Bulanık prametreli esnek küme ortalamaları ve uygulamaları

FEN BLMLER ENSTTÜSÜ

YÜKSEK LSANS TEZ

BULANIK PARAMETREL ESNEK KÜME ORTALAMALARI VE UYGULAMALARI

rfan DEL Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dal Doç. Dr. Naim ÇA‡MAN

2010

FEN BLMLER ENSTTÜSÜ MATEMATK ANABLM DALI

YÜKSEK LSANS TEZ

BULANIK PARAMETREL ESNEK KÜME

ORTALAMALARI VE UYGULAMALARI

rfan DEL

TOKAT 2010

kurallarna uyuldu§unu, ba³kalarnn eserlerinden yararlanlmas durumunda bilimsel normlara uygun olarak atfta bulunuldu§unu, tezin içerdi§i yenilik ve sonuçlarn ba³ka bir yerden alnmad§n, kullanlan verilerde herhangi bir tahrifat yaplmad§n, tezin herhangi bir ksmnn bu üniversite veya ba³ka bir üniversitedeki ba³ka bir tez çal³mas olarak sunulmad§n beyan ederim.

mza

Yüksek Lisans Tezi

BULANIK PARAMETREL ESNEK KÜME ORTALAMALARI VE UYGULAMALARI

rfan DEL

Gaziosmanpa³a Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal

Dan³man: Doç. Dr. Naim ÇA‡MAN

Esnek küme teorisi, 1999 ylnda, Molodtsov tarafndan belirsizlik içreren problemlerle çal³mak için bir matematiksel araç olarak ortaya atld ve bu güne kadar bir çok alana ba³arl bir ³ekilde uyguland. Bu tez çal³masnda, öncelikle esnek küme ve bulank küme teorisi üzerine detayl bir literatür taramas yapldktan sonra, bulank parametreli esnek kümeler incelendi. Bu yeni küme teorisi üzerinde VEYA ve VE i³lemleri tanmland. Bu i³lemlere dayanarak esnek karar verme metotlar in³a edildi. Son olarak da, bu metotlarn uygulamas yapld.

2010, 57 sayfa

Anahtar kelimeler: Esnek küme, bulank küme, bulank parametreli esnek küme, T-norm i³lemleri, T-conorm i³lemleri, VEYA-ortalama, VE-ortalama, bulank

parametreli esnek ortalamalar, bulank esnek i³lemler, bulank parametreli esnek karar verme.

Master Thesis

MEANS OF FUZZY PARAMETERZED SOFT SETS AND ITS APPLICATIONS

rfan DEL

Gaziosmanpasa University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor : Assoc. Prof. Dr. Naim ÇA‡MAN

The soft set theory was produced by Molodtsov in 1999 as a mathematical tool for dealing with uncertainties and in resent years it is successfully applied to many elds. In this thesis, we introduced the soft sets and fuzzy set theories. We then introduced the fuzzy parameterized soft (fps) sets and their operations. Afterwards, we dened OR and AND operations. By using them, we set up soft decision making methods. Finally, we give an example which shows that it can be successfully applied to problems that contain uncertainties.

2010, 56 pages

Key words: Soft Sets, fuzzy set, fps-sets, T-norm operations, T-conorm operations, AND-means, OR-means, means of fuzzy parameterized soft sets, soft fuzzication operators, fps-decision makings.

payla³an saygde§er hocam Doç. Dr. Naim ÇA‡MAN'a minnettarl§m sunarm. Ayrca, kymetli zamann ve kirlerini esirgemeyen Prof. Dr. Oktay MUHTARO‡LU, Doç. Dr. E³ref ORUCOV, Ar³. Gör. Serdar ENGNO‡LU'a, Ar³. Gör. Serkan DEMRZ'e, Ar³. Gör. Hayati OL‡AR'a, Ar³. Gör. Mevlüt TUNÇ'a ve adn zikretmedi§im eme§i geçen di§er tüm hocalarma ve arkada³larma te³ekkür ederim. Zamanlarndan çalp mesle§imle geçirdi§im anlar, anlay³la kar³layan ba³ta annem ve babam olmak üzere tüm aile büyüklerime te³ekkürlerimi sunarm.

Bu tez, 2009/47 nolu Bilimsel Ara³trma Projesi olarak Gaziosmanpa³a Üniversitesi tarafndan nansal olarak desteklenmi³tir. Gaziosmanpa³a Üniversitesine verdi§i nansal destekten dolay te³ekkür ederim.

ÖZET . . . i ABSTRACT . . . ii TE“EKKÜR . . . iii 1. GR“ . . . 1 2. GENEL KAVRAMLAR . . . 4 2.1 Bulank Kümeler . . . 4

2.1.1 T-conorm ve T- norm i³lemleri . . . 6

2.2 Esnek Kümeler . . . 9

2.2.1 Esnek Küme ³lemleri . . . 14

2.3 Bulank Parametreli Esnek Kümeler . . . 21

2.3.1 Bulank Parametreli Esnek Küme I³lemleri . . . 21

3. BULANIK PARAMETREL ESNEK ARTMETK . . . 25

3.1 Bulank Parametreli Esnek Aritmetik . . . 25

4. BULANIK PARAMETREL ORTALAMALAR . . . 31

4.1 Bulank Parametreli Ortalamalar . . . 31

5. BULANIK ESNEK “LEMLER . . . 36

5.1 Mantksal Bulank Esnek ³lemler . . . 36

6. BULANIK PARAMETREL ESNEK KARAR VERME METOTLARI . . 38

6.1 VEYA-fps-karar Verme Metodu . . . 38

6.2 VE-fps-karar Verme Metodu . . . 38

7. UYGULAMALAR . . . 39 iv

8. SONUÇ . . . 43 KAYNAKLAR . . . 44

ÖZGEÇM“ . . . 48

Belirsizlik içeren problemlerle ba³a çkmak için ortaya atlan bir çok teori, güçsüz yanlarnn da etkisiyle zaman içinde önemini yitirerek, tercih edilmez hale geldi. Bu durum, yaknmalar, yaknmalar ise yeni teorilerin ortaya atlmas sonucunu do§urdu.

Belirsiz tipteki problemlerin çözümü için, aralk matemati§i, olaslk teorisi, bulank kümeler teorisi, yakla³ml kümeler teorisi, esnek kümeler teorisi gibi farkl teoriler geli³tirildi. Her bir teorinin güçlü oldu§u uygulamalar bulunmaktadr. Bu teoriler arasndan en göze çarpanlardan birisi, Zadeh (1965)'in bulank kümeler teorisidir. Bu teori hzla geli³mesine ra§men baz yapsal zorluklara sahiptir. Bir bulank küme onun üyelik fonksiyonu yoluyla tanmlanr. Molodtsov (1999)'a göre üyelik fonksiyonun do§asnn fazlasyla bireysel olmasndan dolay, her bir durum için bir üyelik fonksiyonu in³a etme zorlu§uyla kar³la³lr. Bu nedenle, üyelik fonksiyonu in³asndan ba§msz bir kümeler teorisine ihtiyaç vardr.

Esnek kümeler teorisi, Molodtsov (1999) tarafndan belirsizlikle ba³a çkmak için bir matematiksel araç olarak ortaya atld. Molodtsov (1999), sürekli diferansiyellenebilir fonksiyonlar, oyun teorisi, i³lem ara³trmalar, Riemann integrasyonu, Perron integras-yonu, olaslk, ölçüm teorisi vb. alanlarda esnek küme teorisini kullanarak, ba³arl çal³malar yapt (Baknz; Molodtsov (2001) ve Molodtsov (2004)).

Maji ve ark. (2002;2003), Pawlak (1982)'n yakla³ml küme teorisi yardmyla bir karar verme probleminde esnek kümelerin bir uygulamasn sundu ve esnek kümelerde baz i³lemleri tanmlad. Xiao ve ark. (2003) esnek küme temelli i³ rekabet kapasitesi için yapay bir hesaplama metodu üzerine bir çal³ma yapt. Yang ve ark. (2004), esnek kümeler ve yakla³ml kümelere dayal klinik te³hisin karar analizi ve indüksiyon ba³lkl bir çal³ma yapt. Chen ve ark. (2003;2005) ile Kong ve ark. (2008) esnek kümelerde parametre indirgemesi üzerine çal³malar yapt. Xiao ve ark. (2005) ile Pei ve Miao (2005), esnek tabanl bilgi sistemleri üzerine çal³malar sundular. Mushrif ve ark. (2006), esnek küme temelli snandrmalar üzerine bir çal³ma yapt.

Esnek kümelerin cebirsel özelikleri baz yazarlar tarafndan çal³lmaktadr. Akta³ ve Ça§man (2007) esnek gruplarn yeni bir tanmn vererek, baz temel özellliklerini elde etti. Jun (2008a) esnek BCK/BCI-cebirleri ve esnek altcebir kavramlarn ortaya atarak, onlarn baz temel özeliklerini türetti. Jun ve Park (2008b) esnek kümeleri BCK/BCI- cebirlerine uygulayarak, BCK/BCI-cebirlerinde esnek kümelerin cebirsel özeliklerini tart³t. Park ve ark. (2008), esnek WS-cebirleri üzerine bir çal³ma yapt. Feng ve ark. (2008) esnek küme teorisini kullanarak esnek halkalar çal³masn sundu ve ilgili baz özeliklerini inceledi. Sun ve ark. (2008) esnek modüllerin tanmn verdi. Ayrca modülleri ve Molodtsov'un esnek küme tanmn kullanarak baz temel özelikleri in³a etti. Zou ve Xiao (2008) eksik bilgi altnda esnek kümelerin veri analizi yakla³mn ortaya koydu. Bu yakla³mlar esnek kümelerde eksik verilerin mevcut durumlarn yanstmak için tercih edilebilir.

Engino§lu (2008) esnek kümeler ve esnek karar verme metodlar ad altnda bir yüksek lisans tezi ortaya koydu. Bu çal³mada esnek küme üzerine geni³ bir çal³ma yapldktan sonra esnek kümeler üzerine karar verme metodlar in³a edildi. Karar verme problemlerinde bu çal³madan yararlanlabilir. Ça§man ve ark. (2010) esnek matrisleri tanmlad ve baz temel özellliklerini incelediler.

