1.BELİRSİZ İNTEGRAL
2.BELİRSİZ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ 3.İNTEGRAL ALMA KURALLARI
4.İNTEGRAL ALMA METODLARI
Değişken Değiştirme (Yerine Koyma)Metodu Kısmi İntegrasyon Yöntemi
Basit Kesire Ayırma metodu
5.TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER YARDIMIYLA ÇÖZ ÜLEBİLEN İNTEGRALLER
6.BAZI ÖZEL DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRMELER 7.DEĞERLENDİRME TESTİ
• Tanım: tanımlı iki fonksiyon olsun.Eğer F(x) in türevi f(x) veya diferansiyeli f(x).dx olan F(x)
fonksiyonuna,f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali denir ve biçiminde gösterilir.
• eşitliğinde; işaretine,integral işareti,f(x) e
integrand(integral altındaki fonksiyon),f(x).dx e diferansiyel çarpanı,F(x) e f(x) in ilkel fonksiyonu ve C ye integral
sabiti denir.
a,b R : f
f(x).dx F(x)c
f(x).dx F(x)c
1.Bir belirsiz integralin türevi,integrali alınan fonksiyona eşittir:
2.Bir belirsiz integralin diferansiyeli,integral işaretinin altındaki ifadeye eşittir:
3.Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali,bu fonksiyon ile bir C sabitini toplamına eşittir:
f(x).dx
' (F(x) C)' f (x)
f
x
dx
f
x
dx
d
(
).
(
).
Örnek-1- belirsiz integralinin türevini bulunuz.
Çözüm :
Örnek-2- belirsiz integralini bulunuz.
Çözüm :
Örnek-3- belirsiz integralinin diferansiyelini bulunuz. Çözüm :
4
x
5.
dx
4
x
5dx
d
d
(
x
3 )
x
c
x
x
x
x
d
(
3)
3
x2 dx1.
4
x .
5dx
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. 8.
x
c
n
dx
x
n n 11
1
(
n
1
)
e
x.
dx
e
x
c
dx
x
c
x
ln
1
a c a dx ax x ln 1 . ) 1 a , 0 a (
sin
x
.
dx
cos
x
c
cos
x
.
dx
sin
x
c
9.
10.
11.
12.
dx
x
dx
x
c
x
xdx
(
1
tan
)
tan
cos
1
sec
2 2 2
dx
x
dx
x
c
x
xdx
ec
(
1
cot
)
cot
sin
1
cos
2 2 2
x
dx
arctan
x
c
1
1
2
x
dx
arcsin
x
c
1
1
2Örnek-1- belirsiz integralini bulunuz.
Çözüm:
Örnek-2- belirsiz integralini bulunuz.
Çözüm:
Örnek-3- belirsiz integralini bulunuz.
Çözüm:
x
5dx
c
x
dx
x
I
5
6
6
1
(
e
3
e
x)
dx
c
e
x
e
dx
e
e
I
(
3
x)
3.
x
dx
x
x
x
x
5 4 52
x
x
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
I
1
1
2
4.
ln
2
.
4ln
2
.
4 c x x x x x x 3 3 3 2 ln 3 . 2 lnÖrnek-4- belirsiz integralini bulunuz.
Çözüm:
Örnek-5- belirsiz integralini bulunuz.
Çözüm:
Örnek-6- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
dx x x x 1 3 3
dx x c x I x x ln 3 ln 3 1 3
tan
2xdx
x
dx
x
dx
dx
x
x
c
I
1
tan
21
1
tan
2tan
cot
4
xdx
x x dx x x dx x x xdx 4 sin ) 4 (sin 4 1 4 sin 4 cos 4 4 1 4 sin 4 cos 4 cot 1İntegralinde u=g(x) ve
Dönüşümü yapılarak integral haline getirilir.
Örnek-1- integralini hesaplayınız
Çözüm:
f
g
(x
)
g
'
(
x
)
dx
u
'
g
'
(
x
)
dx
f
(
x
)
du
(
x
4
2
x
2
3
).(
x
3
x
).
dx
3
2
2 4
x
x
u
du
(
4
x
3
4
x
).
dx
dx
x
x
du
4
(
3
).
du (x x).dx 4 3
u
du
u
du
u
c
I
4
4
1
.
