ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOKTORA TEZİ
TEK DUVARLI KİRAL KARBON NANOTÜPLERDE FONON DAĞINIM BAĞINTILARI
Emine AYDIN
FİZİK ANABİLİM DALI
ANKARA 2016
Her hakkı saklıdır
TEZ ONAYI
Emine AYDIN tarafından hazırlanan “Tek Duvarlı Kiral Karbon Nanotüplerde Fonon Dağınım Bağıntıları ” adlı tez çalışması 15/08/2016 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı’nda DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmiştir.
Danışman: Prof. Dr. Bekir Sıtkı KANDEMİR Ankara Üniversitesi Fizik Anabilim Dalı Jüri Üyeleri:
Başkan: Doç. Dr. Ceyhun BULUTAY
Bilkent Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik Bölümü
Üye : Prof. Dr. Hamit YURTSEVEN
Orta Doğu Teknik Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümü
Üye :Prof. Dr. Satılmış ATAĞ
Ankara Üniversitesi Fizik Anabilim Dalı
Üye : Prof. Dr. Bekir Sıtkı KANDEMİR Ankara Üniversitesi Fizik Anabilim Dalı
Üye : Doç. Dr. Bülent YILMAZ
Ankara Üniversitesi Fizik Anabilim Dalı
Yukarıdaki sonucu onaylarım.
Prof. Dr. İbrahim DEMİR Enstitü Müdür V.
i ETİK
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez içindeki bütün bilgilerin doğru ve tam olduğunu, bilgilerin üretilmesi aşamasında bilimsel etiğe uygun davrandığımı, yararlandığım bütün kaynakları atıf yaparak belirttiğimi beyan ederim.
15/08/2016
Emine AYDIN
ii ÖZET
Doktora Tezi
TEK DUVARLI KİRAL KARBON NANOTÜPLERDE FONON DAĞINIM BAĞINTILARI
Emine AYDIN Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. Bekir Sıtkı KANDEMİR
Bu tez çalışmasında, grafen ve kiral Tek Duvarlı Karbon Nanotüplerin (TDKNT’lerin) fonon dağınım bağıntısı, ilk üç komşuluk ve radial bağ bükümünün etkileşimini içeren kütle yay modeli kullanılarak hesaplanmıştır. İlk olarak, kiral tek duvarlı karbon nanotüplerin örgü titreşimleri için klasik Hamiltoniyen türetilmiş ve sonrasında kuantize edilmiştir. Elde edilen Hamiltoniyen fonon kiplerini momentum vektörünün fonksiyonu olarak elde edebilmek için üniter dönüşümler ile köşegenleştirilmiştir. Resolvent formülasyonu kullanılarak, bu yapıların fonon dağınım bağıntıları analitik olarak elde edilmiştir. Kiral TDKNT’ler için hesaplanan sonuçların, akiral TDKNT’ler için bulunan sonuçlara indirgendiği gösterilmiştir. Son olarak, Kiral TDKNT’lerin fonon dağınımı kullanılarak grafenin fonon dağınım bağıntıları analitik olarak elde etmek için fermuarlama tekniği sunulmuştur. Grafenin fonon dağınımı için analitik olarak elde edilen sonuçlar, mevcut deneysel verilerle karşılaştırılmış ve deney sonuçları ile uyumlu olduğu görülmüştür. Elde edilen analitik sonuçlar sadece karbon nanotüplerin fonon dağınımlarını anlamak için temel sağlamaz, aynı zamanda grafenin çıplak fonon yapılarını da açıklar.
Ağustos 2016, 85 Sayfa
Anahtar Kelimeler: Grafen, Karbon Nanotüpler, Kohn Anomali
iii ABSTRACT
Ph.D Thesis
PHONON DISPERSION RELATIONS IN SINGLE-WALLED CHIRAL CARBON NANOTUBES
Emine AYDIN
Ankara University
Gruduate School of Natural and Applied Sciences Departmant of Physics
Supervisor: Prof. Dr. Bekir Sıtkı KANDEMİR
We calculate the phonon spectra of chiral single-walled carbon nanotubes and graphene within a mass and spring model which includes up to third neighbour interactions together with a radial bond-bending interaction. Firstly, the classical Hamiltonian for lattice vibrations of chiral single-walled carbon nanotubesis derived and then it is quantized. The resultant Hamiltonian is diagonalized under a unitary transformation scheme to obtain phonon modes as a function of momentum vector.
Using resolvent formalism we analytically obtain phonon dispersions of these structures. We show that our calculated results for chiral SWCNTs reproduce well the results found for achiral SWCNTs. Finally, we introduce an unzipping technique to obtain full analytical phonon dispersion curves of graphene using phonon dispersions of chiral SWCNTs. We compare our analytical results for the phonon dispersions of graphene to the available experimental data and show that they agree well with the experiment. Our analytical results not only providea basis for understanding phonon dispersions of carbon nanotubes, but also illuminate the bare phonon structure of graphene.
August 2016, 85 pages
Key Words: Graphene , Carbon nanotubes , Kohn anomaly
iv TEŞEKKÜR
Çalışmalarım süresince bana araştırma olanağı sağlayan, bilimsel katkı ve önerileriyle her konuda beni yönlendiren Sayın danışman hocam Prof. Dr. Bekir Sıtkı KANDEMİR’e (Ankara Üniversitesi Fizik Anabilim Dalı) ve değerli bilimsel tecrübeleriyle çok büyük katkı ve destekte bulunan Sayın hocam Prof. Dr. Tacettin Altanhan’a (Ankara Üniversitesi Fizik Anabilim Dalı Emekli) teşekkürlerimi sunarım.
Her koşulda bana güvenen ve yüreklendiren canım aileme de yanımda oldukları için teşekkür ederim.