Maji ve ark. (2001), bulank esnek kümeleri tanmlad. Daha sonra pek çok ara³trmac bulank esnek kümeler üzerine çal³malar yapt. Akta³ ve Ça§man (2007) esnek kümeleri, bulank kümeler ve yakla³ml kümelerin ilgili kavramlaryla kar³la³trd. Roy ve Maji (2007) bir karar verme probleminde bulank esnek kümelerin bir uygulamas üzerinde baz sonuçlar ortaya koydu. Yang ve ark. (2007) bulank esnek kümelerde indirgemeyi tanmlayarak, bulank esnek kümeler yoluyla bir karar verme problemini analiz etti. Majumdar ve Samanta (2008) bulank esnek kümelerde benzerlik ölçümünü ortaya att. Kong ve ark. (2008) ile Xiao ve ark. (2009), bulank esnek küme üzerine dayal baz yakla³mlar konu alan bir çal³ma yapt.

Molodtsov ve ark. (2006) tarafndan, esnek küme teorisi üzerine dayal bir analiz geli³tirerek, esnek say, esnek türev, esnek integral gibi kavramlar formüle edildi. Bu analiz, Kovkov ve ark. (2007) tarafndan optimizasyon teorisi ile ilgili problemlere

uyguland. “u anda, esnek küme teorisi ve onun uygulamalar üzerine yaplan çal³malar hzla geli³mektedir.

1999 ylnda karar verme problemleri Molodtsov tarafndan ortaya atldktan sonra, yakla³ml kümeler veya bulank esnek kümeler yardmyla karar verme problemleri üzerine birçok çal³ma yapld. Bu tez çal³masnda, öncelikle esnek küme teorisi üzerine detayl bir literatür taramas yapldktan sonra, Ça§man ve ark. (2010a) tarafndan tanmlanan bulank parametreli esnek kümeler incelenecek. Bulank parametreli esnek kümeler üzerinde daha detayl çal³malar yapabilmek için bu kümeler üzerine VE-T-norm, VEYA-T-norm, VE-T-conorm ve VEYA-T-conorm i³lemleri ve VE-ortala, VEYA-ortalama kavramlar tanmlanacak ve bunlarla karar verme metotlar in³a edilecek. Bu metotlar, verilen alternatierden en uygun olanlarn seçme problemlerinde kullanlacaktr. Son olarak, bu metotlarn karar verme problemleri üzerine iki uygulamas verilecektir.

Bu bölümde Zadeh (1965)'in bulank kümeler, Maji ve ark. (2002;2003)'nin ve Engino§lu (2008)'nun esnek kümeler ve Ça§man ve ark (2010a)'nn bulank parametreli esnek kümelerdeki temel tanmlar verildi. Ayrca, tanmlar kullanlarak bulank kümeler, esnek kümeler ve bulank parametreli esnek kümelerin temel özelikleri verildi.

2.1 Bulank Kümeler

Bu bölümde bulank küme teorisinin tez konumuz ile ilgili tanm ve sonuçlarn verdik. Tanm 2.1.1. U bir evrensel küme olsun. U üzerinde bir X bulank kümesi

µX : U → [0, 1]

fonksiyonu ile tanmlanr. Bu µX fonksiyonuna X bulank kümesinin üyelik fonksiyonu

denir.

µX(x)de§eri, x elemannn X bulank kümesine ait olmasnn derecesini temsil eder. O

halde U üzerinde bir X bulank kümesi a³a§daki gibi yazlabilir.

X = {(µX(x)/x) : x ∈ U, µX(x) ∈ [0, 1]}.

Not: U üzerindeki tüm bulank kümeler F (U) ile gösterilecek.

Tanm 2.1.2. X, Y ∈ F (U) olsun. Her x ∈ U için µX(x) ≤ µY(x)ise X, Y 'nin bir alt

kümesi yada X, Y tarafndan kapsanyor denir ve X ⊆ Y ³eklinde gösterilir.

Tanm 2.1.3. X, Y ∈ F (U) olsun. Her x ∈ U için µX(x) = µY(x)ise X ve Y esittir

denir ve X = Y ³eklinde gösterilir.

Tanm 2.1.4. X, Y ∈ F (U) olsun. O halde X ve Y 'nin kesi³imi X ∩ Y ile gösterilir ve bu kümenin üyelik fonksiyonu a³a§daki gibi tanmlanr.

µX∩Y = min{µX(x), µY(x)}

Tanm 2.1.5. X, Y ∈ F (U) olsun. O halde X ve Y 'nin birle³imi X ∪ Y ile gösterilir ve bu kümenin üyelik fonksiyonu a³a§daki gibi tanmlanr.

µX∪Y = max{µX(x), µY(x)}

Tanm 2.1.6. X ∈ F (U) olsun. O halde X'in tümleyeni Xc_{ile gösterilir ve bu kümenin}

üyelik fonksiyonu a³a§daki gibi tanmlanr.

µXc(x) = 1 − µ_X(x)

Önerme 2.1.7. X, Y, Z ∈ F (U) olsun. O halde a³a§daki özellikler geçerlidir.

i. X ∪ X = X, X ∩ X = X, ii. X ∪ Y = Y ∪ X, X ∩ Y = Y ∩ X, iii. (X ∪ Y ) ∪ Z = X ∪ (Y ∪ Z), (X ∩ Y ) ∩ Z = X ∩ (Y ∩ Z), iv. X ∪ (X ∩ Y ) = X, X ∩ (X ∪ Y ) = X, v. X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Y ), X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Y ), vi. (Xc₎c_{= X,} vii. (X ∪ Y )c_{= X}c_{∩ Y}c_{, (X ∩ Y )}c_{= X}c_{∪ Y}c_.

2.1.1 T-conorm ve T- norm i³lemleri

Bu bölümdeki temel bilgiler, Zimmermann (1993), Baykal ve Beyan (2004) dan alnm³tr. lk olarak T- norm ve T-conorm i³lemlerini verece§iz. Daha sonra özellikle bunlarn içerisinden bulank parametreli esnek aritmetik (cebirsel i³lem) adn verdi§imiz cebirsel i³lemleri metod halinde biraz açaça§z. T-norm klasik mantkta "ve" i³leminin T-conormda klasik mantkta "veya" i³leminin birer kar³l§dr. T-norm ve T-conorm i³lemleri bulank kümelerde modelleme arac olarak kullanlmaktadr ve bu modelleme araçlar sayesinde bir mantksal çkarm elde edilmektedir.

Tanm 2.1.8. A³a§daki dört özeli§i sa§layan T : [0, 1] × [0, 1] −→ [0, 1] fonksiyonuna T-norm i³lemi denir.

i. T (0, 0) = 0, T (µA(x), 1) = T (1, µA(x)) = µA(x), x ∈ X

ii. T (µA(x), µB(x)) = T (µB(x), µA(x))

iii. T (µA(x), µB(x)) ≤ T (µC(x), µD(x))e§er µA(x) ≤ µC(x)ve µB(x) ≤ µD(x)

iv. T (µA(x), T (µB(x), µC(x))) = T (T (µA(x), µB)(x), µC(x))

Not: Buradaki T fonksiyonu bulank kümelerde kesi³im i³lemine kar³lk gelir. T-norm i³leminin ilk ko³ulu klasik kümelere genelle³tirmeyi sa§lar, ikinci ko³ulu T-norm i³lemi sonucunun birle³tirilecek kümelerin sralamasyla de§i³medi§ini, üçünçü ko³ul A ve B üzerinde üyelik derecesinin azalmasnn i³lem sonucu olu³acak kümede üyelik fonksiyonu de§erinde bir art³a neden olmayaca§n, dördüncü özellik birle³meli oldu§undan ikiden fazla bulank kümenin üyelik derecesini hesaplanabilece§ini gösterir.

Tanm 2.1.9. A³a§daki dört özeli§i sa§layan S : [0, 1] × [0, 1] −→ [0, 1] fonksiyonuna S-norm (T-conorm) i³lemi denir.

i. S(1, 1) = 1, S(µA(x), 0) = S(0, µA(x)) = µA(x), x ∈ X

iii. S(µA(x), µB(x)) ≤ S(µC(x), µD(x))if µA(x) ≤ µC(x)ve µB(x) ≤ µD(x)

iv. S(µA(x), S(µB(x), µC(x))) = S(S(µA(x), µB)(x), µC(x))

Not: Buradaki S fonksiyonu bulank kümelerde birle³im i³lemine kar³lk gelir. Not: T-norm ile T-conorm arasnda bir dualite oldu§unu gösterebiliriz. Yani;

T (µA(x), µB(x)) = 1 − S(1 − µA(x), 1 − µB(x))³eklinde bir e³leme vardr. Bu yüzden

dönü³üm sayesinde T-norm'dan T-conorm elde edilebilir. Daha genel olarak bulank kümelerdeki tümleme i³lemi gibi uygun notasyondaki i³lemlerle; n(µA(x)) = 1 − µA(x)

olmak üzere genelle³tirilmi³ De'Morgan kural a³a§daki gibidir.

S(µA(x), µB(x)) = n(T (n(µA(x)), n(µB(x))))

ve

T (µA(x), µB(x)) = n(S(n(µA(x)), n(µB(x)))), x ∈ X

yi bilinen T-norm ve T-conorm dual çiftleri a³a§daki gibidir:

i. Zorlu çarpm: Tw(µA(x), µB(x)) =    min{µA(x), µB(x)}, max{µA(x), µB(x)} = 1 0, aksi durumlarda

ii. Zorlu Toplam:

Sw(µA(x), µB(x)) =    max{µA(x), µB(x)}, min{µA(x), µB(x)} = 0 1, aksi durumlarda iii. Snrl Çarpm: T1(µA(x), µB(x)) = max{0, µA(x) + µB(x) − 1} iv. Snrl Toplam: S1(µA(x), µB(x)) = min{1, µA(x) + µB(x)} v. Einstein Çarpm:

vi. Einstein Toplam:

S1.5(µA(x), µB(x)) = _1+µA(x).µBµA(x+µB(x)_(x)

vii. Cebirsel Çarpm:

T2(µA(x), µB(x)) = µA(x).µB(x)

viii. Cebirsel Toplam:

S2(µA(x), µB(x)) = µA(x) + µB(x) − µA(x).µB(x)

ix. Hamacher Çarpm:

T2.5(µA(x), µB(x))=_µA(x)+µBµA(x).µB(x)_{(x)−µA(x).µB(x)]}

x. Hamacher Toplam: S2.5(µA(x), µB(x))=µA(x)+µB(x)−2.µA(x).µB_{1−µA(x).µB(x)]} (x) xi. Minumum: T3(µA(x), µB(x)) = min{µA(x), µB(x)} xii. Maximum: S3(µA(x), µB(x)) = max{µA(x), µB(x)}

Bu i³lemler arasnda a³a§daki gibi bir ba§nt söz konusudur:

Tw ≤ T1 ≤ T1.5 ≤ T2 ≤ T2.5 ≤ T3

S3 ≤ S2.5 ≤ S2 ≤ S1.5 ≤ S1 ≤ Sw

T-norm ve T-conorm i³lemlerindeki A ve B, üyelik derecesi 0 ile 1 arasnda olan herhangi bir bulank kümedir. T-norm, min operatorü ve Tw operatorü tarafndan snrlandrlan

herhangi bir kesi³im i³lemidir. T-conorm, max operatorü ve Sw operatorü tarafndan

snrlandrlan herhangi bir birle³im i³lemidir.

