Bazı X-Dizi Uzayları

BAZI  DİZİ UZAYLARI YÜKSEK LİSANS TEZİ

Rabia EKEN

Danışman: Prof. Dr. Fatih NURAY MATEMATİK ANABİLİM DALI

II T.C.

AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BAZI  DİZİ UZAYLARI

Rabia EKEN

YÜKSEK LİSANS TEZİ Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Fatih NURAY

AFYONKARAHİSAR Eylül 2006

III TEZ JÜRİSİ VE ENSTİTÜ ONAYI

Rabia EKEN’nin yüksek lisans tezi olarak hazırladığı “Bazı  Dizi Uzayları” başlıklı bu çalışma, lisansüstü yönetmeliğinin ilgili maddeleri uyarınca değerlendirilerek oy birliği/oy çokluğu ile kabul edilmiştir.

... / ... / …. İmza Jüri Üyesi : ……….. (Başkan) Jüri Üyesi : ……….. (Danışman) Jüri Üyesi : ………..

Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu’nun ………...…Gün ve ………sayılı kararıyla onaylanmıştır.

IV ÖZET

Yüksek Lisans Tezi BAZI  DİZİ UZAYLARI

Rabia EKEN

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Fatih NURAY

Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, gerekli olan temel tanım ve teoremlere ayrılmıştır. İkinci bölümde istatistiksel yakınsaklık kavramı gözden geçirilmiştir. Genelleştirilmiş De la Valée –Pousin ortalaması tanımlanarak (V,)- toplanabilirliği yardımıyla  - istatistiksel yakınsaklık genelleştirildi. Üçüncü bölümde f modulus fonksiyonu tanımlanarak modulus fonksiyonu yardımıyla bazı dizi uzayları tanımlanmıştır. De la Valée-Pousin yöntemi ile sıfıra kuvvetli hemen hemen toplanabilen, kuvvetli hemen hemen toplanabilen ve kuvvetli hemen hemen sınırlı dizilerin kümelerini bir modulus fonksiyon kavramıyla birleştirerek tanımlanmıştır. Dördüncü bölümde M Orlicz fonksiyonu kullanılarak Orlicz fonksiyonu yardımıyla bazı dizi uzayları tanımlanmış ve bu uzayların bazı topolojik özellikleri incelenmiştir.

2006, 55 sayfa

Anahtar Kelimeler: İstatitiksel yakınsaklık,  -istatistiksel yakınsaklık, Modulus fonksiyonu, Orlicz fonksiyonu, (V,)-toplanabilirlik, kuvvetli (V,)-toplanabilirlik, kuvvetli hemen hemen yakınsaklık.

V ABSTRACT

M.Sc. Thesis

SOME SEQUENCE SPACES

Rabia EKEN

Afyon Kocatepe University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Basic Science Subdivision of Mathematics

Supervisor: Prof.Dr. Fatih NURAY

This thesis consist of four section. First section has been assigned for basic definitions and theorems which are necessary. It has been looked over the concept of “statistical convergence” in second part. “Generalized De la Valee –Pousin means” has been defined and λ– statistical convergence has been generalized with help of to be collected of (V,)-summability. f modulus function has been defined and some sequence spaces have been defined with help of function of modulus in third section. The sets of strongly to zero almost summable of to be collected, strongly almost summable of to be collected, and strongly almost bounded sets has been merged and defined with a modulus function concept together by De la Valee –Pousin method. M Orlicz function and some sequence spaces have been defined with help of Orlicz function and topological caracteristic of some sequence spaces have been examined in fourth section.

2006, 55 pages

Keywords: Statistical convergence,  - statistical convergence, Modulus function, Orlicz function, (V,)- summability, strongly (V,)- summability, strongly almost convergence.

VI

İÇİNDEKİLER

Sayfa TEZ JÜRİSİ VE ENSTİTÜ ONAYI………....III ÖZET………IV ABSTRACT………..V İÇİNDEKİLER……….VI SİMGELER……….VII GİRİŞ……….1 BİRİNCİ BÖLÜM I.TEMEL KAVRAMLAR……….2 İKİNCİ BÖLÜM II.



- İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIK………7

2.1 İstatistiksel Yakınsaklık………7

2.2 A-istatistiksel yakınsaklık………...11

2.3 -istatistiksel yakınsaklık………...13

ÜÇÜNCÜ BÖLÜM III. MODULUS FONKSİYONU YARDIMIYLA TANIMLANAN BAZI  - DİZİ UZAYLARI……….……..18

3.1 Modulus Fonksiyonu………...18

3.2 Bazı Yardımcı Teoremler.………...21

3.3 Ana Sonuçlar………...24

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM IV. ORLİCZ FONKSİYONU YARDIMIYLA TANIMLANAN BAZI DİZİ UZAYLARI………...30 4.1. Orlicz Fonksiyonu………...30 4.2 Topolojik özellikler………..32 KAYNAKLAR………..38 TEŞEKKÜR………..40 ÖZGEÇMİŞ………...41

VII SİMGELER

N : Doğal sayılar kümesi R : Reel sayılar kümesi

C : Kompleks (Karmaşık) sayılar kümesi

K :N doğal sayılar kümesinin bir K alt kümesinin eleman sayısı : N lineer uzayı üzerinde bir norm

) (K

 : K kümesinin doğal yoğunluğu )

(K A

 : K kümesinin A- yoğunluğu

S : Bütün istatistiksel yakınsak dizilerinin kümesi



S : -istatistiksel yakınsak dizilerinin kümesi



l : Sınırlı dizilerin kümesi

0

w : Sıfıra kuvvetli toplanabilen dizilerin kümesi

w : Kuvvetli toplanabilen dizilerin kümesi



w : Kuvvetli sınırlı dizilerin kümesi )

(

0 f

w : f modulus fonksiyonu ile sıfıra kuvvetli toplanabilen dizilerin uzayı )

( f

w : f modulus fonksiyonu ile kuvvetli toplanabilen dizilerin uzayı )

( f

w_ : f modulus fonksiyonu ile kuvvetli sınırlı dizilerin uzayı

0

] ˆ

[c : Sıfıra kuvvetli hemen hemen yakınsak dizilerin kümesi ]

ˆ

[c : Kuvvetli hemen hemen yakınsak dizilerin kümeleri

0

] , ˆ

[c f : f modulus fonksiyonu ile sıfıra kuvvetli hemen hemen yakınsak dizilerin uzayı ]

, ˆ

[c f : f modulus fonksiyonu ile kuvvetli hemen hemen yakınsak dizilerin uzayı

0

] ,

[V  : De la Valée-Pousin yöntemi ile sıfıra kuvvetli toplanabilen dizilerin kümeleri ]

,

[V  : De la Valée-Pousin yöntemi ile kuvvetli toplanabilen dizilerin kümeleri



] ,

[V  : De la Valée-Pousin yöntemi ile kuvvetli sınırlı dizilerin kümeleri M

l : Orlicz dizi uzayı

0

] , , ˆ

[V  f : f modulusune bağlı (V,)metodu ile sıfıra kuvvetli hemen hemen yakınsak dizilerin uzayı

] , , ˆ

[V  f : f modulusune bağlı (V,)metodu ile kuvvetli hemen hemen yakınsak dizilerin uzayı

GİRİŞ

İstatistiksel yakınsaklık kavramı ilk olarak Fast (1951) tarafından tanımlanmıştır. Daha sonra Šalát (1980) reel sayıların istatistiksel yakınsak dizileri üzerine çalışmış, Fridy (1985), Connor (1988) istatistiksel yakınsaklığı incelemişlerdir.

