Genel Matematik II-2

I.

BÖLÜM

BELİRSİZ İNTEGRAL

1.0 İntegralin Tarihçesi

Dilimize İngilizceden ve Fransızcadan geçmiş olan integral sözcüğü “bütüne ait olan” anlamına gelir.

İntegral ya da Tümlev, en genel anlamıyla bir fonksiyon eğrisinin altında kalan alanı anlatır ya da başka deyişle fonksiyon türevinin tersi olan bir fonksiyon elde edilmesini sağlar.

İntegral, toplam kelimesinin (sum) baş harfi S’nin biraz evrim geçirmiş hali olan



işareti ile gösterilir. Bu gösterim Leibnitz tarafından tanımlanmıştır.

 

 

F x 



f x dx c

c bir sabit gösterir ve integralin bir sabit farkı ile bulunabileceğine işaret eder.

Bir eksen takımında gösterilen f x fonksiyonunun altında kalan a x b

 

  aralığındaki alan, integral yardımıyla hesaplanır. Bu amaçla alan küçük dikdörtgenlere bölünerek bunların alanı hesap edilip toplanır. Dikdörtgen sayısı arttıkça toplam eğri altındaki alan, alanın değerine yaklaşır ve integralin tam değeri bulunmuş olur. Bu toplama Riemann toplamı denir. İntegralin Riemann anlamındaki tanımı Riemann toplamındaki bölüntü sayısı olan n’nin bir limit içerisinde sonsuza götürülmesiyle elde edilir.

 

 

 

 

0 1 lim b n i i x i a S f x x f x dx F b F a   _ 



 

_

 

Bu şekilde integral belirli sınırlar arasında hesaplandığı için belirli integral olarak adlandırılır. Sınırlar göz önüne alınmadan hesaplanan integrale ise belirsiz integral denir. Bazı durumlarda f x fonksiyonunun integrali

 

F x bulunamaz. Bu durumda belirli integral

 

sayısal olarak hesaplanır.

Uzunluk, alan ve hacimlerin hesaplanmasında integral hesabın önemli yeri vardır. Birden fazla değişkene bağlı fonksiyonlarda integral kavramı genişletilebilir ve bu durumda katlı integraller ortaya çıkar.

Riemann’dan sonra soyut kümelerin de integrallenebilmesi amacıyla Lebesque integrali geliştirilmiştir.

Tanım: f x( ) _ve F x( ) _{fonksiyonları bir}  R açık aralığında tanımlanmış olsun. Eğer F x( )

fonksiyonunun  aralığında türevi mevcut ve bu türev her x için

( ) ( )

F x  f x ise

( )

F x _fonksiyonuna f x( ) _{fonksiyonunun bu aralıkta bir antitürevi veya belirsiz integrali}

denir. Bu integral

_

f x dx F x( ).  ( ) şeklinde gösterilir.

Burada f x( ) _{ifadesi integrant, x ise integralin değişkeni adını alır.}

 aralığında tanımlanmış bir f(x) fonksiyonu için F(x) antitürev ise bu aralıkta c keyfi bir sabit olmak üzere F(x)+c ’ nin de antitürev olduğu görülür. O halde;

( ). ( )

f x dx F x



+ c

yazılır. Böylece f x( ) en genel antitürevi F(x)+c’ dir.

Örnek: f(x)=_x3 _{fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun antitürevi}

4 3_. 4 x x dx c



’ dır. Yani 4 ( ) 4 x F x  olur.

1.1 Temel İntegral Formülleri 1.

_

dx x c  2.

_

a f x d x a f x dx

 



_

 

3.

_



f x

 

_g x dx

 





_

f x dx

 

_

_

g x dx

 

4.





1 1 1 n n x x dx c n n      



5. dx lnx c x  



6. _{e dx e}x. _ x_c



7. , 0, 1 ln x x a a dx c a a a    



8.



cosx dxsinx c 9.



sinx dx cosx c 10. 2 2 1 sec tan cos x dx dx x c x   





11. 2 2 1 cosec cot sin x dx dx x c x    





12.

_

sec tanx x dxsecx c

13.

_

cosec cotx x dx cosecx c

14. _cosh2 tanh dx x c x 



15. _sinh2 cot h dx x c x   



16. 2 2 1 arctan dx x c x a  a a



17. ₂dx ₂ arcsinx c a a x  



18.



tanx dx lncosx c 19.



cotx dxlnsinx c

20.



secx dxln sec



xtanx



c

21.



cosecx dx ln cosec



xcotx



c

22. 2 2 1 ln 2 dx x a c x a a x a     



23. 2 2 1 ln 2 dx x a c a x a x a     



24. ₂dx ₂ ln



x x2 a2



c x a    



25. ₂dx ₂ ln



x x2 a2



c x a    



26.



cosh .x dxsinhx c 27.



sinh .x dxcoshx c 28. ( ). ln ( ) ( ) f x dx f x c f x   



29.





2 ( ) ( ). ( ). 2 f x f x f x dx  c



30.





1 ( ) ( ) . ( ). , 1 1 n n f x f x f x dx c n n       



31. ( ) ( )_{. ( ). , 0, 1} ln u x u x a a u x dx c a a a     



32.

_

f x dx F x( ).  ( )+ c  f ax b dx( ). 1F ax b( ) c a    



1.2 İntegral Alma Yöntemleri 1.2.1 Değişken Değiştirme Yöntemi

İntegrali alınan fonksiyon f x dx gibi daha basit bir ifadeye dönüştürülerek integral alınır.

