TEKNİK ELEMANLAR İÇİN DİJİTALİMSİ

(1)

TEKNİK ELEMANLAR İÇİN DİJİTALİMSİ

MEHMET TOSUNER

KOCAELİ ANADOLU TEKNİK TEKNİK VE ENDÜSTRİ MESLEK LİSESİ ELEKTRİK BÖLÜMÜ Otomasyon Atölyesi Temel Dijital Elektronik Ders Notu

(2)

İÇİNDEKİLER

1.

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

2.

2.1.

2.2.

2.3.

2.3.1.

2.3.2.

2.3.2.1.

3.

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

3.10.1.

3.10.2.

3.10.3.

3.10.4.

3.10.5.

3.10.6.

3.11.

3.12.

4.1. 4.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

5.

5.1.

5.2.

5.3.

6.

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

7.1. 7.

7.1. 1.

7.1. 2.

7.2.

7.2.1.

7.2.2.

8.

8.1.

8.1.1.

8.1.2.

8.2.

8.2.1.

8.3.

8.3.1.

8.3.1.1.

8.4.

9.

9.1.

9.2.

9.3.

9.4.

9.5.

Sayı Sistemleri Desimal Sistemi Binary Sayı Sistemi Oktal Sayı Sistemi Heksadesimal Sayı Sistemi Bilgisayar Kodları Boolen Matematiği Boolen Kuralları Doğruluk Tablosu

Lojik İfadelerin Sadeleştirilmesi Boolen Cebri İle Sadeleştrime

Lojik İfadelerin Venn Şeması İle Sadeleştrilmesi Lojik İfadelerin Karno Haritası İle Sadeleştrilmesi Lojik Kapılar

Ve Kapısı ( And Gate ) Veya Kapısı ( Or Gate ) Değil Kapısı ( Not Gate )

Vedeğil Kapısı ( Not And - Nand Gate ) Veyadeğil Kapısı ( Not Or - Nor Gate ) Özel Veya Kapısı ( Exor – Exclusive Or Gate ) Özel Veyadeğil Kapısı ( Exnor – Exclusive Nor Gate ) Tampon Kapısı ( Buffer Gate )

Trasmisyon Kapısı ( Blateral Swich ) Lojik Kapıların Diğer Kapılarla Elde Edilmesi Ve Kapısının Elde Edilmesi

Veya Kapısının elde Edilmesi Tampon Kapısının Elde Edilmesi Ve Değil Kapısının Elde Edilmesi Veya Değil Kapısının Elde Edilmesi Özel Veya Kapısının Elde Edilmesi Lojik Kapılar İle İlgili Örnekler Lojik Devre Tasarımı Entegre Devreler

Entegre Devre Parametreleri TTL Entegreler

Cmos Entegreler

Kapılarda Schmitt Triger Özelliği Titreşim Önleme Devresi Dijital Kapıların Akım Değerleri Mulrivibratörler

Astable Mv Monostable Mv Bistable Mv Filip-Floplar RS FF JK FF D ( Data ) FF T ( Toogle ) FF FF ler İle İlgili Örnekler Sayıcılar ( Counters ) Asenkron Sayıcılar Asenkron Yukarı Sayıcı Asenkron Aşağı Sayıcı Senkron Sayıcılar Senkron Yukarı Sayıcı Senkron Aşağı Sayıcı Diğer Lojik Devreler

Kod Çözücü Devreler ( Decoder ) 2 Girişli 4 Çıkışlı Kod Çözücü BCD Girişli 7 Çıkışlı Kod Çözücü Kodlayıcı Devreler ( Encoder ) 2 Bitlik Kodlayıcı

Aritmetik İşlem Devreleri Toplayıcılar

Yarım Toplayıcı Karşılaştırıcılar

Lojik Kapılarla Kumanda Devrelerinin Oluşturulması Set Ve Reset Devreleri

Yasaklama Devresi Kilitleme Devresi

İleri Geri Motor Çalıştırma Devresi Zamanlayıcılar

DİJİTAL DEVRE DENEYLERİ

3 3 3 6 6 7 8 9 13 13 13 17 17 20 20 22 23 24 25 26 26 26 27 27 28 28 28 29 29 29 29 51 56 56 57 58 59 60 60 61 61 62 62 62 63 65 66 67 67 70 70 71 72 73 73 73 76 76 76 76 77 77 77 77 77 78 78 78 80 80 80 81 81 - 96

(3)

DİJİTAL ELEKTRONİK

Analog Sinyaller

Sinisoydal, kare, testeredişi, üçgen dalga….. bu gibi sinyaller zamana bağlı olarak şiddet ve / veya yönünü değiştiren ve minimum değeri ile maksimum değeri arasında sürekliliği olan gerilim formlarıdır. Bu gerilimlere analog sinyaller ve bu sinyalleri üreten veya kullanan devrelere ise analog devreler diyoruz. Bir analog sinyali saklayıp daha sonra aynı şekli ile kullanmak veya birden fazla analog sinyaller arasında matematiksel işlemler yapmak mümkün değildir. Peki verilerin saklanması veya sayısal işlemlerin yapılması nasıl gerçekleştirilecek.

İşte bu gibi işlemler dijital elektrik sinyalleri ile dijital elektronik devrelerde yapılmaktadır. Peki nedir dijityal sinyal veya gerilim? Kısaca belirli bir genliğe (Değere) sahip elektrik palsleridir ve sadece iki değeri vardır ya Düşük – (Low) seviye yada Yüksek – (High) seviye. Düşük seviye sayısal olarak 0, Yüksek seviye ise 1 ‘e karşılık gelmektedir. Buradaki 0 ve 1’ e ait gerilim değerleri kullanılan dijital devrenin çalışma gerilimlerine bağlıdır örnek olarak TTL entegrelerden oluşmuş bir devrede 0 değeri 0 V a karşılık

gelirken 1 değeri 5 V a karşılık gelmektedir. Dijital sinyaller

Gerektiğinde Analog / Dijital ( A/D ) veya Dijital / Analog ( D/A ) dönüştürücü devreler ile bu iki sinyal arasında dönüşüm yapmamız mümkündür. Örneğin proses sisteminde sıcaklık ölçtüğümüz termokupul çubukta sıcaklık değişimi bir gerilim seviyesine dönüşmekte ve bu gerilim seviyesindeki değişim A/D dönüştürücü ile sıcaklığı sayısal olarak görmemiz sağlanmaktadır.