Bir  {k_r}, k₀ 0 ve r iken h_r :k_r k_r1  olacak şekilde artan tam sayı dizisi Lacunary dizisi olarak adlandırılır. (Fridy and Orhan 1993)  bir lacunary dizisi olmak üzere } lim için bazı : { : x L S x L S_  _  

yı tanımlanmıştır. Mursaleen (2000),  (_n), _n1 _n 1 , ₁ 1 olmak üzere  giden azalmayan pozitif sayıların bir dizisi için



n n



I x x t _{n n} I k k n n n , 1 , 1 : ) ( 



     

Genelleştirilmiş de la Valée-Pousin ortalamasını kullanarak



- istatistiksel yakınsak dizi tanımını vermiş ve S_ ile

 

V, ve (C,1) metodları arasındaki bağıntıyı kurmuştur.

Nakano (1953) tarafından Modulus fonksiyonunu tanımlanmış, Ruckle (1973) modulus fonksiyonu kavramını kullanarak bazı kompleks dizi uzaylarını oluşturmuştur. Maddox (1986) bir f modulus fonksiyonunu kullanarak

}, 0 ) ( 1 lim : { ) ( 1 0



      n k k n _n f x w x f w ) ( : { ) (f x w x le w₀ f

w     bazı l sayısı için}, } ) ( 1 sup : { ) ( 1    



  n k k n f x n w x f w

dizi uzaylarını tanımlamış ve bu uzayların bazı özelliklerini incelenmiştir.

Savaş (1999) tarafından bir f modulus fonksiyonu kullanılarak genelleştirilen kuvvetli hemen hemen yakınsaklık kavramı (V,) metodu ile birleştirilerek yeni dizi uzayları oluşturulmuş, özellikleri incelenmiştir.

Lindanstrauss ve Tzafriri (1971) M, sürekli, konveks, azalmayan Orlicz fonksiyonunu kullanarak                   



 1 için 0 baz ı : ) ( k k k M x M x x l   dizi uzayını tanımlamışlardır.

I. BÖLÜM

TEMEL KAVRAMLAR VE TEOREMLER

Bu bölümde çalışmaya esas olan bazı tanım ve teoremler verilecektir. Tanım 1.1. (Sınırlı Dizi) : (sn)dizisi verilmiş olsun. Eğer nN için,

K s_n 

olacak şekilde bir K pozitif reel sayısı varsa (sn) dizisine sınırlı dizi denir (Balcı 1997).

Tanım 1.2 (Yakınsak Dizi): (s_n)bir reel sayı dizisi ve sR olsun.  0için

0

n

n olduğunda s_n  s  olacak şekilde  a bağlı bir n sayısı bulunabiliyorsa₀ (s_n) dizisi s ye yakınsaktır denir ve

s sn 

lim veya (sn)s

şeklinde gösterilir (Balcı 1997).

Tanım 1.3. : (s_n)dizisi verilmiş olsun.

1) Eğer nN için sn sn1 ise bu diziye monoton artan dizi denir.

2) Eğer nN için s_n s_n1 ise bu diziye azalmayan dizi denir. 3) Eğer nN için s_n s_n1 ise bu diziye monoton azalan dizi denir. 4) Eğer nN için sn sn1 ise bu diziye artmayan dizi denir

(Balcı 1997).

Teorem 1.1 : Monoton bir dizinin yakınsak olması için gerek ve yeter şart sınırlı olmasıdır (Balcı 1997).

Tanım 1.4. (Metrik ve Metrik uzay): X boş olmayan bir cümle olsun.   X X d : R fonksiyonu için, M1) d(x,y) 0 x y M2) d(x,y)d(y,x) (Simetri özelliği) M3) d(x,y)d(x,z)d(z,y) (Üçgen Eşitsizliği)

şartları sağlanıyorsa d ye X de bir metrik ve d ile birlikte X e metrik uzay denir ve genellikle )

,

(X d veya Xd ile gösterilir (Bayraktar 2000). 2

Tanım 1.5. (Lineer Uzay): L boş olmayan bir cümle ve F, reel veya kompleks sayılar cismi olsun. Aşağıdaki şartlar sağlanıyorsa L ye F üzerinde lineer uzay veya vektör uzayı denir.

A) L, + işlemine göre değişmeli bir gruptur.

G1) Her x,yLiçin xyLdir.

G2) Her x,y,zLiçin x(yz)(x y)zdir.

G3) Her xLiçin x  xxolacak şekilde  Lvardır.

G4) Her xLiçin x(x)(x)x olacak şekilde xLvardır.

G5) Her x,yLiçin xy  yxdir.

B) x,yLiçin ,Folmak üzere aşağıdaki şartlar sağlanır.

L1).xLdir.

L2) .(xy).x.y dir.

L3) ().x.x.x dir.

L4) (.).x.(.x) dir.

L5) 1.xx dir ( Burada 1, F nin birim elemanıdır.) (Bayraktar 2000).

Tanım 1.6. (Normlu Uzay): N bir lineer uzay olsun. 

N

: R

fonksiyonunun x noktasındaki değerini x ile gösterelim. Bu fonksiyon için,

N1) x 0x

N2)  x  x (F)

N3) x y  x  y (Üçgen Eşitsizliği)

şartları sağlanıyorsa fonksiyonuna N üzerinde bir norm denir ve genellikle (N, )ile gösterilir (Bayraktar 2000).

Tanım 1.7. (Cauchy Dizisi): X (X,d) bir metrik uzay ve (x_n)bu uzayda bir dizi olsun.Verilmiş herhangi bir  0için m,nn0olduğunda

  ) , (x_m x_n d

olacak şekilde bir n₀ n₀() sayısı varsa (x_n)dizisine Cauchy dizisi denir (Bayraktar 2000).

Tanım 1.8 : X normlu uzayındaki her (xn) Cauchy dizisi X üzerinde tanımlı norm metriğine göre yakınsak ve yakınsadığı değer X in elemanı ise, yani xn xX ise ( X, ) normlu

uzayına tamdır denir.

Tam normlu uzaylara Banach uzayı denir.

Tanım 1.9. (Frechet Uzayı): Bir X tam lineer metrik uzayına Frechet uzayı denir.

Tanım 1. 10. (FK uzayı): Eğer X in metriği w nin metriğinden daha kuvvetliyse yani X dizi uzayındaki yakınsaklık koordinatsal yakınsaklığı gerektiriyorsa X Frechet dizi uzayına FK uzayı denir. (Almancada F ve K harfleri Frechet ve Koordinate kelimeleri yerine kullanılır.)

Bazı yazarlar hem Frechet uzayı hemde FK uzayının tanımında konveksliği ele alırlar. Burada Maddox ve Wilansky tarafından yapılan tanımı kullanacağız.