4
1
4
4 3 3c
x
x
I
(
4
2
2
3
)
4
16
1
Örnek-2- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
Örnek-3- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
e
sin x.
cos
x
.
dx
e
du
e
c
I
u.
u
dx
x
x
21
21 x
u
du
x
.
dx
2
du
cosx.dx
du
sinx
u
2xdx
du
Örnek-4- integralini hesaplayınız. Çözüm:
dx
x
x
ln
x
u ln
dx x du 1
u
du
u
du
u
c
I
2
3
2 3 2 1c
x
2 3)
(ln
3
2
Örnek-5- integralini hesaplayınız. Çözüm:
dx
e
dx
x1
dx
e
e
dx
dx
e
e
dx
e
e
dx
e
e
e
dx
e
dx
I
x x x x x x x x x x1
1
1
1
1
1
1
dx
e
e
I
x x1
2u
e
du
e
dx
x x
1
.
u
c
u
du
I
2ln
Örnek-6- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
Örnek-7- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
dx
x
e
xx
u
dx
x
du
2
1
dx
x
du
1
2
e
du
e
du
e
c
I
u.
2
2
u2
uI
2
e
x
c
sin x.cos x.dxx
u sin
du
cos
x
.
dx
u
du
u
c
I
2
.
2c
x
I
2
sin
2Örnek-8- integralini hesaplayınız. Çözüm:
dx
x
x
x
2
4
(
2
).
x
x
u
2
4
du
(
2
x
4
x
).
dx
2
(
x
2
).
dx
dx
x
du
).
2
(
2
c u c u du u du u I
7 3 2 3 3 1 2 3 2 1 . 2 1 2 3Örnek-9- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
Örnek-10- integralini hesaplayınız.
dx
x
x
21
arctan
x
u arctan
dx
x
du
21
1
u
du
u
c
I
2
.
2c
x
I
2
arctan
2
dx
e
e
e
e
x x x x x xe
e
u
du
(
e
x
e
x)
dx
u c u du I lnI
ln
e
x
e
x
c
Örnek-11- integralini hesaplayınız. Çözüm:
dx
x
x
tan
)
(cot
cot
xdx
tan
xdx
I1 I2x
u sin
x
du cos
x
t cos
dx
x
dt
sin
.
c
t
u
I
ln
ln
c
x
x
I
ln
sin
ln
cos
Örnek-12- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
Örnek-13- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
dx x x 2 cos 3 2 sinx
u
3
cos
2du
2
cos
x
sin
x
sin
x
c u u du I
ln I
ln
3
cos
2x
c
dx x x tan ) (tan4 2
dx
x
x
I
tan
2(tan
2
1
)
x
u tan
du
(
1
tan
2x
)
dx
c
u
du
u
I
3
3 2I
x
c
3
tan
3Örnek-14- integralini hesaplayınız. Çözüm:
9
25
x
2dx
c
x
x
dx
arcsin
5
3
5
1
25
9
2
0 ,b R a
a c bx b x b a dx arcsin 1 2 2 2seçerken;
yi
'
ve
.
.
.
v
u
du
v
v
u
dv
u
1. dv’nin integralinden v kolayca bulunabilir. 2. integralini hesaplamak
integralinden daha kolay olmalı.
2. u seçimi yaparken öncelik sırası :
L A P T Ü
v.
du
u.
du
x
.
e
x.
dx
Örnek-1- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
c
e
e
x
dx
e
e
x
dx
e
x
dx
du
dx
x
u
x x x x x
.
.
.
.
.
e
v
.
e
dv
x x
Örnek-2- integralini hesaplayınız. Çözüm:
ln
x.
dx
c
x
-x.lnx
x
1
x.
-x.lnx
lnx.dx
x
v
x
1
du
dx
dv
ln
dx
dx
x
u
Örnek-3- integralini hesaplayınız. Çözüm:
e
x.
sin
x
.
dx
dx
x
e
x
e
x
e
I
dx
x
e
x
e
x
e
x
e
I
dx
x
du
dx
x
u
dx
x
e
e
x
dx
x
du
dx
x
u
x x x x x x x x x
.
sin
.
cos
.
sin
.
.
sin
.
cos
(
cos
.
sin
.
e
v
.
sin
.
e
dv
cos
.
cos
.
.
sin
e
v
.
cos
e
dv
sin
x x x xÖrnek-4- integralini hesaplayınız. Çözüm:
x x 1
.dx ln 2
x
x
x
c
x
I
x
dx
x
dx
x
x
u
1
1
ln
.