Evet elektrik sinyallerini 0 ve 1 lere dönüştürdükten sonra matematik işlemlerini yapabilir ve verileri saklayabiliriz.

(61) SAYI SİSTEMLERİ

- Desimal sayı sistemi ( 10 tabanlı sayı sistemi ) - Binariy sayı sistemi ( 2 tabanlı sayı sistemi ) - Oktal sayı sistemi ( 8 tabanlı sayı sistemi )

- Heksadesimal sayı sistemi ( 16 tabanlı sayı sistemi )

Not : Sayı sistemlerinde her bir sayı “digit” “dijit” olarak adlandırılır.

(61)10 Desimal sistemi ( 10tabanlı sayı sistemi ) Mevcut matematiğimizde kullandığımız sayı sistemidir.

0 , 1 , 2 ,3 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 dan oluşan 10 tabanlı sayı sistemidir.

Örnek 1-1 4 6 5 = 4.10² + 6.10¹ + 5.10⁰ = 400 + 60 + 5

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

Tabanın Kuvvetleri 2 1 0 4.100 6.10 5.1 = 465

465 10 40 46 10 65 40 4 60 6

5

(61)10 Binary sayı sistemi ( 2 tabanlı sayı sistemi ) 0 , 1 den oluşan 2 tabanlı sayı sistemidir.

( 1 enerji var , 0 enerji yok anlamına gelir. ) Binary sayının desimal sayıya çevrilmesi

(101011) 2 = (?)10

-2 ( 1 0 1 0 1 1 )2 = 1.2⁵ + 0.2⁴ + 1.2³ + 0.2² + 1.2¹ + 1.2⁰ =

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

(4)

Desimal sayının binary sayıya çevrilmesi

(33)10 = (?) 2 (61)10 = (?) 2

Örnek 1-3/4 (33)10 = (?) 2 1. yöntem (61)10 = (?) 2 2. yöntem 33 2

2 16 2 13 16 8 2 12 0 8 4 2 1 0 4 2 2

0 2 1

Sondan başa doğru

sıralanır 0

(33)10 = (100001) 2

61

2 = 30 + 1 30

2 = 15 + 0 15

2 = 7 + 1 7

2 = 3 + 1 3

2 = 1 + 1 1

2 = 0 + 1 Aşağıdan yukarı

doğru sıralanır

(61)10 = (111101) 2

Ondalıklı desimal sayıların binary sayılara çevrilmesi Tam kısım bölünür, ondalıklı kısm çarpılır.

Örnek 1-5 ( 5,625 )10 = (?) 2

( 5 )10 = (101 ) 2

( 0,625 )10 = (101) 2

( 5,625 )10 = (101,101) 2

5

2 = 2 + 1 2

2 = 1 + 0 1

2 = 0 + 1

0,625 x 2

0,25 x 2

0,5 x 2

1,250 0,50 1,0

↓ ↓ ↓

1 0 1

Baştan sona gidilir

Ondalık kısım yok edilinceye kadar çarpma işlemine devam edilir

Ondalıklı binary sayıların desimale çevrilmesi

Örnek 1-6 ( 0 , 1 1 0 ) 2 = 1.2^-1 + 1.2^-2 + 0.2^-3

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

-1 -2 -3 1/2 1/2² 1/2³

↓ ↓ ↓

↓ 1/4 1/8

↓ ↓ ↓

0,5 0,25 0,125

↓ ↓ ↓

1.0,5 + 1.0,25 + 0.0,125 = ( 0,75 )10

(5)

Binary – Desimal sayı dönüşüm tablosu 8 4 2 1 ←Çarpan

↓ ↓ ↓ ↓

0 0 0 0 = 0 0 0 0 1 = 1 0 0 1 0 = 2 0 0 1 1 = 3 0 1 0 0 = 4 0 1 0 1 = 5 0 1 1 0 = 6 0 1 1 1 = 7 1 0 0 0 = 8 1 0 0 1 = 9 1 0 1 0 = 10 1 0 1 1 = 11 1 1 0 0 = 12 1 1 0 1 = 13 1 1 1 0 = 14 1 1 1 1 = 15 -

Örnek 1-7 Desimal sayıların kendi aralarında toplanması Binary sayıların kendi aralarında toplanması 7

+ 3 1 0

Elde Kalan

10 dur çünkü 10 da 1 tane 10 vardır yani elde 1 dir 10 – 10 =0

olduğundan kalanda ise 0 dir

1 + 1 1 0

Elde Kalan

1 + 1 = 2

binary sayı sistemi 2 lik tabana göre kurulduğundan 2 de 1 tane 2 vardır yani elde 1 dir

2 – 2 = 0

olduğundan kalanda ise 0 dır

9 + 7 1 6

Elde Kalan

16 da 1 tane 10 vardır yani elde 1 dir 16 – 10 = 6

olduğundan kalan ise 6 dır

1 1 + 1 1 1

Elde Kalan

1 + 1 + 1 = 3

3 de 1 tane 2 vardır yani elde 1 dir 3 – 2 = 1

olduğundan kalan ise 1 dir.

1 1 1 + 1 1 0 0

Elde Kalan

1 + 1 + 1 + 1 = 4

4 de 2 tane 2 vardır 2 nin binary karşılığı 10 olduğundan elde 10 dur

4 – 4 = 0 olduğundan ise kalan 0 dır.

-

Örnek 1-8 X Y Z

1 → X işleminden gelen elde 1 → Y işleminden gelen elde

1 0 1 1 0 1

+ 1 1 + 1 + 1 +

1 0 0 0 1 0 1 0 1 0

↓ ↓ ↓

Z Y X → → → → → →

(6)

1.3 Oktal sayı sistemi ( 8 tabanlı sayı sistemi ) 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ‘den oluşan 8 tabanlı sayı sistemidir.