 

Bu durumu örneklerle inceleyelim.

Örnek:



3x5.dx integralini hesaplayınız. Çözüm:_{3x 5 u}2 _{dersek 2 . 3} 2 3 u du dxdx udu olur.



3x5.dx= 2.2 . 3 u u du



=2 2_. 3



u du = 3 2 . 3 3 u c  =2. 3 9 u c 2 _{3 5 3 5} u  x  u x olduğundan =2_{. 3}



₅



32 9 x c bulunur.

Örnek:



x x. 1dx integralini hesaplayınız.

Çözüm: 2 2 1 1 x u  x u  dersek dx2 .u du bulunur.

_

x x. 1dx=



_u2_{1 .}



_u2_{.2 .u du}



=





u21 .2 .



u du2 =





2u42u du2



=_{2 u du}4 _{2 u du}2





=2. 5 5 u - 2. 3 3 u +c 5 2 5 _{( 1)} u  x ve 3 2 3 _{( 1)} u  x olduğundan

=2( 1)52 2( 1)32 5 x 3 x c bulunur. Örnek:





8 2 arctan7 1 49 x dx x 



integralini hesaplayınız. Çözüm: uarctan7x _dersek 7 ₂ 1 49 du dx x   olur.





8 2 arctan7 1 49 x dx x 



= 8_{. .}1 7 u du



=1 8. 7



u du = 9 1 . 7 9 u c  = 9 63 u c  u yerine yazılırsa =





9 arctan 7 63 x c  elde edilir. Örnek:

_

₂ 3 ₉

_

dx x x 



integralini hesaplayınız. Çözüm: u=1 x dersek 2 du dx u   olur.

_

₂ 3 ₉

_

dx x x 



= 2 3 1 _2. 1 ₉ du u u u   _     



= 2 3 3 1 2 9 du u u u u        



= 2 3 2 9 u du u  



= 2 3 1 27 . 27 2 9 u du u  



burada _{t 2 9u}3 _{diyelim. dt27u du}2 _‘dır. = 1 27 dt t 

_

= 1 ln 27 t c

  t’yi yerine yazalım. = 1 _{ln(2 9 )}3

27 u c

   u’yu yerine yazalım.

= 3 1 1 .ln(2 9 ) 27 x c     _{ }   

= 3 3 1 2 9 ln 27 x c x     _{ }   elde edilir. Örnek: 4 5 1 x dx x 



integralini hesaplayınız. Çözüm: _ux5_{1 dersek du5x dx}4 _bulunur. 4 5 ₁ x dx x 



= 4 5 1 5 5 1 x dx x 



= 1 5 du u



=1ln 5 u c =1_ln



5 ₁



5 x  c elde edilir.

1.2.2 Özel Durumlarda İntegral Alma Yöntemleri

a. _a2_{b x}2 2 _{ifadesini içeren fonksiyonların integrallerini bulmak için;} x asint

b  değişken değiştirilmesi yapılır. Örnek: 2 2 25 4x dx x 



integralini hesaplayınız. Çözüm: 5sin 2 x t dersek 5cos . 2 dx t dt olur. 25 4x₂ 2dx x 



= 2 2 25 25 4. sin 5 4 _{. cos} 25 ₂ sin 4 t tdt t 



=





2 2 25 1 sin ₅ . cos 25_sin 2 4 t tdt t 



= 2 2 cos 2 sin t dt t



= 2 2 1 sin 2 sin t dt t 



=2 1₂ 2 sin tdt dt





= 2cot t  2t c

5 sin 2

x t dönüşümü dik üçgende düşünürsek cot 25 4 2 2

x t

x



 olur. Ayrıca arcsin2 5 x t olduğundan 2 2 25 4x dx x 



= 2. 25 4 2 2.arcsin2 2 5 x x c x     elde edilir.

b. _a2_{b x}2 2 _{ifadesini içeren fonksiyonların integralini bulmak için; x} a_tant

b  değişken dönüşümü yapılır. Örnek: _{2 2} 25 dx x x



integralini hesaplayınız. Çözüm:x5 tant dersek 5 1₂ cos dx dt t  olur. _{2 2} 25 dx x x



= _{2 2} 2 1 5 . cos 25 tan t 25 25 tan t tdt



= _{2 2} 2 1 5 . cos 25 tan t 25.(1 tan ) t tdt



, 2 2 1 1 tan cos t t   olduğundan = 1 cos₂ 25 sin t dt t



usint dersek ducos .t dt

= 1 2. 25 u du 



= 1 1. 25 u c

  u’yu yerine yazarsak = 1 . 1

25 sint c

 

5.tan

x t dönüşümünü dik üçgende düşünürsek sin ₂

25 x t x   bulunur. O halde _{2 2} 25 dx x x



= 1 . 2 25 25 x c x    elde edilir.

c. _{b x}2 2_a2 _{ifadesinden başka köklü ifade kapsamayan fonksiyonların integralini bulmak}

için;

cos

a x

b t

Örnek: ₂ 9 dx x x 



integralini hesaplayınız Çözüm: 3 cos x t  dersek 2 3sin cos t dx dt t  ’dır. ₂ 9 dx x x 



= 2 2 1 3sin . cos 3 9 9 cos cos t dt t t t 



2 9 3sin 9 cos cos t t  t olduğundan = 2 1 3sin . 3 3sin cos cos cos t dt t _t t t



