İNTEGRAL 01

İntegral

Belirsiz İntegral

İntegral Alma Kuralları

İntegral Alma Metotları

İntegralde Trigonometrik Dönüşümler

Belirsiz İntegral

Belirsiz İntegralin Özellikleri

slayt1

Belirsiz İntegral

Örnek: F(x) = x  F (x) = 2x  F (x).dx=2x.dx

Tanım: f:[a,b]  R , F:[a,b]  R tanımlı iki fonksiyon olsun. Eğer F(x)’in türevi f(x) veya diferansiyeli f(x).dx olan F(x) fonksiyonuna, f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali denir ve f(x).dx=F(x)+C biçiminde gösterilir.

C

F(x)

f(x).dx





slayt2

Belirsiz İntegralin Özellikleri

3-) Bir fonksiyonunun diferansiyelinin belirsiz integrali, bu fonksiyon ile bir C

dir. C

f(x) d(f(x))  



1-) Bir belirsiz integralin türevi, integrali alınan fonksiyona eşittir.





f(x).dx



' 



F(x)C



'  f(x)tir.

2-) Bir belirsiz integralin diferansiyeli, integral işaretinin altındaki ifadeye eşittir.



f(x).dx



f(x).dx tir.

slayt3

İntegral Alma Kuralları

) 1 ( 1 1 . . 1 1      



x C n n dx xn n c | x | ln .dx x 1 2.



  C e .dx e 3.



x  x  1) 0.a (a C .a lna 1 .dx a 4. x _ x _{  }



C cosx sinx 5.



  C sinx cosx.dx 6.



  C cosecx x.dx cotx.cosec 8.



   c tanx .dx sec 9. 2 _{ }



C cotx .dx cosec 10.



2    2 1 2 .dx arctanx C arccotx C x 1 1 11.      



2 1 2 .dx arcsinx C arccosx C x -1 1 12.



    

slayt4

Örnek1:  (2x+1).dx belirsiz integralini bulalım.

Örnek2: [(2x3-3x)/(x2)].dx belirsiz integralini bulalım.

Çözüm1: bulunur. C x x C 1.x 2 x 2. 1.dx x.dx 2 1).dx (2x _{   } 2 _{  } 2 _{ }







Çözüm2: C | x | 3ln x .dx x 3 2x.dx .dx x 3x x 2x .dx x 3x 2x ₂ 2 2 3 2 3              









slayt1

İntegral hesaplarında, uygun bir değişken değiştirmesi yapılarak integrali hesaplanacak ifade ilkeli kolaylıkla bulunabilecek bir ifadeye dönüştürülür.

1-)



_f(x).f

'

_(x)

_.dx

_



_f(x).d(f(x

₎₎

Örnek:  cos2x.sinx.dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: u=cosx diyelim. Her iki tarafın diferansiyelini alalım. du=-sinx.dx  sinx.dx=-du olur. Bu ifadeler integral de yerine konursa,

bulunur.

C

u

.du

u

du)

.(

u

.sinx.dx

cosx

3 2 2 2

_

_

_

_

_

_

_







slayt2

2-)



 

_f(x)

n

_.f

'

_(x)

_.dx

_



_f

n

_(x).d(f(x)

₎

Örnek:  (3x-1)7 integralini hesaplayalım.

Çözüm: (3x-1)=u diyelim. d(3x-1)=d(u)  3.dx=du olur. Bu ifadeler integral de yerine konursa,

bulunur.

C

1)

(3x

24

1

C

u

24

1

.du

3

1

.

u

.dx

1)

-(3x

7





7



8







8





slayt3 3-)







)

(

))

(

(

)

(

).

(

'

x

f

x

f

d

x

f

dx

x

f

Örnek:  tanx.dx integralini hesaplayalım. Çözüm: tanx.dx=  (sinx/cosx).dx yazalım:

cosx=u diyelim. İki tarafın diferansiyelini alalım. d(cosx)=d(u)  -sinx.dx=du olur. Bunları yerlerine yazalım:

bulunur.