Tw(µA(x), µB(x)) ≤ T (µA(x), µB(x)) ≤ min(µA(x), µB(x))

max(µA(x), µB(x)) ≤ S(µA(x), µB(x)) ≤ Sw(µA(x), µB(x)), x ∈ X

2.2 Esnek Kümeler

Bu bölümde esnek küme teorisinin temel kavramlar ve i³lemleri verilecek. Esnek kümeler için Molodtsov (1999;2001;2004;2007), Molodtsov ve ark. (2006), Engino§lu (2008). kaynaklarndan yararlanlm³tr

Tanm 2.2.10. U bir ba³langç evreni; P (U), U'nun kuvvet kümesi; E ba³langç evreninin elemanlarn niteleyen tüm parametrelerin kümesi ve A ⊆ E olsun. fA : E → P (U)ve e /∈ Aiçin fA(e) = ∅olmak ³artyla, a³a§daki sral ikililerden olu³an kümeye

(fA, E) = {(e, fA(e)) : e ∈ E, fA(e) ∈ P (U)}, (2.1)

U üzerinde bir (fA, E)esnek kümesi denir.

Burada, fA fonksiyonuna (fA, E) esnek kümesinin yakla³m fonksiyonu denir. Her e ∈ E_{, f}A(e)kümesine de e-yakla³m de§er kümesi veya e-yakla³m kümesi denir.

Esnek kümenin tanmna göre, bir (fA, E)esnek kümesi biçimsel olarak onun yakla³m

fonksiyonu olan fA'ya e³ittir. Biz herhangi bir esnek kümeyi onun yakla³m fonksiyonu

ile belirliyoruz ve bu iki kavram birbiri ile yer de§i³tirebilir olarak görüyoruz.

Ksalk için, bundan sonra (fA, E)notasyonu yerine FA notasyonunu kullanaca§z. fA

notasyonunda ki A alt indisi, fA'nn FAesnek kümesinin yakla³m fonksiyonu oldu§unu

gösterir.

Bir nesneler kümesi üzerinde esnek küme tanmlamak için, nesneleri karakterize eden özelikleri ifade etmek zorundayz. Birinci bile³ende parametre, ikinci bile³ende özeli§i sa§layan nesnelerin kümesi olacak ³ekilde yazlan sral ikililerle bir esnek küme olu³turulur. Di§er bir deyi³le bir esnek küme bu ³ekilde iyi tanml sral ikililerin bir koleksiyonudur. Örnek 2.2.11. U = {u1, u2, u3, u4, u5} nesnelerin kümesi, E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}

parametrelerin kümesi ve A = {e2, e3, e5, e6}, E'nin alt kümesi olsun. Kabul edelim ki

fA(e2) = {u2, u4}, fA(e3) = ∅, fA(e5) = {u1, u2} ve fA(e6) = {u2, u3, u5} ³eklinde

belirtilsin. O halde FAesnek kümesi

FA= {(e2, {u2, u4}), (e5, {u1, u2}), (e6, {u2, u3, u5)}

³eklinde yazlr.

Yukardaki gösterimlerin yansra, i³lenen verilerin daha rahat görülebilmesi için tablo yöntemi kullanlabilir. U bir evrensel küme, E tüm parametrelerin kümesi ve A ⊆ E olsun. U üzerinde bir FA esnek kümesi için, onun bilgi tablosu, i = 1, 2, ..., m ve j = 1, 2, ..., niçin ρfA : U × E → {0, 1} (hi, ej) → ρfA(hi, ej) =    1, hi ∈ fA(ej) 0, hi ∈ fA/ (ej)

yoluyla a³a§daki gibi elde edilir. ρfA e1 e2 . . . ej h1 ρfA(h1, e1) ρfA(h1, e2) . . . ρfA(h1, ej) h2 ρfA(h2, e1) ρfA(h2, e2) . . . ρfA(h2, ej) . . . . . . . . . . . . hi ρfA(hi, e1) ρfA(hi, e2) . . . ρfA(hi, ej) ρfA : U × E → {0, 1} (hi, ej) → ρfA(hi, ej) =    1, hi ∈ fA(ej) 0, hi ∈ f/ A(ej)

Örnek 2.2.12. Örnek 2.2.11'de in³a etti§imiz FAesnek kümesi,

ρfA e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 u1 0 0 0 0 1 0 0 u2 0 1 0 0 1 1 0 u3 0 0 0 0 0 1 0 u4 0 1 0 0 0 0 0 u5 0 0 0 0 0 1 0 veya ρfA e2 e5 e6 u1 0 1 0 u2 1 1 1 u3 0 0 1 u4 1 0 0 u5 0 0 1 ³eklinde gösterilebilir.

Tanm 2.2.13. FA, U üzerinde bir esnek küme olsun. E§er e ∈ E için fA(e) = ∅ ise fA(e) e-yakla³m kümesine, fA'nn bo³-de§eri denir ve (e, fA(e))elamannada FA'nn

bo³-eleman denir.

fA(e) = ∅olmasnn anlam U da ki elemanlarn hiçbirinin e ∈ E parametresi ile ili³kili olmad§dr. Bu yüzden bu tür parametrelerin göz önüne alnmas anlamsz oldu§u için, biz böyle elemanlar bir esnek kümede göstermeyece§iz.

Tanm 2.2.14. Bütün elemanlar bo³ olan esnek kümeye bo³ esnek küme denir ve FΦile

Tanm 2.2.15. FA, U üzerinde bir esnek küme olsun. E§er e ∈ E için fA(e) = U

ise fA(e) e-yakla³m kümesine, fA'nn mutlak-de§eri ve (e, fA(e))elemanna da FA'nn

mutlak-eleman denir.

fA(e) = U olmasnn anlam, U'nun bütün elemanlarnn e ∈ E parametresi ile ilgili

oldu§udur.

Tanm 2.2.16. FAesnek kümesinin tüm elemanlar mutlak ise bu esnek kümeye mutlak

esnek küme denir ve F_A˜ile gösterilir.

E§er A = E ise, mutlak esnek kümeye, evrensel esnek küme denir ve F_E˜ ile gösterilir.

Örnek 2.2.17. U = {u1, u2, u3, u4, u5}evrensel küme, E = {e1, e2, e3, e4}ise parametreler

kümesi olsun.

E§er A = {e2, e3, e4} ve fA(e2) = {u2, u4}, fA(e3) = ∅, fA(e4) = U ise, o halde FA

esnek kümesi FA= {(e2, {u2, u4}), (e4, U )}³eklinde yazlr.

E§er B = {e1, e3} ve fB(e1) = ∅, fB(e3) = ∅ise, o halde FB esnek kümesi bo³ esnek

kümedir. Yani FB = FΦ ³eklindedir.

E§er C = {e1, e2} ve fC(e1) = U, fC(e2) = U ise, o halde FC esnek kümesi mutlak

esnek kümedir. Yani FC = F_C˜ ³eklindedir.

E§er D = E ve her ei ∈ E i = 1, 2, 3, 4için fA(ei) = U ise, FDesnek kümesine evrensel

esnek küme denir. Yani FD = F_E˜ ³eklindedir.

Tanm 2.2.18. FAve FB, U üzerinde iki esnek küme olsun. E§er her e ∈ E için

fA(e) ⊆ fB(e)

Esnek küme teorisindeki temel kavram yakla³mdr. e1, e2 ∈ E için fA(e1) ⊂ fA(e2)ise

e2parametresinin yakla³m de§eri e1parametresinin yakla³m de§erinden daha büyüktür.

Bunun anlam, e2, U'da e1 den daha fazla elemanla ili³kilidir.

Yorum 2.2.19. FA⊆Fe Bolmas, FA'nn her elemannn FB'nin eleman olmas anlamna

gelmez. Bu yüzden, klasik alt küme tanm esnek alt küme tanm için geçerli de§ildir. Örne§in, U = {u1, u2, u3, u4} evrensel küme ve E = {e1, e2, e3} tüm parametrelerin

kümesi olsun. E§er A = {e1}, B = {e1, e3} ve FA = {(e1, {u2, u4})}, FB = {(e1, {u2, u3, u4}), (e3, {u1, u4})} ise, o halde her e ∈ E için fA(e) ⊆ fB(e)do§rudur.

Dolaysyla FA⊆Fe B. Açktr ki (e1, fA(e1)) ∈ FA fakat (e1, fA(e1)) /∈ FBdir.

Önerme 2.2.20. FAve FB, U üzerinde iki esnek küme olsun. O halde a³a§daki sonuçlar

geçerlidir.

i. FA⊆Fe _E˜

ii. FΦ⊆Fe A

iii. FA⊆Fe A

iv. FA⊆FBe ve FB⊆FCe ⇒ FA⊆FCe

spat . spatlar esnek kümelerin yakla³m fonksiyonlar kullanlarak yapalm. Her e ∈ E için,

i. fA(e) ⊆ U oldu§undan fA(e) ⊆ f_E˜(e)

ii. ∅ ⊆ fA(e)oldu§undan fΦ(e) ⊆ fA(e)

iii. fA(e) = fA(e)oldu§undan fA(e) ⊆ fA(e)

iv. fA(e) ⊆ fB(e)ve fB(e) ⊆ fC(e) ⇒ fA(e) ⊆ fC(e)

Önerme 2.2.21. U üzerinde a³a§daki sonuçlar geçerlidir.

i. Bo³ esnek küme tektir. ii. Evrensel esnek küme tektir.

spat . Tanm 2.2.14 ve 2.2.16'ten açktr.

