SELC
¸ UK ¨
UN˙IVERS˙ITES˙I
FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ¨
US ¨
U
CONFORMABLE LAPLACE D ¨
ON ¨
US
¸ ¨
UMLER˙I VE
UYGULAMALARI
Ali KURT
DOKTORA TEZ˙I
Matematik Anabilim Dalı
Eyl ¨
ul - 2018
KONYA
DOKTORA TEZ˙I
CONFORMABLE LAPLACE D ¨ON ¨US¸ ¨UMLER˙I VE UYGULAMALARI
Ali KURT
Selc¸uk ¨Universitesi Fen Bilimleri Enstit ¨us ¨u Matematik Anabilim Dalı
Danıs¸man: Dr. ¨O˘gr. ¨Uyesi Ozan ¨OZKAN 2018, 93+xi Sayfa
J ¨uri
Prof. Dr. Ercan C¸ EL˙IK
Dr. ¨O˘gr. ¨Uyesi Ozan ¨OZKAN(Danıs¸man) Prof. Dr. Aynur KESK˙IN KAYMAKCI
Doc¸. Dr. Mevl ¨ude YAKIT ONGUN Doc¸. Dr. Tuncer ACAR
Bu tezde; ilk olarak conformable Laplace d¨on¨us¸¨um¨un¨un varlı˘gı, tekli˘gi, bazı temel ¨ozellikleri ile ilgili teoremlere ve ispatlarına yer verilmis¸tir. Ayrıca conformable Laplace d¨on¨us¸¨um¨u genelles¸tirilerek iki katlı ve ¨uc¸ katlı conformable Laplace d¨on¨us¸¨umleri ve bu d¨on¨us¸¨umlerin ¨ozelliklerini ac¸ıklayan teoremler ifade ve ispat edilmis¸tir. Yeni verilen con-formable Laplace d¨on¨us¸¨umleri ve ¨ozellikleri kullanılarak bazı concon-formable kesirli integral deklemlerin, integro diferensiyel denklemlerin, integro diferensiyel denklem sistemlerin, kısmi integro diferensiyel denklemlerin, kısmi diferensiyel denklemlerin, kısmi diferensiyel denklem sistemlerinin, diferensiyel denklemlerin ve diferensiyel denklem sistemlerinin tam c¸¨oz¨umleri elde edilmis¸tir.
Anahtar Kelimeler:Conformable Kesirli T¨urev ve ˙Integral, Conformable Laplace D¨on¨us¸¨um¨u, ˙Iki Katlı Conformable Laplace D¨on¨us¸¨um¨u, ¨Uc¸ Katlı Conformable Laplace D¨on¨us¸¨um¨u, Kesirli Diferensiyel Denklemler.
Ph.D THESIS
CONFORMABLE LAPLACE TRANSFORMS AND APPLICATIONS
Ali KURT
THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELC¸ UK UNIVERSITY
THE DEGREE OF DOCTOR OF PHILOSOPHY IN MATHEMATICS Advisor: Asst.Prof.Dr. Ozan ¨OZKAN
2018, 93+xi Pages
Jury
Prof. Dr. Ercan C¸ EL˙IK
Asst. Prof. Dr. Ozan ¨OZKAN(Advisor) Prof. Dr. Aynur KESK˙IN KAYMAKCI Assoc. Prof. Dr. Mevl ¨ude YAKIT ONGUN
Assoc. Prof. Dr. Tuncer ACAR
In this thesis, firstly theorems and proofs about some basic properties, existence and uniqueness of conformable Laplace transform are given. Also by generalizing conformable Laplace transform, double and triple conformable Laplace transforms and theorems and proofs on some basic properties of these transforms are expressed. By using the properties of these new conformable Laplace transforms the exact solutions of conformable fractional integral equations, integro differential equations, integro differential equation systems, par-tial integro differenpar-tial equations, parpar-tial differenpar-tial equations, parpar-tial differenpar-tial equation systems, differential equations and differential equation systems are obtained.
Anahtar Kelimeler:Conformable Fractional Derivative and Integral, Conformable Laplace Transform, Double Conformable Laplace Transform, Triple Conformable Laplace Transform, Fractional Differential Equations.
Bu c¸alıs¸ma, Selc¸uk ¨Universitesi Fen Fak¨ultesi Matematik B¨ol¨um¨u ¨O˘gretim ¨
Uyesi Sayın Dr. ¨O˘gr. ¨Uyesi Ozan ¨OZKAN y¨onetiminde yapılarak, Selc¸uk ¨ Universi-tesi Fen Bilimleri Enstit¨us¨u’ ne doktora tezi olarak sunulmus¸tur.
C¸ alıs¸ma boyunca destek ve ilgilerini benden esirgemeyen, de˘gerli g¨or¨us¸ ve ¨onerilerini benimle paylas¸an tez danıs¸manım Sayın Dr. ¨O˘gr. ¨Uyesi Ozan ¨OZKAN’ a ve tez izleme komitesi ¨uyeleri Sayın Prof. Dr. Ercan C¸ EL˙IK’ e, Sayın Prof. Dr. Aynur KESK˙IN KAYMAKCI’ ya ve mesai arkadas¸ım Dr. ¨O˘gr. ¨Uyesi Orkun TAS¸BOZAN’a tes¸ekk¨urlerimi ve saygılarımı sunarım.
Ayrıca c¸alıs¸mamın her as¸amasında manevi deste˘gi ile hep yanımda olan babama, anneme, kardes¸lerime, es¸im Aslı KURT’ a ve do˘gumuyla mutlulu˘gumuza mutluluk katan kızım Defne Meva KURT’ a tes¸ekk¨urlerimi ve sevgilerimi sunarım. Ali KURT KONYA-2018
¨ OZET . . . iv ABSTRACT . . . v ¨ ONS ¨OZ . . . vi S¸EK˙ILLER L˙ISTES˙I . . . ix TABLOLAR L˙ISTES˙I . . . x S˙IMGELER VE KISALTMALAR . . . xi
1. G˙IR˙IS¸ VE KAYNAK ARAS¸TIRMASI . . . 1
2. MATERYAL VE Y ¨ONTEM . . . 7 2.1. Ozel Fonksiyonlar¨ . . . 9 2.1.1. Gamma Fonksiyonu . . . 9 2.1.2. Beta Fonksiyonu. . . 10 2.1.3. Hata Fonksiyonu. . . 11 2.1.4. Mittag-Leffler Fonksiyonu . . . 12
2.2. Kesirli Mertebeden T¨urev ve ˙Integral Yaklas¸ımları. . . 12
2.2.1. Gr¨unwald-Letnikov Kesirli Mertebeden T¨urev, ˙Integral Yaklas¸ımı ve ¨Ozellikleri. . . 12
2.2.2. Riemann-Liouville Kesirli Mertebeden T¨urev, ˙Integral Yaklas¸ımı ve ¨Ozellikleri. . . 14
2.2.3. Caputo Kesirli T¨urev ve ˙Integral Yaklas¸ımı . . . 16
2.2.4. Conformable Kesirli T¨urev, ˙Integral Yaklas¸ımı ve ¨Ozellikleri. . . 18
2.2.4.1. Conformable Kesirli T¨urev. . . 19
2.2.4.2. Conformable Kesirli ˙Integral. . . 25
3. CONFORMABLE LAPLACE D ¨ON ¨US¸ ¨UMLER˙I . . . 28
3.1. Conformable Laplace D¨on¨us¸¨um¨u. . . 28
3.1.1. Conformable Laplace D¨on¨us¸¨um¨un Varlı˘gı ve Tekli˘gi. . . 29
3.1.2. Conformable Laplace D¨on¨us¸¨um¨un¨un ¨Ozellikleri. . . 31
3.1.3. Ac¸ıklayıcı ¨Ornekler. . . 37
3.2. ˙Iki Katlı Conformable Laplace D¨on¨us¸¨um¨u. . . 45 3.2.1. ˙Iki Katlı Conformable Laplace D¨on¨us¸¨um¨un¨un Bazı ¨Ozellikleri. 47
3.2.3. ˙Iki Katlı Conformable Laplace D¨on¨us¸¨um¨un¨un Bazı Uygula-maları. . . 57 3.3. Uc¸ Katlı Conformable Laplace D¨on¨us¸¨um¨u¨ . . . 68
3.3.1. Uc¸ Katlı Conformable Laplace D¨on¨us¸¨um¨un¨un Bazı Temel¨ ¨
Ozellikleri . . . 69 3.3.2. Uc¸ Katlı Conformable Laplace D¨on¨us¸¨um¨un¨un Bazı Uygula-¨
maları. . . 79 4. SONUC¸ LAR VE ¨ONER˙ILER . . . 83 KAYNAKLAR . . . 84
APPENDICES ¨
OZGEC¸ M˙IS¸ . . . 90
S¸ ekil Sayfa S¸ekil 2.1. Gamma fonksiyonu . . . 11 S¸ekil 3.1. α’ nın farklı de˘gerleri ic¸in u(t) fonksiyonunun davranıs¸ı. . . . 40 S¸ekil 3.2. α’ nın farklı de˘gerleri ic¸in u(t) fonksiyonunun (3.35) davranıs¸ı. . . 43 S¸ekil 3.3. (3.99) ile verilen u(x, t) fonksiyonunun α = 0.3, β = 0.9 ic¸in
grafi˘gi . . . 65 S¸ekil 3.4. (3.99) ile verilen u(x, t) fonksiyonunun α = 0.4, β = 0.1 ic¸in
grafi˘gi . . . 65 S¸ekil 3.5. (3.104) ile verilen u(x, t) fonksiyonunun α = 0.3, β = 0.01 ic¸in
grafi˘gi . . . 67 S¸ekil 3.6. (3.104) ile verilen u(x, t) fonksiyonunun α = 0.5, β = 0.1 ic¸in
grafi˘gi . . . 67
Tablo Sayfa Tablo 3.1. Bazı Temel Fonksiyonların ˙Iki Katlı Conformable Laplace D¨on¨us¸¨umleri.