C

|

cosx

|

ln

C

|

u

|

ln

u

du

.dx

cosx

sinx

_

_

_

_

_

_

_

_





slayt4

cir

C

a

bx

.arcsin

b

1

.x

b

a

dx

üzere

olmak

{0}

R

b

,

a

2 2 2

























Örnek:

ım.

hesaplayal

i

integralin

25x

9

dx

2



_

Çözüm:

bulunur.

C

3

5x

.arcsin

5

1

25x

9

dx

2





















4-)

_a

f(x)

_.f

'

_(x)

_.dx

_(a

_

_R



_

_{1}



Örnek:  (2tan3x _+1).sec2 _{x .dx integralini hesaplayalım.}

Çözüm: tanx=u dersek, 3.sec2_{3x.dx=u olur. Bulunan değerleri}

yerlerine yazalım:









bulunur.

C

.tan3x

3

1

.2

ln8

1

C

u

.2

ln2

1

.

3

1

.du

1

2

3

1

3x.dx

.sec

1

2

tan3x u u 2 tan3x





















_













slayt5

slayt6

{0}dir.

R

(a

C

.a

m.lna

1

.dx

a

2.

dir.

C

.e

m

1

.dx

e

1.

üzere

olmak

0

m

,

R

n

,

m

n mx n mx n mx n mx

















    





dir.

C

n)

.sin(mx

m

1

n).dx

cos(mx

2.

dir.

C

n)

.cos(mx

m

1

n).dx

sin(mx

1.

üzere;

olmak

0

m

,

R

n

,

m



























İntegrandında Varsa (a>0)_a2 _{ x}2

İntegrandında Varsa (|x/a|>0)_x2 _{ a}2

slayt1

İntegrandında Varsa (a>0)_a2 _{ x}2

Örnek:

_

 2 2_{. 9 x} x dx _{integralini hesaplayınız.} Çözüm: bulunur. C x 9 dx x sint sint x edilir. elde C cott 9 1 t sin dt 9 1 t sin 1 t. 27.sin 3.cost.dt t 9sin 9 t. 9.sin 3.cost.dt 2 2 2 2 2 2               









x=3sint dönüşümü yapılırsa; x=3sint  dx=3cost.dt olur. Bulunan değerleri yerine yazalım:

slayt2

İntegrandında Varsa (|x/a|>0)_x2 _{ a}2

Örnek:

_

16 x

x.

dx

2 integralini x>4 için hesaplayınız.

Çözüm: bulunur. C x 4 .arccos 4 1 C t 4 1 dt 4 1 t tan 4 tant.dt 16 t 16sec 4.sect. t.dt 4.sect.tan 16 x x. dx 2 2 2               









x=4sect dönüşümü yapılırsa; dx=3sect.tant.dt olur. Bulunan değerleri yerine yazalım:

slayt3

İntegrandında Varsa (a>0)_a2 _{ x}2

Örnek:

_

 4 x . x dx 2 2 integralini hesaplayınız.

Çözüm: x=2tant dönüşümü yapılırsa; x=2tant  dx=2.sec2_{t.dt olur. Bulunan değerler integral de}

yerine yazılırsa; 4 x dx edilir. elde C sint 1 . 4 1 4.u du t 4.sin cost.dt olur. t 4.sin cost.dt t.sect 8.tan t.dt 2.sec 4 t 4tan t. 4.tan t.dt 2.sec 4 x x dx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2          













slayt1



u.du



u.v





v.du

Örnek1: x.cosx.dx integralini hesaplayalım

Çözüm1: Verilen integralde u=x, dv=cosx.dx seçelim. Bu durumda, du=dx ve v=sinx olur.

bulunur. C cosx x.sinx sinx.dx x.sinx x.cosx.dx     





Örnek2: x2.lnx.dx integralini hesaplayalım. Çözüm2: bulunur. C x 9 1 lnx x 3 1 .dx x 3 1 .lnx x 3 1 .dx x 1 . x 3 1 lnx x 3 1 .lnx.dx x olur. x 3 1 v ve .dx x 1 du Buradan, olsun. .dx x dv ve lnx u 3 3 2 3 3 3 2 3 2           







slayt2

slayt3

Örnek3: arctanx.dx integralini hesaplayalım.

