KOCAELĐ ÜNĐVERSĐTESĐ * FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ
TĐP OKUL BĐNALARININ PERFORMANS ANALĐZĐ,
SÜRTÜNME SÖNDÜRÜCÜLER ve SÜRTÜNME PLAKALARI ile
GÜÇLENDĐRĐLMESĐ
YÜKSEK LĐSANS TEZĐ
Đnşaat Müh. Burcu TĐRALĐ
Anabilim Dalı: Đnşaat Mühendisliği
Danışman: Doç.Dr. Kemal BEYEN
i ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR
Türkiye, yeryüzünde en aktif deprem kuşağı olan, Akdeniz, Alp, Himalaya deprem kuşağı içerisinde yer almaktadır. Ülkemizin büyük bölümü 1. Deprem bölgesinde olup; büyük sanayi tesisleri ve barajlar, deprem açısından çok aktif olan bölgeler içerisindedir. Ayrıca 1999 yılında iki büyük depremde önemli can ve mal kayıplarına yol açmıştır. Özellikle beklenen olası depremlerde düşünülünce yapı performansı ve güçlendirme konusu son derece önem kazanmıştır.
Bu çalışmada fikirleri ve bilgisi ile beni yönlendiren Doç. Dr. Kemal BEYEN’ e teşekkürlerimi sunar. Ayrıca çalışmam süresince beni teşvik eden bütün dostlarıma, hayatım boyunca beni destekleyen ve bugünlere getiren aileme sonsuz minnet duygularımı sunarım
ii ĐÇĐNDEKĐLER ÖNSÖZ ... i ĐÇĐNDEKĐLER ... ii SEKĐLLER DĐZĐNĐ ... v TABLOLAR DĐZĐNĐ ... vii SĐMGELER ………...……….….. ix ÖZET ... xii
ĐNGĐLĐZCE ÖZET... xiii
1. GĐRĐŞ ………... 1
1.1. Sismik Dizayn ……….. 3
1.2. Hareket Kontrol Sistemleri ………... 4
2. BASĐT PRENSĐPLER ve ANALĐZ METODLARI ……….. 6
2.1. Yapılarda Elastik Deformasyon ………..……. 6
2.2. Yapılarda Đnelastik Deformasyon Başlangıcı ……….……. 7
2.3. Yapılarda Plastik Deformasyon ………..…...……….. 7
2.4. Dizayn ve Analiz Kriterleri ……….…...……….. 8
2.4.1. Enerji azalımı ………..……….. 8
2.4.2. Çaprazların etkisi ………...……….. 9
2.5. Yapılarda Analiz Metodları ……….……...………. 10
2.5.1. Genel formüller ……….………..……… 10
2.5.2. Zaman tanım analizi ……….…...… 11
2.5.3 Mod birleştirme metodu ………....….. 12
3. METAL SÖNDÜRÜCÜLER ………..………...… 14 3.1. Giriş ……….………... 14 3.2. Çalışma Prensipleri ………..……….. 15 3.2.1. Plastisite …….……….………. 15 3.2.2. Viskoplastisite ………...……… 17 3.2.3. Isı etkisi ……...………....………. 18 3.3. Mekanik Modelleme ………....………….. 18 3.4. Tasarım Kriterleri ………... 21 3.5. Yapısal Uygulamalar ………...……….……… 23 4. SÜRTÜNME SÖNDÜRÜCÜLER ……..………….…………..….………….. 26 4.1. Giriş ……….….……….. 26 4.2. Çalışma Prensipleri ….………..……….… 28 4.2.1. Çevresel etkenler ………..………. 32 4.3. Tasarım Kriterleri ……...………. 32 4.4. Yapısal Uygulamalar ………...…. 33 5. VĐSKOELASTĐK SÖNDÜRÜCÜLER ……….…… 36 5.1. Giriş ……….……… 36 5.2. Çalışma Prensipleri ………..……….….. 36 5.3. Tasarım Kriterleri ………...………..…….. 39
6. VĐSKOZ SIVI SÖNDÜRÜCÜLER ……….……….. 42
iii
6.2. Akışkan Dinamiğinin Basit Prensipleri ………. 43
6.2.1. Denge denklemleri ………... 43
6.3. Viskoz Sıvı Söndürücü Çeşitleri ve Davranışları ……….. 44
6.3.1. Silindirik sıvı söndürücüler …………...…...……….……….. 44
6.3.2. Viskoz sıvılı duvar tipi söndürücü ……...………... 45
6.4. Tasarım Kriterleri ……….….. 47
7. KÜTLE SÖNDÜRÜCÜLER ………..………..….. 49
7.1. Giriş ………..………..…… 49
7.2. Kütle Söndürücülerin Basit Prensipleri ……….……….... 49
7.3. Dizayn Kriterleri ve Uygulama Esasları ……… 51
7.4. Yapısal Uygulamalar ………..………... 52
8. SÖNDÜRÜCÜLERĐN ETABS PROGRAMINDA MODELLENMESĐ …….. 57
8.1. Giriş ………...……….… 57
8.2. Nlprop Özellikleri ………..……….... 58
8.2.1. Başlıca nonlinear yaylar ………...…...………... 58
8.2.2. Yay kuvvet-deformasyon ilişkisi ………..………….…. 59
8.2.3. Lineer kuvvet-deformasyon ilişkisi ………...………….... 59
8.2.4. Lineer etkin rijitlik ………...………….. 60
8.2.5. Lineer etkin sönüm ………...………… 60
8.2.6. Nonlineer özellikler ……….……..…. 60
9. SÜRTÜNME PLAKALARI ve ÇALIŞMA PRENSĐPLERĐ ………….………. 61
9.1. GĐRĐŞ ………...………...……….…. 61
9.2. Çalışma Prensibi ……...……….... 62
10. ANALĐTĐK ÇALIŞMA ………..… 65
10.1. Amaç ………... 65
10.2. Bina ve Zemin Parametreleri ………... 65
10.3. Bilgi Düzeyleri ……….. 68
10.4. Yükler ……….….. 68
10.5. Analiz Yöntemleri ………... 69
10.5.1. Kat ağırlıkları ve eşdeğer deprem yükleri hesabı ………….…………... 69
10.5.2. Spektral analiz ………...………..…………...…….. 71
10.5.3. Zaman tanım alanında analiz ………...……. 73
10.6. Düzensizlik Kontrolleri ………...……….. 74
10.6.1. A2- Döşeme Süreksizliği ……….………. 74
10.6.2. A3- Planda çıkıntılar bulunması ………... 75
10.6.3. B1- Komşu katlar arası dayanım düzensizliği (Zayıf kat) …….…...…… 75
10.6.4. B3- Taşıyıcı sistemin düşey elemanlarının düzensizliği ……….….. 77
10.6.5. A1- Burulma düzensizliği ………...… 77
10.6.6. B2 – Komşu katlar arası rijitlik düzensizliği (Yumuşak kat) ………….... 78
10.7. Đkinci Mertebe Kontrolü ………...…………...…… 79
10.8. Göreli Kat Ötelemesi Kontrolü ………..…...… 81
10.9. Kullanılan Yük Kombinasyonları ………...……. 82
10.10. Kiriş Kesme Güvenlik (Gevrek Kırılma) Kontrolü ……..………….……. 83
10.11. Kolonların Kapasite Hesabı ………...…. 85
10.12. Kirişlerin Performans Kontrolü ……….. 87
10.13. Kolonların Performans Kontrolü ………...…. 89
11. GÜÇLENDĐRME YÖNTEMLERĐ ………..…….… 93
11.1. Sürtünme Söndürücü Kullanımı ……….……. 93
iv
11.1.2. Düzensizlik kontrolleri ………...… 96
11.1.2.1. A1- Burulma düzensizliği ………..… 96
11.1.2.2. B2 – Komşu katlar arası rijitlik düzensizliği (Yumuşak kat) ……... 97
11.1.2.3. Đkinci mertebe kontrolü ………...……... 98
11.1.2.4. Göreli kat ötelemesi kontrolü ……….. 100
11.1.3. Kiriş kesme güvenlik (gevrek kırılma) kontrolü ……….… 101
11.1.4. Kolonların kapasite hesabı ………...…...… 103
11.1.5. Kolonların performans kontrolü ……….……… 104
11.2. Sürtünme Plakalarının Kullanımı ……….………. 107
11.2.1. Giriş ………... 107
11.2.2. Düzensizlik kontrolleri ……….…….... 108
11.2.2.1. A1- Burulma düzensizliği ……….... 108
11.2.2.2. B2 – Komşu katlar arası rijitlik düzensizliği (Yumuşak kat) …..……. 109
11.2.2.3. Đkinci mertebe kontrolü ………..…..… 110
11.2.2.4. Göreli kat ötelemesi kontrolü ………...………… 111
11.2.3. Kiriş kesme güvenlik (gevrek kırılma) kontrolü …………...……….…. 113
11.2.4. Kolonların kapasite hesabı ………..….... 113
12. BULGULAR ve TARTIŞMA ………...… 116
13. SONUÇ ve ÖNERĐLER ……….……..… 122
KAYNAKLAR ………...… 124
EKLER………... 126
v ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ
Şekil 1.1: Söndürücü Sistemlerin Kuvvet-Deplasman Eğrisindeki Etkisi ………….. 4
Şekil 1.2: Pasif Söndürücü Sistemlerin Kontrol Akış Şeması ...…..………. 5
Şekil 1.3: Aktif Söndürücü Sistemlerin Kontrol Akış Şeması ………... 5
Şekil 2.1: Elastik Deformasyon alan Yapılarda Söndürücüsüz ve Söndürücü Kullanılan Sistemlerde Kuvvet-deplasman Grafiği ve Artımsal Đtme Eğrisi ……….... 6
Şekil 2.2: Đnelastik Deformasyon Başlangıcında Söndürücüsüz ve Söndürücü Kullanılan Sistemlerde Kuvvet-deplasman Grafiği ve Artımsal Đtme Eğrisi ……… 7
Şekil 2.3: Plastik Deformasyonda Söndürücüsüz ve Söndürücü Kullanılan Sistemlerde Kuvvet-Deplasman Grafiği ve Artımsal Đtme Eğrisi ……….. 8