56
Tablo 3.2. Bazı Elemanter Fonksiyonların ¨Uc¸ Katlı Conformable Laplace D¨on¨us¸¨umleri. . . 79
Simgeler
Γ(x) Gamma Fonksiyonu
β(x, y) Beta Fonksiyonu
Eα(x) Bir parametreli Mittag-Leffler Fonksiyonu
Eα,β(x) ˙Iki parametreli Mittag-Leffler Fonksiyonu
erf (x) Hata Fonksiyonu
erf c(x)(x) Tamamlayıcı Hata Fonksiyonu
GLDα α. mertebe Gr¨unwald-Letnikov Kesirli T¨urev Operat¨or¨u GLD−α α.mertebe Gr¨unwald-Letnikov Kesirli ˙Integral Operat¨or¨u RLDα α.mertebe Riemann-Liouville Kesirli T¨urev Operat¨or¨u RLD−α α.mertebe Riemann-Liouville Kesirli ˙Integral Operat¨or¨u CDα α.mertebe Caputo Kesirli T¨urev Operat¨or¨u
CD−α α.mertebe Caputo Kesirli ˙Integral Operat¨or¨u
Dα α.mertebe Conformable Kesirli T¨urev Operat¨or¨u
Iα α.mertebe Conformable Kesirli ˙Integral Operat¨or¨u Lα
t Conformable Laplace D¨on¨us¸¨um¨u Operat¨or¨u
Lα
t Lxβ ˙Iki Katlı Conformable Laplace D¨on¨us¸¨um¨u Operat¨or¨u
Lα
t LyγLxβ Uc¸ Katlı Conformable Laplace D¨on¨us¸¨um¨u Operat¨or¨u¨
L−1
α Ters Conformable Laplace D¨on¨us¸¨um¨u Operat¨or¨u
L−1
β Lα−1 ˙Iki Katlı Ters Conformable Laplace D¨on¨us¸¨um¨u Operat¨or¨u
L−1
γ Lβ−1Lα−1 Uc¸ Katlı Ters Conformable Laplace D¨on¨us¸¨um¨u Operat¨or¨u¨
1. G˙IR˙IS
¸ VE KAYNAK ARAS
¸ TIRMASI
C¸ es¸itli m¨uhendislik bilimleri, fizik, kimya, biyoloji gibi temel bilimler, tıp bilimleri ve ekonomi gibi alanlarda ortaya c¸ıkan problemlerin matematiksel mo-dellemelerinde genellikle diferensiyel denklemlerle kars¸ılas¸ılmaktadır. Fakat in-sano˘glunun ihtiyac¸ları de˘gis¸tikc¸e insanın do˘gaya, do˘gada gerc¸ekles¸en karmas¸ık ve do˘grusal olmayan olaylara ilgisinin artması, yas¸anan teknolojik ve bilimsel gelis¸me-ler klasik t¨urev ve integralin bu olayları ac¸ıklamada yeterli olmadı˘gını g¨ostermis¸tir. Bilinen t¨urev ve integral kavarmının genis¸letilerek do˘ganın do˘grusal olmayan karma-s¸ık formuna daha uyumlu hale getirilmesi gereklili˘gi ortaya c¸ıkmıs¸tır. Bu uyum c¸alıs¸-maları, daha ¨once kars¸ılas¸ılmamıs¸ yeni bir alan olmanın yanı sıra, t¨urev ve in-tegral tanımlarının genis¸letilmesi olarak tanımlanabilecek ”Kesirli Analiz” alanını ortaya c¸ıkarmıs¸tır.
Kesirli analizde t¨urev ve integral kesirli mertebedendir. Kesirli analiz ile ifade edilen yapılar karmas¸ık olmasına ra˘gmen, ele alınan problemi daha iyi mo-delleyebilmektedir. Kesirli analizin ¨onemli avantajlarından biri, ele alınan problem ve problemle beraber verilen s¸artların matematiksel olarak en iyi s¸ekilde model-lenebilmesine izin vermesidir. Bu avantajlar sebebiyle kesirli mertebeden t¨urev ve integral kavramı, mekanik ve elektriksel ¨ozelliklerin matematiksel modellemelerin-de, akıs¸kanlar teorisi, elektrik devreleri, elektro-analitik kimya, tıp, biyolojik mo-dellerde ve benzeri birc¸ok alanda kullanılmaktadır (Momani, 2006; Elwakil, 2010). Kesirli mertebeden t¨urev ve integral, genel anlamda uzun s¨uredir bilinme-sine ra˘gmen; son d¨onemlerde ¨ozellikle fizik, kimya ve m¨uhendislik gibi bilim-lerdeki uygulamalarıyla yo˘gun olarak ilgilenilen bir konu olmus¸tur (Oldham ve Spainer, 1974; Podlubny, 1999; Kilbas ve ark., 2006). Kesirli mertebeden difer-ensiyel denklemlerin c¸¨oz¨umleri ic¸in yapılan c¸alıs¸maların b¨uy¨uk ¨oneme sahip ol-masının nedenlerinden birisi, birc¸ok fiziksel olgunun bu denklemlerle c¸ok bas¸arılı bir s¸ekilde ac¸ıklanabilmesidir.
Kesirli analiz ifadesi, ilk olarak 30 Eyl¨ul 1695 yılında L’Hospital’ın niz’e yazmıs¸ oldu˘gu bir mektupta gec¸mektedir. L’Hospital bu mektubunda Leib-niz’e f (x) = x lineer fonksiyonunun n. mertebeden t¨urevi olan dxdnny ic¸in
c¸alıs¸mala-rında kullandı˘gı ¨ozel bir yapı hakkında sorular y¨oneltmis¸tir. L’Hospital t¨urevin mer-tebesinin rasyonel olması, yani n = 12 olması durumunda t¨urevin nasıl alınaca˘gını ve sonucun ne olaca˘gını sormus¸tur. Bu soru kesirli analizin ilk kıvılcımını olus¸tur-mus¸tur (Nishimoto,1991; Weilbeer, 2005).
Bu ilk fikir sonrası kesirli analiz konusu Leibniz ve Bernoulli arasında da tartıs¸ılmıs¸tır. Bernoulli Aralık 1695’ de Leibniz’e ”Kuvvetlerin kesirli veya irras-yonel” olması durumu hakkında sorular y¨oneltti˘gi bir mektup yazmıs¸tır. Leib-niz, Bernoulli’ye, L’Hospital’a yolladı˘gı mektuba benzer fakat, genel mertebeli t¨urev yapısı hakkında daha detaylı bilgiler verdi˘gi bir mektup yollamıs¸tır (Weilbeer, 2005).
1716 yılında Leibniz’in ¨ol¨um¨u ile kesirli mertebeden t¨urev ile ilgili lar son bulmamıs¸tır. Leonard Euler, 1783 yılında bu alana temel olus¸turan c¸alıs¸ma-lardan birini yapmıs¸tır. Euler bu c¸alıs¸masında fakt¨oriyel kavramını genelles¸tirmis¸, kesirli analizde ¨onemli bir kavram olan Gamma fonksiyonunu ac¸ıklamıs¸tır (Weil-beer, 2005).
J.L. Lagrange, Leibniz’in ¨ol¨um¨unden 50 yıl sonra kesirli analiz alanıyla il-gilenmeye bas¸lamıs¸ olup, 1722’de Lagrange tamsayı mertebeden t¨urev operat¨or¨u ic¸in dxdmm
dn dxn =
dm+n
dxm+n , m, n ∈ N ifadesini gelis¸tirmis¸tir. C¸alıs¸malarının
sonu-cunda verilen s¸artlar altında ifadenin m, n ∈ C durumuna d¨on¨us¸t¨ur¨ulebilece˘gini g¨ostermis¸tir (Lagrange, 1849).
Kesirli t¨urevin detaylı olarak ilk tanımı, 1812 de P.S. Laplace’ın yazmıs¸ oldu˘gu ”Theoric anlytique des probabilites” adlı kitabında bulunmaktadır (Weil-beer, 2005). Laplace, ∫ T (t)t−xdt s¸eklindeki bir integral ile g¨osterilebilen fonksi-yonlar ic¸in kesirli t¨urev tanımını ifade etmis¸tir. 1823 yılında N.H. Abel Tautochrone probleminde ortaya c¸ıkan bir integral denklemi kesirli t¨urev yardımıyla c¸¨ozm¨us¸t¨ur (Weilbeer, 2005). Abel’in c¸alıs¸malarına sonraki yıllarda Samko ve arkadas¸larının yayınlamıs¸ oldu˘gu kitapta yer verilmis¸tir (Samko ve ark., 1993). Kesirli analiz ile ilgili bir di˘ger temel c¸alıs¸ma 1830’lu yılların bas¸ında J. Liouville tarafından yapılmıs¸tır. Liouville iki farklı t¨urev tanımını literat¨ure kazandırmıs¸tır (Weilbeer, 2005). ˙Ilk olarak f (x) = ∑∞k=0ckeakx olacak s¸ekilde seriye ac¸ılabilen bir
fonksi-yonu ele almıs¸ ve n∈ N olacak s¸ekilde bilinen dxdnneax = Dneax= aneaxt¨urevinden
hareketle α ∈ C mertebeli kesirli t¨urevi, Dαf (x) = ∑∞k=0ckaαke
akx s¸eklinde ifade
etmis¸tir (Lagrange, 1849; Ross, 1974; Weilbeer, 2005). Ancak bu tanımda α’nın sec¸iminde bazı sınırlamalar oldu˘gu g¨ozlenmis¸tir. Liouville’nin gelis¸tirdi˘gi di˘ger
tanım ise, α keyfi bir sabit olmak ¨uzere f (x) = x1α fonsiyonunun α mertebeli
ke-sirli t¨urevidir (Fowler, 1975).
G¨un¨um¨uzde kullanılmakta olan tanımların ¨onemli bir kısmı, G.F. Bernhard Riemann tarafından verilmis¸tir. Riemann kesirli analiz ile ilgili ilk c¸alıs¸malarını ¨o˘grencilik yıllarında yapmıs¸tır. Ancak bu c¸alıs¸malar ¨ol¨um¨unden sonra 1872 yılında ”Gesamenelte Mathematische Werke” adlı yayında basılmıs¸tır (Ross, 1974). Bug¨un hala kullanılan bir di˘ger tanım da, Gr¨unwald’ın 1867 ve Letnikov’un 1868 yılında farklı iki yayında belirttikleriGLDαxf (x) = limh→0
(∆h)αf (x)
hα bic¸iminde
tanımladık-ları kesirli t¨urev tanımıdır. Bu tanım Gr¨unwald-Letnikov kesirli t¨urevi olarak ad-landırılır (Ross, 1974; Fowler, 1975; Samko ve ark., 1993; Weilbeer, 2005; Kil-bas ve ark., 2006). Daha sonra bu tanımın bazı s¸artlar altında Riemann-Liouville tanımına denk oldu˘gu ispatlanmıs¸tır ( Bertram, 1975; Samko ve ark., 1993; Hilfer, 2000).
Kesirli analiz ile ilgili c¸alıs¸malarda kullanılabilecek matematiksel teorilerin c¸o˘gu 20. y¨uzyıldan ¨once gelis¸tirilmis¸tir. Ancak, m¨uhendislik ve fen bilimlerindeki ilerlemelerden dolayı matematikc¸iler bu gelis¸melere ayak uydurabilmek ic¸in kesirli analizin yapısında bazı de˘gis¸iklikler yapmıs¸lardır. Caputo, Riemann-Liouville ke-sirli t¨ureve sahip diferensiyel denklemlerin c¸¨oz¨um¨undeki tamsayı mertebeli bas¸lan-gıc¸ s¸artlarını kullanmak amacıyla Riemann-Liouville kesirli t¨urevini yenilemis¸ ve ”Caputo t¨urevi” olarak adlandırılan yeni bir t¨urev tanımı elde etmis¸tir (Hilfer, 2000). M. Caputo’nun 1967 yılında ifade etti˘gi bu tanım, bas¸langıc¸ s¸artları tamsayı mer-tebeden t¨urevli olan kesirli t¨urevlere sahip diferensiyel denklemlerin ifade edilme-sinde sıklıkla kullanılmaktadır (Oldham ve Spainer, 1974; Podlubny, 1999; Kilbas ve ark., 2006).