Tanım 1.11: X  bir FK uzayı olsun. Eğer bütün x(x_k)_k_0X dizileri için ) ( 0 ) (  



 x e x n n k k

k ise AK özelliğine sahiptir denir. (AK Abschnittskonvergenz -kısımsal yakınsaklık- kelimesi yerine kullanılır.)

Tanım 1. 12. (Birim Matris): Karesel bir matriste köşegen elemanları 1, diğer elemanları 0 olan matrise birim matris denir (Hacısalihoğlu 1998).

Tanım 1. 13. (Üçgensel Matris): Bir A(aij) matrisinde her j içini aij 0 şartı sağlanıyorsa yani köşegen elemanların altında kalan bütün elemanlar 0 oluyorsa A ya üçgensel matris denir (Hacısalihoğlu 1998).

Tanım 1. 14. (Köşegen Matris): Esas köşegen haricindeki bütün elemanları sıfır olan matrise köşegen matris denir (Hacısalihoğlu 1998).

Tanım 1. 15. (Hausdorff Matrisi):  (0,1,2,...)bir kompleks dizi; M matrisi, ,...) 2 , 1 , 0 (   n

mnn n olan bir köşegen matris; D matrisi, k = 1,2,… ve ( ) n k binom katsayıları olmak üzere, ) ( ) 1 ( , 1 , ) 1 ( n _{n0 nk} k n_k nn d d d     

şeklinde bir üçgensel matris olsun.

DMD H

H  ()

matrisi  dizisi tarafından oluşturulan Hausdorff Matrisi olarak adlandılır. Bu matrisin elemanları, ) )( ( ) 1 ( n_{j k}j n k j k j nk h



    şeklindedir.

Tanım 1. 16. (Cesáro Matrisi):  1 olmak üzere  mertebeden Cesáro Matrisi. ,... 2 , 1 , 0  n ve k 1,2,...için, ) (    _{ } n n n n A

dizisi ile oluşturulan bir Hausdorff matrisidir ve C ile gösterilir. Bu matrisin elemanları,_

   n k n k n A A C 1 , ) (    şeklindedir.

Tanım 1. 17. (Toplanabilme) : l bir kompleks sayı olmak üzere,



   0 ) ( k k nk n x a x A serileri her n için yakınsak ve

l x A_n n ( ) lim

ise x dizisi l sayısına A - toplanabilirdir denir ve xl( A) ile gösterilir. Bu aynı zamanda adi toplanabilme tanımıdır.

Tanım 1.18. (Kuvvetli A-toplanabilirlik): 0 p olsun. Eğer, p k k nk x l a 



 0

serileri her n için yakınsak ve

0 lim 0  



    p k k nk n a x l

ise x dizisi p indeksi ile l sayısına kuvvetli A - toplanabilirdir denir ve xl

 

A p ile gösterilir.

Tanım 1.19. (Banach Limiti): D((x_k))(x_k1) olmak üzere, eğer l üzerinde tanımlı L_

lineer fonksiyoneli aşağıdaki şartları sağlıyorsa L ye bir Banach limiti denir. (i) x_k 0 ise L(x)0

(ii) Tüm x_ için L(Dx)L(x) ve

(iii) e(1,1,1,...) olmak üzere L(e)1.

Tanım 1.20. (Hemen Hemen Yakınsak Dizi): Bir x_ dizisinin tüm Banach Limitleri aynı ise bu diziye hemen hemen yakınsak dizi denir.

Lorentz (1948), bir x(x_k) dizisinin L ye hemen hemen yakınsak olması için gerek ve yeter şartın n ye göre düzgün olarak





    m k k n m _m x 1 1 lim L

II. BÖLÜM



- İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIK

Mursaleen (2000) tarafından (V,)- toplanabilirlik kullanılarak istatistiksel yakınsaklık kavramı genelleştirildi. Bu yeni metoda



- istatistiksel yakınsaklık denildi ve



- istatistiksel yakınsak dizilerin kümesi S_ ile gösterildi. (C,1)- toplanabilirlik ve (V,)- toplanabilirliğin istatistiksel yakınsaklık ile bağlantısı ele alındı. Bu bölümde istatistiksel yakınsaklık kavramı ve bu kavram üzerine genelleştirilen



- istatistiksel yakınsaklık kavramı tanımlanarak ilgili teoremler verilecektir.

2.1. İstatistiksel Yakınsaklık

Bu kısımda yoğunluk, istatistiksel yakınsaklık ve toplanabilirlik kavramları tanımlanacak, bu kavramlarla ilgili olarak tanım ve teoremler gözden geçirilecektir.

Tanım 2.1.1:  (_n), 1 1    n n   , ₁ 1

olmak üzere  giden azalmayan pozitif sayıların bir dizisi olsun.



n n



I x x t n n I k k n n n , 1 , 1 : ) ( 



     

ifadesine Genelleştirilmiş de la Valée-Pousin ortalaması denir.

Tanım 2.1.2: x(xk) dizisi için eğer,

L x t

n iken n( )

olacak şekilde bir L sayısı varsa x(x_k) dizisine L ye (V,)- toplanabilir denir. Eğer _n n ise o zaman (V,)- toplanabilirlik (C,1)- toplanabilirliğe dönüşür.

L ye kuvvetli (V,)- toplanabilir ve kuvvetli Cesáro toplanabilir x(x_k) dizilerinin kümeleri sırasıyla;

 

             



   n I k k n n n x L 0 1 lim , L : ) x ( x : , V R ve 7

 

      _{    } 



   n 1 k k n n x L 0 n 1 lim , L : ) x ( x : 1 , C R ile gösterilsin.

İstatistiksel yakınsaklık fikri Fast (1951) tarafından öne sürüldü ve birçok yazar tarafından çalışıldı (Connor 1989, Fridy 1985 ve Šalát 1980).

N doğal sayılar kümesinin bir K alt kümesinin kardinali (eleman sayısı) K ile gösterilsin, yani K :card K olsun.

Tanım 2.1.3: K ,N nin bir alt kümesi ve K_n :{k n:kK}olsun.

n K K n n liminf ) (  , n K K n n limsup ) ( 

sayılarına sırasıyla K kümesinin alt yoğunluğu ve üst yoğunluğu denir. K_nn

dizisinin limitinin var olması durumunda bu limite K kümesinin doğal yoğunluğu denir ve (K) ile gösterilir. Yani (K)(K)(K) eşitliklerinin sağlanması halinde K N kümesinin doğal yoğunluğu; } : { 1 lim lim ) ( k n k K n n K K n n n         

dir (Niven and Zuckerman and Montgomery 1991).

Doğal yoğunluk kavramının daha iyi anlaşılabilmesi için Gürdal (2004) de verilen aşağıdaki örneği inceleyelim.