Şekil 2.4: Viskoz Söndürücünün Çaprazlar ile Birlikte Yapıda Kullanılış Şekli …... 9
Şekil 3.1: Metal Söndürücü Çeşitleri ………. 14
Şekil 3.2: Eksenel Gerilmeye altında Silindirik Metal Çubuk ………... 15
Şekil 3.3: Geçerli Kuvvet-Gerilme Diyagramı ………. 15
Şekil 3.4: Kuvvet-Gerilme Matematik Modelleri ……….………. 17
Şekil 3.5: Metallik Söndürücüler ………...……… 18
Şekil 3.6: Yapı Çerçevesinde Üçgen Plaka Söndürücünün Kullanımı ………….. 19
Şekil 3.7: Üçgen Plaka Söndürücü için Matematik Modelleri ………..……... 19
Şekil 3.8: X Şeklinde Plak Söndürücünün Kuvvet-Deplasman Đlişkisi ……….… 22
Şekil 3.9: Meksika’da Kardiyoloji Merkezinde Kullanılan Söndürücü Uygulaması 23 Şekil 3.10: Wells Fargo Banka Binasının Güçlendirme Planı ………..…………. 24
Şekil 3.11: Wells Fargo Banka Binasının Yapısal Analiz Modeli ………. 24
Şekil 3.12: Analiz Sonuçlarının Karşılaştırılması ……….. 25
Şekil 4.1: Sürtünme Söndürücü Çeşitleri ………….………. 27
Şekil 4.2: EDR sistem için deney sonuçları ………...……… 30
Şekil 4.3: EDR ın Kesit Planı ………. 30
Şekil 4.4: Sürtünme Temas Şeması ………...…. 32
Şekil 4.5: Montreal, Concordia Üniversitesi McConel kütüphanesi ………..….. 34
Şekil 4.6: McConnel Kütüphanesinde Kullanılan Exposed Sürtünme Söndürücü 34 Şekil 4.7: Casino de Montreal’ in Kuzey Görünüşü ……….. 35
Şekil 5.1: Tipik Viskoelastik Söndürücü Konfigürasyonu …………...…….…… 36
Şekil 5.2: Sinusoidal Yükleme Altında Kesme Gerilme ve Kuvveti …….……… 37
Şekil 5.3: Viskoelastik Söndürücü Dizayn Şeması ……… 40
Şekil 6.1: Viskoz Sıvı Söndürücüye Örnek ………..…. 42
Şekil 6.2: Silindirik Sıvı Söndürücünün Makroskobik Modeli ………….……… 44
Şekil 6.3: Silindirik Sıvı Söndürücü ……….………… 44
Şekil 6.4: Viskoz Sıvılı Duvar Tipi Söndürücü ………. 46
Şekil 6.5: Viskoz Sıvı Söndürücülerin 3 Katlı Yapıda Yerleşim Konfigürasyonu ... 47
Şekil 6.6: Viskoz Sıvı Duvar Tipi Söndürücü Kullanılan Sistemde Yük Transfer Davranışı ……….. 48
Şekil 7.1: Tek Serbertlik Dereceli Modeller ve Kütle Söndürücü Uygulamaları …. 50 Şekil 7.2: Dizayn Akış Şeması ………... 51
vi
Şekil 7.4: Chiba Port Kulesinde kullanılan Kütle Söndürücü ……… 53
Şekil 7.5: Kütle Söndürücüsüz ve Söndürücülü Yapının Đvme-Hız Değerleri ..… 54
Şekil 7.6: Citicorp Merkezi, New York ………..……… 55
Şekil 7.7: Citicorp Merkezinde kullanılan Kütle Söndürücü ……… 56
Şekil 8.1: Lineer ve nonliner analiz için Sönümleyici Gösterimi ………..… 59
Şekil 9.1: Sürtünme Panelleri Arasındaki Kuvvet Etkileşimi ……… 61
Şekil 9.2: Sürtünme Panelleri Yapılardaki yerleşimi ……….… 63
Şekil 9.3: Sürtünme Panelleri Yapılardaki yerleşimi ………... 63
Şekil 9.4: Sürtünme Panelleri Farklı Sistemlerde Kullanılışı ………...…. 64
Şekil 10.1: Okul binasının üç boyutlu görünüşü ………...…..………….. 66
Şekil 10.2: A Blok normal kat kalıp planı ……….………….…….. 66
Şekil 10.3: B Blok normal kat kalıp planı ………. 67
Şekil 10.4: C Blok normal kat kalıp planı ……….…… 67
Şekil 10.5: Z4 zemini için spektral eğri …………...………... 72
Şekil 10.6: Gebze Tubitak Marmara Araştırma Merkezi Doğu-Batı Doğrultusu Deprem Kaydı ………... 73
Şekil 10.7: Gebze Tubitak Marmara Araştırma Merkezi Kuzey-Güney Doğrultusu Deprem Kaydı ………... 74
Şekil 10.8: S113 Kolonu P-M Diyagramı (Etabs çıktısı) ………... 86
Şekil 10.9: A Blok 1.Kat C8 Kolonu P-M Diyagramı ………….……….. 86
Şekil 10.10: B94 Kirişi Detayı ……….… 88
Şekil 10.11: A Blok 1 Aksı ……….. 90
Şekil 10.12: A Blok 4 Aksı ……….. 90
Şekil 10.13: A Blok N Aksı ………. 90
Şekil 10.14: B Blok F Aksı ……… 91
Şekil 10.15: B Blok I Aksı ………. 91
Şekil 10.16: B Blok M Aksı ……….….. 91
Şekil 10.17: C Blok 20’ Aksı ………...….. 92
Şekil 10.18: C Blok 24 Aksı ……….……. 92
Şekil 10.19: C Blok N Aksı ………... 92
Şekil 11.1: A Blok Normal Kat Sürtünme Söndürücü Yerleşim Planı ………….. 95
Şekil 11.2: B Blok Normal Kat Sürtünme Söndürücü Yerleşim Planı ………….. 95
Şekil 11.3: C Blok Normal Kat Sürtünme Söndürücü Yerleşim Planı ………….. 96
Şekil 11.4: A Blok 1 Aksı ………..….. 105
Şekil 11.5: A Blok 4 Aksı ………..….. 105
Şekil 11.6: A Blok N Aksı ………..……. 105
Şekil 11.7: B Blok F Aksı ………..….. 106
Şekil 11.8: B Blok I Aksı ………..…... 106
Şekil 11.9: B Blok M Aksı ………..……. 106
Şekil 11.10: A-B-C Blok Bodrum Kat Sürtünme Plakaları Yerleşim Planı ….... 107
Şekil 11.11: A Blok 1 Aksı ………..…..….. 114
Şekil 11.12: A Blok 4 Aksı ………....….. 114
Şekil 11.13: A Blok N Aksı ………..…..…. 114
Şekil 11.14: B Blok F Aksı ………..….... 115
Şekil 11.15: B Blok I Aksı ………....…... 115
Şekil 11.16: B Blok M Aksı ………...……..…..…. 115
Şekil 12.1: B Blok Normal Kat Sürtünme Söndürücü Yerleşim Planı ve Gevrek Hasar Alan Kolon Gösterimi ………...…...……….. 118
vii TABLOLAR DĐZĐNĐ
Tablo 10.1: Bina, Zemin ve Malzeme Bilgileri ……….…… 65
Tablo 10.2: A Blok kat ağırlığı ve eşdeğer deprem yükü hesabı ………... 69
Tablo 10.3: B Blok kat ağırlığı ve eşdeğer deprem yükü hesabı ………... 70
Tablo 10.4: C Blok kat ağırlığı ve eşdeğer deprem yükü hesabı ………... 70
Tablo 10.5: Performans Tablosu ……….... 71
Tablo 10.6: A Blok X yönü zayıf kat kontrolü ……….. 75
Tablo 10.7: A Blok Y yönü zayıf kat kontrolü ……….. 75
Tablo 10.8: B Blok X yönü zayıf kat kontrolü ……….. 76
Tablo 10.9: B Blok Y yönü zayıf kat kontrolü ……….. 76
Tablo 10.10: C Blok X yönü zayıf kat kontrolü ……… 76
Tablo 10.11: C Blok Y yönü zayıf kat kontrolü ……… 77
Tablo 10.12: A Blok X ve Y yönü burulma düzensizliği kontrolü ……… 77
Tablo 10.13: B Blok X ve Y yönü burulma düzensizliği kontrolü ……… 77
Tablo 10.14: C Blok X ve Y yönü burulma düzensizliği kontrolü ……… 78
Tablo 10.15: A Blok X ve Y yönü yumuşak kat kontrolü ……….… 78
Tablo 10.16: B Blok X ve Y yönü yumuşak kat kontrolü ……….… 78
Tablo 10.17: C Blok X ve Y yönü yumuşak kat kontrolü ……….… 79
Tablo 10.18: A Blok X ve Y yönü ikinci mertebe kontrolü ……….. 79
Tablo 10.19: B Blok X ve Y yönü ikinci mertebe kontrolü ……….…….. 80
Tablo 10.20: C Blok X ve Y yönü ikinci mertebe kontrolü ……….…….. 80
Tablo 10.21: A Blok X ve Y yönü göreli kat ötelemesi kontrolü ……….. 81
Tablo 10.22: B Blok X ve Y yönü göreli kat ötelemesi kontrolü ……….. 81
Tablo 10.23: C Blok X ve Y yönü göreli kat ötelemesi kontrolü ……….. 82
Tablo 10.24: A Blok 2. Kat B94 kirişinin iki ucunun alt ve üst kesit moment kapasiteleri ………..………. 83
Tablo 10.25: A Blok 2. Kat B94 kirişinin iki ucundaki artık moment kapasitesi hesabı ………..…. 83
Tablo 10.26: A Blok 2. Kat B94 kirişi gevrek kırılma kontrolü ..………. 84
Tablo 10.27: A Blok 1. Kat B94 kirişinin iki ucunun alt ve üst kesit moment kapasiteleri ………..………. 84
Tablo 10.28: A Blok 1. Kat B94 kirişinin iki ucundaki artık moment kapasitesi hesabı ………..…. 84