Emine AYDIN
Ankara, Ağustos 2016
v
İÇİNDEKİLER
TEZ ONAYI SAYFASI
ETİK ………..………... i
ÖZET………... ii
ABSTRACT.……….. iii
TEŞEKKÜR ...……….………...………….………….. iv
SİMGELER DİZİNİ ………...…..……….………..…... vii
KISALTMALAR ……….…viii
ŞEKİLLER DİZİNİ ……….………..………... ix
ÇİZELGELER DİZİNİ ……….…………..………..…x
1. GİRİŞ………...……… 1
1.1 Karbon Atomunda Hibritleşme ………..………...… 1
1.1.1 Karbonun allatropları ………...………..…….…… 2
1.1.2 Elmas ………..……….…... 2
1.1.3 Fullerenler ………..………... 3
1.1.4 Grafit …...………..……….… 4
1.1.5 Grafen ………..……….. 5
2. KURAMSAL TEMELLER ………..….... 6
2.1 Karbon Nanotüpler ……….……....… 6
2.1.1 Tek duvarlı karbon nanotüplerin sınıflandırılması ……….…. 8
2.1.2 Kiral vektör C ………..………..10 h 2.1.3 Öteleme vektörü T ………...…………... 12
2.1.4 Simetri vektörü R………...……… 13
2.1.5 Birim hücre ve Brillouin bölgeleri .……….…..……… 16
3. MATERYAL ………..………….…….… 18
3.1 Kiral Nanotüplerde Örgü Koordinatları ………...……..… 19
3.2 Kiral Karbon Nanotüpler için Örgü Titreşimleri ………..……… 30
4. YÖNTEM ………..………... 35
4.1 Kütle Merkezi Koordinatları ………..……….. 36
4.2 Örgü Titreşimlerinin Kuantumlanması ……….………….… 37
4.3 Birinci Köşegenleştirme ……….……... 38
4.4 İkinci Köşegenleştirme ………..……….... 40
4.5 Resolvent Formalizmi ………..……….…. 42
4.6 Grafen ………..……….….. 45
5. SONUÇLAR ………..……….….. 57
KAYNAKLAR ………..………... 66
EKLER ………..………... 70
EK 1 Kiral Nanotüplerin Faz Farkları………..……. 71
EK 2 1., 2. ve 3. Yakın Komşuluk İçin ij Değerleri ……...………..……… 72
EK 3 Kiral Nanotüp İçin Etkileşim Potansiyel Matris Elemanları …....………… 73
EK 4 Radyal Bağ Bükümü Potansiyelinin Matris Elemanları ……… 76
EK 5 Kiral Karbon Nanotüp İçin Fonon Frekanslarındaki ij Matris Elemanları ………...…….. 77
EK 6 İkinci Köşegenleştirmeden Sonra Köşegen Dışı Terimlerin Katsayıları ….. 80
vi
EK 7 Bazı keyfi kiral karbon nanotüpler için α değerleri……….82 EK 8 Nokta Grupları ………83 ÖZGEÇMİŞ………..……….…84
vii
SİMGELER DİZİNİ
C h Kiral vektör a , 1
a 2 Altıgen örgünün birim vektörleri
T Öteleme vektörü
R Simetri vektörü
K1, K2 Ters uzay örgü vektörleri
R A Kiral KNT’lerde merkezde bulunan atomun (x, y, z) koordinatları
( )
B
R j Kiral KNT’lerde merkez atomun 1. ve 3. yakın komşuluktaki atomlarının koordinatları
( )
A
R j Kiral KNT’lerde merkez atomun 2. yakın komşuluktaki atomlarının koordinatları
V 1 En yakın komşuluklar arası etkileşme potansiyeli V 2 İkinci en yakın komşuluklar arası etkileşme potansiyeli V 3 Üçüncü en yakın komşuluklar arası etkileşme potansiyeli V 4 Radyal bağ bükümü potansiyeli
H lat Klasik örgü Hamiltonyeni ,
b b Fononlar için yok edici, yaratıcı operatörler HPH Fonon Hamiltonyeni
U1, U 2 Üniter dönüşümler
j q
i. Fonon dalı için fonon dağınımı HGR Grafen için fonon Hamiltonyeni
RBM Soluma kipi
Kısaltmalar
KNT Karbon Nanotüp
TDKNT Tek Duvarlı Karbon Nanotüp
RBM Soluma kipi
viii
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 1.1 Elmasta Atomların Bağlanışı ………. 3
Şekil 1.2 Fullerenler ………...………... 4
Şekil 1.3 Grafitte Atomların Bağlanışı ……….... 5
Şekil 1.4 Grafen ………...……….. 5
Şekil 2.1 Grafen Tabakası ……….. 6
Şekil 2.2 Tek Duvarlı KNT ………..……… 6
Şekil 2.3 TDKNT ve ÇDKNT ………..……… 8
Şekil 2.4 Karbon Nanotüplerin Sınıflandırılması ………..……… 9
Şekil 2.5 Grafen Tabakası ………..……… 10
Şekil 2.6 Uzay Grubu Simetri İşlemi ………..……….. 14
Şekil 2.7 Silindirik Yüzeyde Simetri Operatörü ………..……. 15
Şekil 2.8 Karbon Nanotüpün Brillouin Bölgesi ………..…….. 16
Şekil 3.1 Kiral karbon nanotüplerin örgü koordinatları ……… 20
Şekil 3.2 Birinci yakın komşuluklar arasındaki açılar ……….……..…… 21
Şekil 3.3 Merkez A karbon atomunun ikinci yakın komşulukları …..………. 23
Şekil 3.4 Merkez A karbon atomunun üçüncü yakın komşulukları ….………….... 26
Şekil 4.1 Grafende fonon dağınımı ………….………..… 48
Şekil 4.2.a. Grafenin düzleme dışı olan akustik fonon kipleri, (Gölgeli bölge grafenin Brillouin bölgesidir), b. Grafenin fononlarının tüm Brillouin bölgesi üzerindeki enerjileri ………... 52
Şekil 4.3.a. Grafenin düzlem yönündeki akustik fonon kipleri, b. Bu kiplerin tüm Brillouin bölgesi üzerindeki enerji değerleri………... 53
Şekil 4.4.a. Grafenin düzlem yönündeki optik fonon kipleri, b. Fonon kiplerinin enerji değerleri………. 53
Şekil 4.5 q’nun fonksiyonu cinsinden ( 4 3a biriminde) grafenin LO -fonon dağınımının deneysel verileri ………... 54
Şekil 5.1 0 İçin nümerik fonon dağınımı grafiği ……….…..….. 58
Şekil 5.2 0 için nümerik ve analitik fonon dağınımı grafikleri ………... 58
Şekil 5.3 0 için birinci köşegenleştirme (sol panel), ikinci köşegenleştirme (sağ panel) sonuçları ……….... 59
Şekil 5.4 (10,10)’luk KNT’de tüp çevresi boyunca 0, 1,..., 10 değerleri için fonon dağınımları ………..………... 60
Şekil 5.5 (10,0) zikzak KNT de α = 0,1,...10 için fonon kipleri ……… 61
Şelik 5.6 (10.5)’lik KNT’ün fonon dağınımı ………...……….... 62
Şelik 5.7.a. (10.5)’lik KNT’de ’nın izin verilen ilk üç değeri için ( 0,1 ve 2) fononlar, b. Sekiz farklı (n,n) KNT için soluma kipi (RBM)………….. 63
ix
ÇİZELGELER DİZİNİ
Çizelge 2.1 TDKNT’lerin sınıflandırılması ………..11 Çizelge 3.1 Birinci yakın komşuluk için kiral KNT’ün j değerleri ………. 22 Çizelge 3.2 Birinci yakın komşuluk için kiral KNT’ün j mn, değerleri …………... 23 Çizelge 3.3 İkinci yakın komşuluk için kiral KNT’ün j ve j mn, değerleri …..… 25 Çizelge 3.4 Üçüncü yakın komşuluk için kiral KNT’ün j ve j mn, değerleri….... 27 Çizelge 3.5 Birinci, ikinci ve üçüncü yakın komşuluk için kiral KNT’ün karbon
atomlarının koordinatları ………...…………...……….…… 28
1 1. GİRİŞ
13,7 milyar yıl önce gerçekleşen büyük patlamadan 300 000 yıl sonra galaksiler ve yıldızlar oluşmuştur. Yıldız gelişiminin ilk halkasında, bol miktarda hidrojen, bir miktar helyum ve çok az miktarda daha ağır öğeler bulunur. Yıldızları dengede tutan, yıldızın çekirdeğinin kütle çekimine karşı var olan hidrojenin helyuma dönüşürken ısı yaymasıdır. Zamanla hidrojenin azalması ısı yayan bu dönüşümün zayıflamasına neden olacaktır. Bunun sonucunda büyük yıldızlar bir süpernova patlamasıyla, karbon, oksijen ve demir gibi elementler evrene saçılacaktır. Karbon böyle bir süpernova patlamasıyla dünya yaşamının temel elementi haline gelmiştir.
