3-BOYUTLU HEMEN HEMEN
-KOSİMPLEKTİK MANİFOLDLARÜZERİNDE BAZI EĞRİLİK TENSÖRLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ
Halil DOĞAN DANIŞMAN
Yrd. Doç. Dr. Hakan ÖZTÜRK MATEMATİK ANABİLİM DALI
Bu tez çalışması 14.FEN.BİL.44 numaralı proje ile Afyon Kocatepe Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Koordinasyon Birimi tarafından desteklenmiştir.
AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
3-BOYUTLU HEMEN HEMEN
-KOSİMPLEKTİK MANİFOLDLAR ÜZERİNDE
BAZI EĞRİLİK TENSÖRLERİ
Halil DOĞAN
DANIŞMAN
Yrd. Doç. Dr. Hakan ÖZTÜRK
MATEMATİK ANABİLİM DALI
TEZ ONAY SAYFASI
Halil DOĞAN tarafından hazırlanan “3-Boyutlu Hemen Hemen α-Kosimplektik Manifoldlar Üzerinde Bazı Eğrilik Tensörleri” adlı tez çalışması lisansüstü eğitim ve öğretim yönetmeliğinin ilgili maddeleri uyarınca 26/02/2016 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.
Danışman : Yrd. Doç. Dr. Hakan ÖZTÜRK Başkan : Prof. Dr. Özkan ÖCALAN
Akdeniz Üniversitesi Fen Fakültesi, Üye : Yrd. Doç. Dr. Özgür KALKAN
Afyon Kocatepe Üniversitesi Afyon MYO, Üye : Yrd. Doç. Dr. Hakan ÖZTÜRK
Afyon Kocatepe Üniversitesi Afyon MYO,
Afyon Kocatepe Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu’nun .../.../... tarih ve
………. sayılı kararıyla onaylanmıştır.
………. Prof. Dr. Hüseyin ENGİNAR
BİLİMSEL ETİK BİLDİRİM SAYFASI Afyon Kocatepe Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü, tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında;
- Tez içindeki bütün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi,
- Görsel, işitsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu,
- Başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunduğumu,
- Atıfta bulunduğum eserlerin tümünü kaynak olarak gösterdiğimi, - Kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapmadığımı,
- Ve bu tezin herhangi bir bölümünü bu üniversite veya başka bir üniversitede başka bir tez çalışması olarak sunmadığımı
beyan ederim.
26/02/2016
ÖZET Yüksek Lisans Tezi
3-BOYUTLU HEMEN HEMEN α-KOSİMPLEKTİK MANİFOLDLAR ÜZERİNDE BAZI EĞRİLİK TENSÖRLERİ
Halil DOĞAN
Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Yrd. Doç. Dr. Hakan ÖZTÜRK
Bu tez çalışması beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, giriş kısmına ayrılarak genel bir literatür bilgisi verilmiştir. İkinci bölümde, gerekli temel kavramlar tanıtılmıştır. Üçüncü bölümde, hemen hemen α-kosimplektik manifold yapısı ele alınmış ve bu yapı için bazı eğrilik özellikleri incelenmiştir. Dördüncü bölümde, α-Kenmotsu manifoldu için yarı simetrik şartlar ile ilgili genel sonuçlar verilmiştir. Beşinci bölümde, 3-boyutlu yarı simetrik hemen hemen α-kosimplektik manifoldu ayrıntılı bir şekilde ele alınmış ve bazı sonuçlar elde edilmiştir.
2016, v + 63 sayfa
Anahtar Kelimeler: Hemen hemen değme manifold, Hemen hemen α-kosimplektik manifold, Hemen hemen α-Kenmotsu manifold, α-Kenmotsu manifold, Yarı simetrik uzay, Yarı simetrik eğrilik tensörleri.
ABSTRACT M.Sc Thesis
SOME CURVATURE TENSORS ON ALMOST α-COSYMPLECTIC THREE MANIFOLDS
Halil DOĞAN Afyon Kocatepe University
Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics
Supervisor: Assist. Prof. Dr. Hakan ÖZTÜRK
This thesis consists of five chapters. The first chapter is devoted to the introduction section and provide a generel knowledge of literature. In the second chapter, the necessary basic concepts are introduced. In the third chapter, the structure of almost α-cosymplectic manifold is considered and curvature properties of this structure are examined. In the fourth chapter, some general results for α-Kenmotsu manifold connected to the semi symmetric conditions are given. In the fifth chapter, semi symmetric almost α-cosymplectic three manifold is addressed in detail and some results are obtained on almost α-cosymplectic three manifold.
2016, v + 63 pages
Key Words: Almost contact manifold, Almost cosymplectic manifold, Almost α-Kenmotsu manifold, α-α-Kenmotsu manifold, Semi symmetric space, Semi symmetric curvature tensors.
TEŞEKKÜR
Yüksek lisans eğitimim boyunca titiz çalışma prensibiyle bana örnek olan ve yol gösteren, çalışmamın her aşamasında yakın ilgi ve yardımlarını esirgemeyerek bana destek olan danışman hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Hakan ÖZTÜRK'e teşekkürü bir borç bilirim.
Tez çalışmalarım boyunca maddi ve manevi olarak 14.FEN.BİL.44 numaralı proje ile desteğini esirgemeyen Afyon Kocatepe Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Koordinasyon Birimi’ne teşekkür ederim.
Son olarak, eğitim-öğretim hayatım boyunca maddi ve manevi desteklerini benden esirgemeyen aileme, gösterdiği sabır ve anlayışla her zaman yanımda olan sevgili eşim ve canım evlatlarıma sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Halil DOĞAN
İÇİNDEKİLER DİZİNİ Sayfa ÖZET ... i ABSTRACT ... ii TEŞEKKÜR ... iii İÇİNDEKİLER DİZİNİ ... iv SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ ... v 1. GİRİŞ ... 1 2. TEMEL KAVRAMLAR ... 6 2.1 Manifoldlar ... 6 2.1.1 Riemann Manifoldları ... 6
2.1.2 Hemen Hemen Değme Manifoldlar ... 11
3. HEMEN HEMEN α-KOSİMPLEKTİK MANİFOLDLAR ... 18
3.1 Hemen Hemen α-Kosimplektik Yapılar ... 18
3.2 Eğrilik Özellikleri ... 21
4. BAZI YARI SİMETRİK ŞARTLARI SAĞLAYAN α-KENMOTSU MANİFOLDLAR ... 27
4.1 α-Kenmotsu Manifoldlar... 27
4.2 Yarı Simetrik α-Kenmotsu Manifoldlar ... 29
4.3 Ricci Yarı Simetrik α-Kenmotsu Manifoldlar ... 31
4.4 Konformal Yarı Simetrik α-Kenmotsu Manifoldlar ... 33
4.5 Projektif Yarı Simetrik α-Kenmotsu Manifoldlar ... 35
4.6 Konsirküler Yarı Simetrik α-Kenmotsu Manifoldlar... 38
5. 3-BOYUTLU YARI SİMETRİK HEMEN HEMEN α-KOSİMPLEKTİK MANİFOLDLAR ... 42
5.1 3-Boyutlu Hemen Hemen α-Kosimplektik Manifoldlar ... 42
5.2 3-Boyutlu Yarı Simetrik Hemen Hemen α-Kosimplektik Manifoldlar ... 50
6. TARTIŞMA ve SONUÇ ... 58
7. KAYNAKLAR... 59
SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ Simgeler
R Riemann eğrilik tensör alanı
D Değme dağılımı
S Ricci eğrilik tensör alanı
Q Ricci operatörü
N Nijenhuis tensör alanı ∇ Levi-Civita konneksiyonu
χ(M) M üzerindeki C∞ vektör alanları uzayı
U(n) Üniter grup
div Divergens operatörü
TM M üzerindeki tanjant demeti
TM┴ M üzerindeki tanjant demetinin ortogonal tümleyeni
O(s) Ortogonal grup
Rη (M) M üzerindeki diferensiyellenebilir fonksiyonların bir alt halkası
J Hemen hemen kompleks yapı
L Lie türev operatörü
P Projektif eğrilik tensör alanı
C Weyl konformal eğrilik tensör alanı 𝐶̅ Konsirküler eğrilik tensör alanı
1
G·
IR·
I¸
S
Simetrik Riemann uzaylar¬Riemann manifoldlar¬için çok önemli bir yere sahiptir. Di¼ger
yandan, bu uzay s¬n¬‡ar¬matemati¼gin birçok bran¸s¬için oldukça öneme sahip pek çok
belirgin örnekleri de içerir. Örnek olarak, kompakt Lie gruplar, Grassmann ve s¬n¬rl¬ simetrik bölgeler verilebilir. Herhangi bir simetrik uzay kendine has özel bir geometriye sahiptir. Öklid, eliptik ve hiperbolik geometri hemen akla gelen ilk gelen örneklerdir.