Tablo 10.29: A Blok 1. Kat B94 kirişi gevrek kırılma kontrolü ..………. 85
Tablo 10.30: A Blok 1. Kat C8 kolonu kapasite hesabı ………. 85
Tablo 10.31: A Blok 1. Kat C8 kolonu kesme kapasite kontrolü ……….. 87
Tablo 10.32: A Blok 1. Kat C8 kolonu kesme kapasite kontrolü ……….. 88
Tablo 10.33: TDY 2007 Yönetmeliğinde Minimum Hasar Sınırı için Etki/Kapasite Oranları ………...……….. 89
Tablo 10.34: A Blok C8 kolunu için RSX, RSEX,RSY,RSEY,SPX,SPEX,SPY, SPEY,THX,THY analizleri performans karşılaştırması …………... 89
Tablo 11.1: A Blok X ve Y yönü burulma düzensizliği kontrolü ……….. 96
Tablo 11.2: B Blok X ve Y yönü burulma düzensizliği kontrolü ……….. 96
viii
Tablo 11.4: A Blok X ve Y yönü yumuşak kat kontrolü ………... 97
Tablo 11.5: B Blok X ve Y yönü yumuşak kat kontrolü ………... 97
Tablo 11.6: C Blok X ve Y yönü yumuşak kat kontrolü ………...… 98
Tablo 11.7: A Blok X ve Y yönü ikinci mertebe kontrolü ……… 98
Tablo 11.8: B Blok X ve Y yönü ikinci mertebe kontrolü ……… 99
Tablo 11.9: C Blok X ve Y yönü ikinci mertebe kontrolü ……… 99
Tablo 11.10: A Blok X ve Y yönü göreli kat ötelemesi kontrolü ………... 100
Tablo 11.11: B Blok X ve Y yönü göreli kat ötelemesi kontrolü …………...… 100
Tablo 11.12: C Blok X ve Y yönü göreli kat ötelemesi kontrolü …………...… 101
Tablo 11.13: A Blok 1. Kat B95 kirişinin iki ucunun alt ve üst kesit moment kapasiteleri ………..………. 101
Tablo 11.14: A Blok 1. Kat B95 kirişinin iki ucundaki artık moment kapasitesi hesabı ………..…. 102
Tablo 11.15: A Blok 1. Kat B95 kirişi gevrek kırılma kontrolü ...………. 102
Tablo 11.16: B Blok 2. Kat C141 kolonu kapasite hesabı ………...……… 103
Tablo 11.17: B Blok 2. Kat C141 kolonu kesme kapasite kontrolü ……… 103
Tablo 11.18: A Blok C8 kolunu için RSX, RSEX,RSY,RSEY,SPX,SPEX,SPY, SPEY, THX,THY analizleri performans karşılaştırması ………… 104
Tablo 11.19: A Blok X ve Y yönü burulma düzensizliği kontrolü ……….. 108
Tablo 11.20: B Blok X ve Y yönü burulma düzensizliği kontrolü ……….. 108
Tablo 11.21: C Blok X ve Y yönü burulma düzensizliği kontrolü ……….. 108
Tablo 11.22: A Blok X ve Y yönü yumuşak kat kontrolü ………...… 109
Tablo 11.23: B Blok X ve Y yönü yumuşak kat kontrolü ………...… 109
Tablo 11.24: C Blok X ve Y yönü yumuşak kat kontrolü ………... 109
Tablo 11.25: A Blok X ve Y yönü ikinci mertebe kontrolü ……… 110
Tablo 11.26: B Blok X ve Y yönü ikinci mertebe kontrolü ……… 110
Tablo 11.27: C Blok X ve Y yönü ikinci mertebe kontrolü ……… 111
Tablo 11.28: A Blok X ve Y yönü göreli kat ötelemesi kontrolü ……… 111
Tablo 11.29: B Blok X ve Y yönü göreli kat ötelemesi kontrolü ……… 112
Tablo 11.30: C Blok X ve Y yönü göreli kat ötelemesi kontrolü ……… 112
Tablo 11.31: B Blok C142 kolunu için RSX, RSEX,RSY,RSEY,SPX,SPEX,SPY, SPEY,THX,THY analizleri performans karşılaştırması …….……. 113
Tablo 12.1: A ve B blok güçlendirme yapılmamış, Sürtünme söndürücü ve Sürtünme plakası kullanılan binanın kiriş kesme değerleri ……… 117 Tablo 12.2: A Blok X Yönü güçlendirme yapılmamış, Sürtünme söndürücü ve Sürtünme plakası kullanılan binanın deplasman, düzensizlik kontrolü 120 Tablo 12.3: A Blok Y Yönü güçlendirme yapılmamış, Sürtünme söndürücü ve Sürtünme plakası kullanılan binanın deplasman, düzensizlik kontrolü 120 Tablo 12.4: B Blok X Yönü güçlendirme yapılmamış, Sürtünme söndürücü ve Sürtünme plakası kullanılan binanın deplasman, düzensizlik kontrolü 121 Tablo 12.5: B Blok Y Yönü güçlendirme yapılmamış, Sürtünme söndürücü ve Sürtünme plakası kullanılan binanın deplasman, düzensizlik kontrolü 121
ix SĐMGELER
A : Alan
Ao : Etkin yer ivmesi A(T) : Spektral ivme katsayısı Ae : Etkili kesme alanı
Ag : Kattaki perde kesme alanı Ak : Kattaki duvar kesme alanı Aw : Kattaki kolon kesit alanı ax : X yönü çıkıntı uzunluğu ay : Y yönü çıkıntı uzunluğu b : Kiriş gövde genişliği c : Sönüm oranı
d : Katlar arası yer değiştirme, kiriş ve kolonun faydalı yüksekliği E : Enerji, Elastik modül
f : Kuvvet vektörü F : Kuvvet
g : Sismik yer kuvveti G : Modül
h : Kat yüksekliği hk : Kiriş yüksekliği I : Bina önem katsayısı i : kat
k : Rijitlik K : Rijitlik matrisi
L : Kolon, kiriş, çubuk uzunluğu Lx : X yönü bina uzunluğu Ly : Y yönü bina uzunluğu m : Kütle
M : Kütle matrisi
Ma : Kolon ve kirişlerin artık moment kapasitesi Md : Düşey yüklerden oluşan moment
Me : Kolonlarda deprem kuvvetinden dolayı oluşan moment Mk : Kolon ve kiriş moment kapasitesi
n : Hareketli yük katılım katsayısı N : Toplam kat sayısı
Nd : Deprem hesabında esas alınan toplam kütlelerle uyumlu düşey yükler altında kolonlarda oluşan eksenel kuvvet
Ne : Kolonlarda deprem kuvvetinden oluşan eksenel kuvvet
Nk : Mevcut malzeme dayanımları ile hesaplanan moment kapasitelerine karşı gelen eksenel kuvvet
P : Yük
r : Etki/Kapasite oranı
x
Ra : Taşıyıcı sistem azaltma katsayısı rhs : Etki/Kapasite oranının sınır değeri S(T) : Spektral ivme katsayısı
t : Zaman T : Periyod u : Vektör v : Hız
Vdy : Kolon ve kirişlerde düşey yüklerden oluşan kesme kuvveti Ve : Kolon ve kirişlerde esas alınan tasarım kesme kuvveti Vr : Kolon, kiriş kesme dayanımı
Vt : Taban kesme kuvveti
W : Binanın hareketli yük katsayısı kullanılarak bulunan toplam ağırlık x : deplasman
xr : Rölatif deplasman vektörü
z : Yapının tepkisi ile eklenen kütlenin ağırlık merkezi arasındaki mesafe
∆F : Đki kat arasındaki fark kuvveti
λ : Eşdeğer deprem yükü azaltma katsayısı ∆ : Azaltılmış göreli kat ötelemesi
ηb : Burulma düzensizliği ηk : Rijitlik düzensizlik katsayısı θ : Đkinci mertebe değeri δ : Etkin göreli kat ötelemesi µ : Sürtünme katsayısı ω : Frekans
Γ : Söndürücü matrisi ζ : Sönümleme oranı Ø : Mod şekil vektörü Ɛ : Şekil değiştirme σ : Gerilme
τ : Deformasyon gerilmesi, kesme gerilmesi α : Pozitif faktörü β : Azaltma faktörü γ : Kesme kuvveti Alt indisler A : Spektral sınır değeri b : Büyük bina B : Spektral sınır değeri el : Elastik
g : Sismik yer kuvveti in : Đnelastik k : Küçük bina K : Kinetik n : Nominal o : Başlangıç durumu r : Rot
xi s : Yay t : Teğetsel v : Viskoz sıvı w : Gövde y : Akma yf : Çerçeve akma Kısaltmalar
TDY2007 : Deprem Bölgesinde Yapılacak Binalar Hakkında Yönetmelik TS500 : Türk Standardı
HK : Hemen kullanım
BF : Güçlendirilmemiş çerçeve
FD : Sürtünme söndürücü kullanılan çerçeve FP : Sürtünme plakası kullanılan çerçeve
THKG : Kuzey-Güney yönünde yapılan zaman tanım analizi THKG : Doğu-Batı yönünde yapılan zaman tanım analizi
xii
TĐP OKUL BĐNALARININ PERFORMANS ANALĐZĐ, SÜRTÜNME SÖNDÜRÜCÜLER ve SÜRTÜNME PLAKALARI ile
GÜÇLENDĐRĐLMESĐ
Burcu TĐRALĐ
Anahtar Kelimeler: Sismik dizayn, enerji azaltımı, pasif söndürücüler, sürtünme
söndürücüler, sürtünme plakaları, performans analizi, güçlendirme.