¨
Ozellikle son zamanlarda kesirli t¨urev ve integral uygulamalarının fiziksel yorumları ¨uzerine birc¸ok aras¸tırma yapılmıs¸tır. Kesirli analiz kavramı g¨un¨um¨uzde biyolojik sistemleri modellemede (Yuste ve Lindenberg, 2001), fizikte (Barkai ve ark., 2000), beyin analizinde, sinir h¨ucrelerinin karmas¸ık yapılı anormal davranıs¸-larının modellenmesi c¸alıs¸malarıyla tıp alanında (Henry ve ark. 2008), fiyat ana-lizi gibi do˘grusal olmayan hareketlerin modellerinin yapılması ile finans alanında (Wyss, 2000), depremde fay hatlarının anormal davranıs¸larının analiz edilmesindeki modelleme is¸lemlerinde, n¨ukleer manyetik rezonans ¨uzerine teorik c¸alıs¸malarda (Magin ve ark. 2009;), eczacılık ve ilac¸ sekt¨or¨undeki ic¸erik analizinde (Caputo ve ark., 2011) kullanılmaktadır.
2014 yılında ilk defa ifade edilen conformable kesirli t¨urev ve integral kav-ramı, Khalil ve ark. (2014) tarafından yayınlanmasından itibaren birc¸ok bilim adamının ilgisine mazhar olmus¸, birc¸ok yayının konusunu olus¸turmus¸tur. Hammad ve Khalil (2014) de˘gis¸kenlerine ayırma y¨ontemini kullanarak conformable kesirli t¨urevi ihtiva eden ısı denkleminin analitik c¸¨oz¨um¨un¨u elde etmis¸lerdir. Abdeljawad (2015)’de yaptı˘gı c¸alıs¸mada conformable t¨urev ic¸in zincir kuralını, ¨ustel fonksi-yonları, Gronwall es¸itsizli˘gini, kısmi integrasyonu, Taylor seri ac¸ılımını, Laplace d¨on¨us¸¨um¨un¨u ifade etmis¸tir. Chung (2015) conformable t¨urev ve integrali kullanarak Newton mekani˘gi ¨uzerine ac¸ıklamalarda bulunmus¸tur. Eslami ve Rezazadeh (2015) conformable Wu-Zhang sistemini c¸¨ozmek ic¸in ilk integral metodunu kullanmıs¸lar, Eslami (2016) (2+1)-boyutlu conformable kesirli mertebeden da˘gılımlı dalga denk-leminin soliter c¸¨oz¨um¨un¨u bulmak ic¸in ac¸ılım metodunu kullanmıs¸tır. Atangana ve ark. (2015a) yaptıkları c¸alıs¸mada conformable t¨urevin yeni ¨ozelliklerini vermis¸ler, Eslami (2016) ise Kudryashov metodu kullanarak do˘grusal olmayan conformable kesirli mertebeden Schr¨odinger sisteminin yeni dalga c¸¨oz¨umlerini elde etmis¸tir. Atangana (2015b) conformable kesirli t¨urev tanımından yola c¸ıkarak beta t¨urevi ¨onermis¸, beta t¨urev ¨uzerine c¸ok sayıda c¸alıs¸ma yapılmıs¸tır (Koca ve Atangana, 2016). Bunlara ek olarak G¨okdo˘gan ve ark. (2016) conformable kesirli mertebeden lineer diferensiyel denklemler ic¸in varlık ve teklik teoremlerini ifade etmis¸lerdir.
Conformable kesirli analiz ile ilgili c¸alıs¸malar sadece bunlarla sınırlı kal-mamıs¸tır. Ayrıca Korkmaz ve Hosseini (2017) conformable zaman kesirli parabolik kısmi diferensiyel denklemlerin tam c¸¨oz¨umleri ¨uzerine aras¸tırmalar yapmıs¸lardır. Zhao ve Luo (2017) conformable kesirli t¨urevi genelles¸tirerek genelles¸tirilmis¸ con-formable kesirli t¨urev tanımını sunmus¸lar, bu yeni tanımın geometrik ve fiziksel ac¸ıklamaları-nı yapmıs¸lardır. Kaplan (2017)’ de yayınladı˘gı makalesinde do˘grusal olmayan conformable kesirli kısmi t¨urevli denklemlerin analitik c¸¨oz¨umlerini bul-mak ic¸in iki farklı teknik uygulamıs¸tır. Bayour ve Torres (2017) yayınladıkları c¸alıs¸malarında conformable kesirli mertebeden lineer olmayan bas¸langıc¸ de˘ger prob-lemlerinin varlı˘gını ispatlamıs¸lardır. G¨ulsen ve ark. (2017) ise zaman skalasında conformable kesirli Dirac sistemi ¨uzerinde c¸alıs¸malar y¨ur¨utm¨us¸, Avcı ve ark. ise (2017a)’de conformable kesirli ısı denkleminin c¸¨oz¨um¨un¨u ifade eden makalelerini yayınlamıs¸lardır. Neirameh (2018) ise conformable zaman kesirli biyolojik po-p¨ulasyon modelinin dalga c¸¨oz¨umlerini elde etmek ic¸in yeni bir metod uygulamıs¸, Avcı ve ark. (2017b) tas¸ınım-yayılım denkleminin c¸¨oz¨umlerini ifade ederken
con-formable kesirli t¨urevden ve ¨ozelliklerinden faydalanmıs¸lardır. ¨
Ozkan ve Kurt (2018a) ise conformable Laplace d¨on¨us¸¨um¨un bazı temel ¨ozelliklerini ac¸ıkladıktan sonra bu d¨on¨us¸¨um yardımı ile conformable kesirli integral ve integro diferensiyel denklemlerin tam c¸¨oz¨umlerini elde etmis¸lerdir. ¨Ozkan ve Kurt (2018b) bir di˘ger c¸alıs¸malarında ise iki katlı conformable Laplace d¨on¨us¸¨um¨u-n¨un tanımını literat¨ure kazandırmıs¸lar, bu yeni tanımın bazı ¨ozelliklerini ifade e-derek, bu tanımın yardımı ile conformable kesirli mertebeden ısı ve telgraf denk-leminin tam c¸¨oz¨umlerini elde etmis¸lerdir.
Omran ve Kilic¸man (2017) deki c¸alıs¸malarında kesirli iki katlı Laplace d¨o-n¨us¸¨um¨un¨u ifade etmis¸ler ve bazı temel ¨ozelliklerine de˘ginmis¸lerdir. Khan ve ark. (2018) yaptıkları c¸alıs¸mada ¨uc¸ katlı Laplace d¨on¨us¸¨um¨un¨u ve bazı ¨ozelliklerini kul-lanarak (2 + 1) boyutlu ısı denkleminin c¸¨oz¨um¨u ¨uzerine c¸alıs¸mıs¸lardır. Atangana (2013) ¨uc¸ katlı Laplace d¨on¨us¸¨um¨un¨u ifade etmis¸ ve bazı temel ¨ozelliklerine de˘gin-mis¸, ilk kez tanımlanan bu d¨on¨us¸¨um yardımıyla bazı kısmi diferensiyel denklem-lerin tam c¸¨oz¨umdenklem-lerine ulas¸mıs¸tır. Laplace d¨on¨us¸¨um¨u ¨uzerine yapılmıs¸ olan ve yuka-rıda ifade edilen t¨um bu c¸alıs¸malar bizi bu tez c¸alıs¸masında ele aldı˘gımız konular
¨uzerinde aras¸tırma yapmaya motive eden temel unsurdur.
Bu tez c¸alıs¸masında; ilk olarak conformable Laplace d¨on¨us¸¨um¨un¨un bazı temel ¨ozellikleri ifade ve ispat edilmis¸, ardından conformable Laplace d¨on¨us¸¨um¨u yardımı ile conformable kesirli mertebeden diferensiyel denklem ve denklem sis-temleri, kesirli mertebeden integral denklemler, kesirli mertebeden integro dife-rensiyel denklemler ve kısmi integro difedife-rensiyel denklemlerin tam c¸¨oz¨umleri elde edilmis¸tir. Conformable Laplace d¨on¨us¸¨um¨u tanımından yola c¸ıkarak sırası ile iki katlı conformable Laplace d¨on¨us¸¨um¨u ve ¨uc¸ katlı conformable Laplace d¨on¨us¸¨um¨u tanımları verilmis¸, bu d¨on¨us¸¨umlerin temel ¨ozelliklerinin verildi˘gi teoremler ifade ve ispat edilmis¸tir. ˙Ifade edilen iki katlı ve ¨uc¸ katlı Laplace d¨on¨us¸¨umleri yardımı ile kesirli mertebeden kısmi t¨urevli diferensiyel denklemlerin, integro diferensiyel denklemlerin, ve integral denklemlerin c¸¨oz¨umleri ele alınmıs¸tır. ˙Iki katlı ve ¨uc¸ katlı conformable Laplace d¨on¨us¸¨um y¨ontemleri kullanılarak, ele alınan denklemin ce-birsel denkleme d¨on¨us¸mesi sa˘glanmakta, elde edilen cece-birsel denklemin c¸¨oz¨um¨un¨un ardından, elde edilen c¸¨oz¨um fonksiyonunun iki veya ¨uc¸ katlı ters conformable Lapla-ce d¨on¨us¸¨um¨u alınarak ilk bas¸ta verilen problemin tam c¸¨oz¨um¨une ulas¸ılmaktadır. ˙Iki ve ¨uc¸ katlı conformable Laplace d¨on¨us¸¨um¨u ic¸in anlatılan bu yeni prosed¨ur¨un; kesirli olmayan kısmi t¨urevli diferensiyel denklemlerde sıklıkla tercih ediliyor
ol-ması, verilen yeni tanımlar ile Laplace d¨on¨us¸¨um¨un¨un bu ¨ust¨unl¨u˘g¨un¨un conformable kesirli diferensiyel denklemlere de gec¸erli olaca˘gının g¨osterilmis¸ olması bu tez c¸alıs¸masının esas kısmını olus¸turmaktadır.
Bu tez c¸alıs¸ması d¨ort b¨ol¨umden olus¸maktadır. Birinci b¨ol¨umde ve ikinci b¨ol¨umde; literat¨urde mevcut olan ve tezin di˘ger b¨ol¨umlerinde kullanılacak olan bazı temel tanım ve teoremler ile, bu tez c¸alıs¸masında sıkc¸a kullanılacak olan con-formable kesirli t¨urev ile integralin tanımına ve ¨ozelliklerine genis¸ s¸ekilde yer veril-mis¸tir. Bu c¸alıs¸manın orjinal kısmı olan ¨uc¸¨unc¨u b¨ol¨umde; bir katlı conformable Laplace d¨on¨us¸¨um¨u tanımının temel ¨ozelliklerini veren teorem ve ispatlara yer veril-mis¸, bu tanımı daha iyi anlayabilmek adına c¸es¸itli uygulamalar ele alınmıs¸tır. Bu b¨ol¨um¨un devamında ise sırasıyla iki ve ¨uc¸ katlı conformable Laplace d¨on¨us¸¨umlerinin tanımları, bu tanımların ¨ozelliklerini ifade eden teorem ve ispatlara de˘ginilmis¸, iki katlı ve ¨uc¸ katlı conformable Laplace d¨on¨us¸¨um metodunun bazı kesirli mertebe-den kısmi t¨urevli diferensiyel mertebe-denklemlerin c¸¨oz¨um¨unde nasıl kullanılaca˘gı ¨ornekler ile g¨osterilmis¸tir. Sonuc¸ ve ¨oneriler diye adlandırılan son b¨ol¨umde ise; c¸alıs¸manın
2. MATERYAL VE Y ¨
ONTEM
Bu kısımda; ¨oncelikle tezde kullanılan bazı temel tanım ve teoremlerle bir-likte kesirli t¨urevleri ifade ederken kullanılan temel fonksiyonların tanımları verile-cek, daha sonra ise bazı kesirli mertebeden t¨urev tanımları tanıtılacaktır. Ardından bu kesirli t¨urev tanımlarının bilim d¨unyası tarafından (Khalil ve ark., 2014) eksik g¨or¨ulen veya eles¸tirilen y¨onleri ifade edilerek, kesirli t¨urev konusundaki eles¸tirilerin bir kısmında cevap veren conformable kesirli t¨urev ve integral tanımları ifade edilmis¸ ve bu tanımların temel ¨ozellikleri verilmis¸tir.