=1 3



dt =1. 3t c 3 3 arccos cos x t t x

   olmak üzere çözümde t’yi yerine yazarsak ₂

9 dx x x 



= 1 3 .arccos 3 xc elde edilir.

d. ni ax b biçimindeki köklü ifadeleri kapsayan fonksiyonları hesaplamak için

i

n ’lerin en küçük ortak katı k olmak üzere _{ax b t } k _{değişken değiştirmesi yapılır.}

Örnek: 3 5 1 8 1 x dx x   



integralini hesaplayınız Çözüm:_{x 1 t}15_{dersek dx15t dt}14 _’dır. 3 5 1 8 1 x dx x   



= 3 15 14 5 15 8 15 t t dt t 



= 5 14 3 8 15 t t dt t 



=15





t16 8t dt11



17 12 17 12 1 1 15 8. 17 12 15 10 17 t t c t t c    _  _      1









3 17 12 5 1 8 15 1 10 1 17 1 x dx x x c x   _{    } 



elde edilir.

e. R



sin , cosx x , sin x ve cos x fonksiyonlarının rasyonel fonksiyonu olmak üzere ;





sin , cos



R x x dx



integralinin hesabına tan 2

x t

 değişken değiştirmesi yapılırsa integral rasyonel bir fonksiyonunun integraline dönüşür.

 sin 2sin cos

2 2

x x

x olduğundan dik üçgendetan 2 x t  dönüşümünü düşünürsek 2 2 2 1 2 sin 2 . sin 1 1 1 t t x x t t t      

 

1.1 olur.

 _{cos 2x2cos}2_{x  1 1 2sin}2 _{x olduğundan cos 2cos}2 ₁ 2 x x  ’dır. Yine dik üçgendetan 2 x t  dönüşümünü düşünürsek 2 2 2 1 1 cos 2 1 1 1 t x t t      

 

1.2 olur.  2 1 1 tan arctan 2 2 2 1 x x t t dx dt t       2₂ 1 dx dt t   

 

1.3 bulunur. Örnek: 1 sinxdx



integralini hesaplayınız Çözüm: tan 2 x t

 dönüşümünü yapalım.

 

1.1 ve

 

1.3 ifadelerini kullanırsak

2 2 1 1 2 . 2 sin 1 1 1 ln ln tan 2 dx dt t x t t dt t c t x c        







elde edilir.

Örnek: 1 cosxdx



integralini hesaplayınız Çözüm: tan 2 x t

 dönüşümünü yapalım.

 

1.2 ve

 

1.3 ifadelerini kullanırsak

2 2 2 2 1 1 2 1 . 2 1 cos 1 1 1 1 1 1 2 ln ln 2 1 1 tan 1 2 ln tan 1 2 dx dt dt t x t t t t t c c t t x c x            _{ }          







elde edilir. Örnek: 1 cosxsinxdx



integralini hesaplayınız Çözüm: tan 2 x t

 dönüşümünü yapalım.

 

1.1 ,

 

1.2 ve

 

1.3 ifadelerini kullanırsak





 

2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 . 2 1 2 cos sin 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ln 2 2 1 2 1 2 1 1 2 ln 2 1 2 tan 1 2 1 ₂ ln 2 _{tan 1 2} 2 dx dt dt t t x x t t t t t t c t t t c t x c x      _       _{ }      _ _                    









elde edilir .

1.2.3 Konu İle İlgili Çözümlü Sorular

1. 1 ln dx x x



integralini hesaplayınız. Çözüm: ulnx dönüşümünü yapalım. Bu dönüşümden du dx x  olur. 1 ln du dx x x  u





lnu c ln ln



x



 elde edilir.c

2. 2 3 3 1 2sin_x x 4x _dx x x  _  _   _   



integralini hesaplayınız.

Çözüm: _ux3_{x dönüşümünü yapalım. O halde du}



_3x2₁



_{dx olur.}

2 2 3 3 3 1 3 1 2sin_x x 4x _dx 2 sin_xdx x _dx 4x_dx x x x x  _  _  _{ }  _  _  _  









2



cos



4 ln 4 x du x c u   

_

  2cos ln 4 ln 4 x x u c      _{2cos ln}



3



4 ln 4 x x x x      +c bulunur. 3. 1 x dx x



integralini hesaplayınız.

Çözüm: u x1 dönüşümünü yapalım. _u2 _{   x 1 x u}2_{1 olduğundan dx2udu}

olur.



2



_

_

2 2 3 1 2 2 2 1 2 2 3 u udu x dx u du x _u u u c        







2



1



3 2 1 3 x x c      elde edilir. 4. 4 cos sin x dx x



integralini hesaplayınız.

Çözüm: tsinx dönüşümünü yapalım. O halde dtcosxdx olur.

_

_

3 4 3 4 cos 1 sin 3 3 sin x t dx t dt c c x x         





’dır. 5. 2 arctan 1 x dx x 



integralini hesaplayınız.

Çözüm: tarctanx dönüşümünü yapalım. O halde 1 ₂

1 dt dx x   olur. Buradan





2 2 2 arctan 1 1 arctan 1 2 2 x dx tdt t c x c x      





bulunur.

6. 2 4 sin cos x dx x



integralini hesaplayınız.