Örnek 2.1.1: K {1, 4,5,6, 13,14,...,24, 49,50,...,96, 193,194,...} şeklinde verilsin. K indeks kümesi için K_nn

ifadesini oluşturalım. (a) K_nn

ifadesinin üst limitini (lim sup) oluşturan alt dizi,

3 2 ,... 96 64 , 24 16 , 6 4 , 1 1 _ ve (b) K_nn

ifadesinin alt limitini (lim inf) oluşturan alt dizi,

3 1 ,... 192 64 , 48 16 , 12 4 , 3 1 _

şeklindedir. Dolayısıyla bu örnek için

3 2 sup lim ) ( 3 1 inf lim ) (         n K K n K K n n n n  

olduğundan (K)(K)dir. Bu nedenle K kümesinin doğal yoğunluğu yoktur. Bu örnekten de anlaşılacağı gibi doğal yoğunluğu olmayan kümeler de vardır. Ama her bir küme için alt yoğunluk ve üst yoğunluk mevcuttur. (K) veya (N\K) yoğunluklarından herhangi biri mevcut ise (K)1(N\K) dır. Eğer K kümesi sonlu elemanlı bir küme ise (K)0 olduğu açıktır.

Şimdi istatistiksel yakınsaklık tanımını hatırlayalım.

Tanım 2.1.4: Her  0 sayısı için K:K():{k: x_k L } kümesinin yoğunluğu sıfır yani,



  



  _n k n xk L n : 1 lim =0

ise x(xk) dizisi L sayısına istatistiksel yakınsaktır denir ve S-lim x = L veya xk L(S) yazılır. S bütün istatistiksel yakınsak dizilerinin kümesidir (Fast 1951, Fridy 1985).

Adi anlamda yakınsaklık ile istatistiksel yakınsaklık arasındaki bağlantıyı kurmak için, bu iki kavramı karşılaştıralım. Bilindiği gibi, x reel sayı dizisi L ye yakınsak ise L nin her bir  komşuluğu dışında dizinin ancak sonlu sayıda elemanı kalabilir. Şimdi, L noktasının her bir  komşuluğu dışında dizinin sonlu sayıda değil, sonsuz sayıda da elemanının kalabileceğini kabul edelim. Fakat böyle elemanların sayısı dizinin tüm elemanlarının sayısına göre “çok çok az” olacaktır. Yani dizinin “hemen hemen” tüm elemanlarının, L nin  komşuluğu içerisinde olduğunu söyleyebiliriz. Buradan x dizisinin L noktasına “hemen hemen” yakınsak olduğunu anlarız. İstatistiksel yakınsaklık kavramı bu fikri matematiksel olarak kesin ifade eden kavramlardan biridir. Burada L noktasının  komşuluğu dışında kalan elemanlarının sayısının “az” olması, böyle elemanların doğal yoğunluğunun sıfır olması ile ifade edilir (Pehlivan 2001).

Teorem 2.1.1: S limxL olması için gerek ve yeter koşul (K)1 ve limx L

k

n

k 

olacak şekilde bir K {n₁ n₂ ...}N kümesinin mevcut olmasıdır (Fridy 1985 , Šalát 1980, Miller 1995).

Burada adi anlamda yakınsak olan her dizinin istatistiksel yakınsak olduğunu ifade etmek gerekir. Çünkü x dizisi L ye yakınsak ise her  0 için K {k: x_k L } kümesi sonlu sayıda eleman içerdiğinden yoğunluğu sıfırdır ((K)0). Yakınsak dizi sınırlı olmasına rağmen, istatistiksel yakınsak dizi sınırlı olmayabilir. Aşağıdaki örneklerden görülebileceği gibi sınırlı ıraksak ya da sınırsız ıraksak bazı diziler de istatistiksel yakınsak olabilirler (Gürdal 2004). Örnek 2.1.2:         2 2 , 0 ,...) 2 , 1 ( , , 1 n k n n k xk

şeklinde tanımlanan x(x_k) dizisini göz önüne alalım. Her  0 için ,...} 16 , 9 , 4 , 1 { } 0 x : k { K_  N _k    alındığında 0 1 lim lim ) (        _{n n} n K n n   elde edilir. O halde S-lim x = 0 dır.

Örnek 2.1.3:         2 2 , 3 ,...) 2 , 1 ( , , n k n n k k x_k

şeklinde tanımlanan x(xk)dizisi için S-lim x = 3 dir.

İstatistiksel yakınsaklık ile klasik toplanabilme metodları arasındaki ilişki Scoenberg (1959) ve Fridy (1985) tarafından incelenmiştir. Bu ilişkiyi vermeden önce toplanabilme hakkında gerekli ön bilgileri vereceğiz.

) (a_nk

A kompleks terimli bir sonsuz matris ve x(x_k) bir dizi olsun. Eğer



   1 : ) ( k k nk n x a x

A mevcut ise, Ax:(A_n(x))dizisine, (x_n) dizisinin A matrisi ile elde edilen dönüşüm dizisi denir. X ve Y reel ya da kompleks terimli dizilerinden oluşan iki dizi uzayı ve

) (ank

A sonsuz matris olsun. Eğer her xX için (An(x))dönüşüm matrisi mevcut ve

Y x A_n( ))

( ise A(a_nk) matrisi X de Y içine bir matris dönüşümü tanımlar denir ve X den Y içine tanımlı bütün matrislerin sınıfı (X,Y)ile gösterilir. Eğer A, X den Y içine bir matris dönüşümü ise, A(X,Y)şeklinde yazılır. (X,Y;p) ile toplam ya da limiti koruyan matrislerin sınıfı gösterilir. Örneğin, A(c,c;p)olması xn L olduğunda An(x)L olması demektir.

Bu tip matrislere Regüler matris adı verilir. A(c,c;p)olması için gerek ve yeter koşulları Silverman-Toeplitz teoremi vermektedir. Bu teoremi ispatsız vereceğiz.

Teorem 2.1.2: A(ank) toplanabilme matrisinin regüler olması için gerek ve yeter şart (i) Her k = 1,2,… için lim 0

  nk n a , (ii) lim 1 1 



    k nk n a ,

(iii) Pozitif bir M sayısı için



     1 sup k nk n M a , olmasıdır. Örnek 2.1.4:                           ... ... 0 ... 0 0 ... 0 0 0 1 4 1 4 1 4 1 4 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 C ve                           ... 1 0 0 0 ... 0 1 0 0 ... 0 0 1 0 ... 0 0 0 1 I

ile verilen C Cesáro matrisi ve I birim matrisi Teorem 2.1.2 nin koşullarını sağladığı için her1

ikisi de regülerdir.

Hiçbir matris toplanabilme metodu istatistiksel yakınsaklık metodunu içermez. Yani her

s

x için AlimxS limxL olacak şekilde bir A matrisi yoktur (Fridy 1985).

2.2. A-istatistiksel Yakınsaklık

Bu kısımda N doğal sayılar kümesinin bir K alt kümesinin yoğunluğu tanımlanarak A-istatistiksel yakınsaklık kavramı çalışılacaktır.

Tanım 2.2.1: A(ank)negatif olmayan regüler bir matris ve K  N olsun. n K n K k nk n A(K): lim a lim(A )        



limiti mevcut ise A(K) sayısına K kümesinin A- yoğunluğu denir (Freedman and Sember 1981).

