Diferansiyel Denklemler Çözümlü Soru Bankası - Matematik OABT

(1)

ÖABT

UYGULAMALI MATEMATİK

Diferansiyel Denklemler

ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

Yasin ŞAHİN

ÖRNEKT

İR

(2)

ÖABT

UYGULAMALI MATEMATİK

Diferansiyel Denklemler

ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

© Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın,

elektronik, mekanik, fotokopi ya

da herhangi bir kayıt sistemi ile çoğaltılamaz,

yayınlanamaz, depolanamaz.

Bu kitaptaki bilgilerin her türlü sorumluluğu yazara aittir.

Eser Sahibi

Yasin ŞAHİN

ISBN:

978-605-06154-1-8

İNCİ KAĞITÇILIK – OFSET MATBAA

Fevzi Çakmak Mah. Hacı Bayram Cad. No: 3

Karatay / KONYA

Sertifika No: 14997

Dizgi & Grafik

Mehmet Bilban

KONYA – Nisan – 2020

ÖRNEKT

(3)

ÇİNDEKİLER

Diferansiyel Denklemlere Giriş

Test 1 ... 1 Çözümler ... 3 Test 2 ... 5 Çözümler ... 7 Test 3 ... 9 Çözümler ... 11

Değişkenlerine Ayrılabilen Diferansiyel Denklemler Test 1 ... 15 Çözümler ... 17 Test 2 ... 19 Çözümler ... 21 Test 3 ... 23 Çözümler ... 25

Homojen Diferansiyel Denklemler Test 1 ... 29 Çözümler ... 31 Test 2 ... 33 Çözümler ... 35 Test 3 ... 37 Çözümler ... 39

İ

ÖRNEKT

İR

(4)

Tam Diferansiyel Denklemler Test 1 ... 43 Çözümler ... 45 Test 2 ... 47 Çözümler ... 49 Test 3 ... 51 Çözümler ... 53 Test 4 ... 55 Çözümler ... 57

Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Test 1 ... 61 Çözümler ... 63 Test 2 ... 65 Çözümler ... 67 Test 3 ... 69 Çözümler ... 71

Diferansiyel Denklem Çeşitleri Test 1 ... 75 Çözümler ... 77 Test 2 ... 79 Çözümler ... 81 Test 3 ... 83 Çözümler ... 85

ÖRNEKT

İR

(5)

Yörüngeler

Test 1 ... 89

Çözümler ... 91

Test 2 ... 93

Çözümler ... 95

n. Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler Test 1 ... 99 Çözümler ... 101 Test 2 ... 103 Çözümler ... 105 Test 3 ... 107 Çözümler ... 109 Test 4 ... 111 Çözümler ... 113 Test 5 ... 115 Çözümler ... 117

Diferansiyel Denklemlerin Uygulamaları Test 1 ... 121 Çözümler ... 123 Test 2 ... 125 Çözümler ... 127 Test 3 ... 129 Çözümler ... 131 Test 4 ... 133 Çözümler ... 135 Test 5 ... 137 Çözümler ... 139

ÖRNEKT

İR

(6)

Laplace Dönüşümleri Test 1 ... 143 Çözümler ... 145 Test 2 ... 147 Çözümler ... 149

ÖRNEKT

İR

(7)

ÖN SÖZ

Sevgili Öğretmen Arkadaşlarım,

Ülkemizde 2013 yılından bu yana uygulanmakta olan Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi

(ÖABT) süreç içerisinde belli bir formata oturmuş, soru karakterleri belirginleşmiştir.

Bu sınav, üniversitelerde okutulan akademik müfredatın yanı sıra 2015 yılı öncesi lise

matematik konularını da içermektedir.

Bu sistemde amaca ulaşmak için lisans öğreniminiz süresince öğrendiklerini

pekiştirmeniz sınava uygun tarzda çok sayıda ve sistemli soru çözmeniz ayrıca sık sık tekrar

yapmanız gerekmektedir.

Kaynaklarımız soru sayısı arttırılmış ÖABT sınavı baz alınarak yeniden düzenlenmiş,

her bir soru sınıf ortamında çözülerek hatalı yönleri giderilerek hizmetinize sunulmuştur.

Diferansiyel Denklemler

Çözümlü Soru Bankası, yukarıdaki belirlemelere uygun

olarak sizleri

ÖABT sınavına en iyi biçimde hazırlamak amacıyla düşünülmüştür.

