Karşılıklı değişmeli üç involutif veya üç tripotent matrisin lineer kombinasyonunun tripotentliği

KARŞILIKLI DEĞİŞMELİ ÜÇ İNVOLUTİF VEYA ÜÇ

TRİPOTENT MATRİSİN LİNEER KOMBİNASYONUNUN

TRİPOTENTLİĞİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Nurgül KALAYCI

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATİK

Enstitü Bilim Dalı : UYGULAMALI MATEMATİK

Tez Danışmanı : Yrd. Doç. Dr. Murat SARDUVAN

Aralık 2013

KAR$1LIKLI DEGi$MELi 0C iNVOLUTiF VEYA 0C

TRiPOTENT MATRiSiN LiNEER KOMBiNASYONUNUN

TRiPOTENTLiGi

YUKSEK LiSANS TEZi

NurgOI KALAYCI

Enstitii Anabilim Dab MATEMATiK

Enstitii Bilim Dab UYGULAMALI MATEMATiK

Bu tez 31 I 12 I 2013 tarihinde

a~ag1daki

jiiri tarafmdan Oybirligi ile kabul

edilmi~tir.

Yrd. ~'

Do~.

Dr.

Murat SARDUV AN

Uye

ii

TEŞEKKÜR

Tez konusu seçiminde ve bu konunun seçiminden sonra çalışmamın her safhasında

büyük bir özveri ile bana yardımcı olan, bilgi ve tecrübelerinden yararlandığım, çok

değerli hocam Yrd. Doç. Dr. Murat SARDUVAN’a teşekkürlerimi sunmayı bir borç

bilirim.

Matematik Bölümümüzdeki değerli hocalarıma özellikle, değerli tavsiye ve

yardımlarından dolayı Matematik Bölüm Başkanı Sayın Prof. Dr. Halim

ÖZDEMİR’e teşekkür ederim.

Ayrıca maddi ve manevi desteklerinden dolayı sevgili dostlarım Güler

KORULACAK, Kerem HANZADE, Seval OZAN, Melda TAĞ ve Huriye

ALDEMİR’e ve benden her zaman yardım ve desteklerini esirgemeyen canım aileme

teşekkürlerimi sunarım.

iii

İÇİNDEKİLER

TEŞEKKÜR... ii

İÇİNDEKİLER…... iii

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ... v

TABLOLAR LİSTESİ... vi

ÖZET... vii

SUMMARY... viii

BÖLÜM 1.

GİRİŞ... 1

1.1. Bazı Gösterimler... 1

1.2. Çalışmanın İçeriği... 1

BÖLÜM 2.

ÖN BİLGİLER... 4

2.1. Bazı Matris Çeşitleri... 4

2.2. Benzer Matrisler ve Köşegenleştirme………... 6

BÖLÜM 3.

DEĞİŞMELİ İNVOLUTİF VEYA DEĞİŞMELİ TRİPOTENT

MATRİSLERİN LİNEER KOMBİNASYONUNUN TRİPOTENTLİĞİ İLE

İLGİLİ LİTERATÜRDEKİ BAZI SONUÇLAR……..………... 8

3.1. İki Değişmeli İnvolutif Matrisin Lineer Kombinasyonunun

Tripotentliği……... 8

3.2. İki Değişmeli Tripotent Matrisin Lineer Kombinasyonunun

Tripotentliği……….………. 9

3.3. Üç Karşılıklı Değişmeli İnvolutif Matrisin Lineer

Kombinasyonunun Tripotentliği………….………... 10

iv

KARŞILIKLI DEĞİŞMELİ ÜÇ İNVOLUTİF VEYA ÜÇ TRİPOTENT

MATRİSİN LİNEER KOMBİNASYONUNUN

TRİPOTENTLİĞİ………... 12

4.1. Üç Karşılıklı Değişmeli İnvolutif Matrisin Lineer

Kombinasyonunun Tripotentliği... 19

4.2. Üç Karşılıklı Değişmeli Tripotent Matrisin Lineer

Kombinasyonunun Tripotentliği…... 29

BÖLÜM 5.

TARTIŞMA VE ÖNERİLER……….………... 46

KAYNAKLAR……….. 47

EKLER………... 49

ÖZGEÇMİŞ……….……….. 107

v

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ

ℝ : Reel sayılar kümesi

ℂ : Kompleks sayılar kümesi

ℂ

n

: n n × boyutlu kompleks elemanlı matrislerin kümesi

,

ℂ

m n

: m n × boyutlu kompleks elemanlı matrislerin kümesi

I

ℂ

n

: n n × boyutlu kompleks elemanlı involutif matrislerin kümesi

T

ℂ

n

: n n × boyutlu kompleks elemanlı tripotent matrislerin kümesi

EP

ℂ

n

: n n × boyutlu kompleks elemanlı EP matrislerin kümesi

U

ℂ

n

: n n × boyutlu kompleks elemanlı üniter matrislerin kümesi

, , ,

A B C … : Matrisler; A = ( a

_ij

) ∈ ℂ

_{m n,}

, , ,

x y z … : Vektörler; x = ( ) x

_i

∈ ℂ

_m,1

I : Birim matris

0 : Elemanları sıfır olan vektör veya matris

, , ,

a b c … : Skalerler

∈ : Elemanıdır

M

*

^: M matrisinin eşlenik transpozesi

( ) ^M

R : M matrisinin sütun uzayı

M

†

^: M matrisinin Moore–Penrose tersi

( ) ^.