Örnek 1-9/10

Oktal sayıların desimal sayılara çevrilmesi (165)8=(?)10

Desimal sayıların oktal sayılara çevrilmesi (61)10=(?)8

( 1 6 5 )8 = 1.8² + 6.8¹ + 5.8⁰ =

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

2 1 0 1.64 + 6.8 + 5.1

↓ ↓ ↓

Tabanın Kuvvetleri

64 0 48 + 5 = (117)10

61

8 = 7 + 5 7

8 = 0 + 7 (61)10 = (75)8

-

Örnek 1-11

28318

8 = 3539.75 → 0.75 x 8 = 6 3539

8 = 442.375 → 0.375 x 8 = 3 442

8 = 55.25 0.25 x 8 = 2

55

8 = 6.875 → 0.875 x 8 = 7

6

8 = 6 → 6 = 6

(28318)10 = (?)8

Büyük sayıların çevriminde hesap makinesi ile yandaki yöntemde kullanılabilir.

(28318)10 = (67236)8

1.4 Heksadesimal sayı sistemi ( 16 tabanlı sayı sistemi )

0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,7 , 8 , 9 , A , B , C , D , E , F den oluşan 16 tabanlı sayı sistemidir. ( A→10 , B→11 , C→12 , D→13 , E→14 , F→15 )

Örnek 1-12/13

Desimal sayının hegsa desimal sayıya çevrilmesi

(1451)10=(?)16

Heksa desimal sayının desimal sayıya çevrilmesi (F5A)16=(?)10

1451 16 144 90 16

11 80 5

↓ 10 ↓

↓ ↓ ↓

B A 5

← ← ←

(1451)10=(5AB)16

( F 5 A )16 = 15.16² + 5.16¹ + 10.16⁰ =

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

2 1 0 15.256 + 5.16 + 10.1 = (3930)10

J Not : Binary sayının oktala , oktallın hegsadesimale çevrimi gibi ara çevrimler olsada bu noktada kolay olan yol sayıların desimale çevrimi varsa desimalde dört işlemin yapılması ve tekrar istenen sayı tabanına çevrimidir.

Problemler : Aşağıda verilen sayıların çevrimlerini yapınız

1-1 ( 1011 )2 = ( ? )10 → ( 11 )10

1-2 ( 11 )2 = ( ? )10 → ( 3 )10

1-3 ( 101 )2 = ( ? )10 → ( 5 )10

1-4 ( 111 )2 = ( ? )10 → ( 7 )10

1-5 ( 11011100 )2 = ( ? )10 → ( 220 )10

1-6 ( 125 )10 = (?) 2 → ( 1111101 )2

1-7 ( 7,8125 )10 = (?) 2 → ( 111,1101 )2

1-8 ( 47 )8 = (?)10 → (39)10

1-9 ( 566 )8 = (?)10 → (374)10

1-10 ( 33 )10 = (?)8 → (41)8

1-11 ( 45 )16 = (69)10

-

(7)

1-12 (63.25)dec = ( ? )bin

a) 11111.11 b) 111001.01 c) 111111.01 d) 111111.1 e) Hiçbiri 1-13 (43.8125) dec = ( ? )bin

a) 101011.1101 b) 110101.1101 c) 101011.1011 d) 110101.1011 e) Hiçbiri 1-14 (1001011.011) bin = ( ? ) dec

a) 73.0375 b) 75.375 c) 91.375 d) 75.573 e) Hiçbiri

1-15 (110101.1011) bin = ( ? ) dec

a) 53.6875 b) 53.6375 c) 52.6875 d) 55.6375 e) Hiçbiri

1-16 (11001.1) bin = ( ? ) oct

a) 62.4 b) 62.1 c) 31.1 d) 31.2 e) 31.4

1-17 (25.6) oct = ( ? )bin

a) 10101.11 b) 11101.10 c) 10101.10 d) 10010.11 e) 11111.01

1-18 (35.1) oct = ( ? ) hex

a) 17.4 b) 1D.1 c) D1.2 d) E8.1 e) Hiçbiri

1-19 (39.A) hex = ( ? ) oct

a) 35.5 b) 70.5 c) 71.5 d) 72.25 e) 75.5

1-20 (485) dec = ( ? ) hex

a) 1E5 b) 231 c) 5E1 d) 15E e) Hiçbiri

Decimal Binary Octal Hexadecimal

0 0 0 0

1 1 1 1

2 10 2 2

3 11 3 3

4 100 4 4

5 101 5 5

6 110 6 6

7 111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F

16 10000 20 10

17 10001 21 11

18 10010 22 12

19 10011 23 13

20 10100 24 14

1.5 Bilgisayar Kodları

Günlük hayatta kullandığımız onlu sistemdeki sayılar, özel karakter ve harfler lojik devrelerde ikili sayı sistemine çevrilmeden kullanılamazlar. Bilgilerimizi bilgisayarda saklamak ve üzerinde işlem yapmak için yapılan çeviri işlemine kodlama adı verilir.

Bit : binary sayı kodunda kullandığımız rakamlara 0 ve 1 ‘lere bit denir.

(8)

İkili kodlanmış onlu sistem ( BCD ) ( binary coded for decimal )

Bu sistemde bir karakter ve sayı dört basamaklı bir ikili sayı grubu ile gösterilir.yani her karakter 4 bitlik ikili sayı gurubu ile ayrı ayrı kodlanır. Özel karakterleri 6 bitlik ikili sayı grubu ile kodlayabiliriz.

547 → 5 4 7 → 547 nin BCD kodu 010101000111

0101 0100 0111 -

Desimal sayılar 4 bitlik kodlama 6 bitlik kodlama

0 0000 000000

1 0001 000001

2 0010 000010

3 0011 000011

4 0100 000100

5 0101 000101

6 0110 000110

7 0111 000111

8 1000 001000

9 1001 001001

-

Karakter Desimal karşılığı Binary karşılığı

> 6E 6 14 → E

0110 1110 → 01101110 Gray Kodu

Bu kodda bir bitten bir sonraki bite geçişteki değişime bakılır. Bir bitten sonraki kendisini takip eden bittede eğer aynı sayı varsa bunun gray kodu 0, eğer farklı bir sayı varsa bunun gray kodu ise 1 dir.