Çıktığınız bu zorlu yolculukta yayınlarımızın yükünüzü bir nebze olsun hafifletmesi en

büyük dileğimizdir.

Faydalanacak olan

öğretmen arkadaşlara başarılar diler ve bu kitabın hazırlanmasında

desteklerini esirgemeyen başta sevgili eşim olmak üzere, Hatice ARICI, Ahmet ÖZER, Sefa

ARDAHAN, Fatih MARAŞLI, Kürşat KOÇ, Beyza CAN, Abdullah KOCA, Fatma ERTÜRK,

Yakup YILMAZ

hocalarıma teşekkürü bir borç bilirim.

Yasin ŞAHİN

Nisan – 2020

ÖRNEKT

(8)

ÖRNEKT

(9)

ÖRNEKT

(10)

ÖRNEKT

(11)

Diferansiyel Denklemler Diferansiyel Denklemlerin Uygulamaları Test 4

133

1. Küre biçiminde bir balon şişirilirken hacmi

ν

cm3/sn hızla büyümektedir.

Buna göre, balonun yarıçapı 2

ν

_{cm ye}

ulaştığında yarıçapının büyüme hızı kaç cm/sn dir? A) 1 4π B) 1 3π C) 1 2π D) 1 π E) 2 π

2. Bir ayrıtındaki değişim hızı 0,5 cm/sn olan bir

küpün yüzey alanı 24 cm2 olduğu anda

hacmindeki değişim kaç cm3_{/sn dir?}

A) 4 B) 6 C) 9 D) 12 E) 18

3. İçerisinde çamurlu su bulunan bir havuzun

suyu, temizleme ünitesinden geçirildikten sonra tekrar havuza boşaltılmaktadır. Havuzdaki çamur miktarı herhangi bir t (saat) anında P(t) olmak üzere, havuzdaki çamur miktarı

( )

0

dP P

, P 0 P dt = −3 =

başlangıç değer problemi ile modelleniyor. Buna göre, havuzda bulunan çamur miktarı kaç saat sonra başlangıçtaki miktarın üçte birine düşer?

A) ln 27 B) ln 3 C) ln3 D) ln9 E) ln27

4. Duvara dayanmış durumda olan 10 metre

uzunluğundaki bir merdivenin ayakları duvarın zemininden 8 metre uzaklıktadır.

Buna göre, merdivenin zemindeki ayakları 0,3 m/sn lik hızla dışa doğru kaymaya başladığında merdivenin duvardaki ucunun aşağı kayma hızı kaç cm/sn dir?

A) −0,8 B) −0,6 C) −0,4 D) −0,3 E) −0,2

5. Yüksekliği 4 metre ve ağız yarıçapı 3 metre

olan koni biçimindeki bir su tankının tamamı su ile doludur. Bu tankın altında bir delikten 3 m3/dk su akmaktadır.

Buna göre, su yüksekliği 2 metre olduğu anda, derinliğinin azalma hızı kaç m/dk dır?

A) 1 12π B) 1 9π C) 1 6π D) 4 π E) 4 3π

6. Bir ortamda bulunan bakterilerin t anındaki

sayısı milyon türünden P(t) olarak gösterilmekte ve

( )

dP

36 2P, P 0 20 dt = − =

başlangıç değer problemi ile modelleniyor. Buna göre, _tlim P t_→∞

( )

limitinin değeri kaçtır? A) 18 B) 24 C) 30 D) 36 E) 40

ÖRNEKT

(12)

Diferansiyel Denklemler Diferansiyel Denklemlerin Uygulamaları Test 4

134

7. Aynı noktadan hareket eden iki araçtan birisi

kuzey, diğeri de batı istikametine doğru sabit hızlarla ilerlemektedir. Kuzeye giden aracın hızı dakikada 3

ν

metre olup batıya giden

aracın hızının 3 katıdır. Buna göre, 1 dakika sonra bu iki araç arasındaki mesafenin artış hızı kaç metre/dakika dır?

A) 2

ν

B)3

ν

C) 10

ν

D) 13

ν

E)4

ν

8. Küre biçimindeki bir kartopu, dış yüzeyinden 3

cm3/sn hızla erimektedir.