) (K A

 veya A(N\K)yoğunluklarından herhangi bir mevcut ise A(K)1A(N\K) dir. 11

Eğer K kümesi sonlu elemanlı bir küme ise her A negatif olmayan regüler matris için K kümesinin A – yoğunluğu sıfırdır. (A(K)0). Burada K sonlu bir küme ise onun karakteristik dizisi K sonlu 1 lere sahiptir. Böylece lim_( K)n 0

n  ve A regüler olduğundan 0 ) ( lim    K n n A dır. Örnek 2.2.1:         2 2 , 0 ,...) 2 , 1 ( , , 1 n k n n k a_nk

şeklinde tanımlanan A(a_nk) matrisini göz önüne alalım. Bu durumda, K {k n2 :nN}

kümesi için _A(K)1ve K' {k n2:n N} kümesi için _A(K')0 dır.

Tanım 2.2.2: A(a_nk)negatif olmayan regüler bir matris olsun. Her  0 sayısı için }

: N

{k x_k L  kümesinin A- yoğunluğu sıfır yani , 0 }) : N ({     _A k x_k L

ise x(x_k) dizisi L sayısına A- istatistiksel yakınsaktır denir. Bu durum S_A  limx L ile gösterilir (Connor 1989, Kolk 1991).

Eğer, AC₁ alınırsa istatistiksel yakınsaklığın tanımı elde edilir.

Şayet bir x dizisi L ye yakınsak ise her  0 için {k: x_k  L }sonlu küme olup bu kümenin A- yoğunluğu sıfırdır. Böylece her negatif olmayan regüler A matrisi için A- istatistiksel yakınsaklık regüler toplanabilme metodudur.

Örnek 2.2.2:                         ... 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 1 0 3 1 3 1 2 1 2 1 A

şeklinde tanımlansın ve x(1,0,1,0,...)olsun. Burada x dizisi istatistiksel yakınsak olmamasına rağmen, sıfıra A- istatistiksel yakınsaktır. Dikkat edilirse eğer  1 için {k: xk 0  }  olup bu kümenin A- yoğunluğu sıfırdır. Eğer 0 1 ise

,...} 7 , 5 , 3 , 1 { } 0 : {     k xk  K

dir. Burada _k (1,0,1,0,...), A_k (0,0,0,...) ve _A(K)0 dır. O halde her  pozitif sayısı için _A({k: x_k 0 })0 dır. Örnek 2.2.3:         2 2 , 0 ,...) 2 , 1 ( , , 1 n k n n k a_nk

şeklinde tanımlanan A(ank) negatif olmayan regüler matrisini göz önüne alalım. x(xk) dizisi         2 2 3 1 , 1 ,...) 2 , 1 ( , , n k n n k xk

şeklinde tanımlansın. Her  0için { :N: ₃1 } k x k K olmak üzere 0 ) ( lim ) (  _{K n}  n A K A  olduğundan 3 1 lim   x SA dür (Gürdal 2004). 2.3.  -istatistiksel Yakınsaklık

Bu kısımda  -istatistiksel yakınsaklık kavramı tanımlanıp çalışılacak, ayrıca

 

V, ve S ile ilişkisi belirtilecektir.

Tanım 2.3.1: Eğer her  0 için







      k In xk L n n : 1 lim =0

ise x(xn) dizisi L ye  -istatistiksel yakınsaktır veya S - yakınsaktır denir. Bu durumda

L x

S_  lim  veya xk L(S_) yazılır ve    x L

S_ : { : R,S_ limxL}

Uyarı: (i) Eğer n n ise o zaman S , S ile aynıdır.

(ii)  -istatistiksel yakınsaklık, eğer matris A =(a_nk)

        n n n nk I k , 0 I k , 1 a

alınırsa A-istatistiksel yakınsaklığın özel bir durumudur.



S ile

 

V, ve (C,1) metodları arasındaki bağıntı Mursaleen (2000) tarafından kurulmuştur.

Sonsuza giden _n1 _n ve ₁ 1 olacak şekilde pozitif sayıların bütün  (_n) azalmayan diziler kümesi  ile gösterilsin.

Tanım 2.3.2:  {kr} dizisi, k0 0 ve r iken hr :kr kr1  olacak şekilde bir artan tam sayı dizisi ise  {k_r} dizisine Lacunary dizisi denir. Bu kısımda  ile belirlenen aralıklar Ir :(kr1,kr] ile ve kr kr1 oranı q ile gösterilecektir.r

İstatistiksel yakınsaklık ile kuvvetli Cesáro toplanabilirlik

             _ 



 0 1 lim için bazı : : 1 1 n k k n _n x L L x 

arasında doğal bir ilişki vardır. 1 ile N dizi uzayı

                



 0 1 lim için bazı : : n I k k r r r L x h L x N_

arasında kuvvetli bir bağlantı vardır.

Tanım 2.3.3:  bir lacunary dizisi olsun. x sayı dizisinin her  0için 0 } : { 1 lim kI x L   h_r r k r

ise x dizisi L ye S_ yakınsaktır denir ve S_  limxLveya xk L(S_) ile gösterilir. Burada } lim için bazı : { : x L S x L S_  _  

şeklinde tanımlanır (Fridy and Orhan 1993).

Teorem 2.3.1:  {kr} lacunary dizisi olsun. Bu taktirde (i) (a) xk L(N_)olduğunda xk L(S)dır ve

(b)N ,_ S_ nın bir özaltkümesidir.

(ii)x l_ ve x_k L(S_)olması x_k L(N_)olmasını gerektirir. (iii)S_ l_ N_ l_ dır (Fridy and Orhan 1993).

Burada l_ sınırlı dizilerin kümesidir (Fridy and Orhan 1993) . İspat :

(i) (a) Eğer  0 ve xk L(N_)ise







        





_    L x I k L x L x _{r k} L x k I k k r I k k r :

yazılır ve buradan istenen elde edilir.

(b) (i) deki N_ S_kapsamasının doğruluğu için,  verilsin ve x ,k Ir deki ilk ]

[ h tamsayılarında_r 1,2,...,[ h_r] ve diğer durumlarda x_k 0 tanımlansın. Burada x sınırsızdır. Her  0 için,



: 0



 

0, iken 1        r h h x I k h r r k r r 

yani x_k 0(S_) dır.Diğer taraftan,

  





; 0 2 1 2 1 1 0 1 _{ }  _{ }



 r r r I k k r h h h x h _r Böylece x_k  0(N_)olur.

(ii) xk L(S) ve x lolduğunu kabul edelim, bütün k lar için xk L M diyelim. 0   verildiğinde,







            







_{ }      L x I k h M L x h L x h L x h k r r L x k r L x k r I k k r k Ir k r I k k r : 1 1 1

ile sonuca ulaşılır.

(iii) şıkkı (i) ve (ii) nin bir sonucudur.



N -toplanabilir dizi C -toplanabilir olduğundan, Teorem 2.2.1 (ii) den herhangi bir sınırlı_



Teorem 2.3.2: olsun. O zaman (i) x_k L[V,] x_k L(S_) ve V  S_   ] , [ kapsaması kesindir. (ii) Eğer x_ vex_k L(S_)isex(x_k) olmak şartıyla

 

V,

L

xk  ve buradan xk L(C,1) dir. Burada x(xk) sabit değildir. (iii) S_ _ 

 

V, _ dır. İspat: (i)  0 vex_k L

 

V,L olsun.





























