Sistemlerin Matematiksel Modellemesi

Sistemlerin Matematiksel Modellemesi

Hakan YAZICI

Yıldız Teknik Üniversitesi, İstanbul, Türkiye

Bu Bölümde Neler Göreceğiz?

Bu bölümde ötelenen mekanik sistemlerin matematik modellemesi incelenecektir.

3.1 Giriş

3.2 Ötelenen Mekanik Sistemler

3.2.1 Ötelenen Mekanik Sistemlerde Rijitlik 3.2.2 Ötelenen Mekanik Sistemlerde Sönüm 3.2.3 Ötelenen Mekanik Sistemlerde Kütle

3.3 Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi için Temel Metotlar 3.3.1 Newton'un İkinci Kanunu

3.3.2 D'Alambert Prensibi 3.3.3 Enerji Metodu

3.3.4 Lagrange Metodu

3.4 Ötelenen Mekanik Sistem Modellerinin Standart Gösterimleri 3.4.1 Aktarım İşlevi Gösterimi

3.4.2 Durum-Uzay Gösterimi Özet

3.1 Giriş

Matematik Model Nedir?

Fiziksel sistemlerin dinamik davranışlarının analizin edilmesinde, incelenen sistemin gerçeğe yakın bir matematik modelinin kurulması en önemli adımdır.

Mühendislik sistemlerinin dinamik karakteristiklerinin incelenmesini mümkün hale getirmek için, bu sistemlere ait fiziksel olayların sistem elemanları cinsinden

idealleştirilerek matematik modelin kurulması gerekir.

Gerçeğe yakın bir matematik modelin elde edilebilmesi için, giriş çıkış ilişkisi içerisinde sistemde meydana gelen fiziksel olayların yeterince anlaşılmış olması gerekir [1].

Modelleme, dinamik sistemlerin fizik kanunları ile matematiksel olarak tanımlanmasını ve analiz edilmesini sağlar.

Eğer bir fiziksel sistemin dinamik davranışı, bir denklem veya denklem takımı ile tanımlanıyorsa buna sistemin matematik modeli denir.

Yazıcı, Küçükdemiral (Y.T.U) Bölüm 3 3

Sistem Nedir?

Bir sistemin davranışını tanımlayan matematik model sistemin girişleri ve çıkışları üzerinden kurulur.

En genel halde sistem, belirli bir amacı sağlayan bir bütün oluşturacak şekilde fonksiyonel bağlantıları bulunan birbiriyle ilişkili elemanlar kümesidir.

Sistem çevresiyle ilişki içindedir. Bir dış enerji kaynağından sisteme uygulanan uyarılar sistemin girişleri olarak adlandırılır.

Bu girişler sistemde bazı değişikliklere neden olur. Sistemin çevresinden kaynaklanan girişlere verdiği yanıtlar ise sistemin çıkışları olarak adlandırılır.

Sistem dinamiğinin başlıca çalışma konusu, sistemin girişleri ve çıkışları arasındaki ilişkiyi anlamak ve analiz etmektir [1].

3.1 Giriş

Giriş çıkış ilişkisi içerisindeki bir mühendislik sisteminin blok diyagramı aşağıdaki gibi gösterilebilir.

u

S y

Burada, S sistemi, u sistemin dışarıdan girişlerini ve y sistemin bu girişlere verdiği yanıtları yani çıkışları ifade etmektedir.

Matematiksel olarak bu sistem, giriş vektör uzayı U'dan çıkış vektör uzayı Y’ ye S:UY eşlemesi ile ifade edilebilir. Bu tanımlamalar ile bir sistemin doğrusal olması ve

zamanla değişmemesi özellikleri aşağıdaki tanımlar altında geçerlidir.

3.1 Giriş

3.1 Giriş

Tanım 3.1: S ile verilen sistem,

(i) S(αu)=αS , her uU ve F reel ya da kompleks sayılar kümesinde tanımlı skaler bir değer olması halinde αF için geçerli ise bu sistem doğrusaldır. Yine doğrusal

sistemler için,

eşitliği her zaman geçerlidir.

(ii) Bu şartları sağlamayan sistemler, doğrusal olmayan sistemler olarak adlandırılır.

) ( )

( )

( u

₁

u

₂

S u

₁

S u

₂

S   

(iii) uU ve her T için,

) ( :

)) (

( u t y t

S  S ( u ( t  T )) :  y ( t  T )

olarak ifade edilebiliyorsa bu tür sistemlere zamanla değişmeyen sistemler denir.

) (

)) (

( u t T y t T

S   

eşitsizliğinin geçerli olduğu sistemlere ise zamanla değişen sistemler denir.

