Otomatik kontrol sistemlerindeki gecikmeli diferansiyel denklemler ve çözümleri

T.C.

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİNDEKİ GECİKMELİ DİFERANSİYEL

DENKLEMLER VE ÇÖZÜMLERİ Nesibe ACAR

YÜKSEK LİSANS Matematik Anabilim Dalı

Temmuz-2013 KONYA Her Hakkı Saklıdır

TEZ KABUL VE ONAYI

Nesibe ACAR tarafından hazırlanan “OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİNDEKİ GECİKMELİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER VE ÇÖZÜMLERİ” adlı tez çalışması …/…/2013 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği / oy çokluğu ile Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Jüri Üyeleri İmza

Başkan

Prof. Dr. Durmuş BOZKURT ………..

Danışman

Prof. Dr. Durmuş BOZKURT ………..

Üye

Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN ………..

Üye

Yrd. Doç. Dr. M. Emir KÖKSAL ………..

Yukarıdaki sonucu onaylarım.

Prof. Dr. Aşır Genç FBE Müdürü

TEZ BİLDİRİMİ

Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.

DECLARATION PAGE

I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work.

Nesibe ACAR Tarih:17.07.2013

iv ÖZET YÜKSEK LİSANS

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİNDEKİ GECİKMELİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER VE ÇÖZÜMLERİ

Nesibe ACAR

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT 2013, 62 Sayfa

Jüri

Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN Yrd. Doç. Dr. M. Emir KÖKSAL

Bu tez J. Rimas’ ın (2005-2006) yılları arasındaki matris kuvvetleriyle ilgili makalelerindeki teorem ve ispatlarından derlenmiş bir çalışmadır. Bu çalışmada öncelikle bazı tridiagonal ve simetrik matrislerin öz değerleri ve öz vektörleri hesaplanmıştır. Daha sonra bu matrislerin dönüşüm matrisleri bulunup, matrislerin n2p ve n2p1 (p   için kuvvetlerinin Chebyshev polinomlarıyla genel ) bir ifadesi verilmiştir. Son bölümde ise nümerik örneklere yer verilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Chebyshev Polinomları, Özvektör, Özdeğer, Sirkülant Matris, Tridiagonal Matris

v ABSTRACT MS THESIS

DELAY DIFFERENTIAL EQUATION AND SOLUTIONS IN THE AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS

Nesibe ACAR

THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY

THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS

Advisor: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT 2013, 62 Pages

Jury

Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN Yrd. Doç. Dr. M. Emir KÖKSAL

This thesis is compiled from the theorems and the proofs in the papers on matrix powers between the years 2004-2006 which belongs to J. Rimas. It has been first computed the eigenvalues and eigenvectors of some tridiagonal and symmetric matrices. Then, the transforming matrices of these matrices have been found and the powers of these matrices for n2p and n2p1(p  )have been established in terms of Chebyshev polynomials. As a final section, numerical examples have been given.

Keywords: Chebyshev Polynomials, Eigenvalues, Eigenvectors, Circulant Matrix, Tridiagonal Matrix

vi ÖNSÖZ

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİNDEKİ GECİKMELİ

DİFERANSİYEL DENKLEMLER VE ÇÖZÜMLERİ adlı bu çalışma, Selçuk üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi, Prof. Dr. Durmuş BOZKURT danışmanlığında yapılarak, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ ne Yüksek Lisans tezi olarak sunulmuştur.

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde tezimizde kullandığımız temel kavramlar verilmiştir. İkinci bölümde, alınan tridiagonal bir matrisin l–inci kuvveti hesaplanmıştır. Üçüncü bölümde, alınan simetrik bir matrisin

l–inci kuvveti hesaplanmıştır. Dördüncü bölümde ise nümerik örnekler verilmiştir. Çalışmayı hazırlama sürecinde bilgi ve tecrübelerini sonuna kadar benimle paylaşan danışman hocam sayın Prof. Dr. Durmuş BOZKURT’ a saygı ve şükranlarımı sunarım. Ayrıca bu süreçte benden manevi desteğini esirgemeyen aileme sonsuz sevgi ve saygılarımı sunarım.

Nesibe ACAR KONYA-2013

vii

İÇİNDEKİLER

ÖZET ... iv

ABSTRACT ...v

ÖNSÖZ ... vi

SİMGELER VE KISALTMALAR ... viii

1. GİRİŞ ...1

1.1. Amaç ve Kapsam ...1

2. KAYNAK ARAŞTIRMASI ...2

3. TEMEL KAVRAMLAR ...4

4. BAZI ÖZEL TİPTEKİ MATRİSLERİN POZİTİF KUVVETLERİNİN HESAPLANMASI ... 12

4.1. Tridiagonal Matrisin Pozitif Kuvvetlerinin Hesabı ... 12

4.1.1. Üçlü bant (tridiagonal) matrisler (Zhang, 1961) ... 12

4.2. Simetrik Sirkülant matrisin pozitif kuvvetleri ... 24

5. NÜMERİK ÖRNEKLER ... 47

6. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ... 51

viii

SİMGELER VE KISALTMALAR Simgeler

 : doğal sayılar kümesi

A : alınan özel bir tridiagonal matris

i

 : herhangi bir matrisin i. öz değeri

i

x : herhangi bir matrisin i. öz vektörü

l

 : öz değerin l. kuvveti

 

det A : A matrisinin determinantı

B : alınan özel bir simetrik sirkülant matris

T : bir matrisin dönüşüm matrisi

1 T : dönüşüm matrisinin tersi l A : A matrisinin l. kuvveti T A : A matrisinin transpozesi  : permütasyon matris

C : c_ij elemanlarına sahip genel bir n-kare sirkülant matris ( )

R

C a : a_ij elemanlarına sahip genel bir n-kare sağ sirkülant matris ( )

L

C a : a_ij elemanlarına sahip genel bir n-kare sol sirkülant matris ( )

R

S a : a_ij elemanlarına sahip genel bir n-kare ters sağ sirkülant matris ( )

L

S a : a_ij elemanlarına sahip genel bir n-kare ters sol sirkülant matris ( )

n

T x : birinci tür Chebyshev polinomu ( )

n

U x : ikinci tür Chebyshev polinomu

1 2

( , ,..., _n)

1. GİRİŞ

Hayatımızın birçok yerinde teknolojik sistemler vardır. Bu sistemler bizim hayatımızı kolaylaştırmakta, bize faydalı ve yardımcı olmaktadır. Bundan dolayı teknolojinin gelişmesi hızla artmaktadır. Bu gelişme aynı zamanda kontrol sistemlerinin de gelişmesi demektir.