Öte yandan, bu uzaylar çok fazla ortak özellik ve zengin bir teoriyle donat¬lm¬¸st¬r.
Simetrik uzaylar için oldukça fazla bir bak¬¸s aç¬s¬ mevcuttur. Bu uzaylar Riemann
manifoldlar¬ için noktasal yans¬mal¬ veya paralel e¼grilik tensörüne sahip veya özel bir
holonomi veya özel bir izometri ile verilen homojen bir uzay veya özel Killing vektör alanlar¬na sahip veya üçlü bir Lie sistemi veya belli bir involusyona sahip bir Lie grubu
olarak dü¸sünülebilir.
Bu tez çal¬¸smas¬nda belli ¸sartlar¬sa¼glayan bir Riemann manifoldu için Riemann e¼grilik
tensörü yard¬m¬yla verilen yar¬simetrik manifoldlar¬gözönüne alaca¼g¬z. Yar¬simetrik
uzaylar literatütde iyi bilinen ve lokal simetrik uzaylar¬n do¼gal bir genelle¸stirmesi olarak
ele al¬n¬r. M üzerinde tüm key… X; Y vektör alanlar¬ için, bir (M; g) Riemann
man-ifoldunun Riemann e¼grilik tensörü R(X; Y ):R = 0 ¸sart¬n¬ sa¼gl¬yorsa (M; g) bir yar¬
simetrik uzayd¬r denir. Burada R(X; Y ), R Riemann e¼grilik tensörü üzerinde bir türev
gibi davran¬r. Belli bir uzay bir p 2 M noktas¬nda (M; g) nin Rp e¼grilik tensörü bir
simetrik uzay¬n e¼grilik tensörü ile ayn¬oldu¼gundan (verilen p noktas¬na göre de¼gi¸sebilir)
"yar¬simetrik" uzay olarak adland¬r¬l¬r. Yar¬simetrik uzaylar lokal simetrik uzaylar¬n
bir genelle¸stirmesi oldu¼gundan biraz da lokal simetrik uzaylardan bahsedelim.
Lokal simetrik uzaylar diferensiyel geometri, topoloji, say¬lar teorisi, komplels analiz,
cebirsel geometri gibi bir çok farkl¬alandan ortaya ç¬km¬¸st¬r. Bu tez çal¬¸smas¬nda konu
edilen lokal simetriklik tan¬m¬ diferensiyel geometri kavramlar¬ndan Riemann e¼grilik
tensörü ile ilgili olan¬d¬r.
Bir (M; g) Riemann manifoldunun e¼grilik tensörü R, rR = 0 ¸sart¬n¬sa¼gl¬yorsa (M; g)
Levi-Civita konneksiyonudur. Bu tan¬ma göre, lokal simetrik uzaylar¬n genelle¸stirilmesi
dü¸sünüldü¼günde bir çok geometrici yar¬simetrik uzaylar¬gözönüne alm¬¸slar ve iki uzay
aras¬ndaki ili¸skileri incelemi¸slerdir. Yar¬simetriklik tan¬m¬gözönüne al¬nd¬¼g¬nda lokal
simetrik uzaylar¬n a¸sikar olarak yar¬simetrik oldu¼gu ortaya ç¬kar. Fakat bu durumun
tersi her zaman do¼gru de¼gildir (Takagi 1972). Asl¬nda 2 den büyük herhangi boyut
du-rumunda yar¬simetrik uzaylar¬n lokal simetrik olmad¬¼g¬na dair pek çok örnek mevcuttur
(Boeckx et al. 1996).
Genel olarak, bir yar¬ simetrik uzay lokal simetrik olmasa bile, baz¬ durumlarda yar¬ simetri lokal simetriyi gerektirir (Boeckx 1993, Calvaruso et al. 1998). Öyleyse, ver-ilen herhangi bir Riemann manifold s¬n¬f¬ için hangi durumlarda yar¬ simetrinin lokal
simetriyi gerektirmesi oldukça önem arz eden bir ara¸st¬rma konusudur. O halde, bu
tez çal¬¸smas¬nda gözönüne ald¬¼g¬m¬z temel manifold yap¬s¬na göre özellikle 3-boyutlu
uzaylarda yar¬simetri özelli¼gi incelenmi¸stir.
Yar¬simetrik de¼gme manifoldlar pek çok yazar taraf¬ndan çal¬¸s¬lm¬¸st¬r (Takahashi 1969,
Perrone 1992, Papantoniu 1993). Özellikle, Takahashi yar¬simetrik Sasakian
manifold-lar¬n sabit kesit e¼grili¼ginin 1 oldu¼gunu ispatlam¬¸st¬r (Takahashi 1969). Ayr¬ca,
Papan-toniu ( ; )-uzay¬yla verilen 3 den büyük boyutlar için yar¬simetrik de¼gme manifoldlar¬
incelemi¸stir. E¼ger M yar¬ simetrik ve h tensör alan¬ -paralel ise, o zaman M
mani-foldu ya düzgündür ya da 1 sabit e¼grili¼gine sahiptir sonucu Perrone taraf¬ndan
bulun-mu¸stur (Perrone 1992). Bundan ba¸ska, 3-boyutlu yar¬simetrik de¼gme manifoldlar için
2 ( ; ) da¼g¬l¬m¬ Papantoniu taraf¬ndan verilmi¸stir (Papantoniu 1993). Di¼ger
yan-dan, her 3-boyutlu lokal simetrik de¼gme metrik manifoldunun sabit e¼grili¼ginin 0 veya 1
oldu¼gu ispatlanm¬¸st¬r (Blair and Sharma 1990).