3.1 Giriş

Giriş çıkış ilişkisi içerisinde dinamik sistemlerin hareketleri genellikle adi diferansiyel denklemler ile aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

)) ( ), ( ( )

(

)) ( ), ( ( )

(

t u t x g t

y

t u t x f t

x







n m

f : 

n

    g : 

ⁿ

 

^m

 

^p

)) ( ), ( ( )

( t f x t u t x  

( ) ( ( ), ( )) y t  g x t u t

Doğrusal olmayan fonksiyonlar:

Durum diferansiyel denklemi:

Çıkış denklemi:

Sistemin durum değişkenlerini:

x (t )

Genellikle, dinamik sistemlerin hareketi, yüksek mertebeden diferansiyel denklemlerle tanımlanır. Doğrusal zamanla değişmeyen n'inci mertebeden bir diferansiyel denklem,

) ( )

) ( ... (

) ( )

(

0 1 1

1

1

a y t bu t

dt t a dy

dt t y a d

dt t y

a d

_n

n n n

n

n



_ ^ _

   

şeklinde ifade edilebilir. Mekanik sistemlerin modellenmesinde bu denklemler sıklıkla kullanılır.

Bunun başlıca nedenleri aşağıdaki gibi sıralanabilir;

(i) Bu denklemlerin çözümüne yönelik çok sayıda yöntem ve bilgisayar programı mevcuttur.

(ii) Doğrusal sistemlerin davranışları zihinde kolaylıkla canlandırılabilir.

(iii) Doğrusal diferansiyel denklemler ile tanımlanan mühendislik

sistemlerinin kararlılık analizleri için geliştirilmiş çok sayıda yöntem vardır.

Bu gibi avantajları nedeniyle pek çok mühendislik sistemi doğrusal diferansiyel denklemler kullanılarak matematik modelleri kurulur. Doğrusal olmayan denklemler belirli çalışma aralıkları için doğrusallaştırılır.

3.1 Giriş

Mekanik sistemler kütle, rijitlik ve sönüm elemanları cinsinden idealleştirilir.

Aslında bir mekanik sistemde bu elemanlar madde içinde yayılmış haldedir. Bir sistemim modeli kurulurken sistemi oluşturan özelliklerin maddeye dağılmış halde olduğu kabul edilirse buna Dağılmış Parametre Modeli denir ve sistemin matematiksel tanımı kısmi diferansiyel denklemlerle yapılır.

Bununla birlikte farklı fiziksel özelliklerin birbirinden ayrı olarak saf elemanlar üzerine kümelendiği kabul edilirse bu tür modellemeye Toplu Parametre Modeli denir ve çözümü daha kolay olan adi diferansiyel denklemlerle gerçekleştirilir.

Bu kitapta mekanik sistemlerin tanımlanmasında toplu parametre modellerinden yararlanılacaktır.

3.1 Giriş

3.2 Ötelenen Mekanik Sistemler

Mekanik sistemler, kütle, rijitlik ve sönüm elemanları cinsinden doğrusal birleştirilmiş, toplu parametre modeli şeklinde düşünülebilir.

Pratik uygulamalarda tüm sistemlerin en ince ayrıntısına kadar modellenmesi hem vakit, hem maliyet, hem de modelin çok kompleks olması sonucunda yaşanılacak bilgisayar çözümü problemleri gibi nedenlerden dolayı tercih edilmez.

Bu nedenle, mekanik sistemler ihtiyaç duyulan ölçü ve hassasiyette modellenmelidir.

Bir mekanik sistemi ifade eden fiziksel modele bakıldığında dinamik üzerindeki en etkin elemanların kütle, rijitlik ve sönüm elemanları olduğu görülür. Şimdi, öteleme hareket yapan sistemler için bu elemanların özelliklerini inceleyelim.

3.2.1 Ötelenen Mekanik Sistemlerde Rijitlik

Yaylar, kütlesi ve sönüm özelliği ihmal edilebilen mekanik bir bağlantı şeklidir ve sistemin rijitliğini belirler.

Bir mekanik sistem elemanı, bir kuvvete maruz kaldığında esneyerek şekil değiştiriyor, kuvvetin etkisi ortadan kalktığında ise eski haline gelebiliyorsa, o eleman yay olarak modellenebilir. Öteleme yayının fiziksel şekli aşağıda görülmektedir [2].

x₁(t) x₀(t)

F(t)

k

F(t)

Yayın iki ucu arasındaki rölatif yer değiştirme, yaya uygulanan kuvvetle orantılıdır.

Bunun sonucunda x₁(t)>x₂(t) olmak üzere aşağıda verilen denklemle ifade edilen yay kuvveti meydana gelir. Burada k yay sabitidir ve birimi [N/m] dir.