Çözüm: ttanx dönüşümünü yapalım. O halde 2 1 cos dt dx x  olur. Böylece 2 2 2 4 2 2 2 sin sin tan

cos cos cos cos

x x dx dx dx x x  x x  x











3 3 2 1 _tan 3 3 t t dt c x c 



    elde edilir. 7. 2 2 4 3 x dx x x   



integralini hesaplayınız. Çözüm: _ux2_{4x3 dönüşümünü yapalım.}



_{2 4}





₂



2 du du x dx  x dx olur. 2 2 2 1 1 1 ln ln 4 3 4 3 2 2 2 x du dx u c x x c x x u  _{      }  





bulunur. 8. 4 2cos ₂ 1 sin x x e dx x        



integralini hesaplayınız. Çözüm: 4 2cos ₂ 4 2 cos 1 4 2 cos 4 1 sin x x x x x e dx e dx dx e dx x x             









1 4 2 4 x e x c    çözümü elde edilir. 9.



sin xdx5 integralini hesaplayınız.

Çözüm:_sin2_{x 1 cos}2 _{x olduğundan} 5



2



2

sin xdx 1 cos x sinx dx





şeklinde yazılabilir. cos t  x dönüşümünü yaparsak



2



2



2



2







2 4



1 cos x sinx dx 1u du   1 2 u u du







2 3 1 5 3 5 u u u c    _   _  

cos 2cos3 1cos5

3 5

x x x c

 

 _   _

  bulunur.

1.2.4. Kısmi İntegrasyon Yöntemi

 

 

 

. . . . . . . . . d u v du v u dv u dv d u v vdu u dv d u v vdu u dv u v vdu           











elde edilir.

Örnek:



xcosxdx integralini kısmi integrasyon yöntemi ile çözelim.

, cos

x u xdx dv _dersek du dx , vsinx _{olur. Bunları}

_

u dv u v.  . 

_

vdu ifadesinde yerine yazarsak

_

xcosxdx x sinx

_

sinxdx

xsinxcosx c bulunur. Örnek:



arctan x dx integralini çözelim.

arctanx u , dx dv dersek 1 ₂ , 1 du dx v x x    olur. 2 1 arctan arctan . . 1 x dx x x x dx x   





burada değişken değiştime yöntemi kullanarak

2 1

t  x dersek dt 2xdx _{olur. Bunları yerine yazarsak}

2 2

1

arctan arctan . . arctan .

1 dt x dx x x x dx x x x t     







.arctan 1ln 2 x x t c    _{t  1 x}2 _{olduğundan .arctan} 1_{ln 1} 2 2 x x x c     olur.

Örnek:n2, n N olmak üzere _sinn_xdx 1_sinn 1_x.cosx n 1 _sinn 2_{xdx... 1.4}

 

n n

  

  





olduğunu gösteriniz.

Çözüm: sinn_xdx sinn1_xsin_xdx





şeklinde yazalım. Kısmi integrasyon yöntemini kullanırsak _usinn1_{x, sinxdx dv dersek du}



_{n1 sin}



n2_{x.cosxdx v,  cosx}

elde edilir.





1 1 2 2

sinn _xdx sinn _xsin_{xdx }sinn _x.cos_{x n}1 cos _xsinn _xdx







_{ }sinn1_x.cos_x



_n1





1 sin_ 2 _x



sinn2_xdx

_{ }sinn1_x.cos_x



_n1





sinn2_xsinn _{x dx}





_{ }sinn1_x.cos_x



_n1 sin



n2_xdx



_n1 sin



n _xdx





son

bulunan satırdaki 3. terim ile integralini aldığımız ifade aynıdır. Aynı terimleri bir tarafa toplarsak şu elde edilir:

_n sinn_{xdx }sinn1_x.cos_x



_n1 sin



n2_xdx





sinn 1sinn 1 .cos n 1 sinn 2

xdx x x xdx

n n

  





  



bulunur. Bu da istenendir.

Ödev: n2, n N olmak üzere _cosn _xdx 1_cosn 1_x.sinx n 1 _cosn 2_{xdx... 1.5}

 

n n

  

 





olduğunu gösteriniz.

Yukarıda görülen

 

1.4 ve

 

1.5 formüllerine indirgeme formülleri denir.

Örnek:



sin xdx2 ve



cos xdx2 integrallerini indirgeme formülleri yardımı ile hesaplayınız. Çözüm:

 

1.4 formülünde n alırsak2

1 2

1 1

sinn_xdx sinn _x.cos_x n sinn _xdx

n n

  

  





2 1 1

sin sin .cos

2 2

xdx x x dx





  



olur. Bunu çözersek _sin2 1_{sin .cos} 1 1_{sin .cos} 1

2 2 2 2

xdx  x x dx  x x x c





bulunmuş

olur.

Benzer şekilde

 

1.5 formülünde n alırsak 2

1 2

1 1

cosn_xdx cosn _x.sin_x n cosn _xdx

n n

  

 





2 1 1

cos cos .sin

2 2

xdx x x dx





 



2 1 1

cos cos .sin

2 2 xdx x x x c 

_

   elde edilir. Hatırlatma:  2 1 cos 2 cos 2 x x   2 1 cos 2 sin 2 x x 

Örnek:



sin xdx4 integralini hesaplayınız.