Bu uzaylar ile ilgili önemli bir s¬n¬‡ama Szabó taraf¬ndan yap¬lm¬¸st¬r (Szabó 1982).
Asl¬nda tarihsel literetüre bakt¬¼g¬m¬zda Nomizu ¸sart¬olarak bilinen R R = 0 ilk kez
Nomizu taraf¬ndan dile getirilmi¸stir (Nomizu 1968). E¼ger Mn Rn+1 Öklid uzay¬n¬n
bir tam ba¼glant¬l¬ yar¬ simetrik hiperyüzeyi (n > 3) yani, R R = 0 ise Mn lokal
simetriktir. Yani, rR = 0 d¬r. Ayr¬ca, Ogawa bir kompakt Kaehler manifoldunun
Bundan ba¸ska, de¼gme yap¬lar dü¸sünüldü¼günde, Tanno tam yar¬ simetrik veya Ricci
yar¬simetrik K-de¼gme manifoldlar¬n mevcut olmad¬¼g¬n¬ispatlam¬¸st¬r (Tanno 1969).
Literatürde R Riemann e¼grilik tensöründen sonra en önemli tensörler Weyl konformal
e¼grilik tensörü C; projektif e¼grilik tensörü P ve konsirküler e¼grilik tensörü C olarak
bilinir. Dolay¬s¬yla bir çok yazar bu tensörleri veya bunlar taraf¬ndan tan¬mlanan ten-sör çarp¬mlar¬n¬isimleri, s¬ras¬yla, konformal yar¬simetrik, projektif yar¬simetrik, kon-sirküler yar¬ simetrik olan R(X; Y ) C = 0; R(X; Y ) P = 0 ve R(X; Y ) C = 0
tensörlerini ele alm¬¸st¬r (Bagewadi et al. 2007, Özgür 2007). Burada R(X; Y )
mani-foldun her bir noktas¬ndaki tensör cebirinin türevi olarak al¬nm¬¸st¬r.
¸
Simdi de, ele alaca¼g¬m¬z belli baz¬ tensör alanlar¬n¬ kullanaca¼g¬m¬z manifold yap¬s¬
hakk¬nda bilgiler verelim.
Manifold teorisinde hemen hemen de¼gme manifoldlar çok önemli bir yer
kaplamak-tad¬r. (2n + 1)-boyutlu bir (C1) s¬n¬f¬ndan diferensiyellenebilir M manifoldunun
tan-jant demetlerinin grup yap¬s¬ U (n) 1 tipine indirgenebiliyorsa M ye hemen hemen
de¼gme manifold denir. ·Ilk olarak, J. Gray 1959 y¬l¬nda tek boyutlu manifoldlar
üzerin-de yapt¬¼g¬çal¬¸smada U (n) 1 yap¬sal grubunun bir indirgenmesiyle hemen hemen de¼gme
yap¬lar¬tan¬mlam¬¸st¬r. Buna göre, (2n + 1)-boyutlu bir hemen hemen de¼gme yap¬s¬
2
X = X + (X) ; ( ) = 1
denklemlerini sa¼glayan (1; 1)-tipli bir tensör alan¬ ; bir vektör alan¬ ve bir 1-form
olan ile olu¸sturulan ( ; ; )-üçlüsüyle ifade edilir. Daha sonra 1960 y¬l¬nda Sasaki
( ; ; ) hemen hemen de¼gme yap¬s¬üzerinde
g( X; Y ) = g(X; Y ) (X) (Y )
(X) = g(X; )
e¸sitlikleriyle verilen uygun bir g metri¼gi tan¬mlayarak hemen hemen de¼gme metrik
yap¬y¬ tam olarak ifade etmi¸stir. 1961 y¬l¬nda Sasaki ve Hatakeyama hemen hemen
de¼gme manifoldlar için normallik ¸sart¬n¬n J kompleks yap¬s¬n¬n (J2 = I)
Hemen hemen de¼gme metrik yap¬ya ba¼gl¬kalarak, 1969 y¬l¬nda Goldberg ve Yano
kosim-plektik manifoldu tan¬mlam¬¸slard¬r (Goldberg and Yano 1969). Bu tan¬mlamay¬takip
eden y¬llarda özellikle Olszak kosimplektik manifoldlar üzerinde bir çok çal¬¸smaya imza
atm¬¸st¬r (Olszak, 1981). 1972 y¬l¬nda Kenmotsu hemen hemen de¼gme metrik
mani-foldlar üzerinde yeni bir karakterizasyon ve s¬n¬‡ama ortaya koymu¸stur. Bu s¬n¬‡ama
Kenmotsu manifold olarak adland¬r¬lm¬¸st¬r (Kenmotsu 1972). 1981 y¬l¬nda Vanhecke
hemen hemen de¼gme yap¬lar¬n¬ele ald¬¼g¬çal¬¸smas¬nda hemen hemen Kenmotsu
mani-foldlar¬n¬geni¸sleterek hemen hemen -Kenmotsu manifoldlar¬tan¬mlam¬¸st¬r (Vanhecke
1981).
Bundan ba¸ska, Goldberg ve Yano hemen hemen de¼gme metrik yap¬lar¬ kullanarak
metrik çat¬l¬ manifollar olarak adland¬r¬lan daha genel bir manifoldu 1963 y¬l¬nda ele
alm¬¸slard¬r. Bunu takiben, Blair 1970 y¬l¬nda metrik çat¬l¬manifoldlar¬kullanarak bu
tip manifoldlar¬n özel bir hali olan hemen hemen S ve C-manifoldlar¬ tan¬mlam¬¸st¬r
(Blair 1970). Yak¬n zamanlarda, Pastore ve Falcitelli metrik çat¬l¬ manifoldlar¬n bir
alts¬n¬f¬olan hemen hemen Kenmotsu f -manifoldlar¬tan¬mlayarak baz¬çal¬¸smalar
yap-m¬¸slard¬r (Pastore and Falcitelli 2007).
Kim ve Pak hemen hemen -Kenmotsu ve hemen hemen kosimplektik yap¬lar¬n¬
bir-le¸stirerek hemen hemen de¼gme metrik manifoldlar¬n geni¸s bir alts¬n¬f¬olan hemen hemen
-kosimplektik manifold kavram¬n¬tan¬mlam¬¸slard¬r (Kim and Pak 2005).
(M; ; ; ; g); (2n + 1)-boyutlu bir hemen hemen -kosimplektik yap¬s¬
d = 0; d = 2 ^
¸sartlar¬n¬ sa¼glar. Burada ; key… bir reel say¬ ve ; temel 2-formdur. Özel olarak,
= 0durumunda hemen hemen kosimplektik veya 6= 0 durumunda ise hemen hemen
-Kenmotsu manifoldlar¬elde edilir. Normallik ¸sart¬alt¬nda ise -kosimplektik
mani-fold ya kosimplektik yada -Kenmotsu manifoldudur.
Yukar¬daki bilgilerin ¬¸s¬¼g¬ alt¬nda; yüksek lisans tez çal¬¸smam¬zda hemen hemen
elde edilmi¸stir. Ayr¬ca, tezin ana k¬sm¬n¬ te¸skil eden yar¬ simetrik -Kenmotsu ve
3-boyutlu hemen hemen -kosimplektik manifoldlar ayr¬nt¬l¬olarak incelenmi¸stir.
