ĐSTANBUL TEKNĐK ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ
YÜKSEK LĐSANS TEZĐ Kenan Ozan KAPLAN
Anabilim Dalı : Đnşaat Mühendisliği Programı : Yapı Mühendisliği
HAZĐRAN 2009
TĐTREŞEN YAPI MODELLERĐ VE STOKASTĐK SĐSTEM TANILAMA YÖNTEMLERĐYLE MODAL PARAMETRELERĐN BELĐRLENMESĐ
HAZĐRAN 2009
ĐSTANBUL TEKNĐK ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ
YÜKSEK LĐSANS TEZĐ Kenan Ozan KAPLAN
(501061070)
Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 04 Mayıs 2009 Tezin Savunulduğu Tarih : 04 Haziran 2009
Tez Danışmanı : Doç. Dr. Pelin GÜNDEŞ BAKIR (ĐTÜ) Diğer Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Reha ARTAN (ĐTÜ)
Prof. Dr. Erdal ŞAFAK (BÜ)
TĐTREŞEN YAPI MODELLERĐ VE STOKASTĐK SĐSTEM TANILAMA YÖNTEMLERĐYLE MODAL PARAMETRELERĐN BELĐRLENMESĐ
ÖNSÖZ
Yapı sistemlerinin modal karakteristiklerinin tayin edilmesi dinamik etkilerin çok yoğun olduğu bölgelerde hassas bir konudur. Ayrıca yapıların dinamik etkiler altında gösterecekleri davranış biçimi, bu modal karakteristiklerin doğru tespiti ile birebir ilişkilendirilebilir.
Đ.T.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, Đnşaat Mühendisliği Bölümü Yapı Mühendisliği yüksek lisans programı çerçevesinde gerçekleştirilen bu yüksek lisans çalışmasında, titreşen yapı modellerinin incelenmesiyle birlikte bu modellerin teorik ortamdan deneysel ortama doğru yol alırken modal karakteristiklerinin nasıl belirlendiği irdelenmiştir. Ayrıca bir çerçeve sistem üzerinde bu karakteristiklerin çeşitli titreşim modelleriyle saptaması yapılarak, bu parametreler arasında karşılaştırmalar yapılmıştır.
Çalışmalarım sırasında yol gösterici ve hoşgörülü yaklaşımı ile tezimin gelişmesindeki yardımları ve özellikle ilk altı bölümdeki formülasyonların detaylandırılıp çıkarılmasındaki büyük katkıları için sayın hocam Doç.Dr. Pelin GÜNDEŞ BAKIR’a, ve varlıklarıyla bana destek olan ve güç veren aileme ve dostlarıma teşekkür ederim.
Haziran 2009 Kenan Ozan KAPLAN Đnş. Müh.
ĐÇĐNDEKĐLER Sayfa ÖNSÖZ... iii ĐÇĐNDEKĐLER...v KISALTMALAR ... vii ÇĐZELGE LĐSTESĐ... ix ŞEKĐL LĐSTESĐ ... xi
SEMBOL LĐSTESĐ... xiii
ÖZET ... xvii
SUMMARY...xix
1. GĐRĐŞ ...1
1.1 Tezin Amacı ve Kapsamı...2
2. TĐTREŞEN MODELLER ĐÇĐN SONLU ELEMANLAR YAKLAŞIMI ...3
2.1 Sönümsüz Özdeğer Probleminin Đrdelenmesi...4
2.2 Oransal Sönüm...6
2.3 Vizkoz Sönüm...7
3. DURUM UZAY MODELLERĐ0...11
3.1 Sürekli Zamana Ait Durum Uzay Modelleri ...11
3.1.1 Titreşen sistemler için durum uzay modelleri...11
3.1.1.1 Durum denklemi 11 3.1.1.2 Gözlem denklemi 12 3.1.1.3 Durum uzay modeli 13
3.1.2 Modal parametreler ve model indirgemeler...14
3.1.2.1 Klasik modal analiz ile ilişkiler 14 3.1.2.2 Sürekli zamanda modal ayrıştırma 17 3.1.2.3 Sürekli zamanda model indirgemesi 19 3.1.3 Oransal sönümlemenin özel durumu...20
3.2 Ayrık Zamana Ait Durum Uzay Modelleri...22
3.2.1 Ayrık zamanda modal parametreler ...24
3.2.2 Dürtü (Uyarı) yanıtları...24
3.3 Stokastik Durum Uzay Modelleri ...25
3.3.1 Stokastik bileşenler...28
3.3.2 Stokastik sistemin özellikleri ...29
3.3.3 Đleri yenilik modeli ...31
4. ARMA MODELLERĐ ...33
4.1 ARMA Modelinin Tayini ...33
4.2 ARMA Modellerinin Modal Parametreleri ...35
5. FREKANS-ALAN MODELLERĐ...39
5.1 Sürekli Zaman Frekans-Alan Modelleri ...39
5.1.1 Laplace dönüşümü...39
5.1.2 Transfer fonksiyonu ...40
5.1.2.1 Frekans yanıt fonksiyonu 41 5.1.3 Spektrum...41
5.2.1 Z-dönüşümü... 43
5.2.2 Stokastik durum-uzay matrisinin spektrumu... 43
5.2.3 Đleri yenilik modelinin spektrumu... 44
6. STOKASTĐK SĐSTEM TANILAMA ÖZELLĐKLERĐ ... 47
6.1 Data Tipleri... 47
6.1.1 Zaman datası... 47
6.1.2 Kovaryans dataları ... 48
6.1.3 Spektrum dataları... 49
6.2 Frekans Alanında Spektrum Datasıyla Çözüm... 50
6.2.1 Piklerin seçilmesi metodu ... 50
6.3 Zaman Alan Datasıyla Çözüm... 52
6.3.1 Stokastik altuzay tanılaması teorisi (SSI)... 52
7. TĐPĐK BĐR KAMU YAPISINA AĐT BĐR ÇERÇEVENĐN TĐTREŞĐM MODELLERĐNĐN ĐNCELENMESĐ... 55
7.1 Yapının Tanıtılması ... 55
7.2 Sistemin Sonlu Elemanlar Metoduyla Modal Analizi ... 57
7.3 Sistemin Geçici Bir Girdiye Karşı Cevap Analizi (Transient)... 61
7.3.1 Beyaz gürültü sinyali... 62
7.3.2 Yapı cevabı... 62
7.4 Sistemin Stokastik Sistem Tanılama Metodlarıyla Modal Karakteristiklerinin Belirlenmesi... 65
7.4.1 Sensörlerden alınan sinyallerin irdelenmesi... 67
7.4.2 Piklerin seçilmesi yöntemi ile modal karakteristiklerin tayini ... 69
7.4.3 Stokastik alt uzay tanılaması yöntemi ile modal karakteristiklerin tayini (SSI) ... 75
7.5Deterministik ve Stokastik Metodlarla Saptanan Modal Parametrelere Đlişkin Tablolar ve Grafikler... 78
8. SONUÇLAR ... 81
8.1 Teoriye Yönelik Sonuçlar ... 81
8.2 Uygulamaya Yönelik Sonuçlar... 83
KAYNAKLAR... 85
EKLER ... 89
KISALTMALAR
ARMA : Auto Reggresive, Moving Avarage FFT : Fast Fourier Transform
FRF : Frequency Response Function SSI : Stochastic Subspace Identification ZOH : Zero Order Hold
ÇĐZELGE LĐSTESĐ Sayfa Çizelge 7.1 Çizelge 7.2 Çizelge 7.3 Çizelge 7.4
: Sistemin Serbest Titreşim Frekansları …….………. : Sistemin SSI Yöntemiyle Saptanan Modal Parametreleri …… : Deterministik ve Stokastik Yöntemlerle Saptanmış Olan Sisteme Ait Serbest Titreşim Frekansları ……... : Sonlu Elemanlar Yöntemi Referans Alınarak Hesaplanan ..Hata Yüzdeleri……...