1
.
1
x
x
x.lnx
I
x
v
.
1
x
1
du
dx
dv
1
ln
2 2 2 2 2 2Örnek-5- integralini hesaplayınız. Çözüm:
ln
x .
dx
cos
cos(lnx) -x.sin(lnx) x.cos(lnx) I x v ). cos(ln 1 du dx dv sin(lnx) u x lnx sin -cos(lnx).x I x v x 1 -sinlnx. du dx dv ln cos dx x x xdx dx x u
.
na
çarpanları
)
(
ise
)
(
p(x)
der
de
integralin
)
(
).
(
ayrilir
x
Q
x
Q
der
x
Q
dx
x
P
getirilir.
haline
)
(
)
(
)
(
Q(x)
P(x)
ile
bölme
adi
ise
)
(
)
(
x
Q
x
K
x
B
x
Q
der
x
P
der
Örnek-1- integralini hesaplayınız. Çözüm:
dx
x
x
x
x
1
2
2
2 32
2
2 3
x
x
x
X+1x
x
2
2 3x
x
x
x
x
x
2 22
2 - -1
2
2
x
x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
I
1
2
2
3
.
1
2
3 2 2Örnek-2- integralini hesaplayınız. Çözüm:
dx
x
x
x
.(
1
1
)
c
x
x
I
c
x
x
dx
x
x
x
x
x
B
x
A
x
x
x
2)
1
(
ln
1
ln
2
ln
1
2
1
2
B
için
-1
x
1
2
1
1)
x.(x
1
-x
-1
A
için
0
x
B(x)
1)
A(x
1
x
1
)
1
.(
1
Örnek-3- integralini hesaplayınız. Çözüm:
x.(x 1)2 dxdx
x
x
x
x
x
Cx
x
Bx
x
A
x
C
x
B
x
A
x
x
)
)
1
(
1
1
1
1
(
1)
-x.(x
dx
-1
B
için
2
1
A
için
o
x
1,
C
için
1
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
.(
1
2 2 2 2 2Örnek-4- integralini hesaplayınız. Çözüm:
x
216
dx
16
(
4
).(
4
)
2x
x
dx
x
dx
c x x dx x x x dx x x x B x A x B x A x x
ln 44 8 1 4 8 1 4 8 1 16 8 1 A için 4 8 1 B için 4 ) 4 ( ) 4 ( 1 4 4 ) 4 ).( 4 ( 1 21 cos sin2 x 2 x 1. 3. 2. 4. * *
1
tan
sec
2x
2x
x
cos .
x
sin
2
x
2
sin
1 cos . 2 2 cos x 2 x x 2 sin 2 1
cos(
)
cos(
)
2
1
sin
.
sin
a
b
a
b
a
b
sin(
)
sin(
)
2
1
cos
.
sin
a
b
a
b
a
b
Örnek: integralini hesaplayınız. Çözüm:
cos
4
x
.
cos
2
x
.
dx
c
x
x
dx
x
x
I
sin
2
2
1
6
sin
6
1
2
1
).
2
cos
6
(cos
2
1
c
x
x
I
sin
2
4
1
6
sin
12
1
sin
ax
.
sin
bx
,
sin
bx
.
cos
bx
,
cos
ax
.
cos
bx
BİÇİMİNDEKİ İNTEGRALLER
sin
n
x
.
dx
,
cos
n
x
.
dx
Örnek-1- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
sin
2x.
dx
x
dx
x
dx
dx
cos
2
x
.
dx
2
1
2
1
2
2
cos
1
.
sin
2BİÇİMİNDEKİ İNTEGRALLER
Örnek-2- integralini hesaplayınız. Çözüm:
x
dx
x
dx
x
dx
dx
x
(
1
cos
2
)
.
4
1
2
2
cos
1
.
)
(sin
.
sin
2 2 2 2 4
sin
4x.
dx
sin
2
cos
2
)
2
1
.
2
(
4
1
)
2
cos
2
cos
2
1
(
4
1
2 2xdx
x
x
dx
x
x
2
4
cos
1
x
c
x
x
x
x
dx
x
x
x
I
sin
4
)
4
1
(
8
1
2
sin
4
1
4
2
4
cos
1
4
1
2
sin
4
1
4
c
x
x
x
I
sin
4
32
1
4
2
sin
8
3
Örnek-3- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
x
x
dx
x
x
dx
xdx
(sin
)
.
sin
.
