Genelleştirilmiş İnvolutif Matrislerin Lineer Kombinasyonu Üzerine Bir Algoritma

(1)

BEYKENT ÜNİVERSİTESİ FEN VE MÜHENDİSLİK BİLİMLERİ DERGİSİ Cilt 6(2) 2013, 163 - 171

GENELLEŞTİRİLMİŞ İNVOLUTİF

MATRİSLERİN LİNEER KOMBİNASYONU

ÜZERİNE BİR ALGORİTMA

Murat S A R D U V A N (msarduvan@sakarya.edu.tr) Sakarya Üniversitesi, Matematik Bölümü

Nurgül K A L A Y C I (nrglklyc@hotmail.com)

Sakarya Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Yüksek Lisans öğrencisi

ÖZET

X matrisinin Moore-Penrose tersini göstersin. Çalışmada, c2 G C\{0) ve G1, G2 matrisleri G ^ = ve G2^ = G2 koşulunu sağlayan

nXn boyutlu değişmeli matrisler olmak üzere; ( c1G1 + c2G2) ^ =

c1G1 + C2G2 ifadesinin sağlandığı durumlar için sayısal örnek oluşturan bir algoritma verilmektedir. Ayrıca, verilen algoritmayı kullanarak elde edilen bazı örnekler de çalışmanın sonuna eklenmiştir.

Anahtar kelimeler: Genelleştirilmiş involutif matris, Moore-Penrose Tersi, EP matris, Tripotent matris.

(2)

BEYKENT UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND ENGINEERING Volume 6(2) 2013, 163 - 171

AN ALGORITHM ON LINEAR

COMBINATIONS OF GENERALIZED

INVOLUTIVE MATRICES

Murat SARDUVAN (msarduvan@sakarya.edu.tr)

Sakarya University, Department of Mathematics

Nurgül KALAYCI (nrglklyc@hotmail.com)

Sakarya University, Graduate School of Sciences and Engineering, MSc Student

A B S T R A C T

Let X^ denotes the Moore-Penrose's inverse of X. In this paper, an algorithm for the situations that the expression ( c1G1 + c2G2) ^ =

c1G1 + C2G2 holds when c1, c2 G (C\{0) and G1, G2 are n X n matrices such that G1^ = G1 and G2^ = G2 is given. Moreover, some examples obtained by using this algorithm are added at the end of the study.

Keywords : Generalized involutive matrix, Moore-Penrose Inverse, EP matrix,

(3)

Genelleştirilmiş İnvolutif Matrislerin Lineer Kombinasyonu Üzerine Bir Algoritma

1. GİRİŞ

Cm,n, m X n boyutlu kompleks matrislerin kümesini göstermek üzere, K*

ve K+ sembolleri K e C n matrisinin, sırası ile, eşlenik transpozesini ve

aşağıdaki dört koşulu sağlayan ve her matris için mevcut ve tek olan Moore-Penrose tersini gösterecektir.

KK+K = K, K+KK+ = K+, (KK+)* = KK+, (K+K)* = K+K. (1) Ayrıca, CJ P ve Cj sembolleri Cn n kümesinin, sırası ile, EP ve üniter

matrislerden oluşan alt kümelerini göstermektedir. Yani,

CnP = { K £ Cn n: KK+ = K+K) ve C j = {U e Cn,n: U* = U- 1} .

I sembolü ile uygun boyutlu birim matris gösterilecektir. A = A* koşulunu sağlayan A e Cn n matrisleri Hermitian, A = A+ koşulunu

sağlayan A e Cn n matrisleri genelleştirilmiş involutif matrisler olarak

adlandırılır. Genelleştirilmiş involutif kavramı ilk olarak [1] çalışmasında verilmektedir. Bu matrisler daha önce de kullanılmış ancak farklı isimler ile ifade edilmişlerdir. Genelleştirilmiş involutif matrislerin kümesi CG ile

gösterilecektir.

Lemma 1. Bir matrisin genelleştirilmiş involutif olması için gerekli ve yeterli koşul o matrisin tripotent (A = A3) ve karesinin hermityen

((A2)* = A2) olmasıdır,[1].

İspat. A = A+ olsun. O zaman (1) koşullarının ilk ikisinin herhangi birinden A = A3 olduğu görülür. Ayrıca, (1) koşullarının son ikisinin

herhangi birinden de (A2)* = A2 olduğu görülür.