61 77 79 79
ŞEKĐL LĐSTESĐ Sayfa Şekil 1.1 Şekil 3.1 Şekil 3.2 Şekil 7.1 Şekil 7.2 Şekil 7.3 Şekil 7.4 Şekil 7.5 Şekil 7.6 Şekil 7.7 Şekil 7.8 Şekil 7.9 Şekil 7.10 Şekil 7.11 Şekil 7.12 Şekil 7.13 Şekil 7.14 Şekil 7.15 Şekil 7.16 Şekil 7.17 Şekil 7.18 Şekil 7.19 Şekil 7.20 Şekil 7.21 Şekil 7.22 Şekil 7.23 : Tacoma Köprüsü... : Beyaz Gürültü... : Güç Spektral Yoğunluğu... : Sisteme Ait Genel Görünüm... : Sistemin Ölçülendirilmiş Kesit Görünüşü... : Sistemin Deforme Olmamış Şekli ve Đlk Üç Mod Şekli. (a,b,c,d)
SAP2000 ile, (e,f,g,h) ANSYS ile... : Sisteme Verilen Sinyalin Đvme-Zaman Grafiği... : Sisteme Verilen Sinyalin Spektrum-Frekans Grafiği... : Sisteme Global X Yönünde Verilen Girdi Sinyali... : Sistemin Đlk Üç Ayrık Zamandaki Deformasyon Şekli... : Sistem Đçin Tanıtılmış Olan Üç Farklı Sensör Düzeneği... : 12-B Aksının Geçtiği Düğüm Noktasındaki Sensöre Ait Đvme- Zaman Grafiği………... : 12-B Aksının Geçtiği Düğüm Noktasındaki Sensöre Ait
Spektrum-Frekans Grafiği... : 5-B Aksının Geçtiği Düğüm Noktasındaki Sensöre Ait Đvme
Zaman Grafiği... : 5-B Aksının Geçtiği Düğüm Noktasındaki Sensöre Ait
Spektrum-Frekans Grafiği... : Sadece Beş Adet Yatay Sensörün Yerleştirildiği Birinci Duruma Ait Spektral Yoğunluk Fonksiyonu Grafiği... : On Adet Yatay Sensörün Yerleştirildiği Đkinci Duruma Ait
Spektral Yoğunluk Fonksiyonu Grafiği... : Beş Adet Yatay Sensörün,Beş Adet Düşey Sensörün Yerleştirildiği
Üçüncü Duruma Ait Spektral Yoğunluk Fonksiyonu Grafiği... : Đlk Sensör Düzeneği Đçin Artemis Programından Alınan Sistem
Şekli... : Đkinci Sensör Düzeneği Đçin Artemis Programından Alınan Sistem Şekli... : Üçüncü Sensör Düzeneği Đçin Artemis Programından Alınan Sistem Şekli... : Đlk Sensör Düzeneği Đçin Piklerin Seçilmesi ve Spektral Yoğunluk
Fonksiyonu………... : Đkinci Sensör Düzeneği Đçin Piklerin Seçilmesi ve Spektral
Yoğunluk Fonksiyonu………... : Üçüncü Sensör Düzeneği Đçin Piklerin Seçilmesi ve Spektral
Yoğunluk Fonksiyonu………..… : Her Üç Sensör Düzeneği Đçin Piklerin Seçilmesi Yöntemiyle Saptanan Birinci Mod Şekli..………... : Her Üç Sensör Düzeneği Đçin Piklerin Seçilmesi Yöntemiyle Saptanan Đkinci Mod Şekli..………...
1 26 28 55 56 60 62 63 63 65 66 67 67 68 68 69 70 70 71 71 72 72 72 73 74 74
Şekil 7.24 Şekil 7.25 Şekil 7.26 Şekil 7.27 Şekil 7.28 Şekil 7.29 Şekil 7.30 Şekil 8.1
: Her Üç Sensör Düzeneği Đçin Piklerin Seçilmesi Yöntemiyle Saptanan Üçüncü Mod Şekli……….. : Đlk Sensör Düzeneği Đçin SSI Yöntemiyle Belirlenmiş
Stabilizasyon Grafiği………... : Đkinci Sensör Düzeneği Đçin SSI Yöntemiyle Belirlenmiş
Stabilizasyon Grafiği………... : Üçüncü Sensör Düzeneği Đçin SSI Yöntemiyle Belirlenmiş Stabilizasyon Grafiği………... : Sistemin SSI Yöntemiyle Bulunmuş Olan Đlk Üç Mod Şekli……. : Piklerin Seçilmesi Metodu Đçin Üç Farklı Sensör Düzeneğine Ait Rölatif Farklar Grafiği...……... : Stokastik Alt Uzay Metodu Đçin Üç Farklı Sensör Düzeneğine Ait Rölatif Farklar Grafiği...……... : Titreşen Yapı Modellerine Ait Đlişkiler Şeması...…….
75 76 76 77 78 80 80 82
SEMBOL LĐSTESĐ
A : Ayrık Zamana Ait Durum Matrisi. Kesit Alanı c
A : Sürekli Zamana Ait Durum Matrisi n
A : Normal Modlu Durum Matrisi s
A : Kayma Alanı comp
p
A : Otoregresif Parametreleri Barındıran Eş Matris /
/ai , /
/bi : Vizkos Sönümlemeye Ait Modal Matrisler B : Ayrık Zamana Ait Girdi Matrisi
c
B : Sürekli Zamana Ait Girdi Matrisi n
B : Normal Modlu Girdi Matrisi 2
B : Girdi Lokasyon Matrisi
C : Ayrık Zamana Ait Çıktı Matrisi a
C : Đvme Çıktı Lokasyon Matrisi c
C : Sürekli Zamana Ait Çıktı Matrisi d
C : Deplasman Çıktı Lokasyon Matrisi n
C : Normal Modlu Çıktı Matrisi v C : Hız Çıktı Lokasyon Matrisi 2 C : Sistem Sönüm Matrisi / /Ci : Modal Sönüm Matrisi
D : Ayrık Zamana Ait Doğrudan taşıma Matrisi c
D : Sürekli Zamana Ait Doğrudan taşıma Matrisi n
D : Normal Modlu Doğrudan taşıma Matrisi E : Beklenen Değer Operatörü. Young Modülü
k
e : Beyaz Gürültü Vektör Dizisi s
F : Kayma Sabiti )
(t
f : Dış Kuvvet Vektörü. Zamana Bağlı Herhangi Bir Fonksiyon G : Gelecek Durum Çıktı Kovaryans Matrisi. Kayma Modülü
m
G : Stokastik Modal Katılım Matrisi ref
G : Gelecek Durum Đçin Çıktı Kovaryans Matrisi ) (q H : Transfer Operatörü ) (s Hc : Transfer Fonksiyonu ) (jωωωω
Hc : Frekans Yanıt Fonksiyonu ref
H : Blok Hankel Matrisi k
h : Dürtü Yanıt Matrisi
K : Sistem Rijitlik Matrisi. Kalman Kazanımı /
/ki : Modal Rijitlik Matrisi
L : Ayrık Zamana Ait Modal Katılım Matrisi. Referansları Belirleyen Seçim Matrisi. Eleman Boyu
) (t
Lc : Sürekli Zamana Ait Modal Katılım Matrisi )
(t
Lce : Elemine Edilmiş Kısmın Sürekli Zamana Ait Modal Katılım Matrisi )
(t
Lcr : Đndirgenmiş Sistemin Sürekli Zamana Ait Modal Katılım Matrisi T
ci
l : Modal Katılım Matrisinin i’inci satırı M : Sistem Kütle Matrisi
/
/mi : Modal Kütle Matrisi p
O : Ölçümlenebilme Matrisi m
p
O , : Modal Ölçümlenebilme Matrisi
P : Kütle ve Sönüm Matrisleriyle Oluşturulan, Hareket Denkleminin Birinci Dereceden Diferansiyel Denklem Olarak Yazıldığı Durumda
Kullanılan Matris. Stabil Özdeğerler Đçeren Matris. ref
i
P : Stokastik Alt Uzay Tanılaması Đçin Projeksiyon Đfadesi
Q : Kütle ve Rijitlik Matrisleriyle Oluşturulan, Hareket Denkleminin Birinci Dereceden Diferansiyel Denklem Olarak Yazıldığı Durumda
Kullanılan Matris.