_   

L

x

I

k

L

x

L

x

n k L x k I k k n I k k n

:

yazılır. Böylece xk L[V,] xk L(S_)dir. Aşağıdaki örnek S_

 

V,   dir. ) (xk x dizisini     _{  }  durumlarda ğer di , 0 için ] [ , n k n k xk n 

ile tanımlayalım. Bu durumda x _olur ve her  (0 1) için



: 0



 

0, iken 1 _{     } n x I k n n k n n    

yanix_k 0(S_) olur. Diğer yandan,

) ( 0 1     



 n x n I k k n  yani x_k  0 V

 

, dir.

(ii) x_k L

 

S_ vex_ olduğunu kabul edelim. Tüm k lar için x_k L M

diyelim.  0 verilsin,







      











n I k k n I k k n L x k n L x k n I k k n

L

x

L

x

L

x

 







1

1

1





















M

k

I

_n

x

_k

L

n

:







         n n I k k n k k n k k x L n L x n L x n ( ) 1 ) ( 1 ) ( 1 1 1 





       n n I k k n n k k n L x L x    1 1 1



   n I k k n L x  2 yazılır. xk L[V,] olduğundan xk L(C,1)dır. (iii) Bu kısmın ispatı (i) ve (ii) den hemen çıkar.

Tüm  lar için S_S olduğunu görmek kolaydır, çünkü _n n, 1 ile sınırlıdır.

Teorem 2.3.3:S S_ olması için gerek ve yeter şart 0 inf lim    n n n  (2.2.1) olmasıdır.

İspat: Verilen  0 için



kn: x_k L 

 

 kI_n: x_k L 



dır. Bundan dolayı



 









                L x I k n L x I k n L x n k n k n n n k n k : 1 1 : 1 :  

n iken limiti alınır ve (2.2.1) kullanılırsa

) ( ) (S x L S_ L x_k   _k  elde edelir.

Tersine olarak, lim inf 0



 n

n

n 

olduğu kabul edelim.

j j n j n 1 ) ( ) (  

olacak şekilde bir (n(j))j_1 alt dizisini seçebiliriz. Bir x(x_i) dizisini

      durumlarda ğer di , 0 ,... 3 , 2 , 1 ise , 1 i I _{( )} j xi n j

şeklinde tanımlayalım. Bu durumda x[C,1] ve buradan, Connor (1988) den, xS dir. Fakat diğer taraftan x[V,] ve teorem 2.2.2 (ii), xS_ yı gerektirir. Bu yüzden (2.2.1) gereklidir.

III. BÖLÜM

MODULUS FONKSİYONU YARDIMIYLA TANIMLANAN BAZI  - DİZİ UZAYLARI

Bu bölümde De la Valée- Pousin ortalaması ve modulus fonksiyonu kavramlarından yararlanarak bazı dizi uzayları tanımlanacak ve bu uzayların çeşitli özellikleri incelenecektir.

3.1. Modulus Fonksiyonu

Modulus fonksiyonu kavramı Nakano (1953) tarafından aşağıdaki şekilde tanımlanır.

Tanım 3.1.1 : f :[0,)[0,)olmak üzere,

(i) f(x)0 olması için gerek ve yeter şart x0 olması, (ii) Her x,y0 için f(x y) f(x) f(y),

(iii) f artandır,

(iv) f , sıfırda sağdan süreklidir.

koşullarını sağlayan f fonksiyonuna modulus fonksiyonu denir. f(x) f(y)  f(xy) olduğundan (iv) den f , [0,)da süreklidir. Ayrıca (ii) şartından bütün nč için f(nx)nf(x) elde edilir ve dolayısıyla ( ) ( 1) nf(x n)

n nx f x

f   dir. Böylece bütün nč için

) ( ) ( 1 n x f x f n  (3.1.1)

olur. Bir modulus fonksiyonu sınırlı ( f(x)x (1x)) veya sınırsız (0 p1için f(x) xp) olabilir.

Ruckle (1973) modulus fonksiyonu kavramını bazı kompleks dizi uzayları oluşturmak için kullandı. Maddox (1986) bir f modulus fonksiyonu kullanarak w, bütün x(x_k) kompleks dizilerin uzayı ve e(1,1,1,...) olmak üzere,

}, 0 ) ( 1 lim : { ) ( 1 0



      n k k n _n f x w x f w ) ( : { ) (f x w x le w₀ f

w     bazı l sayısı için}, } ) ( 1 sup : { ) ( 1    



  n k k n f x n w x f w

üç dizi uzayını tanımladı ve bu uzayların bazı özelliklerini inceledi. Burada



   n k k n x n f x t 1 1 ) ( )

( dir. f(x)x alındığında daha önce yine Maddox (1979) tarafından tanımlanan kuvvetli toplanabilen dizilerin

} 0 1 lim : { 1 0  



    n k k n _n x w x w } , : {x w x le w₀ bazı l C için w      } 1 sup : { 1    



  n k k x n w x w uzayları elde edilir.

E. Savaş (1999) bir f modulus fonksiyonunu kullanarak kuvvetli hemen hemen yakınsaklık kavramını genelleştirerek aşağıdaki dizi uzaylarını tanımladı ve bazı özelliklerini inceledi.

 

 

 

      _{ }        _{  }        _{ } 







       m k k n n m m k k n m m k k n m x f m w x f c düzgün göre ye n le x f m w x f c düzgün göre ye n x f m w x f c 1 , 1 1 0 ) ( 1 sup : , ˆ , 0 ) ( 1 lim : , ˆ , 0 ( 1 lim : , ˆ

E. Savaş (2000a) istatistiksel yakınsaklık kavramını genelleştirmek için (V,) -toplanabilirliği kullanarak hemen hemen  - istatistiksel yakınsaklığı tanımladı.

De la Valée-Pousin yöntemi ile sıfıra kuvvetli hemen hemen toplanabilen, kuvvetli hemen hemen toplanabilen ve kuvvetli hemen hemen sınırlı dizilerin kümelerini bir modulus fonksiyon kavramıyla birleştirerek tanımlamak mümkündür. (V,) metodu ve kuvvetli hemen hemen yakınsaklık gibi sıfıra kuvvetli hemen hemen toplanabilen, kuvvetli hemen hemen toplanabilen ve kuvvetli hemen hemen sınırlı dizilerin uzayları f modulusune bağlı olarak E. Savaş (1999) tarafından tanımlanmıştır.

Bu bölümde esas olarak bir modulus fonksiyon kavramı ve genelleştirilmiş De la Vallée-Poussin ortalaması yardımıyla tanımlanan [Vˆ,, f]0 ve [Vˆ,, f] dizi uzayları çalışılacaktır.

w, bütün x(x_k)_k_1 kompleks dizilerin kümesi olsun ve l_,c,c₀ ile sırasıyla sınırlı, yakınsak ve sıfıra yakınsak dizilerin Banach uzaylarını gösterecektir. Burada norm x _ sup_k x_k

şeklindedir. Bütün sonlu dizilerin kümesi  ile gösterilecektir, ayrıca e ve (n)

e (n=1,2,…) dizilerinde e_k 1 (k 1,2,...), e_n(n) 1 ve e_k(n) 0 (k n) dir.