Karbon bolluk bakımından evrende, hidrojen, helyum ve oksijenden sonra dördüncü sıradadır. Dünya da ise karbon hem saf halde, hem de bileşik olarak bulunur.
Yerkabuğunun %0,2’sini de karbon oluşturur. Karbon içermeyen canlı yoktur. İnsan vücuduna baktığımızda ise bolluk bakımından oksijenden sonra ikinci sıradadır ve
%18,5’ini oluşturur. Bunun yanı sıra, Karbon bilinen elementlerin arasında en çok bileşik yapan elementtir.
1.1 Karbon Atomunda Hibritleşme
Karbon atomu, 6 elektronu ile periyodik tabloda IV. grup elementlerinin ilk elemanıdır ve ametalik özelliktedir. Karbonun elektron dağılımı 1s2 2s2 2p2 şeklindedir. 1s2 elektronları, kor elektronları yani kuvvetli bağ elektronlarıdır. 2s2 2p2 elektronları ise, değerlik elektronları yani zayıf bağ elektronlarıdır.
Karbonda bağ oluşumu genellikle kovalent bağ şeklindedir. Bunun nedeni ise karbonun elektron sayısının küçük oluşundan dolayı, elektronların çekirdeğe yakın olması ve değerlik elektronlarını çok sıkı tutmasıdır.
2
Kristal durumdaki karbonda, 2 , 2s px, 2py, 2pz orbitallerindeki değerlik elektronları kovalent bağların şekillenmesinde önemlidir. 2 p yüksek enerji seviyeleri ile 2s düşük enerji seviyesi arasındaki fark, bağlanma enerjisinden küçüktür. Bu yüzden bu dört elektronun dalga fonksiyonları, bunların karışmış halidir. Böylece 2s ve 2 p atomik orbitallerin dolumları değişir ve karbon atomunun komşu atomlara bağlanma enerjisi artar. 2s ve 2 p orbitallerinin karışmasına hibritleşme denir. 2s’deki elektronun
2 p’deki elektronlarla karışmasına spn hibritleşmesi (n=1, 2, 3) denir.
Karbon tüm IV-A grubu elementleri arasında en fazla hibritleşme yapan elementtir. Bu hibritleşmeleri genel özellikleri bakımından incelediğimizde; spn hibritleşmesi karbon atomu başına
n1
bağıyla formülize edilir. bağları n boyutlu yapının iskeletini oluşturur (Saito ve Dresselhaus 2003).Karbonda sp sp, 2, sp3 hibritleşmeleri görülürken, diğer IV. grup elemanları olan Si ve Ge ’da sadece sp3 hibritleşmesi görülmektedir. Karbonun, Si ve Ge’dan farklı olmasının nedeni; karbonda 1s küresel orbitalinden başka iç atomik orbital yok iken, Si ve Ge’da iç atomik orbital tek değildir. Bundan dolayı karbonda s ve p değerlik orbitallerinde hibritleşme kolaylaşır.
1.1.1 Karbonun Allatropları
Aynı maddenin değişik kristal biçimlerine allatrop denir. Anlamı değişik biçim (form) demektir. Buna göre atom grubunun kimyasal özellikleri aynı fiziksel özellikleri farklıdır.
1.1.2 Elmas
Arı elmas, bilinen doğal, en sert maddedir. Renksiz ve saydamdır. Bilinen en iyi ısıyı ileten, ancak elektrik yalıtkanı bir malzemedir.
3
Elmasta karbon atomları düzgün dörtyüzlü düzen içinde birbirine bağlanmıştır. Her bir karbon atomu, en yakın komşusuna ortaklaşa bağlanmıştır. Bu yönüyle elmas sp3 hibritleşmesi yapar ve yüzey merkezli küp yapısındadır (kovalent bağlı), bağ açıları 109o 28’ dır. Elmasta C-C bağı uzunluğu 154 pm’dir ve karbon allotropları arasında öz kütlesi en yüksek olan elmastır (d=3,51 g/cm3) (Hirsch 1994).
Şekil 1.1 Elmasta Atomların Bağlanışı (Vlasov ve Trifonov 2005)
1.1.3 Fullerenler
İki boyuttaki düzlemsel yapıyı oluşturan sp2 hibritleşmesi ilginçtir. 0-boyutumsu sp2 hibritleşmesi fullerenleri oluşturur (Saito ve Dresselhaus 2003).
Fullerenler, sadece 1 nanometre çapındadırlar. 1 nanometrenin, 1 milimetrenin milyonda biri olduğu düşünülürse, bu bir insan tırnağının her saniyede uzadığı miktar kadardır. Fulleren’ın kimyasal formülü C60’tır. Fulleren'ın asıl ismi, buluşun sahibi olan Buckminster Fuller’den dolayı Buckminster Fullerene iken, kimyacılar tarafından bu isim, "Buckyball" olarak kısaltılmıştır. Ayrıca, yalnızca 1 Buckyball; 20 altıgen ve 12 beşgen şeklinde dizili 60 Karbondan oluşmaktadır (C60). "Küresel Fullerenes"
olarak da adlandırılan Buckyballs'ın silindirik olanlarına Karbon nanotüpler veya buckytubeslar da denir (Kroto vd. 1985).
Fullerenler üzerine ilk yayın Japon kimyager Eiji Osawa tarafından 1970 yılında yapılmıştır. Eiji Osawa teorik yöntemler ile Fullerenlerin kararlı olabileceklerini
4
tahmin etmiştir, (Yoshida ve Osawa 1971). Bu ve diğer yayınları Japon dilinde olduğu için, dünya çapında tanınmamıştır. 15 yıl sonra 14 Kasım 1985 yılında Nature dergisinde Robert F. Curl, Jr (ABD), Sör Harold W. Kroto (İngiltere) ve Richard E.