q

M

^: M matrisinin minimal polinomu

1

⊕

2

M M : M

₁

ve M

₂

matrislerinin direkt toplamı

vi

TABLOLAR LİSTESİ

Tablo 4.1. Yalnızca Tek Bir Bloğun Görünmesi Diğerlerinin Görünmemesi

Durumu ……….. 22

Tablo 4.2. Yalnızca 2. − 7. Blokların Görünmesi Durumu…..……… 38

vii

ÖZET

Anahtar Kelimeler: Tripotent Matris, İnvolutif Matris, Lineer Kombinasyon, Eşanlı

Köşegenleştirme, Karşılıklı Değişmelilik, EP Matris, Üniter Matris

Çalışma, toplam dört ana bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde, ele alınan konu ile

ilgili literatür bilgisini içeren, bir giriş verilmektedir.

Bölüm 2’de, Bölüm 4’te elde edilen sonuçlara temel teşkil edecek olan bazı kavram

ve bazı teoremler verilmektedir. Bölüm 3’te ise bu çalışmaya esin kaynağı olan,

literatürde yapılan çalışmalarda mevcut bazı sonuçlar hatırlatılmaktadır.

Bölüm 4, bu çalışmanın asıl kısmını oluşturmaktadır. Bölüm 4’te, karşılıklı değişmeli

üç involutif matrisin lineer kombinasyonunun ne zaman tripotent olacağı

probleminin çözümü farklı bir yöntem ile elde edilmektedir. Ayrıca, bu bölümde

karşılıklı değişmeli üç tripotent matrisin lineer kombinasyonunun tripotent olması

için gerekli ve yeterli koşullar verilmektedir.

viii

ON TRIPOTENCY OF LINEAR COMBINATIONS OF THREE

INVOLUTIVE MATRICES OR THREE TRIPOTENT

MATRICES THAT MUTUALLY COMMUTE

SUMMARY

Key words: Tripotent Matrix, Involutive Matrix, Linear Combination,

Simultaneously diagonalization, Mutually Commutation, EP Matrix, Unitary Matrix

The study consists of four main chapters in totally. In the first chapter, it has been

given an introduction, which includes some literature information about the subject

considered.

In Chapter 2, some concepts and some theorems, which constitute the basis for the

results given in Chapter 4, have been given. In Chapter 3, some existing results from

the studies in the literature have been reminded. These are the inspiration for this

work.

Chapter 4 constitute the original part of this work. In Chapter 4, the solution of the

problem of when a linear combination of three involutive matrices that mutually

commute is tripotent, has been obtained by a different method. In this chapter,

necessary and sufficient conditions for the problem of when a linear combination of

three tripotent matrices that mutually commute is tripotent have been also given.

BÖLÜM 1. GİRİŞ

1.1. Bazı Gösterimler

m ve n pozitif tamsayılar olmak üzere, ℂ _,

,

ℂ

m n

_,

ℂ

n

sembolleri, sırasıyla,

kompleks sayıların, m n × boyutlu kompleks matrislerin ve n n × boyutlu kompleks

matrislerin kümelerini göstersin. Çalışma boyunca matrisler koyu ve büyük harflerle

( A gibi), vektörler koyu ve küçük harflerle ( a gibi), skalerler küçük ve italik

harflerle ( c gibi) gösterilecektir.

1.2. Çalışmanın İçeriği

1

,

2

c c sıfırdan farklı kompleks sayılar ve X X

₁

,

₂

n n × boyutlu sıfırdan farklı

kompleks matrisler olmak üzere,

1 1 2 2

c c

= +

X X X (1.1)

olsun. X

₁

ve X

₂

matrisleri idempotent, k –potent, involutif veya tripotent

olduklarında (1.1) biçimindeki X lineer kombinasyon matrisinin idempotent,

involutif veya tripotent olma durumlarından bazıları literatürde bir çok çalışmada

mevcuttur.

X

1

ve X

₂

matrisleri idempotent iken X matrisinin idempotent olduğu durum, X

₁

ve

X

2

değişmeli olduğunda [1,15] çalışmalarında, değişmeli olmadığında [1]

çalışmasında ele alınmıştır.

X

1

ve X

₂

matrislerinin değişmeli olduğu ve olmadığı durumlarda biri idempotent

diğeri tripotent iken X matrisinin idempotent olduğu durumlar [2] çalışmasında ele

alınmıştır.

X

1

ve X

₂

matrislerinden biri idempotent diğeri k –potent iken X matrisinin

idempotent olduğu durum, X

₁

ve X

₂

değişmeli olduğunda [7], olmadığında [8]

çalışmalarında ele alınmıştır.

X

1

ve X

₂

değişmeli tripotent matrisler iken X matrisinin idempotent olması konusu

[15] çalışmasında ele alınmıştır.

X

1

ve X

₂

matrisleri her ikisi involutif iken X matrisinin idempotentliği; her ikisi

idempotent, tripotent veya involutif iken X matrisinin involutifliği; X

₁

ve X

₂

matrisleri değişmeli iken [14,16] çalışmalarında, değişmeli olmadığı durumda (her

ikisinin tripotent olduğu durum hariç) ise [16] çalışmasında ele alınmıştır.

