ πi k k it x
k k k
x t i k k i π t
k t
k
. (18)Burada,
2 6 1
] 1 , 0 [
) (
sup k
x c g
x
)
, (x
ψkt ve ψk,t(x) için elde edilen bu toplamlar
p2(x)ψk,t(x) p3(x)ψk,t(x),e(2kπiit)x integralinde yerine konulur ve k , 2 ’a götürülürse (10) elde edilir.
(13)’de bulunan C(k) eşitliği, (10) bağıntısı ve kısmi integrasyon kullanılarak aşağıdaki eşitlik bulunur:
p xψkt x p x ψkt x e kπiit x k
C( ) 2( ) , ( ) 3( ) , ( ), (2 0 )
1
1 0 1
1
) ) ( 2 ( , , 3 1
0 ,
2 [2 ( ) ] ( ),
k
x t i k k i π t
k k
k πi k k it p ψ x e
p (19)
Şimdi (19)’daki
kπiit x
t
k x e
ψ , ( ), (2 ) çarpanını içeren terim ayıklanır (k0 k1k için) ve (9) kullanılırsa,
k k k
k k
k k
it k k i π t λ
p it k k i π k p
C
1 0 1
1 1
: 3
1 0
, 3 1
0 ,
2
) ) (
2 ( ) (
] ) (
2 ) [
(
p2(x)ψk,t(x) p3(x)ψk,t(x),e(2πi(k0k1)it)x
kπi it x
t k k k k
k kπi it p ψ x e
p2, [2 ] 3, , ( ), (2 )
0 0
k k k
k k
k
k c k
it k k i π t λ
k C p it k k i π p
1 0 1
1 1
:
3 8 1 0
, 3 1
0 ,
2
) ) (
2 ( ) (
) ( ]
) (
2 [
(20)
elde edilir. Buradan (7) bağıntısı kullanılarak,
k k k
k k
k k
k O k k C it
k k i π t λ
k C p it k k i π p
1 0 1
1 1
: 3
1 0
, 3 1
0 ,
2 ln
) ( )
) (
2 ( ) (
) ( ]
) (
2 [
(21)
bulunur. Sonuç olarak; (20) ve (21)’den C k c k k
C 8
2 ) ) (
( bağıntısı,
k c k
C( ) 5 eşitsizliğini gerektirir. (11) elde edilir.
(10) eşitliği göz önüne alınır ve kısmi integrasyon kullanılırsa (9) bağıntısı aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:
λk(t)(2kπiit)3
ψk,t(x),e(2kπiit)x
1
1 1
1
) ) ( 2 ( , , 3 1
,
2 [2 ( ) ] ( ),
k
x t i k k i π t
k k
k πi k k it p ψ x e
p (22)
(22)’nin sağındaki toplamda,
kπiit x
t
k x e
ψ , ( ), (2 ) çarpanını içeren terim ayıklanır (k10için) ve geriye kalan terimlerde
πi kk it x
t
k x e
ψ , ( ), (2 ( 1) ) ifadesi için k yerine (k k1) alınarak (9) kullanılırsa,
λk(t)(2kπiit)3
ψk,t(x),e(2kπiit)x
p2,0[2kπi it] p3,0 ψk,t(x),e(2kπiit)x
0
: 3
1
) ) ( 2 ( , 3 ,
2 , 3 1
, 2
1 1
1 1
1
) ) ( 2 ( ) (
, ) ( ) ( ) ( ) ( ]
) ( 2 [
k
k k
x t i k k i π t
k t
k k
k
it k k i π t λ
e x ψ x p x ψ x p p it k k i π p
(23)
bulunur. (23)’ün sağındaki son toplamda, (10) bağıntısı k2 indeksine göre gözönüne alınırsa,
λk(t)(2kπiit)3
ψk,t(x),e(2kπiit)x
p2,0[2kπi it] p3,0 ψk,t(x),e(2kπiit)x
0 :
, 3
1
, 3 2
1 ,
2 , 3 1
, 2
1 2 1
2 2
1 1
) ) ( 2 ( ) (
] ) (
2 [ ]
) ( 2 [
k k
k k
k k
k k
it k k i π t λ
p it k k k i π p p it k k i π p
ψk,t(x),e(2πi(kk1k2)it)x (24) elde edilir.