Sistem, özel bir görevi yapmak üzere, aralarında belirli ilişkiler ve etkileşimler bulunan nesneler ve donanımların bir bütün oluşturacak biçimde bir araya gelmesidir. Kontrol, sistemleri belirli bir duruma yönlendirme, işleyişine ve gidişatına müdahale etmektir. Otomatik kontrol sistemleri ise bir sistemin gidişini ve yönetimini otomatikleştirmek, verilen referanslara göre sistemin otomatik olarak işlemesini sağlamaktır.

Bazı kurumlar, özel kuruluşlar, tesisler ve fabrikalar sistemlerini ve işleyiş biçimini bir otomatik kontrol üzerine entegre etmişlerdir. Bu entegre sonucunda üretim kalitesi ve verimlilik artmaktadır. Böylece sistematik çalışmanın verdiği faydalardan yararlanılmaktadır.

Bu sistemlere örnek olarak elektriksel sistemler, mekanik sistemler, elektromanyetik sistemler, uzaktan kontrollü sistemler, endüstriyel sistemler ve foto-elektrik sistemler verilebilir. Bu sistemlerin işleyişinde kullanılan diferansiyel denklemlerin çözümünde matris kuvvetleri ile karşılaşılmaktadır. Bu nedenle matris kuvvetlerinin hesaplanması önemlidir.

1.1. Amaç ve Kapsam

Bazı diferansiyel fark ve gecikmeli diferansiyel denklemlerin çözümlerinde kare matrislerin pozitif kuvvetlerinin hesabı ile karşılaşılmaktadır. Matrislerin kuvvetleri üzerine Jonas Rimas’ ın birçok çalışması vardır. Bu çalışmada tridiagonal bir matris ile simetrik sirkülant bir matrisin n2p ve n2p (1 p   mertebeleri için l-inci ) kuvveti hesaplanmıştır.

2. KAYNAK ARAŞTIRMASI

Rimas (2004), “Analysis of a Multidimensional Delay System” isimli çalışmasında çok boyutlu gecikmeli sistemin işleyişi analiz edilmiştir. Bu analizler matrisin iz vektör ve öz değerlerinin kullanımı üzerine temellendirilmiştir.

Rimas (2005), “On computing of arbitrary positive integer powers for one type

of odd order tridiagonal matrices with zero row-I” isimli çalışmasında n2p 1 (p   mertebesi için ilk satırı sıfır olan tridiagonal bir matrisin ) l. (l   kuvvetinin ) genel ifadesini vermiştir.

Rimas (2005), “On computing of arbitrary positive integer powers for one type

of even order tridiagonal matrices with zero row-I” isimli çalışmasında n2p

(p,p2) mertebesi için ilk satırı sıfır olan tridiagonal bir matrisin l. (l,l2) kuvvetinin genel ifadesini vermiştir.

Rimas (2005), “On computing of arbitrary positive integer powers for one type

of odd order symmetric circulant matrices-I” isimli çalışmasında n2p (1 p   ) mertebeli simetrik sirkülant bir matrisin l. (l   kuvvetinin genel ifadesini vermiştir. )

Rimas (2005), “On computing of arbitrary positive integer powers for one type

of odd order symmetric circulant matrices-II” isimli çalışmasında n2p (1 p   ) mertebeli simetrik sirkülant bir matrisin l. (l   kuvvetinin genel ifadesi türetilmiştir. ) Matrisin Jordan formu, öz vektörleri, dönüşüm matrisi ve dönüşüm matrisinin tersi verilmiştir.

Rimas (2006), “On computing of arbitrary positive integer powers for one type

of even order symmetric circulant matrices-I” isimli çalışmasında n2p

(p,p2) mertebeli simetrik sirkülant bir matrisin l. (l,l2) kuvvetinin genel ifadesini vermiştir.

Rimas (2006), “On computing of arbitrary positive integer powers for one type

of even order symmetric circulant matrices-II” isimli çalışmasında n2p

(p,p2) mertebeli simetrik sirkülant bir matrisin l. (l,l2) kuvvetinin genel ifadesi türetilmiştir. Matrisin Jordan formu, öz vektörleri, dönüşüm matrisi ve dönüşüm matrisinin tersi verilmiştir.

Rimas (2006), “On computing of arbitrary positive integer powers for one type

of odd order tridiagonal matrices with zero row-II” isimli çalışmasında n2p 1 (p   mertebeli ilk satırı sıfır olan tridiagonal bir matrisin ) l. (l   kuvvetinin ) genel ifadesi türetilmiştir. Matrisin Jordan formu, öz vektörleri, dönüşüm matrisi ve dönüşüm matrisinin tersi verilmiştir.

Kıyak ve Ark. (2010), “A Formula for computing integer powers for one type

of tridiagonal matrix” isimli çalışmasında tridiagonal bir matrisin r r   kuvvetinin .( ) genel ifadesi türetilmiştir.

3. TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde çalışmamızın 4. bölümünde faydalanacağımız bazı temel kavramlar verilecektir.

Tanım 3.1 (Bozkurt ve ark., 2005) A ve B herhangi iki kare matris olsun.

1

BP AP

olacak şekilde P düzgün (tersi olan) matrisi varsa A ve B matrislerine benzer matrisler,

P’ye dönüşüm (benzerlik) matrisi denir.

Teorem 3.1 (Bozkurt ve ark., 2005) A herhangi bir n-kare matris olsun. A matrisi

(1 )

i i n

   öz değerlerine karşılık (A_iI x) _i 0, x _i 0

denklemini sağlayan x x₁, ₂,...,x şeklinde n tane lineer bağımsız öz vektöre sahip olsun. _n



1, 2,..., n



P x x x , 1 2 1 2 0 ( , ,..., ) 0 n n diag                       olsun. Bu durumda 1 P AP   veya A P P1   dir. İspat. 1 i n için i i i Ax x

olduğundan A matrisi ile P matrisini çarparsak;













1 2 1 2 1 1 2 , ,..., , ,..., , ,..., n n n n AP A x x x Ax Ax Ax x x x P        

elde edilir. P matrisinin sütun vektörleri lineer bağımsız olduğundan detP 0 olup P1

vardır. Bu durumda elde edilen AP P eşitliği soldan P1 ile çarpılırsa; P AP1   sağdan P1 ile çarpılırsa da ;A P P1 elde edilir.

Teorem 3.2 (Bozkurt ve Ark., 2005) A köşegenleştirilebilen bir kare matris ise herhangi bir pozitif k tamsayısı için

1

k k

A  P P

dir.

İspat. A köşegenletirilebilir olduğundan A P P1 olacak şekilde P düzgün matrisi vardır. k tane P P 1 matrisini çarpım şeklinde yazarsak;

1 1 1 tane ( )( )...( ) k k A _{}P P  P P_{}  P P _

olur. Sonuç olarak Ak  P kP1 elde edilir.

Tanım 3.2  ₁, ₂,..., ; A n-kare matrisinin öz değerleri olmak üzere _n

1 2

( , ,..., _n)

J diag   

matrisine A’nın Jordan formu denir. Yani, 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 _n J                              

şeklindeki matris bir Jordan bloğudur.

Tanım 3.4 (Karner ve ark., 2003) aRn ve a( ,a a a_{0 1}, ₂,...,a_n1)T

0 1 1 1 0 2 1 2 0 ( ) n n n R a a a a a a C a a a a                     

şeklindeki matrise sağ (basit) sirkülant matris denir. Bu matriste her bir satır sağa kayarak devreder.

Tanım 3.5 (Karner ve ark., 2003) 0 1 1 1 2 0 1 0 2 ( ) n L n n a a a a a a C a a a a                     

şeklindeki matrise sol sirkülant (yada anti sirkülant veya (-1) sirkülant) matris denir. Her bir satır soldan yukarıdaki satırın bir kaydırılmışıdır.

Tanım 3.6 (Karner ve ark., 2003)

0 1 1 1 0 2 1 2 0 ( ) n n n R a a a a a a S a a a a                        

matrisine ters sağ sirkülant matrisi denir. Ters sağ sirkülant aynı zamanda (-1) çarpan

sirkülant matrisidir.

Tanım 3.7 (Karner ve ark., 2003)

0 1 1 1 2 0 1 0 2 ( ) n L n n a a a a a a S a a a a       _                  

matrisine ters sol sirkülant matris denir.

Teorem 3.3 (Karner ve ark., 2003) A ve B sirkülant matrisleri (sağ, sol, ters sağ, ters sol): i) ABveA B sirkülanttır, ii) AT sirkülanttır, iii) AB sirkülanttır, iv) Asirkülanttır, v) 0 k k i i c A 



sirkülanttır,

vi) Ters sol sirkülant matris simetriktir, özelliklerini sağlar.

Tanım 3.8 (Davis, 1979) circ c c( ,1 2,...,cn) ’nin determinantı; değişkenleri c c1, 2,...,c n

olan n-inci dereceden bir homojen polinomdur.

Sirkülant matrislerin determinantlarının hesabı için basit formüller yoktur. İlk dört durumun; 1 1 2 2 1 2 1 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 4 4 4 2 2 1 2, 3 4 1 2 3 4 1 3 2 4 2 2 2 2 1 2 3 3 4 2 4 2 3 4 1 det ( ) 2 det ( , ) 3 det ( , , ) 3 4 det ( , , ) 2 ( 2 ) 4 ( ) 2 4 n için circ c c n için circ c c c c n için circ c c c c c c c c c n için circ c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c                      olduğunu görürüz.

Teorem 3.4 (Davis, 1979) n n tipinde bir A matrisinin sirkülant matris olması için gerek ve yeter şart

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0                               

permütasyon matrisi olmak üzere

A A

şartının sağlanmasıdır.

Sonuç 3.1 (Davis, 1979) A matrisinin sirkülant olması için gerek ve yeter şart A*

matrisinin de sirkülant olmasıdır.

Sonuç 3.2 (Davis, 1979) A ve B, n n tipinde sirkülant matrisler ise AB matrisi de sirkülanttır.

Ayrıca aynı mertebeli sirkülant matrisler değişmelidir. Dolayısıyla bu özellik ve Sonuç 3.1’ den sirkülant matrislerin normal olduğu sonucuna varılabilir. Yani, A sirkülant matris ise AA* A A* şartı sağlanır.