Q, R , S : Gürültü Prosesi Ve Ölçüm Gürültüsünün Kovaryans Matrisleri q : Đleri Yenilik Operatörü
) (ττττ
R : Otokorelasyon Fonksiyonu e
R : Yeniliklerin Kovaryans Matrisleri i
R : Çıktı Kovaryans Matrisi k
R : k Zaman Aralığı Đçin Çıktı Kovaryansı u
R : Spektrum Alanında Sabit Matris r : Referans Sensörlerinin Adedi
) (s Su : Girdi Düz Spektrumu ) (s Sy : Çıktı Düz Spektrumu ) (z Sy : z Alanında Çıktı Spektrumu ) (z
Sy++++ : z Alanında Çıktı Spektrumunun Bileşeni )
( j t y e S ωωωω∆∆∆∆
)
: Welch ve Ağırlıklı Korelogram Methodları Đçin Spektrum Đfadesi )
(s
Sx : Durum Vektörünün Spektrum Değeri
s : Kompleks Skaler Bilinmeyen
T : Benzerlik Dönüşüm Matrisi n
T : Normal Modlu Benzerlik Dönüşüm Matrisi ref
i
T1/ : Blok Toeplitz Matrisi )
(s
U : Laplace Alanında Girdi Đfadesi 1
U ,S ,1 V1T : Tekil Değer Ayrıştırma Faktörleri )
(t
k
u : Ayrık Zamana Ait Girdi Vektörü
V : Ayrık Zamana Ait Mod Şekilleri Matrisi )
(t
Vc : Sürekli Zamana Ait Mod Şekilleri Matrisi )
(t
Vce : Elemine Edilmiş Kısmın Sürekli Zamana Ait Mod Şekilleri Matrisi )
(t
Vcr : Đndirgenmiş Sistemin Sürekli Zamana Ait Mod Şekilleri Matrisi
i
c
V : Mod Şekilleri Matrisinin i’inci sütunu )
(t
v : Zamana Bağlı Deplasman Vektörü i
v : Ayrık Zamana Ait Öz Vektörlerden Herhangi Biri k
v : Sensör Hatalarıyla Oluşan Ölçüm Gürültüsü )
(t
v& : Zamana Bağlı Hız Vektörü )
(t
v&& : Zamana Bağlı Đvme Vektörü k
w : Modelleme Hataları Veya Arızalardan Meydana Gelen Gürültü )
(s
X : Laplace Dönüşmüşü, Laplace Alanında Durum Vektörü )
(z
X : z Alanında Durum Vektörü i
Xˆ : Kalman Filtresi Durum Dizisi )
(t
x : Durum Vektörü )
(t
xe : Elemine Edilmiş Kısmın Durum Vektörü )
(t
xm : Modal Durum Vektörü )
(t
xr : Đndirgenmiş Sistemin Durum Vektörü k
x : Ayrık Zamana Ait Durum Vektörü
Y : Normal Koordinatlarla Yazılmış Deplasman Matrisi )
(s
Y : Laplace Alanında Çıktı Đfadesi f
Y : Gelecek Zamana Ait Durum ref
p
Y : Geçmiş Zamana Ait Durum
Y& : Normal Koordinatlarla Yazılmış Hız Matrisi Y& & : Normal Koordinatlarla Yazılmış Đvme Matrisi
) (t
y : t Anındaki Çıktı Đfadesi )
(t
yi : Durum Uzay Modeline Ait Her Bir i Modu Đçin Çıktı Đfadesi k
y : Ayrık Zamana Ait Çıktı Vektörü ref
k
y : Referans Çıktı Vektörü ref
k
y ≈≈≈≈ : Referans Olarak Belirlenmemiş Çıktı Vektörü z : Skaler Karmaşık Değişken
) (t
z : Benzerlik Dönüşüm Matrisi Kullanılarak Yazılan Durum Vektörü i
ϑ ϑ ϑ
ϑ : Gerçel Öz Vektör Đfadesi i
λ λλ
λ : Gerçel Öz Değer Đfadesi i
ω ωω
ω : Gerçel Öz Frekans Đfadesi i
γγγγ : Hareketli Ortalamalar Matrisi Parametreleri i ξξξξ : Sönüm Oranı i µ µ µ
i α αα
α : Otoregresif Matrisi Parametreleri
α
α
α
α
: Rayleigh Sönümü Đçin Sistem Kütle Matrisiyle Lineer Olan Skaler Sabitβ β β
β : Rayleigh Sönümü Đçin Sistem Rijitlik Matrisiyle Lineer Olan Skaler Sabit
Γ ΓΓ
Γ : Modal Kütle Matrisi Ve Öz Frekanslarla Belirlenen Diyagonal Matris
ψ ψ ψ
ψ : Kompleks Öz Vektör Matrisi Λ
ΛΛ
Λ : Đkinci Dereceden Hareket Denklemindeki Öz Değerler c
Λ ΛΛ
Λ : Sürekli Zamana Ait Öz Değer Matrisi d
Λ ΛΛ
Λ : Ayrık Zamana Ait Öz Değer Matrisi pg
δδδδ : Kronecker Deltası Φ
ΦΦ
Φ : Kolonları Öz Vektör Olan Mod Şekilleri Matrisi Σ
ΣΣ
Σ : Durum Kovaryans Matrisi Θ
ΘΘ
Θ : Đkinci Dereceden Hareket Denklemindeki Öz Vektörler Ω
ΩΩ
TĐTREŞEN YAPI MODELLERĐ VE STOKASTĐK SĐSTEM TANILAMA YÖNTEMLERĐYLE MODAL PARAMETRELERĐN BELĐRLENMESĐ ÖZET
Günümüzde Yapı sistemlerinin güvenilirliği ve analiz doğruluğu çok büyük bir önem ifade etmektedir. Bu güvenilirlik ve analiz doğruluğunun elde edilmesi sisteme ait bilgilerin adedi ve gerçekliğiyle doğru orantılıdır. Bu bağlamda yapı sistemlerinin dinamik karakteristiklerinin bilinmesi deprem riski altında bulunan coğrafyamız için ciddi bir anlam taşımaktadır. Titreşen yapılar için bahsi geçen dinamik karakteristiklerin belirlenmesinin bir çok yöntemi vardır. Bu yöntemler uygulamada hem teorik hem de deneysel olabilir. Teorik yöntemler uygulama açısından kolay fakat parametrelerin doğruluğunun belirlenmesi açısından tartışmaya açıktır. Oysa deneysel yöntemler, pratikte uygulaması daha zor fakat sistemin gerçek dinamik davranışını belirlemek açısından daha doğru bilgiler verir. Örneğin bir yapının deneysel yöntemlerle dinamik davranışının belirlenmesi için yapıya ait bir takım ölçülmüş çıktılara ihtiyaç vardır. Ancak bu ölçüm işleminin pratikte yapılması zahmetli ve maliyetli bir deneydir.
Bu tezin kapsamında titreşen yapıların modelleme teknikleri, deterministik ve teorik yapıdan, stokastik ve deneysel yapıya doğru ilerlemek kaydıyla incelenmiştir. Sekiz bölümden oluşan çalışmanın birinci bölümünde konuya genel bir giriş yapılmış ve çalışmanın kapsamı tariflenmiştir.
Đkinci bölüm de titreşen yapılar için sonlu elemanlar metodu ve bu konuya paralel olarak sönümsüz serbest titreşim, oransal sönümlü serbest titreşim, ve bunlardan biraz daha farklı bir matematiksel açıklaması olan vizkoz sönümlü durum ele alınmıştır.
Üçüncü bölüm de ise titreşen yapıların durum uzay modelleri; sürekli zamana ait durum uzay modelleri, ayrık zamanlı durum uzay modelleri ve deneysel dünyaya son adım olarak nitelendirilebilecek olan stokastik durum uzay modelleri olarak üç farklı başlık altında incelenmiştir.
Dördüncü bölümde durum uzay modelinden durum vektörünün ortadan kaldırılmasıyla bulunan ARMA modelleri, beşinci bölümde ise stokastik sistem tanılama metodları için kullanılabilen frekans-alan modelleri irdelenmiştir.