Tanm 2.2.22. E§er FA⊆FBe için, FB'de FA'nn eleman olmayan en az bir eleman varsa, FA'ya FB'nin öz esnek alt kümesi denir ve FA⊂Fe B ile gösterilir.

Tanm 2.2.23. FAve FB, U üzerinde iki esnek küme olsun. E§er her e ∈ E için

fA(e) = fB(e)

oluyorsa FAesnek kümesi FBesnek kümesine e³ittir denir ve FA= FB ile gösterilir.

Önerme 2.2.24. FA, FB ve FC, U üzerinde üç esnek küme olsun. O halde a³a§daki

sonuçlar geçerlidir.

i. FA = FBve FB = FC ⇔ FA= FC

ii. FA⊆Fe Bve FB⊆Fe A ⇔ FA= FC

spat . Her e ∈ E için, yakla³m fonksiyonlarn kullanarak ispatlayalm.

i. fA(e) = fB(e)ve fB(e) = fC(e) ⇔ fA(e) = fC(e)

ii. fA(e) ⊆ fB(e)ve fB(e) ⊆ fA(e) ⇔ fA(e) = fB(e)

Tanm 2.2.25. FAesnek kümesinin tüm alt kümelerinin kümesine, FAesnek kümesinin

kuvvet kümesi denir.

2.2.1 Esnek Küme ³lemleri

Tanm 2.2.1. FAve FB, U üzerinde iki esnek küme olsun. FAve FBesnek kümelerinin

birle³iminin yakla³m fonksiyonu,

f_Ae∪B(e) = fA(e) ∪ fB(e), her e ∈ E,

Kar³kl§ önlamek için, “e∪” ³eklinde esnek birle³im ve “∪” ³eklinde klasik birle³im kullandk. Burada, Ae∪B bir küme i³lemi de§ildir. Bu sadece fAe∪B'nin FAe∪B esnek

kümesinin yakla³m fonksiyonu oldu§unu göstermek için kullanlan bir notasyondur. Önerme 2.2.2. FA, FB ve FC, U üzerinde üç esnek küme olsun. O halde a³a§daki

sonuçlar geçerlidir. i. FA∪Fe A= FA ii. FA∪Fe Φ = FA iii. FA∪Fe _E˜ = F_E˜ iv. FA∪Fe A◦ = F_E˜ v. FA∪Fe B = FB∪Fe A vi. (FA∪Fe B)e∪FC = FA∪(Fe B∪Fe C)

spat . Her e ∈ E için, yakla³m fonksiyonlarn kullanarak ispatlayalm.

i. fAe∪A(e) = fA(e) ∪ fA(e) = fA(e)

ii. fAe∪Φ(e) = fA(e) ∪ fΦ(e) = fA(e)

iii. fAe∪ ˜E(e) = fA(e) ∪ fE˜(e) = fE˜(e)

iv. fA(e) ∪ fAc(e) = fE˜(e)

v. fAe∪B(e) = fA(e) ∪ fB(e) = fB(e) ∪ fA(e) = fB e∪A(e)

vi. f(Ae∪B)e∪C(e) = fAe∪B(e) ∪ fC(e)

= (fA(e) ∪ fB(e)) ∪ fC(e)

= fA(e) ∪ (fB(e) ∪ fC(e))

= fA(e) ∪ fB e∪C(e)

Tanm 2.2.3. FAve FB, U üzerinde iki esnek küme olsun. FAve FBesnek kümelerinin

kesi³iminin yakla³m fonksiyonu

f_Ae∩B(e) = fA(e) ∩ fB(e), her e ∈ E,

biçiminde tanmlanr. Bu kümelerin kesi³imi FA∩Fe B ile gösterilir.

Kar³kl§ önlemek için, “e∩” ³eklinde esnek birle³im ve “ ∩ ” ³eklinde klasik birle³im kullandk. Burada, Ae∩B bir küme i³lemi de§ildir. Bu sadece fAe∩B'nin FAe∩B esnek

kümesinin yakla³m fonksiyonu oldu§unu göstermek için kullanlan bir notasyondur. Önerme 2.2.4. FA, FB ve FC, U üzerinde üç esnek küme olsun. O halde a³a§daki

sonuçlar geçerlidir. i. FA∩Fe A= FA ii. FA∩Fe Φ = FΦ iii. FA∩Fe _E˜ = FA iv. FA∩Fe A◦ = FΦ v. FA∩Fe B = FB∩Fe A vi. (FA∩Fe B)e∩FC = FA∩(Fe B∩Fe C) vii. FA⊆FBe ⇒ FA∪FBe = FBve FA∩FBe = FA

spat . Her e ∈ E için, yakla³m fonksiyonlarn kullanarak ispatlayalm.

i. fAe∩A(e) = fA(e) ∩ fA(e) = fA(e)

ii. fAe∩Φ(e) = fA(e) ∩ fΦ(e) = fΦ(e)

iii. fAe∩ ˜E(e) = fA(e) ∩ f_E˜(e) = fA(e)

iv. fA(e) ∩ fAc(e) = fΦ(e)

vi. f(Ae∩B)e∩C(e) = fAe∩B(e) ∩ fC(e)

= (fA(e) ∩ fB(e)) ∩ fC(e)

= fA(e) ∩ (fB(e) ∩ fC(e))

= fA(e) ∩ fB e∩C(e)

= f_{Ae∩(B e∩C)}(e)

vii. fA(e) ⊆ fB(e) ⇒ fA(e) ∪ fB(e) = fB(e)ve fA(e) ∩ fB(e) = fA(e)

Tanm 2.2.5. FA, U üzerinde bir esnek küme olsun. FAesnek kümesinin FA◦ ile gösterilen

tümleyeninin yakla³m fonksiyonu, her e ∈ E için

fA◦(e) = f_Ac(e)

biçiminde tanmldr. Burada fc

A(e) = U − fA(e)³eklindedir.

Kar³kl§ önlemek için, “◦_{”³eklinde esnek tümleyen ve “}c_{” ³eklinde klasik tümleyen}

kullandk. Burada,A◦_{bir küme i³lemi de§ildir. Bu sadece f}

A◦'nn F_A◦ esnek kümesinin

yakla³m fonksiyonu oldu§unu göstermek için kullanlan bir notasyondur.

Önerme 2.2.6. FA, U üzerinde bir esnek küme olsun. O halde a³a§daki sonuçlar

geçerlidir.

i. (F◦

A)◦ = FA

ii. F◦

Φ = F_E˜

spat . Her e ∈ E için esnek kümelerin yakla³m fonksiyonlarn kullanarak ispat kolayca yapabiliriz.

i. (fc

A(e))c= fA(e)

ii. fc

Φ(e) = U − fΦ(e) = U − ∅ = U = f_E˜(e)

Önerme 2.2.7. U üzerindeki FAve FBesnek kümeleri için De'Morgan kurallar geçerlidir.

ii. (FA∩Fe B)◦ = FA◦∪Fe B◦

spat . Her e ∈ E için,

i. f_(Ae∪B)◦(e) = fc

Ae∪B(e)

= (fA(e) ∪ fB(e))c

= (fA(e))c∩ (fB(e))c

ii. f_(Ae∩B)◦(e) = f_Aec_∩B(e)

= (fA(e) ∩ fB(e))c

= (fA(e))c∪ (fB(e))c

Önerme 2.2.8. FA, FB ve FC, U üzerinde üç esnek küme olsun. O halde, a³a§daki

sonuçlar geçerlidir.

i. FA∪(FBe ∩FCe ) = (FA∪FBe )e∩(FA∪FCe )

ii. FA∩(Fe B∪Fe C) = (FA∩Fe B)e∪(FA∩Fe C)

spat . Her e ∈ E için,

i. f_{Ae∪(B e∩C)}(e) = fA(e) ∪ fB e∩C(e)

= fA(e) ∪ (fB(e) ∩ fC(e))

= (fA(e) ∪ fB(e)) ∩ (fA(e) ∪ fC(e))

= f_Ae∪B(e) ∩ f_Ae∪C(e) = f_{(Ae∪B)e∩(Ae∪C)}(e)

ii. f_{Ae∩(B e∪C)}(e) = fA(e) ∩ fB e∪C(e)

= fA(e) ∩ (fB(e) ∪ fC(e))

= (fA(e) ∩ fB(e)) ∪ (fA(e) ∩ fC(e))

= f_Ae∩B(e) ∪ f_Ae∩C(e) = f_{(Ae∩B)e∪(Ae∩C)}(e)

Tanm 2.2.9. FAve FB, U üzerinde iki esnek küme olsun. FAve FBesnek kümelerinin

fark,

f_Ae\B(e) = fA(e) \ fB(e), her e ∈ E,

yakla³m fonksiyonu yoluyla tanmlanr ve FAe\FBile gösterilir.

Kar³kl§ önlemek için, “e\” ³eklinde esnek birle³im ve “ \ ” ³eklinde klasik birle³im kullandk. Burada, Ae\B bir küme i³lemi de§ildir. Bu sadece f_Ae\B'nin F_Ae\B esnek kümesinin yakla³m fonksiyonu oldu§unu göstermek için kullanlan bir notasyondur. Önerme 2.2.10. FA, FBve FC, U üzerinde üç esnek küme olsun. O halde,

i. FAe\FB = FA∩Fe B◦

ii. FAe\FB = FΦ ⇔ FA⊆Fe B

iii. A ∩ B = ∅ ⇒ FAe\FB = FAve FBe\FA = FB

spat . Her e ∈ E için,

i. f_Ae\B(e) = fA(e) \ fB(e) = fA(e) ∩ fB(e)c

ii. fA(e) \ fB(e) = fΦ(e) = ∅ ⇔ fA(e) ⊆ fB(e)

iii. A ∩ B = ∅ ⇒ fA(e) \ fB(e) = fA(e)ve fB(e) \ fA(e) = fB(e)

Tanm 2.2.11. FAve FB, U üzerinde iki esnek küme olsun. FAve FBesnek kümelerinin FA∆Fe B ile gösterilen simetrik fark,

fA(e) e∆fB(e) = (fA(e) \ fB(e)) ∪ (fB(e) \ fA(e))

yakla³m fonksiyonu ile tanmlanr.

