BÖLÜM 5 Binom Dağılımı Yaklaşımları Koşullu Dağılım

BÖLÜM 5 Binom Dağılımı Yaklaşımları Koşullu Dağılım

SAB201 AKTÜERYADA İSTATİSTİKSEL DAĞILIMLAR

Doç. Dr. Furkan BAŞER Ankara Üniversitesi Uygulamalı Bilimler Fakültesi

X, Binom r.d. olsun.

Binom katsayısı n ile hızlı bir şekilde büyüdüğü için n büyük olduğunda yukarıdaki olasılığı hesaplamak zorlaşmaktadır. Bu durumda iki tane oldukça yararlı

yaklaşım vardır.

Normal Yaklaşım (De Moivre-Laplace Teoremi):

iken p nin sabit olduğunu varsayalım. O halde np nin komşuluğunda k için yaklaşım:

 

 





 



 



 





 ²

1 2

1

. )

2 (

1

k

k k

k n k k

k k

n p q

k k n

P k

X k

P

! )!

(

! k k n

n k

n

 



 







 n

npq

5. Binom Rasgele Değişken Yaklaşımları

Koşullu Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

2 .

1 _{(k np)}²_/2npq

k n

k e

q npq k p

n _{  }

 



 







Böylece eğer (4-1)deki ve , aralığının etrafında ya da içinde ise

k1 k₂





  ^,

2 1 2

1 _{( ) /2 /2}

2 1

2 2

1 2 2

1

dy e

dx npqe

k X

k

P ^{x y}

x npq

np k x

k















  

) 2 (

) 1

( 0

2

2/

x erf

dy e

x

erf  _  ^{x y}   .

, ₂ ²

1

1 npq

np x k

npq np

x  k   

Örneğin, ve pozitif ise ;

Örnek Hilesiz bir zar 5,000 kez atılsın. Tura sayısının 2,475

ile 2,525 arasında olma olasılığını bulun.

Çözüm: Burada n çok büyük olduğu

için normal yaklaşım kullanabiliriz. Bu durumda

olduğu için ve

ve olduğu için yaklaşım ve için geçerlidir. Böylece;

^k₁ ^{X k}₂ ^{erf (x}₂^{) erf (x}₁^).

P    

x1 x²

).

525 ,

2 475

, 2

(  X 

P

2 ,

 1 p

500 ,

 2

np _{npq  35. np  npq  2,465,} 535

,

 2

 npq

np k₁  2,475 k₂  2,525

 ^{1   2} ^



y dy

e k

X k

P 

7. 5

7,

5 ₂

2 1

1       

npq np x k

npq np x k

x erf(x) x erf(x) x erf(x) x erf(x)

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75

0.01994 0.03983 0.05962 0.07926 0.09871 0.11791 0.13683 0.15542 0.17364 0.19146 0.20884 0.22575 0.24215 0.25804 0.27337

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50

0.28814 0.30234 0.31594 0.32894 0.34134 0.35314 0.36433 0.37493 0.38493 0.39435 0.40320 0.41149 0.41924 0.42647 0.43319

1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95 2.00 2.05 2.10 2.15 2.20 2.25

0.43943 0.44520 0.45053 0.45543 0.45994 0.46407 0.46784 0.47128 0.47441 0.47726 0.47982 0.48214 0.48422 0.48610 0.48778

2.30 2.35 2.40 2.45 2.50 2.55 2.60 2.65 2.70 2.75 2.80 2.85 2.90 2.95 3.00

0.48928 0.49061 0.49180 0.49286 0.49379 0.49461 0.49534 0.49597 0.49653 0.49702 0.49744 0.49781 0.49813 0.49841 0.49865

2 ) 1 ( 2

) 1 (

erf 0

2

2 /





  ^{e dy G x}

x ^{x y}



4.2. Poisson Yaklaşımı

Daha önce de belirttiğimiz gibi, büyük n için, binom r.d.'nin Gaussian yaklaşımı sadece p sabitse geçerlidir yani sadece

ve olduğu durumda geçerlidir.

Peki ya np küçükse veya n ile artış göstermiyorsa ne olur?

 

, 516 .

7 0 erf 5 2

|) (|

erf )

( erf )

( erf )

( erf 525

, 2 475

,

2 _{2 1 2 1}

 



 



 











 X x x x x

P

 1 np

1 npq

x

(a)

x1 x₂

2

2/

2

1 _x

e^



0

,

0 ₂

1  x 

x

x

(b)

x1 x₂

2

2/

2

1 _x

e^



0

,

0 ₂

1  x 

x

Açıktırki , örneğin iken ise bu durumda sabit bir sayı olur.