X

1

, X

₂

değişmeli matrislerinin her ikisi idempotent, tripotent ve involutif iken (1.1)

biçimli X lineer kombinasyon matrisinin tripotent olduğu durumlar, sırasıyla, [3],

[3,15] ve [14,16] çalışmalarında ele alınmıştır.

Dikkat edilirse bu çalışmalar iki özel tipli matrisin (1.1) biçimli lineer kombinasyonu

ile ilgilidir. Ayrıca, literatürde üç özel tipli matrisin lineer kombinasyonunun ele

alındığı çalışmalar da mevcuttur. Şöyle ki, c c c

₁

,

₂

,

₃

sıfırdan farklı kompleks sayılar

ve X X

₁

,

₂

, X

₃

n n × boyutlu sıfırdan farklı kompleks matrisler olmak üzere,

1 1 2 2 3 3

c c c

= + +

X X X X (1.2)

olsun. X

₁

, X

₂

ve X

₃

matrislerinin idempotent, involutif veya tripotent oldukları

durumlar için (1.2) biçimindeki X lineer kombinasyon matrisinin idempotent ve

tripotent olduğu durumlar farklı çalışmalarda incelenmiştir.

X

1

, X

₂

ve X

₃

karşılıklı değişmeli idempotent matris olduğunda (1.2) biçimindeki

X lineer kombinasyon matrisinin idempotent olması durumu [13] çalışmasında ele

alınmıştır.

X

1

, X

₂

ve X

₃

idempotent matrislerinden herhangi ikisi ayrık matris olduğunda (1.2)

biçimindeki X matrisinin idempotent olması durumu [4] çalışmasında ele alınmıştır.

X

1

, X

₂

ve X

₃

idempotent matrislerinden herhangi ikisi değişmeli olduğunda (1.2)

biçimindeki X matrisinin idempotent olması durumu [5] çalışmasında ele alınmıştır.

X

1

, X

₂

ve X

₃

karşılıklı değişmeli involutif matrisler iken ve ikisi involutif biri

tripotent iken (1.2) biçimindeki X matrisinin tripotentliği [18] çalışmasında ele

alınmıştır.

Bu çalışmada ise, [18] çalışmasında mevcut olan karşılıklı değişmeli üç involutif

matrisin (1.2) biçimindeki lineer kombinasyonunun ne zaman tripotent olacağı

sorusunun cevabı farklı bir yolla ortaya koyulmaktadır. Ayrıca, karşılıklı değişmeli

üç tripotent matrisin (1.2) biçimindeki lineer kombinasyonun tripotent olması için

gerekli ve yeterli koşullar verilmektedir.

BÖLÜM 2. ÖN BİLGİLER

Bu kısımda, çalışmanın daha sonraki bölümlerinin daha iyi anlaşılabilmesi için

gerekli bazı tanımlar verilmektedir. Ayrıca, yine, daha sonraki bölümlerde verilen

sonuçlara temel teşkil edecek gerekli bazı teoremler ispatsız olarak ifade

edilmektedir.

2.1. Bazı Matris Çeşitleri

Tanım 2.1.1. T

³

= T özelliğine sahip bir T ℂ ∈

_n

matrisine tripotent matris denir

[10]. Bu tip matrislerin sınıfı ℂ ile gösterilecektir.

^T_n

Tanım 2.1.2. P

²

= P özelliğine sahip bir P ∈ ℂ

_n

matrisine idempotent matris denir

[10].

Tanım 2.1.3. I uygun boyutlu birim matrisi göstermek üzere, A

²

= I özelliğine

sahip bir A ∈ ℂ

_n

matrisine involutif matris denir [17]. Bu tip matrislerin sınıfı ℂ

^I_n

ile gösterilecektir.

Tanım 2.1.4. Eğer M ℂ ∈

_n

matrisi, eşlenik transpozesine eşitse (yani M = M ise)

^∗

M matrisine hermityen matris denir [6].

Tanım 2.1.5. Eğer M ∈ ℂ

_n

tersinir matrisinin eşlenik transpozesi, M matrisinin

tersine eşitse (yani M

⁻¹

= M ise)

^*

M matrisine üniter matris denir [6]. Bu tip

matrislerin sınıfı ℂ ile gösterilecektir.

^U_n

Tanım 2.1.6. M ∈ ℂ

_{m n,}

matrisi için Penrose denklemleri olarak bilinen

†

=

MM M M , M MM

^{† †}

= M ,

^†

( ^MM

^†

)

^∗

^{= MM ,}

^†

( ^{M M}

^†

)

^∗

⁼ M M denklemlerini

^†

sağlayan M

^†

∈ ℂ

_{n m,}

matrisine M matrisinin Moore–Penrose tersi denir [6].

Teorem 2.1.7. m n × boyutlu her matrisin bir Moore–Penrose tersi vardır ve bu ters

tektir [10].

Tanım 2.1.8. ^R ( ) ^{A = R} ( ) ^A

^∗

(veya denk olarak A A

^†

= AA ) özelliğine sahip bir

^†

∈

n

A ℂ matrisine Range–Hermityen veya EP matris denir [10]. Bu tip matrislerin

sınıfı ℂ

^EP_n

ile gösterilecektir.

