()() (())(()) , tEeECostXiESintXt   ()1 , tt  

5. HAFTA Rasgele Vektörlerin Karakteristik Fonksiyonları

Rasgele vektörlerin karakteristik fonksiyonları için aşağıda verilen kavramlar, Prof. Dr. Fikri Öztürk’ün Matematiksel İstatistik kitabından yararlanılarak hazırlanmıştır (Öztürk, 1995). Tanım: X bir rasgele değişken olmak üzere,

( ) ( ) ( ( )) ( ( )) , itX X t E e E Cos tX iE Sin tX t     _

fonksiyonuna X rasgele değişkeninin karakteristik fonksiyonu denir. _eitX _{ olduğundan,} 1 ( itX)

E e beklenen değeri her X için mevcuttur. Yani her rasgele değişkenin bir beklenen değeri vardır.

Teorem: X rasgele değişkeninin karakteristik fonksiyonu  olmak üzere; _X

i) X(0) 1 ii) _X( ) 1 , t  t_ iii)  düzgün sürekli X iv) ( ) itb ( ) , aX b t e X ta t  _   _, (a ve b sabit)

Teorem: Bir rasgele değişkenin p inci momenti var ise k  için p

0 ( ) ( ) , 1, 2,... k k k X k t d t i E X k dt     dır.

Tanım: X bir rasgele değişken olmak üzere var olması halinde;

( ) ( tX) ; , 0

X

M t E e   h t h h

fonksiyonuna X rasgele değişkeninin moment üreten(çıkaran) fonksiyonu denir.

Bir rasgele değişkenin karakteristik fonksiyonu her zaman vardır ancak moment üreten fonksiyonu olmayabilir.

Bir X rasgele değişkeninin moment üreten fonksiyonu var ise, 0 ( ) ( ) , 1, 2,... k k X k t d M t E X k dt    dir.

Tanım: X (X X₁, ₂,...,Xp) p-boyutlu sürekli bir rasgele vektör olmak üzere: a) Var olması halinde, 1 2

1 2

( k k ... kp) p

E X X X değerine X X₁, ₂,...,X_p’nin ( , ,..., )k k_{1 2} k_p -ortak momenti denir. Burada k k1, ,...,2 kp’ler negatif olmayan sayılardır.

b) Var olması halinde, 1 2

1 1 2 2

[( ( )) (k ( )) ...(k ( )) )]kp

p p

E X E X X E X X E X değerine

1, 2,..., p

X X X ’nin ( , ,..., )k k1 2 kp - merkezi ortak momenti denir. c) Var olması halinde,

1 1 2 2 1 2 ... , ,..., ( , ,..., )1 2 ( ) ; ( , ), 1, 2,..., p p p t X t X t X X X X p i i i M t t t E e    t  h h i p

fonksiyonuna X X1, 2,...,Xp rasgele değişkenlerinin ortak dağılımının moment üreten fonksiyonu ve

( ) ( t X) ; ( , ) X

M t E e  t h h

fonksiyonuna X (X X₁, ₂,...,X_p)rasgele vektörünün moment üreten fonksiyonu denir. Burada t ( , ,..., )t t1 2 tp ve h ( , ,..., )h h1 2 hp dir.

d) 1 1 2 2 1 2 ( ... ) , ,..., ( , ,..., )1 2 ( ) ; , 1, 2,..., p p p i t X t X t X X X X t t tp E e ti i p  _    _{ } 

fonksiyonuna X X1, 2,...,Xp rasgele değişkenlerinin ortak dağılımının karakteristik fonksiyonu ve

( ) ( i t X) ; p

X t E e t

 _  _

fonksiyonuna X (X X1, 2,...,Xp)rasgele vektörünün karakteristik fonksiyonu denir. Moment Üreten ve Karakteristik Fonksiyonların Bazı Özellikleri:

veya ( ) i t b ( ) a X b t e X a t       ve 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 ... , ,..., ( , ,..., )1 2 , ,..., ( 1 1, 2 2,..., ) p p p p p p t b t b t b a X b a X b a X b p X X X p p M _{  } t t t e    M a t a t a t veya ( ) t b ( ) a X b X M _{ } t e M a t 

dir. Burada a ( , ,...,a a1 2 ap) ve b ( , ,..., )b b1 2 bp sabitlerden oluşan vektörlerdir. iii) X X₁, ₂,...,X_p rasgele değişkenlerinin ortak momentinin var olması halinde,

1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 ... , ,..., 1 2 1 2 1 2 _{... 0} ( , ,..., ) ( ... ) ... p p j j p p p p k k k k k k k X X X p p k k k p _{t t t} t t t i E X X X t t t                ve 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ... , ,..., 1 2 1 2 1 2 _{... 0} ( , ,..., ) ( ... ) ... p p p p p k k k k k k X X X p p k k k p _{t t t} M t t t E X X X t t t         _    dir. iv) 1, 2,..., p( , ,..., ,0,0,...,0)1 2 1, 2,..., k( , ,..., )1 2 X X X t t tk X X X t t tk   ve 1, 2,..., p( , ,..., ,0,0,...,0)1 2 1, 2,..., k( , ,..., )1 2 X X X k X X X k M t t t M t t t dir.

v) X X1, 2,...,Xp bağımsız rasgele değişkenler ise, X X1, 2,...,Xp rasgele değişkenlerinin ortak dağılımının karakteristik ve moment üreten fonksiyonları, rasgele değişkenlerin marjinal dağılımlarının karakteristik ve moment üreten fonksiyonlarının çarpımı biçiminde yazılabilir. Yani

1, 2,..., p( , ,..., )1 2 1( )1 2( )...2 p( )

X X X t t tp X t X t X tp

ve

1, 2,..., p( , ,..., )1 2 1( )1 2( )...2 p( )

X X X p X X X p

M t t t M t M t M t

dir.