Özet: Bu çalışmada sismik dizayn ve bunun için kullanılan basit prensipler, analiz
metodları, tepki davranışları, pasif enerji söndürücü sistemlerin çalışma prosedürleri ve tasarım ilkeleri anlatılmıştır.
Tezin ana konusu ise, TDY2007 ve TS500 yönetmelikleri kapsamında, tip okul binasının ETABS programında modellenerek deprem performansını incelemektir. Bu performansa dayanılarak, yapının sismik performans kontrolü sürtünme söndürücüler ve sürtünme plakaları kullanılarak güçlendirilmiştir. Bu çalışmada, lineer analiz ve 17 Ağustos 1999 Đzmit deprem kaydı ile zaman tanım alanında analizler yapılmıştır.
Çıkan sonuçlar neticesinde; Sürtünme söndürücü elemanların yapıda kullanılması ile birlikte yapı elemanların üzerine etkiyen kuvvet artarak, rijitlikleride artmıştır. Bu artış çatı katında % 200 -% 60 arasında, zemin katta ise % 20 - % 6 oranındadir. Sürtünme Plakalarında çıkan sonuçlar çatı katında % 30, zemin katta % 30 - % 40 arasında değerlerde azalmaktadır. Buna ek olarak söndürücü kullanıldıktan sonra B Blokta 7 kolon gevrek hasar almıştır. Bazı kirişlerde yine kesme sınırının aşıldığı görülmüştür.
Genel olarak rijitlik değerleri sürtünme plakaları kullanıldığında azalmakta, buna mukabil sürtünme söndürücülerde bu değerler binanın güçlendirme yapılmadan önceki durumundan çok daha fazla çıkmaktadır. Buna ek olarak söndürücü kullanıldıktan sonra B Blokta 7 kolon gevrek hasar almıştır. Bazı kirişlerde yine kesme sınırının aşıldığı görülmüştür. Sonuç olarak sürtünme söndürücülerin kullanılmasında son derece dikkatli olunması gerektiği ortaya çıkmıştır. Çünkü yapıda istenilmeyen hasarlara neden olduğunu kanıtlamıştır.
Sönürücü plakalarının çalışma prensibinde yapının rijitliği arttırılmadan, sadece deplasman değerleri kontrol edilmek istenmiştir. Deplasman sonuçları değerlendirildiğinde, pasif söndürücü ve sürtünme plakaları kullanılan her iki sisteminde başarılı olduğu tespit edilmiştir. Sürtünme plakası kullanılan sistemlerin burulma düzensizliği değerleri, bu düzensizlik sınır değerlerinin çok altında kalmaktadır. Ancak sürtünme söndürücü kullanılan B Blok normal katlar için Y yönünde yapılan analizlerde; bu düzensizlik sonuçları sınır değerlerini aşmıştır.
xiii
PERFORMANCE ANALYSIS of TYPE SCHOOL STRUCTURE, REINFORCEMENT with FRICTION DAMPERS and FRICTION PLATES
Burcu TĐRALĐ
Key Words: Seismic design, energy dissipation, passive energy dampers, friction
dampers, stoppers, performance analysis, reinforcement.
Abstract: In this study, seismic design and working prosedures and design principles
of passive energy dampers, principles, analysis methods, response behaviours of such design are evaluated.
The main issue studied in this thesis is to evaluate the earthquake performance of the type school structure modeled in ETABS program in accordance with the TDY2007 and TS500 directives. Based on this performance, The building was reinforced by using friction dampers and stoppers in order to control the seismic performance. In this study, linear analysis and the time identification with 17 august 1999 Đzmit earthquake record were performed.
Conclusion: In this study, it was recorded that the rigidity limits of the building elements are increased by means of the increased force by using the friction dampers. The increase occurred from 60% to 200% on the top floor and from 6% to 20% on the ground floor. The range concerning the stoppers recorded as 30% decrease for top floor and from 30% to 40% for ground floor. In addition to that, brittle damage occurred on 7 columns in block B following the usage of dampers. Sheer force limits were also exceeded on some beams.
In general, the rigidity values decrease after using stoppers; on the other hand; when the building was reinforced by using friction dampers; those values are recorded much higher than the values before the reinforcement of the building. Additionally, brittle damage occurred on 7 columns in block B following the usage of dampers. Sheer limits were also exceeded on some girders. Finally it was recorded that friction dampers should be handled with maximum care as it may cause undesirable damages on the building.
The working principle of stoppers is to control the displacement values without increasing the rigidity of the building. As a result of performance evaluation, it was recorded that the results for both systems for which the passive energy dampers and friction stoppers used are satisfactory. Torsion disorder values of the systems with friction stoppers are remarkably under the value limit. However, in the analysis performed in Y direction, the Tensional disorder values are over the top limits for the standard flats of block B.
1 1. GĐRĐŞ
Yapıların ömürleri boyunca en büyük etkiler genelde deprem ile oluşmaktadır. Ülkemiz alanının % 92’ si, nüfusün % 95’ i sismik hareketler açısından oldukça aktif bir bölgede yer almaktadır[1]. Bu durum göz önüne alındığında sismik kontrol büyük bir önem arz etmektedir. Son yılların oluşmuş büyük depremleri örneğin; Erzincan, Türkiye, 1992 [2]; Bingol, Türkiye, 2003 [3]; Kobe, Japonya, 1995 [4].; Kocaeli ve Düzce, Türkiye, 1999 [5]; Loma Prieta, Amerika, 1989 [6] sonrasında, yapıların birçoğunun kötü performans gösterdiğini, bir çok araştırmadan anlıyoruz. Oluşan can ve mal kayıplarının yanı sıra ülkelerin ekonomileri sarsılmış, tarihi eserleri zarar görmüş, şehirlerin yapısı, dokusu değişmiştir [7].
Bu çalışmada kamu (eğitim) yapısının ele alınmasındaki en önemli etken, bir afet sonrası afet yönetimi çerçevesinde ihtiyaç görülen barınma, korunma gibi yaşam mekanları olarak kısa süreli kullanılsa bile afet haricinde çok büyük insan nüfusunu ve hareketini içinde barındıran sosyal mekanlar olması gerçeğidir.
Sismik iyileştirme ve kontrol konusu on yedinci yüzyıla dayanmaktadır. Bu güne kadar yapıların; deprem, makine, rüzgar ve benzeri etkiler altında; sismik koruma teorileri hakkında büyük gelişmeler kaydedilmiştir [8]. Japonya ve Amerika gibi aktif fay hatları üzerinde olan ülkelerde, bu gibi birçok felaket sonrasında büyük oranlarda ölümler ve kayıplar yaşanmıştır. Bu nedenden sismik dizayn ve iyileştirme çalışmalarına büyük önem vermişlerdir [7].
Çalışmamızda ilk bölümde sismik dizayn, tarihsel gelişmeler sırası ile basit prensipler ve analiz metodlarından bahsedilmektedir. Modern yapı koruma ve kontrol sistemleri geniş bir alana yayılmıştır. Bunlar; izolatörler, pasif enerji söndürücüler (metal, sürtünme, viskoelastik, viskoz sıvı ve benzeri), aktif söndürücüler yada yarı aktif söndürücülerdir. Bölüm 3-7’ de tez çalışmasının konusu gereği pasif söndürücülerin çalışma prensipleri, tepki davranışları, tasarım kriterleri ve uygulama
2
çalışmalarına ayrıntılı olarak yer verilmiştir. Bölüm 8 de bir sonlu eleman analizi paketi (ETABS) yardımıyla oluşturulan nümerik modelin üretilmesi ve önemli parametreleri anlatılmıştır.
Tez çalışmasında ele alınan kamu binasının TDY 2007 yönetmeliğine göre performans analizi yapılmış. Yapılan analiz sonrasında güçlendirme yapılması gerekliliği ortaya çıkmıştır. Çalışmanın ana konusu, geleneksel güçlendirme metodları dışında sürtünme söndürücü ve sürtünme plakaları kullanılmasıdır.
