DENGELEME HESABI-II DERS NOTU

(1)

Ondokuz Mayıs Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü DOLAYLI (ENDİREKT) ÖLÇÜLER DENGELEMESİ

Dengeleme Hesabının Temel İşlemleri;

 Fonksiyonel model ve stokastik modelle matematik modelin kurulması,

 V^TPV = min. amaç fonksiyonu,

 Düzeltmelerin hesabı,

 Dengeli değerlerin hesabı



 

u n m₀ PVV

 

 Birim ölçünün karesel ortalama hatası (soncul değer)

 Duyarlık hesapları

Bir dengeleme probleminin çözümü için birden fazla bilinmeyenin birlikte belirlenmesi gerekiyorsa ve yapılan ölçülerin sayısı bilinmeyenlerin sayısından çoksa dolaylı(endirekt) ölçülerin dengelemesi söz konusu olur. Doğrudan ölçülemeyen bir büyüklüğün başka büyüklüklerin fonksiyonu olarak en küçük kareler yöntemine göre hesaplanması işlemidir.

Dolaylı ölçüler dengelemsinde ilk aşama bilinmeyenlerin seçilmesidir. Bilinmeyenlerin sayısı, problemin geometrik anlamda çözümü yada çizimi için gerekli ölçü sayısı kadardır.

Bilinmeyenler düzeltme denklemlerinin kolayca kurulmasını sağlayacak şekilde seçilmelidir.

Bir dengeleme probleminde; n: ölçü sayısı, u: bilinmeyen sayısı, f = n-u fazla ölçü sayısını gösterir.

 Bilinmeyenlerin Seçimi : Bilinmeyen sayısı bir geometrik şeklin geometrik çözümü için gerekli olan ölçü sayısına eşittir.

z y x

3 2 1





2xzCosy z

x² ²

4   



 Düzeltme Denklemlerinin Kurulması ve Doğrusallaştırma

n ölçü sayısı u bilinmeyen sayısından fazla ise f = n – u > 0 ise ölçü sayısı kadar düzeltme denklemi yazılmalıdır.

Ölçü + Düzeltmesi = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu

(2)

Ondokuz Mayıs Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü



x,y,z,....,u



;i 1,2,....,n Φ

V

L_i  _i  _i 

Yazılan düzeltme denklemleri genelde doğrusal değildir. Doğrusallaştırma yapılırken bilinmeyenlerin yaklaşık değerleri kullanılır. x0, y0,….,u0 yaklaşık değerleri kullanılarak düzeltme denklemi Taylor serisine açılır ve 2. ve daha yüksek dereceli terimler ihmal edilerek doğrusallaştırılmış düzeltme denklemleri elde edilir.

du U U ...

dy Y Y

dx X X

0 0

0













Bu durumda düzeltme denklemleri

 

dz ...

Z dy Φ Y dx Φ X U Φ

,...., Z , Y , Φ X V L

0 0

0 0 0 i i

i  



 







 



 







 



 







 





i 0 i

0 i

0

Z c , Φ Y b

, Φ X a

Φ  



 







 



 







 



 









^X ^,^Y ^,^Z ^,....,^U



^a^dx ^b^dy ^c^dz

Φ V

L_i  _i  _i ₀ ₀ ₀ ₀  _i  _i  _i



₀ ₀ ₀ ₀



_i

i

i Φ X ,Y,Z ,....,U L

 yazılırsa,

i i i i

i a dx b dy cdz-

V     Doğrusallaştırılmış düzeltme denklemleri elde edilir.

Dolaylı ölçüler dengelemesinde her ölçü için bir düzeltme denklemi yazılır ve bu denklem yardımıyla ölçünün düzeltmesi bulunur.

 Normal denklemlerin Kurulması ve Çözümü























n n n

n n

2 2 2

2 2

1 1 1 1

1

- dz c dy b dx a V ...

- dz c dy b dx a V



Fonksiyonel Model

Ölçülerin Ağırlıkları birbirine eşitse;

1 P ....

P

P₁  ₂   _n  Stokastik Model

Bilinmeyenlerin tek anlamlı çözümünü elde etmek için min.

V

V^T  yada

 

^VV ^^min. koşuluyla çözüm yapılır.

(3)

z











0 0 0

Z Z

y Y Y

x X X

n n n n n

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

- z c y b x a V ...

