MESELESİNE TRİGONOMETRİDEN GETİRMİŞ OLDUĞU BİR ÖRNEK
D r . Remzi D E M İ R Bu meseleye ilk defa, h a r e k e t i n i m k â n ı problemini t a r t ı ş a n Elealı Zenon ( İ . Ö . 490-430) d i k k a t çekmiş ve Zenon p a r a d o k s a yönelttikleri için, sonsuz b ü y ü k ve sonsuz k ü ç ü k kümelerin olabilirliğini r e d d e t m i ş t i1. Aristoteles (İ.Ö. 384-322) ise, sonsuz kümeleri, b ü t ü n sayıların bir kü mesi olarak d ü ş ü n d ü ve değişmez varlıklar olarak objelerin sonsuz kü melerinin v a r oluş i m k â n ı n ı k a b u l e t m e d i2. Değişmezler, ona göre, sa dece gizil olarak sonsuz olabilirler, gerçekte ise sonsuz değildirler.
Eukleides (İ.Ö. y. 300)'in I I . ve V. p o s t ü l a l a r ı n d a sonsuzluk fikri m e v c u t t u r3. O n u n ünlü y o r u m c u s u Diadokos Proklos (410-485) d a , bir dairenin sonsuz t a n e çapının, bu daireyi, sonsuz sayıdaki çaplarının iki k a t ı sonsuzlukta p a r ç a l a r a taksim edeceği örneğine d a y a n a r a k , sonsuzun iki k a t ı n ı n olmasının gerçek olamıyacağını ve bu sebeple " G e r ç e k Son s u z d a n değil a n c a k "Gizil S o n s u z " d a n bahsedilebileceğini söylemekte d i r4.
O r t a ç a ğ b o y u n c a filozoflar nesnelerin Gerçek Sonsuz Kümelerinin olup olamayacağını tartışmışlar ve yine p a r a d o k s a g ö t ü r e n şöyle bir ö r n e k üzerinde d u r m u ş l a r d ı r : O r t a k merkezli iki çemberin sonsuz sayı daki o r t a k y a r ı ç a p l a r ı n ı n üzerinde yer alan birer n o k t a l a r ı , her z a m a n birbirleriyle bire bir eşleştirilebileceği için, bu iki k ü m e n i n eleman sayısı birbirine eşit olmalıdır. A n c a k yine de dıştaki dâirenin çevresi içtekinden d a h a b ü y ü k t ü r5.
1 Bu konuda bkz. Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modem Times, New York 1972, s. 992; Graham Flegg, Numbers, Their History and Meaning, Suffolk 1983, s. 256; Alfred Weber, Felsefe Tarihi, Çev.: Vehbi Eralp, III. Baskı, İstanbul 1964, s. 19-20; Timur Karaçay, "Sonsuzluğun Olağanüstü Üzellikleri", Matematik Dünyası, C. I, S. 1, Ankara 1991, s. 15-16.
2 M. Kline, s. 993. 3 G. Flegg, s. 256. 4 M. Kline, s. 993. 5 M. Kline, s. 993.
Galileo Galilei (1564-1642) de bu mesele ile y a k ı n d a n ilgilenmiş ve
Mekanikle İlgili İki Yeni Bilim Üzerine Söylevler ve Matematiksel Ka nıtlar (1638) adlı eserinde birisi a r i t m e t i k , diğeri ise geometrik olan iki
örnek teşkil edip b u n l a r üzerinde tartışmıştır.
Doğal sayılar ile b u n l a r ı n karelerini sonsuza k a d a r bire bir
eşleşti-rebiliriz. Şu halde, bu iki k ü m e n i n eleman sayıları ve dolayısı ile bu iki k ü m e birbirine eşit olacaktır. Ancak kare sayıların her biri aynı z a m a n d a
1 2 3 4 5 . . . 1 4 9 15 25 . . .
bir doğal sayı olduğu için, doğal sayılar kümesi içinde yer alacağından, kare sayılar kümesinin, doğal sayılar kümesinin bir alt kümesi olması, y a n i doğal sayılar kümesinin onu k a p s a m a s ı gerekir. B u r a d a n , d a h a bü y ü k bir sonsuzun d a h a k ü ç ü k bir sonsuza eşit olduğu şeklinde paradoksal bir neticeye ulaşılır ki bu d u r u m Galileo'yu hayretlere düşürecektir6.