Tanm 2.2.12. E§er FA∩ FB = FΦ ise FAve FBesnek kümeleri ayrktr denir.

Örnek 2.2.13. U = {u1, u2, u3, u4, u5} evrensel küme ve E = {e1, e2, e3, e4} tüm

parametreler kümesi olsun. Kabul edelim ki A = {e1, e2} ve B = {e2, e3, e4}, gibi

E_{'nin iki alt kümesi için F}A = {(e1, {u2, u4}), (e2, {u1, u3})}ve FB = {(e2, {u1, u2}),

(e3, {u1, u4}), (e4, U )} ³eklinde yazlsn. O halde biz bu esnek kümeleri a³a§daki gibi

yazabiliriz. F◦ A= {(e1, {u1, u3, u5}), (e2, {u2, u4, u5}), (e3, U ), (e4, U )} FA∪Fe B = {(e1, {u2, u4}), (e2, {u1, u2, u3}), (e3, {u1, u4}), (e4, U)} FA∩Fe B = {(e2, {u1})} (FA∪Fe B)◦ = {(e1, {u1, u3, u5}), (e2, {u4, u5}), (e3, {u2, u3, u5})} = FA◦∩Fe B◦ (FA∩FBe )◦ = {(e1, U ), (e2, {u2, u3, u4, u5}), (e3, U ), (e4, U )} = FA◦∪Fe B◦ FAe\FB = {(e1, {u2, u4}), (e2, {u3})} = FA∩Fe B◦ FA∆Fe B = {(e1, {u2, u4}), (e2, {u2, u3}), (e3, {u1, u4}), (e4, U)}

2.3 Bulank Parametreli Esnek Kümeler

Bu bölümde Ça§man ve ark. (2010a)'nn tanmlad§ bulank parametreli esnek küme tanmlarn ve i³lemlerini verece§iz. Burada, parametreler kümesini E ile gösterece§iz. Önceki bölünde verieln esnek kümelerde E'nin alt kümeleri A, B, C, ... gibi büyük harerle gösterildi fakat bu bölümde sembol karga³asndan kaçnmak için E'nin bulank alt kümelerini X, Y, Z, ... gibi harerle harerle gösterece§iz.

Tanm 2.3.14. U bir evrensel küme, P (U)'da U'nun kuvvet kümesi, E parametreler kümesi olmak üzere X, E üzerinde bir bulank küme olsun. O halde

fX : E → P (U)ve µX : E → [0, 1]

ve µX(x) = 0 ise fX(x) = ∅³artlarn sa§layan fonksiyonlar ile tanml a³a§daki sral

ikililerden olu³an kümeye

(fX, E) = {(µX(x)/x, fX(x)) : x ∈ E, fX(x) ∈ P (U), µX(x) ∈ [0, 1]},

U üzerinde bir bulank parametreli esnek küme (fps − kme) denir.

Burada fX fonksiyonuna (fX, E) kümesinin yakla³m fonksiyonu ve µX fonksiyonuna

da (fX, E)kümesinin üyelik fonksiyonu denir.

Not: Bundan sonra, U üzerindeki tüm fps−kümelerinin kümesi F P S(U) ile gösterilecektir.

2.3.1 Bulank Parametreli Esnek Küme I³lemleri

Tanm 2.3.1. FX ∈ F P S(U) olsun. O halde her x ∈ E için µX(x) = 0oluyorsa FX'e

bo³ fps-küme denir ve FΦ ile gösterilir.

Tanm 2.3.2. FX ∈ F P S(U)olsun. O halde her x ∈ X için µX(x) = 1ve fX(x) = U

X = Eise X-evrensel fps-kümesine evrensel fps-küme denir ve F_E˜ ile gösterilir.

Örnek 2.3.3. Kabul edelim ki U = {u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7} bir evrensel küme ve

E = {x1, x2, x3, x4, x5, x6} bir parametre kümesi olsun. A = {x1, x2, x4, x6}, E'nin

bir alt kümesi ve A üzerinde bir X bulank kümesi; X = {0.5/x1, 0.3/x2, 1/x4, 0.7/x6}

ve fX(x1) = {u2, u3, u4}, fX(x2) = ∅, fX(x4) = U, fX(x6) = {u1, u3, u5} ise FX, f ps−_{kümesi a³agdaki gibi yazlacaktr.}

FX = {(0.5/x1, {u2, u3, u4}), (0.3/x2, ∅), (1/x4, U ), (0.7/x6, {u1, u3, u5})}

E§er Y = ∅ ise FY, fps-kümesi bir bo³ esnek kümedir. Yani FY = FΦ.

E§er Z = {1/x1, 1/x2}ve fZ(x1) = U, fZ(x2) = U ise FZ, fps-kümesi bir Z-evrensel f ps-kümedir. Yani FZ = F_Z˜.

E§er X = E ve her xi ∈ E için fX(xi) = U , i = 1, 2, 3, 4, ise FX, fps-kümesi bir

evrensel fps-kümedir. Yani FX = F_E˜.

Tanm 2.3.4. FX, FY ∈ F P S(U)olsun. Her xi ∈ E için µX(x) ≤ µY(x)ve fX(x) ⊆ fY(x)ise FX, FY'nin bir fps-alt kümesidir denir ve FX⊆FYe ile gösterilir.

Yorum 2.3.5. FX⊆Fe Y, klasik alt küme tanm gibi FX'in her eleman FY'nin eleman

anlamna gelmez. Örne§in, kabul edelim ki U = {u1, u2, u3, u4, u5} nesnelerin bir

evrensel kümesi olsun ve E = {x1, x2, x3, x4}'de tüm parametrelerin kümesi olsun.

E§er X = {0.8/x2}, Y = {0.7/x1, 0.9/x2} ve FX = {(0.8/x2, {u2, u3, u4, u5})},

FY = {(0.9/x1, {u2, u3, u4}), (0.9/x2, U )}. O halde her x ∈ E için µX(x) ≤ µY(x)ve fX(x) ⊆ fY(x)geçerlidir. Bu nedenle FX⊆Fe Y'dir. Buradan (0.8/x2, {u2, u3, u4, u5}) ∈

FX fakat (0.8/x2, {u2, u3, u4, u5}) /∈ FY oldu§u açktr.

Önerme 2.3.6. E§er FX, FY ∈ F P S(U)ise a³a§daki özellikler sa§lanr.

i. FX⊆Fe _E˜

ii. FΦ⊆Fe X

iv. FX⊆Fe Y ve FY⊆Fe Z ⇒ FX⊆Fe Z

Tanm 2.3.7. FX, FY ∈ F P S(U) olsun. O halde her x ∈ E için µX(x) = µY(x)

ve fX(x) = fY(x) ise FX ve FY kümelerine e³it fps-kümeleri denir ve FX = FY ile

gösterilir.

Önerme 2.3.8. FX, FY, FZ ∈ F P S(U). A³a§daki özellikler sa§lanr.

i. FX = FY ve FY = FZ ⇔ FX = FZ

ii. FX⊆Fe Y ve FY⊆Fe X ⇔ FX = FY

Tanm 2.3.9. FX ∈ F P S(U)olsun. FX'in tümleyeni FXc ile gösterilir. Bu tümleyenin

yakla³m ve üyelik fonksiyonu a³a§daki tanmldr,

µXc(x) = 1 − µ_X(x)ve f_Xc(x) = U \ f_X(x)

Önerme 2.3.10. FX ∈ F P S(U)olsun. Bu durumda, a³a§daki özellikler sa§lanr.

i. (Fc

X)c= FX

ii. Fc

Φ = FE˜

Tanm 2.3.11. FX, FY ∈ F P S(U)olsun. FX ve FY'nin birle³imi FX∪Fe Y ile gösterilir.

Birle³im kümesinin yakla³m ve üyelik fonksiyonu a³a§daki gibidir.

Önerme 2.3.12. FX, FY, FZ ∈ F P S(U)olsun. Bu durumda, i. FX∪Fe X = FX ii. FX∪Fe Φ = FX iii. FX∪Fe _E˜ = F_E˜ iv. FX∪FYe = FY∪FXe v. (FX∪Fe Y)e∪FZ = FX∪(Fe Y∪Fe Z)

Tanm 2.3.13. FX, FY ∈ F P S(U)olsun. FX ve FY'nin kesi³imi FX∩Fe Y ile gösterilir.

Kesi³im kümesinin yakla³m ve üyelik fonksiyonu a³a§daki gibi tanmldr.

µ_{X e∩Y}(x) = min{µX(x), µY(x)}ve fX e∩Y(x) = fX(x) ∩ fY(x)

Önerme 2.3.14. FX, FY, FZ ∈ F P S(U)olsun. A³a§daki özellikler sa§lanr.

i. FX∩FXe = FX

ii. FX∩Fe Φ = FΦ

iii. FX∩Fe _E˜ = FX

iv. FX∩Fe Y = FY∩Fe X

v. (FX∩Fe Y)e∩FZ = FX∩(Fe Y∩Fe Z)

Yorum 2.3.15. FX ∈ F P S(U)olsun. E§er FX 6= FΦ yada FX 6= F_E˜ ise FX∪Fe Xc 6= FE˜

ve FX∩Fe Xc 6= FΦ elde edilir.

Önerme 2.3.16. FX, FY, FZ ∈ F P S(U)olsun. O halde,

i. (FX∪Fe Y)c = FXc∩Fe Yc

ii. (FX∩Fe Y)c = FXc∪Fe Yc

iii. FX∪(Fe Y∩Fe Z) = (FX∪Fe Y)e∩(FX∪Fe Z)

3.1 Bulank Parametreli Esnek Aritmetik

Bu bölümde iki fps-kümesi arasnda VE-cebirsel toplam, VEYA-cebirsel toplam, VE-cebirsel çarpm, VEYA-cebirsel çarpm i³lemleri tanmlayaca§z ve bu i³lemlerin özelliklerini inceleyece§iz.

Tanm 3.1.1. FX, FY ∈ F P S(U)olsun. FX ve FY'nin VEYA-cebirsel toplam FX⊕ FY

ile gösterilir. Bu kümenin üyelik ve yakla³m fonksiyonu a³a§daki gibi tanmlanr.