Altıncı bölümde stokastik sistem tanılama özellikleri incelenmiş, konuya paralel olarak data tipleri, frekans alanında spektrum datasıyla çözüm ve zaman alan datasıyla çözüm konuları alt başlık olarak ele alınmıştır
Yedinci bölümde uygulama olarak bir kamu yapısının orta aksına ait çerçeve sisteminin önce sonlu elemanlar yaklaşımı ile modal parametreleri belirlenmiş, daha sonra belirli kabuller doğrultusunda sisteme belli bir ivme kaydı verimiş ve bu ivme kaydına paralel olarak ortaya çıkan çıktılar kullanılarak yapının stokastik sistem tanılama metodlarından piklerin seçilmesi ve stokastik alt uzay tanılaması metodlarıyla dinamik parametreleri üç farklı sensörleme durumu için saptanmıştır.
Son bölümde ise yedinci bölümde bulunmuş olan dinamik parametreler bütün modelleme teknikleri için karşılaştırılmış ve yorumlanmıştır. Bunun dışında teorik olarak çalışmanın ana özelliklerinin değerlendirilmesi yapılmıştır.
THE MODELS OF VIBRATING STRUCTURES AND DETERMINING THE MODAL PARAMETERS WITH THE STOCHASTIC SYSTEM
IDENTIFICATION METHODS SUMMARY
The reliability and accuracy of the dynamic analysis of the construction systems carry great importance. Obtaining this reliability and analysis accuracy is directly proportional to the quantity and authenticity of the information related to the system. Therefore, knowing the dynamic characteristics of the construction systems has vital importance for seismically active countries like Turkey. There are several ways to determine the above mentioned characteristics of the vibrating constructions. These methods may be both theoretical and experimental in application. Theoretical methods are simple in terms of application but may be less accurate due to several reasons. On the other hand, the experimental methods are difficult in application but provide more accurate information in terms of determining the actual dynamic behavior of the system. For instance, a group of measured data is needed in order to determine the dynamic behavior of a construction by experimental methods. However, vibration measurement is a difficult and costly process.
Within the scope of this thesis, the modeling techniques of the vibrating constructions are analyzed progressively from deterministic and theoretical techniques to stochastic and experimental techniques. In the first part of the work consisting of eight sections, a general introduction is made and the scope of this work is defined.
In the second section; the finite element method for the vibrating systems and in line with it, the undamped free vibration, proportional damping in free vibration and the viscous damping condition which has quite a different explanation than others are discussed.
In the third section; the state space models of the vibrating systems, continuous state space models, discrete state space models and the stochastic state space models which can be described as the last step towards the experimental world are handled under three headlines.
In the fourth section; ARMA models, which can be identified through the elimination of the state vector from the state space model, and in the fifth section, the frequency domain models which can be used for the stochastic system identification methods, are analyzed.
In the sixth section, the properties of the stochastic system identification are handled, in accordance to these, Data types, Frequency-Domain Spectrum-Driven methods and Time -Domain Data-Driven methodsare discussed as subtitles.
In the seventh section; firstly the model parameters of a frame system, which is a middle frame of a public building, is determined by finite element method, then, a certain acceleration data is given to the system in line with certain acceptances, and the outputs of this acceleration data are used to determine the dynamic parameters of
the system by peak picking and stochastic subspace identification methods which are the methods of stochastic system identification. These characteristics are analyzed for the three different senor location configurations.
In the last section; all identified parameters in the seventh section are compared and paraphrased with each other for the whole solution methods. On the other hand the theoretical assessment of the main features of the work is handled.
1. GĐRĐŞ
Yapıların dinamik davranışlarının belirlenmesi özellikle deprem kuşağında olan ülkemiz için büyük önem arz etmektedir. Bu davranışların belirlenmesinde teorik ve deneysel olmak kaydıyla bir çok yöntem mevcuttur. Yapısal analizlerde çoğunlukla teorik yöntemler tercih edilse de, deneysel yöntemler, hassas ve gerçeğe daha yakın sonuçlara ulaşılmasını sağlar. Bu yöntemler deterministik (istatistiksel olmayan) halden stokastik (istatiksel) hale geçerken teorik yapılarından uzaklaşıp deneysel dünyaya daha yakın bir hal alırlar. Özellikle sistemlerin titreşimlerinin kayda alınıp bunlar üzerine belirlenen dinamik davranışlar, sistem tanılama yöntemleri kapsamına girmektedir ki bu yöntemler sonucunda, yapıların dinamik parametrelerinin saptanması ve yapının olası bir güçlü yer hareketi veya etkin bir titreşim etkisinde kaldığında nasıl bir davranış sergileyeceği büyük ölçüde tahmin edilebilmektedir. Yapı öneminin artmasına paralel olarak dinamik parametrelerin deneysel yöntemlerle belirlenmesinin gerekliliği özellikle vurgulanmalıdır. Şekil 1.1’de 1940 yılında rüzgar nedeniyle teorik olarak rezonans etkisinde yıkılan ünlü Tacoma köprüsünün yıkım anındaki resmi gösterilmiştir (Url-1). Bu gibi örneklerin ardından da anlaşıldığı üzere sistemlerin dinamik parametrelerinin saptanması sistemin hasara veya yıkıma uğrayıp uğramayacağı hususunda çok değerli bilgiler vermektedir.
1.1 Tezin Amacı ve Kapsamı
Bu tezin esas amacı titreşen yapı modellerinin teorik ve matematiksel olarak nasıl ifade edildiklerinin araştırılmasının yanı sıra bunların deneysel ortama yakınlıkları ve birbirleri arasındaki ilişkilerin ve geçişlerin anlatılmasıdır. Buna paralel olarak yapılan uygulama da ise kamu yapısına ait bir düzlem çerçeve sistem göz önüne alınmıştır. Bu çerçeve sistemin modal parametreleri olan mod şekilleri ve serbest titreşim frekansları sonlu elemanlar metoduyla hesaplanmıştır. Bu hesaplar ilk olarak MATLAB (MATLAB, 2007) paket programı içersinde bir algoritma oluşturarak yapılmış, daha sonra ANSYS (ANSYS, 2006) ve SAP2000 (SAP2000, 2007) paket programlarıyla da hesap edilmiştir. Hesap sonuçlarının karşılaştırılmasından sonra çerçeve sisteme çok büyük bir genlik içermeyen bir beyaz gürültü sinyali etkittirilmiş ve sensör olduğu varsayılan noktalardan elde edilen çıktılar kullanılarak yapının, stokastik sistem tanılama metodları olan stokastik altuzay tanılaması ve piklerin seçilmesi yöntemleriyle modal parametreleri saptanmıştır. Sonuçların daha iyi irdelenmesi bakımından sisteme üç farklı sensör düzeneği uygulanmıştır. Stokastik sistem tanılama metodlarından piklerin seçilmesi yöntemi hem MATLAB da hem de ARTEMIS (ARTEMIS, 2009) adlı paket programda hesap edilmiştir. Stokastik altuzay tanılaması yöntemiyle yapılan hesap için ise SPICE (SPICE, 1999) adlı MATLAB tabanlı sistem tanılama programı kullanılmıştır.
Netice itibariyla yapılan hesaplar sonucu bulunan tüm modal parametreler birbirleriyle karşılaştırılmış ve bunların arasındaki farklar, yakınlıklar ve ilişkiler yorumlanmıştır.