Tanım 2.1.9. Eğer A ∈ ℂ

_n

matrisi Moore–Penrose tersine eşitse (yani A = A ise)

^†

A matrisine genelleştirilmiş involutif matris denir [12].

Teorem 2.1.10. Bir A ∈ ℂ

_n

matrisinin genelleştirilmiş involutif matris olması için

gerekli ve yeterli koşul, A

³

= A (yani tripotent) ve ( ) ^A

^{2 *}

⁼ A (yani karesinin

²

hermityen) olmasıdır [12].

Teorem 2.1.11. Bir A ∈ ℂ

_n

matrisinin genelleştirilmiş involutif matris olması için

gerekli ve yeterli koşul, A ∈ ℂ

^EP_n

ve A

³

= A olmasıdır [12].

Teorem 2.1.12. A ∈ ℂ

_n

olsun. Bu durumda aşağıdakiler denktir:

i. A ∈ ℂ

^EP_n

dir.

ii. 

¹



^*

=  

 

A 0

A U U

0 0 olacak şekilde, bir U üniter matrisi ve r ranklı A

₁

∈ ℂ

_r

nonsingüler matrisi vardır [9].

2.2. Benzer Matrisler ve Köşegenleştirme

Aşağıda verilen tanım ve teoremler için, örneğin, [11] kaynağına bakılabilir.

Tanım 2.2.1. M M

₁

,

₂

∈ ℂ

_n

matrisleri verilsin. Eğer M

₂

= SM S

₁ ⁻¹

olacak şekilde bir

S tersinir matrisi varsa, M

₂

matrisi M

₁

matrisine benzerdir denir.

Tanım 2.2.2. Bir M ℂ ∈

_n

matrisine, bir köşegen matrise benzer ise

köşegenleştirilebilir matris denir.

Tanım 2.2.3. M M

₁

,

₂

∈ ℂ

_n

köşegenleştirilebilir matrisler olsun. Eğer S M S

⁻¹ ₁

ve

1 2

S M S

−

matrisleri köşegen matris olacak şekilde bir S tersinir matrisi varsa M

₁

ve

M

2

matrislerine eşanlı (birlikte) köşegenleştirilebilir matrisler denir.

Tanım 2.2.4. p t ( ) = p

₀

+ p t

₁

+ ⋯ + p t

_m ^m

polinomuna, p =

_m

1 ise monik polinom

denir.

Tanım 2.2.5. M ∈ ℂ

_n

matrisi için p ( ) A = p

₀

I

_n

+ p

₁

M + ⋯ + p

_m

M

^m

= 0 koşulunu

sağlayan en küçük dereceli monik polinoma M matrisinin minimal polinomu denir

ve q

_M

(.) ile gösterilir.

Teorem 2.2.6. Aşağıdaki koşulların her biri, M ℂ ∈

_n

matrisinin köşegenleştirilebilir

olmasının gerekli ve yeterli koşuludur:

(a) ^q

M

( ) ^t minimal polinomu farklı lineer çarpanlara sahiptir.

(b) ^q

M

( ) ^{t = 0} denkleminin her bir kökü tek katlıdır.

(c) ^q

M

( ) ^{t = 0} olacak şekildeki her bir t değeri için ^q

M

( ) ^t polinomunun türevi

sıfırdan farklıdır.

Teorem 2.2.7. M M

₁

,

₂

∈ ℂ

_n

köşegenleştirilebilir matrisler olsun. M

₁

ve M

₂

matrislerinin eşanlı köşegenleştirilebilir olması için gerekli ve yeterli koşul M

₁

ve

M

2

matrislerinin değişmeli olmasıdır.

BÖLÜM 3. DEĞİŞMELİ İNVOLUTİF VEYA DEĞİŞMELİ

TRİPOTENT MATRİSLERİN LİNEER

KOMBİNASYONUNUN TRİPOTENTLİĞİ İLE

İLGİLİ LİTERATÜRDEKİ BAZI SONUÇLAR

{ }

1

,

2

,

3

\ 0

c c c ∈ ℂ ve X X

1

,

2

, X

3

∈ ℂ

_n

\ { } 0 olmak üzere,

1 1 2 2

c c

= +

X X X , (3.1)

1 1 2 2 3 3

c c c

= + +

X X X X (3.2)

lineer kombinasyonları ele alınsın. Bu bölümde X

_i

, i = 1, 2, 3 , matrisleri involutif

veya tripotent olduklarında (3.1) veya (3.2)’deki X matrisinin tripotentliği ile ilgili

literatürde mevcut olan sonuçlar hatırlatılmaktadır.

3.1. İki Değişmeli İnvolutif Matrisin Lineer Kombinasyonunun Tripotentliği

Sarduvan ve Özdemir, X

₁

ve X

₂

değişmeli involutif matrisler iken (3.1) biçimli

lineer kombinasyonun ne zaman tripotent olacağı sorusuna aşağıdaki teorem ile

cevap vermişlerdir.

Teorem 3.1.1. c c ∈ ℂ

1

,

2

\ 0 { } , A A

₁

,

₂

∈ ℂ ,

_n^I

A

₁

≠ ± A

₂

ve A A

_{1 2}

= A A

_{2 1}

olmak

üzere T = c

₁

A

₁

+ c

₂

A

₂

olsun. T matrisinin tripotent olması için gerekli ve yeterli

koşul (

1 2

)

1 1 1 1 1 1 1 1

, , , , , , , ,

2 2 2 2 2 2 2 2

c c ∈     − −         −     −    

       

  olmasıdır [14,16].

