Değişmeli tripotent matrislerin lineer bileşimlerinin ayrık idempotent ayrışımı

!"#$%!&#'()#*+(!,('%-()#.&!)#,'&#,!!)'

/#&!$#%&!)#,#,'-0)12'# !%*+(!,('-0)1$1%1

$&" *"%.( !' %+*0(

!345'2#$#

*123435%!1674849%:68; : /!+*/!+("

+<=%:61;>961; : Prof. Dr. ?6849%@0:*/(#

!A68;B 2011

iii

ÖNSÖZ ... ii

! "#$% &$'( ...iii

) *+$&$'(,$(%-).&/*.&.'(& )/$) ... v

ÖZET ... vi

SUMMARY ... vii

BÖLÜM 1. + ' 0 ... .1

BÖLÜM 2. TEMEL KAVRAMLAR... 5

2.1. *1234546('16789( :49(/;354(<;(#;2;3=461628 ... 5

2.2. >:?;@;39(>:<;72A39 <;(%AB;C;6D;B243=; ... 8

BÖLÜM 3. #$*EF/$"/(,$(/' EF/$"/(*./' )&$' ... 11

3.1. ?;=GH2;62 Matrisler ... 11

3.2. Tripotent Matrisler ... 20

iv

J &$0 *(( ! " .K'-%( #$*EF/$"/(.K'-0-* ... 24

LMNM+434B... 24

4.2. 74(#;@4B=;D4(/34GH2;62(*12345(<e !13G8=lar86?16($D?;($?4D;6(Lineer J4D;B4=46(.O387( ?;=GH2;62(.O38B8=8... 25

BÖLÜM 5. )F"&P().K-#.(#$I 0*$& (/' EF/$"/(*./' )TEN $&#$($# &$"( & "$$'(J &$0 *( ! "(.K'-%( #$*EF/$"/(.K'-0-* ... 33

5.1.+434B ... 33

5.2. )H6DQ()1O8?1(#;@4B=;D4(/34GH2;62(*12345 ve !13G8=lar86?16($D?; Edilen Lineer BiD;B4=46 .O387( ?;=GH2;62(.O38B8=8... 34

5.3. .O387( ?;=GH2;62(.O38B8=8($D?;($2=;7( R46(J43(.DCH342=1 ... 54

5.3.1 J_i Matrislerinin ve r_i Skalerlerinin Belirlenmesi ... 55

5.3.2 Algoritma ... 58

5.4.)1O851D(>36;7D;3 ... 59

BÖLÜM 6. /.'/-0*.(,$(>"$' &$'( ... 65

KAYNAKLAR ... 67

EKLER ... 72

>S+$!* 0( ... 96

v

!"#$%$&'($')* +%,"+%+&'%! ,$ !

: Genel bir cisim

m : m boyutlu reel !"#$!% cisim : Toplam sembolü

! : &$'(!)#*#%

" +,&$'(!)#,*'-.$*.%

0 +,/#0#%,(!1%. .

I : Birim matris

A, B, C vs : Matrisler

M^#1 : M matrisinin tersi M# : M matrisinin grup tersi

MT : M matrisinin transpozesi

Mk : M matrisinin k. kuvveti

( )

rk M : M (!1%. .).),%!)2#,,

( )

iz M : M matrisinin izi

det(M) : M matrisinin *'1'%(.)!)1#

vi

Anah !"# $%&'(%&%")# *+%(,- %. # (! "'/0# '.1-&2 '3# (! "'/0# tripotent matris, lineer bi&%4'(, !5"67#'+%(,- %. #!5"646(.

*&7# 89&:(+%# (! "'/&%"# 1%# 8!;6# 9;%&# ',&'# (! "'/&%"&%# '&<'&'# 76/!# 8'"# &' %"! :"# 8'&<'/'#

verilmektedir.. *7'.='# 89&:(+%# 8!;6# %(%&# kavram ve özellikler verilmektedir.

Üçüncü bölümde idempotent ve tripotent matrislerin !.6(&!"6# 1%"'&', özellikleri

!5"6. 6&6# -&!"!7# '.=%&%.(%7 %+'"># ?2# @!&64(!5!# '&A!(# 7!5.!B6# -&!.# &' %"! :"+%7'# 8'"#

@!&64(!#+9"+:.=:#89&:(+%#'.=%&%.(%7 %+'".

?%4'.='# 89&:mde, A₁,...,A_n m m mertebeli 7!"46&67&6# -&!"!7# +%B'4(%&' tripotent matrisler olmak üzere

2 1 2 2 2 2

0 1 2 11 12 21 22

1 1 2

( ) ( ),

n n n

i i jk jk jk jk

i i j k j k j k j k

i j k

j k

M a I a A a A b A A b A A b A A b A A

!

" " "

#

" $

%

% %

lineer bi&%4'('#'@'.#8'"# 3ⁿ %"'(&'#!5"67#'+%(,- %. #!5"646( -&+2B2#<9/ %"'&(%7 % ve 82#!5"67#'+%(,- %. #!5"646(6#%&+%#% (%7#'@'. bir algoritma verilmektedir. Son bölüm '/%# !" 64(!#1%#9.%"'&%"+%.#-&24(!7 !+6">

vii

MATRICES

SUMMARY

Key Words: Idempotent matrix, involutive matrix, tripotent matrix, linear combination, disjoint idempotent decomposition.

It has been given a short literature information about matrices and some special type matrices in the first chapter. Some fundamental concepts and properties have been given in the second chapter. Definitions of idempotent and tripotent matrices whether to give, properties of them have been discussed in detail in the chapter three. A study from literature, which is a source of inspiration for his work, has been examined in the fourth chapter.

It has been shown that there is a 3ⁿ-term disjoint idempotent decomposition for the linear combination

2 1 2 2 2 2

0 1 2 11 12 21 22

1 1 2

( ) ( ),

n n n

i i jk jk jk jk

i i j k j k j k j k

i j k

j k

M a I a A a A b A A b A A b A A b A A

! ! !

"

! #

$

$ $

where A₁,...,A_n are mutually commutative tripotent matrices of order m m% and it has been given an algorithm for getting this disjoint idempotent decomposition in the chapter five. The last chapter consists of discussion and proposals.

Lineer denklem sistemlerinin çözümü oldukça eskiye, M.Ö.3 !"#$$%&#'%!(%)%&!*+),&-!

Bu denklem sistemlerini ilk çözen Babillilerdir. Lineer denklem sistemlerinin çözümü, Çin h%',)%'! (+.%/$%&#')%'! Chiu Chang Suan Shu 01%.,2%.+(! 3%'%.#nda Dokuz Bölüm) ad#')%(+! 4,! 1-5-6 ! "#$$%&#'% %+.! 7$%'! "%/#..%! ",&! %$2%(.%)#& [37].