Örnek 1-14

56 sayısının gray kodunu bulalım (56)dec = ( ? )gray

(56)_dec = ( 111000 )_bin 0 1 1 1 0 0 0 V V V V V V 1 0 0 1 0 0 (56)dec = ( 100100)gray

2. BOOLEN MATEMATİĞİ

Mantık kurallarının matematiksel gösterimidir. Boolen cebri dijital devreleri oluşturmadan kağıt üzerinde simülasyonlarını yapmamıza olanak sağlar. Bu sayede istediğimiz çalışma şartlarına ait devreleri tasarlayabilir, doğruluğunu kontrol edebilir, ve devre üzerinde sadeleştirmelere gidebiliriz.

JHer nekadar Boolen cebrini elektrik, elektronik ve diğer dallardaki teknik adamlar kullansada Boolen cebri 18. yüzyılda yaşamış George Bole isimli matemetikci tarafından bulunmuştur.

Boolen matematik ile elektriğin birleştiği bir dizi mantık işlemleridir.

İki değer vardır 0 veya 1 Bir A sinyalini ele alalım

+ 5 V 0 V

Durum→ L H L

Binary→ 0 1 0

-

Girişler Anahtarlama Elemanıdır Çıkışlar Enerjinin Olup Olmamasıdır

Lojik 0 Lolik 1 Lojik 0 Lolik 1

Anahtar Açık Anahtar Kapalı Enerji Yok Enerji Var

(9)

Çarpma İşlemi : Seri anahtarlamadır ve mantığı Toplama İşlemi : Paralel anahtarlama veya mantığı

A B

Q = A.B Q = A+B

.

Boolen kuralları Ve işlemleri

0 . 0 = 0 1 . 1 = 1 0 . 1 = 0 1 . 0 = 0

Veya işlemleri 0 + 0 = 0 1 + 1 = 1 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1

.

_

0.0=0

_

0 + 0 = 0

.

1 . 1 = 1

.

1 + 1 = 1

.

0 . 1 = 0

.

0 + 1 = 1

1 . 0 = 0

1 + 0 = 1

(10)

2.1 Boolen teoremleri : 1- Yer değişme kanunu :

A + B = B + A A.B = B.A

2 - Birleşme kanunu :

A + ( B + C ) = ( A + B ) + C A . ( B.C ) = ( A.B ) . C

-

(11)

3 - Dağılma kanunu

A+B.C=(A+B).(A+C) A.(B+C) = A.B+A.C

* Boolen cebrinde öncelik parantez içinde sıralı işlemlerde ise öncelik çarpma sonra toplamadadır.

4 - Tamamlayıcı kanunu _

A . A = 0 _ A + A = 1

_

A bazı kaynaklarda A^I olarak geçebilir.

5- Çift tersleme kanunu : _

= = _ A = A A = A

_ _ = =

A A A A

0 1 0 1

1 0 1 0

(12)

-7 - Yutma kanunu

Yutma kanunu / 1 Yutma kanunu / 2

A.(A+B) = A A+A.B = A

Yutma kanunu / 3 Yutma kanunu / 4

A + Ā B = A + B A + Ā B = ( A + Ā ) . ( A + B )

( A + Ā ) = 1 1 . ( A + B ) = A + B

veya Ā + AB = Ā + B

A . ( Ā + B ) = AB A . ( Ā + B ) = AĀ + AB

AĀ = 0 0 + AB = AB

veya Ā . ( A + B ) = Ā B --8 - Ve özdeşlikleri

A.0=0 A.1=A

A.A=A A.Ā=0

(13)

9 - Veya özdeşlikleri

A+0=A

A+1=1

A+A=A A+Ā=1

10- de morgon kanunu

A + B = A . B

A . B = A + B

A + B + C +...+ N = A . B . C ... N

A . B . C ... N = A + B + C +...+ N 2.2 Doğruluk tablosu

İfadede veya devrede bulunan her bir değişkenin olabileceği bütün 1 ve 0 durumları için işlemlerin yapılarak sonuçların yine 1 ve 0 lar halinde yazılmasıdır. Buradaki 1 ve 0 olasıkları 2^değişken sayısı ile bulunur.

Örnek 2-1Q = A+A.B A , B olarak 2 değişken var olasılık 2²= 4 dür A B A.B Q = A+A.B

0 0 0 0

0 1 0 0

1 0 0 1

1 1 1 1

2.3 Lojik ifadelerin sadeleştirilmesi 2.3.1. Boolen cebri ile sadeleştrime

Yöntemler : Ortak paranteze alınarak değişken sayısı azaltılmaya çalışılır, burada parantez içlerinde bir değişken ve o değişkenin değili bir araya getirilerek yok edilmeye çalışılır. Bir ifadede birden fazla ortak paranteze alınmışsa bu parantezler açılarak tekrar ortak parantezlerle alınarak yok edilmeye çalışılır.

Örnekler : Aşağıdaki lojik ifadeleri sadeleştriniz

(14)

-Örnek 2-3Q = Ā B + A + A B

yöntem 1- Q =( A + A B )+ Ā B =A + Ā B = A + B

A A + B

yöntem 2- Q =( A + Ā B )+ A B= A + B +A B = A + A . B + B = A + B

A + B A

-.