Smalley (ABD) adlı araştırmacılar tarafından yayınlanan yayın dünya çapında ilgi görmüştür (Kroto vd. 1985). Bunlar 1996 Nobel Kimya Ödülü'nü kazanırken, Osawa gözardı edilmiştir. 22 Temmuz 2010 yılında Jet Propulsion Laboratuarının basın açıklamasında fullerenlerin Hubble Uzay Teleskobu Spitzer ile gezegenimsi bulutsu olan Tc 1'de kızılötesi görüntülerinin tespit edildiği bildirilmiştir. Böylece fullerenler dünya dışında kanıtlanmış en büyük moleküllerdir.
Şekil 1.2 Fulleren (Krot vd. 1985)
1.1.4 Grafit
Grafit, yumuşak, yağlı, kâğıtta iz bırakan, siyah renkli katı bir maddedir. Kurşun kalem içinde bulunan grafit tabakalı bir yapı oluşturur. Her bir tabaka grafen tabakası olarak adlandırılır ve grafit bu grafen tabakalarının üst üste gelmesiyle oluşur. Grafit sp2 hibritleşmesi yapar. Her Karbon atomu, diğer 3 Karbon atomuna, sigma bağları ile bağlı olduğundan, karbon atomları hekzogonal halkalar biçimindedir. Grafit, yağlı, yumuşak ve tabakalı yapısından dolayı, yağ haline getirilip makinelerde, çalışan parçaların birbirine sürtünmesini azaltmak için yağlayıcı olarak kullanılır.
5
Şekil 1.3 Grafitte Atomların Bağlanışı ( Novoselov vd. 2004)
1.1.6 Grafen
Grafen, karbon atomlarından oluşan, yalnızca bir atom kalınlığında, bal peteği desenli levha şeklindedir. Grafen, tek atom kalınlığında olmasına rağmen, mekanik ve termal dayanıklılık gibi özellikleri bakımından elmasa benzemektedir. Grafen, tamamı simetrik altıgen geometriye sahip ve sadece karbon atomlarından oluşan, diğer bütün malzemelerin aksine iki boyutlu olan tek malzemedir. Ayrıca grafendeki yük taşıyıcılarının mobilitesi çok yüksek olmasından dolayı, geleceğin teknolojilerinde yaygın olarak kullanılabilecek alternatif bir malzeme olacağı kabul edilmektedir.
Günümüz teknolojisinde ise daha çok Si-tabanlı malzemeler kullanılmaktadır. Ancak, grafenin belirli bir enerji bandı aralığına sahip olmaması, transistör veya optik duyarlı bir malzeme olarak kullanılmasına engel olmaktadır.
Şekil 1.5 Grafen ( Novoselov vd. 2004)
6 2. KURAMSAL TEMELLER
2.1 Karbon Nanotüpler
Karbon nanotüp silindir şeklindeki bir karbon allotropudur, sadece karbon atomu içerir. Karbon nano tüpler, S. Iijima tarafından 1991 yılında bulunmuştur. Bulunduğu zamandan bu yana birçok araştırmanın kaynağı olmuştur. Ancak, nanotüplerin Moskova Kimyasal Fizik Enstitüsünde, iki Rus bilim adamı Radushkevich ve Lukyanovich 1952’de Sovyet Journal of Physical Chemistry dergisinde 50 tane nanotüpün resmini yayınlarlar. Makale Rusça olduğu ve yayınlanması Soğuk Savaş zamanına denk geldiği için, diğer bilim adamları tarafından fark edilmemiştir.
Şekil 2.1 Grafen tabakası
Şekil 2.2 Tek duvarlı karbon nanotüp (Av. 2002)
7
Karbon nanotüplerin fiziği, 1991 yılında Japonya’daki NEC laboratuvarlarında Sumio Ijima tarafından çok duvarlı ve iki yıl sonra da tek duvarlı karbon nanotüplerin keşfedilmesinden bu yana bir araştırma alanı olarak hızlı bir şekilde gelişmektedir.
Elektron mikroskobu uzmanı olan Sumio Iijima, ark boşalmasıyla elde edilen fulleren yapının Geçirmeli Elektron Mikroskobu (TEM) görüntüsünde, Çok Duvarlı Karbon Nanotüp (ÇDKNT) olarak isimlendirilen tüp şeklinde bir yapı gözlemlemiştir. Sonraki araştırmalar sonucunda, grafit elektrotuna kobalt gibi bazı geçiş metallerin eklenmesi sonucunda Tek Duvarlı Karbon Nanotüpler (TDKNT) elde edilmiştir. TDKNT’lerin elde edilmesi, karbon nanotüplerin gelişmesinde büyük bir aşama olmuştur. 1996’da Rice Üniversitesi Araştırma Grubunun TDKNT oluşturmada daha etkin bir yöntem bulmasıyla, çok sayıda karbon nanotüp deneylerinin önü açılmıştır. Arzu edilen nanotüpler 1200 °C fırında karbonun lazer-buharlaştırılmasıyla elde edilmektedir. Daha sonra Montpellier Üniversitesinden Catherine Journet, Patrick Bernier ve çalışma arkadaşlarının karbon ark-buharlaşma metoduyla iyonlaşmış karbon plazmasından TDKNT elde etmişlerdir. ÇDKNT’lerin büyütülmesi için katalizör gerekmezken, TDKNT’ler ancak katalizör ile büyütülebilmektedir (Tetik 2012).
Karbon nanotüpler, geometrilerine bağlı olarak yarı-iletken ve metalik özellik gösterirler. Hiç bir katkı maddesi olmaksızın, nanotüpün, geometrik parametrelerinin değiştirilmesiyle, elektronik özellikleri de değiştirebilir. Tüplerin elektronik uygulamalarda, önemli bir yeri vardır.
Karbon nanotüpler, inanılmaz dayanıklılık ve iletkenlikleri ile şaşırtıcı mekanik ve elektronik özelliklere sahiptirler. Karbon nanotüpler, neredeyse sınırsız uygulama alanları ile dünyada devrim yaratmışlardır. Karbon nanotüpler bilinen en sağlam malzeme olma özelliğine sahiptir. Çok esnek ve sağlam olmaları nedeniyle, tüp ekseni yönünde çekilmeye karşı hasar görmeksizin direnç göstermeleri, onların ayrı bir özelliğidir.