Tersine A = A3 ve (A2)* = A2 olsun. A = A3 ifadesinden A

matrisinin (1) deki, A+ olma koşullarının ilk ikisini sağladığı açıktır. Ayrıca, (A2)* = A2 ifadesinden de A+ olarak A matrisi alındığında (1)

koşullarının son ikisinin sağlandığı açıktır.

Lemma 2. Bir matrisin genelleştirilmiş involutif olması için gerekli ve yeterli koşul onun tripotent (A = A3 ) ve EP matris (AA+ = A+A)

olmasıdır, [1].

(4)

Murat SARDUVAN, Nurgül KALAYCI

Lemma 2'nin ispatı Lemma 1'e benzer şekilde yapılır. Ayrıca, yukarıdaki iki lemmadan genelleştirilmiş involutif matrisler sınıfının;

• Tripotent matrisler kümesinin alt kümesi olduğu,

• EP matrisler kümesinin alt kümesi olduğu,

• Karesi Hermitian olan matrisler sınıfının alt kümesi olduğu görülür.

Lemma 3. A e CGI\{0] ve a e C\{0} olsun. Bu durumda aA e C^1

olması için gerekli ve yeterli koşul a e { - 1 , 1 } olmasıdır.

Bu lemmanın basit bir ispatı olup örneğin, [2] ve [3] çalışmalarındaki, sırası ile, involutif ve tripotent matrisler için olan ile çok benzerdir. Aşağıdaki iki teorem [1] makalesinde bulunabilir.

Teorem 1. K e Cn,n matrisi r ranklı olsun. Bu durumda, K e olması

için gerekli ve yeterli koşul K = U(KX 0 0)U* olacak şekilde U e Cj(

matrisinin var olmasıdır. Burada K j e Cr,r bir nonsingular matristir.

Teorem 2. A e Cn,n matrisi r ranklı olsun. Bu durumda, A e C^' olması

için gerekli ve yeterli koşul A = UKU* olacak şekilde sütunları birbirine ortonormal olan U e CT

(K2 = I) var olmasıdır.

ortonormal olan U e Cn,r matrisinin ve K e Cr,r involutif matrisinin

İspat. A e C^' olsun. Bu durumda Lemma 2'den A e dir. Dolayısı ile Teorem 1 den A = U j ( K 0 0)U* olacak şekilde e C^ matrisi ve K e Cr,r nonsingular matrisi vardır. U j üniter matrisini U e Cn,r ve V e

Cn,n-r olmak üzere (U V) şeklinde parçalarsak

A = ( U V ) J ) (U V)* = (UK 0) ( £ ) = UKU* olur. Lemma 1 göz önüne alındığında A e C^' matrisi aynı zamanda tripotent olacağı için (UKU*)3 = UKU* dolayısı ile K3 = K sağlanır. K

aynı zamanda nonsingular olduğu için K2 = I elde edilir.

Tersine olarak, sütunları birbirine ortonormal olan U e Cn,r matrisi ve

K e Cr,r involutif matrisi için A = UKU* olsun. Bu durumda

A3 = UKU* UKU* UKU* = UKU* = A (2)

(5)

A2 = U K U U K U * = I (3)

olur. (2) ve (3) den, sırası ile A matrisinin tripotent ve A2 matrisinin

hermityen dolayısı ile Lemma 1'den A e Cj / olduğu görülür. Böylece

ispat tamamlanır.

ct, c2 e C\{0} ve G1, G2 e Cj;' olmak üzere; c1G1 + c2G2 lineer

kombinasyonunun ne zaman genelleştirilmiş involutif matris olacağı problemi zor bir problemdir. Buradaki zorluk, ispattaki gereklilik şartı için (c1G1 + C2G2) ^ ifadesinin [4] çalışmasında verilen matrislerin toplamının Moore-Penrose tersi formülü ile hesaplanması gereğinden kaynaklanır. [1] çalışmasında bu zorluğun üstesinden matrislerin blok matrisler şeklinde parçalanması kullanılarak gelinmiştir. Bu makalede ise onların "değişmeli G1, G2 e Cj / matrisleri için c1G1 + c2G2 lineer

kombinasyonu ne zaman genelleştirilmiş involutif matris olur" problemine verdikleri çözümü kullanarak böyle matris örnekleri bulduran bir algoritma verilmektedir. Ayrıca bu algoritmayı kullanarak elde edilebilen birkaç örnek de eklenmiştir.