Doğada birçok rastgele olay aslında bu modeli takip eder.

Bir telefon hattındaki toplam çağrı sayısı, sigorta

şirketindeki tazminatlar vb. bu tür olayları takip etme eğilimindedir. Bir hat üzerinden rasgele gelen telefon

görüşmelerini düşünün. n, aralığındaki toplam çağrı sayısı olsun. Deneyimizde, olduğundan da

olduğunu varsayabiliriz.  nın küçük bir aralık olduğunu düşünelim. Eğer sadece tek bir çağrı varsa, o aradaki o tek aramanın olasılığı (p), T‘nin büyüklüğüne bağlı olmalıdır.

 0

 p

 n



 np



 T

) , 0

( T n  

T n  



1 2 n

Bundan dolayı olarak varsayabiliriz.Not: ve Bununla birlikte bu durumda

sabit ve normal yaklaşım burada geçersiz.

Şekildeki  aralığı ile ilgilenilelim. Bu aralığın içindeki bir çağrı “başarı” iken dışarıdaki “başarısızlık” tır. Bu, para

atma durumuna eşdeğerdir ve bu nedenle,  aralığında k çağrılarını (herhangi bir sırada) elde etme olasılığı

binom olasılık fonksiyonudur.Böylece

Ve burada olup . Bu durumda (4-

6) 'ya mükemmel bir yaklaşım elde etmek kolaydır. Bunu görmek için, (4-6) yeniden yazıldığında;

p T

  p  0

.



T ^{       }

T T np

) (k P_n

, ) 1

! ( )!

( ) !

( ^{k n k}

n p p

k k n k n

P  ^

 

0

, 



 p

n np  

) . / 1

(

) / 1

(

! 1 1

1 2 1 1

) / 1

! ( ) ( ) 1 (

) 1 ) (

(

k n k

k n k

n k

n n k

n k n

n

n k np

np n

k n n

k n P









 



 



  



 

 



 

 



 



  ^





! , )

( lim0,

,





 _







  e

k k P

k np n

p n

sonlu seri olduğundan da iken:

(4-8) in sağ tarafı Poisson olasılık fonksiyonunu gösterir ve Binom rasgele değişkenine ilişkin Poisson yaklaşımı, n ve p parametrelerinin, iki uç noktaya saptığı durumlarda

np'nin sabit olduğu şekilde geçerlidir.



 



  



 

 



 

 

n k n

n

1 1 1 2

1 1  ^k

n 



 

   1

n  

. 1

lim  _^



  



 

  e n

n

n

) 0 ,

(n   p 

Böylece

Koşullu Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

Herhangi A ve B iki olay için, B bilindiğinde A nın koşullu olasılığı:

olasılık dağılım fonksiyonu verildiğinde:

B olayı bilindiğinde X r.d nin koşullu dağılımını tanımlarsak:

. 0 ) ( ) ,

(

) ) (

|

(   P B 

B P

B A B P

A P

) ( x F_X

 ^{( )} ^,

)

(x P X x

F_X   

    

) . ( )

| ( )

( )

|

( P B

B x

X B P

x X

P B

x

F_X  





  

Böylece koşullu dağılımın tanımı koşullu olasılığa bağlıdır ve tüm olasılık aksiyomlarına uyduğundan dolayı, koşullu dağılımın herhangi bir dağılım fonksiyonuyla aynı

özelliklere sahip olduğu izlenir. Özel olarak;

 

 

 

 

. ) 0

( ) ( )

( ) ) (

| (

, ) 1

( ) ( )

( ) ) (

| (



 



 





 



 



B P

P B

P

B X

B P F

B P

B P B

P

B X

B P F

X X







 

 

),

| ( )

| (

) (

) ) (

| )

( (

1 2

2 1

2 1

B x

F B

x F

B P

B x

X x

B P x

X x

P

X

X 







 



  

için ;

Koşullu yoğunluk fonksiyonu ,koşullu dağılım fonksiyonunun türevinin alınmış halidir. Böylece:

Ve (3-26) ile;

(4-16) kullanarak, (4-13) ü tekrar yazarsak:



 

 



, )

| ) (

|

( dx

B x B dF

x

f_X  ^X

2 1

x  x



 ^x _X

X x B f u B du

F ( | ) ( | ) .

x^{1 } X ^{( ) } x^{2 |} B ^



P 

) (x F_X

x (a)

q

1

1

( | ) F x BX

x (b)

1

1

Örnek : Para atıldığında X(T)=0, X(H)=1. olayı ise

‘yi belirleyiniz.