Tanım 3.1.2 : X bir lineer uzay olsun.

 X

p : R

fonksiyonu aşağıdaki şartları sağlıyorsa paranorm olarak adlandırılır. (X,p) uzayına da kısaca paranormlu uzay denir.

(P.1) p(0)0

(P.2) Bütün xX için p(x)0 (P.3) Bütün xX için p(x) p(x)

(P.4) Bütün x,yX için p(xy) p(x) p(y) (Üçgen Eşitsizliği)

(P.5) Eğer (_n) dizisi _n  (n) olacak şekilde bir skaler dizisi ve (x_n), )

( 0 )

(x x  n

p _n şeklinde bir vektörel dizi ise o zaman ew p(_nx_n x)0 (n) dır. (Skalerle çarpmanın sürekliliği)

Tanım 3.1.3: p bir paranorm olsun. Eğer,

0 0

)

(x  x p

oluyorsa bu paranorma total paranorm denir.

Herhangi bir lineer metrik uzayın metriğinin bir total paranorm ile verilebileceği bilinir. De la Valée-Pousin yöntemi ile sıfıra kuvvetli toplanabilen, kuvvetli toplanabilen ve kuvvetli sınırlı dizilerin kümeleri için sırasıyla

} 0 1 lim : { ] , [ 1 0  



    n k k n n x w x V   } için bazı , ] , [ : { ] , [V   xw xle V  ₀ lC } 1 sup : { ] , [  



   n I k k n n x w x V  

şeklindedir. n =1,2,… için _n n özel durumunda [V,]₀, [V,] ve [V,]_ kümeleri sırasıyla Maddox (1979) tarafından tanımlanan ve çalışılan w ,₀ w ve w kümelerine indirgenir._

Maddox (1979) sıfıra kuvvetli hemen hemen yakınsak ve kuvvetli hemen hemen yakınsak dizilerin kümeleri 0 1 lim : { ] ˆ [ 1 0  



     n k m k n _n x w x c , m ye göre düzgün} ve 0 ] ˆ [ : { ] ˆ [c  xw xle c , bazı lC için} 20

şeklinde tanımladı. Bir modulus fonksiyonu ile kuvvetli (V,)metodu ve kuvvetli hemen hemen yakınsaklık metotlarını birleştirerek aşağıdaki kümeleri tanımlayabiliriz.

0 ) ( 1 lim : { ] , , ˆ [ ₀  



     n I k m k n n f x w x f V   , m ye göre düzgün} için} bazı , ] , , ˆ [ : { ] , , ˆ [V  f  xw xleV  f 0 lC } ) ( 1 sup : { ] , , ˆ [  



    n I k m k n x f w x f V  

n =1,2,… için _n n olduğunda [Vˆ,, f]₀ ve [Vˆ,, f] kümeleri Savaş (1999) tarafından tanımlanan [cˆ,f]₀ ve[cˆ,f] kümelerine indirgenir. Eğer f(x)x konulursa

] , ˆ [ ] , , ˆ [ ] , ˆ [ ] , , ˆ [V  f 0  V  0 ve V  f  V  olur.

3.2. Bazı Yardımcı Teoremler

Bu kısımda ana sonuçların ispatında ihtiyaç duyulan bazı yardımcı teoremleri vereceğiz.

Yardımcı Teorem 3.2.1: Herhangi bir f modulus fonksiyonu için lim_t f(t) t limiti vardır.çmchşi

İspat: 0  f(1) olduğunda inf{f(t) t:t0}dir.  0 alındığında f(a) a( ) için a0 vardır.t a seçildiğinde nat (n1)a olacak şekilde bir n doğal sayısı vardır. Modulus fonksiyonunun (ii) ve (iii) şartlarından

) ( ) ( ) ( ) ( ) (t nf a f a na f a f t        ) ( ) ( f a t     

yazılır. Buradaki  , limt f(t) teşitidir (Maddox 1987).

Yardımcı Teorem 3.2.2: f, 0 ) ( lim     _t  t f t (3.2.1)

olacak şekilde herhangi modulus fonksiyonu olsun. Bu takdirde bütün t 0 için t

t

f( ) (3.2.2)

İspat: (3.2.1) şartının sağlandığını kabul edelim. Bu durumda tt0 için t t f 2 ) (  (3.2.3)

olacak şekilde t₀ 0 vardır. Şimdi 1tt₀olsun. Bu takdirde modulus fonksiyonunun (iii) koşulundan t t f t f t f t f 0 ) 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( ) (    (3.2.4)

dır. Son olarak 0 t1olsun. Bu takdirde 1(n1)t1n olacak şekilde nč vardır ve bir

modulus fonksiyon (iii) koşulu ve (3.1.1) den

t f t f n n f n n n f n n f t f (1) 2 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 1 ( ) (          (3.2.5)

olur.  min{ 2,f(1) t₀,12 f(1)}0 yazalım. Bu durumda (3.2.2.),değeri (3.2.3) ,(3.2.4) ve (3.2.5) ifadelerinden çıkar.

Yardımcı Teorem 3.2.3: f bir modulus fonksiyonu ve 0 1olsun. Bu takdirde bütün   x için x f x f 1 ) 1 ( 2 ) (   (3.2.6) dir.

İspat: Bir modulus fonksiyonun özellikleri kullanılarak doğrudan bir hesaplamayla çıkar.

Yardımcı Teorem 3.2.4: x[Vˆ,, f] olsun. Bu durumda xle[Vˆ,,f]0 olacak şekilde

bir tek lC vardır.

İspat: x[Vˆ,, f] ve xle, xle[Vˆ,,f]0 olsun. Bu takdirde verilen  0 için,



  n I k k n l x f    ( ) 2 1 ve



   n I k k n l x f    ( ) 2 1

olacak şekilde nč vardır.Bu,

          





  ) ( 1 ) ( 1 ) ( n n k I k n I k k n l x f l x f l l f

Yardımcı Teorem 3.2.5: f bir modulus fonksiyonu olsun.Bu takdirde, (a) [ˆ, , ] ( ) { :( ( )) 1 }     l f  xw f x l f V  k k (b) [Vˆ,, f]0 [Vˆ,, f][Vˆ,, f]_

İspat: (a) x[Vˆ,, f]_olsun. Bu durumda, bütün m ler için

m x f x f n I k m k n n m m 



    ( ) 1 sup ) ( 1 , 1 1  

olacak şekilde bir M 0 sabiti vardır ve bu yüzden (f(x_k ))_k_1 l_dır.Diğer taraftan xl_( f) olsun.Bu durumda bütün j için f(x_j)M olacak şekilde M 0 vardır ve buradan bütün m ve

n ler için





     n n n k I I k m k n M M x f( ) 1 1 1   dir. Böylelikle x[V,, f]_ dır.