Burada ilginç olan nokta, Çinliler bu denklem sistemlerini Babillilerden ve 89'%'$#$%&)%' daha kolay ve mekanik bir yolla çözerler. :9$$%')#($%&#!";'.,2 bugün

<7(!+"+!=+$)+>+2+?!2%.&+@!=$7($%&#)#&-!5&',>+'A!=9*B'(B!)+$$,

2 3 26

2 3 34

3 2 39

x y z

x y z

x y z

! ! !

Ceklinde, ,C!?%2%'$#!7$%&%( @%>$%'%'!$+',,&!),'($,2ler sistemini,

1 2 3

2 3 2

3 1 1

26 34 39

biçiminde =$7($%&$%! "%?%&$%&)#-! D')%'! @7'&%! E%9@@! +')+&*,2,! "%! )%! "7(! ,.2,!

";'.,2+!),)+>+2+?!"7$9'!%"'#@#'#!(9$$%'%&%( ),'($,2+!(7$%"F%!<;?,&$,&)+-!G;"$,!(+A

1 2 3 1 6 3 1 3 3 1 0 3 0 0 3

2 3 2 2 9 2 2 7 2 2 5 2 0 5 2

3 1 1 3 3 1 3 2 1 3 1 1 36 1 1

26 34 39 26 102 39 26 63 39 26 24 39 99 24 39

" # " # " # " # " #

$ % $ % $ % $ % $ %

$ % $ % $ % $ % $ %

$ % $ % $ % $ % $ %

$ % $ % $ % $ % $ %

& ' & ' & ' & ' & '

olup, buradan 36z!99, 5y !z 24, 3x 2y !z 39 denklemleri elde edilir ve buradan da x, y ve z kolayca bulunurdu.

H+'I!),!2%.&+@!=$7($%&#"$%!/&7=$,2!<;?B2$,&+

1%.&+@! =$7($%&#'#! (9$$%'2%)%'! ),'($,2! @+@.,2$,&+'+! <;?,'! 4,! H+'$+$,&),'! =%>#2@#?!

=+&!"7$!+?$,",'!J%/7'$%&#'!=B"B(!2%.,2%.+(<+@+!3,(+!:74%A!6KLM!"#$#')%!"%?)#>#!“Kai Fukudai No Ho” (Determinant ile N&7=$,2! H;?2,! 8;'.,2$,&+O! %)$#! (+.%=#')%!

),.,&2+'%'.$%&#! (9$$%'%&%(! ),'($,2! @+@.,2$,&+'+! <;?2BC.B&-! D"@%! ),.,&2+'%'.$%&#'!

P4&9/%I!)%!.%'#.#$2%@#!6KQM!"#$#')%!P$2%'!2%.,2%.+(<+!R,+='+?!.%&%S#')%'!"%/#$2#C!

ve determinant kullanarak denklem çözümü ise, ilk olarak 1750'de Gabriel Cramer .%&%S#')%'!*;@.,&+$2+C.+&.

Matris teorisinin b%.#! P4&9/%T)%ki geliC+2+'),! )%U%! <7(! ),.,&2+'%'.! (%4&%2#'a önem verilmekteydi. Determinantt%'! =%>#2@#?! 7$%&%(! 2%.&+@! 2%.,2%.+>+'+'!

*,$+C.+&+$2,@+!6LVL’ de Arthur W%"$,"!.%&%S#')%'!“Memoir on the theory of matrices”

01%.&+@! .,7&+@+! U%((#')%! =+&! '7.O %)#')%ki ,@,&$,! =%C$%2#C.#&-! Matris terimi, isim olarak ilk defa J.J. Syvester %)$#! X'*+$+?! 2%.,2%.+(<+@+! .%&%S#')%'! (9$$%'#$2#C.#&-! Y9!

2%.,2%.+(<+! ),.,&2+'%'.$%&#! %<#/! sa"#@%$! ),>,&$,&+'+! =9$2%(! +<+'! @B.9'! 4,! @%.#&$%&#!

silip, gittikçe daha küçük determinantlar (minor) elde ederek sonuca 9$%C2#C.#&.

Sanki bir “ana” determinantt%'! *+..+(<,! (B<B$,'! Z<7F9(Z! ),.,&2+'%'.$%&#'!

=9$9'2%@#')%'! +$U%2! %$%&%(, simdi matris 7$%&%(! %)$%')#&)#>#2#?! (%4&%2%, Latince kökten mater 0%'',O!@;?FB>B'),'!<#(%&)#>#!matrix %)#'#!4,&2+C.+& [12].

O günden bu güne matrisler, =%C.%! 2%.,2%.+(! 7$2%(! B?,&,A gerek fen gerek sosyal

=+&<7(! =+$+2! )%$# ve a&%C.#&2%! %$%'#')%! (9$$%'#$2#C! 4,! U%$%! )%! (9$$%'#$2%(.%)#&.

Bunlara örnek olarak, oyun teorisi [13], kuaterniyonlar teorisi [42], kriptoloji [38], bilgisayar grafikleri [1], grafik teorisi [15, 33], analiz [26, 30], diferansiyel denklemler [14], S+?+(.,(+!@+2,.&+!4,!);'BCB2$,& [9, 23], kuantum dur92$%&#'!$+',,&!

=+$,C+2leri [8, 36, 43], geometrik optik [19], ekonomi [17]A!@%"#$%&!.,7&+@+![11], fizik [44] ve istatistik [16, 20, 27, 29] verilebilir.

Y%?#! ;?,$! .+/$+! 2%.&+@$,& ise özellikleri itibariyle 9"*9$%2%$#! =+$+2$,&! 4, matris .,7&+@+'),! %"&#F%! =+&! ;',2,! @%U+/.+&$,&-! 5&',>+'! .&+/7.,'., idempotent ve involutif matrisler ve bu matrislerin lineer =+$,C+2leri birçok alanda (9$$%'#C$#!7$9/A!$+.,&%.B&),!

"7>9'!=+&!C,(+$),!<%$#C#$2%(.%)#& [2-7, 10, 18, 24, 28, 31, 32, 35, 39, 40].

X),2/7.,'.!ve tripotent matrisli kuadratik formlar istatistik teorisinde önemli bir yere

@%U+/.+&-! G;"$,! (+A A bir m m( boyutlu reel simetrik matris ve x <7(! ),>+C(,'$+!

'7&2%$! )%>#$#2%! @%U+/!m (1 boyutlu bir reel vektör olmak üzere, x^TAx kuadratik formunun bir ki-(%&,! )%>#$#2#'%! @%U+/! 7$2%@#'#' veya +(+! =%>#2@#?! (+-kare )%>#$#2#'#'!S%&(#!7$%&%(!"%?#$2%@#'#' gerekli ve yeterli (7C9$9 @#&%@#"$%, A matrisinin idempotent veya tripotent 7$2%@#)#&![6K].