2. TĐTREŞEN MODELLER ĐÇĐN SONLU ELEMANLAR YAKLAŞIMI
Bu bölümde titreşen yapıların deneysel dünyadan en uzak modelleme biçimi olan sonlu elemanlar yaklaşımı göz önüne alınacaktır. Her ne kadar teorik bir yapıya sahip olsa da dinamik problemlere kolay uygulanabilirliği bu metodu çok kullanılır hale getirmiştir. Metodun ayrıntılarına geçmeden önce bir sistemin dinamik davranışının tanıtılması gerekir. Belli bir kütleye, rijitliğe ve sönüme sahip olan ayrık bir mekanik sistemin dinamik davranışı, Denk. 2.1’deki diferansiyel denklem matrisi ile açıklanabilir. ) ( ) ( ) ( ) ( ) (t C2v t Kv t f t B2u t v
M&& + & + = = (2.1)
Bu denklemde n2 2
2, R
, n
K C
M ∈ × sırasıyla kütle matrisini, sönüm matrisini ve rijitlik matrisini ifade etmektedir. v( ∈t) Rn2ifadesi zamana bağlı olarak deplasman
vektörünü, v&(t) deplasman vektörünün zamana göre türevi olan zamana bağlı hız vektörünü, v&&(t) ise hız vektörünün zamana göre türevi olan zamana bağlı ivme vektörünü göstermektedir. f( ∈t) Rn2 vektörü ise dış kuvvet vektörüdür. Denklemin
sağ tarafındaki m
B ∈ n2×
2 R matrisi girdilerin lokasyonlarını,
m
t
u( ∈) R vektörü zamana bağlı ( adem t) girdi adedini göstermektedir. Denk. 2.1 serbestlik derecesi n 2
adet olan bir sistem için sonlu elemanlar yaklaşımıyla belirlenmiştir. K global rijitlik matrisi ve M global kütle matrisi sistemin geometrisi ve malzeme özelliklerine göre geliştirilebilir. Sönüm ile ilgili terim kısmen fiziksel gözleme, kısmen de matematiksel uygunluğa bağlıdır. Buna örnek olarak titreşimlerin vizkoz sönüm ile modellenebilmesi gözleme dayalıyken buna karşın birtakım ölçülebilir malzeme katsayılarıyla da sistemlerin sönüm davranışı matematiksel uygunlukla açıklanabilir.
Titreşen yapılar için sonlu elemanlar yönteminin kullanılabilirliği oldukça kolay gibi gözüksede yöntem deneysel dünyadan uzak ve gerçek davranışa dair sadece bir yaklaşımı ifade etmektedir. Yöntemin dezavantajları belirlenirse; ilk olarak sonlu elemanlar yaklaşımı ile çözülmüş bir sistemin bütün serbestliklerinin
ölçümlenebilmesi imkanlı değildir. Başka bir deyişle sonlu elemanlar modeli için gerekli olan serbestlik sayısı, deneysel model için belirlenen serbestlik sayısından oldukça büyüktür. Đkinci olarak sonlu elemanlar yöntemi için belirlenen Denk.2.1 zamanın sürekli olduğu duruma aittir. Oysa deneysel modellerde ölçümler genellikle ayrık zamanlarda elde edilir. Son olarak Denk. 2.1’deki f(t) dış kuvvetinin dışında oluşabilecek olan gürültü modelidir. Gerçek modellerde gürültü her zaman mevcuttur.
2.1 Sönümsüz Özdeğer Probleminin Đrdelenmesi
Titreşen sistemler için genel hareket denklemini belirttikten sonra yine Denk. 2.1’den türeyen sönümsüz bir sistemin dinamik davranışını aşağıdaki gibi incelemek mümkündür. Sönüm içermeyen hareket denkleminin homojen çözümü;
0 ) ( ) (t +Kv t = v M && (2.2) Denk.2.2’deki gibi belirtilebilir. Burada zamana bağlı olan deplasman vektörünü
t i
i
e t
v( )=ϑ × λ şeklinde matematiksel olarak yazmak mümkündür. Bu ifadeyi ve ifadenin zamana göre ikinci türevi olan zamana bağlı ivme değeri Denk 2.2’de yerine yazılırsa; ) ( i2 i i M Kϑ = ϑ −λ (2.3)
Denk.2.3 elde edilmiş olunur. Burada n2
i∈R
ϑ n2 adet gerçel öz vektörü, 2 i λ − ise gerçel özdeğerleri ifade etmektedir. Dinamik problemlerinde özdeğer yerine öz frekansları kullanmak tercih edilir. Özdeğerler, öz frekans cinsinden yazılmak istenirse; λi =i×ωi bağıntısı ortaya çıkar. ( 1)
2 − =
i . Sonuç olarak n özdeğerli 2 sönüm içermeyen eşitlik, matris formunda Denk. 2.4’deki şekilde yazılabilir.
2 ΦΩ =
Φ M
K (2.4)
Denk.2.4’de; Φ∈Rn2×n2 kolonları öz vektör olan mod şekilleri matrisi olarak ifade
edilebilir. / 2 2 / n n i R × ∈ =
Ω ω ise öz frekansları içeren diyagonal matristir
[
rad sn]
i /
Bu ifadelerin dışında rijitlik ve kütle matrislerini, ortogonallik şartlarını kullanarak genelleştirilmiş rijitlik, genelleştirilmiş kütle, modal kütle ve modal rijitlik matrisleri olarak ifade edebilmek mümkündür. Bu ifadeler için; M &v&(t)+Kv(t)=0 sönümsüz hareket denkleminin çok serbestlik dereceli sistemlerde matris formuna dönüşmesiyle birlikte, v(t) matrisi yerine Φ×Y ifadesi, v&&(t) ifadesi yerine de
Y&& ×
Φ yazılıp denklemin her iki tarafının ön taraftan T n Φ ile çarpılmasıyla; 0 0 0 ) ( ) (t +Kv t = ⇒MΦ Y +KΦ Y = ⇒Φ MΦ Y +Φ KΦ Y = v
M&& m&& m nT m&& nT m (2.5) Denk. 2.5 elde edilir. Burada Y matrisi geometrik koordinatlarda ifade edilen
) (t
v matrisinin normal koordinatlara dönüştürülmüş biçimidir. n≠m için ortogonallik şartından Φ Φm =0
T
n M ve Φ Φm =0 T
n K olacağından, ancak n=m olduğu durumda Denk. 2.5 anlam kazanır. O halde Denk. 2.5, Denk. 2.6’daki ifadeye dönüştürülebilir. 0 0⇒Φ Φ +Φ Φ = = Φ Φ + Φ
ΦnTM mY&& nTK mY nTM nY&& nTK nY (2.6)
Denk. 2.6’da n T n n T n MΦ Φ KΦ
Φ ve ifadeleri n inci mod şekline ait genelleştirilmiş kütle ve genelleştirilmiş rijitliktir. Bunun yanı sıra, Φ MT Φ ve Φ KT Φ matris çarpımları yapılırsa her bir mod şekline ait genelleştirilmiş kütleleri içeren modal kütle matrisi ve her bir mod şekline ait genelleştirilmiş rijitlikleri içeren modal rijitlik matrisine ulaşılır. / i /m = Φ Φ MT (2.7) / i /k = Φ Φ KT (2.8)
Denk. 2.4’ün her iki tarafının ön taraftan T
Φ ile çarpılarak Denk. 2.7 ve Denk. 2.8’deki ifadelerin yerleştirilmesiyle;
2 / i / / i / / i / m k ω = (2.9)
I M
T Φ =
Φ Φ KT Φ Ω= 2 (2.10) Denk. 2.10 elde edilir. Burada I n2×n2 lik (n2 =serbestlikderecesi)birim matrisi ifade etmektedir. Unutulmamalıdır ki sönümsüz titreşime ait öz vektörler gerçeldir.
2.2 Oransal Sönüm
Genel hareket denklemi olan Denk. 2.1’de v(t) matrisi yerine Φ.Y ifadesi, v&(t) matrisi yerine Φ. &Y ifadesi, v&&(t) ifadesi yerine de Φ. &Y& yazılıp denklemin her iki tarafının ön taraftan Φ ile çarpılmasıyla; T
) ( 2 2 Y K Y B u t C Y M T T T T Φ = Φ Φ + Φ Φ + Φ
Φ && & (2.11) Denk. 2.11 ortaya çıkar. Bu denklemden görülebileceği gibi denklemin sol tarafındaki C2 terimi sönüm matrisini ifade etmektedir. Yine Denk. 2.11’den yola çıkarak modal sönüm matrisi Denk. 2.12’deki gibi ifade edilebilir;
/ / / / / / 2 i 2 i i i i T m m C C Φ= = =Γ Φ ξω (2.12)
Bu denklemdeki Ci ifadesi modal sönüm matrisini, ξi = / / / / 2 i i i i m C ω ξ ifadesi
sönüm oranını, Γ ise 2ξiωi ifadesine eşit olan diyagonal matrisi ifade etmektedir. Bu ifadelerin ve Denk. 2.10’daki ifadelerin Denk. 2.11’de yerine konulmasıyla;
) ( 1 2 / / 2 t u B m Y Y Y I T i Φ = Ω + Γ + & & & (2.13)
Denk. 2.13’e ulaşılır. Oransal sönümlü sonlu elemanlar yaklaşımında hareket denkleminin homojen çözümü, sönümsüz hareket denkleminin homojen çözümüyle
aynı ifade olan t
i
i
e t
v( )=ϑ × λ bağıntısıdır. Buradan sönümlü durumdaki öz vektörlerin sönümsüz durumdaki öz vektörlerle aynı olduğu çıkartılabilir. Öz değerler için ise Denk. 2.13’ün homojen olan kısmına çözüm ifadesinin
( t i i e t v()=ϑ × λ ) yerleştirilmesiyle;
0 2 2 2 = + + i i i i i ξωλ ω λ (2.14)
Denk. 2.14 sağlanmış olur. Denklem 2.14’ün çözümü ise;
i i i i i i λ ξω i ξ ω
λ , * =− ± 1− 2 ifadesidir. Sonlu elemanlar metodu için bir sönüm açıklaması yapılmak istenirse, modal sönüm oranları sayısının ilgili mod sayısına karşılık geldiği söylenebilir.