Buradan (24)’ün sağındaki son toplamda
kπiit x
t
k x e
ψ , ( ), (2 ) çarpanını içeren terim ayıklanır (k1 k2 0 için) ve k1 k2 0 için
πi kkk it x
t
k x e
ψ , ( ), (2 ( 1 2) ) ifadesi yerine, (9) eşitliği k yerine kk1k2 alınarak kullanılırsa,
λk(t)(2kπiit)3
ψk,t(x),e(2kπiit)x
p2,0[2kπi it] p3,0 ψk,t(x),e(2kπiit)x
0
: 3
1
, 3 ,
2 , 3 1
, 2
1 1
1 1
1 1
) ) ( 2 ( ) (
] 2
[ ]
) ( 2 [
k
k k
k k
k k
it k k i π t λ
p it i π k p p it k k i π p
ψk,t(x),e(2kπiit)x
0 0 :
, 3
2 1 3
1
, 3 2
1 ,
2 , 3 1
, 2
2 1
1 2 1
2 2
1 1
] ) ) (
2 ( ) ( [ ] ) ) ( 2 ( ) ( [
] ) (
2 [ ]
) ( 2 [
k k
k k
k k k
k k
k k
it k k k i π t λ it k k i π t λ
p it k k k i π p p it k k i π p
p2(x)ψk,t(x) p3(x)ψk,t(x),e(2πi(kk1k2)it)x (25)
bulunur. Sonuç olarak; aşağıdaki bağıntı elde edilir:
λk(t)(2kπiit)3
ψk,t(x),e(2kπiit)x
(p2,0[2kπi it] p3,0) A(λk(t))
ψk,t(x),e(2kπi it)xR(λk(t))
(26)
Burada,
0
: 3
1
, 3 ,
2 , 3 1
, 2
1 1
1 1
1 1
) ) ( 2 ( ) (
] 2
[ ]
) ( 2 [
)) ( (
k
k k
k k
k k
k t i k k it
p it i k p p it k k i t p
A
,
(27)
)) ( (λ t R k
0 0 :
, 3
2 1 3
1
, 3 2
1 ,
2 , 3 1
, 2
2 1
1 2 1
2 2
1 1
] ) ) (
2 ( ) ( [ ] ) ) ( 2 ( ) ( [
] ) (
2 [ ]
) ( 2 [
k k
k k
k k k
k k
k k
it k k k i π t λ it k k i π t λ
p it k k k i π p p it k k i π
p
p2(x)ψk,t(x) p3(x)ψk,t(x),e(2πi(kk1k2)it)x (28)
Ayrıca, aşağıdaki eşitsizliklerin sağlandığını görmek zor değildir:
it k k i π c p it k k i π
p2,k [2 ( 1) ] 3,k 92 ( 1)
1
1 , (29)
it k k k i π c p it k k k i π
p2,k [2 ( 1 2) ] 3,k 92 ( 1 2)
2
2 (30)
ve
k c p
it i π k
p2, k 3, k 10
1
1[2 ]
(31)
Buradan, (11), (29), (30), (31) eşitsizlikleri ve (7) bağıntısı kullanılarak aşağıdaki eşitlikler elde edilir:
) (ln ln )
( )) (
( O k
k k k O t λ
A k
,
ln )2 ( ))
(
( k
k k O t λ
R k (32)
Şimdi (26) ve (32) formüllerinden aşağıdaki teoremi verelim:
Teorem 2.2. L( p) operatörünün k(t) özdeğerleri aşağıdaki formülleri sağlar:
[2 ]
(ln ) )2 ( )
(t k i it 3 p2,0 k i it p3,0 O k
k
, (33)
(2 )3 2,0[2 ] 3,0 )
(t k i it p k i it p
k
0
: 3
1 3
, 3 ,
2 , 3 1
, 2
1 1
1 1
1 1
) ) ( 2 ( ) 2
(
] 2
[ ]
) ( 2 [
k k
k k
k k
it k k i it
i k
p it i k p p it k k i p
ln )2 ( k k k
O (34)
İspat. (9), (11) ve (8) kullanılarak,
0 0 3 2
1 2 2 11
) ) ( 2 ( ,
1 1
1
) ) ( 2 ( ) ( ),
(
k k
k x
t i k k i t
k
it k k i t
k e c
x
2
1 k O
elde edilir.
