a-) Sistemi başlangıç anında dengede kabul ederek, hareketin diferansiyel denklemlerini bulunuz.
b-) Sistemin X2(s)/Xy(s) aktarım işlevini bulunuz. Sisteme birim basamak şeklinde bir bozucu yol girişinin etki etmesi halinde taşıtın tekerleğinin zaman cevabını MATLAB paket programı yardımıyla çizdiriniz.
c-) Sistemin çıkış denkleminin olacak şekilde sistemin durum uzay modelini kurunuz.
Süspansiyonun sönüm katsayısı 'nin sırasıyla 1000, 1500, 2500 ve 3500 Ns/m değerleri alması durumunda çeyrek taşıtın ¼ kütlesinin ve tekerleğinin kütlesinin deplasmanlarının birim basamak bozucu girişine karşı zaman grafiklerini MATLAB programı ile çizdiriniz.
3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi
a) Verilen çeyrek taşıt modeli iki serbestlik derecesine sahiptir. Sisteme ait hareketin diferansiyel denklemleri, Lagrange metodu, ile kolaylıkla bulunabilir. Sistemin toplam kinetik, potansiyel ve sönüm enerjileri,
3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi
Çözüm:
2 2 1
2 2
2 2
2 1
1
2 2 2 2
1 1
) 2 (
1
) 2 (
) 1 2 (
1
2 1 2
1
x x
c E
x x
k x
x k E
x m x
m E
d
y p
k
1
Genelleştirilmiş x1 koordinatı için:
3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi
0
Genelleştirilmiş x2 koordinatı için:
2
b) Sistemin aktarım işlevini bulmak için, sistemin hareketinin diferansiyel denklemleri yeniden düzenlenir ve Laplace dönüşümü uygulanır.
)
3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi
)
3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi
Buradan, sistemin aktarım işlevi aşağıdaki gibi elde edilir.
Sistemin birim basamak şeklinde bir bozucu etkiye maruz kalması durumunda çeyrek taşıtın tekerleğinin yer değiştirmesinin zaman yanıtı aşağıdaki MATLAB kodu ile elde edilebilir [10].
3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi
Hazırlanan MATLAB mfile kodunun çalıştırılmasıyla, tekerleğin zaman yanıtı aşağıdaki gibi elde edilir.
c) Sisteme ait durum-uzay modelinin kurulabilmesi için aşağıdaki değişken dönüşümlerinin yapılması gereklidir. Burada,
)
3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi
Buradan sistemin durum uzay modeli aşağıdaki gibi elde edilir.
3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi
3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi
Değişen sönüm katsayısına göre çıkış denkleminin zaman yanıtını elde etmek için MATLAB programında aşağıdaki mfile kodu yazılabilir.
Hazırlanan MATLAB mfile kodunun çalıştırılmasıyla, ¼ taşıt kütlesinin ve tekerleğin zaman yanıtı değişen sönüm katsayısı için aşağıdaki gibi elde edilir.
3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi
Örnek. Aşağıda verilen sistemde, yatayda ve düşeyde hareket eden iki kütle ideal bir makara ile birbirine bağlanmıştır. Bu ideal makaranın kütlesi ve sürtünmesinin
olmadığı bilinmektedir. F(t) kuvveti ile m1 kütlesinin çekilmesi sonucunda, sistem harekete başlamaktadır. Verilen sistemin hareketinin diferansiyel denklemlerini bulunuz.
k1
k2 m1
m2 x2
c1
c2
İdeal makara
x1 F(t)
3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi
Çözüm:
m1
m2 k1(x1-x2)
c2 ẋ2 k2x2
m2g
m2ẍ2 k1(x1-x2)
c1 ẋ1 m1ẍ1 F(t)
Sistem yatayda m1 kütlesi ve düşeyde m2 kütlesi ile hareket etmektedir. Ötelenen
mekanik sistemlerde hareketin yönünü değiştirmede ideal makaralar sıklıkla kullanılır.
Bu sitemde de yatayda ve düşeyde hareket eden iki kütle, ideal bir makara ile birbirine bağlanmıştır. Sistem iki serbestlik derecesine sahiptir ve sistemin SCD aşağıda
verilmiştir.
3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi
0
Sistemin hareketinin diferansiyel denklemleri D'Alambert Prensibiyle,
3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi
olarak elde edilir.
Örnek : Çelik konstrüksiyon olarak inşa edilmiş üç katlı bir yapısal sistemin dış görünüşüne ait bir resim aşağıda verilmiştir [11]. Bu yapısal sistemin, deprem etkisindeki kat yer değiştirme ve ivmelerinin zaman yanıtlarının bilgisayar ortamında benzetim çalışmalarıyla incelenebilmesi için matematik modelinin çıkarılmasına ihtiyaç vardır. Deprem etkisindeki titreşimlerin gerçeğe en yakın olarak analiz edilebilmesine imkan sunacak bir matematik model geliştiriniz.
3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi
Çözüm:
Mühendislik sistemleri modellenirken elde edilecek modelin, mümkün olduğu kadar basit ancak sistemden incelenecek davranışları eksiksiz ve doğru bir şekilde
tanımlayacak yeterlilikte olması gerekir.
Örnekte fiziksel modelin deprem etkisindeki titreşimlerinin analiz edileceği bilgisi verilmiştir. Bu durumda ilk yapılması gereken şey, deprem hareketinin genel
karakteristiğini düşünerek bu bozucu giriş etkisinde yapısal sistemin nasıl hareket edeceğinin hayal edilmesidir.