Çözüm: Her x değeri için değerlerine ihtiyacımız var. böylece ve

( | ) FX x B

)

| (x B F_X

 

0 için ( ) ,

x  X   x  X ⁽ ⁾  x B ^,

. 0 )

|

(x B  F_X

{ } B  H

böylece

ve

Örnek : in verildiğini ve olayı olduğunu varsayın. Bu durumda i bulun.

Çözüm: İlk olarak belirlenir.

   

0  x 1 için X ( )  x  T ,

 

 X()  x  B     T  H   ve F_X ( |x B)  0.

 

1 için ( ) ,

x  X   x  

 

 ^{X (} ^{)  x  B}^{ } ^{B  {B}} ( )

ve ( | ) 1

X ( ) F x B P B

 P B 

X ( )

F x ^{B }^{X ( )  a}

( | ) fX x B ( | )

FX x B

   

 

  ^.

)

|

( P X a

a X

x X

B P x

F_X







 



 

 



a

x  ,     

 

  ( ) ^.

) ) (

|

( F a

x F

a X

P

x X

B P x

F

X X

X 



 

   

, X x X a X a

a

x       F_X (x | B)  1.

(4-19)









 

,

, 1

,

) , (

) ( )

| (

a x

a a x

F

x F

B x

F X

X

X (4-20)





 





otherwise.

,

0

, ) ,

( ) ( )

| ( )

|

( x a

a F

x f

B x dx F

B d x

f _X

X X

X

böylece

böylece

ve

)

| (x B F_X

) ( x F_X

a x 1

(a)

Örnek: B, için olayını temsil etsin.

verildiğinde ve i bulun.

Çözüm:

için ve böylece

^a  ^X()  ^b

b  a F_X ( x),

)

| (x B

F_X f_X ( |x B)

     

 

   

 

) . ( )

(

) ( )

(

) (

) ( )

| ( )

( )

| (

a F

b F

b X

a x

X P

b X

a P

b X

a x

X B P

x X

P B

x F

X X

X









 











 













 

x  a  ^{X ( )  x} ^{ a  X ()  b}^{ , F}X ^{(x | B)  0.}

)

| (x B f_X

) ( x f_X

a x

(b)

için

için böylece

(4-23)-(4-25) kullanarak, (Fig. 4.5)

 ^X(⁾  ^x  ^a  ^X(⁾  ^b^{a  ^X(⁾  ^x}

 

) . ( )

(

) ( )

( )

( )

(

) ) (

|

( F b F a

a F

x F

a F

b F

x X

a B P

x F

X X

X X

X X

X 

 





  

a  x b

x b  ^X ( )  ^x  ^a  ^X ()  ^b  ^a  ^X ()  ^b

. 1 )

|

(x B 

F_X





  

 

otherwise.

, 0

, ) ,

( )

(

) ( )

|

( a x b

a F b

F

x f

B x

f _{X X}

X X

)

| (x B f_X

) ( x f_X

a x

A ve B olayları için Bayes teoremi gereği;

olayı olsun böylece

) . (

) ( )

| ) (

|

( P B

A P A B B P

A

P 

^x₁ ^{X ( ) x}₂

B    

   

 

).

( )

(

)

| ( )

) ( ( )

(

)

| ( )

| (

) (

) (

| ) )

( ) (

) ( (

|

2

1 2

1

1 2

1 2

2 1

2 1

2 1

A P dx

x f

dx A x f

A x P

F x

F

A x

F A

x F

x X

x P

A P A x

X x

x P X

x A

P

x

x X

x

x X

X X

X X



 



 







 



 

 

Dahası ise böylece da limit;

veya

ayrıca;

veya

ve istenilen sonuca ulaşılır:

1 , 2 , 0

x  x x  x     0

    ^{( ).}

) (

)

| ) (

(

| )

) ( (

| lim

0 P A

x f

A x x f

X A P x

X x

A P

X

 X









    



) . (

) ( )

| ) (

|

| (

A P

x f

x X

A A P

x

f_{X A}   ^X

, ) ( )

| ( )

| ( )

(

1

dx x

f x X

A P dx

A x f

A

P









  



 



 



dx x

f x X

A P A

P( ) 



. )

( )

| (

) ( )

| ) (

|

| (



 

dx x

f x X

A P

x f

x X

A A P

x

f_{X A} ^X