Diğer örnek ise, d a h a önce sözünü etti ğim o r t a k merkezli çemberler örneğine çok benzemektedir. Bir A B C üçgeninin BC ta banına paralel olarak çizilen DE doğrusu, t a b a n d a n d a h a kısadır. Üçgenin A köşesinden t a b a n a doğru çizilecek h e r h a n g i bir doğru, DE doğrusunu her h a n g i bir x n o k t a s ı n d a , t a b a n ı ise herhangi bir y n o k t a s ı n d a kese cek, y a n i bu iki d o ğ r u n u n birer n o k t a l a r ı n ı birbirleriyle bire bir eşleştirecektir. A köşe sinden t a b a n a sonsuz sayıda doğru çizilebile-ceğinden, D E ' n i n b ü t ü n noktaları, BC'nin b ü t ü n n o k t a l a r ı ile eşleştirilebilir. Öyleyse D E üzerinde n e k a d a r n o k t a v a r s a BC üzerinde de o k a d a r n o k t a olacaktır ki b u , iki d o ğ r u n u n uzunluklarının birbirlerine eşit olduğunu söylemektir7.
Galileo, bu örneklere b a k a r a k , sonsuz nicelikler h a k k ı n d a k i " d a h a b ü y ü k " , " d a h a k ü ç ü k " ve "birbirlerine e ş i t " şeklindeki kıyaslayıcı ifâ delerin geçersiz olması gerektiği ve bu t i p mukayeselerin sadece sonlu
5 M. Kline, s. 993.
6 W.J. Reichmann, The Spell of Mathematics, Suffolk 1967, s. 169-1970; M. Kline; s. 993; G. Flegg, s. 256-257.
7 W.J. Reichmann, s. 171; M. Kline, s. 993; Cari B. Boyer, A History of Mathematics, New York 1968, s. 359-361.
nicelikler için yapılabileceği neticesine v a r d ı8. Böylece Galileo da para doksa yönelttikleri için sonsuz kümelerle işlem yapılamıyacağı fikrine i ş t i r a k etmiş oluyordu.
Galileo'dan t a k r i b e n ü ç yüz sene sonra, b ü t ü n b u gelişmelerden ha b e r d â r olan bir kimse, Georg Cantor (1845-1918), meseleyi farklı bir açı d a n ele alacak ve sonsuz kümelere bazı özel nitelikler atfederek p a r a doksları çözecektir9.
İ ş t e , 1584 t a r i h i n d e kaleme aldığı Ceridetü'd-Dürer ve
Haridelü'l-Fiker adlı e s e r i n d e1 0, İ s t a n b u l R a s a t h a n e s i ' n i n kurucusu, m a t e m a t i k ç i ve a s t r o n o m T a k i y ü d d i n bin Maruf (1521-1585), sonsuzlar meselesine b a ş k a bir s a h a d a n , t r i g o n o m e t r i d e n bir ö r n e k getirmektedir.