µX⊕Y : E × E → [0, 1], µX⊕Y(x) = µX(x) + µY(x) − µX(x)µY(x)

ve

fX⊕Y : E × E → P (U), fX⊕Y(x) = fX(x) ∪ fY(x)

Tanm 3.1.2. FX, FY ∈ F P S(U)olsun. FX ve FY'nin VE-cebirsel toplam FX⊕Fb Y ile

gösterilen bir fps-kümedir. Bu kümenin üyelik ve yakla³m fonksiyonu a³a§daki gibi tanmlanr.

µ_{X b⊕Y} : E × E → [0, 1], µ_{X b⊕Y}(x) = µX(x) + µY(x) − µX(x)µY(x)

ve

f_{X b⊕Y} : E × E → P (U), fX⊕Y(x) = fX(x) ∩ fY(x)

Tanm 3.1.3. FX, FY ∈ F P S(U) olsun. Daha sonra FX ve FY'nin VEYA-cebirsel

çarpm FX ⊗ FY ile gösterilen bir fps-kümedir. Bu kümenin üyelik ve yakla³m

fonksiyonu a³a§daki gibi tanmlanr.

µX⊗Y : E × E → [0, 1], µX⊗Y(x) = µX(x)µY(x)

ve

Tanm 3.1.4. FX, FY ∈ F P S(U)olsun. Daha sonra FX ve FY'nin VE-cebirsel çarpm FX⊗FYb ile gösterilen bir fps-kümedir. Bu kümenin üyelik ve yakla³m fonksiyonu a³a§daki gibidir.

µ_{X b⊗Y} : E × E → [0, 1], µ_{X b⊗Y}(x) = µX(x)µY(x)

ve

f_{X b⊗Y} : E × E → P (U), f_{X b⊗Y}(x) = fX(x) ∩ fY(x)

Not: ⊕, b⊕, ⊗ ve b⊗ sembolleri yakla³m ve üyelik fonksiyonlarnda bir bulank küme i³lemi de§ildir. fX⊕Y, fX b⊕Y, fX⊗Y ve fX b⊗Y srasyla FX ⊕ FY, FX⊕Fb Y, FX ⊗ FY, FX⊗Fb Y'nn yakla³m fonksiyonu, µX⊕Y, µX b⊕Y, µX⊗Y ve µX b⊗Y srasyla FX ⊕ FY, FX⊕FYb , FX ⊗ FY ve FX⊗FYb 'nin üyelik fonksiyonlar oldu§unu gösterirler.

Örnek 3.1.5. Kabul edelim ki U = {u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9} bir evrensel küme

olsun ve E = {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8}tüm parametrelerin kümesi olsun. E§er

X = {0.5/x1, 0.7/x2, 0.8/x3, 1/x40.5/x5, 0.9/x6, 0.2/x8}

ve

Y = {0.9/x1, 0.3/x3, 0.4/x4, 0.8/x5, 0.7/x6, 0.9/x7, 0.8/x8}

Eüzerinde iki bulank küme olursa, o zaman fps-kümesini a³a§daki gibi yazabiliriz.

FX = ½ (0.5/x1, U ), (0.7/x2, {u1, u2, u4, u5, u6}), (0.8/x3, {u1, u2, u4, u7, u8, u9}), (1/x4, {u1, u6}), (0.5/x5, {u1, u2, u4, u6, u7, u8, }), (0.9/x6, {u1, u6, u7, u9}), (0.2/x8), {u3, u4, u7, u8, u9}) ¾ FY = ½ (0.9/x1, {u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8}), (0.3/x3, {u1, u2, u3, u4, u7, u8, u9}), (0.4/x4, {u2, u5}), (0.8/x5, {u1, u8, u9}), (0.7/x6, U ), (0.9/x7, {u1, u2, u6}), (0.8/x8, {u2, u3, u4, u5, u7, u8, u9}) ¾

FX ⊕ FY = (0.95/x1, U ), (0.7/x2, {u1, u2, u4, u5, u6}), (0.86/x3, {u1, u2, u3, u4, u7, u8, u9}), (1/x4, {u1, u2, u5, u6}), (0.9/x5, {u1, u2, u4, u6, u7, u8, u9}), (0.97/x6, U ), (0.7/x7, {u1, u2, u6}), (0.84/x8, {u2, u3, u4, u5, u7, u8, u9}), ¾ Benzer ³ekilde FX⊕Fb Y . FX⊕Fb Y = ½ (0.95/x1, {u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8}), (0.7/x2, ∅), (0.86/x3, {u1, u2, u3, u4, u7, u8, u9}), (1/x4, ∅), (0.9/x5, {u1, u8}), (0.97/x6, {u1, u6, u7, u9}), (0.7/x7, ∅), (0.84/x8, {u3, u4, u7, u8, u9}), ¾

Yorum 3.1.6. Buradaki ⊗, b⊗ ve ⊕, b⊕ i³lemleri T-norm ve T-conorm özelliklerini sa§lamaktadr.

Önerme 3.1.7. FX, FE, F∅ ∈ F P S(U)olsun. O halde,

i. FX ⊕ FE = FE

ii. FX⊗Fb E = FX

iii. FX ⊕ F∅ = FX

iv. FX⊗Fb ∅ = F∅

Önerme 3.1.8. FX, FY ∈ F P S(U)olsun. Bu durumda,

i. FX ⊕ FY = FY ⊕ FX

ii. FX⊕FYb = FY⊕FXb

iii. FX ⊗ FY = FY ⊗ FX

iv. FX⊗Fb Y = FY⊗Fb X

Önerme 3.1.9. E§er FX, FY, FZ ∈ F P S(U)ise a³a§daki özellikler sa§lanr.

ii. FX⊕(Fb Y⊕Fb Z) = (FX⊕Fb Y) b⊕FZ

iii. FX ⊗ (FY ⊗ FZ) = (FX ⊗ FY) ⊗ FZ

iv. FX⊗(Fb Y⊗Fb Z) = (FX⊗Fb Y) b⊗FZ

spat . i. FX ⊕ (FY ⊕ FZ)

= µX(x)+(µY(y)+µZ(z)−µY(y).µZ(z))−µX(x)µY(y)−µX(x)µZ(z)+µX(x)µY(y).µZ(z)

= µX(x)+µY(y)+µZ(z)−µY(y).µZ(z)−µX(x)µY(y)−µX(x)µZ(z)+µX(x)µY(y).µZ(z)

= (µX(x)+µY(y)−µX(x)µY(y))+µZ(z)−µX(x)µZ(z)−µY(y)µZ(z)+µX(x)µY(y)µZ(z)

ve

fX(x) ∪ (fY(y) ∪ fZ(z)) = fX(x) ∪ fY(y) ∪ fZ(z) = (fX(x) ∪ fY(y)) ∪ fZ(z)

oldu§undan

FX ⊕ (FY ⊕ FZ) = (FX ⊕ FY) ⊕ FZ

oldu§u açktr. ii. FX⊕(FYb ⊕FZb )

= µX(x)+(µY(y)+µZ(z)−µY(y).µZ(z))−µX(x)µY(y)−µX(x)µZ(z)+µX(x)µY(y).µZ(z)

= µX(x)+µY(y)+µZ(z)−µY(y).µZ(z)−µX(x)µY(y)−µX(x)µZ(z)+µX(x)µY(y).µZ(z)

= (µX(x)+µY(y)−µX(x)µY(y))+µZ(z)−µX(x)µZ(z)−µY(y)µZ(z)+µX(x)µY(y)µZ(z)

ve

fX(x) ∩ (fY(y) ∩ fZ(z)) = fX(x) ∩ fY(y) ∩ fZ(z) = (fX(x) ∩ fY(y)) ∩ fZ(z)

oldu§undan

FX⊕(Fb Y⊕Fb Z) = (FX⊕Fb Y) b⊕FZ

oldu§u açktr. iii. FX ⊗ (FY ⊗ FZ)

= µX(x)(µY(y)µZ(z)) = µX(x)µY(y)µZ(z) = (µX(x)µY(y))µZ(z)

ve

oldu§undan

FX ⊗ (FY ⊗ FZ) = (FX ⊗ FY) ⊗ FZ

oldu§u açktr. iv. FX⊗(Fb Y⊗Fb Z)

= µX(x)(µY(y)µZ(z)) = µX(x)µY(y)µZ(z) = (µX(x)µY(y))µZ(z)

ve

fX(x) ∩ (fY(y) ∩ fZ(z)) = fX(x) ∩ fY(y) ∩ fZ(z) = (fX(x) ∩ fY(y)) ∩ fZ(z)

oldu§undan

FX⊗(Fb Y⊗Fb Z) = (FX⊗Fb Y) b⊗FZ

oldu§u açktr.

Önerme 3.1.10. FX, FY ∈ F P S(U)olsun. O halde,

i. (FX ⊕ FY)c = FXc⊗Fb Yc ii. (FX⊗Fb Y)c = FXc ⊕ FYc iii. (FX ⊗ FY)c = FXc⊕Fb Yc iv. (FX⊕FYb )c = FXc ⊗ FYc spat . x ∈ E, i. µ(X⊕Y )c(x) = 1 − µ_{(X⊕Y )}(x) = 1 − (µX(x) + µY(x) − µX(x)µY(x)) = 1 − µX(x) − µY(x) + µX(x)µY(x) = (1 − µX(x)(1 − µY(x)) = µXc_⊗Yc(x) ve f(X⊕Y )c(x, y) = U \ (f_X(x) ∪ f_Y(x)) = (U \ fX(x)) ∪ (U \ fY(x)) = fXc(x) ∩ f_Yc(x)

Önerme 3.1.11. FX, FY, FZ ∈ F P S(U)olsun. A³a§daki özellikler sa§lanr.

i. FX ⊗ (FY ∩ FZ) = (FX ⊗ FY) ∩ (FX ⊗ FZ)

ii. FX ⊗ (FY ∪ FZ) = (FX ⊗ FY) ∪ (FX ⊗ FZ)

iii. FX ⊕ (FY ∩ FZ) = (FX ⊕ FY) ∩ (FX ⊕ FZ)

iv. FX ⊕ (FY ∪ FZ) = (FX ⊕ FY) ∪ (FX ⊕ FZ)

spat . i. FX⊗(FY∩FZ) = µX(x).(min{µY(y), µZ(z)} = min{µX(x).µY(y), µX(x).µZ(z)}

ve

fX(x) ∪ (fY(y) ∩ fZ(z)) = (fX(x) ∪ fY(y)) ∩ (fX(x) ∪ fZ(z))

oldu§undan

FX ⊗ (FY ∩ FZ) = (FX ⊗ FY) ∩ (FX ⊗ FZ)

oldu§u açktr.

ii. i'ye benzer olarak yaplabilir sadece min yerine max, ∩ yerine ∪ yazlp düzenleme yaplmaldr.

iii. FX ⊕ (FY ∩ FZ) = µX(x) + min{µY(y), µZ(z)} − µX(x).min{µY(y), µZ(z)}

= min{µX(x) + µY(y) − µX(x)µY(y), µX(x) + µZ(z) − µX(x)µZ(z)}

ve

fX(x) ∪ (fY(y) ∩ fZ(z)) = (fX(x) ∪ fY(y)) ∩ (fX(x) ∪ fZ(z))

iv. iii'ye benzer olarak yaplr.