Karbon nanotüpler farklı boyda, kalınlıkta, çok katmanlı ve spiral tipte pek çok farklı yapıya sahiptirler. Tek bir grafit plakasının silindir seklinde kıvrılmasından ibaret ve 1-
8
5nm çapa sahip tek duvarlı nanotüpler ve ortak eksenli tüplerin bir araya gelmesinden elde edilen iç çapı:1,5-15nm, dış çapı: 2,5-30nm olan çok duvarlı nanotüpler, karbon nanotüp çeşitleridir. Aynı grafit katmandan oluşmalarına rağmen elektriksel özellikleri, geometrilerine göre değişir, metal ve yarıiletken olabilirler.
Şekil 2.3 TDKNT ve ÇDKNT (Antiohos vd. 2013)
2.1.1 Tek duvarlı karbon nanotüplerin sınıflandırılması
Tek duvarlı karbon nanotüpler 0,7-10,0nm çaplı silindirik grafen tabakasıyla tanımlanmalarına rağmen genellikle 2nm’den küçük çaplı tek duvarlı karbon nanotüpler gözlenir (Saito ve Dresselhaus, 2003). Eğer karbon nanotüplerin uç kısımlarını ihmal edersek ve oranca uzun cephesine odaklanırsak (uzunluk / çap>104105) bu nanotüpleri 1B’lu yapılar olarak düşünebiliriz.
Karbon nanotüplerin yapısında ilginç ve esas olan ise petek örgü yapısında bulunan altı karbon halkasının (hekzagon) nanotüp eksenine göre yönelimidir. Şekil 2.4’de tek duvarlı karbon nanotüplerin üç örneği gösterilmiştir. Bu şekillerden, hekzagonların yönelimlerinin keyfi olduğunu ve karbon nanotüpün eğrilmesi için gerekli olan biçim bozukluğunun dışında hekzagonların biçimlerinin bozulmadığı görülür.
9
Şekil 2.4 Karbon nanotüplerin sınıflandırılması (Saito ve Dresselhaus 2003)
Şekil 2.4’de aynı zamanda üç nanotüpün uç kısımları gösterilmektedir. Bu kısımlar genellikle cap (şapka, kep) olarak adlandırılırlar ve fulleren yarı küresinden oluşurlar.
Her kep altı pentagon ve uygun sayıda ve yerde hekzagonlardan oluşur. Bunlar silindirin boyuyla uyumludur.
TDKNT’lerde en basit simetri sınıflandırılması akiral (symmorphic) ya da kiral (non- symmorphic) şeklindedir.
Kiral terimi; ayna görüntüsü üst üste getirilemeyen, iki farklı şekilde bulunabilen molekül ya da iyon olarak tanımlanır.
Bu tanım dikkate alınarak akiral nanotüplerin ayna görüntüsü kendisine özdeş olup koltuk ve zikzak karbon nanotüpler olarak sınıflandırılırlar.
Kiral nanotüpler ise spiral simetriye sahiptir ve bunların ayna simetrisi orijiniyle üst üste çakışmaz. Bunların kiral nanotüpler olarak adlandırılmasının sebebi, kimya
10
literatüründe eksensel kiral yapıda olmalarındandır. Eksensel kiralite genellikle optiksel etkinlikle ilişkilendirilir. Çap, kiralite ve kep yapılarının değişmesi karbon nanotüplerin çeşitlenmesine sebep olur.
2.1.2 Kiral vektör: Ch
Şekil 2.5’de yuvarlanmış petek örgü yapısının şekli görülmektedir. Grafen tabakasının geometrisinde, O A B B, , , kristalografik olarak özdeştir ve katlandığında O ve A, B ve B ile çakışır. OB nanotüp ekseninin yönünü ve OA ekvatora karşılık gelmektedir.
TDKNT’lerin yapısı nanotüp eksenine dik olan vektörle özelleşir (Şekil 2.5’de OA vektörü). Bu geometride, OA ve OB sırasıyla kiral vektör C ve öteleme vektörü T h olarak tanımlanır. Kiral vektör C birim hücre vektörleri h a ve 1
a cinsinden 2
tanımlanabilir ve bu geometride
3 3,1
2 a
a1 ve a2 23a
3, 1
(2.1)ile ifade edilirler. Burada a bağ uzunluğu olup 1, 42A ‘dür. Buradaki 0
a ve 1
a 2
vektörlerinin büyüklüğü ise 3a2, 461A0
1 2
a a ’dür.
Şekil 2.5 Grafen Tabakası (Saito ve Dresselhaus 2003) B
A
x y
a 1
0
a 2
x
C h
T
B
11 Kiral vektör C h
,
n m n m
1 2
Ch a a
(n ve m tamsayı)
(2.2)
n ve m tamsayıları cinsinden ifade edilebilirler. n ve m tamsayılarının birbirine eşit olması durumu (n= m) koltuk karbon nanotüpe Ch
n n, ve n ve m tamsayılarından birinin sıfır olası durumunu da (m0) zikzak karbon nanotüpe Ch
n, 0 karşılık gelir. Bunun dışında kalan tüm (n,m) kiral vektörleri kiral nanotüpleri verir. n ve m tamsayıları arasında hekzogonal simetriden dolayı 0 m n ilişkisi vardır.Karbon nanotüplerin açı, kiral vektör, kesit ve simetrilerine göre sınıflandırılmaları çizelge şeklinde çizelge 2.1’de verilmiştir.
Çizelge 2.1 TDKNT’lerin sınıflandırılması ile ilişkili tablo (Saito ve Dresselhaus 2003)
Tip Kiral açısı C h Kesit Simetri
Koltuk 30 0 (n,n)
n i
D C
Zikzak 0 0 (n,0)
n i
D C Kiral 00 300 (n,m) Karışım
/
d N d
C C
Karbon nanotüpün simetri grupları EK 8’de verilmiştir.
Karbon nanotüpün çapı d olarak ve L de karbon nanotüpün çevresi olarak belirlenirse t
t
d L eşitliğinden;
2 2
3
L Ch a n m nm (2.3)
12
şeklinde ifade edilir. (5,5)’lik koltuk karbon nanotüpün bitiş kep’i dt 6,88A0 olan C60 fullerendir. Kiral açısı
a1 ve C arasında kalan açı olarak tanımlanır ve h 0 300’dır. Kiral açısı , karbon nanotüp ekseniyle hekzagon arasındaki eğim
açısı olup cos
1 1
h h
C a C a ifadesinden
2 2
cos 2 2
n m n m nm
(2.4)
ile tanımlanabilir. θ açısının 300 olması koltuk tipi karbon nanotüpe, θ açısının 00 olması ise zikzak karbon nanotüpe karşılık gelmektedir.
