(1)MT241 Analiz III Yar¬y¬lsonu S¬nav Ö¼grenci No, Ad¬Soyad

(1)

MT241 Analiz III Yar¬y¬lsonu S¬nav¬ 14.01.2010 Ö¼grenci No, Ad¬Soyad¬:... ... ...

Kurallar. Verilen alan d¬¸s¬nda yaz¬lan yaz¬lar cevap olarak puanlamada dikkate al¬nmayacakt¬r. A¸sa¼g¬da verilen (i),(ii) ve (iii) önermelerini kan¬tlamaks¬z¬n kullanabilirsiniz. S¬nav 61 puan üzerindendir.

(i) 0 < y ise ln y y 1 dir. (ii) 0 < x ve 1 < r ise 1 + rx < (1 + x)^r dir (iii) lim xn = 0 ve 0 6= xⁿ ise limln (1 + xn) xn

= 1 dir SORULAR

1. A¸sa¼g¬daki bo¸sluklar¬doldurunuz.

a. (3 puan) (·Iç, ·Içe Aral¬klar ·Ilkesi) n 2 N için [an; b_n] kapal¬aral¬klar¬n bir dizisi ve her n 2 N için [a...; b...] [a...; b...] olsun.

inf fbn a_n : n 2 Ng = 0

ise \1

n=1

[a_n; b_n]

kümesinde ... ve .yaln¬z ... eleman ...d¬r.

b. (3 puan) (R gerçel say¬lar cismi tamd¬r) A, R nin bo¸s ...bir alt kümesi ve A nin alltan...

ise

... A 2 ...

vard¬r.

c. (3 puan) (Seriler için Cauchy Kriteri) Bir P¹

n=1

xn serisinin ...olmas¬için gerek ve yeter ko¸sul verilen her ...>... için m > n N oldu¼gunda

jx...+ x...+ +x...j < ...

olacak ¸sekilde bir N 2 N bulunabilimesidir.

d. (3 puan) (Bir serinin toplam¬n¬n a olmas¬n¬n tan¬m¬)P₁

n=1xnbir seri ve serinin k¬smi toplamlar dizisi Sn = x1+ ::: + xn olsun.olsun Tan¬m gere¼gi, serinin toplam¬n¬n a olmas¬ için gerek ve yeter ko¸sul Verilen her ...: =... olmas¬d¬r.

e. (3 puan) (Pozitif terimli bir serinin yak¬nsakl¬k kriteri)P₁

n=1a_n pozitif terimli bir seri ve serinin k¬smi toplamlar dizisi S_n = a₁+ ::: + a_nolsun. Serinin yak¬nsak olmas¬için gerek ve yeter ko¸sul (S_n) nin ...

...olmas¬d¬r.

2. (10 puan) P₁

n=1 2

n²+4n+3 serisinin toplam¬n¬bulunuz.

2

n²+ 4n + 3 =

::::::::::::

oldu¼gundan, bu e¸sitli¼gi 1; 2; :::; n için yaz¬p taraf tarafa ... serinin S_n k¬smi toplam¬için

Sn=

::::::::::::

::::::::::::+

::::::::::::

elde edilir. O halde

...Sn= ...

dir. Dolay¬s¬yla serinin toplam¬... olur.

1

(2)

2. A¸sa¼g¬daki önermeleri kan¬tlay¬n¬z . a. (6 puan) P₁

n=1a_n pozitif terimli bir seri, (b_n) pozitif terimli bir dizi ve > 0 olsun. Her n 2 N için a_n b_na_n b_n+1a_n+1

iseP₁

n=1a_n serisinin yak¬nsakt¬r. (P₁

n=1a_n serisinin n. k¬smi toplam¬S_n = a₁+ ::: + a_n olsun.)

b. (4 puan) 0 < p 2 R olsun. P₁

n=11

nln 1 +_n¹p serisi yak¬nsakt¬r.

3. A¸sa¼g¬daki bo¸sluklar¬doldurunuz.

a. (2 puan) (an) pozitif terimli bir dizi ve (an) dizisi ... olsun. ·I¸saret de¼gi¸simliP₁

n=1( 1)^{n 1}an

serisinin yak¬nsak olmas¬için gerek ve yeter ko¸sul ... olmas¬d¬r.

b. (8 puan) P₁

n=3( 1)^{n 1} 1 n ln 1 + 1

n serisinin yak¬nsak oldu¼gunu gösterelim. a_n= 1 n ln 1 +1 n koyal¬m. 1 n ise (i) den dolay¬ 1

n + 1< ln 1 + 1 n < 1

n oldu¼gundan 0 < 1 n ln 1 + 1

n < 1 n + 1 O halde lim an = ...d¬r. . (ii) den dolay¬1 n ise

1 +

::::::::::::

:::::::::::: < 1 + 1 n + 1

n + 1

n =)

1 +

::::::::::::

n

< 1 +

::::::::::::

n+1

=) :::::::::::: ln 1 +

::::::::::::

:::::::::::: < :::::::::::: ln 1 +

::::::::::::

:::::::::::: =) a:::::::::::::::::: < a::::::::::::::::::

Ohalde ... dizisi ... d¬r. O halde, i¸saret de¼gi¸simli seri testinden dolay¬

P₁

n=3( 1)^{n 1}a_n serisi ... t¬r.

2