Y9!<%$#C2%da, iki ),>+C2,$+!.&+/7.,'.!2%.&+@+' lineer =+$,C+2i için [39]’ da elde edilen sonuçlar herhangi @7'$9! @%"#)%ki ),>+C2,$+! .&+/7.,'.! 2%.&+@+'! $+',,&! =+$,C+2i için

*,',$$,C.+&+$2+C.+&-! P"&#F%, [39]’ da ,$,! %$#'%'! $+'eer =+$,C+2+'! .&+/7.,'.$+>+A!

+),2/7.,'.$+>+, .,&@+'+&$+>+! 4,! *&9/! .,&@+'+&$+>+ gibi =%?# sonuçlar *,',$$,C.+&+$2+C ve ,@%@!@7'9<$%&#!,$),!,.2,(!%)#'%!=+&!%$*7&+.2%!4,&+$2+C.+&-

Bu <%$#C2%)%! ,$),! ,)+$,'! @7'9<$%&! @%),F,! F,=+&@,$! %<#)%'! ),>+$! %"'#! ?%2%')%!

istatiksel %<#)%'!)%!;',2$+)+&- A₁,...,A_n m m( boyutlu simetrik tripotent matrisler ve x <7(!),>+C(,'$+!'7&2%$!)%>#$#2%!@%U+/!m (1 boyutlu bir reel vektör ise,

1 ,...,

T T

A An

x x x x, (1.1)

(9%)&%.+(! S7&2$%&#'#'! U,&! =+&nini, +(+! =%>#2@#?! (+-(%&,! )%>#$#2#'#'! S%&(#! 7$%&%(!

"%?#$%=+$)+>+ 49&*9$%'2#C.#. Y9! <%$#C2%)%! ,$),! ,)+$,' =%?# sonuçlar ise, (1.1)’ deki ku%)&%.+(! S7&2$%&#'! $+',,&! =+$,C+2lerinin ne zaman bir ki-(%&,! )%>#$#2#'%! @%U+/!

7$)9>9!4,"% +(+!=%>#2@#?!(+-(%&,!)%>#$#2#'#'!S%&(#!7$%&%(! "%?#$%=+$)+>+!/&7=$,2+!+$,!

+$+C(+$+dir.

BÖLÜM 2. TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde, sonraki bölümlerde !""#$%"#&# '("#$ )#*% temel kavramlar +,'-./#0.%*' ("#1# ' )#*%' özellikler, cismi üzerinde, verilmektedir. Bu bölümün dahil ,2-"3,.-$-$'#3#&%'!45!"#3#'#6#3#.%$2#')707$"7 '.#8"#n3#.%2%19

2.1. Bir Matrisin !"#$%&'()% Tersi *+&,+-+./)"!"-$

0!"$/&123.1. A, m n boyutlu bir matris olsun. A matrisinin a¹, ,..., a² aⁿ .70!$"#1%

0#1#:%$2#$' 71,0-",$ ;' $-$' #"0' !*#4%$#' A;' $%$' ' sütu$' !*#4%' 2,$-19' Sütu$' !*#4%$%$'^m boyutuna A;'$%$''sütu$'1#$ %'2,$-1 [41].

0!"$/& 123212 A, m n boyutlu bir matris olsun. A matrisinin a a₁, ,..., ₂ a_m .#0%1"#1%' 0#1#:%$2#$' 71,0-",$' ;' $-$' #"0' !*#4%$#' A;' $%$' ' .#0%1' !*#4%' 2,$-19' <#0%1 !*#4%$%$'ⁿ boyutuna A;'$%$''.#0%1'1#$ %'2,$-1 [41].

0!"$/& 123242 Bir A 3#01-.-$-$' .#0%1' -$2-15,$3-6' ,6,"($' biçimindeki .%:%12#$' :#1 "%' .#0%1"#1%$%$'.#4%.%$#'A;'$%$''1#$ %'2,$-1'+,'rk A ile gösterilir [41].( )

Teorem 2.1.4. A bir matris ve C matrisi A;'$%$''.#0%1'-$2-15,$3-6',6,"($'biçimi olsun.

A matrisinin .#0%1'!*#4%'-",'C;'$-$'.#0%1'!*#4%'#4$%2%1'[41].

Teorem 2.1.5. A bir matris olsun. A;'$%$''.#0%1'1#$ %='.70!$'1#$ %'+,'1#$ %',6-00-1'[41].

0!"$/& 121.6. A bir n n boyutlu matris olmak üzere, >6,5,$' ,"#3#$"#1%$%$' 0(/"#3%$#'A matrisinin izi denir ve iz A ile gösterilir. Yani,( )

1

( ) ⁿ _ii

i

iz A a

!

!

"

dir [9].

0!"$/&121.7. A )-1' #1,'3#01-.'(".!$9'?8,1'AB!BA!I olacak biçimde bir B matrisi varsa A’ ya tersinir (tekil olmayan) matris denir. B matrisine de A;'$%$''0,1.-'2,$-1'+,' B! A^#1 -",'5>.0,1-"-19'?8,1'A;'$%$')-1'0,1.-'4( .# A matrisine tersinir olmayan (tekil) matris denir [41].

Teorem 2.1.8. ?8,1')-1'A kare matrisi tersinir ise tersi tektir [41].

0!"$/&1.1.9. A bir kare matris olsun. X uygun boyutlu bir matris olmak üzere, ,8,1'X matrisi

a) AXA! A b) XAX !X c) AX !XA

,6-0"- ",1-$-''.#8"%4(1'-.,'X matrisine A matrisinin grup tersi denir ve A ile gösterilir ^# [22].

Teorem 2.1.10. A bir kare matris olmak üzere a) A tersinir bir matris ise A^#1 !A^#,

b)

$ %

c) (A^T)^# !(A^#)^T_,

d) her pozitif k 0#3.#4%.%'-@-$'(A^k)^# !(A^#)^k 2%1'ABB].

0!"$/&121.11. A bir n n boyutlu matris olmak üzere A;'$%$'2,0,13-$#$0%

a) n=1 için det( )A !a₁₁

b) n=2 için det( )A !a a_{11 22}#a a_{12 21}

1

11 11 12 12 1 1

1

1 1

1

c) 2 için det( ) det det ( 1) det

( 1) det

n

n n

n

i

i i

i

n A a A a A a A

a A

&

&

!

' ! # & & #

!

"

!

ile verilir [41].

Teorem 2.1.12. A bir n n boyutlu matris olmak üzere, ,8,1 A üst üçgensel, alt 7@5,$.,"'+,4#' >6,5,$'3#01-.'-.,'det( )A !a a_{11 22}!a_nn ^{dir [41].}

Sonuç 2.1.13. I birim matris olmak üzere det( ) 1I ! dir.

Teorem 2.1.14. A ve B kare matrisler olmak üzere det(AB) det( ) det( )! A B dir [41].

Sonuç 2.1.15. A tersinir bir matris olmak üzere 1 ₁ det( )

det( ) A ! A^# dir.

2.2. 5(6+7+.%&Özvektör *+&89:+;+"<+:-)./+

0!"$/&122.1. A ve B n n boyutlu matrisler olsun. E8,1'B!P AP^#1 olacak biçimde bir P tersinir matrisi var ise, B matrisine, A matrisine benzerdir denir [41].