Tanım 2.1 (Kesirli Mertebeden Adi Diferensiyel Denklem) Bir ba˘gımlı de˘gis¸-kenin bir ba˘gımsız de˘gis¸kene g¨ore kesirli mertebeden t¨urevlerini ic¸eren denklem-lere kesirli mertebeden adi diferensiyel denklem denir (Benghorbal, 2004). Kesirli mertebeden sabit katsayılı diferensiyel denklemin en genel hali as¸a˘gıdaki s¸ekilde ifade edilebilir (Podlubny, 1999).
anDβny(t) + an−1Dβn−1y(t) + . . . + a1Dβ1y(t) + a0Dβ0y(t) = f (t)
¨
Ornek 2.1 Kesirli mertebeden lineer adi diferensiyel denklem D32y(t) + D
1
2y(t)− 2y(t) = 0
s¸eklinde ifade edilebilir (Podlubny, 1999).
Tanım 2.2 (Kesirli Mertebeden Kısmi Diferensiyel Denklem) Bir ba˘gımlı de˘gis¸-kenin birden fazla ba˘gımsız de˘gis¸kene g¨ore kesirli mertebeden t¨urevlerini ic¸eren denklemlere kesirli mertebeden kısmi diferensiyel denklem denir. (Podluby, 1999)
¨
Ornek 2.2 Nigmatullin’in kesirli dif¨uzyon denklemi Dαtu(x, t) = λ2∂
2u(x, t)
∂x2 , (t > 0,−∞ < x < ∞, 0 < α < 1)
s¸eklindedir (Podlubny, 1999).
Tanım 2.3 (Kesirli Mertebeden ˙Integral Denklem) ˙Integral is¸areti altında bilin-meyen bir fonksiyonu ic¸eren denklemlere integral denklemler denir (Wazwaz, 2011).
E˘ger integral denklemdeki integral; kesirli mertebeden bir integral ise bu denkleme kesirli mertebeden integral denklem denir (Podlubny, 1999).
¨
Ornek 2.3 Standart formda tam mertebeden bir integral denklem u(x) = f (x) + λ
∫ h(x) g(x)
K(x, t)u(t)dt
s¸eklinde ifade edilebilir. Burada u aranan fonksiyon olmak ¨uzere g(x) ve h(x) fonksiyonlarına integralin sınırları, iki de˘gis¸kenli K(x, t) fonksiyonuna ise integral denklemin c¸ekirde˘gi denir. λ ise sıfırdan farklı bir sabittir (Wazwaz, 2011).
Tanım 2.4 (Kesirli Mertebeden ˙Integro Diferensiyel Denklem) ˙Integral is¸areti altında bilinmeyen bir fonksiyonu ic¸eren ve aynı zamanda bilinmeyen fonksiyonun adi t¨urevlerini ic¸eren denklemlere integro diferensiyel denklemler denir (Wazwaz, 2011). Kesirli mertebeden integro diferensiyel denklem, bilinmeyen fonksiyon u(t)’nin c¸es¸itli mertebeden kesirli t¨urevlerini ic¸eren bir kesirli mertebeden integral denklemdir.
¨
Ornek 2.4 Standart formda tam mertebeden bir integro diferensiyel denklem u(n)(x) = f (x) + λ
∫ h(x)
g(x)
K(x, t)u(t)dt s¸eklinde ifade edilebilir (Wazwaz, 2011).
Tanım 2.5 (Kesirli Mertebeden Kısmi ˙Integro Diferensiyel Denklem) ˙Integral i-s¸areti altında de˘gis¸ken sayısı birden fazla olan bilinmeyen bir fonksiyonu ic¸eren ve aynı zamanda bilinmeyen fonksiyonun kısmi t¨urevlerini ic¸eren denklemlere kısmi integro diferensiyel denklemler denir. Kesirli mertebeden kısmi integro diferensiyel denklem, bilinmeyen fonksiyon u’nun c¸es¸itli mertebeden kesirli kısmi t¨urevlerini ic¸eren bir kesirli mertebeden integral denklemdir.
¨
Ornek 2.5 Standart formda tam mertebeden bir kısmi integro diferensiyel denklem D(n)x u(x, t) + D(n)t u(x, t) = f (x) + λ
∫ h(x)
g(x)
K(x, y)u(x, y)dy s¸eklinde ifade edilebilir.
Tanım 2.6 (Parc¸alı S ¨urekli Fonksiyon) Bir a ≤ t ≤ b aralı˘gı sonlu sayıda alt aralı˘ga b¨ol¨und¨u˘g¨unde herhangi bir f fonksiyonu as¸a˘gıda ifade edilen ¨ozellikleri sa˘glıyorsa bu fonksiyona parc¸alı s¨urekli fonksiyon denir (Ross, 1984).
(i) f fonksiyonu t¨um alt aralıklarda s¨ureklidir.
(ii) f fonksiyonun bu alt aralıkların uc¸ noktalarında sa˘g ve sol limiti vardır. Tanım 2.7 ( ¨Ustel Mertebeli Fonksiyon) Her t > t0 ic¸in
e−at|f(t)| < M
olacak s¸ekilde bir a sabiti ve pozitif M ve t0 sabitleri varsa, f fonksiyonuna ¨ustel
mertebelidir denir (Ross, 1984).
Tanım 2.8 ( Konvol ¨usyon Fonksiyonu) f ve g her kapalı 0 ≤ t ≤ b kapalı aralı˘gında parc¸alı s¨urekli ve ¨ustel mertebeli iki fonksiyon olmak ¨uzere f ∗ g ile g¨osterilen ve
f (t)∗ g(t) = ∫ t
0
f (τ )g(t− τ)dτ
s¸eklinde tanımlanan fonksiyona f ve g fonksiyonlarının konvol¨usyonu denir (Ross, 1984).
Tanım 2.9 (˙Iki Katlı Konvol ¨usyon Fonksiyonu) f (x, t)ve g(x, t) s¨urekli fonksi-yonlar olsun. Bu fonksifonksi-yonların iki katlı konvol¨usyon integrali
f (x, t)∗ ∗g(x, t) = ∫ x 0 ∫ t 0 f (υ, τ )g(x− υ, t − τ)dτdυ olarak tanımlanır (Eltayeb ve ark., 2010).
Teorem 2.1 f (x, t)ve g(x, t) iki s¨urekli fonksiyon olmak ¨uzere ve f (x, t)∗∗g(x, t) terimi bu iki fonksiyonun iki katlı konvol¨usyon integralini g¨ostermek ¨uzere
f (x, t)∗ ∗g(x, t) = g(x, t) ∗ ∗f(x, t) es¸itli˘gi sa˘glanır (Ditkin ve ark., 1962).
2.1.
Ozel Fonksiyonlar
¨
2.1.1. Gamma Fonksiyonu
Gamma fonksiyonu, Γ(x) = ∞ ∫ 0 tx−1e−tdt, x > 0genelles¸tirilmis¸ integrali ile tanımlanır (Miller ve Ross, 1993). Gamma fonksi-yonuna bazen genelles¸tirilmis¸ faktoriyel fonksiyonu da denir.
x > 0 olmak ¨uzere Gamma fonksiyonunun bazı ¨ozellikleri Γ(x + 1) = xΓ(x) , x > 0 Γ(x) = (x− 1)! , x ∈ N Γ ( 1 2 ) =√π
s¸eklinde ifade edilebilir.
x > 0 olmak ¨uzere Gamma fonksiyonunun, Γ(x + 1) = xΓ(x)
¨ozelli˘gi kullanılarak x in negatif de˘gerleri ic¸in Γ(x) fonksi-yonu as¸a˘gıdaki gibi ifade edilebilir.
−1 < x < 0 ise Γ(x) = Γ(x + 1)
x
ifadesinde de 0 < x + 1 < 1 olaca˘gından ve x + 1∈ (0, 1) deki Γ(x + 1) de˘gerleri bilindi˘ginden x∈ (−1, 0) ic¸in Γ(x) ler bulunabilmektedir.
Benzer s¸ekilde−2 < x < −1 ise 0 < x + 2 < 1 olup Γ(x) = Γ(x + 2)
x(x + 1)
yardımıyla,−3 < x < −2 ise 0 < x + 3 < 1 olup Γ(x) = Γ(x + 3)
x(x + 1)(x + 2)
yardımıyla ve bu s¸ekilde devam edilerek−n < x < −n + 1 ise 0 < x + n < 1 olup
Γ(x) = Γ(x + n)
x(x + 1)(x + 2)...(x + n− 1)
es¸itliklerinden Γ(x) ler bulunabilirler. S¸ekil (2.1)’de g¨or¨uld¨u˘g¨u gibi Γ(x) fonksiy-onu 0 ve negatif tam sayılar ic¸in sınırsızdır (Miller ve Ross, 1993).
Tamamlanmamıs¸ Gamma fonksiyonu ise
Γ∗(v, t) = 1 Γ(v)tv t ∫ 0 e−xxv−1dx , v > 0 (2.1)
-4 -2 2 4 x -10 -5 5 10 GHxL
S¸ ekil 2.1. Gamma fonksiyonu
2.1.2. Beta Fonksiyonu
Beta fonksiyonu, β(x, y) = 1 ∫ 0 tx−1(1− t)y−1dt, Re(x) > 0, Re(y) > 0integrali ile tanımlanır. Beta fonksiyonu ile Gamma fonksiyonu arasındaki ba˘gıntı β(x, y) = Γ(x)Γ(y)
Γ(x + y)
bic¸iminde verilir (Miller ve Ross, 1993; Podlubny, 1999).
2.1.3. Hata Fonksiyonu
Hata fonksiyonu ise
erf(x) = √2 π x ∫ 0 e−t2dt, x∈ R
s¸eklinde tanımlanır. Hata fonksiyonunun bazı ¨ozellikleri, erf(0) = 0
erf(∞) = 1
olarak verilebilir. erfc ile g¨osterilen tamamlayıcı hata fonksiyonu, hata fonksiyonu cinsinden
s¸eklinde ifade edilir (Miller ve Ross, 1993; Podlubny, 1999).