Bilindiği üzere, t a n j a n t ve k o t a n j a n t Ebu'1-Vefa El-Buzcani t a r a fından t r i g o n o m e t r i y e dahil edildiklerinde, bazı m a t e m a t i k ç i l e r b u n a itiraz etmişlerdi1 1. Çünkü 35 derecelik bir y a y ı n t a n j a n t ve k o t a n j a n t ı y a r ı ç a p b ü y ü k l ü ğ ü n e eşit olduğu halde, 45 derecenin ü s t ü n d e k i y a y l a r ı n t a n j a n t l a r ı b ü y ü k m i k t a r d a a r t a r a k 90 derecede sonsuz b ü y ü k l ü ğ e ulaş tığı gibi, bu derecenin a l t ı n d a k i y a y l a r ı n k o t a n j a n t l a r ı da a y n ı şekilde a r t a r a k 0 derecede sonsuz b ü y ü k l ü ğ e u l a ş m a k t a ve bu d u r u m lasyon işleminde b ü y ü k h a l a l a r a sebebiyet v e r m e k t e y d i . Oysa interpo-lasyon y ö n t e m i , t a n j a n t vs k o t a n j a n t t a b l o l a r ı n d a verilen değerler arası değerleri tesbit e t m e k için kullanılan yegâne y ö n t e m d i . Meselâ, tg 3° ve tg 4°'nin değerleri belli iken, interpolasyonla tg 3° 1 5 " n ı n de ğeri h e s a p edilebilir ve neticede h a t a a n c a k m i l y o n d a birler hanesinde gerçekleşir ki, bu çok k ü ç ü k olduğu için i h m a l edilebilir. B u n a r a ğ m e n tg 86° ve tg 87 ° belli iken interpolasyonla elde edilen tg 86° 15' nın değerindeki h a t a ise onda birler hanesine k a d a r y ü r ü m ü ş olacaktır ki, b u derece b ü y ü k bir h a t a i h m a l edilemez.
İ ş t e b u d u r u m karşısında, E b u ' r - R e y h a n EI-Beyruni yarıçapı " 1 " k a b u l ederek, t a n j a n t için sâdece 0° ile 45° arasındaki yayların, k o t a n j a n t içinse sadece 90° ile 45° a r a s ı n d a k i y a y l a r ı n kullanılmasını tavsiye
e t m i ş t i r1 2. İslam D ü n y a s ı ' n d a bu fonksiyonların ve
-8 W.J. Reichmann, s. 171.
9 W..J. Reichmann, s. 172; "Cantor, Gerog", "Cantor Köşegen Yöntemi", "Cantor Para doksu" maddeleri, AnaBritannica, C. 5, İstanbul 1987, s. 310-12.
10 Bu yazma eserin bir nüshası Kandilli Rasathanesi Kütüphanesi No: 183'de kayıtlıdır. 11 Salih Zeki, Asar-ı Bakiye. C. I, İstanbul 1329, s. 60.
Takiyüddin Muhammed bin Zeynüddin Maruf (Yüce Allah, Dünya ve Ahirette Her İkisini de Esirgesin)'un İcadı Olan Onlu Tanjant ve Kotanjant Tablosu (1)
Yay 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 Tanjant 0 1' 7'' 5''' 3 4 9 5 2 4 6 9 9 0 8 7 5 1 0 5 1 2 2 8 4 0 5 5 8 4 7 6 3 1 9 4 4 2 1 2 6 3 0 9 4 9 3 6 7 9 2 8 6 7 3 0 5 6 2 4 9 4 4 3 6 3 9 3 8 3 9 4 0 4 0 2 4 5 4 5 2 6 6 8 4 8 7 7 5 0 9 5 7 1 7 5 4 3 7 7 4 0 6 0'0"9''' 2 4 9 4 9 4 6 7 4 5 7 0 0 2 2 6 5 5 3 6 7 8 1 3 8 0 9 8 3 9 1 8 6 9 3 9 0 0 4 3 2 5 9 6 5 7 1 0 0 0 0 3 5 5 0 7 2 4 1 1 0 6 5 0 4 1 9 1 8 2 3 4 9 2 7 9 9 Fark 0 1'7"4'" 5 5 6 6 7 7 9 7 0 8 1 2 3 4 6 8 8 9 9 3 4 1 9 6 2 0 0 1 5 0 7 1 1 1 4 1 8 2 2 2 6 3 1 3 5 0 2'4"0'" 4 5 5 1 5 7 6 3 7 1 8 7 8 5 2 9 3 3 0 2 1 1 2 1 3 2 4 3 5 5 6 9 8 2 3 9 7 4 1 4 3 1 5 0 7 1 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 1 Bu tablo Ceridetü'd-Dürer'den alınmıştır.