Çözüm3: bulunur. C x 1 ln x.arctanx C ) x ln(1 2 1 x.arctanx .dx x 1 2x 2 1 x.arctanx .dx x 1 x x.arctanx arctanx.dx olur. x v ve .dx 1 x 1 du olsun. dx dv ve arctanx u 2 2 2 2 2                   







slayt1

Tanım: Payın derecesi, paydasının derecesinden küçük olan ve paydası çarpanlarına ayrılabilen bir kesrin, önceden hangi kesirlerin toplamı olduğunun bulunması işlemine, basit kesirlere ayırma işlemi denir.

Örnek: _.dx integralini hesaplayalım

4 x 2 -3x 2



_ Çözüm: x2 dx 2. 2 x dx .dx 2 x 1 2 x 1 .dx 2) 2).(x (x 2 3x bulunur. 2 B 1, A 2 x B 2 x A 2) 2).(x (x 2 3x                          









slayt2 İNTEGRALİ q px x dx 2



_{ }

Paydada <0 olan x2+px+q biçiminde bir ifade varsa; integral,

(du/1+u

Payın Derecesi, Paydanın Derecesinden Büyük veya Eşit İse

(P(x)/Q(x)).dx integralinde, P(x)’in derecesi Q(x)’in derecesinden büyük veya eşit ise; P(x)’in Q(x)’e bölünmesinden elde edilen bölüm B(x) ve kalan K(x) olmak üzere,

olur. .dx Q(x) K(x) B(x).dx .dx Q(x) P(x)







 

slayt3

Örnek:

_

integralini hesaplayalım

  6x 10 x dx 2 Çözüm: dx dir. C arctanu 1 u du den dx du 3 x u ür. dönüş şekline 1 3) (x dx integral, Buradan r. yazıazılab şeklinde 1 3) (x 1 9 6x x 10 6x x getirilir. şekline 1 u du integrali 10 6x x dx 2 2 2 2 2 2 2                     









slayt4

dir.

C

a

bx

.arctan

a.b

1

x

b

a

dx

2 2 2





















a ve b sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere;

Örnek:

_

integralini hesaplayalım

 61 25x dx 2 Çözüm: bulunur. C 5x .arctan 1 C 4 5x .arctan 5.4 1 16 25x dx 2     



sinm_x.cosnx.dx (m,n  N) Şeklindeki İntegraller

sinax.cosbx.dx, sinax.sinbx.dx ve cosax.cosbx.dx (a,b  N) Şeklindeki İntegraller

slayt1

sinm_x.cosnx.dx (m,n  N) Şeklindeki İntegraller

A-) m veya n’den biri tek, biri çift ise;

Örnek: sin2x.cos3x.dx integralini hesaplayalım



Çözüm:

sin2x.cos3x.dx= sin2x.cos2x.cosx.dx şeklinde yazılır. cos2

x=1-sin2x olduğundan, sin2x.(1-sin2x).cosx.dx olur.

sinx = u  cosx.dx = du dur.

bulunur. C x sin 5 1 x sin 3 1 ).du u (u ).du u .(1 u2  2 



2  4  3  5 



slayt2

B-) m ve n ‘nin ikiside tek kuvvet ise;

Örnek:



sin3x.cos5x.dx integralini hesaplayalım

Çözüm:

sin3_x.cos5x.dx=cos5_x.sin2x.sinx.dx=cos5_x.(1-cos2_x).sinx.dx

olur. cosx = u  sinx.dx = -du dur.

bulunur. C x cos 6 1 x cos 8 1 ).du u (u ).(-du) u .(1 u5 _ 2 _ 5 _ 7 _ 8 _ 6 _





slayt3

C-) m ve n ‘nin ikiside çift kuvvet ise;