Önerme 3.1.12. FX, FY, FZ ∈ F P S(U)olsun. O halde,

i. FX⊗(FYb ∩ FZ) = (FX⊗FYb ) ∩ (FX⊗FZb )

ii. FX⊗(FYb ∪ FZ) = (FX⊗FYb ) ∪ (FX⊗FZb )

iii. FX⊕(FYb ∩ FZ) = (FX⊕FYb ) ∩ (FX⊕FZb )

4.1 Bulank Parametreli Ortalamalar

Bu bölümde iki fps-kümesinin mantksal ortalamasn yani; VE-ortalama, VEYA-ortalama kavramlarn tanmyaca§z. Daha sonra bunlarn özelliklerini inceleyece§iz.

Tanm 4.1.1. FX1, FX2 ∈ F P S(U)olsun. FX1 ve FX2'nin V E-ortalamas (FX1 ≺ FX2)

ile gösterilir. Bu fps-kümesinin yakla³m ve üyelik fonksiyonu a³a§daki gibi tanmlanr;

µX1≺X2 : E × E → [0, 1], µX1≺X2(a) = ( 1 2 2 X i=1 µXi(a) p₎1p ve

fX1≺X2 : E × E → P (U), fX1≺X2(a) = fX1(a) ∩ fX2(a)

Not: FX1, FX2, ..., FXn ∈ F P S(U)olsun. V E-ortalamay genelle³tirirsek, FX1, FX2, ...,

FXn'nin V E-ortalamas FX1 ≺ FX2 ≺ ... ≺ FXn ile gösterilir. Bu fps-kümesinin üyelik

ve yakla³m fonksiyonu a³a§daki gibi tanmlanr;

µX1≺X2≺...≺Xn : E × E × ... × E → [0, 1], µX1≺X2≺...≺Xn(a) = ( 1 n n X i=1 µXi(a) p₎1p

fX1≺X2≺...≺Xn : E × E × ... × E → P (U), fX1≺X2≺...≺Xn(a) = fX1(a) ∩ ... ∩ fXn(a)

Örnek 4.1.2. p=1 olsun. Kabul edelim ki U = {u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8}bir evrensel

küme ve E = {a1, a2, a3, a4, a5} tüm parametrelerinin kümesi olsun. E§er X1 =

küme ise fps-kümesi a³a§daki gibi yazlr. FX1 = ½ (0.5/a2, {u2, u3, u4, u5, u7}), (0.2/a3, {u1, u2, u3, u4}), (1/a4, {u1, u2, u5, u7, u8}) ¾ FX2 = ½

(0.9/a1, {u1, u2, u5, u6}), (0.3/a3, {u3, u4, u5, u8}), (0.4/a4, U),

(0.8/a5, {u3, u4, u6, u7, u8})

¾

ve bunlarn VE-ortalamalar a³a§daki gibi olur,

FX1 ≺ FX2 =

½

(0.45/a1, ∅), (0.25/a2, ∅), (0.25/a3, {u3, u4}),

(0.70/a4, {u1, u2, u5, u7, u8}), (0.4/a5, ∅)

¾

Tanm 4.1.3. FX1, FX2 ∈ F P S(U) olsun. FX1 ve FX2'nin VEYA-ortalamas (FX1 Â

FX1) ile gösterilir. Bu fps-kümesinin yakla³m ve üyelik fonksiyonu a³a§daki gibi

tanmlanr; µX1ÂX2 : E × E → [0, 1], µX1ÂX2(a) = ( 1 2 2 X i=1 µXi(a) p₎1_p

fX1ÂX2 : E × E → P (U), fX1ÂX2(a) = fX1(a) ∪ fX2(a)

Not: FX1, FX2, ..., FXn ∈ F P S(U)olsun. Bu durumda FX1,FX2,...,FXn'nin V EY A-ortalamas

(FX1 Â FX2 Â ... Â FXn) ile gösterilir. Bu fps-kümesinin üyelik ve yakla³m

fonksiyonu a³a§daki gibi tanmlanr;

µX1ÂX2Â...ÂXn : E × E × ... × E → [0, 1], µX1ÂX2Â...ÂXn(a) = ( 1 n n X i=1 µXi(a) p₎1p

fX1ÂX2Â...ÂXn : E × E × ... × E → P (U), fX1ÂX2Â...ÂXn(a) = fX1(a) ∪ ... ∪ fXn(a)

Not: Buradaki yakla³m ve üyelik fonksiyonlarnn altnda kullanlan ≺ ve  sembolleri bulank küme i³lemleri de§ildir. Bu semboller fX1≺X2, fX1ÂX2'nin srasyla FX1 ≺ FX2,

FX1 Â FX2'nn yakla³m fonksiyonu ve µX1≺X2, µX1ÂX2'nn srasyla FX1 ≺ FX2,

Örnek 4.1.4. p=1 olsun. Kabul edelim ki U = {u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8}bir evrensel

küme ve E = {a1, a2, a3, a4, a5} tüm parametrelerinin kümesi olsun. E§er X1 =

{0.5/a2, 0.2/a3, 1/a4}ve X2 = {0.9/a1, 0.3/a3, 0.4/a4, 0.8/a5} Eüzerinde iki bulank

küme ise fps-kümesi a³a§daki gibi yazlr.

FX1 = ½ (0.5/a2, {u2, u3, u4, u5, u7}), (0.2/a3, {u1, u2, u3, u4}), (1/a4, {u1, u2, u5, u7, u8}) ¾ FX2 = ½

(0.9/a1, {u1, u2, u5, u6}), (0.3/a3, {u3, u4, u5, u8}), (0.4/a4, U),

(0.8/a5, {u3, u4, u6, u7, u8})

¾

ve bunlarn VEYA-ortalamalar a³a§daki gibi olur,

FX1 Â FX2 =

½

(0.45/a1, {u1, u2, u5, u6}), (0.25/a2, {u2, u3, u4, u5, u7}),

(0.25/a3, {u1, u2, u3, u4, u5, u8}), (0.70/a4, U),

(0.4/a5, {u3, u4, u6, u7, u8})

¾

Benzer ³ekilde FX1 ≺ FX2 kolayca yaplabilir.

Önerme 4.1.5. FX1, FX2 ∈ F P S(U)olsun. O halde,

i. (Fc X1) c _{= F} X1 ii. Fc Φ = F_E˜

spat . Her a ∈ E için,

i. µXc

1(a) = 1 − µX1(a)ve fX1c(a) = U \ fX1(a)

⇒ µ(X1c)c(a) = 1 − µX1c(a) = 1 − (1 − µX1(a)) ve f(X1c)c(a) = U \ (U \ fX1(a))

⇒ µX1(a)ve fX1(a)

oldu§undan (Fc X1)

c_{= F}

X1 oldu§u açktr.

Önerme 4.1.6. E§er FX, FY, FZ ∈ F P S(U)ise a³a§daki özellikler sa§lanr.

i. FX1 ≺ FX2 = FX1 ≺ FX3 ⇔ FX2 = FX3

ii. FX1 Â FX2 = FX1 Â FX3 ⇔ FX2 = FX3

spat . Her a ∈ E için,

i. FX1 ≺ FX2 = FX1 ≺ FX3 ⇔ 1 2 1 p(µ X1(a)p+ µX2(a)p) 1 p = 1 2 1 p(µ X1(a)p+ µX3(a)p) 1 p ⇔ µX2(a)p = µX3(a)p ⇔ µX2(a) = µX3(a) ve

fX1(a) ∩ fX2(a) = fX1(a) ∩ fX3(a) ⇔ fX2(a) = fX3(a)

oldu§undan FX1 ≺ FX2 = FX1 ≺ FX3 ⇔ FX2 = FX3 oldu§u açktr.

ii. FX1 Â FX2 = FX1 Â FX3 ⇔ 1 2 1 p(µ X1(a)p+ µX2(a)p) 1 p = 1 2 1 p(µ X1(a)p+ µX3(a)p) 1 p ⇔ µX2(a)p = µX3(a)p ⇔ µX2(a) = µX3(a) ve

fX1(a) ∪ fX2(a) = fX1(a) ∪ fX3(a) ⇔ fX2(a) = fX3(a)

oldu§undan FX1 Â FX2 = FX1 Â FX3 ⇔ FX2 = FX3 oldu§u açktr.

Önerme 4.1.7. FX1, FX2, FX3 ∈ F P S(U)olsun. Bu durumda,

i. FX1 Â (FX2 ∩ FX3) = (FX1 Â FX2) ∩ (FX1 Â FX3)

ii. FX1 Â (FX2 ∪ FX3) = (FX1 Â FX2) ∪ (FX1 Â FX3)

iii. FX1 ≺ (FX2 ∩ FX3) = (FX1 ≺ FX2) ∩ (FX1 ≺ FX3)

spat . i. FX1  (FX2 ∩ FX3) = 1 2p(µX1(a) p _{+ (min{µ} X2(a), µX3(a)}) p₎1p = min{(1 2 1 p(µ X1(a)p+ µX2(a)p) 1 p), (1 2 1 p(µ X1(a)p+ µX3(a)p)} 1 p) ve fX(x) ∪ (fY(y) ∩ fZ(z)) = (fX(x) ∪ fY(y)) ∩ (fX(x) ∪ fZ(z))

oldu§undan (FX1 Â FX2) ∩ (FX1 Â FX3)oldu§u açktr.

ii. i'ye benzer olarak yaplabilir sadece min yerine max, ∩ yerine ∪ yazlp düzenleme yaplmaldr. iii. FX1 ≺ (FX2 ∩ FX3) = 1 2 1 p(µ

X1(a)p+ (minµX2(a), µX3(a)p) 1 p = min{(1 2 1 p_(µ X1(a)p+ µX2(a)p) 1 p), (1 2 1 p_(µ X1(a)p+ µX3(a)p) 1 p})ve f X(x) ∩ (fY(y) ∩ fZ(z)) = fX(x) ∩ fY(y) ∩ fZ(z) = (fX(x) ∩ fY(y)) ∩ (fX(x) ∩ fZ(z))oldu§undan

(FX1 ≺ FX2) ∩ (FX1 ≺ FX3)oldu§u açktr.

iv. iii'ye benzer olarak yaplr.