)]

( )

( [ )

( t k x

₁

t x

₀

t

F

_yay

 

Genellikle yayların iki türlü bağlantı şekli vardır.

Birbirine paralel olarak bağlanan yaylar sistemi daha rijit hale getirir ve eşdeğer yay sabitleri, i=1,2,…,n için,

 

 n

i i

eş

k

k

1

formülü ile hesaplanır. Paralel bağlı yayların fiziksel gösterimleri ise aşağıdaki gibidir.

m m

k₁ k₂ k_eş

x x

3.2.1 Ötelenen Mekanik Sistemlerde Rijitlik

Seri bağlı yaylar ise uç uça bağlanmış yayladır ve sistemi daha esnek hale getirir. Seri bağlı yayların eşdeğer yay sabitleri, i=1,2,…,n için,

3.2.1 Ötelenen Mekanik Sistemlerde Rijitlik

1

1

ⁿ

1

eş i i

k  

_

k

formülü ile hesaplanır. Seri bağlı yayların fiziksel gösterimleri ise aşağıdaki gibidir.

k₁ k₂

k_eş

m m

x x

3.2.2 Ötelenen Mekanik Sistemlerde Sönüm

Mekanik bir sistemde sönüm elemanı çoğunlukla damper olarak adlandırılır ve sönümleyicinin uçları arasındaki hız farkı ile bu uçlara uygulanan kuvvetle orantılıdır.

Aşağıda öteleme durumundaki sönümleyicinin fiziksel modeli görülmektedir.

F(t) F(t)

v

₂

(t)

^v₁^(t)

c

Sönümleyicilerin kütle ve yay özellikleri olmadığı kabul edilir. Bu nedenle Newton'un ikinci hareket kanununa göre sönümleyicinin iki ucundaki kuvvetler eşit ve zıt

yönlüdür. Yani kuvvet sönümleyici üzerinden akarak, sönümleyicinin bir ucuna uygulanan kuvvet diğer ucuna aynen iletilir. Sönüm kuvveti,

)]

( )

( [ )

( t c v

₁

t v

₂

t

F

_sönüm

 

denklemi ile hesaplanır. Öteleme hareketi yapan bir mekanik sistemin sönüm sabiti c ile gösterilir ve birimi Ns/m dir.

3.2.3 Ötelenen Mekanik Sistemlerde Kütle

Maddenin hız değişikliğine karşı koyma özelliğine kütle özelliği denir. Kütle özelliği

mekanik sistemlerin modellemesinde aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi dikdörtgen şeklinde bir blokla gösterilir.

ẍ(t) F(t)

m

Öteleme hareketi yapan bir mekanik sistemin kütlesi, dönme hareketi yapmadan bir doğru boyunca hareket eder. Kütle cismin hızının değişmesiyle kinetik enerji kazanır veya kaybeder. Newton'un ikinci hareket kanunu, bir kütleye dışarıdan bir kuvveti uygulandığında,

m x F

x m ma

F















şeklinde ifade edilir.

3.3 Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi için Temel Metotlar

Sistemin her t anı için konumunu belirlemede kullanılan koordinatlara Genelleştirilmiş Koordinatlar denir.

Bir sistemin Serbestlik Derecesi ise herhangi bir anda sistemin bütün parçalarının konumlarının tamamen belirli olabilmesi için verilmesi gereken birbirinden bağımsız minimum koordinat sayısı olarak tanımlanır.

Bir sistemin hareketini tanımlayan diferansiyel denklem sayısı, sistemin serbestlik derecesi sayısı kadardır. Aşağıdaki şekilde sırasıyla tek ve iki serbestlik dereceli öteleme hareketi yapan mekanik sistemler gösterilmektedir.

m k

x(t)

m₁ m₂

x₁(t) x₂(t)

k₁ k₂ k₃

Tek Serbestlik Dereceli Sistem İki Serbestlik Dereceli Sistem

Mekanik sistemlerin hareket denklemlerinin elde edilmesinde Newtonun İkinci Hareket Kanununun yanında, D‘Alambert Prensibi, Enerji Metodu ve Lagrange Metodu gibi yöntemler sıklıkla kullanılır.

Şimdi, aşağıda verilen öteleme hareketi yapan bir mekanik sistem üzerinden bu metotların nasıl kullanıldıklarını açıklayalım.

3.3 Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi için Temel Metotlar

Yukarıdaki sistem yatay yönde öteleme hareketi yapmaktadır ve kütlenin zeminle sürtünmesi ihmal edilmiştir.

Burada, m sistemin kütlesini, k yay sabitini, c sönüm sabitini göstermektedir.

Sistemin bozucu girişi F(t) kuvveti iken, sistemin çıkışı x(t) kütlenin yatay yer değiştirmesidir.