2.1.3 Öteleme vektörü: T
T öteleme vektörü 1B’lu karbon nanotüpün birim vektörü olarak tanımlanır. T nanotüp eksenine paralel ve yuvarlanmamış petek örgüde C kiral vektörüne diktir. h Şekil 2.5’de OB vektörü Törgü vektörü olup ve
a1 ve
a2 baz vektörleri cinsinden t1 t2
t t1, 2
1 2
T a a (t ve 1 t2 tamsayı) (2.5)
şeklinde ifade edilebilir. T öteleme vektörü, 2B’lu grafen tabakasının ilk örgü noktasına karşılık gelir. Bundan dolayı, t ve 1 t2‘nin birden farklı ortak böleni yoktur.
. 0
C Th özelliğini ve (2.2) ve (2.5) denklemlerini kullanarak t ve 1 t2 için
1 2
2 2
,
R R
n m n m
t t
d d
(2.6)
13
ifadeleri elde edilir. Burada dR,
n2m
ve
2n m
’nin ortak bölenlerinin en büyüğü olarak tanımlanırsa, n ve m’nin ortak bölenlerinin en büyüğü olan d cinsinden3
3 3
R
d n m d ile bölünemiyor d
d n m d ile bölünüyor
(2.7)
şeklinde tanımlanabilir.
Öteleme vektörünün büyüklüğü T = 3L / dR kadar olup 1B’lu TDKNT’ün birim hücresi, şekil 2.5’deki kiral ve öteleme vektörleriyle tanımlanan OABB′ dikdörtgenidir. TDKNT birim hücresinin alanı ChT ve bir hekzagonun alanı
1 2
a a olmak üzere birim hücredeki altıgenlerin sayısı N
2 2
22
2 2
R R
n m nm L
N d a d
(2.8)
şeklinde ifade edilebilir. Her altıgen iki tane karbon atomu içereceğinden TDKNT’ün birim hücresinde 2N tane karbon atomu bulunur.
2.1.4 Simetri vektörü: R
Karbon atomlarının konum vektörlerini 1B’lu nanotüp birim hücresi içerisinde i defa Rvektörü ile belirtilebilir. Burada iR, i1, 2,,N olmak üzere birim hücre dışına çıktığında, periyodik sınır koşullarını kullanarak, C ya da h T vektörleriyle birim hücre içine kaydırılabilir. R vektörü nanotüpteki karbon atomlarının koordinatlarını belirlemekte kullanılır. Şekil 2.6’da gösterildiği gibi R vektörünün C ve h T vektörlerine izdüşümlerini ifade etmek uygun olur.
T
14
Şekil 2.6 Uzay grubu simetri işlemi R
(Saito ve Dresselhaus 2003) nanotüp ekseni etrafındaki dönme açısını (N 2 ) ve ise nanotüp ekseni doğrultusundaki ötelemeyi ( N MT) tanımlar. R vektörü altıgenin birim vektörleri cinsinden yazılabilir. R simetri vektörü C ve h T vektörlerinin bileşeninin küçük bir parçası olarak tanımlanır (Şekil 2.6’da OR ) ve altıgenin birim vektörleri
a ve 1
a 2
cinsinden
,
p q p q
1 2
R a a (p ve q tamsayı) (2.9)
şeklinde yazılabilir. Burada p ve q tamsayılarının 1’den farklı ortak böleni yoktur ve i= 1 iken en küçük durum vektörü oluşacaktır. R için, p ve q tamsayı değerlerinin seçim koşulu t q t p1 2 1
0mp nq N
olur ve iN için birim hücre en fazla N tane altıgen içerdiğinden 0t q t p1 2 N koşulu geçerlidir. Fiziksel açıdan, R vektörü T yönünde ötelemelerinden ve TDKNT ekseni çevresinde açılı dönmelerden meydana gelir. Şekil 2.6’da bu işlem, R
ile gösterilir ve kiral TDKNT için uzay grubu simetri operatörüdür. Simetri vektörünün fiziksel önemi C kiral vektörü h üzerindeki izdüşümü olan açısının L d skalasında verilmesidir. / t R simetri vektörünün, T öteleme vektörü üzerindeki izdüşümü ötelemesini verir ve bu TDKNT’ün uzay grubunun simetri operatörüdür. Simetri işlemi , (0,0) da bulunan atom üzerine etki ederek, (p,q) tamsayıları ile varılan koordinatı belirtir,2 N
0
R C h
15
(0,0) =(p,q). Eğer TDKNT için bir simetri işlemi ise o zaman
2, 3,…… , N= E elemanlarıyla tanımlı CN abelyen grubunu verir. ötelemelerinin ve dönmelerinin değerleri ise
1 2
h a a
R C mp nq mp nq T
L L N
1 2
22 3 2
3 2
T R
dR t q t p a
T L L N (2.10) şeklinde bulunur (Saito ve Dresselhaus 2003).
Şekil 2.7 Silindirik yüzeyde simetri operatörü (Saito ve Dresselhaus 2003)
Şekil 2.7’de simetri operatörünün, silindirik yüzeye uygulanışı gösterilmiştir.
N E uygulandığı için, Şekil 2.6’da bulunan O örgü noktası ile şekil 2.7’deki C örgü noktası birbirine özdeştir ve NRChMT olarak ifade edilir. Burada M tamsayısı, M mp nq olarak tanımlanır ve O örgü noktasından NR kadar uzaklaşıldığında uygulanılan T ötelemeleri ile aynıdır.
16 2.1.5 Birim hücre ve Brillouin bölgeleri
Reel uzayda karbon nanotüplerin birim hücresi şekil 2.5’de gösterilen C kiral vektörü h ve T öteleme vektörü ile üretilen OAB B dikdörtgenidir. Birim hücrede 2N karbon atomu bulunduğundan, N çift –bağ ve *–antibağ elektronik enerji bantları bulunur.
Fonon dağınım bağıntısı ise 6N fonon dalı içermektedir.
Ri ve Kj sırasıyla gerçek ve ters uzaydaki örgü vektörleri olmak üzere, K çembersel 1 doğrultudaki ve K nanotüp ekseni boyunca ters örgü vektörlerinin ifadesi, 2
i j 2
R K ij bağıntısından
2 1
1 1
1 1 2 , 2 1 2
K t b tb K mb nb
N N (2.11) şeklinde elde edilir. Burada b ve 1 b iki boyutlu grafitin ters örgü vektörleridir. Şekil 2 2.8’de, C = (4, 2) kiral nanotüp için h K ve 1 K ters örgü vektörleri görülmektedir. Bu 2 bir boyutlu nanotüpün ilk Brillouin bölgesi olan WW çizgisi ile verilmektedir.