·
Ikinci bölümde, manifoldlar ile ilgili temel kavramlar tan¬t¬lacakt¬r. Bu bölümün ilk
k¬sm¬nda, manifold teorisi ile ilgili temel kavramlar verilmi¸stir. ·Ilk k¬s¬m iki alt
k¬s¬m-dan olu¸smaktad¬r. Birinci alt k¬s¬mda, Riemann manifoldlar¬ve baz¬temel özellikleri
tan¬t¬lm¬¸st¬r. ·Ikinci alt k¬s¬mda, hemen hemen de¼gme metrik manifoldlar ile ilgili temel
kavramlar verilmi¸stir.
Üçüncü bölümde, hemen hemen -kosimplektik manifoldlar ile ilgili genel literatür
bilgileri verilmi¸stir. Bu bölümün ilk k¬sm¬nda; hemen hemen -kosimplektik yap¬lar
tan¬t¬lm¬¸st¬r ve baz¬özel tensör alanlar¬n¬n temel özellikleri verilmi¸stir. ·Ikinci k¬s¬mda,
Riemann e¼grilik tensörü özellikleri verilmi¸s ve (Pastore and Dileo 2007) de de¼ginilen
hemen hemen Kenmotsu manifoldlar ile ilgili temel özellikler hemen hemen -kosimplektik
manifold için ele al¬nm¬¸st¬r (Öztürk 2009).
Dördüncü bölümde, belli baz¬ yar¬ simetrik ko¸sullar¬ sa¼glayan -Kenmotsu
manifold-lar ele al¬nm¬¸st¬r. Burada , M2n+1 üzerinde d
^ = 0 ¸seklinde tan¬mlanan bir
diferensiyellenebilir fonksiyondur. Birinci k¬s¬mda, -Kenmotsu manifoldlar tan¬t¬lm¬¸s
ve e¼grilik özellikleri verilmi¸stir. ·Ikinci k¬s¬mda, yar¬ simetri ¸sart¬ ara¸st¬r¬lm¬¸s ve bir
çok sonuç bulunmu¸stur. Üçüncü k¬s¬mda, Ricci yar¬ simetrik manifold incelenmi¸stir.
Dördüncü k¬s¬mda, Weyl konformal yar¬simetri çal¬¸s¬lm¬¸st¬r. Be¸sinci k¬s¬mda,
projek-tiktif yar¬ simetri ¸sart¬ gözönüne al¬narak sonuçlar ortaya koyulmu¸stur. Son k¬s¬mda,
konsirküler yar¬simetri ¸sart¬incelenmi¸stir.
Tez çal¬¸smam¬z¬n as¬l k¬sm¬n¬olu¸sturan son bölümdeki amac¬m¬z, 3-boyutlu yar¬simetrik
hemen hemen -kosimplektik manifoldlar¬ incelemektir. Yar¬ simetri yard¬m¬yla baz¬
orijinal sonuçlar elde edilmi¸stir. Birinci k¬s¬mda, 3-boyutlu hemen hemen -kosimplektik
manifold yap¬s¬ verilmi¸stir. ·Ikinci k¬s¬mda, 3-boyutlu yar¬ simetrik hemen hemen
2
TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde, çal¬¸smam¬z için gerekli olan temel kavramlar verilmi¸stir.
2.1
Manifoldlar
Bu k¬s¬mda, di¼ger bölümlerde ihtiyaç duyulacak manifoldlar ile ilgili temel kavramlar
verilmi¸stir.
2.1.1 Riemann Manifoldlar¬
Bu k¬s¬mda, Riemann manifoldlar¬n temel kavramlar¬tan¬t¬lacakt¬r.
Tan¬m 2:1:1:1: M; n-boyutlu bir C1 manifold olsun. Mn üzerinde vektör alanlar¬n¬n
uzay¬ (Mn)ve reel de¼gerli C1 fonksiyonlar¬n¬n halkas¬C1(Mn
; R) olmak üzere,
g : (Mn) (Mn) ! C1(Mn; R)
simetrik, 2-lineer ve pozitif tan¬ml¬bir g dönü¸sümüne Mn üzerinde bir Riemann metrik
tensörü ve (Mn; g) ikilisiyle verilen manifolda bir Riemann manifoldu denir (O’neill
1983).
Mn manifoldunun herhangi iki p ve q noktas¬için Mn üzerinde bu noktalar¬birle¸stiren
bir e¼gri bulunabiliyorsa Mn ye ba¼glant¬l¬manifold ad¬verilir (O’neill 1983).
Tan¬m 2:1:1:2: Mn bir C1 manifold olsun. Mn üzerinde vektör alanlar¬n¬n uzay¬
(Mn)olmak üzere, r : (Mn) (Mn)2-lineer! (Mn) (X; Y ) ! r(X; Y ) = rXY dönü¸sümü, 8 f; g 2 C1(Mn; R); 8 X; Y; Z 2 (Mn)için, (1) rX(Y + Z) = rXY +rXZ; (2) rf X+gYZ = f rXZ + g rYZ; (3) rX(f Y ) = f rXY + X(f )Y;
Tan¬m 2:1:1:3: (Mn; g)
bir Riemann manifoldu ve r da Mn üzerinde bir a…n
konnek-siyon olsun. O zaman, r dönü¸sümü; 8 X; Y; Z 2 (Mn) için,
(1) rXY rYX = [X; Y ] (Konneksiyonun s¬f¬r torsiyon özeli¼gi),
(2) Xg(Y; Z) = g(rXY; Z)+g(Y;rXZ)(Konneksiyonun metrikle ba¼gda¸sma özeli¼gi),
¸
sartlar¬n¬sa¼gl¬yorsa r ya Mn üzerinde s¬f¬r torsiyonlu bir Riemann konneksiyonu veya
Mn nin Levi-Civita konneksiyonu denir (O’neill 1983).
Tan¬m 2:1:1:4: (Mn; g)
bir Riemann manifoldu ve r da Mn üzerinde bir Levi-Civita
konneksiyonu olsun. O zaman,
R : (Mn) (Mn) (Mn)
! (Mn)
R(X; Y )Z =rXrYZ rYrXZ r[X;Y ]Z
(2.1)
ile tan¬mlanan (1; 3)-tipli tensör alan¬R ye Mn nin Riemann e¼grilik tensörü denir.
Ayr¬ca, 8 X; Y; Z; V; W 2 (Mn) olmak üzere, R Riemann e¼grilik tensörü
(1) R(X; Y )Z = R(Y; X)Z;
(2) g(R(X; Y )V; W ) = g(R(X; Y )W; V );
(3) R(X; Y )Z + R(Y; Z)X + R(Z; X)Y = 0; (4) g(R(X; Y )V; W ) = g(R(V; W )X; Y );
özelliklerini sa¼glar (O’neill 1983).
Önerme 2:1:1:1: (Mn; g)
bir Riemann manifold, r da Mn üzerinde bir Levi-Civita
konneksiyonu ve E; (1:1)-tipli bir tensör alan¬olsun. O zaman,
(rXE)Y =rXEY E (rXY )
d¬r (O’neill 1983).