Örnek: X (X X X₁, ₂, ₃) rasgele vektörüne ilişkin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , 1 2 3 ; 0, 0, 0 ( , , ) 0 ; x x x X X X e x x x f x x x diğer yerlerde           olsun.

a) X (X X X1, 2, 3) rasgele vektörünün moment üreten fonksiyonunu elde ediniz.

b) 2

1 2 3

( )

E X X X ’in değerini bulunuz.

c) (X X₁, ₂)’nin moment üreten fonksiyonu elde ediniz. d) E X( ₁)’i elde ediniz.

Çözüm: a) 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 , , 1 2 3 0 0 0 1 2 3 1 ( , , ) ( ) = 1 (1 )(1 )(1 ) 1 1 (1 ) (1 t X t X t X X X X t x t x t x x x x x x x M t t t E e e e d d d t t t t t                  



c) 1, 2 1 2 1, 2, 3 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( , ,0) 1 ; 0, 0 (1 )(1 ) X X X X X M t t M t t t t t t       dır. d) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 , , 1 2 3 1 ₀ 2 1 2 3 0 ( ) ( , , ) 1 (1 ) (1 )(1 ) 1 X X X t t t t t t E X M t t t t t t t              

olarak bulunur. Ayrıca X₁ rasgele değişkenin beklenen değeri, X₁’in moment üreten fonksiyonu ile de bulunabilir. Buradan,

1 1 1, 2, 3 1 1 1 ( ) ( ,0,0) 1 ; 0, (1 ) X X X X M t M t t t     dir ve 1 1 1 1 1 1 ₀ 2 1 0 ( ) ( ) 1 (1 ) 1 X t t d E X M t dt t       elde edilir.

Örnek: X X₁, ₂,...,X_p bağımsız rasgele değişkenler ve her biri ; 0, 1, 2,..., ( ) 0 ; i i x i X i e x i p f x diğer yerlerde       

Çözüm: Burada her bir X_i’nin dağılımı, 1 olan üsteldir. 1 2 ... 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 (1 ) p i i i tY Y tX tX tX p tX i p tX i p X i p M t E e E e E e E e M t t             







dır ve bu moment üreten fonksiyon Gamma dağılımına sahip bir rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonudur. Ayrıca Üstel dağılıma sahip rasgele değişkenlerin toplamının dağılımının Gamma olduğu bilinmektedir. Buradan

1 1 ; 0 ( ) ( ) 0 ; p y Y y e y p f y diğer yerlerde    _    

dır. Yani Y Gamma(1, )p dir.

Örnek: X X1, 2,...,Xk bağımsız rasgele değişkenler ve i=1,2,…,k için

( ) i(1 )i i ; 0,1,..., , 0 1 i i x n x X i i i i n f x p p x n p x    _{ }      

olsun. Y X₁X₂ ... Xk rasgele değişkenin olasılık dağılımını bulunuz.

Çözüm: Burada her bir X_i’nin dağılımı, n_i ve p parametreli Binomdur ve Binom rasgele değişkenin Moment üreten fonksiyonu ( ) (1 ) i

i

n t X

1 2 1 ... 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) (1 ) k i i i i k ni i tY Y tX tX tX k tX i k tX i k X i k n t i t M t E e E e E e E e M t p pe p pe                    









olarak elde edilir. Buradan Y’nin olasılık fonksiyonu

1 1 1 ( ) (1 ) ; 0,1,..., , 0 1 k i i k k n y i y i Y i i n f y p p y n p y       _   _{ }        



_



 dağılır. Yani bağımsız Binom rasgele değişkenlerin toplamının dağılım Binomdur.

Örnek: X X₁, ₂,...,X_p bağımsız rasgele değişkenler ve i=1,2,…,p için

( ) ; 0,1,... ! i i i x i X i i i e f x x x _   

olsun. Y X₁X₂ ... Xk rasgele değişkenin olasılık dağılımını bulunuz.

Çözüm: Burada her bir X_i’nin dağılımı,  parametreli Poissondur ve Poisson rasgele _i değişkenin Moment üreten fonksiyonu _{( )} i( t 1)

i

e X

1 2 ( 1) 1 ... 1 1 1 ( 1) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p i i i t i p _t e i i tY Y tX tX tX p tX i p tX i p X i p e i M t E e E e E e E e M t e e                      









olarak elde edilir. Buradan Y’nin olasılık fonksiyonu

1 1 ( ) ( ) ; 0,1,... ! p i i p y i i Y e f y y y       