3.2. İki Değişmeli Tripotent Matrisin Lineer Kombinasyonunun Tripotentliği

Baksalary ve diğerleri, T

₁

, T

₂

tripotent matrislerinin, birbirlerinin skaler katı olması

durumunun ancak belli skalerler için olabileceğini fark etmişlerdir. Ayrıca, T

₁

matrisi T

₂

matrisinin bahsi geçen skaler katı olması durumunda, onlarla oluşturulan

(3.1) biçimli lineer kombinasyonun ne zaman tripotent olacağı probleminin aşağıdaki

gibi basit bir hal alacağını ortaya koymuşlardır.

Lemma 3.2.1 T T

1

,

2

∈ ℂ

^T_n

\ { } 0 olsun. Bu durumda aşağıdakiler doğrudur:

(a) T

1

matrisi T

₂

matrisinin skaler katı ise, T

₁

= T

₂

ya da T

₁

= − T

₂

dir.

(b) ^{α ∈ −} { ^1,1 } olmak üzere T

₁

= α T

₂

olsun. (3.1) biçimli X lineer kombinasyon

matrisinin tripotent olması için gerekli ve yeterli koşul ( α c

1

+ c

2

) { ∈ − 1, 0,1 }

olmasıdır [3].

İspat.

(a) ^{α ∈ℂ \ 0} { } olmak üzere T

₁

= α T

₂

olsun. T

₁

ve T

₂

matrislerinin

tripotentliğinden T

1

= T

1³

= ( α T

2

)

³

= α

³

T

2³

= α

³

T

2

= α α

²

T

2

= α

²

T

1

yazılabilir. T

₁

≠ 0

olduğundan α

²

= 1 , yani T

₁

= T

₂

veya T

₁

= − T

₂

elde edilir.

(b) ^{α ∈ −} { ^{1, 1} } olmak üzere, T

₁

= α T

₂

olsun. T

₂

matrisinin sıfırdan farklı tripotent

matris olması göz önüne alınarak lineer kombinasyon matrisinin tripotentliğinden,

elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. ■

Baksalary ve diğerleri, T

₁

matrisi T

₂

matrisinin skaler katı olması durumunda

{ }

1

,

2

∈

^T_n

\

T T ℂ 0 matrislerinin lineer kombinasyonunun tripotentliği problemi

( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) { }

3 3

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2

3

1 2 1 2 2

3

1 2 1 2

1 2

0

1, 0,1

c c c c c c c c

c c c c

c c c c

c c

α α

α α

α α

α

+ − + = ⇔ + − + =

⇔ + − + =

⇔ + − + =

⇔ + ∈ −

T T T T 0 T T 0

T 0

yukarıdaki gibi basit hal alacağından, bu durumu hariç tutup, bu problem için elde

ettikleri sonucu aşağıdaki gibi ifade etmişlerdir.

Teorem 3.2.2. c c ∈ ℂ

1

,

2

\ 0 { } , T T

1

,

2

∈ ℂ

^T_n

\ { } 0 , T

₁

≠ ± T

₂

ve T T

_{1 2}

= T T

_{2 1}

olmak üzere

olsun. T matrisinin tripotent olması için gerekli ve yeterli bir koşul

aşağıdaki durumlardan birinin sağlanmasıdır:

(a) ( c c

1

,

2

) ( ∈ − { 1,1 , 1, 1 ) ( − ) } ve T T

₁² ₂

= TT

_{1 2}²

;

(b) ( c c

1

,

2

) ( ∈ − { 1, 2 , 1, 2 ) ( − ) } ve ;

(c) ve T T

₁² ₂

= T

₁

= TT

_{1 2}²

;

(d) ( c c

1

,

2

) ( ∈ − − { 1, 1 , 1,1 ) ( ) } ve T T

₁² ₂

= − TT

_{1 2}²

;

(e) ( c c

1

,

2

) ( ∈ − − { 1, 2 , 1, 2 ) ( ) } ve T T

₁² ₂

= T

₂

= − TT

_{1 2}²

;

(f) ( c c

1

,

2

) ( ∈ − − { 2, 1 , 2,1 ) ( ) } ve T T

₁² ₂

= − = − T

₁

TT

_{1 2}²

;

(g) (

1 2

)

1 1 1 1 1 1 1 1

, , , , , , , ,

2 2 2 2 2 2 2 2

c c ∈ −       −             −       −       ^ve

2 2

1 2

= − = −

1 1 2

T T T TT [3]. ■

3.3. Üç Karşılıklı Değişmeli İnvolutif Matrisin Lineer Kombinasyonunun

Tripotentliği

Her involutif matris aynı zamanda tripotenttir. Bununla birlikte her tripotent matris

involutif olmak zorunda değildir. Tripotent matris, nonsingüler olduğunda involutif

matris olur. Xu ve Xu karşılıklı değişmeli iki involutif ve bir tripotent matrisin lineer

kombinasyonunun tripotentliği problemini ele almışlardır [18]. Bununla birlikte, ele

aldıkları kombinasyonda tripotent matrisin nonsingüler olduğu ve olmadığı

durumları ayrı ayrı incelemişlerdir. Dolayısı ile, önce üç involutif (yani iki involutif

ve bir nonsingüler tripotent) matrisin lineer kombinasyonunun tripotentliği, sonra iki

involutif ve bir singüler tripotent matrisin lineer kombinasyonunun tripotentliği için

iki ayrı sonuç elde etmişlerdir. Aşağıda, yalnızca üç karşılıklı değişmeli involutif

matrisin lineer kombinasyonunun tripotentliği ile ilgili sonuç hatırlatılmaktadır.