- z c y b x a V















,

z 2c y 2b yz c 2b x 2a xc c 2a xy b 2a z

c y b x a V ...

c y b x a V

n n n

n n

n 2 n 2 2 n 2 2 n 2 2 n 2 n

2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

1 1

1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1

































         

     

 

ccz 2

   

c z min.

y b 2 yz bc 2 y bb

x a 2 xz ac 2 xy ab 2 x aa VV

2 2

2























         

²^ac ^x ²^bc^y ²^cc^z ²^c ⁰

z VV

0 b 2 z bc 2 y bb 2 x ab y 2

VV

0 a 2 z ac 2 y ab 2 x aa x 2

VV







 









 









 





       

^ac^ab^x^x ^bc^bb^y^y ^cc^bc^z^z ^c^b ⁰⁰ _{u x}_u

0 a z ac y ab x aa





























Normal Denklemler

Normal Denklemlerin Özellikleri

o Simetrik, doğrusal denklem takımlarıdır.

o Matrisin köşegen elemanları karesel olduğu için her zaman (+) işaretlidir.

o Matrisin köşegen harici elemanları (+) veya (-) işaretlidir.

o Normal denklemeler “Modernleştirilmiş Gauss Algoritması” yada “Cholesky Yöntemi” gibi simetrik doğrusal denklem takımlarının çözüm yöntemleriyle indirgenerek çözülürler.

(4)

 Denetim İşlemleri

Normal denklemlerin kuruluş kontrolü

n n n n n

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

- z c y b x a V ...

- z c y b x a V















n n n n n

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

- c b a S ...

- c b a S





























n n n n

2 2 2 2

1 1 1 1

c b a

..

c b a



Bu eşitlik toplanırsa

         

^S ^ ^a ^ ^b ^ ^c ^- ^ eşitliği elde edilir. Elde edilen eşitlik sırasıyla ( a1, a2,…., an ), ( b1, b2,…., bn ), ( c1, c2,…., cn ), ( -1, -2,…., - n ), ile çarpılıp taraf tarafa toplanırsa

         

^ ^ ^ ^^ ^























c b a S

c - cc bc ac cS

b - bc bb ab bS

a - ac ab aa aS

eşitlikleri elde edilir. Bu şekilde normal denklemlerin kuruluş ve indirgeme aşamalarında yapılan işlemler ve düzeltmelerin kareleri toplamı denetlenir.

Bu işlemler tablo şeklinde de yapılabilir.

a b c - S

a1 b1 c1 - ₁ S1

a2 b2 c2 - ₂ S2

.. .. .. .. ..

an bn cn - _n Sn

(5)

Ondokuz Mayıs Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Modenleştirilmiş Gauss Algoritmasına göre;

x y z sabit S(toplam)

[aa] [ab] [ac] -[a ] [aS]

[bb] [bc] -[b ] [bS]

[cc] -[c ] [cS]

[  ] -[ S]

[V] ve [VV] Kontrolü

         

V  a x b y cz- 

         

^^



c - z cc y bc x ac cV

b - z bc y bb x ab bV

a - z ac y ab x aa aV













1. denetim bağıntısı

Bu eşitliklerin sağ tarafları normal denklemlerin sol tarafına eşit olduğundan;

 

^aV ⁰^,

 

^bV ⁰^,

 

^cV ⁰ yazılabilir. 1. denetim bağıntısı

         

        

 V a x b y c z

         

VV  aVx bV y cVz- V

 

^aV ^⁰^,

 

^bV ^⁰^,

 

^cV ^⁰^ise

   

^VV ^^-^^V

Düzeltme denklemlerinin her iki tarafı ( - 1, -2,…., - n ) ile çarpılıp toplanırsa;

n n

n

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

n n n n n

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 2 1

z c y b x a V

...

z c y b x a V

- z c y b x a V ...

- z c y b x a V

- z c y b x a V ..



n n n

n n

n     

































































           

V   a x b y c z VV

     

bilinmeyenlerin ve düzeltmelerin hesabı işlemlerini kontrol bağıntısı elde edilir. Bu eşitlikteki katsayılar normal denklemlerin sabit terimleridir. Modernleştirilmiş Gauss algoritmasına göre indirgemede köşegen son terim olarak

 

 ve toplam sütununa da

 

S

 yazılarak çözüm yapılırsa direkt

 

VV elde edilir.