Sistem yatay yönde tek serbestlik dercesine sahiptir.

F(t) x(t)

k

c

m

3.3.1 Newton'un İkinci Kanunu

Newton'un ikinci hareket kanununa göre, çeşitli kuvvetlerin maddesel bir noktaya kazandıracağı ivme, bu kuvvetlerin bileşkesinin doğrultu ve yönünde gerçekleşir.

Burada ivmenin şiddeti, bileşke kuvvetin şiddetiyle herzaman orantılıdır. Bir maddesel noktanın t anındaki momentumu, maddesel noktanın kütlesine ve hız vektörü bağlı olarak,

denklemi ile tanımlanır. Bilindiği gibi cisme etki eden dış kuvvetler, momentumun değişimine sebep olur. Buradan Newton'un ikinci hareket kanunu,





p  m V

olarak ifade edilir.

Yorum: Kuantum Mekaniği, Albert Einstein'nin 'Relativite Kuramına' dayanır ve Newton mekaniğinin mikroskobik yapıda atomik seviyede ve ışık hızı civarında kullanılamayacağını ortaya koymuştur. Buna rağmen, Newton mekaniğinin makroskobik yapıda ve cisimlerin normal hızlar altındaki hareketleri için geçerli olduğu yapılan deneysel çalışmalarla ispatlanmış bir gerçektir.



 







   



 



 

 F m a

dt V m d V

dt m V d

m

p

3.3.1 Newton'un İkinci Kanunu

Şimdi Newton'un ikinci kanununu ele aldığımız probleme uygulayalım. Sistemin kütlesine ait Serbest Cisim Diyagramı (SCD) aşağıdaki şekilde verilmiştir.

kx(t)

cẋ(t)

mg F(t)

N

) ( )

( t kx t F

_yay

 

) ( )

( t c x t

F

_sönüm

  

) ( )

( )

( )

(

) ( )

( )

( )

(

) ( )

( )

( )

(

) (

t F t

kx t

x c t

x m

t x m t

x c t

kx t

F

t x m t

F t

F t

F

t x m F

sönüm yay

x



















 



















Yay kuvveti:



Sönüm kuvveti:

Newton'nun ikinci hareket kanunu ile;

Bir sistemin hareketini tanımlayan diferansiyel denklemler elde edilirken, Newton'un hareket kanununa eşdeğer olan D'Alambert prensibi diye adlandırılan yaklaşımla statik denge kavramı kullanılabilir.

Öteleme hareketi yapan bir sistemde, ivmeye ters yönde etkiyen gerçekte olmayan ama serbest cisim diyagramına eklenen hayali kuvvete eylemsizlik kuvveti veya D'Alambert kuvveti denir. Bu yaklaşımla hareket denklemi,

x m

F

_m

   F  m  x   F  F

_m

 0

şeklinde belirtilip kütleye etkiyen tüm kuvvetlerin bileşkesinin sıfıra eşitlendiği bir statik denge denklemi gibi düşünülür.

Not: D'Alambert prensibi, temelde bir yenilik getirmese de, hareketi statik denge denklemlerine benzeterek sanal iş gibi yöntemlerin dinamikte de kullanılabilmesine olanak sağlar. Hareketin diferansiyel denklemlerinin bulunmasında kullanılan en yaygın yöntemlerden biridir.

3.3.2 D’Alambert Prensibi

Şimdi D'Alambert prensibini el aldığımız tek serbestlik dereceli sisteme uygulayalım.

Eylemsizlik kuvveti ile birlikte Serbest Cisim Diyagramı aşağıdaki şekilde verilmiştir.

F(t)

mg

N

mẍ(t)

cẋ(t) kx(t)

3.3.2 D’Alambert Prensibi

Buradan yola çıkarak, D'Alambert prensibine göre hareketin diferansiyel denklemi

) ( )

( )

( )

(

0 ) ( )

( )

( )

(

0

t F t

kx t

x c t

x m

t x m t

x c t

kx t

F

F F

x m

F

_m







































olarak elde edilir.

Bu yöntem enerjinin korunumu prensibi temeline dayanır. Bir sistemim kinetik ve potansiyel enerjilerinin toplamının artış hızı, sisteme verilen güce eşittir.

  

 E  E P dt

d

p

k

)

(

 E

_k

 E

_p

 P

_g



 

 

 P  P

_g

P

_ç

P

_s

3.3.3 Enerji Metodu

Toplam Kinetik Enerji:

Toplam Potansiyel Enerji:

Sisteme Verilen Toplam Güç:

Sisteme Dışarıdan Verilen Mekanik Güçlerin Toplamını:

Sistemden Çevreye Verilen Mekanik Güçlerin Toplamını : Sistemden Bulunan Sönümleyiciler Tarafından Çevreye Atılan Isı Güçlerinin Toplamını:

 P

_ç

 P

_s

3.3.3 Enerji Metodu

Şimdi ele aldığımız öteleme hareketi yapan tek serbestlik dereceli mekanik sistemin hareketinin diferansiyel denklemini Enerji Metodu yardımıyla bulalım.