Çıkan sonuçlar ışığında; her iki sistemde deplasmanların engellenmiş olduğu ortaya çıkmıştır. Ancak; sürtünme söndürücülerin kullanılmasında çok dikkatli olunması gerektiği bir kez daha kanıtlanmıştır. Çünkü hasar sınırları ve performans limitleri aşılmamak istenirken, bazı elemanların gevrek hasara alması dikkat çekicidir. Sürtünme plakalarının gösterdiği performans çok daha iyidir, sonuçlarını sürtünmeli söndürücüler ile mukayese ettiğimizde daha iyi olduğu görülmektedir. Bu kıyaslamalara tartışma ve öneriler kısmında yer verilmiştir.
3 1.1. Sismik Tasarım
Sismik tasarım, yapının deprem sırasında yatay kuvvete karşı koyarak, sistemin absorbe ve enerji söndürme özelliğini amaçlayan ve hedeflenen performans olarak gösterilmesidir.
Bunun yanında, çeşitli tarihi yada önem arz eden yapılar için sismik onarımda da sismik dizayndan bahsedilir. Burada önem verilmesi gereken unsurlar maliyet ve yapı için istenilmeyen mimari engellerdir.
Binalarda deprem koruma sistemi için sismik izolatörler yada enerji azalımı sağlayan söndürücüler kullanılabilir. Deprem esnasında belirli miktarda enerji yapıya etkir. Bu enerji kinetik ve potansiyel enerjiye çevrilir. Kinetik ve potansiyel enerjiye çevrilirken sistemde ısı olarak atılır.
Aşağıda basit bir enerji denklemi verilmiştir.
E = Ek + Es + Eh + Ed (1.1) E = Yapıya etkiyen deprem enerjisi
Ek = Kinetik enerji Es= Elastik deformasyon enerjisi Eh = Đnelastik deformasyon enerjisi
Ed = Sisteme yerleştirilen sismik söndürücünün etkidiği enerji Burada E, deprem hareketinden dolayı açığa çıkan enerjidir.
Enerji azaltımın da izolatörler, deplasmanı sınırlamada ve rezonansı engellemede kullanışlı elemanlardır. Ancak uzun periyotlu depremlerde, istenilen esnekliği sağlaması mümkün değildir. Bu nedenden söndürücü sistemler burada önemli rol oynarlar.
Bu sistemler, yapının yüksekliği boyunca enerji sönümlemek amacıyla; çubuk elemanlar ile birlikte yapıya yerleştirilen mekanik aletlerdir. Bu mekanizmalar dönme kapasitesini arttırdıkları gibi, yapının rijitlik ve dayanımını da arttırabilirler. Genelde, sismik söndürücüler yapıya uygulandığında dönme azalmakta, bunun sonucu sistemin aldığı hasarda azalmaktadır. Yapının sarf ettiği toplam enerji artmakta bu da, sistemin rijitliğinin ve dayanımını arttırdığını göstermektedir.
4
Şekil 1.1: Söndürücü Sistemlerin Kuvvet-Deplasman Eğrisindeki Etkisi [9] 1.2. Hareket Kontrol Sistemleri
Genelde, sismik izolatör ve sismik söndürücüler depremden dolayı yapıda oluşabilecek zararları azaltmak amacıyla kullanılır. Bunun dışında, sismik söndürücüler rüzgar ve diğer etkenler içinde dinamik tepkiyi azaltmada da kullanışlıdırlar.
Sismik söndürücüler içinde ikisi pasif ve aktif söndürücülerdir. Pasif kontrol sistemleri bir nokta üzerindeki kuvvete karşı hareket kontrolü sağlar.
Aktif kontrolde ise, ilk önce sensörler tarafından sismik kuvvetin büyüklüğü ve yönü değerlendirildikten sonra, bu gelen veriler doğrultusunda kontrol stratejisi (algoritma) uygulanır.[9]
5
Şekil 1.2: Pasif Söndürücü Sistemlerin Kontrol Akış Şeması [9]
6
2. BASĐT PRENSĐPLER ve ANALĐZ METODLARI 2.1. Yapılarda Elastik Deformasyon
Şekil 2.1 de gösterildiği üzere söndürücü sistemin çerçeveye yerleştirildiğini göz önüne alalım. Çerçeveye sismik kuvvet uygulandığında mekanizmanın bağlantı noktalarında hiçbir inelastik deformasyon oluşmadığı görülmektedir.
Burada sistemin enerji sönümünün, Şekil 2.1 de kuvvet-deplasman eğrisinden de anlaşılacağı üzere büyük ölçüde artmıştır.
Şekil 2.1: Elastik Deformasyon alan Yapılarda Söndürücüsüz ve Söndürücü Kullanılan Sistemlerde Kuvvet-deplasman Grafiği ve Artımsal Đtme Eğrisi [9]
7
2.2. Yapılarda Đnelastik Deformasyon Başlangıcı
Şekil 2.2 de sünek davranış kapasitesine göre dizayn edilmiş bir çerçeve gösterilmektedir. Şekilde de görüldüğü üzere bütün kolonlarda plastik mafsal oluşmuştur. Bu durumda oluşan kuvvet-deplasman eğrisi ideal eğriye benzemektedir. Ayrıca deprem kuvveti altında mafsallarında oluşmasıyla inelastik deformasyon başlamıştır.
Şekil 2.2: Đnelastik Deformasyon Başlangıcında Söndürücüsüz ve Söndürücü Kullanılan Sistemlerde Kuvvet-deplasman Grafiği ve Artımsal Đtme Eğrisi [9]
2.3. Yapılarda Plastik Deformasyon
Düşük yatay kuvvet uygulanarak, çerçevenin rijitlik ve sünekliliği geri dönemez şekilde dizayn edilen yapılarda; mekanizma ve çerçevede büyük ölçekli plastik mafsallar ve istenilmeyen deformasyonlar oluşur. Şekil 2.3 de plastik mafsalların kolonlarda oluşturduğu şekil değiştirmesi ve sönümleme kapasitesi az olan sistemin kuvvet-deplasman eğrisi görülmektedir. Bu şekil değiştirmeler geri döndürülemez seviyededir [9].
8
Şekil 2.3: Plastik Deformasyonda Söndürücüsüz ve Söndürücü Kullanılan Sistemlerde Kuvvet-Deplasman Grafiği ve Artımsal Đtme Eğrisi [9]
2.4. Dizayn ve Analiz Kriterleri 2.4.1. Enerji azalımı
Bir periyot harekette ne kadar enerji azaltılacağını hesaplamak ve analiz prosedürünü basitleştirebilmek içim sönümleme oranını hesaplamamız gerekmektedir. Sinusoid hareket denklemini ele alalım [10];
t x
x= 0sin
ω
(2.1) Söndürücünün bu harekete karşı gösterdiği tepki kuvveti F dır. Sürtünme söndürücü sistemde, mekanizmadan oluşacak tepki-şekil değiştirme ifade edilmiştir. Sıfır deplasmanda, , karakteristik kuvvettir. Her periyot da söndürülen enerji [10];9
Sürtünme esaslı mekanizmalarda f=1 ve metalik söndürücülerde f<1 olarak kabul edilir. Buradaki f değeri mekanizmanın karakteristik özelliğine bağlıdır.
2.4.2. Çaprazların etkisi
Enerji söndürücü sistemler genellikle yapıya çaprazlarla yerleştirilirler, bunlar diagonal ya da çapraz destekler olabilir. Şekil 2.4 de sıvı viskoz söndürücünün, çapraz desteklerle yapıda kullanılışı gösterilmektedir.
Şekil 2.4: Viskoz Söndürücünün Çaprazlar ile Birlikte Yapıda Kullanılış Şekli [9]
Yapının bu kat ve sırasında enerji azalımını; çapraz destekler ve sıvı viskoz söndürücü birlikte sağlar. Burada çaprazlar sonsuz rijit kabul edilir, söndürücü kuvveti absorbe eder. Üst kirişte rölatif hızı yan ve alt kirişlere aktarır. [9]
Lineer viskoz davranış;
x c F= v& (2.3) u c dt dF k c F v v v & &+ = (2.4)
10 2.5. Yapılarda Analiz Metodları
2.5.1. Genel formüller
Pasif söndürücü kullanılan yapıların dinamik yükler altında detaylı analizini yapabilmek için çeşitli formüllere ihtiyaç vardır.
Sonlu elemanlar metodu bu anlamda birçok genelleştirilmiş basit formül sunar. Teoride fiziksel olarak, her bir yapısal elemanın matematiksel olarak temsil edildiği, bir ya da daha fazla sonlu eleman aynı kütle, rijitlik ve sönümleme karakterine sahiptirler. Kiriş ve kolonlar tek yönlü eleman, perdeler ve döşemeler çift yönlü elemanlar olarak idealleştirilmişlerdir.
p x M M x x K x C x
M&&+ &+ +Γ =−( + )&&g+
M, C ve K sırasıyla kütle, sönüm oranı ve rijitlik matrislerini karşılamakta, Γ ise yapıda kullanılan pasif söndürücünün matrisini sembolize eder. vektörü; her bir serbestlik için rijit diyafram etkisindeki sismik yer ivmesini kapsar. P kuvvetten oluşan aerodinamik yükü içerir. M,C,K matrisleri sırasıyla, pasif söndürücünün kütlesini, sönümünü ve rijitliğini temsil eder.