(
1
cos
)
.
sin
.
sin
5 2 2 2 2xdx
5sin
x
u cos
du
sin
xdx
dx
x
du
sin
.
(
1
)
.(
)
2 2du
u
I
u
u
du
u
u
du
I
(
1
2
2 4).(
)
(
1
2
2 4).
sin
2x
.
cos
3x
.
dx
sin
2x
.
cos
2x
.
cos
x
.
dx
sin
2x
.(
1
sin
2x
).
cos
x
.
dx
u sin
x
du
cos
x
.
dx
u
u
du
u
u
du
I
2.(
1
2).
(
2 4).
c
x
x
c
u
u
5
sin
3
sin
5
3
5 3 5 3Örnek:-1- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
dx
x
x
sin
2.
cos
3.
dx
x
x
m n.
cos
.
sin
BİÇİMİNDEKİ İNTEGRALLER
Örnek-2- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
dx x
.
sin .
x
cos
3 4
dx x
.
sin .
x
sin .
x
cos
dx x
.
sin .
x
cos
2 4
3 4
cos
4x.(
1
cos
2x
).
sin
x
.
dx
u cos
x
du sin x.dxdu
u
u
du
u
u
I
4.(
1
2).(
)
(
4
6.)
x
x
u
u
5 7cos
5cos
7
tan
nx
.
dx
,
cot
nx
.
dx
Örnek-1- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
tan
x.
dx
c
x
I
dx
x
du
x
u
dx
x
x
dx
x
cos
ln
.
sin
cos
.
cos
sin
.
tan
BİÇİMİNDEKİ İNTEGRALLER
Örnek-2- integralini hesaplayınız. Çözüm:
tan
2x.
dx
c
x
x
I
dx
dx
x
dx
x
dx
x
tan
).
1
(tan
).
1
1
(tan
.
tan
2 2 2Örnek-3- integralini hesaplayınız. Çözüm:
dx
x.
tan
4
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
.
tan
.
tan
.
sec
.
tan
).
1
(sec
.
tan
.
tan
.
tan
2 2 2 2 2 2 2 4x
du
x
u
2sec
tan
dx x 1 1) (tan2
c
x
x
x
c
x
x
u
dx
dx
x
du
u
I
tan
3
tan
tan
3
).
1
(
tan
.
3 3 2 2Örnek-4- integralini hesaplayınız. Çözüm:
tan
5x.
dx
c
x
x
x
c
x
x
du
u
I
dx
x
x
u
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
I
cos
ln
tan
tan
cos
ln
tan
.
.
sec
du
tan
.
tan
.
sec
.
tan
).
1
.(sec
tan
.
tan
.
tan
.
tan
2 4 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 5dx
x
x
m n.
tan
.
sec
Örnek-1- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
sec
x
.
tan
3x
.
dx
c
x
x
c
u
u
du
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
sec
3
sec
3
)
1
(u
I
dx
secx.tanx.
du
secx
u
.
tan
.
sec
).
1
(sec
.
tan
.
sec
.
tan
.
tan
.
sec
3 3 2 2 2 3BİÇİMİNDEKİ İNTEGRALLER
Örnek-2- integralini hesaplayınız. Çözüm:
sec
6x
.
tan
3x
.
dx
c
x
x
I
du
u
du
u
du
u
u
du
u
dx
x
x
x
x
dx
x
x
6
sec
8
sec
.
.
).
(
).
1
(
u
I
dx
secx.tanx.
du
secx
u
.
tan
.
sec
.
tan
.
sec
.
tan
.
sec
6 8 5 7 5 7 2 5 2 5 3 6R
İNTEGRALLE
BULUNDUGU
OLARAK
RASYONEL
in
cosx'
VE
sinx
DE
İNTEGRALİN
2 x 2 1 u 4 2 2 2 2u
1
2du
dx
1
u
-1
cosx
u
1
2u
sinx
2
x
tan
u
u
1Örnek-1- integralini hesaplayınız. Çözüm:
1
sin
dx
x
cos
x
) 1 ( 1 1 1 2 1 1 2 cos sin 1 2 2 2 2
u udu u u u u u du x x dx u u u du u du u B u A I
ln ln 1 1 I -1 B 1 A 0 B A B) u(A B(u) 1) A(u 1 1Örnek-2- integralini hesaplayınız. Çözüm:
2
dx
sin
x
1
1
2
2
2
1
2
sin
2
2 2 2 2u
u
du
u
u
u
u
du
x
dx
2 2 22
3
2
1
1
1
2
1
u
du
u
u
du
a
u
a
a
u
du
arctan
1
2 2c
x
I
3
1
2
tan
2
arctan
3
2
2 2 2
b
x
a
‘den başka köklü ifade bulundurmayan integralleri hesaplamak için
Değişken değiştirmesi yapılır.