Tanım 3.9 (Fox ve Parke, 1968) xcos olmak üzere, ( ) cos( ) cos( arccos )

n

T x  n  n x

şeklinde tanımlanan n-inci dereceden polinoma birinci tür chebyshev polinomu denir. Bu polinom T x  ve ₀( ) 1 T x₁( )x başlangıç koşulları olmak üzere n 2 tamsayıları için

1 2

( ) 2 ( ) ( )

n n n

T x  xT_ x T_ x

rekürans bağıntısı ile tanımlanır. Ayrıca xcos olmak üzere



2 2



1 ( ) ( 1) ( 1) 2 n n n T x  x x   x x 

eşitliği de birinci tür Chebyshev polinomunu verir. Birinci tür Chebyshev polinomlarının ilk beş tanesi;

0 1 2 2 3 3 4 3 4 ( ) 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 4 3 ( ) 8 8 1 T x T x x T x x T x x x T x x x          şeklindedir.

Tanım 3.10 (Fox ve Parke, 1968) xcos olmak üzere,

sin(( 1) ) sin(( 1) arccos ) ( ) sin sin(arccos ) n n n x U x x      

şeklinde tanımlanan n- inci dereceden polinoma ikinci tür Chebyshev polinomu denir. ( ) 1

o

U x  U x₁( )2x başlangıç koşulları olmak üzere n 2tamsayıları için

1 2

( ) 2 ( ) ( )

n n n

U x  xU _ x U _ x

rekürans bağıntısı ile ikinci tür Chebyshev polinomu tanımlanır. Ayrıca xcos

olmak üzere 2 1 2 1 2 1 ( 1) ( 1) ( ) 2 ₁ n n n x x x x U x x         

eşitliği de ikinci tür Chebyshev polinomunu verir. İkinci tür Chebyshev polinomlarının ilk beş tanesi,

0 1 2 2 3 3 4 2 4 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 4 1 ( ) 8 4 ( ) 16 12 1 U x U x x U x x U x x x U x x x          şeklindedir.

Tanım 3.11 (Fox ve Parke, 1968) Birinci ve ikinci tür Chebyshev polinomları arasında

2 1 ( ) ( ( ) ( )) 2 n n n T x  U x U _ x 1 ( ) ( ) ( ) n n n T x U x U  x ( ) ( 1)k ( ) n n T x   T x ( ) ( 1)k ( ) n n U x   U x bağıntıları mevcuttur.

Tanım 3.12 (Agarwal, 1962) f : ile tanımlanan f fonksiyonu yardımıyla

birinci mertebeden fark denklemi

1

( , n, n ) 0

f n y y  

ifadesiyle verilir. Benzer şekilde m- inci mertebeden fark denklemi

1

( , _n, _n ,..., _{n m}) 0

f n y y _ y _  ifadesiyle verilir.

Bir fark denkleminin mertebesi; y’ nin en büyük indisi ile en küçük indisi arasındaki farka eşittir. Fark denkleminin mertebesi ile homojen fark denklemin çözümünden gelecek olan sabitlerin sayısı aynıdır. Birinci mertebeden

1 1 ( )

n n

ay _ by _  f n , a b   ,

fark denklemini ele alalım. Eğer f n fonksiyonu doğrusal (lineer) ise fark denklemine ( ) lineer, aksi takdirde fark denklemine lineer olmayan fark denklemi adı verilir. Eğer

( ) 0

f n  ise fark denklemine homojen fark denklemi, f n  ise fark denklemine ( ) 0

homojen olmayan fark denklemi adı verilir.

2

1( ) ( ) (1 ) 1( )

n n n

Örnek 3.1 yn2 7yn16yn  fark denklemi ikinci mertebeden homojen olmayan n

lineer bir fark denklemidir.

Homojen fark denklemlerinin çözümü

k-ıncı mertebeden

1 n k 2 n k 1 ... k 1 n 0,

a y _ a y_{ }  a _ y  ( ,a a_{1 2},...,a_k1) homojen fark denklemini ele alalım. Bu denklemde

0 1 1 2 2 , , , , n n n k n k y y y y             (3.1)

alarak  ’ya bağlı bir denklem elde ederiz. Daha sonra bu denklemin kökleri

1, 2,..., k

   olarak bulunur. Bulunan bu köklere göre eğer 12 ...k ise (3.1)

fark denklemin çözümü (c c1, 2,...,c sabit olmak üzere); k

1( 1) 2( 2) ... ( )

n n n

n k k

y c  c   c  ( 3.2) şeklinde olur.

Eğer bu köklerin bazıları birbirine eşitse; örneğin ₁₂, ₃ ₄ ₅,

6 7 8 9

    ,… olması halinde fark denklemin çözümü ;

2 3 2

1 2 1 3 4 5 3 6 7 8 9 6

( )( )n ( )( )n ... ( )( )n ...

n

y  c n c   c n c n c    c n c n c n c   (3.3) şeklindedir. Verilen iki durumun bir arada olması halinde örneğin  tek katlı, ₁ 2 3,

4 5 5

   ,  tek katlı, ise fark denklemin çözümü; ₇

2 1( 1) ( 2 3)( 2) ... ( 4 5 6)( 4) ... 7( 7) ... n n n n n y c   c n c    c n c n c   c   (3.4 ) olur.

Örnek 3.2 y_n2y_n1y_n  homojen fark denkleminin çözümünü bulalım. 0

Çözüm. Bu denklemin karakteristik denklemi 2  şeklinde yazılıp, kökleri 6 0

1 2

   ve   olarak bulunur. Buradan genel çözüm 2 3 1 2 olduğundan,

13 2( 2)

k k

k

y c c 

1 2 0 1 2 1 0 0 1 3 2 5 k için c c y k için c c y         

denklemleri elde edilir. Buradan,c   , ₁ 1 c  sabitleri bulunur. Bu değerler ₂ 1 denklemde yerine yazılırsa, genel çözüm,

3k ( 2)k

k

y    

4. BAZI ÖZEL TİPTEKİ MATRİSLERİN POZİTİF KUVVETLERİNİN HESAPLANMASI

Bazı diferansiyel fark ve gecikmeli diferansiyel denklemlerin çözümlerinde kare matrislerin pozitif kuvvetlerine ihtiyaç duyulmaktadır. Bu denklemlere örnek olarak;

0 1

( ) ( ) ( ) ( )

x

D t B t B t Z t

verilebilir (Rimas, 2004). Buradaki D türev operatörü,  gecikme sabiti, E n mertebeli

birim matris ve  sürtünme katsayısı olmak üzere B0  E ve 1

2

B  B’dir. B matrisi simetrik sirkülant bir matristir.