Örnek 2-4

Y=A B + A B = B ( A + A ) = B 1 = B

1

- Örnek 2-5

Z = A C + A D + B C + B D =A ( C + D ) + B ( C + D ) = AX + BX = X ( A + B ) = ( C + D ) ( A + B )

* * # # X X (C+D)

- Örnek 2-6 K = X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z = X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z

* * # # K = X Y ( Z + Z ) + X Y Z + X Y Z = X Y + X Y Z + X Y Z = X Y + X Y Z + X Y Z

1 X Y

K = Y ( X + X Z ) + X Y Z = Y ( X + Z ) + X Y Z

- Örnek 2-7

Y = ( A + B ) C = ( A + B ) + C = A B + C

- Örnek 2- 8

M = ( A + B C ) ( C + A^l D ) = A ( C + A ^l D ) + B C ( C + A^l D )

= A C + A A^l D + B C C + B C A^l D

= A C + B C + A^l B C D

= C ( A + B + A ^l B D)

Örnek 2-9 E = X.Y.( X + Y + Z ) = X.Y.X + X.Y.Y + X.Y.Z

= X.Y + X.Y + X.Y.Z

= X.Y + X.Y.Z

= X.Y.1 + X.Y.Z

= X.Y.( 1 + Z )

= X.Y.1

= X.Y

Örnek 2-10

S = P.Q.R + P. Q^l.R^l + P.Q. R^l + P.Q^l.R = P.Q.(R + R^l) + P. Q^l.( R^l + R)

= P.Q.1 + P. Q^l.1

= P.Q + P. Q^l

= P.(Q + Q^l)

= P.1

= P

-

Örnek 2-11

Q = AÎ.B.CÎ + AÎ.B.C = AÎ.B ( CÎ + C ) = AÎ.B

Örnek 2-12

{ [ ( A.B )' C ]' D }' = { [ ( A.B )'' + C' ] . D }'

= (A.B + C')' + D'

= [(A.B)' .C''] + D'

= (A'+B' ).C + D'

(15)

Aşağıdaki lojik ifadeyi sadeleştirerek doğru olup olmadığını doğruluk tablosu ile ispatlayınız.

Örnek 2-13

Y = ( ( A + B ) + ( A + C ) + ( A + D ) ) ( A B ) = ( A B ) ( A + B + C + D ) A + B + C + D

Y = A B A + A B B + A B C +A B D = A B + 0 + A B C + A B D =A B (1 + C + D ) = A B 1 = A B

0 * * * 1 A B A 0 0

A, B , C , D 4 adet değişken var. (2 üssü 4) 2⁴ = 16 farklı olasılık olacaktır her bir işlem basamağı ve ara işlemler doğruluk tablosunda bütün olasılıklar için gerçekleştirilecek ve sonuç bulunacaktır aynı işlem sadeleştrilmiş işlemede uygulandıktan sonra iki sonuç sutunu karşılaştırılacaktır

A B C D B A + B A + C A + D X A B F 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 → 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 → 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 → 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 → 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 → 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 → 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 → 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 → 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 → 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 → 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 → 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 → 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 → 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 → 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 → 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 → 0

=

- Örnek 2-14

X= ( B C + B C ) (B + AC )

İfadesini sadeleştiriniz ve elde ettiğiniz sonucu anahtarlama elemanları ile oluşturunuz.

………...

Lojik ifadesi sadeleştirildiğinde sonuç CB bulunur anahtarlama elemanları ile oluşturulmuş şekli yanda verilmiştir.

Örnek 2-15Q = ( XÎ + Y ) . ( X + Y ) = XÎ.X + XÎ.Y + X.Y + Y.Y = XÎ.Y + X.Y + Y

= Y. ( X^I + X + 1 ) = Y

Örnek 2-16Q = X.YÎ.Z + Y.Z + XÎ.YÎ.Z + YÎ.ZÎ = YÎ.Z ( X + XÎ ) + Y.Z + YÎ.ZÎ = YÎ.Z + Y.Z + YÎ.ZÎ

= YÎ ( Z + ZÎ ) + Y.Z = YÎ + YZ

= Y^I + Z

Örnek 2-17Q = AÎ.B + ( A.B )Î + C = AÎ.B + AÎ + BÎ + C = AÎ. ( B + 1 ) + BÎ + C = AÎ + BÎ + C

(16)

Örnek 2-19Q = AÎ.B.CÎ + AÎ.B.C = AÎ.B .( CÎ + C ) = AÎ.B

Örnek 2-20

Q = BÎ.CÎ + A.B + AÎ.BÎ.C + AÎ.B.C = BÎ.CÎ + A.B + AÎ.C .( BÎ + B ) = BÎ.CÎ + A.B + AÎ.C

Örnek 2-21Q = ( AÎ + BÎ + C )Î = AÎI.BÎI.CÎ = A.B.CÎ

Örnek 2-22

Q = AÎ.B + B.CÎ + BÎ = B .( AÎ + CÎ ) + BÎ ( A + C ) ye X dersek Q=BÎ + B.X

= BÎ + X = BÎ + AÎ + CÎ = AÎ+ BÎ + CÎ

Örnek 2-23Q = [ ( XÎ + X.Y ) . ( YÎ + X.Y ) ]Î = ( XÎ + X.Y )Î + ( YÎ + X.Y )Î = ( XÎI . ( X.Y )Î ) + ( YÎI + ( X.Y )Î ) = ( X . ( XÎ + YÎ ) ) + ( Y + ( XÎ + YÎ ) = X.XÎ + X.YÎ + Y.XÎ + Y.YÎ

= X.Y^I + X^I.Y

Problemler : Aşağıda verilen lojik ifadeleri sadeleştiriniz

2-1 Q = A' B' C' + A B' C' + B C + A' B' C + A B' C = ………….. = C + B' 2-2 F = A C + A' C + C' = ………….. = 1

2-3 Q = ( A' B' C' ) ' = ………….. = A + B + C

2-4 D = A C + B ( A' C + A ) = ………….. = A C + A B + B C

2-5 S = B' C' A' + A' B C + A B' C' + B' C A = ………….. = B' C' + A B' + A' B C

Aşağıda verilen lojik ifadeyi sadeleştirerek doğruluğunu doğruluk tablosunda karşılaştırınız 2-6 [ A' B' + ( A + B' )' ] ' = ………….. = A

A B [ A' B' + ( A + B' )' ] '

0 0 0

0 1 0

1 0 1

1 1 1

Aşağıda verilen doğruluk tablolarını gerçekleyen lojik ifadeleri bulunuz 2-7 P Q X

1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1

a) X = P'Q' + PQ' b) X = PQ + PQ' + P'Q' c) X = PQ + P'Q AND P'Q' d) X = PQ + P'Q + P'Q'

2-8 P Q X 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

a) X = PQ' b) X = P'Q + PQ' c) X = PQ d) X = P'Q'

(17)

2.3.2. Lojik ifadelerin venn şeması ile sadeleştrilmesi

Lojik ifadelerin küme kavramındaki bileşim, kesişim, fark şekli ile gösterimidir. Bu yöntem ilede lojik ifadelerin sadeleştrilmesi mümkündür.