Örnek:



sin2x.x.dx integralini hesaplayalım

Çözüm: bulunur. C sin2x 4 1 x 2 1 C sin2x 2 1 x 2 1 cos2x).dx (1 2 1 cos2x).dx (1 2 1 x.x.dx sin cos2x) (1 2 1 x sin 2 2                   







slayt4

sinax.cosbx.dx, sinax.sinbx.dx ve cosax.cosbx.dx (a,b  N) Şeklindeki İntegraller











cos(a b) cos(a b)



2 1 cosa.cosb b) cos(a b) cos(a 2 1 sina.sinb b) sin(a b) sin(a 2 1 sina.cosb             Bu tip integraller hesaplanırken ters dönüşüm formülleri kullanılır.

Örnek:



sin3x.sin2x.dx integralini hesaplayalım

Çözüm:

_

_{cos(3x-2x)-cos(3x 2x)}

_

_.dx 2 1 x.dx sin3x.sin2 







slayt5

İntegrandında sinx ve cosx‘in Rasyonel İfadeleri Bulunan İntegraller

1+u2

u

1

x 2

Bu tip integrallerde, tan(x/2) = u dönüşümü yapılır. Yandaki dik üçgen yardımıyla, 2 u 1 2u sinx   ₂2 u 1 u 1 cosx    ₂ u 1 2du dx   Örnek:

_

 cosx 1 dx Çözüm: bulunur. C 2 x tan 2u 1 2du cosx 1 dx 2     





slayt1

Tanım: f:[a,b]  R , F:[a,b]  R ve sürekli yada süreksiz olduğu nokta sayısı sonlu tane olan bir fonksiyon ve [a,b] ‘nin bir bölüntüsü P olmak üzere:

lim_||P||0A(f,P)=lim_||P||0Ü(f,P)=S ise, f fonksiyonu, [a,b] aralığında integrallenebilir bir fonksiyondur, denir. S reel sayısına da f nin [a,b] aralığındaki belirli integrali denir ve bu,

Belirli İntegral

.

gösterilir

biçiminde

.dx

f(x)

S

b a





slayt2

Teorem1: f:[a,b]  R fonksiyonu, [a,b] aralığında sürekli ve F: [a,b]  R fonksiyonu,

ile tanımlanmış olsun. Bu durumda, F(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevlenebilir ve (a,b) için F’(x)=f(x) tir.

.dt f(t) F(x) x a   Örnek1: _{F(x) 1 t.cost.dt F}'_{(x) ?} x 3    



 Çözüm1: 1.teoreme göre;

slayt3 Çözüm2:





  



bulunur. 32 2 2.1 361 (1) f m 2 2x 36x (x) f 2 8x 6x 36x .2 1 2.(2x) 6x . 1 ) 2.(3x (x) f 3 ' t 3 ' 3 2 '                  Örnek2: _F(x) 3x2_{(2x 1).dx} 2x





 Fonksiyonu veriliyor. f(x) ‘in

grafiğini x=1 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?

slayt4

Teorem2: f:[a,b]  R integrallenebilen bir fonksiyon olsun. Eğer f(x).dx=F(x)+C , C  R olacak biçimde f:[a,b]  R ye F(x) fonksiyonu varsa, dır. F(a) F(b) | F(x) .dx f(x) b a b a   



Örnek: _{sin2t.dt .dx ?} dx d π/6 0 x 0               





Çözüm: bulunur. 1 cos0 π cos 1 | .cos2x 1 sin2x.dx π/6 π/6      _    



slayt5

Tanım: f:[a,b]  R fonksiyonu, [a,b] aralığında integrallenebilirse,

Belirli İntegralin Özellikleri

: integrali f(x).dx ve f(x).dx a b a a





1-) 2-) 0 f(x).dx a a 







  a b f(x).dx f(x).dx biçiminde tanımlanır.