Şekil 2.8 Karbon nanotüpün Brillouin bölgesi K vektörüne paralel olan 2 WW çizgi parçası ile temsil edilmektedir (Saito ve Dresselhaus 2003)
1 2
1 1 2
K b b
N t t iki boyutlu grafitin ters örgü vektörleriyle benzer olduğu için K1
N ’den farklı olan iki dalga vektörü birbirine eşittir. b ve 1 b 2 birleşme noktaları dışında ortak bölene sahip olmadıkları için, (N – 1) tane K1 (burada
K2
K1
W
W
b2
K M
b1
K
17 1, 2,...,N 1
) vektörlerinden hiçbiri iki boyutlu grafitin ters örgü vektörleri olamaz. Böylece N tane dalga vektörü K1 (burada 1, 2,...,N1), şekil 2.8’de N= 28 paralel çizgi parçasıyla gösterildiği gibi N farklı k vektörü verir. Bu k vektörleri C üzerindeki periyodik sınır koşullarıyla ilişkili dalga vektörlerinden ortaya h çıkar. Şekil 2.8’deki tüm paralel çizgi parçalarının uzunluğu bir boyutlu ilk Brillouin bölgesinin uzunluğu olan 2 / T uzunluğuna eşittir. k vektörlerinin N farklı değeri için, N tane bir boyutlu enerji bandı ortaya çıkar. T ’nin öteleme simetrisinden dolayı, sınırsız uzunlukta bir nanotüp için K doğrultusunda sürekli dalga vektörüne sahip 2 olunur. Ancak, L uzunluğunda bir nanotüp için dalga vektörleri arasındaki mesafe t 2 / Lt uzunluğunda olur. Dalga vektörleri arasındaki bu uzunluk deneysel olarak gözlenmektedir (Tans vd. 1997).
18 3. MATERYAL
TDKNT, elektrik ve ısı iletim özellikleri ile dikkat çekicidir. Elektrik iletim sürecinde, fonon dağınımı önemlidir. Bu yüzden TDKNT’ün (Brillouin Bölgesindeki) fonon dağınımı, bu konunun hesabı için gereklidir.
Ye, Liu, Wang ve Han, kiral TDKNT’ ün fonon dağınım bağıntısını elde etmek için ab initio supercell yaklaşımını kullanmışlardır. Bu çalışmaların sonucunda sadece yüksek enerji kısmı için doğru çıkmıştır (Ye vd. 2004).
Dubay ve Kresse, tam ab initio yaklaşım tarzını ve zikzak ve koltuk tipi TDKNT’ ün fonon dağınım bağıntısında ab initio hesaplamaları ile elde edilen kuvvet sabitleri ile bölge katlama (zone folding) metodunu kullanmışlardır (Dubay ve Kresse 2003).
Mahan ve Jeon ise bölge katlama (zone folding) metodunun zayıflığını göstermişlerdir.
Bölge katlama (zone folding) metodu; elektronik durum, skaler dalga denklemi ile çözülürken, fonon durumu, vektörel dalga denklemi ile çözümü gerektiğinden elektronik durum için iyi çalıştığı halde, fonon durum için çalışmaz olduğunu göstermişlerdir (Mahan 2003 ve Mahan ve Jeon 2004).
Sénchez-Portal, Artacho, Soler, Rubio ve Ordejon farklı kiralite ve yarıçap ile TDKNT’ün dağınım bağıntısını ab initio hesaplamaları ile çalışmışlardır. Sistemde yaklaşık 100 adet karbon atomuyla çalışmışlar ve geniş bilgisayar kaynaklarına gereksinim duymuşlardır (Sénchez-Portal vd. 1999).
Popov, Van Doren ve Balanski, TDKNT için simetri uyumlu örgü dinamiği modelini önermişlerdir. Popov ve diğerleri TDKNT’in vida simetrisini dikkate alırken, iki atomlu birim hücreyi almışlar ve keyfi kiralite ile TDKNT için 6 6 ’lık dinamik matris haline getirmişlerdir. Soluma kip frekansının, tüpün yarıçapı ile de ters orantılı olduğunu bulmuşlardır. Popov ve diğerleri TDKNT için grafitten devredilen kuvvet sabitleri
19
metodunu çalışmışlar ve böylece bu metodun deneyler tarafından determine edilen kuvvet sabitlerine ihtiyacı olduğunu görmüşlerdir (Popov vd. 1999, Li vd. 2004).
Mahan ve Jeon, zik zak ve koltuk tipi TDKNT’in fonon dağınım bağıntısı için hesaplanan kuvvet sabitlerinin minimum sayıları ile bir model önermişlerdir ve fiziksel sonuçlar elde etmişlerdir. Ancak yaklaşımları, yüksek simetrili yapılar ile akiral TDKNT için kısıtlıdır (Mahan ve Jeon 2004).
3.1 Kiral Nanotüplerde Örgü Koordinatları
Bir grafen düzleminin (0,0) noktasının çakıştığı (n,m) noktası ile tek duvarlı karbon nanotüp karakterize edilir. Bu KNT’ün birim hücre vektörleri a1 3a
3 2, 1 2
ve
3 3 2, 1 2
a2 a , yarıçapı ise R Ch 2 ’dir. KNT üzerindeki bir karbon atomunun en yakın komşuluklarının sayısı üçtür ve bağ yönelimleri farklı olduğundan merkez karbon atomu A tipinde ise en yakın koşu atomlar B tipi karbon atomları olarak adlandırılır. En yakın komşuluk arası uzaklık a a( aC C 1, 42 A0)’dir. Şekil 3.1’de atomların yerlerinin daha iyi belirlenebilmesi için grafen üzerinde indislemenin nasıl yapıldığı gösterilmiştir. 2B’lu grafen üzerinde örgü koordinatları Rkl ka1la2 şeklinde verilir. Burada ,k l tamsayılardır. k tamsayısı, zekseni yani KNT ekseni boyunca değerler alır ve atomik tabakaların sayısı kadardır ve k0,1,...,N değerlerini alır. KNT çevresi boyunca karbon atomlarının yerleri l tamsayısı ile gösterilir ve
0,1,..., 1
l n değerlerini alır. Bir (n,m) kiral KNT’ün çevresi boyunca n tane A ve m tane B atomu vardır.
20
Şekil 3.1 Kiral karbon nanotüplerin örgü koordinatları
Şekil 3.1’de merkez atom A olmak üzere en yakın üç komşuluk (Bp 1, 2,3) gösterilmiştir. qc ile tanımlanan mesafe A ve A karbonları arasındaki uzaklıktır. θ1 açısı ise birinci yakın komşuluktaki A ve B atomları arasında nanotüp çevresi boyunca oluşan yay olup
2
1 2
1 cos( ) 2
a
R
(3.1)
şeklinde ifade edilir. Büyük çaplı tüpler için 1a R ifadesi geçerlidir. Diğer bir 2 açısı ise, z-ekseninde yerleşmiş birinci yakın komşu B atomlarıyla A atomu arasındaki yayın nanotüp çevresine izdüşümüdür, şekil 3.2’de bu iki açı gösterilmiştir. Her iki açı yeterince küçük ise 2 1 2olarak alınabilir ve aralarındaki geometrik ilişki
2
2 2
1 cos( ) 8
a
R
, 4 2 2 1
2 2
a sin sin
R
(3.2) a1
a2 B1
B2
B3 h
a
Ch
A 2qc/ 3
/ 3
qc qc
z 2
2
21
ile verilir. Bu B karbon atomlarının uzunluğu ve dönme açısı hesaplanırsa Çizelge 3.1 ve 3.2‘deki sonuçlar elde edilir. Bu sonuçlar zikzak ve koltuk tipi karbon nanotüplerle karşılaştırıldığında sonuçların uyumlu olduğu gözlemlenmiştir.