2.1.4. Mittag-Leffler Fonksiyonu
Bir ve iki parametreli g¨osterimleri olan Mittag-Leffler fonksiyonu, sırasıyla kuvvet serisi cinsinden
Eα(x) = ∞ ∑ k=0 xk Γ(αk + 1), α > 0 Eα,β(x) = ∞ ∑ k=0 xk Γ(αk + β), α > 0, β > 0
olarak ifade edilir. α ve β nın belirli de˘gerleri ic¸in, Mittag-Leffler fonksiyonu temel fonksiyonlara indirgenebilir. Mesela
E1,1(x) = ∞ ∑ k=0 xk Γ(k + 1) = ∞ ∑ k=0 xk k! = e x E1,2(x) = ∞ ∑ k=0 xk Γ(k + 2) = 1 x ∞ ∑ k=0 xk+1 (k + 1)! = ex− 1 x olur (Miller ve Ross, 1993; Podlubny, 1999).
2.2. Kesirli Mertebeden T ¨
urev ve ˙Integral Yaklas¸ımları
Bu kısımda; s¸imdiye kadar bahsedilen ve son yıllarda birc¸ok bilimsel c¸alıs¸-maya konu olmus¸ bazı kesirli t¨urev ve integral yaklas¸ımları ile bunlar arasındaki ilis¸kiler verilmis¸tir. Bahsi gec¸en kesirli t¨urev ve integral tanımları ile kıyaslandı˘gın-da; conformable kesirli t¨urev ve kesirli integral tanımının di˘ger kesirli t¨urev tanım-larına y¨oneltilen bazı eles¸tiri ve eksiklikleri kısmende olsa nasıl giderdi˘gi ifade edilmis¸tir.
2.2.1. Gr ¨
unwald-Letnikov Kesirli Mertebeden T ¨
urev, ˙Integral
Yaklas¸ımı ve ¨
Ozellikleri
f fonksiyonu s¨urekli bir fonksiyon olmak ¨uzere f(k) (k = 1, 2, ..., m + 1) t¨urev fonsiyonları da [a, t] kapalı aralı˘gında s¨urekli olsun. m bir tam sayı olmak
¨uzere, m ≤ p < m + 1 ic¸in f fonksiyonunun p. mertebeden Gr¨unwald-Letnikov kesirli t¨urevi (Podlubny, 1999)
GL a D p tf (t) = lim h→0 nh=t−a h−p n ∑ r=0 (−1)r ( p r ) f (t− rh) = m ∑ k=0 f(k)(a)(t− a)−p+k Γ(−p + k + 1) + 1 Γ(−p + m + 1) ∫ t a (t− τ)−p+mf(m+1)(τ )dτ
olarak tanımlanır. Burada ( p r ) = p(p− 1)(p − 2)...(p − r + 1) r! s¸eklinde alınmıs¸tır.
Benzer olarak f fonksiyonu [a, t] kapalı aralı˘gında s¨urekli olmak ¨uzere f fonksiyonunun p. mertebeden Gr¨unwald-Letnikov kesirli integrali
GL a D−pt f (t) = lim h→0 nh=t−a hp n ∑ r=0 p r f(t − rh) = 1 Γ(p) t ∫ a (t− τ)p−1f (τ )dτ (2.2)
s¸eklinde tanımlanır. Burada p r = p(p + 1)(p + 2)...(p + r + 1) r! dir.
E˘ger f′ t¨urevi [a, t] kapalı aralı˘gında s¨urekli ise o zaman (2.2) denkleminin sa˘g tarafına bir defa kısmi integrasyon uygulanırsa
GL a D−pt f (t) = f (a)(t− a)p Γ(p + 1) + 1 Γ(p + 1) t ∫ a (t− τ)pf′(τ )dτ
elde edilir. f fonksiyonu [a, t] kapalı aralı˘gında m + 1 defa s¨urekli diferensiyel-lenebilir ise o zaman (2.2) denkleminden
GL a D−pt f (t) = m ∑ k=0 f(k)(a)(t− a)p+k Γ(p + k + 1) + 1 Γ(p + m + 1) t ∫ a (t− τ)p+mf(m+1)(τ )dτ bulunur (Podlubny, 1999).
Gr¨unwald-Letnikov yaklas¸ımının bazı ¨onemli ¨ozellikleri as¸a˘gıda verilmis¸tir (Podlubny, 1999).
ii. n tamsayı ve p > 0 olmak ¨uzere f(k)(a) = 0, (k = 0, 1, 2, ..., n− 1) ise dn dtn( GL a D p tf (t)) = GL a D p t( dnf (t) dtn ) = GL a D p+n t f (t) dir.
iii. 0 ≤ m < p < m + 1 ve 0 ≤ n < q < n + 1 olmak ¨uzere, e˘ger f(k)(a) = 0,
(k = 0, 1, 2, ..., r− 1; r = max(n, m)) ise GL a D q t(GLa D p tf (t)) = GLa D p t(aDqtf (t)) = GLa D p+q t f (t) dir.
iv. 0 ≤ m < p < m + 1 ve q < 0 olmak ¨uzere, e˘ger f(k)(a) = 0, (k = 0, 1, 2, ..., m− 1) ise GL a D q t( GL a D p tf (t)) = GL a D p+q t f (t) dir.
v. p < 0 ve q herhangi bir reel sayı olmak ¨uzere
GL a D q t( GL a D p tf (t)) = GL a D p+q t f (t) olur.
2.2.2. Riemann-Liouville Kesirli Mertebeden T ¨
urev, ˙Integral
Yaklas¸ımı ve ¨
Ozellikleri
f fonksiyonu her (a, t) sonlu aralı˘gında s¨urekli, ayrıca 0 ≤ a < t, ve p > 0 olmak ¨uzere p. mertebeden Riemann-Liouville kesirli integrali
RL a D−pt f (t) = 1 Γ(p) t ∫ a (t− τ)p−1f (τ )dτ
s¸eklinde ifade edilir (Podlubny, 1999).
k−α > 0 olmak ¨uzere α sayısını ele alınırsa, (k−α). mertebeden Riemann-Liouville kesirli t¨urevi
RL a D k−α t f (t) = 1 Γ(α) dk dtk t ∫ a (t− τ)α−1f (τ )dτ, (0 < α ≤ 1) (2.3)
s¸eklinde tanımlanır. Bu integralin yakınsak olması ic¸in α > 0 olmalıdır. (2.3) ifadesinde p = k− α alınırsa RL a D p tf (t) = 1 Γ(k− p) dk dtk ∫ t a (t− τ)k−p−1f (τ )dτ = d k dtk( RL a D −(k−p) t f (t)), (k− 1 ≤ p < k) (2.4)
sonucuna ulas¸ılır (Podlubny, 1999).
Riemann-Liouville kesirli mertebeden t¨urev ve integral yaklas¸ımının bazı ¨ozellikleri as¸a˘gıdaki s¸ekilde ifade edilmektedir (Podlubny, 1999).
(i) Riemann-Liouville kesirli mertebeden t¨urev operat¨or¨u lineerdir. (ii) p > 0, q > 0 ic¸in RL a D−qt ( RL a Dt−pf (t)) = RL a D−pt ( RL a Dt−qf (t)) = RL a D−p−qt f (t) dir.
(iii) p > 0 olmak ¨uzere
RL a D
p
t(RLa D−pt f (t)) = f (t)
dir. Ancak (k− 1 ≤ p < k) ic¸in
RL a D−pt (RLa D p tf (t)) = f (t)− k ∑ j=1 [RLa Dtp−jf (t)]t=a (t− a)p−j Γ(p− j + 1) (2.5)
elde edilir. E˘ger 0≤ p < 1 ise (2.5) ifadesi
RL a D−pt (RLa D p tf (t)) = f (t)− [RLa D p−1 t f (t)]t=a (t− a)p−1 Γ(p) olarak elde edilir.
(iv) p > 0, q > 0 ic¸in RL a D p t( RL a D−qt f (t)) = RL a D p−q t f (t) (2.6) (0≤ k − 1 ≤ q < k) olmak ¨uzere RL a D−pt (RLa D q tf (t)) = RLa D q−p t f (t)− k ∑ j=1 [RLa Dtq−jf (t)]t=a (t− a)p−j Γ(p− j + 1), sonucuna ulas¸ılır.
(v) n tamsayısı ic¸in e˘ger f(k)(a) = 0, (k = 0, 1, 2, ..., n− 1) ise dn dtn( RL a D p tf (t)) = RL a D p t ( dnf (t) dtn ) = RLa Dp+nt f (t) olur.
(vi) m− 1 ≤ p < m ve n − 1 ≤ q < n olmak ¨uzere
RL a D p t(RLa D q tf (t)) = RLa D p+q t f (t) − n ∑ j=1 [RLa Dqt−jf (t)]t=a (t− a)−p−j Γ(−p − j + 1) (2.7) RL a D q t( RL a D p tf (t)) = RL a D p+q t f (t) − m ∑ j=1 [RLa Dpt−jf (t)]t=a (t− a)−q−j Γ(−q − j + 1) (2.8)
elde edilir. (2.7) ve (2.8) denklemlerinin es¸it olması ic¸in [RLa Dtp−jf (t)]t=a = 0, (j = 1, 2, ..., m)
[RLa Dtq−jf (t)]t=a = 0, (j = 1, 2, ..., n)
s¸artlarının sa˘glanması gerekmektedir.
2.2.3. Caputo Kesirli T ¨
urev ve ˙Integral Yaklas¸ımı
Riemann-Liouville kesirli t¨urev yaklas¸ımı kesirli t¨urev ve integral tanımla-rının gelis¸mesinde ¨onemli bir rol oynamıs¸tır. Bununla birlikte modern teknolo-jinin talepleri do˘grultusunda teorik olarak daha iyi kurgulanmıs¸ bir tanım gereklili˘gi ortaya c¸ıkmıs¸tır. Ozellikle viskoelastisite ve katı maddelerin kalıtsal ¨ozellikleri¨ ¨uzerine birc¸ok c¸alıs¸ma yapılmıs¸, bu c¸alıs¸malarda maddelerin ¨ozelliklerini daha iyi ac¸ıklamak ic¸in kesirli t¨urevler kullanılmıs¸tır. Bu gelis¸mis¸ modelleri ifade etmek ¨uzere kesirli diferensiyel denklemler ortaya c¸ıkmıs¸, bu modelleri form¨ulize etmek ic¸in bas¸langıc¸ kos¸ullarına gereksinim duyulmus¸tur. Uygulamalı problemleri ifade eden kesirli diferensiyel denklemlerde fiziksel olguları daha iyi ac¸ıklayabilmek ic¸in f′(a), f′′(a),... vb. s¸eklindeki bas¸langıc¸ kos¸ullarının kullanılması gerekmektedir. Ancak Riemann-Liouville yaklas¸ımı t = a da Riemann-Liouville kesirli t¨urevinin
limit de˘gerlerini ic¸eren bas¸langıc¸ s¸artlarını ic¸ermektedir. ¨Orne˘gin; limt→a RLa D α−1 t f (t) = b1, limt→a RLa Dα−2t f (t) = b2, .. . limt→a RLa Dα−nt f (t) = bn (2.9)
dir. B¨oyle bas¸langıc¸ kos¸ullarından olus¸an herhangi bir bas¸langıc¸ de˘ger problemi Riemann-Liouville yaklas¸ımı ile bas¸arıyla c¸¨oz¨ulebilir. Ancak bu c¸¨oz¨umler pratikte kullanıs¸sızdır. C¸ ¨unk¨u, b¨oyle bas¸langıc¸ s¸artlarının fiziksel yorumu mevcut de˘gildir (Podlubny, 1999).