Önerme 2:1:1:2: (Mn; g) bir Riemann manifoldu olsun. F simetrik bir tensör alan¬
olmak üzere, her X; Y; Z vektör alanlar¬için,
g((rXF )Y; Z) = g(Y; (rXF )Z)
Önerme 2:1:1:3: (Mn; g) bir Riemann manifoldu olsun. G ters simetrik bir tensör
alan¬olmak üzere, her X; Y; Z vektör alanlar¬için,
g((rXG)Y; Z) = g(Y; (rXG)Z)
d¬r (O’neill 1983).
Tan¬m 2:1:1:5: (Mn; g) bir Riemann manifoldu olsun. T
pM tanjant uzay¬n¬n iki
boyutlu altuzay¬ ve V; W 2 vektörleri üzerine kurulan paralel kenar¬n alan¬
g(V; V )g(W; W ) g(V; W )2 6= 0
olsun. O zaman,
K(V; W ) = g(R(V; W )W; V )
g(V; V )g(W; W ) g(V; W )2
e¸sitli¼gine nin kesit e¼grili¼gi denir ve K( ) ile gösterilir (O’neill 1983).
Tan¬m 2:1:1:6: (Mn; g) bir Riemann manifoldu ve fe1; e2; :::; eng ; lokal ortonormal
vektör alanlar¬olmak üzere,
S : (Mn) (Mn) ! R (X; Y ) ! S(X; Y ) = n P i=1 g(R(ei; X)Y; ei) (2.2)
¸seklinde tan¬ml¬ (0; 2)-tipindeki S tensör alan¬na Mn üzerinde Ricci e¼grilik tensörü
denir.
Ayr¬ca, (0; 2)-tipli Q Ricci operatörü
S(X; Y ) = g(QX; Y )
e¸sitli¼gi ile tan¬ml¬d¬r (Yano and Kon 1984).
Tan¬m 2:1:1:7: (Mn; g)
bir Riemann manifoldu ve fe1; e2; :::; eng ; lokal ortonormal
vektör alanlar¬olmak üzere,
r =
n
X
i=1
S(ei; ei)
Tan¬m 2:1:1:8: (Mn; g) bir Riemann manifoldu olsun. E¼ger Mn nin e¼grilik tensörü
paralel (rR = 0) ise o zaman, Mn ye lokal simetrik uzay denir (Yano and Kon 1984).
Tan¬m 2:1:1:9: (Mn; g)bir Riemann manifoldu ve Mn üzerinde bir pozitif fonksiyon
olsun. Bu durumda, g = 2g e¸sitli¼gi Mn üzerinde metrik de¼gi¸simini tan¬mlar. Burada
her bir noktadaki iki vektör aras¬ndaki aç¬de¼gi¸smezdir. Bu nedenle, bu ¸sekilde
tan¬m-lanan metrik de¼gi¸simine metri¼gin bir konformal de¼gi¸simi denir. E¼ger fonksiyonu sabit
ise konformal dönü¸süm homotetik olarak adland¬r¬l¬r. E¼ger fonksiyonu özde¸s olarak
1 ’e e¸sit ise bu dönü¸süm bir izometri olarak adland¬r¬l¬r.
Ayr¬ca, e¼ger bir g Riemann metri¼gi lokal düzlemsel olan bir g Riemann metri¼gi ile
konformal olarak ili¸skili ise o zaman, Mn Riemann manifolduna konformal düzlemsel
denir (Yano and Kon 1984).
Tan¬m 2:1:1:10: (M2n+1; g)bir Riemann manifoldu olsun. M2n+1 nin (1; 3)-tipli Weyl
konformal e¼grilik tensör alan¬ C, M2n+1 üzerindeki herhangi X; Y; Z vektör alanlar¬
için,
C(X; Y )Z = R(X; Y )Z 1
2n 1[S(Y; Z)X S(X; Z)Y g(X; Z)QY
+g(Y; Z)QX] + 2n(2n 1)r [g(Y; Z)X g(X; Z)Y ]
(2.3)
¸seklinde tan¬mlan¬r. Bundan ba¸ska, C nin divergensi c olmak üzere (c = div C),
c(X; Y ) = (rXQ)Y (rYQ)X 2(2n 1)1 [(rXr)Y (rYr)X]
d¬r (Yano and Kon 1984).
Tan¬m 2:1:1:11: (M2n+1; g)bir Riemann manifoldu olsun. Her X; Y; Z vektör alanlar¬
için M2n+1 nin (1; 3)-tipli konsirküler e¼grilik tensör alan¬ C ve projektif e¼grilik tensör
alan¬P ,
C(X; Y )Z = R(X; Y )Z 2n(2n+1)r [g(Y; Z)X g(X; Z)Y ] ; (2.4)
P (X; Y )Z = R(X; Y )Z 2n1 [S(Y; Z)X S(X; Z)Y ] ; (2.5)
¸seklinde tan¬mlan¬r. Burada S Ricci tensörü ve r = tr(S) skalar e¼griliktir (Yano and
Tan¬m 2:1:1:12: (M2n+1; g) bir Riemann manifoldu olsun. M2n+1üzerinde tüm key…
X; Y vektör alanlar¬için, bir (M; g) Riemann manifoldunun Riemann e¼grilik tensörü
R(X; Y ):R = 0; (2.6)
¸sart¬n¬sa¼gl¬yorsa (M2n+1; g) bir yar¬simetrik uzayd¬r denir (Yano ve Kon 1984).
Teorem 2:1:1:1: (Mn; g) bir Riemann manifoldu olsun. Mn nin konformal düzlemsel
olmas¬için gerek ve yeter ko¸sul n > 3 için C = 0 ve n = 3 için c = 0 olmas¬d¬r (Yano
and Kon 1984).
Teorem 2:1:1:2: (Mn; g)bir sabit k e¼grili¼gine sahip olan bir Riemann manifoldu olsun.
Bu durumda, Mn üzerindeki herhangi X; Y; Z vektör alanlar¬için,
R(X; Y )Z = k [g(Y; Z)X g(X; Z)Y ] (2.7)
d¬r (Yano and Kon 1984).
Tan¬m 2:1:1:13: k sabit e¼grilikli, tam ve ba¼glant¬l¬manifoldlara uzay form denir.
n-boyutlu bir Mn uzay formu Mn(k) ile gösterilir (Yano and Kon 1984).
Sonuç 2:1:1:1: (Mn; g) bir sabit k e¼grilikli bir uzay form olsun. Bu durumda, n 2
için, Mn(k) = 8 > > > < > > > :
k = 0 ise Mn(k) = En Öklid uzay¬,
k = r12 ise Mn(k) = Sn(r) küresi,
k = r12 ise M
n(k) = Hn(r) Hiperbolik uzay,
d¬r (O’neill 1983).
Tan¬m 2:1:1:14: Mn bir C1 manifold olmak üzere,
' : R Mn
! Mn
(t; p) ! 't(P )
dönü¸sümü
(2) 8 t; s 2 R ve P 2 Mn için, '
t+s(P ) = 't('s(P ));
¸sartlar¬n¬ sa¼gl¬yorsa ' ye Mn nin diferensiyellenebilir bir 1-parametreli grubu denir
(Yano and Kon 1984).