Burada; pasif söndürücü, ivme, hız ve deplasman vektörlerinin direkt lineer fonksiyonu olarak modellenirse
Denklem 2.6 tekrardan düzenlenirse
p x M x K x C x
Mˆ &&+ ˆ&+ ˆ =− ˆ&&g+
M M Mˆ = + (2.8a) C C Cˆ= + (2.8b) K K Kˆ= + (2.8c)
Denklem (2.7) yapısal dinamik analiz probleminin klasik matris halini aldı. En sade haliyle, yapıya ait bütün katsayılar ve pasif söndürücü elemanlara ait sabitler aynı denklem içinde kullanılmış oldu [10].
(2.5) (2.6) (2.7) x K x C x M x= + +
11 2.5.2. Zaman tanım analizi
Yapısal analizde, en genel kabullerden biri de zaman tanım metodudur. Birçok metoda ve nümerik zaman integrasyonu da uygulanabilir, Newmark algoritması en çok seçilendir. Süreklilik ve kesinlik arasındaki dengeyi sağlamaktadır. Newmark algoritmasını uygulamaya başlarken, zaman ekseninde eşit aralıklarla ∆t kadar parçalara bölünür. Denklem (2.7) yeniden düzenlendiğinde
0 ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( = + + + t− t= g t t t t t t p x M x K x C x M x
g && & && (2.9)
0 ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( +∆ = +∆ + +∆ +∆ + +∆ +∆ + t+∆t− t+∆t= g t t t t t t t t t t t t p x M x K x C x M x
g && & && (2.10)
Zaman aralığında trapez kural uygulanırsa
) ( 2 t t t t t t x x t x
x+∆ = +∆ & +&+∆ (2.11a)
) ( 2 t t t t t t x x t x
x&+∆ =& +∆ && +&&+∆ (2.11b)
Formül (2.10) ve (2.11) birleştirilirse 0 ~ ~ ) ( t+∆t = t+∆t t+∆t− t+∆t= f x K x g (2.12) Burada
( )
ˆ 0 4 ˆ 2 ~ ~ 2 = ∆ + ∆ + = +∆ +∆ ∆ + M t C t K Kt t t t t t (2.13a)( )
t t t t t t t t t t t g t t x M x C M t x C t M t p x Mf && ˆ ˆ & ˆ&&
) ( 4 ˆ 2 ˆ 4 ˆ ~ 2 + + ∆ + ∆ + ∆ + + − = +∆ +∆ +∆ +∆ ∆ + (2.13b)
Newton – Raphson metodunun idealize edilmiş çözümü için
) 14 . 2 ( ) ( ) ( t t n t t n x f K +∆ ∆ = +∆
Denklem (2.14) deki her n i
terasyon teğet rijitlik matrisini etkiler ve kuvvet vektörü yeniden yazılırsa
) 15 . 2 ( ) ( ) ( a x g K t t n t t n ∆ + ∆ + ∂ ∂ =
12
(
( ))
(2.15 ) ) ( g x b f t t n t t n ∆ + ∆ + − =Deplasman denklemi (n) iterasyona uyarlandığında
) 16 . 2 ( ) ( ) ( x x x tn t t t n = ∆ ∆ + ∆ +
denklemi elde edilir. [9]
2.5.3. Mod birleştirme metodu
Genelleştirilmiş özdeğer problemini, çok dereceli sistemin sönümsüz serbest titreşimi ile düşünelim 0 ) ˆ ˆ ( 2 0 = −
ω
Mφ
K (2.17)ω
0 = Yapının sönümsüz doğal frekansıØ = Mod şekil vektörü
N adet şekil frekansı olduğunu varsayarak, bu durumda i= 1, 2,….N için
ω
0i ve Øiindislerini eklemeniz gerekir. Genellikle doğal frekans değerleri sırasıyla artarak çoğalır. ise en düşük değerdeki doğal frekanslardır.
≠ = = j i için j i için M j T i 0 1 ˆ
φ
φ
(2.18a) ≠ = = j i için j i için K oi j T i 0 ˆφ
ω
2φ
(2.18b)Notasyon uygulandığı için, doğal frekans diagonal matrisin içine yerleştirildi. Ø mod şekil vektörü, kare matrisin kolonlarını oluşturdu. Bununla birlikte rölatif deplasman vektörü aşağıdaki gibi yazılabilir.
x = Øy (2.19)
y ise koordinasyon vektörü
p y y y C
y&+
φ
Tφ
&+ω
=−&&g+φ
T& ˆ 02 (2.20)
g T
g Mx
y& &&
13
diagonal matristir.
yerine, viskoz sönümleme oranı yazılırsa;
(2.22)
(2.23) her bir i. mod için
(2.24)
Denklem (2.24) tek serbestlik dereceli sistemin formuna sahiptir, ve nümerik veriler ile kolayca çözülebilir. [9].
14 3. METAL SÖNDÜRÜCÜLER
3.1. Giriş
Metal Söndürücüler, yapıda deprem süresinde, söndürücüler içerisinde inelastik deformasyonların kontrolünde mevcut en efektif enerji söndürücülerinden biridir. Çerçeve çelik yapıların sismik dizaynlarında bilindiği üzere yüksek süneklilik düzeyini sağlayarak yapıya zarar vermeden ya da en az zararla sisteme etki eden enerjiyi azaltmada kullanılan etkili bir söndürücülerdir [11]. Şekil 3.1 de çeşitli metal söndürücü çeşitleri görülmektedir [13]. Şekil 3.1 a) Burulma Kirişi (torsional beam) b) Eğilme kirişi (flexural beam) ve c) U-profil (U-Strup).
Şekil 3.1: Metal Söndürücü Çeşitleri [13]
Özellikle efektif bir söndürücünün tasarımında, düzensiz zaman aralıklarında periyodik yükleme altında, histeretik davranışın tamamlanması beklenir. Bunun ardından yapının izolatör yerleştirilerek yapılan analizden kuvvet-deplasman ilişkisi incelenir. Ancak nonlineer dinamik analizde önem verilmesi gereken, metal söndürücülerin yapının en uygun sismik kontrolünü sağlayacak şekilde kalibre edilerek hesaplanması ve yerleştirilmesidir. Sonlu elemanlar metodu ile mimari açıdan düzensiz ve çok serbestlik dereceli karmaşık sistemlerin hesaplanması için birçok uygun çözüm algoritması bulunmaktadır [12].
15 3.2. Çalışma Prensipleri
3.2.1. Plastisite
Silindirik metal bir çubuğu göz önüne alalım, başlangıçta boyu Lo ve kesit Ao dır. Başlangıç koşullarındaki silindirik metal çubuk Şekil 3.2 de görülmektedir. Çubuğa yavaşça düzenli artan bir P yükü yüklenerek, gerilme-birim şekil değiştirme eğrisi Şekil 3.3 de gösterilmektedir. Bu diyagramda yatay eksen şekil değiştirme ε, düşey eksen ise nominal (düşük) gerilme
σ
no
larak çizilmiştir.) 1 . 3 ( ) 1 . 3 ( 0 0 0 b A P a L L L n= − =
σ
ε
Şekil 3.2: Eksenel Gerilmeye altında Silindirik Metal Çubuk [13]
16
Diğer bir taraftan, geçerli gerilme akma sınırını aştığında Şekil 3.3(a) Y olarak gösterilen nokta); elastik sınır geçilir; plastik deformasyon oluşur. B konumu göz önünde tutulursa en faydalı kısmın bu olduğu anlaşılabilir. Çünkü B konumunda malzeme hem elastik
(
ε
el),
hem de inelastik(
ε
in)
, olarak iki çeşit deplasmana sahiptir.ε
=
ε
el+
ε
in(3.2)
Ε =
σ
ε
el (3.3)Elastik modulü E olarak gösterilmektedir. O ve B noktalarında enerji lineer olarak artarak, geri döndürülebilir. M noktasına kadar malzeme alabileceği maksimum gerilmeyi karşılar. Bu noktaya geldikten sonra deformasyonda düzensizlik başlar ve X noktasında kopar.
Gerilme–Şekil değiştirme birçok metal için böyledir. Ancak fırınlanmış metallerde değişik davranışlar görülmektedir. Şekil 3.3(b) de görüldüğü üzere Yu noktasına kadar malzeme elastik davranmakta, akma sınırı aştığında YL noktasına kadar ani gerilme düşüşü gösterip bir müddet aynı seviyede şekil değiştirmektedir. Bu platoya Lüder Bandı da denir. Şekil 3.3(c) kırılgan metallerin davranışını simgelemektedir. Elbette bu tip metaller metal söndürücüler için uygun değildir.