1 1 2 2

c c

= +

T T T

2 2

1 2

=

2

=

1 2

T T T T T

( c c

1

,

2

) ( ∈ − { 2,1 , 2, 1 ) ( − ) }

Teorem 3.3.1. A A A

₁

,

₂

,

₃

∈ ℂ karşılıklı değişmeli, yani

^I_n

A A

_{j k}

= A A

_{k j}

, j ≠ k ,

, 1, 2,3

j k = , koşulunu sağlayan involutif matrisler olsun. c c c ∈ ℂ

1

,

2

,

3

\ 0 { } için T bu

matrislerin T = c

₁

A

₁

+ c

₂

A

₂

+ c

₃

A

₃

biçimindeki lineer kombinasyonu olsun. T

matrisinin tripotent olduğu tüm durumlar aşağıda listelenmiştir:

a) ( ^c

ⁱ

^{+ c}

^j

^{, c}

^k

) ^∈  ^  ^  ^{1 1} _{2 2} ^{, }   ^{, 0,1 ( )}  ^{  ve A}

ⁱ

^{= A}

^j

^{≠ ± A}

^k

^;

b) ( ^{, ,} ) ^{1, , 1 1 , 1, 1 1 , , 1 1 , , 1 , 1 , 1 ,1}

2 2 2 2 2 2 2 2

i j k

c c c ∈     −     − −     −     − −    

       

  ^ve

i j k

+

k

=

i

+

j

A A A A A A ve A

_i

≠ ± A

_j

, A

_i

≠ ± A

_k

, A

_j

≠ ± A

_k

;

c) ( ^{, ,} ) ^{1 1 , ,1 , 1 , 1 , 1}

2 2 2 2

i j k

c c c ∈         − − −    

   

  ^ve

1

+

2

+

3

+

1 2 3

= ,

1

≠ ±

2

,

1

≠ ±

3

,

2

≠ ±

3

A A A A A A 0 A A A A A A ;

d) ( ^c

ⁱ

^{− c}

^j

^{, c}

^k

) ^{∈ }  ^  ^  ^{1 1} _{2 2} ^{, }   ^{, 0,1 ( )}  ^{  ve A}

ⁱ

^{= − A}

^j

^{≠ ± A}

^k

^;

e) c

1

+ c

2

+ ∈ c

3

{ 0,1, 1 − ve } A

₁

= A

₂

= A

₃

;

f) c

i

+ c

j

− c

k

∈ { ^{0,1, 1} − ve } A

_i

= A

_j

= − A

_k

.

Buradaki tüm durumlar için, i ≠ j i , ≠ k j , ≠ k ve i j k = , , 1, 2,3 , dir [18].

BÖLÜM 4. KARŞILIKLI DEĞİŞMELİ ÜÇ İNVOLUTİF VEYA

ÜÇ TRİPOTENT MATRİSLERİN LİNEER

KOMBİNASYONUNUN TRİPOTENTLİĞİ

Bu bölüm, çalışmanın asıl kısmını oluşturmaktadır. İlk olarak, karşılıklı değişmeli üç

EP matrisin, blok matrislerin direkt toplamı olarak nasıl yazılabileceğini ortaya

koyan bir teorem verilmektedir. Ayrıca, karşılıklı değişmeli üç involutif matrisin ve

sonrasında üç tripotent matrisin lineer kombinasyonunun tripotent olduğu durumlar

karakterize edilmektedir.

Aşağıdaki teoremde ve bu çalışmanın izleyen kısımlarında kullanılacak olan “ ⊕ ”

simgesi, direkt toplamı göstermektedir. Şöyle ki,

ii

∈

ni

M ℂ , i = 1, 2, … , k _,

matrislerinin direkt toplamı, M = ( M

11

⊕ M

22

⊕ ⋯ ⊕ M

kk

) şeklinde belirtilip, bu

matris

11 22

kk

 

 

 

=  

 

 

M 0 0

0 M 0

M

0 0 M

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯

biçimindedir.

Teorem 4.1. A B C , , ∈ ℂ

^EP_n

matrisleri karşılıklı değişmeli yani, AB = BA ,

=

AC CA , BC = CB _olsun. A

_i

, B

_i

ve C

_i

, i = 1, 2,3, 4 , nonsingüler matrisler olmak

üzere aşağıdakiler denktir:

a) A = U A (

1

⊕ A

2

⊕ A

3

⊕ A

4

⊕ ⊕ ⊕ ⊕ 0 0 0 0 U )

^*

(

1 2 3 4

)

^*

= ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕

B U B B 0 0 B B 0 0 U

(

1 2 3 4

)

^*

= ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕

C U C 0 C 0 C 0 C 0 U

olacak şekilde bir U ∈ ℂ matrisi vardır.