Bu sorun Caputo tarafından gelis¸tirilen; f′(a), f′′(a), ... gibi tamsayı mer-tebeden t¨urevlerin t = a noktasındaki limit de˘gerlerini ic¸eren kesirli t¨urevlere sahip diferensiyel denklemler ic¸in verilen bas¸langıc¸-de˘ger problemlerinin bas¸langıc¸ s¸artla-rını form¨ulize eden Caputo yaklas¸ımı ile c¸¨oz¨ulm¨us¸t¨ur. f fonksiyonu n defa s¨urekli diferensiyellenebilir olmak ¨uzere n − 1 < α < n ic¸in Caputo anlamında kesirli mertebeden t¨urev tanımı Caputo tarafından,
C aD α tf (t) = D α−nDnf (t) = 1 Γ(n− α) t ∫ a f(n)(τ ) (t− τ)α+1−ndτ, (2.10)
s¸eklinde tanımlanmıs¸tır (Podlubny, 1999). f fonksiyonu α → n ic¸in (2.10) de tanımlanan Caputo kesirli mertebeden t¨urev tanımı f fonksiyonunun n tamsayı mer-tebeden t¨urevini verir. 0≤ n − 1 < α < n ve f(t) fonksiyonu her T > a ic¸in [a, T ] aralı˘gında (n + 1). mertebeden s¨urekli t¨urevlere sahip olmak ¨uzere
lim α→n C aD α tf (t) = lim α→n f(n)(a)(t− a)n−α Γ(n− α + 1) + 1 Γ(n− α + 1) t ∫ a f(n+1)(τ )dτ (t− τ)α−n = f(n)(a) + t ∫ a f(n+1)(τ )dτ = f(n)(t), n = 1, 2, 3, ... es¸itli˘gi sa˘glanır.
Caputo yaklas¸ımının en b¨uy¨uk avantajı Caputo t¨urevlerinden olus¸an kesirli diferensiyel denklem ic¸in bas¸langıc¸ kos¸ullarının tamsayı mertebeden diferensiyel denklemler ic¸in verilen bas¸langıc¸ kos¸ullarıyla benzer durum g¨ostermesidir. Yani t = a da bilinmeyen fonksiyonların tamsayı mertebeden limit de˘gerlerini ic¸ermekte-dir. Riemann-Liouville ve Caputo kesirli t¨urevlerinin Laplace d¨on¨us¸¨umleri sırasıyla
t = 0 ic¸in ∞ ∫ 0 e−pt{RL0 Dαtf (t)}dt = pαF (p)− n−1 ∑ k=0 pk 0Dαt−k−1f (t)|t=0, (n− 1 ≤ α < n) ∞ ∫ 0 e−pt{CaDαtf (t)}dt = pαF (p)− n−1 ∑ k=0 pα−k−1f(k)(0), (n− 1 < α ≤ n)
s¸eklindedir. Buradan g¨or¨ul¨uyor ki Riemann-Liouville kesirli t¨urevinin Laplace d¨o-n¨us¸¨um¨u (2.9) tipindeki bas¸langıc¸ s¸artlarının kullanımına izin vermektedir. Bunun aksine Caputo t¨urevinin Laplace d¨on¨us¸¨um¨u fiziksel yorumu bilinen tamsayı mer-tebeden t¨urevlerden olus¸an bas¸langıc¸ de˘gerleri ic¸ermektedir.
Riemann-Liouville yaklas¸ımı ve Caputo yaklas¸ımı arasındaki bir bas¸ka fark ise bir A sabitinin Caputo t¨urevi 0 olmasında ra˘gmen, Riemann-Liouville kesirli t¨urevi A nın sonlu bir de˘geri ic¸in 0 a es¸it olmamasıdır. Yani, A bir sabit olmak
¨uzere RL 0 D α tA = At−α Γ(1− α) ̸= 0
olmasıdır. f fonksiyonu her (a, t) sonlu aralı˘gında s¨urekli olmak ¨uzere, m, m−1 < α < m olacak s¸ekilde pozitif bir tamsayı f(k)(t), (k = 1, 2, ..., m + 1) t¨urevleri de
[a, t] aralı˘gında s¨urekli olsun. Bu takdirde k = 0, 1, ..., m− 1 ic¸in f(k)(a) = 0
s¸artları sa˘glanırsa RL a D α tf (t) = C aD α tf (t) dır (Podlubny, 1999).
Caputo kesirli t¨urevinin uygulamalarda sıkc¸a kullanılan DαD−αf (t) = f (t) D−αDαf (t) = f (t)− n−1 ∑ k=0 f(k)(0) k! t k
¨ozellikleri mevcuttur (Podlubny, 1999).
2.2.4. Conformable Kesirli T ¨
urev, ˙Integral Yaklas¸ımı ve
¨
Ozellikleri
De˘gis¸ik kesirli t¨urev tanımlarının var olmasının en ¨onemli nedeni, uygu-lama esnasında bu tanımların bazı eksikliklerinin g¨or¨ulm¨us¸ olmasıdır. Birc¸ok bi-limsel c¸alıs¸maya konu olmus¸ ve hala daha ¨uzerine c¸alıs¸ılan, yukarıdaki b¨ol¨umlerde
de˘gindi˘gimiz Riemann-Liouville, Gr¨unvald-Letnikov, Caputo kesirli t¨urev tanımla-rının hem birbirlerine hem de di˘ger kesirli t¨urev tanımlarına g¨ore bazı eksik durum-ları mevcuttur. Bu alandaki tartıs¸maya en son olarakta conformable kesirli t¨urev ve integral tanımı dahil olmus¸tur. C¸ ¨unk¨u R. Khalil ve ark. (2014) c¸alıs¸malarında bu durumu as¸a˘gıdaki (i)-(vi)’ de ac¸ıkc¸a ifade etmis¸lerdir.
(i) A bir sabit olmak ¨uzere, e˘ger α bir do˘gal sayı de˘gilse Riemann-Liouville kesirli t¨urev tanımı ic¸in RLDα
a(A) = 0 es¸itli˘gi sa˘glanmaz. Fakat (2.10) ile
verilen Caputo t¨urev tanımı ic¸inCDaα(A) = 0 es¸itli˘ginin sa˘glandı˘gı kolayca g¨or¨ulmektedir.
(ii) Caputo ve Riemann-Liouville kesirli t¨urevleri iki fonksiyonun c¸arpımının t¨ure-vi olarak bilinen
Dαa(f g) = f Dαa(g) + gDaα(f )
s¸eklinde ifade edilen form¨ul¨u sa˘glamamaktadır. (iii) Caputo ve Riemann-Liouville kesirli t¨urevleri
Dαa(f g) =
gDα
a(f )− fDaα(g)
g2
bic¸imindeki iki fonksiyonun b¨ol¨um¨un¨un t¨urev form¨ul¨un¨u sa˘glamamaktadır. (iv) Caputo ve Riemann-Liouville kesirli t¨urevleri
Dαa(f ◦ g) = f(α)(g(t))g(α)(t) zincir kuralını sa˘glamamaktadır.
(v) Caputo ve Riemann-Liouville kesirli t¨urevleri genel olarak DαDβf = Dα+βf
¨ozelli˘gini sa˘glamamaktadır.
(vi) (2.10) ile verilen Caputo t¨urev tanımında f fonksiyonunun diferensiyellene-bilir oldu˘gu kabul edilmektedir.
Khalil ve ark. (2014) yukarıdaki tespitleri ifade ettikten sonra, bahsi gec¸en eksikliklerin as¸a˘gıda ifade edilecek olan conformable kesirli t¨urev tanımının ve
2.2.4.1. Conformable Kesirli T ¨
urev
t ∈ (a, b) olmak ¨uzere herhangi (a, b) aralı˘gında tanımlı f fonksiyonunun t noktasındaki bilinen t¨urevi
df
dt = limε→0
f (t + ε)− f(t)
ε (2.11)
s¸eklinde ifade edilmektedir (Apostol, 1967). n∈ Z+olmak ¨uzere (2.11) form¨ul¨unden
d dtt
n = ntn−1 (2.12)
oldu˘gu kolayca g¨or¨ulmektedir. Burada akla gelen soru s¸udur:
”0 < α ≤ 1 yada daha genel ifade ile n ∈ Z+ olmak ¨uzere α ∈ (n, n + 1] ic¸in α. mertebeden kesirli t¨urev ic¸inde benzer bir tanım ortaya koyulabilir mi?”
α ∈ (0, 1] olmak ¨uzere α. mertebeden kesirli t¨urevin Khalil ve ark. (2014) tarafından verilen tanımı ise as¸a˘gıdaki gibidir.
Tanım 2.10 t > 0 ve α ∈ (0, 1] olmak ¨uzere f : [0, ∞) → R fonksiyonunun α. mertebeden conformable kesirli t ¨urevi
Dα(f (t)) = lim
ε→0
f (t + εt1−α)− f(t)
ε (2.13)
s¸eklindedir. E˘ger f fonksiyonu a > 0 olmak ¨uzere (0, a) aralı˘gında α diferensiyel-lenebilir ve
lim
t→0+f
(α)(t)
limiti mevcut ise, bu takdirde f(α)(0) de˘geri f(α)(0) = lim
t→0+f
(α)(t)
s¸eklinde tanımlanır. E˘ger f fonksiyonunun α. mertebeden kesirli t¨urevi var ise, bu durumda f fonksiyonuna α. mertebeden diferensiyellenebilirdir denir (Khalil ve ark., 2014).
Conformable kesirli t¨urev tanımının bazı ¨ozelliklerini g¨osteren teorem as¸a-˘gıdaki gibi ifade edilmis¸tir.
Teorem 2.2 α ∈ (0, 1] olmak ¨uzere f ve g fonksiyonları bir t > 0 noktasında α. mertebeden diferensiyellenebilir olsun. Bu durumda
(i) Her a, b∈ R
Dα(af + bg)(t) = aDα(f )(t) + bDα(g)(t)
s¸eklindeki lineerlik ¨ozelli˘gi sa˘glanmaktadır. (ii) Her p∈ R ic¸in
Dα(tp) = ptp−α
es¸itli˘gi gec¸erlidir. (iii) f ve g fonksiyonları ic¸in
Dα(f g)(t) = f (t)Dα(g)(t) + g(t)Dα(f )(t)
dir.
(iv) f ve g fonksiyonları ic¸in Dα ( f g ) = gD α(f )− fDα(g) g2
s¸eklindedir. Burada g ̸= 0 olmalıdır.
(v) λ sabit olmak ¨uzere f (t) = λ fonksiyonu ic¸in Dα(λ) = 0
dır.
(vi) Bu ¨ozelliklerin yanında, f fonksiyonu α. mertebeden diferensiyellenebilir ise Dα(f )(t) = t1−αdf (t)
dt
sa˘glanır (Khalil ve ark., 2014).