0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 B                     Bu denklemin çözümü; 1 0 1 ( ) ( ) ( ), 2 ( ) L l pi l l l x t e B Z p p k       



0 t (L1)

Şeklindedir ( Rimas, 1977). Bu şekilde karşımıza çıkan B’ nin kuvvetlerini formülüze etmeye çalışacağız.

Bu kısımda seçilmiş tridiagonal ve simetrik sirkülant bir matrisin n=2p ve

n=2p+1 (p   ) mertebeleri için pozitif kuvvetlerini hesaplayacağız.

4.1. Tridiagonal Matrisin Pozitif Kuvvetlerinin Hesabı

4.1.1. Üçlü bant (tridiagonal) matris (Zhang, 1961)

A n-kare matris olsun. A matrisin elemanları i j 1 iken 0 ise A matrisine

11 12 21 22 23 32 33 1, , 1 0 0 n n n n nn a a a a a a a A a a a                       şeklinde yazılabilir.

Teorem 4.1.1 n2p ve p   olmak üzere 1

0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 0 A                     (4.1)

tridiagonal matrisin  (  )-inci kuvveti

0, 1, 1, 1, j if j if j       ve 0, 1, 1 , 1, , 2 1, 1 , ij if i p if i j n if i and j n     _        için 1 2 2 1 2 2 1 2 ( ) 1 ( 1) 2 2 j j n l l i j k k ij ij k n i j k k q l p    U  U _                  _   _{    }    



olmak üzere 1 1 1 ( ) ( ( )); 2 2 2 2 l l ij A TJ T Q l q l n n       ile hesaplanır. (Rimas, 2005)

İspat. A matrisinin . (N) kuvvetini hesaplarken A TJT 1 dönüşümünden yararlanalım. Buradaki T matrisi A’ nın öz vektörlerinden oluşan, J matrisi ise A’ nın öz değerlerinden oluşan bir matristir.

1 1 1 tane ( )( )...( ) l l A _{ }TJT TJT TJT

çarpımından Al TJ Tl 1 olduğu görülür. (Horn, 1985)

O halde öncelikle A’nın öz değerlerini ve öz vektörlerini bulalım. Bunun içinde A matrisinin karakteristik denkleminden yararlanırız. Yani;   ve E birim matris olmak üzere AE 0 karakteristik denklemi için; aşağıda tanımlanan determinantlar kullanılırsa; 0 0 1 1 1 1 ( ) 1 1 0 2 n D         (4.2) ve 1 0 1 1 1 1 ( ) 1 1 0 1 n          (4.3)

determinantları kullanalım. R olmak üzere    alınırsa ( ) n AE D  olduğu görülür. ( ) n 

   ve D_n D_n( ) olmak üzere (4.3) determinantından;

0( ) 1   1( )    2 2 1 0 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1                3 3 2 1 1 0 ( ) 1 1 2 ( ) ( ) 0 1                  4 2 4 3 2 1 0 0 1 1 0 ( ) 3 1 ( ) ( ) 0 1 1 0 0 1                   

olup işleme bu şekilde devam edilirse;

0( ) 1

  , ₁( ) 

başlangıç koşullarına sahip;

1 2

( )

n   n n

     homojen fark denklemi elde edilir. Fark denklemlerinin çözümü c , ₁ c₂R olmak üzere

1 1 2 2

( ) n n

n  c r c r

   şeklindedir. (Agarwal, 1992)

Bu fark denklemini çözersek ;

1 2 ( ) 0 n   n n       (4.4) 2 1 4 2 r     , 2 2 4 2 r    

kökleri bulunur. Başlangıç koşullarını kullanarak c ve ₁ c sabitlerini bulalım.₂ ₀( )  1 için c₁c₂  ve 1 c₁  1 c₂ bulunur.

1( )  c r1 1 c r2 2

   

olur. Bu denklemde c₁ 1 c₂ yazılırsa;

2 1 2 2

(1 c r) c r

   

elde edilir. Buradan;

2 1 2 ₂ 2 1 4 2 4 r c r r           _ ve 2 1 2 ₂ 4 1 2 4 c c         

olarak bulunur. Buradan bulunan değerler (4.4)’de yerine yazılırsa;

2 1 2 1 1 ₂ 1 ( 4) ( 4) ( ) 2 ₄ n n n n                  (4.5) elde edilir. İkinci tür chebyshev polinomunun bir ifadesinin

2 1 2 1 2 1 ( 1) ( 1) ( ) 2 ₁ n n n x x x x U x x         

şeklinde olduğunu biliyoruz. (Fox ve Parke, 1968)

2

1 0 r r 

Bu ifadede 2 x yazarsak; 2 1 2 1 2 1 ₂ 1 ( 4) ( 4) 2 2 ₄ n n n n U                       (4.6) eşitliği elde edilir. (4.5) ve (4.6) denklemlerinden;

( ) 2 n Un       _{ }   olduğu görülür. (4.2) determinantından; 1( ) D   2 2 0 ( ) 2 D       3 3 2 0 0 0 ( ) 1 1 2 ( ) 0 2 D               4 2 4 3 1 0 0 0 1 1 0 ( ) 3 ( ) 0 1 1 0 0 2 D               

olup genelleştirme yapılırsa;

1 3

( )

n n n

D   _   _ bağıntısı elde edilir. Şimdi de D_n( ) ’ nın Chebyshev polinomuyla bir ilişkisinin olup

olmadığını araştıralım.