Şekil 3.2 Birinci yakın komşuluklar arasındaki açılar
Tüp üzerinde bir A tipi karbon atomunu merkez atom alarak
2 2
2 2 3
,
kl 2
n l k m l k a
n m n m nm R
ve
,
2 2ln
3kl 2
n m km a
n m nm
olmak üzere, merkezde bulunan atomun (x, y, z) koordinatı
RA Rcos
kl , Rsin
kl , kl (3.3)ile verilir (Mu vd 2007). Birinci yakın komşuluktaki üç B tipi karbon atomunun koordinatları ise benzer şekilde,
B2
A
B3
B1
R R
R
2 1 2 a a
22
( ) cos , sin ,
RBj R klajz R klajz klb aj (3.4)
olarak yazılabilir ve j1, 2,3 değerlerini alır.
Çizelge 3.1 Birinci yakın komşuluk için kiral KNT’ün j değerlerinin, zikzak KNT’ün
j (Kandemir ve Keskin 2008) ve koltuk tipi KNT’ün j (Kandemir ve Altanhan 2008) değerleri ile karşılaştırılması
Kiral ( z 3a
R ) Zikzak (m0) Koltuk (mn)
1 2 2 1
3
2 z
n m a
R a n m nm
1
3
2 2
a z
R
1 1
a
R
2 2 2 2
3
2 z
n a
R a n m nm
2
3
2 2
a z
R
2 1 2
2 2
a R
3 2 2 3
3
2 z
m a
R a n m nm
3 0
1
3 2
2 2
a R
A 1
2
3 A
2 1
3 A
3 1
2
23
Çizelge 3.2 Birinci yakın komşuluk için kiral KNT’ün
j mn, değerlerinin, zikzak KNT’ün
j mn, (Kandemir ve Keskin 2008) ve koltuk tipi KNT’ün
j mn,(Kandemir ve Altanhan 2008) değerleri ile karşılaştırılması
Kiral (
i mn, ) Zikzak (m0) Koltuk (mn)1 2 2 1
2
n m
a b a n m nm
1 2
a 10
2 2 2 2
2 2
n m
a b a n m nm
2
a
2
3 2 a
3 2 2 3
2 2
n m
a b a n m nm
3 2
a
3
3 2 a
Şekil 3.3’de merkez atom A olmak üzere ikinci en yakın altı komşuluk (Ap 1, 2,3, 4,5, 6) gösterilmiştir.
Şekil 3.3 Merkez A Karbon atomunun ikinci yakın komşulukları
24
1 2
olarak tanımlandığında ikinci yakın komşuluktaki altı adet A tipi karbon atomu için koordinatlar da
( ) cos , sin ,
RAj R kl cjz R kl cjz kl d a (3.4) j
olarak yazılabilir. Burada, j1, 2,..., 6 değerlerini alır.
Birinci yakın komşuluktaki B karbon atomları gibi ikinci yakın komşuluktaki A karbon atomlarının da uzunluğu ve dönme açısı hesaplanırsa çizelge 3.3’deki sonuçlar elde edilir. Bu sonuçlar zikzak ve koltuk tipi karbon nanotüplerle karşılaştırıldığında sonuçların uyumlu olduğu gözlemlenmiştir.
25
Çizelge 3.3 İkinci yakın komşuluk için kiral KNT’ün j ve
j mn, değerlerinin, zikzak KNT’ün j vej mn, (Kandemir ve Keskin 2008) ve koltuk tipi KNT’ün
j ve j mn, (Kandemir ve Altanhan 2008) değerleri ile karşılaştırılması
Kiral Zikzak
(m0)
Koltuk (mn)
1 2 2 3 1 4
2 3
2 z z
n m a
b c
n m nm R
1 z 4
1
1 4
3 2
2 2 2 1 2 5
3
2 z z
n m a
b c
n m nm R
2 2 5
z
2 0 5
3 2 2 2 3 6
2 3
2 z z
n m a
b c
n m nm R
3 2 6
z
3 3 1 6 2
1 2 2 3 3 3 1 4
2
m a a a d a
n m nm
1 0 4
1 4
3 2
a
2 2 2 3 3 1 2 5
2
n m
a a a d a n m nm
2 5
3 2
a 2 3a 5
3 2 2 3 3 2 3 6
2
n a a a d a
n m nm
3 6
3 2
a
3 6
3 2
a
26
Şekil 3.4’de ise merkez atom A olmak üzere üçüncü en yakın üç komşuluk (Ap 1, 2,3) gösterilmiştir.
Şekil 3.4 Merkez A Karbon atomunun üçüncü yakın komşulukları Üçüncü yakın komşuluktaki üç adet B tipi karbon atomu için koordinatlar
( ) cos , sin ,
RBj R klejz R kl ejz kl f a (3.5) j olarak yazılabilir. Burada j1, 2,3 değerlerini alır.
Birinci yakın komşuluktaki B karbon atomları ve ikinci yakın komşuluktaki A karbon atomlarından sonra üçüncü yakın komşuluktaki B karbon atomlarının da uzunluğu ve
dönme açısı hesaplanırsa çizelge 3.4’deki sonuçlar elde edilir. Bu sonuçlar zikzak ve koltuk tipi karbon nanotüplerle karşılaştırıldığında sonuçların uyumlu olduğu gözlemlenmiştir.
27
Çizelge 3.4 Üçüncü yakın komşuluk için kiral KNT’ün j ve
j mn, değerlerinin, zikzak KNT’ün j ve
j mn, (Kandemir ve Keskin 2008) ve koltuk tipi KNT’ün j ve
j mn, (Kandemir ve Altanhan 2008) değerleri ile karşılaştırılmasıKiral Zikzak (m0) Koltuk (mn)
1 2
1
2 z
z
a e
1 2b a2 f1 z
1 2
1 a
1 1
a
R 1 3 3 3
a a
2 3
2
2 z
z
a e
2 2b a3 f2 z
2 0 2 2a
2 1
a
R 2 3 3 3
a a
3 1
3
2 z
z
a e
3 2b a1 f3 z
3 2
3 a
3 1
2a 2
R 3 0
A
1 2 3
A
1 2
3 A
1
2 3
a
2
a
2
2a
3a
3a
3
1, 2