0!"$/& 122.2. A bir n n )(4!0"!' 3#01-.' ("3# ' 7*,1,' .%:%12#$' :#1 "%' )-1' x ( ⁿ vektörü için Ax!)x ,6-0"-8-$-'.#8"#4#$') skalerine A matrisinin bir öz2,8,1-'ve x vektörüne de ) öz2,8,1ine ka16%"% '5,",$ bir özvektör denir [41].

Teorem 2.2.3. A bir n n boyutlu matris ve I #4$%')(4!0"!')-1-3'3#01-.'(".!$9'Bu durumda,

a) A matrisinin öz2,8,1",1-, det(A#)I) 0! denklemini .#8"#4#$') skalerleridir.

b) A matrisinin )₀ öz2,8,1-$,' #16%"% ' 5,",$ bir x özvektörü, (A#)₀I)x 0! homojen lineer denklem sistemi$-$' #6- C1' ("3#4#$ D.%:%12#$' :#1 "%E bir çözümüdür [41].

0!"$/& 122.4. )₀, bir A kare matrisinin öz2,8,1-' ("3# ' 7*,1,, (A#)₀I)x 0! homojen lineer denklem sisteminin tüm çözümlerinin kümesine )₀ >*2,8,1-$-$' >*

!*#4%'2,$-1'[41].

Teorem 2.2.5. Üst üçgensel, alt üçgens,"' +,4#' >6,5,$' )-1' 3#01-.-$' >*2,8,1",1-' -", >6,5,$',",3#$"#1%'>*2,60-1='4#$-'#4$%2%1 [41].

0!"$/& 122.6. ?8,1' )-1' A #1,' 3#01-.-' >6,5,$' )-1' 3#01-.,' ),$*,1' -.,, A matrisine >6,5,$",60-1-",)-"-1'2,$-1'[41].

Teorem 2.2.7. A bir n n boyutlu matris olsun. A matrisinin >6,5,$",60-1-",)-"-1' ("3#.%$%$' 5,1, li ve yeterli (6!"! A matrisinin tam olarak n tane lineer )#8%3.%*' özvektöre .#F-/'("3#.%2%1 [41].

Teorem 2.2.8. A bir n n )(4!0"!' 3#01-.' (".!$9' ?8,1' A matrisinin n tane :#1 "%

öz2,8,1-'+#1'-.,, A >6,5,$",60-1-",)-"-12-1'[41].

0!"$/&122.9. Bir A kare matrisine, transpozesine ,6-0'-., simetriktir denir [41].

Teorem 2.2.10. A bir simetrik matris olmak üzere, x₁ ve x₂ +, 0>1",1-' .%1#.%4"# A matrisinin :#1 "% )₁ ve )₂ öz2,8,1",1-$,' #16%"% ' 5,",$' >*+, 0>1",1i olsun. Bu durumda x₁ ve x₂ vektörleri ortogonaldir [41].

0!"$/& 122.11. P bir n n boyutlu matris olsun9' ?8,1' PP^T !I ise P matrisine bir ortogonal matris denir [41].

Teorem 2.2.12. P bir n n boyutlu matris olsun. P matrisinin (10(5($#"' ("3#.%$%$' gerekli ve yeterli (6!"! P matrisinin .70!$"#1%' ("#$ { , ,..., }p p^{1 2} pⁿ kümesinin bir (10($(13#"' 73,'("3#.%2%1 [41].

0!"$/& 122.13. A )-1' #1,' 3#01-.' ("3# ' 7*,1,' ,8,1' A 3#01-.-$-' >6,5,$",60-1,$' ortogonal bir P matrisi varsa A 3#01-.-$,'(10(5($#"'("#1# ' >6,5,$",60-1-",)-"-1'2,$-1' [41].

Teorem 2.2.14. A bir simetrik matris olsun. Bu durumda P AP matrisi >6,5,$'bir ^T 3#01-.'("#&# '6, -"2,'bir ortogonal P 3#01-.-'+#12%1 [41].

T!"$/ 2.2.15 A ve B matrisleri uygun boyutlu matrisler olmak üzere, A ve B matrislerine AB!BA -.,' 2,8-63,"- matrisler ve AB!BA!0 -.,' #41% matrisler denir.

T!"$/ 2.2.16. A ve B 3#01-.",1-' >6,5,$",60-1-",)-"-1' (".!$9' ?8,1 bir tek tersinir P matrisi için P AP^#1 ve P BP^#1 >6,5,$' ("!4(1.#, A ve B 3#01-.",1-$,' ,6' *#3#$"%

>6,5,$",60-1-",)-"-1 matrisler denir [21].

Teorem 2.2.17. A ve B 3#01-.",1-' >6,5,$",60-1-",)-"-1' (".!$9' Bu matrislerin ,6'

*#3#$"%' >6,5,$",60-1-",)-"-1'("3#.%$%$'5,1, li ve yeterli (6!"! A ve B matrislerinin 2,8-63,"-'("3#.%2%1'ABG].

!"#$%&'%()*$+,-*.-%/*%-0(+,-*.-%$1-0(2"*0

Bu bölümde idempotent ve tripotent matrisler ile !"#$%!& '#(%& )(*""+,"*$+

verilmektedir. -(*""+,"*$+!& '#(%"#$%!%!& +./#0"#$%& 1*$+"2*,0*3+$4& 5+$& ,%.2%!%!& +./#0%&

, "#6& "3787!3#!& 1*& '+$& ,%.2%!%!& +./#0%& +.*9& :#;2+!& <*!+="*2*2*.+& #3%!#, verilmemektedir.

&'3'%(4567895:9%$;9<=>?5<

-;:@6%&'3'3'%A bir kare matris olmak üzere, A A² ise A matrisine idempotent denir [16].

Teorem 3.1.2. A bir n n! ' 670"7& +3*2/ 0*!0& 2#0$+.& ".7!4& >8*$& rk A( ) n ise A I 3%$&[16].

(>7;9'% A 2#0$+.+& 0#2& $#!,"%& "3787!3#!& 0*$.+& 1#$3%$4& A² A *=+0"+8+ soldan A^"1 ile çarp%"%$.# A I elde edilir.

Teorem 3.1.3. A bir idempotent matris olsun. Bu durumda rk A( ) iz A( ) 3%$&?@AB4

Teorem 3.1.4. A bir n n! boyutlu matris ve rk A( ) p olsun. Bu durumda

#=#8%3#,+"*$&3 8$737$4

a) A idempotent ise A matrisinin p 0#!*& .%C%$3#!& C#$,"%& )(3*8*$+& 1#$3%$& 1*& '7!"#$%!&

:*/.+&@D&*&*=+00+$4

b) A simetrik bir matris olmak üzere A matrisinin +3*2/ 0*!0& "2#.%!%!& <*$*,li ve yeterli , =7"7& A matrisinin p 0#!*& .%C%$3#!& C#$,"%& )(3*8*$+!+!& 2*1;70& "2#.% ve '7!"#$%!&:*/.+!+!&@D*&*=+0& "2#.%3%$&?@AB.