(b)[Vˆ,,f]0 [Vˆ,,f]_ olduğu aşikardır. x[Vˆ,, f] olsun. Bu durumda, 1 ) ( 1  



In  k m k n l x f  , bütün nn0 ve bütün mč için

olacak şekilde bir n pozitif tamsayı ve bir l kompleks sayısı vardır ve bu yüzden₀

) ( 1 ) ( 1 ) ( 1

_

_

_

        n n n k I n k I m k n I k m k n l f l x f x f    ) ( 1 f l  , bütün nn0 ve mč için şeklindedir. Ayrıca ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 0 0 0 l f x f x f _{k m} n m n n   



_  _  , bütün mč için

olur. Bundan dolayı bütün m ler için ( ) (1 ( )

0

0 f l

x

3.3. Ana Sonuçlar Teorem 3.3.1: [Vˆ,,f]₀ ve [Vˆ,,f] uzayları, ) ( 1 sup ) ( ,



_   n I k m k n n m x f x p  (3.3.1)

Paranormu ile paranormlu FK uzaylarıdır. [Vˆ,, f]0, AK özelliğine sahiptir ve her

] , , ˆ [ ) (x ₁ V f x _{k k}_   dizisi ,



     1 ) ( ) ( k k k l e x le x (3.3.2)

şeklinde bir tek gösterime sahiptir. Burada lC , xle[Vˆ,,f]₀ olacak şekildedir.

İspat: İlk olarak [Vˆ,, f]uzayının (3.3.1) de tanımlanan p paranormu ile paranormlu bir FK uzayı olduğunu gösterelim. [Vˆ,,f]₀ispatı da tamamen aynıdır. Yardımcı Teorem (3.2.5) (b) den p , [Vˆ,, f] üzerinde tanımlıdır. Bütün x[Vˆ,, f] için p(x)0olduğu açıktır. Ayrıca bütün j ler için p(x) f(x_j )0 dir ve bu yüzden modulus fonksiyonun (i) şartından x = 0 dır. Bütün x[Vˆ,, f] için p(x) p(x) olduğu açıktır. x,y[Vˆ,, f] olsun. Bu takdirde modulus fonksiyonun (ii) ve (iii) şartlarından

)) ( ( ) ( ( 1 sup ) ( , m k m k n n m y f x f y x p  



_  _  ) ( ) ( ) ( 1 sup ) ( 1 sup , , y p x p y f x f _{k m} I k n n m I k m k n n m n n     _   





_ 

olur. Şimdi p(x(r))0 ve r  (r)olsun. Bu takdirde (r) dizisi sınırlıdır yani bütün r için _r  M č dir. Modulus fonksiyonun (i) ve (iii) şartlarından

) ( 1 sup ) ( 1 sup ) ( ( ) , ) ( , ) ( r m k I k n n m I k r m k r n n m r rx f x f M x p n n    





      ) ( 0 ) ( . ) ( 1 sup ( ) ( ) ,     



  r x p M x f M r I k r m k n n m n 

olur. Son olarak x[Vˆ,, f] verilsin ve _r 0 (r) olsun. Verilen  0için, 2 ) ( 1 _  k



In    m k n l x f (bütün nn₀ve bütün m ler için) (3.3.3)

olacak şekilde n₀č vardır. Yardımcı teorem 3.2.5(a) dan xl_( f) olduğundan ve f sürekli olduğundan bütün rr0 için   



   ) ( 1 n I k m k r n x

f (bütün1nn₀arasıdaki n ler ve bütün m ler için) (3.3.4)

olacak şekilde r0č vardır. Şimdi nn0 olsun. F in sürekliliğinden ve r 0 (r ) olduğundan 1 2 ) ( _rl  ve _r  f    (bütün r için)r₁ (3.3.5)

olacak şekilde r1č vardır. Bu takdirde (3.3.3) ve(3.3.5) den bütün r içinr1

 

1) 1





2 2 bütün leriçin ( ) ( ) ( ( 1 ) ( 1 ) ( 1 m l x f l f l x f l f x f n n n n I k m k n r r I k m k r n r I k n I k m k r n                      









       (3.3.6)

olur. r₂ max{r₁,r₀} seçelim.Bu takdirde (3.3.4) ve (3.3.6) dan bütün r r₂ için p(_rx) olur. Bu r  için p(_rx)0 olmasıdır. Böylelikle p nin bir total paranorm olduğunu göstermiş oluruz.

Şimdi [Vˆ,, f] nin tam olduğunu gösterelim.(x(r))_r_0, [Vˆ,, f]uzayında bir Cauchy dizisi olsun. Verilen  0,  



     ) ( 1 ( ) ( ) n I k s m k r m k n x x f (bütün r,s ve bütün n,m ler için)r₀ (3.3.7) olacak şekilde r0č0 vardır. Bu

 

 )

(x(_jr) x(_js)

f (bütün r,s ve her bir j için)r₀ (3.3.8)

olduğunu söylenir. Dolayısıyla her bir (x(_jr))_r0dizisi C de Cauchy dizisidir, bundan dolayı

) ( lim_{r j}r j x x  _ yakınsaktır. Eğer ( ( ))_0 0 r r j

x bazı j₀ lar için bir Cauchy dizisi değilse o zaman bazı c0 için x k x sk c j r j   ) ( ) ( 0

0 (bütün k lar için) olacak şekilde

    1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 0 0 k s j k r j k k _{ve x} x

altdizileri vardır ve bu yüzden bütün k lar için (3.3.8) in aksine ( ( ) ( )) ( ) 0

0 0 x  f c  x f k sk j r j olur. 0 r

r  olmak üzere s sonsuza giderken (3.3.7) den f sürekliliği 25

 



     ) ( 1 ( ) n I k m k r m k n x x f (bütün rr0 ve bütün m ,n ler için) (3.3.9)    ) (x( ) x p r (bütün r  için)r0 (3.3.10)

şeklinde elde edilir. Ayrıca her bir r için  



    ) ( 1 ( ) ( ) n I k r r m k n l x f (bütün nn_r ve bütün m ler için) (3.3.11)

olacak şekilde nr č vardır. Şimdi r,sr0 ve n0 max{nr,ns}olsun. Bu takdirde (3.3.7) ve (3.3.11) den ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ( 1 ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( için ler m bütün x x f l x f l x f l l f l l f n n n n I k s m k r m k n I k k I s s m k n r r m k n I k s r n s r                   









       

olur ve tekrar l(r) l (r ) söylenir. Buradan (3.3.10) ve (3.3.11) kullanılarak, bütün yeterli büyüklükteki n ler ve bütün m ler için

     4 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0        









        n n n n I k r n I k k I r r m k n r m k m k n I k m k n l l f l x f x x f l x f

elde edilir. Buradan x[Vˆ,, f] dir. Buradan [Vˆ,, f] tamdır.

Şimdi p(x(r) x)0 (r ) her bir j için x( ) xj (r) r j belirttiği gösterelim. ) ( ) (x( ) x  r 

p r olsun. Bu takdirde, verilen  0için,  



     ) ( 1 ( ) n I k m k r m k n x x f (bütün r r₀ ve bütün m, n ler için)

olacak şekilde r0č0vardır. Bu da bütün rr0 ve her bir j için (  ) ) ( j r j x x f olduğunu

gösterir ve tekrar her bir j için x(_jr) x_j (r) olur. Böylece ispat tamamlanır. [Vˆ,, f] paranormlu FK uzayıdır.