2. ANA SONUÇ VE ALGORİTMA

Lemma 3 ten görülmektedir ki Gj, G2 6 C^' matrisleri için Gj matrisi G2

matrisinin skaler katı olduğunda aşağıdaki teoremde ele alınan problem trivial hale döner. Bu sebeple teoremde Gj, G2 6 C^' matrisleri birbirinin

skaler katı olmayan matrisler olarak alınmaktadır.

Teorem 3. Cj, c2 6 C\{0} ve Gj, G2 6 C^' birbirinin skalar katı olmayan

değişmeli (GjG2 = G2Gj) matrisler olsun. Bu durumda, cjGj +

c2G2 6 C^7 olması için gerekli ve yeterli koşul aşağıdakilerden herhangi

birinin sağlanmasıdır, [1]: (a) (cı,c2) e { ( 1 , - 1 ) , ( - 1 , 1 ) } ve G ^ = G ^2. (b) (cı,c2) e {(1, - 2 ) , ( - 1 , 2 ) } ve G ^ = G2. (c) (cı,c2) e {(2, - 1 ) , ( - 2 , 1 ) } ve G ^ = G2. (d) (cı,c2) e { ( 1 , 1 ) , ( - 1 , - 1 ) } ve G2G2 = - G ı G2. (e) (cı,c2) e {(1,2), ( - 1 , - 2 ) } ve G1G2 = - G2. 167

(6)

Murat SARDUVAN, Nurgül KALAYCI (f) (C1,C2) e { ( 2 , 1 ) , ( - 2 , - 1 ) } ve GıG2 = - G ? .

2

(g) c c ı .C2 ) e { ( i,D . ( | . - i ) , ( - ı . D . ( - ı,- i ) } . G2 = G

ve G1G2 Hermitiandır.

Aşağıdaki algoritma yukarıdaki teoremle alakalı olarak, elemanları; x ile y tamsayıları arasındaki tamsayılardan oluşan, değişmeli genelleştirilmiş involutif matrislerin, yukarıdaki şıklardaki katsayılar ve matris koşulları ile belirli lineer kombinasyonlarının genelleştirilmiş involutif matris olduğu durumlar ile alakalı örnekler oluşturmaktadır.

Algoritma 1.

Girdiler: G1 ve G2 matrisleri için ortak bir boyut (n) ve bu matrislerin

elemanları için (x < y ) olmak üzere bir en küçük (x) ve bir en büyük (y) tamsayı değeri.

Çıktılar: elemanları x ve y tamsayıları (dahil olmak üzere) arasındaki tam sayılar olan n boyutlu değişmeli G1, G2 e matrisler, bunların

teoremin hangi şıkkı için lineer kombinasyonlarının genelleştirilmiş involutif olduğu bilgisi.

Adım 1. Girilen x ve y tamsayılarına göre G1, G2 e Cn,n matrislerinin

oluşturulması için onların tüm elemanlarını değişken kabul edip bu değişkenlerin x'den y'ye kadar birer artacak şekilde döngüsünü kur. Sonraki adımlar, bu döngülerin içinde kalsın.

Adım 2. Bu elemanlar ile G1, G2 e (Cn,n matrislerini oluştur.

Adım 3. Oluşturulan G1, G2 e Cn,n matrisleri için tripotentlik ve karesi

Hermitian olma koşullarını kontrol et. Eğer bu koşullar sağlanıyorsa Adım 4'e git, aksi takdirde Adım 1' e gidip sonraki döngüye geç.

Adım 4. G1, G2 e Cn,n matrisleri değişmeli olma koşulunu sağlıyorsa

Adım 5'e git, aksi taktirde Adım 1'e gidip sonraki döngüye geç.

Adım 5. Eğer G2G2 = G1G | ise "Yandaki matrisler Teoremin a) şıkkı

(7)

Adım 6. Eğer G1G2 = Gf ise "Yandaki matrisler Teoremin b) şıkkı için

birer örnektir" yaz ve sonra G1, G2 6 (Cn,n matrislerini yaz.

Adım 7. Eğer G1G2 = Gf ise "Yandaki matrisler Teoremin c) şıkkı için

birer örnektir" yaz ve sonra G1, G2 6 Cn n matrislerini yaz.

Adım 8. Eğer GfGf = —G1G| ise "Yandaki matrisler Teoremin d) şıkkı

için birer örnektir" yaz ve sonra G1, G2 6 Cn n matrislerini yaz.

Adım 9. Eğer G1G2 = — Gf ise "Yandaki matrisler Teoremin e) şıkkı için

birer örnektir" yaz ve sonra G1, G2 6 (Cn,n matrislerini yaz.