(>7;9'%E",&)!;*&#)’ 6% +./#0"#6#"%24& ,# A matrisinin bir öz3*8*$+& ".7!4 Bu durumda, Ax #x "#;#,& =*,+"3*& .%C%$3#!& C#$,"%& '+$& x 1*,0)$F& 1#$3%$4& >=+0"+k soldan A ile G#$/%"%$.#

2 2

( ) ( ) ( )

A Ax A x # Ax # #x # x

*"3*&*3+"+$4&H6$%;#&A +3*2/ 0*!0& "3787!3#!

2 2

A A

# x x x #x

ve buradan da

( 1)

# #" x 0

elde edilir. Böylece x 1*,0)$F& .%C%$3#!& C#$,"%& "3787!3#!&# 1 veya # 0 "2#.%&

<*$*,0+8+&<)$F"F$4&I "#6%.%6"#&'+$&+3*2/ 0*!0&2#0$+.+!&)(3*8*$"*$+&1’ e veya 0’ a *=+0&

"2#"%3%$4&H6$%;#&A’ !%! p $#!,"%&2#0$+.& "2#.%&kabulünden ve Teorem 3.1.3’ ten

( ) ( ) _i rk A iz A

$

olur. Böylece A’ !%n tam olarak p tane .%C%$3#!&C#$,"%&)(3*8*$+& "3787&1*&'7!"#$%! da

@D*&*=+0& "3787&<)$F"F$4&

J+23+& 'KD& 6+& +./#0"#6#"%24 A matrisinin .+2*0$+,& "2#.%& ,#'7"F!3*!& 1*& Teorem 2.2.14D& 0*!& 3 "#6%, D ,)=*<*!& *"*2#!"#$%& A 2#0$+.+!+!& )(3*8*$"*$+& "#!& '+$& ,)=*<*!&

matris olmak üzere P AP^T D "#;#,&=*,+"3*&ortogonal bir P matrisi 1#$3%$. D D² dir #!;#,&1*&#!;#,&.%C%$3#!&C#$,"%&,)=*<*!&*"*2#!"#$%&1’ *&*=+00+$&1*&D D² dir ancak ve ancak A A² dir.

Teorem 3.1.5. A n n! boyutlu bir simetrik matris olsun. En az bir t / (+0+C&0#2.#6%.%

için A^t A^t%1 *=+0"+8+&.#8"#!%6 $&+.*&A matrisi idempotenttir [16].

Teorem 3.1.6. A bir n n! boyutlu (simetrik) idempotent matris olsun. Bu durumda

#=#8%3#,+"*$&3 8$737$4

a) A (simetrik) idempotent matristir.^T

b) P ortogonal bir matris ise P AP (simetrik) idempotent matristir.^T c) P tersinir bir matris ise P AP^"1 (simetrik) idempotent matristir.

d) I"A (simetrik) idempotent matristir.

e) A6$%;# A bir normal matris ise, yani A A^T AA^T ise, A A^T ve AA^T matrisleri (simetrik) idempotent matrislerdir.

f) n, '+$&/ (+0+C&0#2&.#6%& "2#,&F(*$*&A (simetrik) idempotent matristir [16].ⁿ

-;:@6% &'3'A' A bir n n! boyutlu simetrik matris olsun. S%C%$3#!& C#$,"% her x !& ⁿ vektörü için, x^TA 'x 0 ise A 2#0$+.+!*&/ (+0+C&6#$%&,#$#$"%9&x^TA (x 0 ise A matrisine / (+0+C&,#$#$"%&2#0$+.&3*!+$ [16].

-;:@6% &'3'8 A matrisi, / (+0+C& 6#$%& ,#$#$"%& 6#& 3#& / (+0+C& ,#$#$"%& 2#0$+.& +.*9& A’ ya nonnegatif ,#$#$"% matris denir [16].

Teorem 3.1.9. A i_i, 1, 2,..., ,k n n! boyutlu simetrik matrisler olmak üzere

0 1 k

i i

A

$

a) A₀ A₀²,

b) A_i A_i², i 1, 2,..., ,k

c) A A_{i j} 0, i) j i j; , 1, 2,...,k [16].

(>7;9'%E", olarak a) ve bK&3 8$7& ".7!4&L&:#"3*&&

2

2 2

0 0

1 1 1 1 1 1 1 1

k k k k k k k k

i i i j i i j i

i i j i i j i i

i j i j

A A A A A A A A A A

) )

* + % %

, -

.

$

$ $ $ $ $ $ $

olur. Buradan

1 1

k k

i j

j i

i j

A A

)

$ $

elde edilir. Buradan da

1 1

0

k k

i j

j i

i j

iz A A

)

* +

, -

, -

, -

. /

$ $

bulunur. Her A_i matrisi simetrik ve +3*2/ 0*!0& "3787!3#! ! !!*<#0+C& ,#$#$"%&

matristir [89& M* $*2& @N4N4@B& 1*& *8*$& '+$& ! !!*<#0+C& ,#$#$"%& matrisler kümesi (3.1)

*=+0"+8+!+&.#8"#$&+.*& i) için j A A 0 3%$&?8, Teorem 12.2.4]._{i j} E,+!;+& "#$#,&#K&1*&;K&3 8$7& ".7!4&Bu durumda,

2

2 2

0 0

1 1

k k

i i

i i

A A * A+ A

, -

.

$

$

1 1

k k

i i

i i

A A

$ $

olur. q )0 ve i)q için A A 0 "3787!3#!& . !& *=+0"+8+!& +,+& 0#$#C%!%& 3#&_{q i} A ile _q çarparak

2 3

q q

A A ,

elde edilir. Teorem 3.1.5’ t*!&&3 "#6%&A matrisi idempotenttir._q A +"*&G#$/2#&+="*2+&_q 1, 2,...,

q k için 0*,$#$"#!%$.#&#K&1*&;)’nin bKD6+&.#8"#3%8%&<)$F"F$4

Son olarak b) ve cK&3 8$7 olsun. O halde

2

2 2

0 0

1 1 1 1 1

k k k k k

i i i j i

i i j i i

i j

A A A A A A A

)

* + %

, -

.

$

$ $ $ $

elde edilir. B)6"*;*&+./#0&0#2#2"#!2%=& "ur.

Teorem 3.1.10. A i_i, 1, 2,..., ,k n n! boyutlu ve n_i $#!,"%&.+2*0$+,&2#0$+."*$& "2#,&

üzere,

1 k

i i

A I

$

1 k

i i

n n

$

a) A A_{i j} 0, i) j i j; , 1, 2,..., ,k

b) A_i A_i², i 1, 2,..., ,k

3%$&[16].