(6)

x y z Sabit S (Toplam)

 

aa

-1

 

ab

   

aa

 ab

 

ac

   

^aa^ac



 

a -

   

aa a

 

aS

   

aa

 aS

 

bb

 

bb.1

-1

 

bc

 

bc.1

   

bb.1

 bc.1

 

b -

 

b .1 - 

   

bb.1 .1 b

 

bS



bS.1



 

bb.1

 bS.1

 

^cc

 

cc.2

-1

 

^c^

-

 

^c ^.²

- 

   

^cc.2^c^.2

 

^cS



^cS.2



 

^cS.2^cc.2



 

VV 

 



 

.3

 

^^S



 

S.3



X1 X2 X3 -b S

a 11

-1

a 12 11 12 a

a

a 13 11 13 a

a

b1

-

11 1 a b

S 1 11 1 a S - a22

11 12 12 22

22.1 a a .a a

a  

-1

a 32

11 13 12 23

23.1 a a .a a

a  

22.1 23.1 a

a

b2

-

11 1 12 2

2.1 -b a .b a

b

-  

22.1 2.1 a b

S 2

11 1 12 2

2.1 S a .S a

S  

22.1 2.1 a S - a 33

22.1 23.1 23.1

11 13 13 33 33.2

a a . a -

a a . a a

a  

-1

b 3

22.1 2.1 23.1

11 1 13 3 3.2

a b . a

a b . a b b

-







33.2 3.2 a b

S 3

22.1 .1 2.1

23

11 1 13 3 3.2

a S . a

a S . a S S





33.2 3.2 a S -

11 1 11

13.1 11

12 22.1

2.1 22.1

23.1 33.2

3.2

a .z b a y a a x a a , .z b a y a a ,

z b     

(7)

Ondokuz Mayıs Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Sonuç Denetimleri

Çözümle elde edilen x, y, z değerleri kullanılarak düzeltmelerin sayısal değerleri elde edilir. Düzeltmeler ölçülere eklenerek dengeli ölçüler bulunur. Bilinmeyenlerin kesin değerleri ve en son olarak bu değerler yerine konularak ilk düzeltme denklemlerinin sonuç denetimleri yapılır.

n n n n n

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

- z c y b x a V ...

- z c y b x a V















,

n n n

2 2 2

1 1 1

ˆ V ...

ˆ V ˆ V















,

z











0 0 0

Z Z

y Y Y

x X X

, L_i V_i Φ_i



X,Y,Z



 Duyarlık Hesapları

Ölçülerin Ortalama Hatası

Düzeltmeler hesaplandıktan sonra yada Modernleştirilmiş Gauss Algoritmasına eklenen son satır ile elde edilen değerlerden;

 

u n m₀ VV

 

 ölçülerin karesel ortalama hatası hesaplanır.

Bilinmeyenlerin gerçek değerleri x,y,z ve dengeleme sonucu elde edilen kesin değerleri x, y, z ile gösterilirse gerçek düzeltmelerle dengelemenin fonksiyonel modeli;

n n n n n

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

- z c y b x a ...

- z c y b x a

















şeklindedir.Bu eşitlikten sabit terimler çekilir ve düzeltme denklemlerinde yerine yazılırsa;

z c y b x a - -

...

z c y b x a - -

n n n n n

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

















,

     

 

_n

 

_n

 

_n

n n

2 2

2

1 1

1

ε z - z c y - y b x - x a V ...

ε z - z c y - y b x - x a V













eşitliği elde edilir. Bu eşitlik ( V1, V2,…., Vn ) ile çarpılıp toplanırsa;

(8)

     

 

n n

 

n n

 

n n

n n n n

2 2 2

2 2

2 2 2

1 1 1

1 1

1 1 1

n n

n

2 2

2

1 1

1

n 2 1

ε V z - z V c y - y V b x - x V a V V

...

ε V z - z V c y - y V b x - x V a V V

ε z - z c y - y b x - x a V ...

ε z - z c y - y b x - x a V V

..

V V

























































   

VV  aVx-x

 

bVy-y

 

cVz-z

 

εV

 

aV 0

 

bV 0

 

cV 0 ise

   

VV  εV olur.

Yukarıdaki eşitlik ( ε1, ε 2,…., ε n ) ile çarpılıp toplanırsa;

     

 

n n

 

n n

 

n n n

2 2 2

2 2

2 2 2

1 1 1

1 1

1 1 1

n n

n

2 2

2

1 1

1

n 2 1

ε ε z - ε z c y - ε y b x - ε x a ε V

...

ε ε z - ε z c y - ε y b x - ε x a ε V

ε z - z c y - y b x - x a V ...

ε z - z c y - y b x - x a V ε

..