Buna göre, kartopunun yarıçapı 5 cm ye düştüğünde, yarıçapının değişme hızı kaç cm/sn dir? A) 1 100π B) 1 50π C) 3 100π D) 1 25π E) 1 40π

9. Hipotenüsü 25 cm olan bir dik üçgenin dik kenarlarından kısa olan 4 cm/sn hızla artmaktadır.

Dik kenarından biri 15 cm olduğuna göre, uzun kenarı kaç cm/sn hızla azalır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

10. Bir dikdörtgenin kısa kenarı 8 cm/sn hızla azalmakta ve uzun kenarı ise 6 cm/sn hızla artmaktadır.

Bu dikdörtgenin kenar uzunlukları 10 cm ve 12 cm olduğuna göre, alanındaki değişme kaç cm2_{/sn dir?}

A) −36 B) −20 C) −16 D) 24 E) 30

11. Analitik düzlemdeki bir nokta y = x2_parabolü

üzerinde hareket etmektedir.

Bu noktanın apsisi 2 iken apsisinin değişim hızı 3 br/sn olduğuna göre, ordinatının değişim hızı br2_{/sn dir?}

A) 4 B) 6 C) 12 D) 18 E) 24

12. Radyoaktif bozunmaya uğrayan bir radyoaktif maddenin herhangi bir t(yıl) sonundaki miktarı y(t) olmak üzere, bozunma durumu

(

)

( )

ı

o y = −ln 3 y, y 0 =y

başlangıç değer problemi ile modellenmektedir.

Buna göre, radyoaktif madde miktarı kaç yıl sonra üçte birine düşer?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 9

ÖRNEKT

(13)

Diferansiyel Denklemler Çözümler Test 4 135 1. dV dt =

ν

3 2 2 4 V r 3 dV 4 dr 3r dt 3 dt dr 4 2 dt dr 1 dt = π = π   = π_ _   = π

ν

Cevap D 2. da 0,5 dt = 2 3 2 2 6a 24 a 2 V a dV da 3a dt dt 3.2 .0,5 6 = ⇒ = = = = = Cevap B 3. dP P dt = −3

( )

t 3 t 3 0 0 t 0 3 0 t /3 dP dt P 3 lnP ln e ln c P t ce P 0 P c P P P e 3 e 3 t ln 3 3 t ln 27 − − − = − = + = = ⇒ = = = = = Cevap E 4. 2 2 dx 0,3 cm / sn dt x y 100 dx dy 2x 2y 0 dt dt dy 8.0,3 6. 0 dt dy 0, 4 cm / sn dt = + = + = + = = − Cevap C 5. 2 2 3 2 2 r h V 3 3h V h 3 4 V 3h 16 dV 9 dh .h . dt 16 dt 9 dh 3 .2 . 16 dt dh 4 m / dk dt 3 π = π   =     π = π = π = = π Cevap E 6. dP 36 2P dt = −

(

)

( )

(

)

2t 2t 2t t t dP 2dt P 18 ln p 18 ln e ln c p t 18 ce p 0 20 c 2 lim P t lim 18 2e 18 − − − →∞ →∞ = − − − = + = + = ⇒ = = + = Cevap A

ÖRNEKT

İR

(14)

Diferansiyel Denklemler Çözümler Test 4

136

7.

1 dakika sonra bu araçlar arasındaki mesafenin artış hızı 10

ν

m/dk olur. Cevap C 8. dV 3cm / sn3 dt =

( )

3 2 2 4 V r 3 dV 4 dr 3r dt 3 dt dr 3 4 5 dt dr 3 cm / sn dt 100 = π = π = π = π Cevap C 9. 2 2 x y 225 dx dy 2x 2y 0 dt dt dy 15.4 20. 0 dt dy 3 cm / sn dt + = + = + = = − Cevap C 10.

( )

2 dx dy 6 cm / sn, 8 cm / sn dt dt A xy dA dy dx x y dt dt dt 12. 8 10.6 36cm / sn = = − = = + = − + = − Cevap A 11. 2 y=x 2 dy dx 2x dt dt 2.2.3 12 br / sn = = = Cevap C 12. dy

(

ln 3 y

)

dt = −

(

)

(

)

( )

t 0 0 t 0 t 0 0 dy ln 3 dt y ln y ln 3 t ln c y t c.3 y 0 y c y y t y .3 y y .3 3 t 1 − − − = − = − + = = ⇒ = = = = Cevap A