Nihai olarak sönüm matrisi, Denk. 2.12’nin kullanılmasıyla;
M m M m C i i T i i i i T Φ = Φ Φ Φ = − − / / / / 1 / / 2 2 1 2ξω ξω (2.15)
Denk. 2.15 şeklinde oluşturulabilir.
Oransal sönümün özel bir şekli olarak bahsedilebilecek diğer bir sönüm Rayleigh sönümüdür. Bu durumda sönüm matrisi, kütle ve rijitlik matrisinin lineer bir kombinasyonudur.
K M
C2 =α +β (2.16) Denk. 2.16 rayleigh sönümünü ifade etmektedir. Bu denklemde α veβ skaler sabitlerdir. Rayleigh sönümü, yalnızca kütle ve rijitlik matrisleri ile ilgili olduğu için yapı sistemleri için tam doğru bir sönüm olamamaktadır. Esasen yapı sistemleri için sönüm ifadelerini tam doğrulukla elde etmek mümkün değildir. Buna rağmen oransal sönüm sonlu elemanlar yaklaşımı ile çözümde uygun yeterlilikte ve matematiksel olarak kolay ifade edilebilen bir sönümdür.
2.3 Vizkoz Sönüm
Oransal sönüm kabullerinin geçerliliğini yitirdiği durumlarda, (örneğin; lokalize edilmiş damperlerin kullanıldığı durum) öz değerlerin tayini için deneysel belirliliklere dayanan viskoz sönümlü modeller kullanılır. Oransal sönümden farklı olarak viskoz sönümlü modele ait öz vektörler, sönümsüz durumdaki öz vektörlerle aynı değildir. Viskoz sönüme ait öz değerlerin bulunması için ikinci dereceden diferansiyel deklem olan Denk. 2.1’in yeniden formülize edilerek birinci dereceden diferansiyel denkleme dönüştürülmesi gerekmektedir.
Bu dönüşüm için; = ) ( ) ( ) ( t v t v t x & , = 0 2 M M C P , − = M K Q 0 0 (2.17)
Denk. 2.17’deki ifadeleri kullanarak,
) ( 0 ) ( ) ( 2 t u B t Qx t x P = + & (2.18)
Denk. 2.18’de verilen birinci dereceli diferansiyel denkleme ulaşılır. Burada n
R t
x( )∈ ifadesi durum vektörü olarak adlandırılır. Bu ilişkiden öz değer problemi Denk. 2.19’daki gibi yazılabilir.
⇒ × = t i i e t v( ) ϑ λ × × = t i i t i i i e e t x λ λ λ ϑ ϑ ) ( ⇒P &x(t)+Qx(t)=0 0 = + Λ ψ ψ Q P c (2.19) Bu denklemde nxn C ∈
ψ , kolonları n (n=n2) adet kompleks öz vektör içeren ifade olup,
[ ]
nxni
c = ∈C
Λ λ ise n (n=n2) adet kompleks özdeğeri içeren diyagonal matristir. Λ ve ψ ifadeleri aşağıdaki yapıda gösterilebilir. c
Λ Λ = Λ * 0 0 c , Λ Θ ΘΛ Θ Θ = * * * ψ (2.20) Denk. 2.20’de; Λ ve n2 xn2 C ∈
Θ sırasıyla orjinal ikinci dereceden denklemdeki özdeğer ve özvektörlerdir. Denk. 2.17 ve Denk. 2.20’deki ifadeler Denk. 2.19’da yerine konulacak olursa;
* * 2 * * * * * 0 0 0 0 0 0 0 c P Q C M K M M ψΛ + ψ = ⇒ Θ Θ Λ Θ Θ × × + × = ΘΛ Θ Λ Λ − ΘΛ Θ Λ 2 2 0 MΘΛ +C ΘΛ + Θ =K (2.21)
Denk. 2.21 ortaya çıkar. Bu denklem viskoz sönüme ait ikinci dereceden diferansiyel denklemdir. Burada dikkat edilmesi gerekilen nokta Θ matrisinin oransal sönümlü sistemden elde edilen Φ matrisinden farklı olmasıdır. Φ den farklı olarak Θ matrisi genellikle kütle, rijitlik ve sönüm matrisleriyle diyagonal hale getirilemez.
Oransal sönümde olduğu gibi, viskoz sönümde de kompleks özdeğerler aşağıda verilen Denk. 2.22 ile elde edilebilir.
i i i i i i λ ξω i ξ ω λ , * =− ± 1− 2 (2.22) Bu duruma ait ortognallik koşulları ise;
/ / i T a Pψ = ψ , / / i T b Qψ = ψ (2.23) Denk. 2.23’deki gibi belirtilebilir. Burada ai ve bi sönümsüz durumdakine benzer olarak vizkos sönüme ait modal a ve modal b matrisleridir. Denk. 2.19’un ön
taraftan ψ ile çarpılıp daha sonra bu ifadeye Denk. 2.23’ün yerleştirilmesiyle T özdeğerlerin modal matrislerle ilişkisini ifade eden Denk. 2.24 ortaya çıkar.
0 0 / / / i / Λ + = ⇒ = + Λ c i T c T b a Q Pψ ψ ψ ψ c i i i a b Λ = = − / / / / / / λ (2.24)
3. DURUM UZAY MODELLERĐ
Sonlu elemanlar yöntemiyle sistemlerin modellenme şekilleri ifade edildikten sonra modal parametrelerin belirlenmesinde gerçekliği sonlu elemanlar yöntemine göre daha kuvvetli olan durum uzay modellerinin incelenmesi uygun olacaktır. Bu bölümde öncelikle deneysel ortama uzak olan sürekli zamana ait durum uzay modelleri, daha sonra bu modellerin deneysel dünyaya daha yakın hali olan ayrık zamanlı durum uzay modelleri, son olarak da tamamen istatistiksel ve deneysel olarak yorumlanabilecek olan stokastik durum uzay modelleri irdelenecektir (Peeters, 2000).