Teorem 3.1.11. A bir n n! boyutlu simetrik idempotent matris olsun. Bu durumda

B "I 2A

bir simetrik ortogonal matristir [16].

Teorem 3.1.12. P, n m' olmak üzere m n! boyutlu bir matris ve PP^T I olsun.

Bu durumda P P matrisi ^T n n! boyutlu simetrik idempotent bir matristir [16].

(>7;9'% (P P^T )^T P P^T "3787 #G%,0%$4&H6$%;#& (P P P P^T )( ^T ) P IP^T P P^T 3%$4

Teorem 3.1.13. A bir n n! boyutlu simetrik matris olsun. Bu durumda A matrisi, :*$&'+$+!+!&$#!,%&@ "#!&.+2*0$+,&#6$%,&idempotent matrislerin lineer '+"*=+2+ olarak, yani

1 n

i i i

A

$

=*,"+!3*& 6#(%"#'+"+$. Burada her i) j için A_i² A A_i, _i^T A A A_i, _{i j} 0 dir ve #_i skalerleri A 2#0$+.+!+!&)(3*8*$"*$+3+$&[16].

(>7;9'%Teore2&N4N4@OD&0*!&3 "#6%, d_ii #_i skalerleri A matrisini!&)(3*8*$"*$+& "2#,&

üzere P AP^T D "#;#,&=*,+"3*& $0 < !#"&'+$&P 2#0$+.+&1#$3%$4&57$#3#!& A PDP^T

=*,"+!3*&*"3*&*3+"+$4& p_i, P matrisinin i. sütunu olmak üzere P [ ,p p_{1 2},...,p_n] olarak

#"%!%$.#

1 1 2 2

[ , ,..., _{n n}] PD # p # p # p

olur. A_i p p_{i i}^T "#$#,&0#!%2"#!%$.#

1 1

n n

T

i i i i i

i i

A

$

$

elde edilir. Buradan A_i A_i^T, A_i² A_i 1*& #6$%;#& i) j için p p 0 "3787!3#!&&_i^T _j

T T

i j i i j j

A A p p p p 0 elde edilir4& H6$%;#& p_i, i =1,2,…,n, n !1 boyutlu vektör "3787!3#!&rk A( )_i P@&3+$4&5)6"*;*&+./#0&0#2#2"#!2%=& "7$4&

Teorem 3.1.14. A ve B n n! ' 670"7&2#0$+."*$& ".7!4&>8*$&

a) ABA=A veya b) BAB=B

ise AB ve BA matrisleri idempotenttir [16].

(>7;9' a)’ 6% soldan B ile çarparak ABD!+!& +3*2/ 0*!0& "3787!7& <)$F"F$4& b)’ de '*!(*$&=*,+"3*&<).0*$+"+$4&

Teorem 3.1.15. A ve B n n! ' 670"7&+3*2/ 0*!0&2#0$+."*$& ".7!4&>8*$&AB=BA ise AB ve BA idempotenttir [16].

Teorem 3.1.16. A bir m n! boyutlu matris olsun. A A matrisinin idempotent ^T olm#.%!%!&<*$*,"+&1*&6*0*$"+&, =7"7 AA 2#0$+.+!+!&+3*2/ 0*!0& "2#.%3%$&[16].^T

Teorem 3.1.17. A matrisi n n! boyutlu ve r $#!,"%& .+2*0$+,& bir matris olsun. Bu durumda A matrisi, her birinin $#!,%& @& "#! ,#$=%"%,"%& "#$#,& #6$%, r tane simetrik idempotent matrisin lineer '+"*=+2i olarak, yani her i) j için

2 , ^T ,

i i i i i j

A A A A A A 0 olmak üzere,

1 r

i i i

A

$

Jeklinde 6#(%"#'+"+$ [16].

(>7;9' D, r r! ' 670"7& 1*& ,)=*<*!+& F(*$+!3*& H& 2#0$+.+!+!& .%C%$3#!& C#$,"%&

öz3*8*$"*$+!+&'7"7!37$#! bir matris olmak üzere,

T D

P AP 0 1

2 3

4 5

0 0 0

o"#;#,&=*,+"3*& $0 < !#"&'+r P 2#0$+.+&1#$3%$. p_i, P matrisinin i. sütunu olmak üzere,

1 2

[ , ,..., _n]

P p p p ve d i_i, 1,..., ,r DD&!+!&,)=*<*!&*"*2#!"#$%& ".7!4&57$#3#!9

1

1 2

1 2

0 0

0 0

[ , ,..., ]

0 0 0

T T

n

T n

d p

D d

A P P p p p

p

0 10 1

2 3

0 1 2 32 3

2 3 2 32 3

4 5 24 3 4 552 3

0 0 0

"

"

#

# # $ #

"

olur. Buradan da, A_i p p_i ^T_i olmak üzere,

1 1

r r

T

i i i i i

i i

A

$

$

elde edilir. Burada A_i 2#0$+."*$+!+!&#6$%,9&.+2*0$+,&1*&+3*2/ 0*!0& "3787&#G%,0%$4

3.2. Tripotent Matrisler

-;:@6%&'B'3'%C bir kare matris olmak üzere, C C³ ise C matrisine tripotent matris denir [16].

Teorem 3.2.2. C bir n n! boyutlu (simetrik) tripotent matris olsun. Bu durumda

#=#8%3#,+"*$&3 8$737$4

a) P ortogonal bir matris ise P AP (simetrik) tripotent matristir.^T b) P tersinir bir matris ise P AP^"1 (simetrik) tripotent matristir.

c) C (simetrik) idempotent matristir.² d) –C (simetrik) tripotent matristir [16].

Teorem 3.2.3. C bir n n! boyutlu tripotent matris olsun. C matrisinin öz3*8*$"*$+ -1, Q&1*6#&@&.#6%"#$%!3#! "7=7$ [16].

(>7;9' #, C matrisinin bir öz3*8*$+& ".7!4& 57& 37$723#& *!& #(& '+$& .%C%$3#!& C#$,"%& x vektörü için

Cx #x

di$4&>=+0"+,&. "3#!&C +"*&G#$/%"%$.#²

3 2 ( ) 2

C x #C x #C Cx # Cx #³x

elde edilir. C C³ "3787!3#!&

#x #3x

olur. Buradan

(1 2)

# "# x 0

elde edilir. x 0) "3787!3#!&# .#6%.%&-@9&Q&1*6#&@D*&*=+00+$4&

Teorem 3.2.4. C bir n n! boyutlu simetrik matris olsun. C matrisinin simetrik 0$+/ 0*!0& "2#.%!%!& <*$*,& 1*& 6*0*$& , =7"7& C=A-B olacak biçimde n n! boyutlu .+2*0$+,&#6$%,&+3*2/ 0*!0&A ve B matrislerinin mevcut "2#.%3%$4&57&+,+&2#0$+.&0*,&

türlü olup

6

7 6

7

1 1

2 , B 2

A C %C C "C

3%r [16].