1 2

( )

n   n n

     eşitliği D_n (_n1 _n3) eşitliğinde yerine yazılırsa; daha sonrada denklemde ( ) 2 n Un       _{ }   eşitliği yazılırsa; 1 3 ( ) 2 2 n n n D  _U _{ } _U _ _ __       (4.7) olduğu görülür. 2 1 ( ) ( ( ) ( )) 2 n n n T x  U x U _ x

(Fox ve Parke, 1968) rekürans bağıntısı kullanılarak (4.7)’ de yerine yazılırsa;

1 ( ) 2 2 n n D  T     _{ }  

elde edilir. Şimdi, birinci tür Chebyshev polinomunun köklerini bulalım.xcos ve 1 x 1

   olmak üzere T x_n( )cos(n) olduğundan arccos x alırsak cosn  0 olup cos (arccos )n x  elde edilir. Buradan 0 arccos (2 1) ( 1, 2,..., )

2 n x k k  n ve dolayısıyla arccos (2 1) 2 x k n    olup, (2 1) cos 2 nk k x n  

 elde edilir. (Fox ve Parke, 1968)

1 ( ) 2 2 n n D  T     _{ }  ’de 2 y 

 yazılırsa ve D_n( ) ’ nın kökleri bulunursa;

1 ( ) 4 ( ) n n D y  yT_ y 1 4yT_n ( )y  0 1( ) 0 n T _ y  (2 1) cos , 1, 2,..., 2 nk k y k n n   

olarak bulunur. Böylelikle Dn( ) ’nın kökleri, yani matrisin öz değerleri;

(2 1) 1 2 cos , 1, 2,..., 2 2 2 1 0 , 2 (2 3) 3 5 2 cos , , ,..., 2 2 2 2 k k n k n n k k n n k n n          _    _          _ 

olarak bulunur. J matrisi A matrisinin Jordan formu olsun.  _k k 1, 2,...,n öz değerinin katlılığı l  olduğundan J matrisinde _k 1  basit öz değerine tek Jordan blok karşılık _k

gelir. Ayrıca 1, 2,..., 1 2 n k  için ₁ 2 0 n

 _  ve _k  _{n k} ₁ olur. Buradan A matrisinin

J Jordan formu yazılırsa;

1 3 3 1 2 2 , ,..., , 0 , ,..., , n n n n n n J diag             _   _   olur.

Şimdi Tve T1 matrislerini hesaplayalım. n2p için A’ nın öz 1 vektörlerini bulalım. n2p (1 p   olmak üzere T A’ nın öz vektörlerinden oluşan )

bir matristir (Horn, 1986). Tj(j1,..., )n T’ nin j . sütunu olmak üzere 1 2 ( , ,..., _n) T  T T T olsun. Buradan 1 2 1 1 2 2 (AT AT, ,...,AT_n)(T,T ,...,T_n_n) olur. O halde; 1 1 1 2 2 2 n n n AT T AT T AT T       

buluruz. A’nın öz vektörlerini Chebyshev polinomlarını kullanılarak;

1 0 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) , 1, , 2 2 2 2 2 T j j j j j n n T _U_  U  U  U _  _ j n ve j     (4.8) 1 2

sin sin sin sin sin

2 2 2 2 2 1 0 1 sin sin 2 2 T n T i i i i i T i n                  _  _       (4.9)

şeklinde formulüze edilebilir. İkinci tür Chebyshev polinomu sin( 1) arccos ( ) sin arccos k k x U x x   ,  1 x1

(Fox ve Parke, 1968) olduğundan (4.8) ve (4.9) eşitliklerinden T dönüşüm matrisi;

1 3 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n U U U U U U U U U U U U T U U                                               _{   }         _{   }                             _{   }         _{   }                          1 3 1 2 2 1 1 1 1 1 3 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 sin 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n U U U U n U U U U U U                                           _{   }       _{   }     _{   }  _{   }                              _{   }      _{           }                                    (4.10) şeklinde yazılır.

1

1 2

( ( , ,..., ))

j T n

    

 T1 matrisinin j-inci sütununu göstersin.

2 1 2 2 3( 1) 2 1 , 1, 2,...., 2(2 2) 2 3 5 , , ,...., 2(2 2) 2 2 n k k n k n k n t n n k n n            _        _    (4.11) ve j2,n1 olmak üzere 1 1 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 T n n n n n n n n n n n n t t t t t t U U U U U U                                           _{        }         _{   }      _{   }      1 3 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 T n n n n n t Un t Un tn Un tn Un t Un n t Un n                                        _{        }         _{   }      _{   }      1 3 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 T n n n n j t Uj t Uj tn Uj tn Uj t Un j t Un n                                        _{        }         _{   }      _{   }      şeklinde Chebysev polinomlarına bağlı matrisler olarak formulüze edilebilir. Bu matrisler kullanılarak T1;

1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 3 1 2 1 2 2 2 2 2 2 0 2 0 2 1 2 3 2 2 2 1 1 2 2 0 1 0 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n t U t U t U t U t U t U t U t U t U t U t U t U T                                                                                                       1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 3 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 0 3 0 1 1 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n t U t U t U t U t U t U t U                                                                                                              3 2 3 3 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0 1 1 1 3 1 2 1 0 0 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n t U t U t U t U t U t U t U t U t U t U t U                                                                                                                                                                 _{ }    (4.12) şeklinde yazılır. Şimdi de A’nın l-inci kuvvetini oluşturalım. L_i(i1, )n , T’ nin i-inci satırı ve