Yay 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 Tanjant 3 2 7 0 3 7 6 4 4 2 8 1 4 8 2 6 5 3 9 9 6 0 0 3 6 6 4 3 7 3 2 1 0 1 8 0' 4" 0 1 8 8 0 7 1 9 6 2 6 2 0 5 0 3 1 4 4 5 2 4 6 0 3 5 5 9 4 7 5 1 6 0 5 1 7 4 7 5 2 9 0 4 2 3 0 7 7 7 2 7 0 9 4 8 7 6 3 7 3 2 1 4 0 1 0 8 3 3 1 5 47 0 4 6 5 1 4 4 6 5 6 7 1 3 6 8 1 3 8 7 1 0 4 3 8 1 4 4 3 0 9 4 1 1 4 1 1 4 3 0 1 1 4 3 0 0 7 1 9 0 8 1 1 2 8 6 3 6 3 5 7 2 9 0 1 sonsuz Kontanjant Fark 4 9 4 5 1 7 4 5 5 7 3 6 0 4 4 0 6 7 8 7 1 9 0 0 0 7 6 7 8 1 9 8 8 7 0 9 4 2 1 0 1 5 0 9 9 1 9 2 3 0 0 4 2 4 5 6 7 7 3 1 1 9 1 2 2 1 6 5 4 4 7 2 7 8 4 3 2 0 7 3 7 4 1 4 4 0 0 5 2 6 7 6 4 2 5 0 7 9 0 5 1 0 4 0 0 1 3 7 0 1 2 9 1 5 7 2 9 7 0 6 4 7 8 0 4 0 9 5 5 5 2 2 8 6 5 3 8 Sonsuz olmakla birlik te 90 'nin tg. dan ve ya 0 'nin ctg. dan da ha küçüktür. Bu ise acayip bir şeydir.
37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Yay
biçiminde ifâde edildikleri ve y a y a t â b i doğrular olarak bilinmedikleri B e y r u n i öncesi d ö n e m d e de, y a r ı ç a p " 6 0 " olarak kabul edildiği h a l d e bile, genel eğilim bu y ö n d e i d i1 3.
Böyle bir m a h z u r a r a ğ m e n , T a k i y ü d d i n Ceride'si için, birer derece lik fasılalarla 0° ile 90° arasındaki yayların ondalı sisteme göre t a n j a n t ve k o t a n j a n t l a r ı n ı gösterir bir t a b l o hazırlamıştır. Bu t a b l o d a 89 dere cenin t a n j a n t ı da ya 1 derecenin k o t a n j a n t ı 57,2901 olarak gösterilmiş
ve 90 derecenin t a n j a n t ı n ı n ya da 0 derecenin k o t a n j a n t ı n ı n karşısına ise " S o n s u z " ibaresi yazılmıştır. Şu d u r u m d a , 89° ile 90° arasındaki y a y l a r ı n t a n j a n t l a r ı n ı n ya da 0° ile 1o arasındaki yayların k o t a n j a n t -larının interpolasyon y ö n t e m i ile tesbit edilebilmesi için (— 57,2901) farkının bilinmesi gerekecektir. İ ş t e t a m b u n o k t a d a , T a k i y ü d d i n , son suz bir nicelikten sonlu bir nicelik çıkarılacak olursa, geriye yine sonsuz bir niceliğin kalacağını, a n c a k bu ikinci sonsuzun, birinci sonsuzdan da ha k ü ç ü k olacağını ve b u n u n s a şaşılacak bir şey olduğunu söylemekte ve böylece, sezgisel de olsa, farklı b ü y ü k l ü k t e sonsuz kiimelerin olabilece ğine d i k k a t çekmiş o l m a k t a d ı r .
Bu bilgilerin ışığı a l t ı n d a , T a k i y ü d d i n ' i n , 90 dereceden k ü ç ü k en az bir t a n e y a y ı n t a n j a n t ı n ı n ya da 0 dereceden b ü y ü k en az bir t a n e y a y ı n k o t a n j a n t ı n ı n interpolasyon y ö n t e m i ile tespit edilemiyeceğini bildi ğini söylememiz m ü m k ü n d ü r .