Adım 10. Eğer G1G2 = — Gf ise "Yandaki matrisler Teoremin f) şıkkı

için birer örnektir" yaz ve sonra G1, G2 6 Cn,n matrislerini yaz.

Adım 11. Eğer Gf = Gf ve (G1Gf)* = G1Gf ise "Yandaki matrisler

Teoremin g) şıkkı için birer örnektir" yaz ve sonra G1, Gf 6 Cn,n

matrislerini yaz.

Örnekler. Aşağıdaki her bir şık Teorem 4'ün ifadesinde bulunan aynı ada sahip şıkka ait birer örnek olarak verilmiştir. Ayrıca, tüm şıklar için üçüncü olarak verilen G matrisinin negatif işaretlisi de genelleştirilmiş involutif matristir 0 0 1 1 —1 0 G1 — _{0 1 0 ve Gf}— _—1 ₀ _{1 için} 1 0 1 0 —1 1 —1 1 1 G = = G 1— Gf — 1 1 — 1 matrisi genelleştirilmiş 1 1 0 0 0 1 0 0 0 G1 — _{0 1 0 ve Gf}— ₀ _{1 0}_için 1 0 0 0 0 0 G — G1 — 2Gf — 0 0 1 0 — 1 0 1 0 0

matrisi genelleştirilmiş involutiftir.

(8)

Murat SARDUVAN, Nurgül KALAYCI

0 0 1 1 - 1 1

Gı = 0 1 0 ve G2 = 1 1 - 1 için

1 0 0 1 1 0

- 1 1 1

G = 2G1 - G ₂_{= - 1} 1 1 matrisi genelleştirilmiş involutiftir.

1 - 1 0

0 1 0 - 1 - 1 - ₁

Gı = 1 1 1 ve G2 = - 1 - 1 - 1 için

0 1 0 - 1 - 1 0

1 0 - 1

G = G 1 + G2 = _{0 0} _{0 matrisi genelleştirilmiş involutiftir.}

1 0 0

0 1 1 0 - 1 0

Gı = 1 0 0 ve G2 = - 1 0 0 için

1 0 0 0 0 0

0 - — 1 1

G = G 1 + 2G2 = - 1 0 0 matrisi genelleştirilmiş involutiftir.

1 0 0

0 1 1 0 - 1 - 1

Gı = 1 0 1 ve G2 = - 1 - 1 - 1 için

1 1 0 - 1 - 1 0

0 1 1

G = 2G1 + G2 = 1 - 1 1 matrisi genelleştirilmiş involutiftir.

1 1 0

3. SONUÇ

X vektörü n X İ boyutlu E) çok değişkenli normal dağılıma sahip bir rasgele değişkenler vektörü olsun. Burada E nonnegatif tanımlı ve r <

n olmak üzere r ranklı bir matristir. Bu durumda [5]'deki teorem 9.12

gereği y = x'E^x vektörü S = n ' E ^ merkezi olmayan parametreli bir Ki-kare dağılımına sahiptir. Eğer E^ = E ise bu durumda y ve S nın kuadratik formları aynıdır. Dolayısı ile bir rasgele değişkenler vektörünün varyans kovaryans matrisi genelleştirilmiş involutif ise onun için y ve S nın kuadratik formları aynı olacaktır. O halde bu çalışmadaki algoritma

(9)

yardımı ile oluşturulan G1 ; G2 ve onların lineer kombinasyonu ile

oluşturulan G matrisi için y ve S nın kuadratik formları aynı olur.

KAYNAKÇA

[1] Liu, X., Wu, L. & Benitez, J. "On linear combinations of generalized involutive matrices", Linear Multilinear Algebra 59, (11), 2011,

1221-1236.

[2] Sarduvan, M. & Özdemir, H., "On linear combinations of two tripotent, idempotent, and involutive matrices", Appl. Math. Comput., 200, 2008, 401-406.

[3] Özdemir, H., Sarduvan, M., Özban, A.Y., & Demirtaş, N., "On idempotency and tripotency of linear combinations of tripotent matrices", Appl. Math. Comput., 207, 2009, 197-201.

[4] Hung, C.H. & Markham, T.L., "The Moore-Penrose inverse of a sum of matrices", J. Austral. Math. Soc. Ser., A 24, 1977, 385-392. [5] Schott, J.R., "Matrix Analysis for Statistics", John Wiley and Sons,

Wiley-Interscience, New York, NY, 1997.