Çözüm:

 

1.4 formülünü kullanırsak 4 1 3 3 2

sin sin .cos sin

4 4

xdx  x x xdx





olur. Bir

önceki örnekte



sin xdx2 1sin .cos 1

2 x x 2x c

    bulunmuştu. Bunu yukarıda yerine

yazarsak _sin4 1_{sin .cos}3 3 _sin2

4 4 xdx  x x xdx





4 3 3 1 3 1 1

sin sin .cos sin .cos

4 4 2 2

1 3 3

sin .cos sin .cos

4 8 8 xdx x x x x x c x x x x x c       _  _       



bulunur.

1.2.5. Rasyonel Fonksiyonların İntegrali

   

,

p x q x iki polinomu olmak üzere p x

_{ }

 

q x



q x

 

0



ifadesinin

 Payının derecesi paydasının derecesinden büyük veya eşit ise polinomlarda bölme işlemi yapılarak basit kesirlere ayrılır.

 Paydanın derecesi payının derecesinden büyük ise payda çarpanlarına ayrılabiliyorsa basit kesirlere ayrılabilir.

Örnek: 2 ₃ 1 x dx x  



integralini basit kesirlere ayırarak çözelim. Payının derecesi paydasının derecesinden büyük olduğundan _x2_{3 ifadesini x} ’e bölersek _{1 x}2 ₃



_x₁

 

_x  ₁



₄

olur. O halde 2 3 4 1 1 1 x x x x  _{  }   elde edilir.





2 _{3 4 4} 1 1 1 1 1 x dx x dx x dx dx x x x  _  _{ }  _{  }             









2 2 4ln 1 2 x x x c      bulunur. Örnek: 3 2 2 2 1 3 2 x x x dx x x     



integralini basit kesirlere ayırarak çözelim. Payının derecesi paydasının derecesine eşittir. Polinomlarda bölme yapılarak

3 2 2 2 2 1 12 9 4 3 2 3 2 x x x x x x x x x            şeklinde yazılabilir.





3 2 2 2 2 1 12 9 4 3 2 3 2 x x x x dx x dx dx x x x x    _{  }     







olur. İlk önce 2 12 9 3 2 x dx x x   



integralini irdeleyelim. 2 12 9 3 2 x x x 

  ifadesini basit kesirlerine ayıralım. 2

12 9 3 2 1 2 x A B x x x x        olmak üzere A 3,B15 _{; 2}12 9 3 15 3 2 1 2 x x x x x  _  _     bulunur.









2 2 2 2 2 1 12 9 3 15 4 4 3 2 3 2 1 2 x x x x dx x dx dx x dx dx dx x x x x x x    _{  }  _{  }  _      













2 4 3ln 1 15ln 2 2 x x x x c        çözümü bulunur. Örnek: ₂5 1dx x 



integralini hesaplayınız. Çözüm: 1.yol: 2 2 5 1 5 1 5 ln 1 1 2 1 x dx dx c x x x       





( Bkz: Temel integral formülleri, 22 )

2.yol: 2 5 1 x  ifadesini 2 5 1 1 1 A B x   x  x şeklinde yazıp 5 5 , 2 2 A B buluruz. Buradan 2 5 5 1 5 1 1dx 2 1dx 2 1dx x   x  x







5ln 1 5ln 1 2 x 2 x c      5 ln 1 2 1 x c x     _{ }    elde edilir. 1.2.6. Konu İle İlgili Çözümlü Sorular

1.

_

_

2 3 1 x dx x x  



integralini hesaplayınız. Çözüm:

_

_

2

_

_{ }

_

2 3 1 1 1 x A B C x x x x x  _{  }    şeklinde olup









2 ₂ 3 1 x  A x B x x Cx

olduğundan gerekli işlemler yapılarak A3,B 3,C 2 elde edilir. Buradan





2





2 3 3 3 2 1 1 1 x dx dx dx dx x x x x x  _{  }   









3ln 3ln 1 2 1 x x c x       3ln 2 1 1 x c x x      bulunur. 2.

_

₂

_

2 3 1 dx x x 



integralini hesaplayınız. Çözüm:

_

₂

_

2



2

 

₂

_

2 3 1 1 1 A Bx C Dx E x x x x x         şeklinde olup



₂



2







₃



₂ 3A x 1  Bx C x x Dx Ex bulunur. Buradan 3, 3, 0, 3, 0

A B  C D  E elde edilir. Şimdi bu değerleri yerine yazarsak integral şu hali alır:



₂



2 2



₂



2 3 3 3 3 1 1 1 dx x x dx dx dx x x x x      x 









2 2 3 3 1 3ln ln 1 2 2 1 x x c x       olur. 3.



_{e dx}x _{integralini hesaplayınız.}

Çözüm:_{x t} 2 _{dersek dx}_{2tdt olur. Bu dönüşümü integralde yerine yazarsak}

2 2

x t t

e dx e tdt  e tdt







olur. Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım._{t u e dt dv} , t _

olsun. O halde , t

du dt e v olur. Bunları integrale uygularsak

2 2 2 x t t t t t e dx e tdt _te  e dt_ _te e _c







bulunur. _{x t} 2 _olduğundan t x olur ve bu dönüşümü yerine yazarsak _{e dx}x _2 _xe x _e x_c  



elde edilir. 4.

_

ln x2dx integralini hesaplayınız.

Çözüm: . Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım.ln



x2



u dx dv,  olsun. O halde

, 2 dx du x v x  

 olur. Bunları integrale uygularsak









_

_

ln 2 ln 2 2 x x dx x x dx x     





ln



2



1 2 2 x x dx x      _  _   



ln



x2



x _ 2ln



x2



x_c olur. 5.



x8lnxdx integralini hesaplayınız.