-

A A B B

A+B A+B A.B A.B

-

Örnek 2-24

+ =

A B A+B

- Örnek 2-25

. =

A B A.B

(18)

2.3.2. Lojik ifadelerin karno haritası ile sadeleştrilmesi

Lojik ifadelerin çarpımların toplanması şeklinde sadeleştrilmesini sağlayan kutucuklardan oluşan bir yöntemdir.

Değişken sayısına göre karno harirasının hazırlanmasında öncelikli olarak bulunması gereken şey kullanılacak kutu sayısıdır. Kutu sayısının 2^değişken şeklinde bulunur.

2 Değişkenli ( A B ) karno haritası.

Kutu sayısı = 2² = 4

3 Değişkenli ( A B C ) karno haritası.

Kutu sayısı = 2³ = 8

4 Değişkenli ( A B C D ) karno haritası.

Kutu sayısı = 2⁴ = 16

5 Değişkenli ( A B C D E ) karno haritası. Kutu sayısı = 2⁵ = 32

6 Değişkenli ( A B C D E F ) karno haritası. Kutu sayısı = 2⁶ = 64 Lojik ifadelerin karno haritasına yerleştrilmesi.

Örnek 2-26

Y = A + A'B İşlem basamakları:

- A nın olduğusütundaki tüm kutulara 1 konur - A' ve B nin kesiştiği kutuya 1 konur

A

^A' ^A

B

⁰ ¹

B' 0 1

B 1 1 1

↓ ↓ A'B _A_

Kesişim noktası A=1 olan sütun

-

Örnek 2-27

Y = A + A' B C + B C' İşlem basamakları:

- A nın olduğu sütunlardaki tüm kutulara 1 konur (AB ve AB' sütunları )

- B nin olduğu ve C' ile kesiştiği tüm kutulara 1 konur - A' B C nin kesiştiği tüm kutuya 1 konur

A.B

A'B' A'B AB AB'

C

⁰⁰ ⁰¹ ^{11 10}

BC' A A

C' 0 1 1

BC' 1

A'BC A A

C 1 1 1 1

(19)

Lojik ifadelerin karno haritası ile sadeleştrilmesi.

İşlem basamakları:

- İçinde 1 olan kutucuklar birli, ikili yada daha fazla grup oluşturabilir

- Grup oluşturmanın amacı en sade devreyi elde etmektir o nedenle bir kutu birden çok gruba dahil edilebilir.

- Grup ancak birbirine komşu kutular arasında yapılabilir.

- Çapraz bileşke oluşturulamaz X

Örnek 2-28

Y = A'B' + A'B + AB = A' + B

A

^A' ^A

B

⁰ ¹

B' 0 1 B 1 1 1

↓ ↓ A' sütunu B satırı

- Örnek 2-29

Y = A' B' C' + A' B C' + A B C + A B' C Y = A' C' + A C

A.B

A'B' A'B AB AB'

C

00 01 11 10

C' 0 1 1 A' C' Satırı

C 1 1 1 A C Satırı

- Örnek 1-30

Y = A' B' C' D + A' B' C D + A' B' C D' + A' B C' D' + A' B C' D + A B C' D + A B' C' D + A B' C D + A B' C D'

Y = C' D + A' B C' + B' C

-

Örnek 1-31 Yanda verilen karno haritasından elde ettiğiniz sadeleştirilmiş ifadeyi yazınız.

F = B^I + A C^I

-

Aşağıda verilen karno haritalarından elde ettiğiniz sadeleştirilmiş ifadeyi yazınız.

Örnek 1-32

(20)

Aşağıda verilen karno haritalarından elde ettiğiniz sadeleştirilmiş ifadeyi yazınız.

Örnek 1-33

F = AÎ BÎ CÎ + AÎ CÎ D + A CÎ DÎ + A C DÎ F = AÎ BÎ CÎ + AÎ CÎ D + A CÎ DÎ + A DÎ 3. LOJİK KAPILAR

Lojik kapılar dijital sinyaller arasındaki sayısal ( mantıksal ) işlemleri yapmamızı sağlayan elektronik elemanlardır. Her nekadar lojik kapıları semboller ile göstersekte gerçekte bu kapılar transistör , direnç , diyot , küçük değerli kondansatör gibi elektronik devre elemanlarından oluşurlar ve entegre devre (IC- integrated-circuit)olarak imal edilirler

Lojik cebirde 3 temel işlem vardır:

1- Ve Kapısı ( And Gate ) 2- Veya Kapısı ( Or Gate ) 3- Değil Kapısı ( Not Gate )

bu temel üç işlem birleştirilerek 6 yeni işlem daha elde edilir:

4- Vedeğil Kapısı ( Not and - Nand Gate ) 5- Veyadeğil Kapısı ( Not or - Nor Gate )

6- Özel Veya Kapısı ( Exor – Exclusive or Gate ) 7- Özel Veya eğil Kapısı ( Exnor – Exclusive nor Gate ) 8- Tampon Kapısı ( Buffer Gate )

9- Trasmisyon Kapısı ( Blateral Swich )

Kapı sembollerinin gösteriminde 2 farklı norm kullanılmaktadır.

Ansi Normu : Amerikan standartları ve Din Normu : Alman standartları 3.1. Ve Kapısı ( And Gate )

En az 2 girişe sahip olan bu kapı girişine uygulanan sinyallerin çarpımını alarak çıkış sinyali verir.