Teorem 3.2.5. C matrisi, n₁ 0#!*& )(3*8*$+& @D*9& n₂ 0#!*& )(3*8*$+ 0’a ve n₃ tane )(3*8*$+&-@D*&*=+0& "#! bir n n! boyutlu tripotent matris olsun. Bu durumda

a) 1 ² ₁

( )

2iz C %C n ,

b) 1 ² ₂

( )

2iz C "C n ,

c) 1 ² ₃

( )

2iz I"C n , d) iz C( ) "n₁ n₂

dir [16].

Teorem 3.2.6. A ve B n n! boyutlu simetrik matrisler olsun. Bu durumda

#=#8%3#,+"*$&3 8$737$4

a) A ve B idempotent ve AB=BA ise A-B simetrik tripotent matristir.

b) A idempotent ise –A ve A tripotenttir.

c) A matrisi!+!& 0$+/ 0*!0& "2#.%!%!& <*$*,"+& 1*& 6*0*$"+& , =7"7 A² matrisinin +3*2/ 0*!0& "2#.%3%$ [16].

Teorem 3.2.7. C bir n n! boyutlu tersinir tripotent matris ise

1 , 2

C^" C C I ve (C%I C)( "I) 0

3%$&[16].

BÖLÜM 4. ! " #$%&" '&( )*&+ " #, -.#&%#" *$#, /#&%"

&+'&"&' +&%"+ %&&,"0 +&) *"" 1 %"$2,3!" '&*-.#&%#"

$2,3)3*

!"#$%&'()*"+,-..)"/01-"213145-(1- 6175%'58 ,%1-"91%58'1"0-:)%)-');2)(03 [39]. O 91%58'1(1, 0;0" ()<08')%0" 2307,2)-2" '1230=" >)" 91375'%135-(1-" )%()" )(0%)-" %0-))3"

#0%)80'0-" 1635;" 0()'7,2)-2" 163585'5" 73,#%)'0" )%)" 1%5-'1;21(53?" !31(1" )%)" 1%5-1-"

73,#%)'0-" =,-%!" 21-)" ()<08')%0" 2307,2)-2" '1230=)" .)-)%%)82030%')=0 Bölüm 5’ te verilecektir. D,%165=56%1"#!"#$%&'"=,-31;0"#$%&'&-"1-%185%'1=5"090-"61313%5",%1:1;253?

4565"7898:

.)-)%" #03" :0='0" #)%032=0-" >)" )%)" 1%5-1-" '1230=%)3" #!" :0='0-" &@)30-()" 21-5'%5"

olsunlar. (.) fonksiyonu x !0 için ( ) 0x ! ve x"0 için ( ) 1x ! biçiminde 21-5'%1-1-"4,-;=06,- olsun. A ve B,

3 3

, ve

A !A B !B AB!BA _(4.1)

)802%0;%)30-0" =1<%161-"m m# #,6!2%!" '1230=%)3" ,%=!-%13?" !" (!3!'(1" '1230=" 91375'5"

1%25-(1"'!A2)')%"1%25"413;%5"'1230=2)-*"A B AB AB A B², ², , ², ² ve A B^{2 2}, bahsedebiliriz.

I birim matrisini, A ve B '1230=%)30-0" >)" 6!;135(1;0" 1%25" '1230=0" ()" 1%131;*"

0, , , , ,1 2 1 2 11, 12, 21, 22

a a a b b c c c c $ olmak üzere,

2 2 2 2 2 2

0 1 2 1 2 11 12 21 22

M !a I%a A a A% %b B b B% %c AB%c AB %c A B%c A B (4.2)

%0-))3"#0%)80'0"61@5%1#0%03?

45;5" ki D<=8:><?8" Tripotent Matris ve Ç@9AB>larBCD@C" Elde Edilen Lineer 08?<:8>in AE9BF dempotent AE9B:B>B

!"#$%&'&-"1'1:5"BC?DE"%0-))3"#0%)80'0"090-"(,;!@"2)30'%0"1635;"0()'7,2)-2 163585'"

vermektir. Teorem 3.2.4F" 2)-" #03" 2307,2)-2" '1230=0-" 2);" 2&3%&" #090'()" 1635; iki idempotent matrisin far;5",%131;" 61@5%1#0%(0<0"#0%0-');2)(0r. Buna göre, (4.2) lineer

#0%)80'0-();0"A ve B tripotent matrisleri,

2 2 2 2

1 1 1 1

( ), ( ), ( ), ( ),

2 2 2 2

A A B B

P ! A %A Q ! A &A P ! B %B Q ! B &B (4.3)

olmak üzere,

A A, B B

A!P &Q B!P &Q _(4.4)

8);%0-()"61@5%53?" !31(1"P_A, , P_B Q_A ve Q_B matrisleri

2 2

2 2

, , ,

, , ,

, , , ,

A A A A A A A A

B B B B B B B B

A B B A A B B A A B B A A B B A

P P Q Q P Q Q P

P P Q Q P Q Q P

P P P P P Q Q P Q P P Q Q Q Q Q

! ! ! !

! ! ! !

! ! ! !

0 0

$@)%%0;%)30-0"=1<%13?"G635:1"BC?HEF"2)-"

2 _{A A}, 2 _{B B}

A !P %Q B !P %Q (4.5)

,%(!<!";,%16%5;%1".$3&%&3?"Bu durumda, (4.3) ve (4.5)’ ten BC?DE"%0-))3"#0%)80'0

0 1 2 1 1

11 12

21 22

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

A A A A B B B B

A A B B A A B B

A A B B A A B B

M a I a P Q a P Q b P Q b P Q

c P Q P Q c P Q P Q

c P Q P Q c P Q P Q

! % & % % % & % %

% & & % & %

% % & % % %

0 1 2 1 2 11 12

21 22

A A B B A B A B

A B A B

a I p P p Q q P q Q d P P d P Q d Q P d Q Q

! % % % % % %

% %

0 1 2 1 11 21

2 12 22

( ) ( )

( )

A A A A B

A A B

a I p P p Q q I d P d Q P q I d P d Q Q

! % % % % %

% % % (4.6)

8);%0-()"041()")(0%)#0%03?" !31(1

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2

11 11 12 21 22 12 11 12 21 22

21 11 12 21 22 22 11 12 21 22

, , , ,

, ,

,

p a a p a a q b b q b b

d c c c c d c c c c

d c c c c d c c c c

! % ! & % ! % ! & %

! % % % ! & % & %

! & & % % ! & & %

dir.

I0'(0" )=1=" =,-!9%135-" )%()" )(0%')=0-()" ;!%%1-5%1:1;" ,%1-" 613(5':5" #03" =,-!9"

verilmektedir.

Lemma 4.1. X ve Y matrisleriX² ! X Y, ² !Y ve XY !YX !0 $@)%%0;%)30-0"=1<%1=5-?"