Tan¬m 2:1:1:15: Mn bir C1 manifold ve Mn üzerindeki bir vektör alan¬ X olmak
üzere, X ile gerilmi¸s lokal dönü¸sümlü bir 1-parametreli grup 't olsun. O zaman, K bir
tensör alan¬ve p 2 Mn için,
(LXK)p = lim
t!0
1
t [Kp ('tK)p]
¸seklinde tan¬mlanan LXK dönü¸sümüne X yönünde K n¬n Lie türevi denir ve LXK ile
gösterilir (Yano and Kon 1984).
Önerme 2:1:1:4: Mnbir C1manifold ve Mn üzerindeki bir X vektör alan¬yönündeki
Lie türevi için,
(1) LX(Y Z) = (LXY ) Z + Y (LXZ); (Y; Z herhangi tensör alanlar¬)
(2) LXf = X(f ); ( f; K cismi üzerinde bir fonksiyon)
(3) LXV = [X; V ] ; V 2 (Mn)
özellikleri geçerlidir (Yano and Kon 1984).
Tan¬m 2:1:1:16: (Mn; g) bir Riemann manifoldu olsun. Her X vektör alan¬ için,
LXg = 0 ise X vektör alan¬na bir Killing vektör alan¬denir (Yano and Kon 1984).
2.1.2 Hemen Hemen De¼gme Manifoldlar
Bu k¬s¬mda, hemen hemen de¼gme manifoldlar ile ilgili temel kavramlar verilmi¸stir.
Tan¬m 2:1:2:1: M, (2n + 1)-boyutlu bir manifold, ; ; da M2n+1 üzerinde, s¬ras¬yla,
(1; 1)-tipinde bir tensör alan¬, bir vektör alan¬ ve 1-form olsunlar. E¼ger ; ; için,
M2n+1 üzerinde herhangi bir vektör alan¬X olmak üzere,
( ) = 1
2X = X + (X) (2.8)
e¸sitlikleri sa¼glan¬yorsa o zaman, ( ; ; ) üçlüsüne M2n+1 üzerinde bir hemen hemen
de¼gme yap¬ ve bu yap¬ ile birlikte M2n+1 ye bir hemen hemen de¼gme manifold denir
Tan¬m 2:1:2:2: M2n+1, ( ; ; ) hemen hemen de¼gme yap¬s¬ile verilsin. M2n+1üzerinde
bir g Riemann metri¼gi
(X) = g(X; );
g( X; Y ) = g(X; Y ) (X) (Y )
(2.9)
¸sartlar¬n¬sa¼gl¬yorsa g metri¼gine M2n+1üzerinde hemen hemen de¼gme metrik, ( ; ; ; g)
yap¬s¬na hemen hemen de¼gme metrik yap¬ ve ( ; ; ; g) yap¬s¬ile M2n+1 ye de hemen
hemen de¼gme metrik manifold denir (Yano and Kon 1984).
Sonuç 2:1:2:1: M2n+1, ( ; ; ; g) hemen hemen de¼gme metrik yap¬s¬ ile verilsin. Bu
durumda,
g( X; Y ) = g(X; Y ) (2.10)
d¬r (Yano and Kon 1984).
Tan¬m 2:1:2:3: M2n+1 üzerinde bir hemen hemen de¼gme metrik yap¬s¬( ; ; ; g) olmak
üzere,
(X; Y ) = g(X; Y ) (2.11)
¸seklinde tan¬ml¬ dönü¸sümüne hemen hemen de¼gme metrik yap¬s¬n¬n temel 2-formu
denir (Yano and Kon 1984).
Tan¬m 2:1:2:4: (Mn; g) bir Riemann manifold ve x
1; x2; : : : ; xn Mn nin lokal
koordi-natlar¬olsun. w =pjgjdx1 ^ dx2 ^ : : : ^ dxn ve g(x) > 0 ise w ye Mn üzerindeki bir
hacim form denir. Burada dxi, Mn üzerindeki kotanjant uzayda 1-formlar ve jgj ; Mn
üzerinde metrik tensörün determinant¬d¬r (Spivak 1965).
Tan¬m 2:1:2:5: (Mn; g) bir Riemann manifoldu olsun. Mn üzerinde bir hacim form
mevcut ise Mn ye yönlendirilebilirdir denir (Gallot et al. 2004).
Sonuç 2:1:2:2: temel 2-formu ters simetrik ve Tan¬m 2:1:2:3: yard¬m¬yla ^ n
6= 0
d¬r. Böylece Tan¬m 2:1:2:5: gere¼gince (Mn; ; ; ; g)hemen hemen de¼gme metrik
mani-foldu yönlendirilebilirdir (Gonzalez 1990).
Tan¬m 2:1:2:6: Mn bir C1 manifold olsun. E¼ger w 1-form ise, key… X; Y vektör
alanlar¬için,
d¬r. E¼ger w 2-form ise,
3dw(X; Y; Z) = X(w(Y; Z)) + Y (w(Z; Y )) + Z(w(X; Y ))
w([X; Y ]; Z) w([Y; Z]; X) w([Z; X]; Y )
d¬r (Yano and Kon 1984).
Önerme 2:1:2:1: (M2n+1; ; ; ; g) bir hemen hemen de¼
gme metrik manifold ve r Riemann konneksiyonu olsun. Key… X; Y; Z vektör alanlar¬için,
(i) (rX )(Y; Z) = g(Y; (rX )Z) (ii) (rX )(Y; Z) + (rX )( Y; Z) = (Z)(rX ) Y (Y )(rX ) Z (iii) (rX )Y = g(Y;rX ) = (rX )( ; Y ) (iv) 2d (X; Y ) = (rX )Y (rY )X (v) 3d (X; Y; Z) = X;Y;Z (rX )(Y; Z)
e¸sitlikleri geçerlidir. Burada
X;Y;Z, X; Y; Z vektör alanlar¬ üzerinden al¬nan devirli
toplam¬göstermektedir.
Ayr¬ca, fXi; Xi; g i = 1; 2; : : : ; n olmak üzere, M2n+1 nin aç¬k bir altcümlesi üzerinde
tan¬mlanan bir lokal ortonormal baz olsun. O zaman, operatörü
=
n
X
i=1
f(rXi )Xi+ (r Xi ) Xig
¸seklinde elde edilir (Gonzalez 1990).
Tan¬m 2:1:2:7: Mn bir reel di¤erensiyellenebilir manifold olsun. E¼ger Mn nin her p
noktas¬için J2 = Iolacak ¸sekilde T
pM tanjant uzay¬n¬n bir J endomor…zmas¬mevcut
ise, o zaman Mnüzerindeki J tensör alan¬na bir hemen hemen kompleks yap¬ad¬verilir.
Bir J hemen hemen kompleks yap¬s¬ile verilen manifolda bir hemen hemen kompleks manifold denir (Yano and Kon 1984).
M üzerinde bir hemen hemen de¼gme metrik yap¬s¬ ( ; ; ; g) ile verilsin. O zaman,
M R üzerinde herhangi bir vektör alan¬
(X; f d
¸seklinde tan¬mlan¬r. Burada X; M manifolduna te¼get bir vektör alan¬; t; R nin bir
koordinat¬ve f; M R üzerinde bir C1 fonksiyondur.