Çözüm: . Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım._{lnx u x dx dv ,} 8 _{ olsun. O halde} 9 1 , 9 x dx du v x   bulunur. 9 9 9 8 8_{ln ln ln} 9 9 9 9 x x dx x x x xdx x x dx x    







9 9 8 9 1 1 ln ln 9 9 9 81 x x x x dx x x c  

_

   olur. 6. 2 cos sin sin 6 y dy y y



integralini hesaplayınız.

Çözüm:sin y t _dersek cos ydy dt _{olur. Bu dönüşümü integralde yerine yazarsak}

2 2 cos 1 sin sin 6 6 y dy dt y y  t  t





olur. ₂ 1 6

t  t ifadesini basit kesirlerine ayırırsak

2 1 6 2 3 A B t  t t t olup 1 1 , 5 5 A B  bulunur. 2 2 cos 1 1 1 1 1 sin sin 6 6 5 2 5 3 y dy dt dt dt y y  t  t  t  t









1ln 2 1ln 3 5 t 5 t c      1ln 2 5 3 t c t     olur.

sin y t _{olduğundan 2} cos 1ln 2 1ln sin 2

sin sin 6 5 3 5 sin 3

y t y dy c c y y t y          



bulunur. 7. cos₂ sin x x dx x



integralini hesaplayınız.

Çözüm: Kısmi integrasyon yöntemiyle çözelim. , cos₂ sin x x u dx dv x   olsun. O halde dx du ve sin x t dönüşümünü yaparsak 2 2 2 cos cos 1 1 1

sin sin sin

x x dv dx v dx dt x x t t x     

_



_

  bulunur. 2 cos 1 1

sin sin sin

x x dx x dx x x x       _{ } _{ }    





olur. İntegralde tan

2

x w

yapalım. 2 2 1 dw dx w 

 olur. Dik üçgenden yararlanarak 2 2 sin 1 w x w   bulunur. 2 2 2 1 ₁ ln ln tan 2 sin 2 1 dw dw x w dx w c c w x w w   _{      }     







çözümü elde edilir. Şimdi bu integrali

yerine yazarsak 2

cos 1 1 1

ln tan

sin sin sin sin 2

x x x dx x dx x c x x x x          _{ } _{ }  _{ }       





bulunur. 8.

_

_

2 1 x xe dx x



integralini hesaplayınız.

Çözüm: Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım. ,

_

_

2 1 x dx u xe dv x    olsun. O halde



1



, 1 1 x du x e dx v x      bulunur.





2





1 1 1 1 1 1 x x x xe dx xe x e dx x x x    _ _      





1 1 x x xe e dx x    _ _   



1 x x xe e c x      1 x e c x    olur. 9. x e dx2 x



integralini hesaplayınız.

Çözüm: Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım. _x2 _{u e dx dv,} x _{ olsun. O halde}

2 , x du_ xdx _e _v _bulunur. 2 2 2 x x x x e dx  x e  e xdx





2 x 2 x x e e xdx

  



olur.



e xdxx integraline kısmi integrasyon uygulayalım._{x u e dx dv} , x _{ olsun. Buradan dx du ,e}x_{v olur.}

x x x x x

e xdx _{ }xe _ e dx _{ }xe _e





bulunur. Şimdi bunu integralde yerine yazarsak

2 x 2 x ₂ x 2 x ₂ x x

x e dx  x e  e xdx  x e  _xe e _c





elde edilir.

10.



arctan xdxintegralini hesaplayınız.

2 1 , 1 du dx v x x    bulunur. 2 1 arctan arctan 1 xdx x x x dx x   





arctan 1 2 ₂ 2 1 x x x dx x   



_arctan 1_{ln 1} 2 2 x x x c     elde edilir. 11.



x5lnxdxintegralini hesaplayınız.

Çözüm: Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım. _{lnx u x dx dv ,} 5 _

olsun. O halde 6 1 , 6 x dx du v x   bulunur. 6 6 5_{ln ln} 1 6 6 x x x xdx x dx x  





6 6 6 6 1 ln ln 6 36 6 6 x x x x c x x  c     _  _   olur. 12. ₂ 2 4 x x e dx e  



integralini hesaplayınız. Çözüm: ₂ 2 4 x x e e   ifadesi 2



 



2 2 1 4 2 2 2 x x x x x x e e e e e e  _  _     olur. İntegral 1 2 x dx e 



halini alır. Burada _ex_{ }2 _{u dersek} 2 x du e dx du dx u   

 bulunur. Bulduklarımızı integralde yerine

yazarsak x1 ₂

_

₂

_

du dx

e   u u





olur. İntegraldeki ifadeyi basit kesirlerine ayırırsak



1 2



21 2



1 2



u u  u  u olur. Şimdi integrali çözelim:

x1 ₂

_

₂

_

1 1₂ 1₂ 1₂ du dx du du e   u u  u  u









1 1 ln ln 2 2 u 2 u c     , _ex_{ }2 _{u olduğundan} 1ln 2 1ln 2 2 x x e e c     1 2 ln 2 x x e e   bulunmuş olur. 13. 2 3 2 3 8 4 4 x dx x x x   



integralini hesaplayınız.