Bu durumda, a a a₀, ,_{1 2} birer skaler olmak üzere a I₀ %a X₁ %a Y₂ lineer #0%)80'0

0 1 2 1 1 2 2 3 3

a I %a X %a Y !c L %c L %c L _(4.7)

8);%0-()" 61@5%1#0%03?" !31(1" c₁!a₀, c₂ !a₀%a c₁, ₃ !a₀%a_{2 ve} L₁! &I X &Y,

2 , 3

L !X L !Y _olup

2

1 2 3 , _{i i}, _{i j j i} , , 1, 2,3, L %L %L !I L !L L L !L L !0 i" j i j!

)802%0;%)30 gerçeklenmektedir. L L₁, ve ₂ L₃ matrisleri idempotent >)" ;1385%5;%5" ,%131;"

1635;" ,%(!;%135-(1-" B4.7) ifadesine a I₀ %a X₁ %a Y₂ lineer #0%)80'0-0- 1635;"

0()'7,2)-2"163585'5 BGJGE denir [39].

Teorem 4.2. A ve B matrisleri (4.1)’ de ve M %0-))3"#0%)80'0"BC?DEF"()">)30%(0<0".0#0"

olsun. Bu durumda M %0-))3"#0%)80'0-0-"#03"GJGF"5"

9

1 i i i

M s J

!

!

'

8);%0-()(03?" !31(1;0"s₁,...,s₉ skalerleri

1 0 2 0 1 2 3 0 1 2

4 0 1 2 7 0 1 2

5 0 1 2 1 2 11 12 21 22

6 0 1 2 1 2 11 12 21 22

8 0 1 2 1 2 11 12 21 22

9 0 1 2 1 2 11 12 21 22

, , ,

, ,

, , , , s a s a a a s a a a s a b b s a b b

s a a a b b c c c c

s a a a b b c c c c

s a a a b b c c c c

s a a a b b c c c c

! ! % % ! & %

! % % ! & %

! % % % % % % % %

! & % % % & & % %

! % % & % & % & %

! & % & % % & & %

(4.9)

ve J₁,...,J₉ matrisleri

2 2 2 2 2 2

1 2 3

2 2 2 2 2 2

4 5 6

2 2 2 2 2 2

7 8 9

1 1

( )( ), ( )( ), ( )( ),

2 2

1 1 1

( )( ), ( )( ), ( )( ),

2 4 4

1 1 1

( )( ), ( )( ), ( )( )

2 4 4

J I A I B J A A I B J A A I B

J I A B B J A A B B J A A B B

J I A B B J A A B B J A A B B

! & & ! % & ! & &

! & % ! % % ! & %

! & & ! % & ! & &

(4.10)

b090'0-()(03?"G635:1 6!;135(1;0"J₁,...,J₉ matrisleri

9 2

1

, , , ; , 1,...,9

i i i i j j i

i

J I J J J J J J i j i j

!

! ! ! ! " !

'

)802%0;%)30-0"gerçekler.

GA@HI L!I&P_B &Q_B !I&B² olmak üzere, Lemma 4.1, (4.6)’ daki M lineer

#0%)80'0-)"!6.!%1-53=1*

1 2 B 3 B

M !N L%N P %N Q _(4.11)

)802%0<0 elde edilir. Burada

1 0 1 _A 2 _A,

N !a I%p P % p Q _(4.12)

2 ( 0 1) ( 1 11) _A ( 2 21) _A,

N ! a %q I% p %d P % p %d Q _(4.13)

3 ( 0 2) ( 1 12) _A ( 2 22) _A

N ! a %q I% p %d P % p %d Q _(4.14)

(53?"K!I&P_A&Q_A !I&A² olmak üzere Lemma 4.1, N₁, N₂ ve N₃'e !6.!%1-53=1

1 1 2 3

2 4 5 6

3 7 8 9

, ,

A A

A A

A A

N s K s P s Q N s K s P s Q N s K s P s Q

! % %

! % %

! % %

)802%0;%)30"#!%!-!3?" !31(1"

1 0, 2 0 1, 3 0 2,

s !a s !a %p s !a %p _(4.15)

4 0 1, 5 0 1 1 11, 6 0 2 1 21,

s !a %q s !a % p %q %d s !a %p %q %d _(4.16)

7 0 2, 8 0 1 2 12, 9 0 2 2 22

s !a %q s !a % p %q %d s !a %p %q %d _(4.17)

dir. (4.12)-BC?KLE")802%0;%)30"BC?KKEF"()"6)3%)30-)"61@5%53=1"

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7

8 9

( ) ( ) ( )

+

A A A A B A A B

A A B A B A B B

A B A B

M s K s P s Q L s K s P s Q P s K s P s Q Q s KL s P L s Q L s KP s P P s Q P s KQ

s P Q s Q Q

! % % % % % % % %

! % % % % % %

%

elde edilir. Burada

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 1

( )( ), ( )( ), ( )( ),

2 2

1 1 1

( )( ), ( )( ), ( )( ),

2 4 4

1 1 1

( )( ), ( )( ), ( )( )

2 4 4

A A

B A B A B

B A B A B

KL I A I B P L A A I B Q L A A I B

KP I A B B P P A A B B Q P A A B B

KQ I A B B P Q A A B B Q Q A A B B

! & & ! % & ! & &

! & % ! % % ! & %

! & & ! % & ! & &

dir ve s₁,...,s₉ skalerleri (4.9)’ da veri%(0<0".0#0(03?"""""""""""""

Ö@)%" 207%0" '1230=%)30-" %0-))3" #0%)80'%)30-0-" 2)3=0-03%0<0" >)" .3!7" 2)3=0-03%0<0" 73,#%)'0"

=,-"65%%13(1"#1@5"61@13%13"213145-(1-"6,<!-",%131;"91%585%'58253"MH*"C*"KN*"KO*"DC*"DO*"

CNP?"I0'(0"()"#!"2&3"91%58'1%13%1"(,<3!(1-"61"(1"(,%16%5",%131;"0%08;0%0",%1-*"#! 1635;"

0()'7,2)-2" 163585'5" ;!%%1-131;" )%()" )(0%)-" M '1230=0-0-" ()2)3'0-1-25*" 31-;5*" 0@0*"

kuvveti, tersi ve grup tersi ile ilgili $-)'%0"#1@5"=,-!9%135">)30%):);203?

Sonuç 4.3. M matrisi (4.8)’ ()" >)30%(0<0" .0#0" >)"t_i !rk J( ), _i i!1, 2,...,9, olsun. Bu duru'(1"181<5(1;0%)3"(,<3!(!3?

a) t₁%t₂% ((( %t₉ !m^.

b) Q<)3"J_i "0, i!1, 2,...,9 ise M matrisinin (4.8)’ ();0"195%5'5"2);"2&3%&(&3?

c) s s₁, ,...,₂ s₉ skalerleri M matrisinin öz()<)3%)30",%!7

1 2 9

1

1 2 9

diag( _t, _t ,..., _t ) M !P s I s I s I P^&