2 2

2 1 2

1 m x kx

E E

E 

_k

 

_p

 

  

)

2

( )

( )

( t x t c x t F

P    

 

   

) ( )

( )

( )

(

) ( )

( )

( )

(

) ( )

( ) ) (

( ) 1

( ) ( )

( ) ) (

( 1

) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) (

) ( )

( ) 2 (

1 2

1

2 2

2 2

2

t f t

kx t

x c t

x m

t x c t

f t

kx t

x m

t x c t

x t t f

t x x t kx t

x t x t m

x

t x c t

x t f t

x t kx t

x t x m

t x c t

x t f kx

x dt m

d



























 



 



 















 







 



















Sisteme verilen toplam güç:

Sistemin toplam kinetik ve toplam potansiyel enerjisi:

3.3.4 Lagrange Metodu

Lagrange metodu, bir dinamik sistemin hareket denklemlerini, sistemik bir plan içinde yazabilme imkanı sağlar.

Sistemin kinetik, potansiyel ve sönüm enerjilerinin bulunması ve bunlar üzerine, genelleştirilmiş koordinatlara göre kısmi türev alma işlemlerinin uygulanması ile sistemin hareket denklemlerinin elde edilir [3], [4].

Lagrange denklemlerinin sönüm içeren sistemler için genişletilmiş hali,

i i

d i

p i

k i

k

Q

q E q

E q

E q

E dt

d 



 



 



 

 

 













q

i

q

i

Q

i

E

k

E

p

E

d

Genelleştirilmiş Koordinatlar:

Genelleştirilmiş Hız:

Genelleştirilmiş Dış Kuvvetler:

Toplam Kinetik Enerji:

Toplam Potansiyel Enerji:

Toplam Sönüm Enerjisi:

3.3.4 Lagrange Metodu

Lagrange metodu ile bir sistemin hareket denklemleri elde edilirken aşağıdaki sistematik işlemler sırasıyla yapılır.

(i) Verilen sistemin matematik modeli oluşturulur.

(ii) Sistemin toplam kinetik, potansiyel ve sönüm enerji ifadeleriyle genelleştirilmiş dış kuvvetlerin ifadesi yazılır.

(iii) Kinetik enerji ifadesinin genelleştirilmiş hıza göre kısmi türevi alınır ve zamana göre türetilerek denklemde yerine yazılır.

(iv) Kinetik, potansiyel ve sönüm enerjilerinin ilgili genelleştirilmiş koordinatlara göre kısmi türevleri alınır ve denklemde yerlerine yazılır.

(v) Bu işlemler her bir genelleştirilmiş koordinat için tekrarlanır.

3.3.4 Lagrange Metodu

Şimdi ele aldığımız tek serbestlik dereceli kütle yay ve sönüm sisteminin hareket denklemlerini Lagrange metodu ile bulalım.

) (

,

, 0 ) (

1

F t

Q Q

x x c

E q

kx E x

E q

E x

E q

E

x x m

E dt

t d x x m

E

x E dt

d q

E dt

d

i

d i

d P

i k p

i k

k k

k i

k





 

 



 



 



 



 





 



 







 

 



 

 







 

 

 









 





 

 





Genelleştirilmiş x koordinatı için kısmi türevleri aşağıdaki gibi alınır.

) ( )

( )

( )

( t kx t c x t F t x

m

q Q E q

E q

E q

E dt

d

i i

d i

p i

k i

k







 

 



 



 

 

 



















3.3.4 Lagrange Metodu

Buradan, hesaplanan değerler Lagrange denkleminde yerine konularak sistemin hareketini veren diferansiyel denklem,

olarak elde edilir. Lagrange metodu özellikle çok serbestlik dereceli, öteleme ve dönme hareketini aynı anda yapan kompleks sistemlerin hareket denklemlerinin elde edilmesinde büyük kolaylıklar sağlar.

3.4 Ötelenen Mekanik Sistem Modellerinin Standart Gösterimleri

Yukarıda açıklanan metotlar ile hareket denklemleri elde edilen mekanik sistemler, genellikle iki standart forma getirilerek analiz edilirler.

Bunlardan ilki frekans tanım bölgesi analizi ile sistemin aktarım işlevi modelinin kurulmasıdır.