3.1 Sürekli Zamana Ait Durum Uzay Modelleri 3.1.1 Titreşen sistemler için durum uzay modelleri 3.1.1.1 Durum denklemi
Đkinci dereceden diferansiyel denklem olan Denk. 2.1’in, birinci dereceden diferansiyel denklem olan Denk. 2.18’e dönüştürülmesi ile, vizkos sönüme ait problem bir önceki bölümde irdelenmişti. Yine bu dönüşüme benzer bir dönüşüm yapılarak durum denklemini elde etmek mümkündür (Peeters, 2000). Durum denklemi için Denk. 2.18’in x&(t) ye göre normalize edilmesi gerekir. Bunun içinse
Denk. 2.18’in her iki tarafı
− = − − − − − 1 2 1 1 1 1 0 M C M M M P ile çarpılır. ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 2 1 1 1 2 t u B P t Qx P t x P P t u B t Qx t x P = + ⇒ = + − & − − & − − = − − = − = − − − − − − − 2 1 1 1 2 1 1 1 1 0 0 0 0 C M K M I M K M C M M M Q P Ac (3.1) = − = = − − − − − − 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 c 0 0 0 0 B B M B M C M M M B P (3.2)
Böylece durum denklemi ; ) ( ) ( ) (t A x t B u t x& = c + c (3.3) Denk 3.3’deki şekilde oluşur. Bu ifadelerde alt indeks olan “c” sürekli zamana ait
durumu göstermektedir. A yi bir önceki bölümde verilen Denk. 2.23 ve Denk. c
2.24’deki ifadeleri kullanarak yeni bir biçimde yazmak mümkündür. Bunun için = − T i a P ψ ψ / / 1 1 ve
(
/ 1)
/ − − = ψ i ψ T b Q ifadelerinden yararlanılarak;(
)
⇒ − = − = − − / −1 / / / 1 1 ψ ψ ψ ψ T T i i c b a Q P A 1 − Λ =ψ cψ c A (3.4)Denk. 3.4 elde edilebilir. Denk. 3.4 standart özdeğer problemini göstermektedir. )
(Acψ =ψΛc . Yine bu denklem Λ nin c Ac nin özdeğerlerini içerdiğini ve ψ nin
ise A nin öz vektörleri olduc ğunu göstermektedir. Bu ifadelerin ışığında P ve Q
nun diyagonal forma ulaşması için özvektör matrisinin kendisinin ve transpozunun kullanılması gerekirken (Denk. 2.23), Ac nin diyagonal forma ulaşması için özvektör matrisinin tersine ihtiyaç olduğunu söylemek mümkündür (Denk. 3.4). 3.1.1.2 Gözlem denklemi
Pratik olan titreşim deneylerinde sisteme ait bütün serbestlik dereceleri yerine, belli bir kısmı ölçülür. Eğer bu ölçümlerin l adet lokasyonda alındığı ve ölçümlerin ivme
ölçer, hız ölçer veya deplasman ölçerlerle yapıldığı düşünülürse ortaya bir tanım çıkar. Gözlem denklemi olan bu tanım Denk. 3.5’deki gibi gösterilebilir.
) ( ) ( ) ( ) (t C v t C vt C vt
y = a&& + v& + d (3.5) Bu denklemde l R t y( )∈ çıktıları, , , l n2 d v a C C R
C ∈ × ifadeleri ise çıktı lokasyon matrislerini sırasıyla ivme, hız ve deplasman için göstermektedir.
Bu matrisler içersinde bir çok “sıfır” birkaç adet “bir” ve asıl olarak seçilmiş olan ölçülmüş serbestlikler barındırır. Bu serbestlikler sonlu elemanlar yaklaşımıyla elde edilen serbestliklerden farklı olarak çıktı vektörü y(t) nin elemanları olarak depolanır. Gerçekte bu durum; örnek olarak, ivme ve hız değerlerinin bir arada
ölçülmesiyle oluşabilir. Denk. 2.1’de v&&(t)yi elemine edip, Denk. 2.17’deki ifadelerin de kullanılmasıyla; Denk. 3.5’i Denk. 3.6’daki forma sokmak mümkündür. Bunun için öncelikle Denk. 2.1’den yararlanılarak;
⇒ = − − ⇒ = = + + () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) () ) (t C2v t Kv t f t B2u t B2u t C2v t Kv t Mv t v
M&& & & &&
) ( )) ( ) ( ) ( ( 2 2 1 t v t Kv t v C t u B
M− − & − =&&
Dönüşümü gerçekleştirilir. Daha sonra v&&(t) ifadesi Denk. 3.5’te yerine konursa;
1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) a v d a v d y t C v t C v t C v t y t C M− B u t C v t Kv t C v t C v t = + + ⇒ = − − + + && & & &
Ortaya çıkan bu ifade matris formunda yazılacak olursa;
[
]
( ) ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 1 t u B M C t v t v C M C C K M C C t y d a − v a − + a − − − = & (3.6) Denk. 3.6 ortaya çıkacaktır. Bu formu Denk. 2.17’deki durum vektörü ifadesini kullanarak aşağıdaki denklemde yazmak mümkündür;) ( ) ( ) (t C xt D u t y = c + c (3.7) Denk. 3.7’de lxn c R C ∈ çıktı matrisini lxm c R
D ∈ ise doğrudan taşıma matrisini göstermektedir. Sonlu elemanlar matrisleri ve Denk. 3.6 kullanılarak, bu matrisler açılırsa;
[
]
2 1 c 2 1 1 D B M C C M C C K M C C Cc = d − a − v− a − = a − (3.8) Denk. 3.8’deki ifadeler ortaya çıkar. (Bir kısım kaynakta doğrudan taşıma matrisi olan lxmc R
D ∈ bazı sebeplerden ötürü ihmal edilmiştir. Oysa titreşim deneyleri modellenirken ivme ölçer kullanıldığı durumlarda doğrudan taşıma matrisine ihtiyaç vardır. Eğer Ca=0 ise yani ölçüm deplasman veya hız üzerinden yapıldıysa bu durumda doğrudan taşıma matrisine ihtiyaç yoktur.)
3.1.1.3 Durum uzay modeli
Sürekli zamana ait durum uzay modeli, Denk. 3.3 ve Denk. 3.7’deki ifadelerin kombinasyonu sonucu Denk. 3.9’daki gibi ortaya çıkar.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c c c x t A x t B u t y t C x t D u t = + = + & (3.9)
Durum uzay modelinin derecesi(n), Denk. 2.18’de var olan durum vektörünün
( n
R t
x()∈ ) boyutuyla aynıdır. Böylelikle hareket denklemini durum uzay formunda yazmak mümkündür. Yine hareket denkleminin durum uzay formunda yazılmış halinden, girdilerin u(t) verilmesiyle birlikte çıktılar y(t) elde edilebilir. Burada
n
R t
x( )∈ durum vektörü, bütün serbestlikler için deplasmanları ve hızları barındırır. Durum vektörünün diğer bir hali;
) ( ) (t Tz t
x = (3.10)
Denk. 3.10’daki ifade edilebilir. Bu denklemde nxn
C
T∈ tekil olmayan kompleks kare matristir ve benzer dönüşüm matrisi olarak adlandırılır. Bu matrisle Denk. 3.9, Denk. 3.11’deki forma dönüştürülebilir.
1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c c c z t T A Tz t T B u t y t C Tz t D u t − − = + = + & (3.11)
Burada dikkat edilmesi gereken husus orjinal matrislerle elde edilen girdi-çıktı ilişkisinin, dönüşmüş matrislerle (T−1AcT ,T−1Bc ,CcT ,Dc) elde edilen girdi-çıktı
ilişkisi ile aynı olması fakat z(t)yeni durum vektörünün, x(t) durum vektöründen
farklı olarak, fiziksel bir anlam (deplasman ve hız) ifade etmemesidir. 3.1.2 Modal parametreler ve model indirgemeler
3.1.2.1 Klasik modal analiz ile ilişkiler
Đlk olarak özel bir dönüşüm olan durum vektörünün modal durum vektörüne dönüşmesi aşağıdaki şekilde olur. n
m t C x ()∈ ; ) ( ) (t x t x =ψ m
Modal durum uzay modelinin elde edilmesi için Denk. 3.11’de nxn
C
T∈ yerine nxn
C
∈
⇒ + = ⇒ + = − () − () ( ) − ( ) − () ) ( 1 1 1 1 t u B t z A t x t u B T t Tz A T t z c c ψ cψ ψ c ψ & & ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 t u L t x t x t u L t x t x&m =ψ−ψΛcψ−ψ m + cT ⇒ &m =Λc m + cT ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (t C Tz t Du t y t V x t Du t y = c + c ⇒ = c m + c
Böylece modal durum uzay modeli;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T m c m c c m c x t x t L u t y t V x t D u t = Λ + = + & (3.12)
Denk. 3.12’deki gibi oluşur. Burada T c
L sürekli zamana ait modal girdi matrisi
(modal katılım matrisi), V ise sürekli zamana ait çıktı matrisidir (mod c şekilleri
matrisi). Bunların yapılarını Denk 3.13’deki gibi göstermek mümkündür. 1 T c c c c L B V C ψ ψ − = = (3.13) Daha önce Denk. 2.20’de gösterildiği gibi öz değer matrisi Λ ve özvektör matrisi c ψ nin yapıları aşağıdaki gibidir.