Çözüm: 2 3 2 3 8 4 4 x x x x    ifadesi





2 2 3 2 3 8 2 1 10 4 4 2 2 x x x x x x x         olur. İntegral





2 2 1 10 2 2 dx dx dx x  x  x







halini alır. 2 3 2 3 8 4 4 x dx x x x   



=

_

_

2 2 1 10 2 2 dx dx dx x  x  x







=2ln ln



2



10 2 x x c x      elde edilir. 14. 1 cosxdx



integralini hesaplayınız. Çözüm: 2 1 cos cos cos x x  x şeklinde yazılabilir. 2 2

cos x 1 sin x olduğundan integral

2 2

1 cos cos

cos cos 1 sin

x x

dx dx dx

x  x   x







halini alır. sin x t dönüşümünü yaparsak

cos xdx dt olur ve 2 2 cos 1 1 sin 1 x dx dt x  t  





elde edilir. İntegralin ifadesinin basit kesirlere ayrılmış hali 1 ₂ 1 1. 1 1. 1t  2 1t2 1t olur. 2 2 cos 1 1 1 1 1 . . 1 sin 1 2 1 2 1 x dx dt dt dt x  t  t  t    









1ln 1 1ln 1 2 t 2 t c       1ln 1 sin 1ln 1 sin 2 x 2 x c       bulunur.

15.



cos(ln )x dx integralini hesaplayınız.

Çözüm: Kısmi integrayon yöntemini uygulayalım. cos ln



x



u dv dx,  olsun. O halde





1

sin lnx dx du x v,

x

   olur. İntegralde bulduklarımızı uygularsak









1













 

cos lnx dx xcos lnx x sin lnx dx xcos lnx sin lnx dx... *

x      _{ }    







olur.





sin lnx u dv dx,  ve 1cos ln



x dx du x v



,

x   olur. O halde









1













 

sin lnx dx sin lnx x x cos lnx dx sin lnx x cos lnx dx... **

x

   







olur.

Görüldüğü gibi

 

** ifadesinde görülen integral çözümünü bulmak istediğimiz integraldir.

 

** ifadesini

 

* da yerine yazarsak

























cos lnx dx x cos lnx  sin lnx dx x cos lnx sin lnx x cos lnx dx







Şimdi



cos ln x dx





ifadesini eşitliğin sol tarafına atarsak

















1





1





1

2 cos ln cos ln sin ln cos ln cos ln sin ln

2 2 2

x dx x x  x x c  x dx x x  x x c





bulunur. 1

2csabit bir sayı olduğundan 1 1 2

c  c dersek













1

1 1

cos ln cos ln sin ln

2 2 x dx x x  x x c



elde edilir. 16. 2 cos x dx x



integralini hesaplayınız.

Çözüm: Kısmi integrayon yöntemini uygulayalım. , 1₂ cos

x u dv dx

x

  olsun. O halde

, tan

dx du v  xolur. cos ln





tan tan tan sin

cos x x dx x x xdx x x dx x    







xtanxln cos



x



 bulunur.c

17. _eaxcos_bxdx



integralini hesaplayınız.

Çözüm: Kısmi integrayon yöntemini uygulayalım. ax , cos

e u dv bxdx olsun. O halde 1 , sin ax ae dx du bx v b

  olur. axcos 1 axsin ax1sin

e bxdx e bx ae bxdx b b  





1 sin sin ax a ax e bx e bxdx b b   _{ }



_

Tekrar kısmi integrasyon uygulayalım. _eax _{u dv}, _sin_bxdx

ise ax , 1cos

ae dx du bx v

b



olduğundan _eaxcos_bxdx



=

1 1 1

sin sin sin cos cos

ax a ax ax a ax a ax e bx e bxdx e bx e bx e bxdx b b b b b b       _{ }  _  _  





2 2 2 1

sin cos cos

ax a ax a ax e bx e bx e bxdx b b b   



Buradaki 2 2 cos ax a e bxdx

b



integralini aradığımız için eşitliğin soluna atarak çözümü

bulabiliriz.

2

2 2

1

cos sin cos cos

ax ax a ax a ax e bxdx e bx e bx e bxdx b b b   





2 2 2 1

1 a _eaxcos_{bxdx e}axsin_bx a _eaxcos_bx

b b b

 

 _{ }  

 



cos 2 2 sin 2 2 cos

ax b ax a ax e bxdx e bx e bx c b a b a      



elde edilir. 18.

_

_

2 2 1 1 x x dx x x   



integralini hesaplayınız. Çözüm:

_

_

2 2 1 1 x x x x    ifadesi





2 2 2 1 1 1 1 1 x x x x x x   _{ }   olur.

_

_

2 2 2 1 1 1 ln arctan 1 1 x x dx dx dx x x c x x x x   _{    }  







bulunur. 19.

_

xln



x21



dxintegralini hesaplayınız.

Çözüm: Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım. ln



x2 1



u xdx dv,  olsun. O halde

2 2 2 , 1 2 x x dx du v x    bulunur.









2 2 2 2 2 2 ln 1 ln 1 2 2 1 x x x x x dx x dx x     









2 2 2 ln 1 2 1 x x x x dx x      _  _   







2 2 2 1 2 ln 1 2 2 1 x x x xdx dx x     













2 2 2 1 2 ln 1 ln 1 2 2 2 x x x x c       elde edilir. 20. cos_xxdx e



integralini hesaplayınız.