M üzerinde ( ; ; ; g) bir hemen hemen de¼gme metrik yap¬ olsun. Böylece M R
üzerindeki bir hemen hemen kompleks yap¬
J (X; f d
dt) = X f: ; (X)
d dt
biçiminde tan¬mlan¬r. Kolayca J2 = I elde edilir (Yano and Kon 1984).
Tan¬m 2:1:2:8: Mn bir diferensiyellenebilir manifold olmak üzere, Mn üzerinde (1;
1)-tipli bir tensör alan¬F olsun. 8 X; Y 2 (M) için,
NF(X; Y ) = F2[X; Y ] + [F X; F Y ] F [F X; Y ] F [X; F Y ]
¸
seklinde tan¬ml¬ NF tensör alan¬na F tensör alan¬na göre Nijenhuis torsiyon tensörü
denir (Yano ve Kon 1984).
J; Mn üzerinde bir hemen hemen kompleks yap¬olsun. Tan¬m 2:1:2:8 yard¬m¬yla Mn
üzerinde J tensör alan¬na göre Nijenhuis torsiyon tensörü
NJ(X; Y ) = J2[X; Y ] + [J X; JY ] J [J X; Y ] J [X; J Y ]
= [X; Y ] + [J X; J Y ] J [J X; Y ] J [X; JY ]
¸
seklindedir (Yano and Kon 1984).
Tan¬m 2:1:2:9: (M2n; J ) hemen hemen kompleks manifold olsun. O zaman, N
J = 0
ise J dönü¸sümüne integrallenebilirdir denir (Yano and Kon 1984).
Tan¬m 2:1:2:10: E¼ger M2n
R üzerindeki bir J hemen hemen kompleks
yap¬s¬in-tegrallenebilir ise ( ; ; ) hemen hemen de¼gme yap¬s¬na normaldir denir (Yano and Kon
1984).
Önerme 2:1:2:2: M2n+1üzerinde ( ; ; ) hemen hemen de¼gme yap¬s¬n¬n normal olmas¬
için gerek ve yeter ko¸sul
e¸sitli¼ginin sa¼glamas¬d¬r. Burada N ; tensör alan¬na göre Nijenhuis torsiyon tensörüdür (Yano and Kon 1984).
Tan¬m 2:1:2:11: (M2n; J ) hemen hemen kompleks manifold olsun. M2n üzerinde her
X; Y vektör alanlar¬için,
g(J X; JY ) = g(X; Y )
¸seklinde verilen g Riemann metri¼gine Hermit metri¼gi denir. Hermit metri¼gi ile verilen bir
hemen hemen kompleks manifolda bir hemen hemen Hermit manifoldu denir. Hermit
metri¼gi ile verilen kompleks manifolda ise Hermit manifoldu denir (Blair 2002).
Tan¬m 2:1:2:12: (M2n; J; g) bir hemen hemen Hermit manifoldu olsun. Her X; Y
vektör alanlar¬için,
(X; Y ) = g(X; J Y )
e¸sitli¼gi ile tan¬mlanan 2-formuna hemen hemen Hermit yap¬s¬n¬n temel 2-formu denir.
E¼ger d = 0 ise (J; g) yap¬s¬na hemen hemen Kaehler yap¬denir. Bu yap¬ile elde edilen
manifolda ise hemen hemen Kaehler manifoldu denir. Bir Kaehler yap¬ ile verilen kompleks manifolda Kaehler manifoldu denir. Bir Hermit manifoldunun bir Kaehler
manifold olmas¬için gerek ve yeter ko¸sul rJ = 0 e¸sitli¼ginin sa¼glamas¬d¬r (Blair 2002).
Tan¬m 2:1:2:13: (M2n+1; ; ; ; g), bir hemen hemen de¼gme metrik manifold olsun. O
zaman, verilen bu yap¬
d = 0 ( ;kapal¬d¬r); d = 0 ( ; kapal¬d¬r)
¸sartlar¬n¬ sa¼gl¬yorsa M2n+1 manifolduna hemen hemen kosimplektik manifold denir.
E¼ger bir hemen hemen kosimplektik manifoldu normal ise bu manifolda kosimplektik
manifold denir (Olszak 1981).
Teorem 2:1:2:1: (M2n+1; ; ; ; g), bir hemen hemen de¼gme metrik manifold olsun.
M2n+1 manifoldunun bir kosimplektik manifold olmas¬için gerek ve yeter ko¸
sul r ve r kovaryant türevlerinin s¬f¬ra e¸sit olmas¬d¬r (Olszak 1981).
Yard¬mc¬Teorem 2:1:2:1: (M2n+1; ; ; ; g) bir hemen hemen de¼gme manifoldu
ol-sun. E¼ger 2-formu kapal¬ise,
(r X )( Y; Z) + (rX )(Y; Z) (X) [d ( Y; Z) + d (Y; Z)]
+ (Y ) d ( Z; X) 12(L g)(Z; X) + (Z) [d (X; Y ) d ( X; Y )] = 0
e¸sitli¼gi sa¼glan¬r (Olszak 1981).
Yard¬mc¬Teorem 2:1:2:2: Bir hemen hemen kosimplektik manifold üzerinde
(r X )( Y ) + (rX )(Y ) (Y )r X = 0
e¸sitli¼gi geçerlidir (Olszak 1981).
Örnek 2:1:2:1: (M; J; G) bir hemen hemen Kaehler manifoldu olsun. O zaman, M ,
(2n)-boyutlu bir manifold, J bir hemen hemen kompleks yap¬ve M2n üzerindeki
Rie-mann metri¼gi G olmak üzere,
J2 = I; G(X; Y ) = G(J X; JY )
e¸sitlikleri geçerlidir. M2n üzerindeki temel 2-form
(X; Y ) = G(X; J Y )
¸seklinde tan¬ml¬olup, d = 0 d¬r.
R reel do¼gru ve g0 bir Riemann metri¼gi olsun. R üzerinde 0 s¬f¬rdan farkl¬bir vektör
alan¬ve 0
g0(X; 0) = 0(X)
olacak ¸sekilde bir 1-form olsun. Böylece M0 = M2n R çarp¬m manifoldu tan¬ml¬d¬r.
(X1; X2); V üzerinde tan¬ml¬ vektör alanlar¬ olsunlar. Burada X1; V çarp¬m
mani-folduna dik olan vektör ve X2 ise R do¼grusuna dik olan vektördür. (1; 1)-tipli bir
tensör alan¬ bir vektör alan¬( 6= 0) ve 1-formunu
(X1; X2) = (J X1; 0); = (0; 0); (X1; X2) = 0(X2)
¸
seklinde seçelim. Ayr¬ca, M0 üzerinde tan¬ml¬g metri¼gi
¸seklindedir. Böylece (M0; ; ; ; g)bir hemen hemen kosimplektik manifoldu elde edilir (Olszak 1981).
Tan¬m 2:1:2:14: (M2n+1; ; ; ; g) bir hemen hemen de¼gme metrik manifold olsun.
E¼ger M manifoldu üzerinde her X; Y; Z vektör alanlar¬ve 2 R; 6= 0 için,
d = 0; d = 2 ^
¸sartlar¬ geçerli ise M manifolduna bir hemen hemen -Kenmotsu manifoldu denir.