Önerme 4.1.8. FX1, FX2 ∈ S(U)olsun. Bu durumda,

i. FX1 Â FX2 = FX2 Â FX1,

ii. FX1 ≺ FX2 = FX2 ≺ FX1

spat . Her a ∈ E için,

i. FX1 ≺ FX2 = 1₂ 1 p_(µ X1(a)p+ µX2(a)p) 1 p ⇐⇒ 1 2 1 p_(µ X2(a)p+ µX1(a)p) 1 p ve

fX1(a) ∩ fX2(a) = fX2(a) ∩ fX1(a)

oldu§undan FX1 ≺ FX2 = FX2 ≺ FX1 oldu§u açktr.

ii. FX1 Â FX2 = 1 2 1 p(µ X1(a)p+ µX2(a)p) 1 p ⇐⇒ 1 2 1 p(µ X2(a)p+ µX1(a)p) 1 p ve

fX1(a) ∪ fX2(a) = fX2(a) ∪ fX1(a)

5.1 Mantksal Bulank Esnek ³lemler

Bu bölümde, V E−ortalama ve V EY A−ortalama için bulank esnek i³lemleri tanmladk. Bu i³lemler, verilen iki fps-kümesinin VE-ortalamasn ve VEYA-ortalamasn bulank kümeye dönü³türmek için kullanlmaktadr.

Tanm 5.1.1. fX1≺X2 ve µX1≺X2 srasyla FX1 ≺ FX2 kümesinin yakla³m ve üyelik

fonksiyonu olsun. A³a§daki gibi tanmlanan s≺i³lemine

s≺(FX1 ≺ FX2) : F (E) × F P S(U) → F (U), (FX1 ≺ FX2) = T

s≺T = {µ≺(u)/u : u ∈ fT(a), µ≺(u) ∈ [0, 1]} V E−esnek bulank i³lem denir. Burada

µ≺(u) = 1 |U| X i,j µT(ai)µT(ai)(uj) ve µT(ai)(uj) =    1, uj ∈ fT(ai) 0, uj ∈ f/ T(ai)

Buradaki s≺Tkümesine, U üzerindeki V E-karar bulank kümesi denir.

Tanm 5.1.2. fX1ÂX2 ve µX1ÂX2 srasyla FX1 Â FX2 kümesinin yakla³m ve üyelik

fonksiyonu olsun. A³a§daki gibi tanmlanan sÂi³lemine

sÂ(FX1 Â FX2) : F (E) × F P S(U) → F (U), (FX1 Â FX2) = T

V EY A−esnek bulank i³lem denir. Burada µÂ(u) = 1 |U| X i,j µT(ai)µT(ai)(uj) ve µT(ai)(uj) =    1, uj ∈ fT(ai) 0, uj ∈ f/ T(ai)

Buradaki sÂTkümesine, U üzerindeki V EY A-karar bulank kümesi denir.

Önerme 5.1.3. FX1, FX2 ∈ F P S(U)olsun. Öyleyse;

i. s≺(FX1 ≺ FX2) = s≺(FX2 ≺ FX1)

ii. sÂ(FX1 Â FX2) = sÂ(FX2 Â FX1)

spat . i. FX1 ≺ FX2 = FX2 ≺ FX1

ii. FX1 Â FX2 = FX2 Â FX1,

6.1 VEYA-fps-karar Verme Metodu

U alternatier içeren evrensel küme ve E parametrelerin kümesi olsun. U üzerinde bir

V EY A-fps-karar verme metodunun algoritmas a³a§daki gibi in³a edilmi³tir.

Adm 1. E üzerinde uygun bir X1 ve X2bulank alt kümesini seçelir,

Adm 2. U üzerinde FX1 ve FX2 f ps-kümesini in³a edilir,

Adm 3. FX1 Â FX2 VEYA-ortalamasn bulunur,

Adm 4. sÂ(FX1 Â FX2) V EY A-bulank karar kümesini hesaplanr.

6.2 VE-fps-karar Verme Metodu

U alternatier içeren evrensel küme ve E parametrelerin kümesi olsun. U üzerinde bir

V E-fps-karar verme metodunun algoritmas a³a§daki gibi in³a edilmi³tir.

Adm 1. E üzerinde uygun bir X1 ve X2bulank alt kümesini seçelir.

Adm 2. U üzerinde FX1 ve FX2 f ps-kümesini in³a edelir.

Adm 3. FX1 ≺ FX2 V E−ortalamasn bulunur,

Bu bölümde V EY A-fps-karar verme metodu ve V E-fps-karar verme metodu için birer uygulama verilecek.

7.1 VEYA-fps-karar Verme Metodunun Bir Uygulamas

Bu alt bölümde, V EY A − fps−karar verme metodu için bir uygulama örnegi verelim.

U = {u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8}, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 için ui elemanlar sras ile

bir rmann yatrm yapmay dü³ündü§ü Türkiye'deki ³ehirlerden Istanbul", Ankara ", Izmir", Adana", Denizli", Kilis", Tokat" ve Bursa" olsun. E = {a1, a2, a3, a4, a5},

i = 1, 2, 3, 4, 5 için ai elemanlar srasyla ula³m", i³ gücü", pazar", kazanç" ve

sat³" parametreleri olsun.

Burada, p = 1 kabul edelim. Firmann yönetim kurulunun iki üyesi X1ve X2 olsun. Her

bir üye kendi bulank küme paremetrelerini gözünene alacaktr. Buna göre bu üyelerin parametrelerinden yola çkarak V EY A-fps-karar verme metoduyla rmann yatrm yapaca§ ³ehri tespit edelim.

Adm 1: X1 ve X2 üyelerinin srasyla E üzerinde a³a§daki bulank kümeleri a³a§daki

gibi olsun.

X1 = {0.9/a1, 0.1/a2, 0.5/a3, 0.9/a5}

ve

Adm 2: U üzerinde FX1 ve FX2 f ps−kümeleri a³a§daki gibi yazlsn. FX1 = ½ (0.9/a2, {u3, u4, u5}), (0.1/a3, {u1, u2, u3, u4}), (0.5/a4, {u5, u7, u8}), (0.9/a5, {u3, u4, u5}) ¾ FX2 = ½

(0.2/a1, {u1, u2, u5, u6}), (0.3/a3, {u3, u4, u5, u8}), (0.7/a4, {u5, u8}),

(0.8/a5, {u3, u4, u6, u7, u8})

¾

Adm 3: Buradan, FX1 Â FX2 VEYA-ortalamas a³a§daki gibi elde edilir,

FX1 Â FX2 = ½ (0.10/a1, {u1, u2, u5, u6}), (0.45/a2, {u3, u4, u5}), (0.20/a3, {u1, u2, u3, u4, u5, u8}), (0.60/a4, {u5, u7, u8}), (0.85/a5, {u3, u4, u5, u6, u7, u8}) ¾

Adm 4: V EY A-fps-karar verme metoduyla V EY A-karar bulank kümesi a³a§daki gibi hesap edilir,

{0.037/u1, 0.037/u2, 0.187/u3, 0.187/u4, 0.275/u5, 0.118/u6, 0.181/u7, 0.206/u8}

Burada açkca görüldü§ü gibi, u5 elemannn üyelik derecesi 0.275 ile en büyüktür. O

halde, alternatier arasndaki en iyi seçenektir. Yani, V EY A-fps-karar verme metoduyla Denizli'nin en iyi yatrm yeri oldu§u sonucuna varlm³tr.

7.2 V E-fps-karar Verme Metodunun Bir Uygulamas

Bu alt bölümde, V E − fps−karar verme metodu için bir uygulama örnegi verelim.

U = {u1, u2, u3, u4, u5, u6} i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8için ui elemanlar sras ile bir seyehat

acentasnn satn almay dü³ündü§ü otobüsleri olsun. E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9},

i = 1, 2, ..., 9_{için e}i elemanlar srasyla pahal", tasarm", estetik",büyüklük",geni³

Burada, p = 1 kabul edelim. Seyehat acentasnn iki üyesi X1 ve X2 olsun. Her

bir üye kendi bulank küme paremetrelerini gözünene alacaktr. Buna göre bu üyelerin parametrelerinden yola çkarak V E-fps-karar verme metoduyla seyehat acentasnn satn alaca§ otobüsü tespit edelim.

Adm 1: X1 ve X2 üyelerinin srasyla E üzerinde a³a§daki bulank kümeleri a³a§daki

gibi olsun.

X1 = {0.9/a1, 0.1/a2, 0.5/a3, 0.9/a5}

ve

X2 = {0.2/a1, 0.3/a3, 0.7/a4, 0.8/a5}

Adm 2: U üzerinde FX1 ve FX2 f ps−kümeleri a³a§daki gibi yazlsn.

FX1 = ½ (0.9/a2, {u3, u4, u5}), (0.1/a3, {u1, u2, u3, u4}), (0.5/a4, {u5, u7, u8}), (0.9/a5, {u3, u4, u5}) ¾ FX2 = ½

(0.2/a1, {u1, u2, u5, u6}), (0.3/a3, {u3, u4, u5, u8}), (0.7/a4, {u5, u8}),

(0.8/a5, {u3, u4, u6, u7, u8})

¾

Adm 3: Buradan, FX1 ≺ FX2 V E−ortalamas a³a§daki gibi elde edilir,

FX1 ≺ FX2 = ½ (0.10/a1, {u1, u2, u5, u6}), (0.45/a2, {u3, u4, u5}), (0.20/a3, {u1, u2, u3, u4, u5, u8}), (0.60/a4, {u5, u7, u8}), (0.85/a5, {u3, u4, u5, u6, u7, u8}) ¾

Adm 4: V E-fps-karar verme metoduyla V E-karar bulank kümesi a³a§daki gibi hesap edilir,