&

2 Girişli Ve Kapısı ( Ansi Normu ) Q = A . B

3 Girişli Ve Kapısı ( Ansi Normu ) Q = A . B . C

2 Girişli Ve Kapısı ( Din Normu ) Q = A . B

A B Q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

A B C Q 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 Ve Kapısı Doğruluk Tablosu

2 Girişli Ve Kapısı Doğruluk Tablosu

3 Girişli Anahtarlama Elemanları İle Gösterimi

-.

(21)

Aşağıdaki lojik kapıların çıkışlarındaki lojik ifadeleri bularak, sonuçları karşılaştırınız

(22)

3.2. Veya Kapısı ( Or Gate )

En az 2 girişe sahip olan bu kapı girişine uygulanan sinyallerin toplamını alarak çıkış sinyali verir.

>=1 2 Girişli Veya Kapısı ( Ansi Normu )

Q = A + B

3 Girişli Ve Kapısı ( Ansi Normu ) Q = A + B + C

2 Girişli Ve Kapısı ( Din Normu ) Q = A + B

A B Q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

A B C Q 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Ve Kapısı Doğruluk Tablosu

2 Girişli

Ve Kapısı Doğruluk Tablosu 3 Girişli

Anahtarlama Elemanları İle Gösterimi

(23)

3.3. Değil Kapısı ( Not Gate )

Yalnızca 1 girişe sahip olan bu kapı girişine uygulanan sinyalin tersini ( değilini ) alarak çıkış sinyali verir.

1 Değil Kapısı ( Ansi Normu )

A = Ā Değil Kapısı ( Ansi Normu )

A = Ā Değil Kapısı ( Din Normu )

A = Ā

-

A Ā 0 1 1 0

Değil Kapısı Doğruluk Tablosu Anahtarlama Elemanları İle Gösterimi

Lolik kapıların transistör , direnç , diyot gibi elektronik devre elemanlarından oluştuklarını söylemiştik aşağıda ise Değil Kapısının karşılığı elektronik devre olarak verilmiş ve doğruluk tablosu incelenmiştir.

(24)

3.4. Vedeğil Kapısı ( Not and - Nand Gate )

En az 2 girişe sahip olan bu kapı girişine uygulanan sinyallerin çarpımını alarak değilledikten sonra çıkış sinyali olarak verir.

&

Ve Değil Kapısı ( Ansi Normu ) Q = A . B

Ve Değil Kapısı ( Ansi Normu ) Q = A . B . C

Ve Değil Kapısı (Din Normu)

A B Q 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

A B C Q 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 Ve Değil Kapısı Doğruluk Tablosu

2 Girişli Ve Değil Kapısı Doğruluk Tablosu

(25)

3.5. Veyadeğil Kapısı ( Not or - Nor Gate )

En az 2 girişe sahip olan bu kapı girişine uygulanan sinyallerin toplamını alarak değilledikten sonra çıkış sinyali olarak verir.

>=1 Veyadeğil Kapısı ( Ansi Normu )

Q = A + B

Veyadeğil Kapısı ( Ansi Normu ) Q = A + B

Veyadeğil Kapısı ( Din Normu ) Q = A + B

A B Q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

A B C Q 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 Veya Değil Kapısı Doğruluk Tablosu

2 Girişli Veya Değil Kapısı Doğruluk Tablosu

(26)

3.6. Özel Veya Kapısı ( Exor – Exclusive or Gate ) 2 girişe sahip olan bu kapı girişine uygulanan sinyallere AB^- + A

-B işlemini yaparak çıkış sinyali verir.

Özel Veya Kapısı ( Ansi Normu ) Q = A+B = A.B+A.B

=1

A B Q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Özel Veya Kapısı ( Din Normu )

Q = A+B = A.B+A.B

Anahtarlama Elemanları İle Gösterimi Özel Veya Kapısı Doğruluk Tablosu 2 Girişli -! Farklı sinyallerde 1 aynı sinyallerde 0 çıkış

3.7. Özel Veyadeğil Kapısı ( Exnor – Exclusive nor Gate )

2 girişe sahip olan bu kapı girişine uygulanan sinyallere A B + A^-B^- işlemini yaparak çıkış sinyali olarak verir.

! Farklı sinyallerde 0 aynı sinyallerde 1 çıkış

Özel Veyadeğil Kapısı ( Ansi Normu ) Q = A+B = A.B+A.B

A B Q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Özel Veyadeğil Kapısı ( Ansi Normu )

Q = A+B = A.B+A.B

Anahtarlama Elemanları İle Gösterimi Özel Veya Değil Kapısı Doğruluk Tablosu 2 Girişli

=

Özel Veyadeğil Kapısı ( Din Normu ) Q = A+B = A.B+A.B

3.8. Tampon Kapısı ( Buffer Gate )

Tampon kapısının çıkışı giriş lojik ifadesi ile aynıdır. Lojik devrelerde sadece katlar arasında akım yükseltmek amacı ile kullanılırlar.

Tampon Kapısı ( Ansi Normu )

1

Tampon Kapısı ( Din Normu )

A Q 0 0 1 1

Tampon Kapısı Doğruluk Tablosu

M-

Yandaki devrelerde tampon kapısı farklı empedans seviyeleri arasında empedans uygunluğu oluşturmak için kullanılmışlardır.

(27)

3.9. Trasmisyon Kapısı ( Blateral Swich )

Yetki girişi verildiğinde girişini çıkışına aktaran, yetki girişi olmadığı taktirde girişi ile çıkışı arasını yalıtan kapılardır.

Birden fazla kapı çıkışının aynı noktaya bağlanması gerektiği durumlarda şayet kapı çıkışlarında farklı lojik

seviyeler olursa bu devre üzerinde hatalara neden olur. Butür farklı sinyal çakışmalarını önlemek için Transmisyon kapıları kullanılır. Transmisyon kapıları ençok bilgisayar sistemlerinde sayısal bilgilerin tek hattan transferini sağlamak amacı ile kullanılırlar.