Uzun yıllar boyunca, Gerilme-Şekil değiştirme enerjisinin ideal matematiksel modeli üzerine birçok çalışma yapılmıştır. En son yapılan modellemelerden biri Denklem 3.4 de açıklanmıştır. n E k E + =
σ
σ
ε
(3.4)E, k ve n malzeme sabitleri, Denklem (3.2) ve (3.3) kullanarak, lineer olmayan davranışı inelastik olarak kabul edelim. Buna karşılı alternatif olarak Denklem (3.5) yazılabilir [13]. n in k E / 1 =
ε
σ
(3.5)17
Şekil 3.4: Kuvvet-Gerilme Matematik Modeller; a) Elastik-Plastik, b) Elastik-Lineer Gerilme Sertleşmesi, c) Ramberg-Osgood [13]
3.2.2. Viskoplastisite
Oda şartlarında bir çelik için ortalama yük uygulandığında, buna karşılık olarak plastik akma oluşacaktır. Bu akmadaki ani artışlar uygulanan kuvvete ve zaman aralığına göre değişmektedir. Yüksek sıcaklık yada fazla yükleme altındaki söndürücüler için kayma ve gevşeme fenomeni göz önünde bulundurulması şarttır. Kayma davranışının oluşacağı durum; sabit gerilme altında zamanla kuvvetin artması devam eder. Gerilme Fenomeninin tanımı ise; sabit yükleme altında materyalin düzenli olarak gerilmesinin azalmasıdır. Metal söndürücüler ve modelleme konusuyla ilk ilgilenen kişilerden H.ÖZDEMĐR’ dır. Kayma teorisi için tek eksenli bir modelde elverişli davranış modeli olarak aşağıda verilmiştir [14].
n d b d E E − × × + =
σ
σ
σ
σ
τ
σ
ε
1 (3.6)ε
=Şekil değiştirmeσ
= Gerilmeσ
b=
Önceki gerilmeσ
d = Çekme gerilmesiτ
= Deformasyon gerilmesi18 3.2.3. Isı etkisi
Çelik yapıların dizaynında sıcaklık dikkat edilmesi gereken bir etkendir. Çeliğin metalik özelliğinden dolayı; yaklaşık olarak oda sıcaklığı sabit alınır. Bu nedenlerden binalarda yaygın olarak kullanılan bir özelliktir. Büyük deprem yükleri altında; Metal söndürücü kullanılan bir yapıda; yapının taşıyıcılarına fazla zarar vermeyecek şekilde; deformasyon inelastik düzeyde kalır. Burada karşılanan enerjinin büyük bir kısmı ısı enerjisi olarak değiştirilmektedir. Isı değişimindeki artış “ enerji dengesi ” göz önüne alınarak tahmin edilebilir. Söndürülen enerjinin ısı kaynağı olduğu ifade edilirse, taşıma ve ısı yayımı ile başka enerjiye yeniden dağıtılmış olur. Büyük ölçekli metal söndürücülerin tasarımın da, aletin mekanik özellikleri için sıcaklıktaki ani ve büyük değişimler iyi değildir [14].
3.3. Mekanik Modelleme
Örnek olarak, Şekil 3.5(b) de gösterilen üçgensel plak metal söndürücünün çalışma prosedürünü inceleyelim. Şekil 3.6 da görüldüğü üzere; N adet üçgen çelik plağın paralel olarak yerleştirilerek; kiriş ve çaprazlar ile etrafındaki kolonlara kurulur. Sonuç olarak bu konfigürasyonda, söndürücü öncelikle yanal kuvvet P ye karşı koyar. Burada ∆, P yükü altında plak başına oluşan deplasmandır. Basitleştirilmiş olarak; taban genişliği W0, eni h ve boyu L olan konsol üzerinde çalışılacaktır. P/N yükleme ile bir plağın üzerine etki eden kuvveti simgelemektedir. Geometrik ve idealleştirilmiş şekiller aşağıda gösterilmektedir.
Şekil 3.5: Metallik Söndürücüler; a) X-eklinde Plaka Söndürücüler , b) Üçgen Plaka Söndürücüler [13]
19
Şekil 3.6: Yapı Çerçevesinde Üçgen Plaka Söndürücünün Kullanımı [13]
Şekil 3.7: Üçgen Plaka Söndürücü için Matematik Model; a) Geometrik Tanımlama, b) Kiriş Đdealizasyonu [13]
Kuvvet-deplasman ilişkisini inceleyebilmek için söndürücünün sonsuz küçük parçalara ayrıldığını düşünelim. Bu durumda Euler-Bernoulli kiriş teorisini kullanabiliriz. Deformasyondan sonra kesitler dik kalırlar, ancak artık paralellik yoktur. Her bir kesit için eğilme momentini yazarsak;
∫
+ − − = − /2 2 / ) ( ) ( h h y y o d L x L w x L N Pσ
(3.7)20
Đki taraftan da (L-x) ifadelerini çıkarırsak. Gerilmenin konsolun uzunluğundan bağımsız olduğu görülür. Ardından tek yönlü elastik ilişki uygulandığında;
σ = Eε (3.8a)
Kinetik şart
ε
=
ky (3.8b)Konsolun rijitliğinde hesaplanırsa
) 8 . 3 ( 2 2 c L K= ∆
Denklem (3.8a), (3.8b) ve (3.8c) Denklem (3.7) içine katılarak kuvvet-deplasman modeli bulunur [13]. ) 9 . 3 ( 6 3 3 0 ∆ = L h NEw P
Kuvvet-deplasman ilişkisinden yararlanılarak H.ÖZDEMĐR genel uygulanabilir bir formül geliştirmiştir. Bu yaklaşımda, söndürücülerde sıklıkla uyguladığı viskoplastisite prensibinden yararlanmıştır.
) 10 . 3 ( ) 10 . 3 ( 0 0 0 0 0 b F B F x k B a F B F x k x k F n n − = − − = & & & & &
α
F = Söndürücünün tepki kuvveti x = DeplasmanB = Bir önceki dış kuvvete karşı oluşan iç kuvvet
ko, Fo, n ve α ise söndürücü sabitleridir.
21 3.4. Tasarım Kriterleri
Sürtünme söndürücüleri yapısal sistemlerde kullanabilmek için, teorik ve deneysel çalışmalara dayalı dizayn faktörleri ve prosedürlerine ihtiyaç vardır. Xia ve Hanson (1992) tasarım kriterlerini formüle edebilmek için parametrik sayısal araştırması ADAS üzerine çalışmışlardır. Đlk olarak elastik rijitliği Kd , akma deplasmanı Dy , belirlenerek önemli yapısal parametreler tanımlanmış oldu. B/D parametresi; çaprazların rijitliği Kb’ nin söndürücünün rijitliği Kd’ nin oranı olarak gösterilmektedir. SR ise söndürücü kullanılan yapının rijitliği Kf ‘in oranıdır. Bu nedenden B/D ve SR parametreleri söndürücü kullanılan yapının sabitleri olarak alınabilir, Kd ve Kb ise Kf ‘in her katındaki oranları olarak seçilir.
Bu yaklaşımla yola çıkarsak Tsai et al; yapısal dizayn için TADAS söndürücüyü geliştirmiştir. TADAS söndürücüde akma deplasmanı ∆y, söndürücüsüz yapının çerçeve deplasmanı ∆yf olarak alınır. Bu konu üzerinde çalışmış araştırmacıların açıklamasıyla; dizayn prosedürü ana başlıkları ile aşağıdaki sırayı izler
1) Yapının tasarımında dikkate alınacak deprem yükü belirlenir.
2) Çerçevenin hakim periyodu göz önüne alınarak uygun bir SR değeri seçilir.
3) Her katın yanal rijitliği kf ve akma deplasmanı ∆yf söndürücüsüz yapının oranlarına göre hesaplanır.
4) TADAS ve çaprazların toplamının rijitlikleri bulunur.
Ka = (SR)Kf (3.11) ve TADAS akma deplasmanı
[
]
) 12 . 3 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( 1 ) ( 1 − + + + ∆ + = ∆ U SR SR SR yf yα
α
SR, a ve U seçilen değerlerin parametreleri, Dy ve Kd değerleri her kat için hesaplanır. ) 13 . 3 ( a b b a d K K K K K − =
22
5) Eşdeğer deprem yükü yöntemi ile TADAS söndürücü kullanılan yapı, çeşitli deprem yükleri altında çözümlenir. 3. ve 4. Adımlar tekrar edilerek dizayn gereklilikleri belirlenir.
6) Performans analizi yöntemi ile bütün elemanlar kontrol edilir. En son olarak söndürücüye gelen kuvveti 1.5P olarak alırsak;
L h w N P y 4 2 0
σ
= (3.14) Yukarıda bahsedilen metotlar; kısa süreli yada yaklaşık elle hesaplanabilecek; çeşitli zaman aralıklarında elastik analizler üzerine başvurulan hesaplamalardır. Bununla birlikte; farklı metal söndürücülerin kullanımı komplike yapılar, detaylı sismik analizler; daha karmaşık çözüm süreçlerini de beraberinde getirmektedir. Söndürücü ve yapıların matematiksel modellemelerinde realist yaklaşımlar giderek hız kazanmış, buna paralel olarak yapısal tasarım problemlerinin çözümünde gerekli olan bilgisayar yazılımları da yeniden şekil değiştirmektedir. Buna bağlı olarak pasif söndürücü sistemlerin, yapılar ile ilgili tasarım kriterleri üzerindeki çalışmalar devam etmektedir [13].23 3.5. Yapısal Uygulamalar
Yapısal sistemler içerisinde metalik söndürücülerin ilk uygulama örnekleri Yeni Zelanda ve Japonya’ dadır.
Bu çalışmada verilecek örneklerden ilki, Meksika’ da altı katlı, 1970 yılında yapılmış ve 1985 depreminde hasar almış, Kardiyoloji hastanesi güçlendirmesidir. Toplam 90 ADAS söndürücü ile 18 dış payanda bir araya yerleştirilerek betonarme çerçeve binanın sismik güçlendirmesi yapılmıştır. Şekil 3.9 de yapının ön cephesinden payandalar yerleştirilmiş hali bulunmaktadır. Belirli ve doğru tasarım, hastanenin güçlendirilmesi sırasında minimum çalışma süresini sağlamıştır. Payanda ve ADAS söndürücülerin kurulması ile taban kesme ve kat dönmesi azalmıştır [15].