Bilindiği gibi, depremlerin yapısal sistemler için yıkıcı etkileri yatay titreşimlerin bir sonucu olarak ortaya çıkar. Bu nedenle zeminden yapıya iletilen bozucu deprem girişi yapısal sistemde yanal titreşim hareketine neden olur. Yapısal sistemin deprem
etkisindeki titreşimlerinin analiz edilmesinde kullanılacak modelin serbestlik
derecesinin sadece yatay yönde olacak şekilde hesap edilmesi yeterli olacaktır [12].
3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi
Yapısal sistem zeminle birlikte üç katlıdır. Depremin yıkıcı etkisinin binaya teması toprak yapı etkileşimi ile meydana geleceğinden yapısal sistemin altındaki toprağın rijtlik ve sönümünün de modele dahil edilmesi gerekir [12].
Bu bilgiler ışığında yapısal sistemin basitleştirilmiş fiziksel modeli aşağıdaki şekilde verildiği gibi çizilebilir.
Burada, m1, m2 ve m3 sırasıyla birinci, ikinci, üçüncü katlara ait kütlelerdir. k1, toprağın rijitliği , k2 ve k3 ikinci ve üçüncü katın rijitlik değerleridir. Yine c1 , toprağın sönüm katsayısı, c2 ve c3 sırasıyla ikinci, üçüncü katların sönüm katsayılarıdır.
3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi
Yapısal sistemin hareketinin diferansiyel denklemleri Lagrange Denklemleri ile
kolaylıkla bulunabilir. Bunun için yapısal sistemin toplam kinetik , potansiyel ve sönüm enerjileri,
2 3 3 2
2 2 2
1
1
2
1 2
1 2
1 m y m y m y
E
k
2 2 3
3 2
1 2
2 2
0 1
1
( )
2 ) 1
2 ( ) 1
2 (
1 k y y k y y k y y
E
p
2 2 3
3 2
1 2
2 2
0 1
1
( )
2 ) 1
2 ( ) 1
2 (
1 c y y c y y c y y
E
d
3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi
olarak elde edilir.
3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi
Genelleştirilmiş y1 koordinatı için,
1
Bozucu Dış kuvvet:
Yapısal sistemin birinci katına ait hareket denklemi:
3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi
Genelleştirilmiş y2 koordinatı için,
2
Yapısal sistemin ikinci katına ait hareket denklemi:
3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi
Genelleştirilmiş y2 koordinatı için,
Yapısal sistemin ikinci katına ait hareket denklemi:
3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi
Durum-uzay modelinin elde edilebilmesi için diferansiyel denlemlerdeki en yüksek mertebeli türev ifadesi dışındaki terimlere yeni değişken ataması yapılır ve hereket denklemler yeniden aşağıdaki gibi yazılır.
Sistemin durum uzay modeli aşağıdaki gibi elde edilir.
3. Ötelenen Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi
Özet
Günümüz mühendislik sistemlerinde öteleme hareketi yapan mekanik sistemlere sıklıkla rastlanılır.
Bu bölümde, öteleme hareketi yapan mekanik sistemlerin matematik modellerinin elde edilme yöntemleri incelenmiştir.
İlk olarak öteleme durumunda kütle, rijitlik ve sönüm elemanlarının genel davranış karakteristikleri tanıtılmıştır. Daha sonra modellenen mekanik sistemlerin
hareketlerini tanımlayan diferansiyel denklemlerin elde edilmesinde kullanılan başlıca metotlar tanıtılmıştır.
Diferansiyel denklemleri elde edilen mekanik sistemlerin aktarım işlevi ve durum uzay modellerinin kurulması yaklaşımları örnekler ile açıklanmıştır.
Bu bölümde kazanılan bilgi birikimi ile her türlü ötelenen mekanik sistemin
matematiksel modellemesi yapılıp, sistemin zaman cevapları MATLAB programı ile analiz edilebilir.
Kaynakça
Kaynakça
[1] Y. Ercan, Mühendislik Sistemlerinin Modellenmesi ve Dinamiği, Literatür Yayınları, 2009.
[2] R. S. Burns, Advanced Control Engineering, Butterworth Heinemann, 2001.
[3] K. Ogata, System Dynamics, Prentice Hall, 2003
[4] F. Lin, Robust Control Design An Optimal Control Approach, JohnWiley & Sons, 2007.
[5] M.Ö. Efe, Otomatik Kontrol Sistemleri, Seçkin Yayıncılık, 2012.
[6] J. S. Bay, Fundamentals of Linear State-Space Systems, Mc-Graw Hill, 1999.
[7] C.M. Close, D.K. Frederick, J.C. Newel, Modeling and Analysis of Dynamic Systems, John Wiley&Sons Inc, 2002.
[8] N. S. Nise, Control System Engineering, JohnWiley & Sons, 2010.
[9] R. L. Williams II, D. A. Lavrence, Linear State-Space Control Systems, JohnWiley & Sons, 2007.
[10] R. H. Bishop, 1993, Modern Control Systems Analysis and Design Using Matlab, Addison-Wesley Publishing Company, 1993
[11] H.Yazıcı, R. Güçlü, İ.B. Küçükdemiral, Yeni Bir Doyumlu Eyleyiciye Sahip Gecikmeye Bağlı Dayanıklı H∞ Denetleyici ile Aktif Titreşim Kontrolü, 16. Ulusal Makine Teorisi Sempozyumu UMTS2013, s:192-201, Atatürk Üniversitesi, 12-13 Eylül, 2013.
[12] N. Yagiz, Sliding Mode Control of a Multi-Degree-of-Freedom Structural System with Active Tuned Mass Damper, Turkish Journal of Engineering and Environmental Sciences, 25:651-657,
2001. Yazıcı, Küçükdemiral (Y.T.U) Bölüm 3 59