Transmisyon kapısının anahtarlama

elemanı olarak karşılığı Hatalı Devre Düzeltilmiş Devre

-

Giriş Yetki Çıkış 0 0

1 0

Çıkış girişden yalıtılmış

0 1 0

1 1 1

Giriş Yetki Çıkış

0 0 0

1 0 1

0 1

1 1

Giriş Yetki Çıkış 0 0

1 0

0 1 1

1 1 0

Giriş Yetki Çıkış

0 0 1

1 0 0

0 1

1 1

Çıkış girişden yalıtılmış 3.10. Lojik kapıların diğer kapılarla elde edilmesi

Aşağıdaki lojik kapıların girişine uygulanacak A sinyalinin 0 ve 1 olması durumunda kapı çıkışındaki lojik ifade yi bulunuz

A Q 0 1

(28)

3.10.1. Ve Kapısının Elde Edilmesi.

A B Q 0 0 0 1 1 0 1 1

A B Q 0 0 0 1 1 0 1 1 A B Q

0 0 0 1 1 0 1 1

A B Q 0 0 0 1 1 0 1 1

3.10.2. Veya Kapısının Elde Edilmesi.

A B Q 0 0 0 1 1 0 1 1

A B Q 0 0 0 1 1 0 1 1 A B Q

0 0 0 1 1 0 1 1

A B Q 0 0 0 1 1 0 1 1

3.10.3. Tampon Kapısının Elde Edilmesi.

A B Q 0 0 0 1 1 0 1 1

(29)

3.10.4. Ve Değil Kapısının Elde Edilmesi.

A B Q 0 0 0 1 1 0 1 1

A B Q 0 0 0 1 1 0 1 1 3.10.5. Veya Değil Kapısının Elde Edilmesi.

A B Q 0 0 0 1 1 0 1 1

A B Q 0 0 0 1 1 0 1 1 3.10.6. Özel Veya Kapısının Elde Edilmesi.

A B Q 0 0 0 1 1 0 1 1

A B Q 0 0 0 1 1 0 1 1 Örnekler

Aşağıda verilen lojik devrelerin çıkışlarından elde edilecek lojik ifadeyi bulunuz ve varsa bulduğunuz bu lojik

(30)

Örnekler

Örnek 3-1Örnek 3-2Örnek 3-3Örnek 3-4Örnek 3-5Örnek 3-6

Örnek 3-7

(31)

Örnek 3-8Örnek 3-9Örnek 3-10 Örnek 3-11 Örnek 3-12 Örnek 3-13 Örnek 3-14

(32)

Örnek 3-16 Örnek 3-17 Örnek 3-18 Örnek 3-19 Örnek 3-20 Örnek 3-21 Örnek 3-22 Örnek 3-23 Örnek 3-24 Örnek 3-25

(33)

Örnek 3-26 Örnek 3-27 Örnek 3-28 Örnek 3-29 Örnek 3-30 Örnek 3-31 Örnek 3-32 Örnek 3-33 k 3-34

(34)

Örnek 3-35 Örnek 3-36 Örnek 3-37

Örnek 3-38 Örnek 3-39 Örnek 3-40 Örnek 3-41 Örnek 3-42 Örnek 3-43

(35)

Örnek 3-44 Örnek 3-45 Örnek 3-46 Örnek 3-47 Örnek 3-48 Örnek 3-49 Örnek 3-50 Örnek 3-51

(36)

Örnek 3-52

Örnek 3-53

Örnek 3-54 Örnek 3-55 Örnek 3-56 Örnek 3-57 Örnek 3-58

(37)

(38)

Örnek 3-65 Örnek 3-66 Örnek 3-67 Örnek 3-68 Örnek 3-69 Örnek 3-70 Örnek 3-71

(39)

(40)

(41)

Örnek 3-85

(42)

(43)

Örnek 3-95

(44)

Örnek 3-96 Örnek 3-97

(45)

(46)

Örnek 3-111

Örnek 3-112 Örnek 3-113 Örnek 3-114 Örnek 3-115

(47)

Örnek 3-116 Örnek 3-117 Örnek 3-118 Örnek 3-119

(48)

Örnek 3-120

?

Cevap

?=

Örnek 3-121

Yukarıda verilen lojik devrenin çıkışının A . B + ( C . D )^Iolabilmesi için ? olan devre parçası ne olmalıdır

-

?

Cevap

?=

Örnek 3-122

Yukarıda verilen lojik devrenin çıkışının ( A + B )Î . ( CÎ + D )Îolabilmesi için ? olan devre parçası ne olmalıdır

(49)

?

Örnek 3-123

Cevap

?=

Yukarıda verilen lojik devrenin çıkışının [ ( CÎ + D ) . BÎ + ( A . B )Î ]Î olabilmesi için ? olan devre parçası ne olmalıdır

-

Yukarıda verilen lojik devrenin A , B , C girişlerine aşağıda grafiği verilen lojik sinyaller uygulandığında elde edilecek cıkış sinyalini çiziniz.

A B C CÎ A.B (A.B)Î (A.B)Î.CÎ [(A.B)Î+CÎ]Î

0 0 0 1 0 1 1 0

0 0 1 0 0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 1 0

0 1 1 0 0 1 0 1

1 0 0 1 0 1 1 0

1 0 1 0 0 1 0 1

1 1 0 1 1 0 0 1

1 1 1 0 1 0 0 1

Örnek 3-124

A 1 B 0 C 1 Q

“

&

_>=

1

Örnek 3-125

Yukarıda Ansi normunda verilmiş lojik devreyi Din normuna çeviriniz

-

=>

>=

1

&

Örnek 3-126

(50)

=>1

&

Örnek 3-127

Yukarıda Din normunda verilen lojik devrenin çıkışından alınacak lojik ifadeyi bulunuz.

-

1

&

1

=>

>=1

Örnek 3-128

-

&

1

=>

Örnek 3-129

>=1

&

Örnek 3-130

Q = A + C + A.B + C.D Lojik ifadesini Vedeğil kapıları ile oluşturunuz Q = A + C + A.B + C.D → Q = A . C . ( A . B ) . ( C . D )

Örnek 3-131

-