Diğer yöntem ise, mekanik sistemlerin davranışını yöneten diferansiyel denklemlerin vektör matris çarpımı şeklinde durum uzay denklemleri ile ifade edilerek zaman tanım bölgesinde analiz edilmesidir.

3.4.1 Aktarım işlevi Gösterimi

Bir sistemin aktarım işlevi tüm başlangıç koşulları sıfır iken girişin Laplace dönüşümünün, çıkışın Laplace dönüşümüne oranı olarak tanımlanır.

Sistemlerin tek girişli tek çıkışlı ve doğrusal zamanla değişmeyen yapıda olması durumunda oldukça kullanışlı bir yöntemdir.

Şimdi yukarıda incelediğimiz tek serbestlik dereceli öteleme hareketi yapan mekanik sistemin aktarım işlevini elde edelim.

Sistemin giriş çıkış ilişkisi içinde dinamik modeli aşağıdaki gibi elde edilir. Burada F(t) sistemin girişi, y(t) ise çıkış denklemidir.

) ( )

(

) 1 (

) ( )

( )

(

t x t

y

t m F t

m x t k

m x t c

x









 





Şimdi elde edilen dinamik modelde eşitliğin her iki tarafına Laplace dönüşüm metodunu uygulayalım. Türevin Laplace dönüşümü ile,

 

    ^{( ) ( )}

) 1 (

) ( )

( )

(

t x L t

y L

t m F t

m x t k

m x L c

t x L



 



 

   

 





 

) ( )

(

) 1 (

) ( )

0 ( )

( )

0 ( )

0 ( )

2

(

s X s

Y

s m F

s m X

x k s

m sX x c

sx s

X s















 

3.4.1 Aktarım işlevi Gösterimi

Sistemin aktarım işlevi, tüm başlangıç koşullarının sıfır olması durumunda elde edilir.

Bu durum bu yöntemin başlıca dezavantajlarından biridir. Bir çok dinamik sistemin davranışını, bu kabul karşılamaz.

Sistemin aktarım işlevi tüm başlangıç koşullarının sıfır olması ve sistemin girişinin F(s) çıkışının ise Y(s) olması durumunda aşağıdaki gibi elde edilir.

 

 

 

k cs ms

s F

s s Y

TF

k cs ms

s s F

Y

k cs ms

s s F

X

s F k

cs ms

s X

s m F

s m X

s k m sX

s c X s



 





 



 















2 2

2 2

2

1 )

( ) ) (

(

) ) (

(

) ) (

(

) ( )

(

) 1 (

) ( )

( )

(

3.4.1 Aktarım işlevi Gösterimi (Transfer Fonksiyonu)

Dinamik sistemlerin hareketlerini tanımlayan diferansiyel denklemler, vektör matris çarpımı şeklinde durum-uzay denklemleri ile ifade edilebilirler. Durum-uzay gösterimi ile n. dereceden bir diferansiyel denklem, n adet birinci dereceden diferansiyel

denklemden oluşan bir denklem takımına dönüştürülür [5], [6].

Doğrusal Zamanla Değişmeyen Sistemlerin

Durum Uzay Denklemleri:

( ) ( ) ( )

) ( )

( )

(

t Du t

Cx t

y

t Bu t

Ax t

x











Durum Vektörü:

Giriş Vektörü:

Çıkış Vektörü:

t

n

x ( )   t

m

u ( )   t

p

y ( )  

Sistemin Bilinen

Durum-Uzay Matrisleri:

A, B, C , D

3.4.2 Durum Uzay Gösterimi

Şimdi ele aldığımız tek serbestlik dereceli mekanik sistemi, durum uzay denklemleri şeklinde yazalım.

Bunun için yapılması gereken ilk şey, diferansiyel denklemdeki en yüksek mertebeli terimin haricindeki değişkenlere yeni değişken ataması yapmaktır [7], [8], [9]. Yeni değişkenler ile mekanik sistemin diferansiyel denklemi,

) ( )

(

) 1 (

) ( )

( )

(

) ( )

(

) ( )

( )

( )

(

1 1

1 1

t x t

y

t m F t

m x t k

m x t c

x

t F t

u

t x t

x t

x t

x





























3.4.2 Durum Uzay Gösterimi

şeklinde yeniden yazılır.

  ^{[ 0 ] ( )}

) (

) 0 (

1 )

(

) 1 (

0 )

( ) 1 (

0 )

( ) ) (

(

1

1 1

t t u

x t t x

y

t u t m

x t x m

c m

t k x

t t x

x

 



 



 

 





 



 

 

 





 





 







 



 



 



 

 ^{1 0}  ^{, D}   ⁰

C 1 ,

0

, 1

0  

 





 



 

 





 







 

m B

m c m

A k

3.4.2 Durum Uzay Gösterimi

Buradan sistemin durum uzay modeli,

olarak elde edilir. Sistemin durum uzay matrisleri ise aşağıdaki gibi bulunur.