ε ε

























































   

εV  aεx-x

 

bεy-y

 

cεz-z

   

εε  VV

Yukarıdaki eşitlik sırasıyla ( a1, a 2,…., a n ), ( b1, b 2,…., b n ) ve ( c1, c2,…., c n ) ile çarpılıp toplanırsa;

   

aV  aax-x

 

aby-y

 

acz-z

 

aε 0

   

bV  abx-x

 

bby-y

 

bcz-z

 

bε 0

   

cV  acx-x

 

bcy-y

 

ccz-z

 

cε 0

eşitlikleri elde edilir. Normal denklemler benzeyen bu denklemlerde bilinmeyenler yerine (x- x ), (y-y), (z- z ) ve sabit teri yerine

 

aε ,

 

^{bε ,}

 

cε yazarak Modernleştirilmiş Gauss Algoritmasına göre çözüm yapılırsa;

     



n 3



m VV 3

n m 3m nm

VV ²₀ ²₀ ₀² ²₀

 











bilinmeyen sayısı 3 olan bir dengeleme probleminde elde edilen bu bağıntı bilinmeyen sayısı u için düzenlenirse,

  

ⁿ^VV^u



m₀

 

 eşitliği elde edilir.

(9)

Ondokuz Mayıs Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası

Bilinmeyenlerin ötelenmiş değerleriyle ortalama hataları birbirine eşittir. Normal denklemler modernleştirilmiş Gauss Algoritması ile harfli olarak çözülürse;

     

   

 

cc.2 .2 c aa ac cc.2

.2 c bb.1 bc.1 bb.1

.1 b aa ab aa

x a   





 



 





     

   

 

^cc.2^c ^.2

bb.1 bc.1 bb.1

.1

y b  

   

cc.2 .2 z c



elde edilir. Bu eşitliklerdeki

 

a , ^

 

^b^.¹ ve

 

^c^.² terimleri açık yazılır ve eşitlikler _i

’ye göre düzenlenirse,

n n 2

2 1 1

n n 2

2 1 1

n n 2

2 1 1

γ ...

γ γ z ....

β ...

β β y

α ...

α α x















Duyarlıkları eşit ilk bağımsız ölçülerin bir fonksiyonu olan bu eşitliklere hata yayılma kuralı uygulanırsa;

   

 

²0 2

z

2 0 2

y

2 0 2

0 2 n 2

2 2 1 2 x

γγm m

ββm m

αα m α m

α ...

α m







Bilinmeyenlerin karesel ortalama hatası

Bu eşitliklerdeki

     

αα, ββ, γγ katsayıları normal denklemler matrisinin tersi alınarak hesaplanır.

     

^^























































zz yz xz

yz yy xy

xz xy xx 1

1

q q q

q q q γγ

βγ αγ

βγ ββ αβ

αγ αβ αα

cc bc ac

bc bb ab

ac ab aa N

Bilinmeyenlerin karesel ortalama hataları;

, q m m

, q m

m_x  ₀ _xx _y  ₀ _yy _z  ₀ _zz eşitliklerinden hesaplanır.

(10)

Ondokuz Mayıs Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Bilinmeyenlerin Bir Fonksiyonunun Ortalama Hatası

Karesel ortalama hatası hesaplanacak fonksiyon,



X,Y,Z



F

f  ve XX₀x; YY₀y; ZZ₀ z olsun. Yaklaşık değerlerle fonksiyon Taylor serisine açılırsa;

 

z

z y f y x f x Z f

, Y , X F

f ₀ ₀ ₀











 

 olur.

Burada,^f₀ ^^F



^X₀^,^Y₀^,^Z₀



x y fz

z , f y f , f x f

f 



 



 



 yazılırsa

yz z y xz

z x xy y x zz 2 z yy 2 y xx 2 x ff

z y x 0

q f 2f q

f 2f q f 2f q f q f q f q

z f y f x f f f









ff 0

f m q

m 

Bilinmeyenlerin Fonksiyonlarının Bir Fonksiyonunun Ortalama Hatası



X,Y,Z



F f 



X,Y,Z



G

g olsun. hH

 

f,g şeklindeki bir fonksiyonunu ortalama hatasını hesaplamak için önce f ve g fonksiyonlarının ters ağırlıkları hesaplanır.

z g y g x g g g

z f y f x f f f

z y x 0











x y y x



xy



x z z x



xz



y z z y



yz zz

z z yy y y xx x x gf

yz z y xz

z x xy y x zz 2 z yy 2 y xx 2 x gg

yz z y xz

z x xy y x zz 2 z yy 2 y xx 2 x ff

q g f g f q g f g f q g f g f q g f q g f q g f q

q g 2g q

g 2g q

g 2g q g q g q g q

q f 2f q

f 2f q f 2f q f q f q f q













g

f h

g , h f h

h 



 



 , hh₀h_ff h_fg

Buradan h fonksiyonunun ters ağırlığı;

fg g f gg 2 g ff 2 f

hh h q h q 2h h q

q   

hh 0

f m q

m  olur.