Çözüm: Kısmi integrasyonla çözelim. _ex _u, cos_{xdx dv olsun. O halde} , sin

x

e dx du x v

    bulunur. cos xsin xsin

x x dx e x e xdx e     





olur. Tekrar kısmi

olduğundan _excos_xdx



=_exsin_{x e}xsin_{xdxe}xsin_{x  e}xcos_{x e}xcos_xdx





 





xsin xcos xcos

e x e x e xdx

   



Buradaki xcos

e xdx



integralini aradığımız için eşitliğin soluna atarak çözümü bulabiliriz.

cos sin cos cos

x x x x

e xdx_{ }e x e_  x_ e xdx





_2 _excos_xdxexsin_{x e} xcos_x



cos 1 sin 1 cos

2 2

x x x

e xdx  e x e x c





   elde edilir.

Bu soru kısmi integrasyon yardımıyla da çözülebilir.

21.



cos cos sinx



x dx



integralini hesaplayınız.

Çözüm:usinx dersek cos xdx du olur. Bu dönüşümü integralde yerine yazarsak





cos cos sinx x dx cosudusinu c





olur. usinx olduğundan









cos cos sinx x dxsin sinx c



bulunur. 22.





3 11 x dx x 



integralini hesaplayınız. Çözüm:u 11 x dersek 1 1 2 2 x dx du  x dx du olur. Bu dönüşümü integralde yerine yazarsak









3 4 4 3 11 11 2 2 4 2 x _u x dx u du c c x       





elde edilir.

1.2.7 Trigonometrik Fonksiyonların İntegralleri A) sinm _xcosn _xdx



biçimindeki integraller

m veya n ’nin tek veya çift olma durumuna göre integralleri inceleyelim.

 m tek, n çift olması halinde cos x t dönüşümü yapılır.  m çift, n tek olması halinde sin x t dönüşümü yapılır.

 m tek, n tek olması halinde cos x t veya sin x t dönüşümü yapılır.  m çift, n çift olması halinde 2 1





sin 1 cos 2 2 x  x ve cos2 1



1 cos 2



2 x  x özdeşliklerini kullanarak çözülür.

Örnek:



sin5xcos2xdx integralini çözelim.m5,n2 _olduğundan cos x t dönüşümü yapılır. O halde sin xdx dt  olur.





2

5 2 4 2 2 2

sin xcos xdx sin xcos xsinxdx 1 cos x cos xsinxdx









2



2 2



2 4



2 1 t t dt 1 2t t t dt  

_

  

_

 





3 5 7 2 ₂ 4 6 2 3 5 7 t t t t t t dt   c      _   _  



3 5 7

cos 2 cos cos

3 5 7 x x x c    _   _   çözümü elde edilir.

Örnek:



sin2 xcos3xdx integralini çözelim.m2,n3 olduğundan sin x t dönüşümü yapılır. O halde cos xdx dt olur.





2 3 2 2 2 2

sin xcos xdx sin xcos xcosxdx sin x 1 sin x cosxdx









_

t2



1t dt2





_



t2t dt4



3 5 3 5 sin sin 3 5 3 5 t t x x c c       bulunur.

Örnek:



sin2 xcos2 xdx integralini çözelim.m2,n2 _olduğundan





2 1 sin 1 cos 2 2 x  x ve _cos2 1



_{1 cos 2}



2 x  x özdeşliklerini kullanacağız.



 







2 2 1 1 1 2

sin cos 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2

2 2 4 x xdx  x  x dx  x dx







1 1 1



1 cos 4



1 1 1 1cos 4 4 2 x dx 4 2 2 x dx      _   _  _   _    





1 1 1cos 4 1 1 1 1sin 4 4 2 2 x dx 4 2x 2 4 x c      _  _  _  _    



1 1 sin 4 8x 32 x c   

Örnek:



cos xdx4 integralini çözelim.n olduğundan 2 2 1





cos 1 cos 2 2 x  x özdeşliğini kullanacağız.





2





4 1 1 2

cos 1 cos 2 1 2cos 2 cos 2

2 2

xdx  x dx  x x dx

1 1 2cos 2 1



1 cos 4



2 x 2 x dx    _    _  







1 1 1 2 cos 2 1 cos 4 2 2 3 1 cos 2 cos 4 4 4 x x dx x x dx    _    _      _   _  





3 1 1 cos 2 cos 4 4x 2 x 16 x c     olur. B) tanm _xsecn _xdx



biçimindeki integraller

m veya n ’nin tek veya çift olma durumuna göre integralleri inceleyelim.

 m tek ise sec x t _{dönüşümü yapılır.}

 n çift ise tan x t dönüşümü yapılır.

 m çift, n tek ise kısmi integrasyon yöntemi uygulanır.

Örnek:



tan6xsec4 xdx integralini çözelim. n4 _olduğundan tan x t dönüşümü yapılır. O halde _{sec xdx dt}2 _{ olur.}



_tan6 _xsec4_xdx



_tan6_xsec2 _xsec2 _xdx

2 2

1 tan xsec xolduğundan 



tan6x



1 tan 2x



sec2xdx





t6



1t dt2









t6t dt8



7 9 7 9 t t c    7 9 tan tan 7 9 x x c    olur.

Örnek:



sec xdx integralini çözelim. sec sec

_



sec tan

_



sec tan x x x xdx dx x x   





şeklinde yazabiliriz.

Burada u



secxtanx



dönüşümü yaparsak du



tan .secx xsec2x dx



olur. O halde









sec sec tan

sec ln ln sec tan

sec tan x x x du xdx dx u c x x c x x u         







bulunur.