Örnek. Bir otomobile ait çeyrek taşıt modeli aşağıdaki şekilde gösterilmektedir. Bu bir aracın sadece bir tekerine ait blok çizgesidir. Burada, m₁ aracın ¼ kütlesini, m₂ tekerin kütlesini göstermektedir. Ayrıca, k₁ ve k₂ sırası ile süspansiyonun ve lastiğin yay

sabitleridir, c süspansiyonun bir parçası olan viskoz sönüm katsayısı, x_y ise bozucu yol girişidir.

Örnekte ele alınan çeyrek taşıtın sistem parametreleri, m₁=250 kg m₂=45 kg k₁=16000 N/m k₂=160000 N/m c=1000 Ns/m olarak verilmiştir.

m₁

m₂ k₁

c

k₂ x₁

x₂

x_y

3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi

a-) Sistemi başlangıç anında dengede kabul ederek, hareketin diferansiyel denklemlerini bulunuz.

b-) Sistemin X₂(s)/X_y(s) aktarım işlevini bulunuz. Sisteme birim basamak şeklinde bir bozucu yol girişinin etki etmesi halinde taşıtın tekerleğinin zaman cevabını MATLAB paket programı yardımıyla çizdiriniz.

c-) Sistemin çıkış denkleminin olacak şekilde sistemin durum uzay modelini kurunuz.

Süspansiyonun sönüm katsayısı 'nin sırasıyla 1000, 1500, 2500 ve 3500 Ns/m değerleri alması durumunda çeyrek taşıtın ¼ kütlesinin ve tekerleğinin kütlesinin deplasmanlarının birim basamak bozucu girişine karşı zaman grafiklerini MATLAB programı ile çizdiriniz.

3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi

a) Verilen çeyrek taşıt modeli iki serbestlik derecesine sahiptir. Sisteme ait hareketin diferansiyel denklemleri, Lagrange metodu, ile kolaylıkla bulunabilir. Sistemin toplam kinetik, potansiyel ve sönüm enerjileri,

3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi

Çözüm:

2 2 1

2 2

2 2

2 1

1

2 2 2 2

1 1

) 2 (

1

) 2 (

) 1 2 (

1

2 1 2

1

x x

c E

x x

k x

x k E

x m x

m E

d

y p

k

























1 1 1

1 1 1

x x m

E dt

x d x m

E

_{k k}



 

   



 







 

 



) (

), (

,

0

_{1 2}

1 2

1 1 1

1

x x

x c x E

x x k

E x

E

_{k p p}



   



 

 

 





Genelleştirilmiş x₁ koordinatı için:

3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi

0 )

( )

(

_{1 2 1 1 2}

1

1

x  c x  x  k x  x 

m    

Genelleştirilmiş x₂ koordinatı için:

2 2 2

2 2 2

x x m

E dt

x d x m

E

_{k k}



 

   



 







 

 



) (

), (

) (

,

0

_{1 2}

2 2

2 2

1 1 2

2

x x

x c x E

x k x

x x k

E x

E

_d

y

k p

 

   



 







 

 





x

y

k x

k x

x k x

x c x

m

₂

 

₂

 ( 

₁

 

₂

) 

₁

(

₁



₂

) 

_{2 2}



₂

b) Sistemin aktarım işlevini bulmak için, sistemin hareketinin diferansiyel denklemleri yeniden düzenlenir ve Laplace dönüşümü uygulanır.

) ( )

( )

( )

( )

( )

(

) ( )

( )

( )

( )

(

2 2 2

2 2

2 2 2

1 1

2 1

2 1 2

2 1 2

1 1 1

1 1

1 1 1

t m x

t k m x

t c m x

k m

t k m x

t c m x

t k x

t m x

t c m x

t k m x

t c m x

t k x



y

 



 



 

































) ( )

( )

(

) ( )

(

) ( )

( )

( )

( )

( )

(

) ( )

( )

( )

( )

(

2 2 1

2 2

1 2

2 2 2

1 2

2

2 1

1 1 1

1 1 1

2

2 2 2

2 2

2 2 2

1 1

2 1

2 1 2

2

2 1

2 1 1 1

1 1

1 1 1

2

s m X

s k X m s

c m

s k m X

k m

s k m s c

s X m s

c m

s k m X

s k m s c

s m X

s k m sX

s c m X

k m

s k m sX

s c m X

s k X s

s m sX

s c m X

s k m sX

s c m X

s k X s

y

y

 



 



 

 



 



   

 

 



 

 



 



  



 



 



 

















3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi

) ( )