^U_n

b) A B

_{1 1}

= B A

_{1 1}

, A B

_{2 2}

= B A

_{2 2}

, A C

_{1 1}

= C A

_{1 1}

, A C

_{3 2}

= C A

_{2 3}

, B C

_{1 1}

= C B

_{1 1}

,

3 3

=

3 3

B C C B koşulları sağlanır.

İspat. Teorem 2.1.12 düşünüldüğünde, A ∈ ℂ

^EP_n

olduğundan

( )

^*

1 1

= ⊕

A U K 0 U (4.1)

olacak şekilde U

₁

∈ ℂ

_n

üniter ve K ∈ ℂ

_r

nonsingüler matrisleri vardır. Ayrıca

1

∈

r

X ℂ olmak üzere B matrisi,

₁ ^{1 2} ₁^*

3 4

 

=  

 

X X

B U U

X X şeklinde yazılabilir.

=

AB BA koşulu kullanılırsa

^{1 2 1}

3

 

 

=  

 

   

X K 0

KX KX

X K 0

0 0 olur. K nonsingüler

matris olduğundan X

₂

= 0 , X

₃

= 0 ve

1

=

1

KX X K (4.2)

elde edilir. Böylece B matrisi

1 *

1 1

4

 

=  

 

X 0

B U U

0 X (4.3)

halini alır. Burada B bir EP matris olduğundan X

₁

ve X

₄

matrisleri de EP olur.

Dolayısıyla, Teorem 2.1.12’ den U

₂

∈ ℂ

_r

_,

3

∈

(n r−)

U ℂ üniter matrisleri ve Y

₁

∈ ℂ

_x

_,

2

∈

y

Y ℂ nonsingüler matrisleri,

_{1 2}



¹



₂^*

=  

 

Y 0

X U U

0 0 ^,

2 *

4 3 3

 

=  

 

Y 0

X U U

0 0 ^olacak

şekilde vardır. Ayrıca, K nonsingüler matrisi, L

₁

∈ ℂ

_x

_{olmak üzere,}

1 2 *

2 2

3 4

 

=  

 

L L

K U U

L L ^şeklinde yazılabilir. (4.2) koşulu kullanılırsa,

1 1 1 1 1 2

3 1

   

   = 

 

 

L Y 0 Y L Y L

L Y 0 0 0 olur. O halde Y

₁

nonsingüler olduğundan L

₂

= 0 ,

3

=

L 0 ve

1 1

=

1 1

L Y Y L (4.4)

bulunur. Böylece

₂ ¹ ₂^*

4

 

=  

 

L 0

K U U

0 L halini alır.

(4.3) ifadesindeki B matrisinin elde edilmesinde kullanılan yol ile aynı şekilde C

matrisi,

1 *

1 1

4

 

=  

 

T 0

C U U

0 T (4.5)

biçiminde yazılabilir. Burada T

₁

∈ ℂ

_r

_{olup AC = CA} eşitliğinden dolayı

1

=

1

TK KT (4.6)

bulunur. Ayrıca BC = CB olduğu kullanılarak X T

_{1 1}

= T X

_{1 1}

ve X T

_{4 4}

= T X

_{4 4}

bulunur. Diğer taraftan S

₁

∈ ℂ

_x

_,

5

∈

y

S ℂ olmak üzere,

_{1 2} ^{1 2} ₂^*

3 4

 

=  

 

S S

T U U

S S ^ve

5 6 *

4 3 3

7 8

 

=  

 

S S

T U U

S S yazılabilir. X T

_{1 1}

= T X

_{1 1}

ve X T

_{4 4}

= T X

_{4 4}

koşulları

kullanılırsa, sırasıyla,

^{1 1 1 2 1 1}

3 1

 

 

=  

 

   

S Y 0

Y S Y S

S Y 0

0 0 ^ve

5 2

2 5 2 6

7 2

 

 

=  

 

   

S Y 0

Y S Y S

S Y 0

0 0

olur. Buradan Y

₁

ve Y

₂

matrisleri nonsingüler olduklarından S

₂

= 0 , S

₃

= 0 ve

6

=

S 0 , S

₇

= 0 ,

1 1

=

1 1

YS S Y (4.7)

ve

2 5

=

5 2

Y S S Y (4.8)

elde edilir. Böylece T

₁

ve T

₄

matrisleri,

_{1 2} ¹ ₂^*

4

 

=  

 

S 0

T U U

0 S ^ve

5 *

4 3 3

8

 

=  

 

S 0

T U U

0 S halini alır. (4.6) eşitliğinden,

^{1 1 1 1}

4 4 4 4

   

   = 

   

S L 0 L S 0

0 S L 0 L S

bulunur. Buradan da

1 1

=

1 1

S L L S , (4.9)

4 4

=

4 4

S L L S (4.10)

koşulları elde edilir. Diğer taraftan M Z

₁

,

₁

∈ ℂ

_z

_,

5

∈

t

M ℂ _ve

5

∈

p

Z ℂ olmak üzere,

1 2 *

1 4 4

3 4

 

=  

 

M M

L U U

M M ^,

5 6 *

4 5 5

7 8

 

=  

 

M M

L U U

M M ^ve

1 2 *

1 4 4

3 4

 

=  

 

Z Z

Y U U

Z Z ^,

5 6 *

2 6 6

7 8

 

=  

 

Z Z

Y U U

Z Z şeklinde yazılabilirler.