2
2
sin
u
u
b
a
x
Örnek: integralinin değerini bulunuz. Çözüm:
dx
x .
9
4
2
u
du
u
u
c
I
du
u
u
du
u
u
I
u
u
u
u
x
2 2 22
sin
2
1
3
2
2
cos
1
3
2
.
2
2
cos
1
3
4
.
cos
3
2
.
cos
2
cos
2
4sin
-4
sin
3
2
9
-4
9x
-4
cosu.du
3
2
dx
deg.deg.
sin
3
2
‘den başka köklü ifade bulunmayan integralleri hesaplamak için
Değişken değiştirmesi yapılır.
2 2 2
b
x
a
2
2
tan
u
u
b
a
x
Örnek: integralini hesaplayınız. Çözüm:
4 x
2dx
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
dx
x
u
u
u
u
x
du
u
u
x
u
)
sec
tanx
-secx
(
du
tanx
secx
u
tan
sec
)
tan
.
sec
(sec
tan
sec
)
tan
(sec
sec
.
sec
sec
2
sec
2
tan
1
2
tan
4
4
4
sec
.
2
)
tan
2(1
dx
yap.
deg.deg.
tan
2
2 2 2 2 2 2 2‘den başka köklü ifade bulundurmayan integralleri hesaplamak için:
Değişken değiştirmesi yapılır.
2 2 2
x
a
b
u
b
a
x
sec
Örnek: integralini hesaplayınız. Çözüm:
dx
x
x
9
21
du
u
u
du
u
u
u
I
u
u
x
du
u
u
u
x
tan
.
sec
3
1
.
tan
.
sec
3
1
tan
tan
1
sec
9
1
.
9
1
9
.
tan
.
sec
3
1
dx
sec
3
1
2 2 21. belirsiz integrali için Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) B) C) D) E) I x x c c x x I c x x I c x I c x x I cos . sin 2 cos . sin cos sin 2 sin . 2 cos sin dx x x x x
2. Belirsiz integrali aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) B) C D)
dx
x
x
4 44
3 4 3 3 4 3 3 4 3 3 4 4 6 3 3 4 5 3 3 4 4 3 3 4 3 3 x x x x x x x x x x x x 3. İntegralinin çözümü aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) c 32 x 4 sin 8 x 3 I c 32 x 4 sin 8 x I c 32 x 4 sin 8 x I c 32 x 4 sin 8 x 3 I c 32 x 4 sin 8 x I
sin2 x.cos2 x.dxA)
B)
C)
D)
4 Belirsiz integrali için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
dx
x
x
x
1
1
2
2
2 3c
x
x
c
x
x
c
x
x
c
x
x
)
1
ln(
2
1
)
1
ln(
arctan
arctan
2 2 2 3 25. belirsiz integrali için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) B) C) D) E)
dx
x
x
ln
2 c x 1 x x ln I c x 1 ln I c x 1 x x ln I c x 1 x x ln I c x 1 x x ln I 6. belirsiz integrali için Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)
B)
C)
D)
8sin x.cos x.cos 2x.dxc x c x c x c x 2 8 cos 4 sin 4 1 4 cos 4 cos
7. integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) I x x c c x x I c x x I c x x I c x x I 3 cos sin 3 cos sin 3 sin sin 3 cos cos 3 cos cos 3 3 3 3 3
sin
3x.
dx
x
2dx
x
8. belirsiz integrali için, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) B) C) D) x c x c x x c x c x 1 ln ln 1 1 ln 1 1 ln 2 2
9. aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E)
sin(sin2 x).sin 2x.dxc
x
c
x
c
x
c
x
c
x
cos
)
cos(sin
)
cos(sin
)
sin(sin
)
cos(sin
2 210. integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D)