Şekil 3.9: Meksika’ da Kardiyoloji Merkezinde Kullanılan Söndürücü Uygulaması [15] Metalik söndürücü kullanılarak güçlendirme yapılan San Fransisko’ daki Wells Fargo Banka binasıdır. Bu bina iki katlı sünek olmayan betonarme çerçeve bir yapıdır. 1967 yılında inşaa edilmiş, sonrada 1989 Loma Prieta depreminde hasar görmüştür. Yapının güçlendirilmesinde çapraz destekler ve ADAS söndürücü elemanları kullanılmıştır. Şekil 3.10 da ikinci katın güçlendirme detayı olan plan bulunmaktadır.
24
Şekil 3.10: Wells Fargo Banka Binasının Güçlendirme Planı [16]
Güçlendirme aşamasında lineer ve nonlineer analizin ikisi de yapılmıştır. Örnek olarak Şekil 3.11 de yapının 3 boyutlu modeli, elastik mod ve tepki spektrum analizinin SAP90 programında çözümlenmiş sonucu gösterilmektedir.
25
Şekil 3.12 ise DRAIN-2D nonlineer zaman tanım alanı analizi ilse son dizaynın; güçlendirme öncesi ve sonrası tepkileri karşılaştırılmaktadır [16].
Şekil 3.12: Analiz Sonuçlarının Karşılaştırılması [16]
26
4. SÜRTÜNME SÖNDÜRÜCÜLER
4.1. Giriş
Kinetik enerjiyi ısı enerjisine dönüştüren; sürtünme söndürücü efektif, güvenilir, ekonomi ve kullanımı yaygın olan bir mekanizmadır. Yapısal titreşim kontrolünde; sürtünme mekanizması; enerji tüketiminde söndürücülerin geliştirilmesi için kullanılmaktadır. Rölatif harekete sahip iki yüzey kuru sürtünme ile enerjiyi birbirine aktarırlar [17].
1980’ lerin başında, Pall ve Marsh pasif sürtünme söndürücülerin basit modellemesi üzerine çalışmış ilk araştırmacılardır [12]. Đlerleyen araştırma yılları süresince sürtünme söndürücülerin birçok çeşidi geliştirilmiştir. Şekil 4.1 de farklı sürtünme söndürücü çeşitleri görülmektedir.
a) Bulonlu-Sınırlı Kayma Modülü(Limited Slip Bolted Joint) = LSB, Pall et al. tarafından 1980’ de geliştirilmiştir. Şekil 4.1a de gösterilmektedir. LSB geniş panel yapıların sismik kontrolü için tasarlanmıştır. LSB’ nın dizaynı; iki çelik panel arasına bağlayıcı plak yerleştirerek; kuvvet-deplasman tepkisini kontrol altına almaktır.
b) Çapraz Kuşaklı Sürtünme Söndürücü = 1982 yılında Pall ve Marsh tarafından tasarlanmıştır. Çok daha fazla efektif ve yaygın olan özel sürtünme söndürücülerdendir. Bu alet söndürücü panel ile birlikte kullanılmaktadır. X-braced sistemde çaprazlar, düşük basınç yüklemesi altında, burkulmaya çalışacak şekilde dizayn edilmiştir. Böylece çaprazlar çekmeye katkı sağlayacaktır. Mekanizma, burkulan çapraz ve zorlanmış deplasman düzelmeye eğilim gösterir.
27
Şekil 4.2: Sürtünme Söndürücü Çeşitleri; a) Bulonlu-Sınırlı Kayma Modülü, b) Çapraz Kuşaklı Sürtünme Söndürücüc) Sumitoma Sürtünme Söndürücü
28
c) Sumitoma Sürtünme Söndürücü = Sumitoma Metal Endüstri şirketi tarafından üretilen tek yönlü söndürücü sofistike bir dizayndır. Önceden sıkıştırılmış yay ile, iç ve dış kamalar arasındaki sürtünme yastığı sayesinde, söndürücüye etkiyen kuvvet tüketilmektedir. Sürtünme yastığı ile çelik iç kama arasındaki sürtünme Katsayısı arasındaki oran yağlanmış grafit tapa ile korunur. Frekans aralığı, periyot ve ısı etkilerine duyarlılık göstermez.
d) Karşı Enerji Azalımı = Energy Dissipating Restraint (EDR) Flour Danial Inc. Firması tarafından tasarlanmıştır. Sumitomo söndürücüye benzemekle birlikte, iç yay ve çelik silindir kaplamaya sahiptir. EDR söndürücüde yay kuvvetinin silindir duvarlara baskı yaparak üzerine etkiyen enerjiyi sönümlendirmesi için çelik baskı bronz sürtünme kamaları kullanılır. Sürtünme yüzeyi; bronz kenar ve çelik silindirler arasındaki ara yüzeylerle şekillendirilmektedir [14].
4.2. Çalışma Prensipleri
Üç boyutlu sürtünmenin basit teorisi dikdörtgen bloğun düzlemsel kayma deneylerinden de anlaşılabilir;
• Toplam sürtünme kuvveti bağlantı yüzeyinden bağımsızdır.
• Toplam sürtünme kuvveti ara yüzeyler boyunca etkiyen normal kuvvet ile orantılıdır.
• Düşük hız altındaki kaymada, toplam sürtünme kuvvetinin hıza bağlı olmadığı kabul edilir [14].
Sonuç olarak bu varsayımda, kayma başlangıcı yada kayma sürecinde aşağıdaki denklemler yazılabilir.
F = µN
(4.1) F ve N, sırasıyla sürtünme ve normal kuvveti,µ
sürtünme katsayısını simgeliyor. Bu nedenden kayma anında sürtünme katsayısının, kayma sürecindeki sürtünme katsayısından biraz daha yüksek olduğu sıkça gözlemlenen bir durumdur. Sürtünme katsayısı statik (µ
S) ve kinetik (µ
K) katsayılar olarak ayrılmaktadır. Her iki durumdada sürtünme kuvveti F; harekete karşı yönde; teğetsel olarak hareket etmektedir.
Daha genel koşullar için bu teoriyi düzenlememiz gerekirse,non-uniform etki ya da non-planar düzlemlerde düşünürsek, sonsuz küçük parçaları ele alalım. Böylece;
29
toplam kuvvet yüzeysel çekme ile yer değiştirir ve Formül (4.1)’in genelleştirilmiş hali
τ
t= µτ
n(4.2)
bu koşullarda teğetsel çekme =
τ
t ve normal çekme =τ
n dir. Doğru dizayn için, göz önüne alınması gereken düşük seviyedeki gerilmeleri de içine kattığından yararlı bir form oluşturur. Dikkat edilmesi gereken Denklem 4.2 düzlemsel bağlantı alanını ve Denklem 4.1’ i birbiriyle bütünleştirmektedir.Coulomb sürtünme, sürtünme söndürücülerin çalışma prensibi ve teorik esasları ile ilgili birçok fikir sağlamaktadır. Ancak, sürtünme teorisinin çok basit bir yaklaşım olmadığı unutulmamalıdır. Coulomb teorisi pratikte doğru kabul edilir. Fakat Denklem (4.1) ve (4.2) de birleşim noktaları için belirlenen sürtünme katsayısı
µ
, genelde sabit kabul edilmesine rağmen gerçekte doğru değildir. Örneğin, mevcut kayma ara yüzeyinin koşulları altındaµ
değeri kayma materyalinden bağımsız seçilir. Yüzeyler birçok devam eden fiziksel ve kimyasal süreçten oluşmaktadır. Bu nedenden, Sürtünme katsayısı seçiminde, aslında bağlantı ara yüzeylerinin de daha fazla dikkate alınması zorunluluğu gözden çıkarılmamalıdır [13].Şekil 4.2 de tipik deneysel histerik davranışın 3 değişik davranışı gösterilmektedir. Şekil 4.2a kalıcı deformasyon oluşmamış ve yay kuvveti sıfır olan tepki simgelenmektedir. Üçgensel histerik döngü sonucunu söndürücünün deplasmanını veren kayma kuvvet oranını da içerir. Şekil 4.2b kalıcı yay kuvveti ve büyük deplasman davranışını gösteren standart Coulumb söndürücü bulunmaktadır. Sonuncusunda, Şekil 4.2c yamuk şekil histerik döngüyü içermektedir.
Şekil 4.2a deki durumu göz önüne alalım. Şekil 4.3 de gösterilen konfigürasyon da G1=0 olarak incelendiğinde; sıfır yay kuvvetinden dolayı mekanizma içerisinde kama ve kaplama arasında basınç ilişkisi yoktur. Ancak çekme yada basınç kuvveti uygulandığında; rijitliği ks olan yay ile birlikte ve sürtünme tepkisi oluşacaktır. Yay deplasmanı ∆s, söndürücünün toplam deplasmanı ∆, rot ve bağlantı elemanlarının deplasmanları ise ∆r olarak gösterilmektedir.
30
Şekil 4.2: EDR sistem için deney sonuçları [13]
Şekil 4.3: EDR ın Kesit Planı [13]
Rot ve bağlantı elemanlarının rijitliği K3 olursa,
P = k3∆r (4.4a) P = k1∆ (4.4b) Burada k1 kuvveti uygulandığı sırada mekanizmanın toplam efektif rijitliğidir. Bunun yanında, yay kuvveti:
Ps = ks∆s (4.5a) Kayma sırasında benzer sürtünme direnci aşağıdaki gibi yazılabilir;
Pf = αks∆s (4.5b)
α pozitif faktörü; yapılar birçok deney neticesinde geometri ve coulomb sürtünme etkisinde dikkate alınan katsayıdır.