Λ Λ = Λ * 0 0 c , − + − = Λ ξiωi i 1 ξi2ωi Λ Θ ΘΛ Θ Θ = * * * ψ
Yukardaki ifadelerden klasik modal analiz ile sürekli zamana ait analiz arasındaki ilişki, T
c
L ve Vc nin yardımıyla ifade edilmiştir. LcT nin bir başka formunu yazmak
için P matrisinin kendi tanımı ve ortogonallik şartından, aynı zamanda Bc ve ψ
nin tanımlarından yararlanmak gerekir (Denk. 2.17 , Denk. 2.20 , Denk. 3.2). Bu form; 2 * / / 2 * * * / / / / 1 1 0 1 1 B a B a PB a B L i i c T i c T c Θ Θ = Λ Θ Θ ΘΛ Θ = = =ψ− ψ (3.14)
Denk. 3.14 şeklinde oluşur. Genellikle Denk. 3.14’ün en son eşitliğindeki ifade modal katılım matrisi olarak adlandırılır. Bu matrisin satırlarına da modal katılım faktörleri denir. Benzer olarak Denk. 2.17 ve Denk. 3.8’in yardımıyla sürekli zamana ait modal çıktı matrisi de Denk. 3.15’te olduğu gibi yazılabilir;
[
]
Λ Θ ΘΛ Θ Θ − − = = − − * * * 2 1 1 . C M C C K M C C C Vc cψ d a v a (3.15)Denk. 3.15 ölçüm cinsine göre daha da basitleştirilebilir. Yalnızca deplasmanların ölçüldüğü durumlarda C ve a C sıfıra ev şit olucağından sürekli zamana ait modal çıktı matrisi;
[
*]
Θ Θ × = d c C V (3.16)Denk. 3.16’daki gibi yazılabilir. Yalnızca hız baz alınarak yapılan ölçümlerde ise Ca
ve Cd sıfıra eşit olacağından sürekli zamana ait modal çıktı matrisi;
[
* *]
Λ Θ ΘΛ × = v c C V (3.17)Denk. 3.17 şeklinde oluşur. Ölçümlerin ivmelere göre yapıldığı (ivme ölçer) durumlarda ise C ve v C sıfıra ed şit olacaktır. Bu eşitlik ile Denk. 2.21’deki
ifadelerin kullanılmasıyla Denk. 3.15 yukarıdaki Denk. 3.17 ve Denk. 3.16’ya benzer olarak kısa bir forma sokulabilir. Bunun için ilk olarak Denk. 3.15’ten;
[
]
[
− Θ− ΘΛ − Θ − Θ Λ]
⇒ = ⇒ Λ Θ ΘΛ Θ Θ − − = = − − − − − − * * 2 1 * 1 2 1 1 * * * 2 1 1 . 0 0 C M C K M C C M C K M C V C M C K M C C V a a a a c a a c c ψ[
* *]
2 * 2 1 Θ+ ΘΛ Θ + Θ Λ − = − C K C K M C Vc a (3.18)Denk. 3.18’deki ifadeye ulaşılır. Daha sonra Denk. 2.21 kullanılarak 2 ΘΛ − M ve 2 * * Λ Θ
− M ifadelerinin yalnız bırakılmasıyla; ΘΛ + Θ = ΘΛ − ⇒ = Θ + ΘΛ + ΘΛ 2 2 2 2 0 M K C K C M (3.19) Θ + Λ Θ = Λ Θ − ⇒ = Θ + Λ Θ + Λ Θ 2 * * * 2 * * * * * * 2 2 * * 0 M C K K C M (3.20)
Denk. 3.19 ve Denk. 3.20’ye ulaşılır. Bu denklemlerdeki KΘ+C2ΘΛ ve Θ + Λ Θ* * * 2 K
C ifadeleri Denk. 3.18’de − MΘΛ2 ve * *2 Λ Θ − M ifadeleri şeklinde yerlerine yerleştirilirse;
[
2 * *2]
[
2 * *2]
1 Λ Θ ΘΛ = ⇒ Λ Θ − ΘΛ − − = − a c a c C M M M V C V (3.21)Denk. 3.21’e ulaşılır. Bu denklem ivme baz alınarak yapılan ölçümlerde modal çıktı matrisine ait kısa formdur.
Denk. 3.5’den de anlaşılacağı gibi Ca, Cd,Cv matrisleri çıktı lokasyonlarına karşılık gelen mod şekillerinin bileşenleri olarak da ifade edilebilir. Bu matrisler Λ ve *
Λ ifadeleriyle çarpılmaları sonucu hem diyagonal birer matrise dönüşürken hem de öz değerleriyle birlikte mod şekillerini belirlerler. Bu ölçümün sonucu olan Vc yi sürekli zamana ait modal çıktı matrisinden farklı bir şekilde belirtmek gerekirse; data sonuçları ortaya çıkan mod şekilleri olarak ifade edilebilmek mümkün olur.
Yapısal sistemler için T c
L , V ve c Λ ifadeleri modal parametreler olarak da c adlandırılır. Yukarıdaki denklemlerden saptamak mümkündür ki modal parametrelerin durum uzay modeliyle olan ilişkileri pek rahat uygulanabilir değildir. Durum uzay modeline benzerlik dönüşümünün (denklem 3.11) uygulanması modal parametreler üzerinde bir değişiklik yaratmaz.
3.1.2.2 Sürekli zamanda modal ayrıştırma
Denk. 3.12’de ortaya konulan modal durum uzay modeli için Λ nin yardımıyla c diyagonal bir sisteme dönüşebildiği ve farklı modların total tepki olan y(t) ye katılımıyla ayrık hale geldiğini söylemek mümkündür. i inci modun sisteme katılımı ki aynı zamanda Λ nin i inci diyagonal elemanı c λi olsun. Benzer şekilde T
c
L nin i inci satırı T
ci
l , Vc nin i inci kolonu Vci olarak adlandırılsın. Doğrudan taşıma
matrisi olan Dc nin modal olarak ayrıştırılması ise yukarıdaki ifadeler kadar açık değildir. Daha önce de açıklandığı üzere deplasman veya hız ölçümleri baz alındığında doğrudan taşıma matrisi sıfıra eşit olur. Sadece ivme ölçümünün baz alındığı durumda doğrudan taşıma matrisi geçerliliğini korur. Bu durumda Cd’nin
1 1
c 2
D = C A Bc c− c =C M Ba − (3.22)
Doğrudan taşıma matrisi Denk. 3.22’deki gibi gösterilebilir. Doğrudan taşıma matrisini bu formdayken modal bileşenlerine ayırmak için A ’yi Denk. 3.4’deki gibi c öz değerleri cinsinden yazarak Denk. 3.22’de yerine konulursa;
c c c B C 1 1 c D − − Λ = ψ ψ (3.23) Denk. 3.23 ortaya çıkar. Denk. 3.23’e ise Denk. 3.13’deki ifadelerin yerleştirilmesiyle; c T c B L =ψ−1 , Vc =Ccψ ⇒ T c c c c c c B V L C 1 1 1 c D − − − Λ ⇒ Λ = ψ ψ (3.24)
Denk. 3.24’e ulaşılır. Daha sonra Denk. 3.24’deki ifadelerin modal bileşenleri yerine yazılırsa; T c i n i c T c c c L Vi Li V λ 1 D 1 1 c = −
∑
= Λ = (3.25)Doğrudan taşıma matrisinin modal bileşenlerine ayrılmış durumunu gösteren Denk. 3.25 ortaya çıkar.
Total çıktı vektörü olan y(t) modal bileşenlerine ayrılacak olursa Denk. 3.26’daki ifade ortaya çıkar.
∑
= = n i i t y t y 1 ) ( ) ( (3.26)Denk. 3.26’da yi(t) durum uzay modeline ait her bir i modu için çıktı ifadesidir. Eğer xim(t)de modal durum vektörünün i inci bileşeni olarak ifade edilirse, Denk. 3.12’nin modal bileşenlerle yazılmış hali olan Denk. 3.27’ye ulaşılır.
) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t u L V t x V t y t u L t x t x T c i c i m c i T c i m i i m i i i i λ λ + = + = & (3.27)