(

₂

1 1 1

2

1 1

1

1

X s

m s k

m s c

m s c m

k s

X

 

 



  

 

 



 



) ( )

( )

(

2 2 2

1 2

2

2 2

1

2 2 2

1 2

2

2 2

1

2

X s

m k m

s k m s c

m k s

X m

k m

s k m s c

m s c m

k s

X

_y

 

 



   



 

 



   

 

 



 



 



_{1 2}



³



_{1 1 1 2 2 1}



² _{2 1 2}

4 2 1

1 2

1 2 2

) (

) (

k k s ck s

m k m

k m

k s

m m

c s

m m

k cs s

m k s

X s X

y

      



 

3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi

Buradan, sistemin aktarım işlevi aşağıdaki gibi elde edilir.

Sistemin birim basamak şeklinde bir bozucu etkiye maruz kalması durumunda çeyrek taşıtın tekerleğinin yer değiştirmesinin zaman yanıtı aşağıdaki MATLAB kodu ile elde edilebilir [10].

3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi

Hazırlanan MATLAB mfile kodunun çalıştırılmasıyla, tekerleğin zaman yanıtı aşağıdaki gibi elde edilir.

c) Sisteme ait durum-uzay modelinin kurulabilmesi için aşağıdaki değişken dönüşümlerinin yapılması gereklidir. Burada,

) (

2 4

4 2

1 3

3 1

t u x

x x

x x

x x

x x

y































x

y

k cx

cx x

k x

x k x

m

x x

k x

x c x

m

2 4

3 2

2 2

1 1 4

2

2 1

1 4

3 3

1

) (

0 ) (

) (



























3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi

 

 ^{( )}  ^{( )}

1 1

2 2 4

3 2

2 1

1 1 2 4

4 3

2 1 1

1 1

3

t m u

cx k cx

x k k

x m k

x

cx cx

x k x

m k x



























) 0 (

0 0

) (

1 0

0 0

0 1

0 0

2 2 4

3 2 1

2 2

2 2 1

2 1

1 1

1 1 1

1

4 3 2 1

t u m

k x

x x x

m c m

c m

k k

m k

m c m

c m

k m

k x

x x x

 

 







 

 









 

 





 

 





 

 

 





 

 

 





 





 

 

 





 

 













) 0 (

0 0

0 1 0

0 0 0 ) 1

(

4 3 2 1

t u x

x x x t

y 



 



 

 

 





 

 





 

 



 

Buradan sistemin durum uzay modeli aşağıdaki gibi elde edilir.

3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi

3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi

Değişen sönüm katsayısına göre çıkış denkleminin zaman yanıtını elde etmek için MATLAB programında aşağıdaki mfile kodu yazılabilir.

Hazırlanan MATLAB mfile kodunun çalıştırılmasıyla, ¼ taşıt kütlesinin ve tekerleğin zaman yanıtı değişen sönüm katsayısı için aşağıdaki gibi elde edilir.

3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi

Örnek. Aşağıda verilen sistemde, yatayda ve düşeyde hareket eden iki kütle ideal bir makara ile birbirine bağlanmıştır. Bu ideal makaranın kütlesi ve sürtünmesinin

olmadığı bilinmektedir. F(t) kuvveti ile m₁ kütlesinin çekilmesi sonucunda, sistem harekete başlamaktadır. Verilen sistemin hareketinin diferansiyel denklemlerini bulunuz.

k₁

k₂ m₁

m₂ x₂

c₁

c₂

İdeal makara

x₁ F(t)

3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi

Çözüm:

m₁

m₂ k₁(x₁-x₂)

c₂ ẋ₂ k₂x₂

m₂g

m₂ẍ₂ k₁(x₁-x₂)

c₁ ẋ₁ m₁ẍ₁ F(t)

Sistem yatayda m₁ kütlesi ve düşeyde m₂ kütlesi ile hareket etmektedir. Ötelenen

mekanik sistemlerde hareketin yönünü değiştirmede ideal makaralar sıklıkla kullanılır.

Bu sitemde de yatayda ve düşeyde hareket eden iki kütle, ideal bir makara ile birbirine bağlanmıştır. Sistem iki serbestlik derecesine sahiptir ve sistemin SCD aşağıda

verilmiştir.

3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi

0 )

(

0 ) (

) (

2 2

2 2

2 2

2 2

1 1

2 1

1 1

1 1

1























g m x

k x

c x

m x

x k

x x

k x

c x

m t

F













) (

) ( )

(

2 1

1 2

2 2 2

2 2

2

2 1

1 1

1 1

1

x x

k g m x

k x

c x

m

t F x

x k x

c x

m































Sistemin hareketinin diferansiyel denklemleri D'Alambert Prensibiyle,

3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi

olarak elde edilir.