Tanım 2.11 f fonksiyonu; de˘gis¸kenleri x1, ..., xn bic¸iminde olan n de˘gis¸kenli bir
foksiyon ve α∈ (0, 1] olmak ¨uzere, f fonksiyonunun xiba˘gımsız de˘gis¸kenine g¨ore
conformable kesirli kısmi t¨urevi ∂α ∂xα i f (x1, ..., xn) = lim ε→0 f (x1, ..., xi−1, xi+ εxi1−α, ..., xn)− f(x1, ..., xn) ε (2.14)
Bazı ¨ozel fonksiyonların conformable kesirli t ¨urevleri:
Khalil ve ark. (2014) conformable kesirli t¨urev tanımı kullanılarak as¸a˘gıdaki es¸itliklerin mevcut oldu˘gunu ifade etmis¸lerdir.
(i) Her p∈ R ic¸in Dα(tp) = ptp−αdir.
(ii) λ sıfırdan farklı bir sabit olmak ¨uzere Dα(λ) = 0dır. (iii) Her c∈ R ic¸in Dα(ect) = ct1−αectdir.
(iv) Her b∈ R ic¸in Dα(sin(bt)) = bt1−αcos(bt) dir.
(v) Her b∈ R ic¸in Dα(cos(bt)) =−bt1−αsin(bt) dir.
(vi) Dα(tαα) = 1.
(vii) Dα(sin(tαα)) = cos(tαα). (viii) Dα(cos(tαα)) = − sin(tαα).
(ix) Dα(etαα) = e tα
α .
Conformable kesirli t¨urev tanımından ve ¨ozelliklerinden faydalanılarak as¸a˘gıdaki ¨ornek verilebilir.
¨
Ornek 2.6 0 < α < 1 olmak ¨uzere f (t) = sin(tαα) fonksiyonunun conformable kesirli t¨urevi Teorem 2.2 (vi) yardımı ile
Dα ( sin ( tα α )) = t1−αd ( sin(tαα)) dt Dα ( sin ( tα α )) = cos ( tα α ) olarak elde edilir.
Conformable kesirli t¨urevi ifade etmek ic¸in yukarıda verilen ¨ornekler α∈ (0, 1] du-rumu ic¸in verilmis¸tir. ”α ∈ (0, 1] olması kesirli t¨urevin en ¨onemli kos¸ulu olmasına ra˘gmen, herhangi bir n ∈ Z ic¸in e˘ger α ∈ (n, n + 1] ise kesirli t¨urev tanımı nasıl olur?” sorusunun cevabını ise as¸a˘gıdaki tanım vermektedir.
Tanım 2.12 α ∈ (n, n + 1] ve t > 0 olmak ¨uzere f fonksiyonu t noktasında n. mertebeden diferensiyellenebilir olsun. ⌈α⌉, α’ya es¸it yada α’ dan b¨uy¨uk en k¨uc¸¨uk tamsayı olmak ¨uzere, f fonksiyonunun α. mertebeden conformable kesirli t¨urevi; Dα(f (t)) = lim
ε→0
f(⌈α⌉−1)(t + εt(⌈α⌉−α))− f(⌈α⌉−1)(t)
s¸eklindedir (Khalil ve ark., 2014).
Not 2.1 α ∈ (n, n + 1] ve t > 0 olmak ¨uzere f fonksiyonu t noktasında (n + 1). mertebeden diferensiyellenebilir ise, Tanım 2.12’nin bir sonucu olarak
Dα(f (t)) = t(⌈α⌉−α)f(⌈α⌉)(t)
oldu˘gu kolayca g¨osterilmis¸tir (Khalil ve ark., 2014).
Tanım 2.13 α ∈ (n, n + 1] ve β = α − n ic¸in f(n) t¨urevi mevcut olmak ¨uzere
f : [a,∞) → R fonksiyonunun α. mertebeden kesirli t¨urevi Dα(f (t)) = (Daβf
(n))(t)
s¸eklinde de tanımlanmıs¸tır (Abdeljawad, 2015).
Conformable kesirli t¨urev tanımlanmadan ¨once kullanılan kesirli t¨urev ta-nımları (Riemann-Liouville, Gr¨unwald-Letnikov, Caputo vb.) α. mertebeden dife-rensiyellenebilir fonksiyonların analizini yapmaya olanak tanımıyordu. Fakat con-formable kesirli t¨urev tanımı, kesirli t¨urev ve s¨ureklilik arasındaki ilis¸ki, Rolle teo-remi, ortalama de˘ger teoremi gibi en temel teoremlerin as¸a˘gıdaki gibi ifade edilme-sine olanak sa˘glamaktadır.
Teorem 2.3 f : [0,∞) → R fonksiyonu, α ∈ (0, 1] olmak ¨uzere bir t0 > 0
nok-tasında α. mertebeden diferensiyellenebilirse, f fonksiyonu t0noktasında s¨ureklidir
(Khalil ve ark., 2014).
Teorem 2.4 (Conformable Kesirli Diferensiyellenebilir Fonksiyonlar ic¸in Rolle Teoremi)
a > 0 ve f : [a, b]→ R as¸a˘gıdaki kos¸ulları sa˘glayan bir fonksiyon olsun (Khalil ve ark., 2014).
(i) f fonksiyonu [a, b] kapalı aralı˘gı ¨uzerinde s¨ureklidir.
(ii) α∈ (0, 1) olmak ¨uzere f fonksiyonu α. mertebeden diferensiyellenebilirdir. (iii) f (a) = f (b) olsun.
Teorem 2.5 (Conformable Kesirli Diferensiyellenebilir Fonksiyonlar ic¸in Or-talama De˘ger Teoremi)
a > 0 ve f : [a, b]→ R as¸a˘gıdaki kos¸ulları sa˘glayan bir fonksiyon olsun (Khalil ve ark., 2014).
(i) f fonksiyonu [a, b] kapalı aralı˘gı ¨uzerinde s¨ureklidir.
(ii) α∈ (0, 1) olmak ¨uzere f fonksiyonu α. mertebeden diferensiyellenebilirdir. O halde f(α)(c) = f (b)1 − f(a) αb α− 1 αa α
olacak s¸ekilde bir c∈ (a, b) vardır.
Teorem 2.6 Herhangi bir α∈ (0, 1) ic¸in f : [a, b] → R fonksiyonu α. mertebeden diferensiyellenebilir olsun (Khalil ve ark., 2014). Bu durumda;
(i) a > 0 olmak ¨uzere e˘ger f(α)fonksiyonu [a, b] kapalı aralı˘gı ¨uzerinde sınırlıysa, o halde f fonksiyonu [a, b] kapalı aralı˘gı ¨uzerinde d¨uzg¨un s¨ureklidir ve dolayı-sıyla f fonksiyonu sınırlıdır.
(ii) f(α) fonksiyonu [a, b] kapalı aralı˘gı ¨uzerinde sınırlı ve a noktasında s¨urekli ise, o halde f fonksiyonu [a, b] kapalı aralı˘gı ¨uzerinde d¨uzg¨un s¨ureklidir ve dolayısıyla f fonksiyonu sınırlıdır.
Teorem 2.7 (Zincir Kuralı)
α ∈ (0, 1] olmak ¨uzere f, g : (a, ∞) → R fonksiyonları α. mertebeden diferen-siyellenebilir olsunlar. h(t) = f (g(t)) olmak ¨uzere h α. mertebeden diferensiyel-lenebilirdir ve t̸= 0 ve g(t) ̸= 0 olmak ¨uzere her t ic¸in
Dα(h(t)) = Dα(f (g(t)))Dα(g(t))(g(t))α−1
dir. E˘ger t = a ise Dα(h(a)) = lim
t→a+D
α(f (g(t)))Dα(g(t))(g(t))α−1
Teorem 2.8 (Kesirli Kuvvet Serisi Ac¸ılımı) f fonksiyonu herhangi bir α∈ (0, 1] ic¸in t0 noktasının bir koms¸ulu˘gunda sonsuz kez α. mertebeden diferensiyellenebilir
olmak ¨uzere f fonksiyonu; f (t) = ∞ ∑ k=0 (Dαf )(k)(t0)(t− t0)kα αkk! , t0 < t < t0+ R 1 α, R > 0
kesirli kuvvet serisi ac¸ılımına sahiptir. Burada (Dαf )(k)(t0) ifadesi f fonksiyonuna
conformable kesirli t¨urevin k defa uygulanması sonucu elde edilen fonksiyonun t0’
da almıs¸ oldu˘gu de˘geri ifade etmektedir (Abdeljawad, 2015).
2.2.4.2. Conformable Kesirli ˙Integral
Tanım 2.14 α ∈ (0, 1] ve kullanılan integral genelles¸tirilmis¸ Riemann integrali olmak ¨uzere, Iaα(f (t)) = Ia1(tα−1f (t)) = ∫ t a f (x) x1−αdx
integraline conformable kesirli integral denir. Iaα vebIα sembolleri sırasıyla sa˘g ve sol conformable kesirli integrali ifade etmek ¨uzere;
b Iα(f (t)) = ∫ b t f (x)dα(b, x) = ∫ t a (b− x)α−1f (x)dx (2.15)
integraline sol kesirli integral ve Iaα(f (t)) = ∫ t a f (x)dα(x, a) = ∫ t a (x− a)α−1f (x)dx
integraline ise sa˘g kesirli integral adı verilir (Khalil ve ark., 2014).
α > 1 oldu˘gunda sa˘g ve sol kesirli integralin tanımıları as¸a˘gıdaki s¸ekilde ifade edilmektedir.
Tanım 2.15 n ≥ 1 pozitif bir tamsayı ve α ∈ (n, n + 1] ve β = α − n olmak ¨uzere α. mertebeden sol kesirli integral
Iaα(f (t)) = Ian+1((t− a)β−1f (t)) = 1 n!
∫ t a
(t− x)n(x− a)β−1f (x)dx ve α. mertebeden sa˘g kesirli integral
b Iα(f (t)) =b In+1((b− t)β−1f (t)) = 1 n! ∫ t a (t− x)n(b− x)β−1f (x)dx s¸eklindedir (Abdeljawad, 2015).
Tanım 2.14 kullanıldı˘gında; I 1 2 0( √ t cos(t)) = ∫ t 0 cos(t)dt = sin(t) ve I 1 2 0(cos(2 √ t)) = sin(2√t) elde edilir.
As¸a˘gıda ifade edilen toremler conformable kesirli integral ile conformable kesirli t¨urev arasındaki ilis¸kiyi ve conformable kesirli integralin bazı ¨ozelliklerini vermektedir.
Teorem 2.9 f fonksiyonu Iα tanım b¨olgesi ic¸inde s¨urekli bir fonksiyon ve
0 < α≤ 1 olmak ¨uzere, t ≥ a ic¸in DαIα(f (t)) = f (t)
olur (Khalil ve ark., 2014).
Teorem 2.10 f : [a, b)→ R fonksiyonu diferensiyellenebilir ve 0 < α ≤ 1 olsun. O halde her t > a ic¸in
IaαDαa(f (t)) = f (t)− f(a) dir (Abdeljawad, 2015).
Teorem 2.11 α ∈ (n, n + 1] ve t > a olmak ¨uzere f : [a, ∞) → R fonksiyonu (n + 1). mertebeden diferensiyellenebilir olsun. Her t > a ic¸in
IaαDαa(f (t)) = f (t)− n ∑ k=0 f(k)(a)(t− a)k k! dir (Abdeljawad, 2015).