Bununla birlikte (4.5) biçimli C matrisi bir EP matris olduğundan, T

₁

ve T

₄

matrisleri de EP’dir. Ayrıca

_{1 2} ¹ ₂^*

4

 

=  

 

S 0

T U U

0 S ^ve

5 *

4 3 3

8

 

=  

 

S 0

T U U

0 S

olduğundan S

₁

, S

₄

, S

₅

, S

₈

matrisleri de birer EP matris olur. Bununla birlikte

Teorem 2.1.12 göz önüne alınırsa,

_{1 4}



¹



₄^*

=  

 

C 0

S U U

0 0 ^,

2 *

4 5 5

 

=  

 

C 0

S U U

0 0 ^,

3 *

6 6 6

 

=  

 

C 0

S U U

0 0 ^ve

4 *

8 7 7

 

=  

 

C 0

S U U

0 0 yazılabilir. Burada C

₁

∈ ℂ

_z

_,

2

∈

t

C ℂ _,

3

∈

p

C ℂ ve C

₄

∈ ℂ

_s

nonsingüler matrisler, U

₄

, U

₅

, U

₆

ve U

₇

uygun boyutlu

üniter matrislerdir.

(4.10) eşitliğinde matrisler yerlerine konulduğunda

^{2 5 2 6 5 2}

7 2

 

 

=  

 

   

M C 0

C M C M

M C 0

0 0

olur. Ayrıca, C

₂

matrisi nonsigüler olduğundan M

₆

= 0 , M

₇

= 0 ve

2 5

=

5 2

C M M C (4.11)

elde edilir. Böylece L

₄

matrisi,

_{4 5} ⁵ ₅^*

8

 

=  

 

M 0

L U U

0 M halini alır.

S

1

ve L

₁

matrisleri, (4.9) eşitliğinde yerlerine konulduğunda

1 1

1 1 1 2

3 1

 

 

=  

 

   

M C 0

C M C M

M C 0

0 0 olur. Ayrıca, C

₁

matrisi nonsingüler olduğundan

2

=

M 0 , M

₃

= 0 ve

1 1

=

1 1

C M M C (4.12)

elde edilir. Böylece L

₁

matrisi

_{1 4} ¹ ₄^*

4

 

=  

 

M 0

L U U

0 M halini alır.

Y

2

ve S

₅

matrisleri (4.8) eşitliğinde yerlerine konulduğunda

5 3 3 5 3 6

7 3

   

   = 

 

 

Z C 0 C Z C Z

Z C 0 0 0 olur. Ayrıca, C

₃

nonsingüler matris olduğundan

6

=

Z 0 , Z

₇

= 0 ve

3 5

=

5 3

C Z Z C (4.13)

elde edilir. Böylece Y

₂

matrisi,

_{2 6} ⁵ ₆^*

8

 

=  

 

Z 0

Y U U

0 Z halini alır.

Y

1

ve S

₁

matrisleri (4.7) eşitliğinde yerlerine konulursa

^{1 1 1 1 1 2}

3 1

   

   = 

 

 

Z C 0 C Z C Z

Z C 0 0 0

olur. Ayrıca, C

₁

nonsingüler matris olduğundan Z

₂

= 0 , Z

₃

= 0 ve

1 1

=

1 1

C Z Z C (4.14)

elde edilir. Böylece Y

₁

matrisi,

_{1 4} ¹ ₄^*

4

 

=  

 

Z 0

Y U U

0 Z halini alır.

L

1

ve Y

₁

matrisleri (4.4) eşitliğinde yerlerine yazılırsa,

1 1 1 1

4 4 4 4

   

   = 

   

M Z 0 Z M 0

0 M Z 0 Z M olur. Buradan da,

1 1

=

1 1

M Z Z M (4.15)

4 4

=

4 4

M Z Z M (4.16)

koşulları elde edilir.

M

1

, M

₄

, M

₅

, M

₈

matrislerinin yerlerine, sırasıyla, A

₁

, A

₂

, A

₃

, A

₄

matrisleri ve

Z

1

, Z

₄

, Z

₅

, Z

₈

matrislerinin yerlerine, sırasıyla, B

₁

, B

₂

, B

₃

, B

₄

matrisleri

alınarak, gerekli matrisler (4.1), (4.3), (4.5) ifadelerinde yerlerine yazılırsa A , B , C

matrislerinin, teoremin a) şıkkında belirtilen şekilde olduğu görülür.

Yukarıdaki yerine yazma işlemleri yapıldıktan sonra (4.11) – (4.16) koşulları tekrar

yazıldığında; (4.11) ifadesi C A

_{2 3}

= A C

_{3 2}

şekline; (4.12) ifadesi C A

_{1 1}

= A C

_{1 1}

şekline; (4.13) ifadesi C B

_{3 3}

= B C

_{3 3}

şekline; (4.14) ifadesi C B

_{1 1}

= B C

_{1 1}

şekline;

(4.15) ifadesi A B

_{1 1}

= B A

_{1 1}

şekline; (4.16) ifadesi ise A B

_{2 2}

= B A

_{2 2}

şekline gelir. Bu

ise teoremin b) şıkkının ispatlar.