1 2



T n T  L L  L ve i1,n olmak üzere 1 3 1 1 2 2 2 2 2 2 sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 T n n T n n i i i i i i i i L U U U U U U                                     _{        }         _{   }      _{   }      ifadelerinden _Al _{TJ T}l 1 _ve 1 2 3 ( , , ,..., ) l l l l l n

J diag     yazılır. Buradan da

1 2 0 n  _  ve 0 1 2 k U _ _   k 1,n olmak üzere

  

1



1 1 1 1 3 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 0 2 2 0 1 1 0 3 3 0 2 2 2 2 1 1 1 1 1 0 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 1, ; 2 2 l l l i i i n n l l l l i n n n n T l n l n n n n n A TJ T L J L t U t U t U t U t U t U i n                                         _{   }  _{    }                                  (4.13)

 



1



1 3 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 0 2 2 2 2 2 2 l l l i n in in n n l l l l i n n n n n n n n T l n l n n n n n n n A TJ T L J L t U t U t U t U t U t U                                              _{    }                                 2 2 1 , 2 2 n l k k k k i n k t U  U         _{   }    



i1, ;n

 

1 3 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 l l i j ij n n l l l l i j j n n j n n j T l n l n n n j n n j A L J L t U t U t U t U t U t U                                            _{    }                                 2 2 1 2 1, ; 2 2 n l k k k k i j k t U  U   i n       _{   }     



(4.14)

eşitlikleri elde edilir. (4.13) ve (4.14) ifadelerinden

 

2 2 1 2 2 2 n l l j k k ij k k i j ij k A p t   U  U          _{   }    



(4.15) ifadesi formulüze edilebilir. Bu ifadedeki t (4.11)’ de tanımlanmıştır. _k  , A’ nin öz _k

değerleri, n A (n2p , p   ) matrisinin mertebesini, 1 U x k-ıncı dereceden ikinci n( ) tür Chebyshev polinomlarını ifade eder.

0, 1 1 , 1 2 1, 1 ij if i p if i ve j n if i ve j n     _        0, 1 1, 1 ij if j if j  _{ }    olmak üzere (4.15) ifadesini

1 2 1 2 2 1 2 , 2 2 n l j k k ij k k i j j k S p t  U  U _             _{   }    



i j, 1, ;n (4.16) 2 2 2 3 2 2 , 2 2 n l j k k ij k k i j j n k S p t U  U _            _{   }    



i j, 1, ;n (4.17) olacak şekilde

 

1 2 l ij A S S

biçiminde parçalayalım. İkinci toplamda 2 1 2 n m k    yazılırsa 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 , 2 2 n n m n m l j ij n m n m i j j m S p t  U U _                                      



i j, 1,n (4.18)

elde edilir. (4.18)’ deki toplamda m değişkeni yerine k yazılırsa

1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 , 2 2 n l j n k n k ij n k n k i j j k S p t   U  U _                     _{   }    



i j, 1,n

ifadesi elde edilir. _k  _{n k} ₁ ve tk tn k 1

1

( 1, )

2

n

k  eşitliği dikkate alınırsa;

1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 ( ) 2 2 ( 1) 2 , 1, 2 2 l i j n l j k k ij k k i j j k n l j k k ij k k i j j k S p t U U p t U U i j n                               _ _{ } _           _{   }     





(4.19)

toplamı elde edilir. Burada U_n(x) ( 1)kU x_n( ) (Fox ve Parke, 1968) eşitliği kullanılmıştır. (4.16) ve (4.19) ifadeleri (4.15)’ te yerine yazılırsa

 

1 2 2 2 1 (1 ( 1) )2 2 2 l i j n l l j k k ij k k i j j ij k A   p t   U  U _               _{   }    



, i j, 1,n

elde edilir. Sonuç olarak (4.11)’ deki t ifadesi dikkate alınırsa _k

 

1 2 2 1 2 2 1 2 1 ( 1) 2 2 2 2 l i j n l l j k k ij k n i j j ij k k A p U U n                        _{   } 



    , i j, 1, ;n

İfadesiyle A’ nın l-inci kuvveti formulüze edilmiş olur. (Rimas, 2006)

2 1

n p mertebeli matris için öz değer ve öz vektör bulma işlemleri n2p

için de yapılırsa (p   , p  ) 2 2 1 (2 1) 2 cos 2 2 k k n        , (k1, 2,...,n1) 2 2 2 cos 2 2 k k n      (k1, 2,...,n2)

olarak bulunur. Buradan _2k₁ (1, 2,..., 1, 1,..., 1)

2 2 n n k   n katlılığı l  ’dir. _i 1 1 n  ( 2 n

k  ) katlılığı l_n1 ’ dir. (Horn, 1986) 2

2k 1 2n 2k 1  _   _{ } ( 1, 2,..., 2) 2 n k   2k 2n 2k 2    _{ } ( 1, 2,..., 2) 2 n

k   ilişkisi vardır. A’ nın Jordan formu;

2 3 2 5 1 1 2 5 2 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 n n n n n n J                 _                                   

şeklinde yazılır. Buradan J T AT1 dönüşümü kullanılarak T, T1 matrislerini bulup,

A matrisinin l-inci kuvvetinin genel ifadesini

0, 1, 1, 1, j if j if j       ve 0, 1, 1 , 1, , 2 1, 1 , ij if i p if i j n if i and j n     _        için 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 ( ) 1 ( 1) 2 2 j j n l l i j k k ij ij k n k i j k q l p    U  U _                    _   _{    }    



i j, 1,n olmak üzere 1 1 ( ) ( ) 2 2 l l ij A TJ T l q l n      

olarak bulunur. (Rimas, 2005)

4.2. Simetrik Sirkülant matrisin pozitif kuvvetleri

Tanım 4.2.1 (Horn, 1985) C, mertebesi n olan karesel bir matris olsun.