Teorem 2.12 α ∈ (n, n + 1] ve t < b olmak ¨uzere f : (−∞, b] → R fonksiyonu (n + 1). mertebeden diferensiyellenebilir olsun. Her t < b ic¸in
bIαbDα(f (t)) = f (t)− n ∑ k=0 (−1)kf(k)(b)(b− t)k k! dir. ¨Ozel olarak n = 0 veya α∈ (0, 1] ise
b
IαbDα(f (t)) = f (t)− f(b) olur (Abdeljawad, 2015).
Teorem 2.13 f : [a,∞) → R fonksiyonu (a, ∞) ¨uzerinde iki kez diferensiyel-lenebilir olsun. α, β ∈ (0, 1] olmak ¨uzere α + β ∈ (1, 2] olsun. O halde;
(DaαDaβ)(f (t)) = Daα+β(f (t)) + (1− β)(t − a)−βDαaf (t) (2.16)
olur (Abdeljawad, 2015).
Teorem 2.14 (Kısmi ˙Integrasyon) f, g : [a, b]→ R herhangi iki fonksiyon olmak ¨uzere (f g)(t) diferensiyellenebilir olsun. O halde
∫ b a f (x)Dαa(g(x))dα(x, a) = f g|ba− ∫ b a g(x)Daα(f (x))dα(x, a) olur (Abdeljawad, 2015).
3. CONFORMABLE LAPLACE D ¨
ON ¨
US
¸ ¨
UMLER˙I
Bu tez c¸alıs¸masının orjinal kısmınıda kapsayan bu b¨ol¨um¨un ilk kısmında; c¸alıs¸maya ilham veren Abdeljawad (2015)’ın conformable Laplace d¨on¨us¸¨um¨u tanı-mı ele alınarak, klasik Laplace d¨on¨us¸¨um¨unde oldu˘gu gibi bu tanımdan hareketle conformable Laplace d¨on¨us¸¨um¨un¨un bazı temel ¨ozellikleri tarafımızdan ifade ve ispat edilmis¸tir. Elde edilen bu ¨ozellikler ve sonuc¸lar kullanılarak conformable anlamında bazı diferensiyel, integral, integro-diferensiyel denklemleri ve sistem-lerinin c¸¨oz¨umleri ile conformable kısmi integro-diferensiyel denklemin c¸¨oz¨um¨une yer verilmis¸tir.
Bu b¨ol¨um¨un di˘ger kısımlarında ise; conformable anlamında kesirli kısmi diferensiyel denklem ve denklem sistemlerinin cebirsel denklemlere d¨on¨us¸t¨ur¨ulmesi, bu cebirsel denklemlerin c¸¨oz¨umlerinden verilen problemin analitik c¸¨oz¨um¨une ulas¸ıl-masını sa˘glayan iki katlı ve ¨uc¸ katlı conformable Laplace d¨on¨us¸¨um¨u tanımları, ¨ozellikleri ifade edilmis¸, bu tanımlar ve ¨ozellikler kullanılarak bazı conformable kesirli kısmi diferensiyel denklem ve denklem sistemlerinin c¸¨oz¨umleri ¨orneklerle g¨osterilmis¸tir.
3.1. Conformable Laplace D¨on ¨
us¸ ¨
um ¨
u
Tanım 3.1 f : [t0,∞) → R reel de˘gerli bir fonksiyon, t0 ∈ R ve 0 < α ≤ 1
ol-sun. f fonksiyonunun α. mertebeden conformable Laplace d¨on ¨us¸ ¨um ¨u as¸a˘gıdaki integral var olmak ¨uzere
Fα(s) =Lαt0[f (t)](s) = ∫ ∞ t0 e−s(t−t0)αα f (t)d α(t, t0) = ∫ ∞ t0 e−s(t−t0)αα f (t)(t− t0)α−1dt (3.1)
integrali ile tanımlanır (Abdeljawad, 2015).
Conformable Laplace d¨on¨us¸¨um¨u ile bilinen Laplace d¨on¨us¸¨um¨u arasındaki ilis¸ki Ab-deljawad (2015) tarafından as¸a˘gıdaki gibi ifade edilmis¸tir.
Lemma 3.1 f : [0,∞) → R bir fonksiyon olmak ¨uzere Lα[f (t)] = Fα(s)
con-formable Laplace d¨on¨us¸¨um¨un¨un var oldu˘gu kabul edilsin. O halde L [f(t)] = ∫∞
0 e−stf (t)dt klasik Laplace d¨on¨us¸¨um¨un¨u ifade etmek ¨uzere
Lα[f (t)] =L [f
(
(αt)1/α)] dir (Abdeljawad, 2015).
3.1.1. Conformable Laplace D¨on ¨
us¸ ¨
um ¨
un Varlı˘gı ve Tekli˘gi
Bu b¨ol¨umde conformable Laplace d¨on¨us¸¨um¨u ic¸in varlık ve teklik teoremleri ifade edilecektir.
Teorem 3.1 t ≥ t0 ic¸in f parc¸alı s¨urekli bir fonksiyon olsun. Bir t0 pozitif sayısı
ic¸in t≥ t0 ve|f(t)| ≤ g(t) olmak ¨uzere,
∫ ∞
t0
g(t)dαt
integrali yakınsak ise ∫ ∞
t0
f (t)dαt
integrali de yakınsaktır. Di˘ger taraftan t≥ t0 ic¸in f (t)≥ g(t) ≥ 0 olmak ¨uzere
∫ ∞
t0
g(t)dαt
integrali ıraksak ise ∫ ∞
t0
f (t)dαt
integrali de ıraksaktır ( ¨Ozkan ve Kurt, 2018a). ˙Ispat ∫t∞
0 g(t)dαt integrali yakınsak oldu˘gundan∀ε > 0 ic¸in ∃A ∈ R ¨oyle ki a2 >
a1 > A ic¸in ∫ a2 a1 g(t)dαt < ε olur. |f(t)| ≤ g(t) oldu˘gundan ∫ a2 a1 | f(t) | dαt ≤ ∫ a2 a1 g(t)dαt < ε
olur ki, bu ise ∫a2
a1 | f(t) | dαt integralinin yakınsak oldu˘gunu g¨osterir. S¸imdi
∫a2
a1 | f(t) | dαt yakınsak olması durumunda
∫a2
a1 f (t)dαt integralinin yakınsak
oldu˘gunu g¨osterelim. ∫a2
a1 | f(t) | dαt integrali yakınsak ise∀ε > 0 ic¸in ∃A ∈ R ¨oyle ki a2 > a1 > A ic¸in
∫ a2
a1
|f(t)|dαt < ε
kalır. Di˘ger taraftan ∫ a2 a1 f (t)dαt <∫ a2 a1 | f(t) | dαt
oldu˘gunu biliyoruz. O halde ∫ a2 a1 f (t)dαt < ε olur ki, bu ∫ a2 a1 f (t)dαt
integralinin yakınsak oldu˘gunu g¨osterir.
Teorem 3.2 (Varlık Teoremi) Abir pozitif reel sayı olmak ¨uzere f fonksiyonu 0≤ t ≤ A aralı˘gında ¨ustel mertebeden parc¸alı s¨urekli bir fonksiyon olsun. M, a, t0
pozitif reel sayılar olmak ¨uzere t > t0 ic¸in e−a
tα
α|f(t)| < M olsun. Bu durumda
(3.1) es¸itli˘giyle verilen conformable Laplace d¨on¨us¸¨um¨u herhangi bir s > a ic¸in mevcuttur ( ¨Ozkan ve Kurt, 2018a).
˙Ispat Conformable Laplace d¨on¨us¸¨um¨u tanımından Fα(s) = ∫ ∞ 0 e−stαα f (t)dαt = ∫ t0 0 e−stααf (t)dαt + ∫ ∞ t0 e−stαα f (t)dαt. (3.2)
olup, (3.2) denkleminin sa˘g tarafındaki ilk integral hipotezden g¨or¨ulece˘gi ¨uzere mevcuttur. Bu durumda F (s) fonksiyonunun varlı˘gı (3.2)’deki ikinci integralin yakınsaklı˘gına ba˘glıdır. t > t0 ic¸in hipotezden
e−stαα |f(t)| < e−s tα αM ea tα α = M e−(s−a) tα α.
sa˘glanır. Yukarıdaki es¸itli˘gin ikinci kısmı s > a olmak ¨uzere ele alınırsa ∫ ∞ t0 M e−(s−a)tααdαt = lim h→∞ ∫ h t0 M e−(s−a)tααdαt = lim h→∞ [ −M e−(s−a) tα α s− a ]h t0 = M s− ae −(s−a)tα0 α
elde edilir. B¨oylece s > a ic¸in∫t∞
0 M e
−(s−a)tα
αdαt integrali mevcuttur. Di˘ger
yan-dan hipotez yardımıyla e−stαα|f(t)| ifadesi t0 ≤ t < ∞ aralı˘gının t¨um kapalı alt
aralıkları ic¸in integrallenebilirdir. Teorem 3.1 kullanılarak∫t∞
0 e −stα
α |f(t)|dαt
inte-gralinin varlı˘gı kolayca g¨or¨ulebilir. Bas¸ka bir deyis¸le s > a ic¸in,∫t∞
0 |e −stα
αf (t)|dαt
integrali de mevcuttur. B¨oylece Teorem 3.1 yardımıyla∫t∞
0 e −stα
αf (t)dαt
integrali-nin s > a mevcut oldu˘gu kolayca g¨or¨ulebilir. Dolayısıyla f (t) fonksiyonunun conformable Laplace d¨on¨us¸¨um¨u mevcuttur.
Teorem 3.3 (Teklik Teoremi) fve g reel de˘gerli s¨urekli fonksiyonlar olsunlar. Her iki fonksiyonun da conformable Laplace d¨on¨us¸¨umleri var ve
Lα[f (t)] =Lα[g(t)]
yani Fα(s) = Gα(s)olmak ¨uzere f (t) = g(t) dir.
˙Ispat c yeterince b¨uy¨uk bir sayı olmak ¨uzere, f (t) = 1 2πiϱlim→∞ ∫ (α(c+iϱ))α1 (α(c−iϱ))α1 e(st)αα F α(s)dαs
integral g¨osterimi mevcuttur. Conformable ters Laplace tanımından
f (t) = 1 2πiϱlim→∞ ∫ (α(c+iϱ))α1 (α(c−iϱ))α1 e(st)αα F α(s)dαs = 1 2πiϱlim→∞ ∫ (α(c+iϱ))α1 (α(c−iϱ))α1 e(st)αα G α(s)dαs = g(t)
olup, ispat tamamlanmıs¸ olur.
Bu teorem conformable Laplace d¨on¨us¸¨um¨un¨un tekli˘gini ispatlamıs¸ olur.
3.1.2. Conformable Laplace D¨on ¨
us¸ ¨
um ¨
un ¨
un ¨
Ozellikleri
Teorem 3.4 (Lineerlik ¨Ozelli˘gi) f1(t) and f2(t) fonksiyonları sırasıyla s > a1
ve s > a2 ic¸in conformable Laplace d¨on¨us¸¨um¨u mevcut olan iki fonksiyon olsun.
s > max{a1, a2} olmak ¨uzere c1,c2reel sayıları ic¸in
Lα[c1f1(t) + c2f2(t)] = c1Lα[f1(t)] + c2Lα[f2(t)]