Böylece, {e(2kiit)x:kZ} bazı tarafından üretilen, k,t(x) birim özvektör aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:
) ( ),
( )
( , (2 ) (2 )
,t x kt x e k i it x e k i it x h x
k
, (35)
O k e
x k i it x
t k
1 1 ),
( (2 )
,
(36)
Burada,
O k x
h 1
) (
Hemen burada (23)’ün her iki yanı (k,t(x),e(2kiit)x) ile bölünür ve (32) kullanılırsa, (33) formülü ispatlanmış olur.
Benzer şekilde (26) eşitliğinin her iki yanı (k,t(x),e(2kiit)x) ile bölünür ve (32) kullanılırsa,
3 2,0 3,0 ln )2
( )) ( ( ) ] 2
[ ( ) 2
( )
( k
k k O t A p
it i k p it i k
t k
k
(37)
eşitliği elde edilir.
Şimdi (34)’ü ispatlayalım: (3) eşitliğinden k(t)(2kiit)3O(k) olduğu gözönüne alınır ve tekrar (32) kullanılırsa,
0
: 3
1
, 3 ,
2 , 3 1
, 2
1 1
1 1
1 1
) ) ( 2 ( ) (
] 2
[ ]
) ( 2 [
k
k k
k k
k k
it k k i t
p it i k p
p it k k i p
3 2
1 3
, 3 ,
2 , 3 1
,
2 ln )
) ( ) ( 2 ( ) 2
(
] 2
[ ]
) ( 2
[ 1 1 1
1
k k k it O
k k i it
i k
p it i k p p it k k i
p k k k k
olduğu kolaylıkla görülür ve buradan
3 ln )2
( )
2 ( )) (
( k
k k O it i k A t
A k (38)
elde edilir. Son olarak (38)’de bulunan A(k(t)) (37)’de yerine konulacak olursa, (34) elde edilir.
KAYNAKLAR
1. Eastham M.S.P., “The Spectral Theory of Periodic Differential Equations”, Scottish Acedemic Pres, Edinburg ( 1973 ).
2. Birkhoff G.D., “Boundary Value and Expansion Problems of Ordinary Linear Differential Equations”, Trans. Amer. Math. Soc., 9, Pages 373- 395 ( 1908 ).
3. Tamarkin J.D., “Some General Problems of The Theory of Ordinary Linear Differential Equations and Expansion of an Arbitrary Function in Series of Fundamental Functions”, Math. Zeit., 27, pp. 1-54.
4. Naimark M.A., “Linear Differential Operators”, Volume I, George G.
Harap and Company, Ltd., London ( 1967 ).
5. Veliev O.A., “The Spectrum and Spectral Singularities of Differential Operators with Complex-Valued Periodic Coefficients”, Differential Cprimenye Uravneniya, 19, pp. 1316-1324 ( 1983 ).
6. Veliev O.A., “Spectral Expansion Related to Non-Selfadjoint Diffrential Operator with Periodic Coefficients” (Russian, English), Diffrential Equations, 22(12), pp. 1403-1408 ( 1986 ).
7. Veliev O.A., Duman M.T., “The Spectral Expansion for a Nonself- Adjoint Hill Operator with a Locally Integrable Potential”, J. Math. Anal.
Appl., 265, pp. 76-90 ( 2002 ).