1 2 3

( , , ,...., _n)

Ccirc c c c c olarak tanımlanan

1 2 3 1 2 1 3 4 5 3 2 3 4 1 n n n c c c c c c c c C c c c c c c c c                   

matrisine sirkülant matris denir. C ’nin her bir satırının elemanları; bir önceki satırın elemanları ile aynıdır. C sirkülant matrisi matrisi aynı zamanda simetrikse (CT C)

C’ ye simetrik sirkülant matris denir.

Teorem 4.2.1 n2p ve p   olmak üzere 1

0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 B                    

1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 2 n l n k m n k n k m k a l l  T              _{ }  



1, 1 2 n m  olmak üzere 1 2 3 1 1 1 4 3 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 5 4 3 1 2 2 2 2 3 4 1 1 3 3 2 1 2 2 2 1 n n n n n n l l n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a B TJ T n a a a a a a a a a                     _{ }                         

ile verilir. (Rimas, 2005)

İspat. B matrisinin l (lN)-inci kuvvetini hesaplarken _BTJT1 _{dönüşümünden}

yararlanalım. (Horn,1985) Buradaki T matrisi B’ nin öz vektörlerinden oluşan, J matrisi de B’ nin öz değerlerinden oluşan bir matristir.

1 1 1 tane ( )( )...( ) l l B _{ }TJT TJT TJT_

çarpımından Bl TJ Tl 1 olduğu görülür. O halde öncelikle B’ nin öz değerlerini ve öz vektörlerini bulalım. Bunun içinde B matrisinin karakteristik denkleminden yararlanalım. Yani;   ve E birim matris olmak üzere BE 0 karakteristik denklemi için; 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 n D         (4.20) ve 1 0 1 1 1 1 ( ) 1 1 0 1 n         (4.21)

determinantları kullanalım. R olmak üzere    alınırsa ( ) n BE D  olduğu görülür. ( ) n 

   olmak üzere (4.21) determinantından;

0( ) 1   , 1( )    , 2 2 1 0 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1                , 3 3 2 1 1 0 ( ) 1 1 2 ( ) ( ) 0 1                  ve 4 2 4 3 2 1 0 0 1 1 0 ( ) 3 1 ( ) ( ) 0 1 1 0 0 1                   

olup işleme böylece devam edilirse

0( ) 1

  , ₁( ) 

başlangıç koşullarına sahip;

1 2

( ) ( ) ( ) 0

n   n  n 

      homojen fark denklemi elde edilir. Buradan

2 1 0 r r  2 1 4 2 r     , 2 2 4 2 r    

kökleri bulunur. Fark denklemlerinin çözümü c , ₁ c₂  olmak üzere

1 1 2 2

( ) n n

n  c r c r

   (4.22) şeklindedir. (Agarwal, 1992) Başlangıç koşullarını kullanarak c ve ₁ c sabitlerini ₂

bulalım.

0( ) 1

  için c₁c₂  ve 1 c₁  1 c₂ bulunur.

1( )  c r1 1 c r2 2

    olur. Bu denklemde c₁ 1 c₂ yazılırsa;

1( )  (1 c r2)1 c r2 2

elde edilir. Buradan; 2 1 2 ₂ 2 1 4 2 4 r c r r           _ 2 1 2 ₂ 4 1 2 4 c c         

olarak bulunur. Buradan bulunan değerler (4.22)’de yerine yazılırsa;

2 1 2 1 1 ₂ 1 ( 4) ( 4) ( ) 2 ₄ n n n n                  (4.23)

elde edilir. İkinci tür Chebyshev polinomunun tanımından 2 x olarak 2 1 2 1 2 1 ( 1) ( 1) ( ) 2 ₁ n n n x x x x U x x          2 1 2 1 1 ₂ 1 ( 4) ( 4) 2 2 ₄ n n n n U                       (4.24) eşitliği elde edilir. (4.23) ve (4.24) denklemlerinden

( ) 2 n Un       _{ }   olduğu görülür. (4.20) determinantından; 1( ) D   2 2 2 1 0 1 ( ) 1 2 2( 1) 1 D               3 3 3 2 1 1 1 ( ) 1 1 3 2 2 2( 1) 1 1 D                  4 2 4 4 3 2 1 0 1 1 1 0 ( ) 4 2 2( 1) 0 1 1 1 0 1 D                 

olup genelleştirme yapılırsa;

1 2

( ) 2 2( 1)n

n n n

bağıntısı elde edilir. Şimdi de D_n( ) ’ nın Chebyshev polinomlarıyla bir ilişkisi olup olmadığına bakalım. ( ) 2 n Un       _{ }   olduğunu göstermiştik. (4.25)’ de ( ) 2 n Un       _{ }   yazılırsa 2 ( ) 2 2( 1) 2 2 n n n n D  U  U        _{ } _{ }      (4.26) elde edilir. 1 2 ( ) n   n n

     olduğunu biliyoruz. Bu eşitlik

1 2

( ) 2 2( 1)n

n n n

D         

eşitliğinde yerine yazılırsa;

2 ( ) 2( 1)n n n n D      _   olduğu görülür. 2 1 ( ) ( ( ) ( )) 2 n n n T x  U x U _ x

rekürans bağıntısı kullanılarak ( 4.26) ifadesinde yerine yazılırsa;

( ) 2 2( 1) 2 n n n D   T __   

eşitliği elde edilir. Birinci tür Chebyshev polinomunun kökleri xcos, 1 x1, olmak üzere ( ) cos( ) n T x  n arccos x cosn  0 cos (arccos )n x  0 arccos (2 1) ( 1, 2,..., ) 2 n x k k  n arccos (2 1) 2 x k n    (2 1) cos 2 k x n   