= 1 durumu hemen hemen Kenmotsu olarak adland¬r¬l¬r (Kenmotsu 1972).
Önerme 2:1:2:3: (M2n+1; ; ; ; g)bir hemen hemen Kenmotsu manifoldu olsun. Bu
durumda,
0 = 1 ; 0 = ; 0
= ; g0 = 12g; 6= 0; 2 R (2.12)
¸seklinde tan¬ml¬ homotetik deformasyon yard¬m¬yla M2n+1 üzerinde bir ( 0; 0; 0; g0)
hemen hemen -Kenmotsu manifoldu elde edilir (Kim and Pak 2005).
Teorem 2:1:2:2: (M2n+1; ; ; ; g) bir hemen hemen de¼gme metrik manifold olsun.
M2n+1 nin bir Kenmotsu manifold olmas¬için gerek ve yeter ko¸sul
(rX )Y = g( X; Y ) (Y ) X; rX = 2X ; 8 X; Y 2 (M2n+1)
3
HEMEN HEMEN
-KOS·
IMPLEKT·
IK
MAN·
IFOLDLAR
Bu bölümde, hemen hemen de¼gme metrik manifoldlar¬n geni¸s bir alts¬n¬f¬olan hemen
hemen -kosimplektik manifoldlar incelenmi¸stir.
3.1
Hemen Hemen
-Kosimplektik Yap¬lar
Bu k¬s¬mda öncelikle hemen hemen -kosimplektik yap¬lar tan¬t¬larak, gerekli literatür
bilgisi verilmi¸stir.
Tan¬m 3:1:1: (M; ; ; ; g), (2n + 1)-boyutlu bir hemen hemen de¼gme metrik manifold
olsun. Herhangi vektör alanlar¬ve key… reel say¬s¬için, M2n+1 üzerinde
d = 0; d = 2 ^
e¸sitlikleri sa¼glan¬yorsa M2n+1 ye hemen hemen -kosimplektik manifold denir. Özel
olarak, = 0 için hemen hemen kosimplektik, 6= 0 durumunda ise hemen hemen
-Kenmotsu manifoldu elde edilir (Kim and Pak 2005).
Yard¬mc¬ Teorem 3:1:1: M2n+1 manifoldunun bir ( ; ; ; g) hemen hemen de¼gme
metrik yap¬s¬için,
2g((rX )Y; Z) = 3d (X; Y; Z) 3d (X; Y; Z) (3.1)
+g(N(1)(Y; Z); X) + N(2)(Y; Z) (X)
+2d ( Y; X) (Z) 2d ( Z; X) (Y )
dir. Burada N(1); N(2) tensör alanlar¬, s¬ras¬yla,
N(1)(X; Y ) = N (X; Y ) + 2d (X; Y ) (3.2)
N(2)(X; Y ) = (L X )Y (L Y )X (3.3)
Önerme 3:1:1: (M2n+1; ; ; ; g), bir hemen hemen -kosimplektik manifold olsun. O
zaman, her X; Y vektör alanlar¬için,
hX = 12(L )X; h( ) = 0 (3.4) rX = 2X hX (3.5) r = 0; r = 0 (3.6) ( h)X + (h )X = 0 (3.7) (rX )Y = [g(X; Y ) (X) (Y )] + g( Y; hX) (3.8) = 2 n; Iz(h) = 0_ (3.9) h = 0, r = 2 (3.10)
e¸sitlikleri sa¼glan¬r (Kim et al. 2005, Pastore 2007).
Yard¬mc¬Teorem 3:1:2: (M2n+1; ; ; ; g) bir hemen hemen de¼gme manifold olsun.
O zaman, her X vektör alan¬için,
(r h) + (r h) = 0
e¸sitli¼gi geçerlidir (Blair 2002).
Önerme 3:1:2: (M2n+1; ; ; ; g), bir hemen hemen -kosimplektik manifold olsun. O
zaman, 8 X; Y 2 (M) için Levi-Civita konneksiyonu
(rX )Y + (r X ) Y = [ (Y ) X + 2g(X; Y ) ] (Y )hX (3.11)
e¸sitli¼gini sa¼glar. Ayr¬ca, (3.11) e¸sitli¼gi kullan¬larak
(r X )Y (rX )Y = 2 (Y ) X g( X + hX; Y ) (3.12)
elde edilir (Kim and Pak 2005). ¸
Simdi, A ve h tensör alanlar¬ile ilgili temel e¸sitlikleri verelim:
Yard¬mc¬Teorem 3:1:3: (M2n+1; ; ; ; g)bir hemen hemen -kosimplektik manifold
olsun. M2n+1 üzerinde (1; 1)-tipli A ve h tensör alanlar¬, s¬ras¬yla, A = r ve
(i) A ve h simetriktir, (ii) A + A = 2 ; (iii) A = 0; h = 0; (iv) h = A + ; (v) hA + Ah = 2 h; (vi) _Iz(A) = 2 n (vii) _Iz( A) = 0
e¸sitlikleri sa¼glan¬r.
·
Ispat (i) M2n+1 üzerinde herhangi X; Y vektör alanlar¬için,
g(AX; Y ) = g( 2X + hX; Y )
= g( X; Y ) g(X; h Y ))
= g( 2X; Y ) + g( hY; X)
= g(AY; X)
d¬r. Böylece A simetriktir. Özel olarak, X = için A = 2 + h = 0 elde edilir.
Benzer olarak, h tensör alan¬n¬n simetrik oldu¼gu kolayca elde edilir.
(ii) A tensör alan¬n¬n özellikleri gözönüne al¬nd¬¼g¬nda A = ( 2+ h) ve
A = ( 2+ h) e¸sitlikleri elde edilir. Bu iki e¸sitlik taraf tarafa toplan¬rsa
A + A = 2 e¸sitli¼gi bulunur.
(iii) A tensör alan¬n¬n tan¬m¬ndan
( A)X = (AX)
= g( rX ; )
0 = g(X;r )
bulunur. Benzer ¸sekilde, h = 0 e¸sitli¼gi L Lie türev operatörünün tan¬m¬kullan¬larak
elde edilir.
(iv) (3.5) e¸sitli¼ginden A = + hd¬r. Burada h tensör alan¬çekilerek h = A +
(v) hA ve Ah bile¸ske tensör alanlar¬
hA = h 2+ h h; Ah = 2h + h2
¸seklinde bulunur. Böylece yukar¬daki iki e¸sitlik taraf tarafa toplanarak
hA + Ah = 2 2h elde edilir.
(vi)-(vii) A ve A tensör alanlar¬n¬n izleri al¬n¬r ve (3.9) e¸sitli¼gi kullan¬l¬rsa (vi) ve (vii)
¸s¬klar¬elde edilir.
3.2
E¼
grilik Özellikleri
Bu k¬s¬mda, Riemann e¼grilik tensörü yard¬m¬yla baz¬e¼grilik özellikleri incelenmi¸stir.
Önerme 3:2:1: (M2n+1; ; ; ; g), bir hemen hemen -kosimplektik manifold olsun.
O zaman, M2n+1 üzerinde herhangi vektör alanlar¬X; Y için,
R(X; Y ) = 2[ (X)Y (Y )X] [ (X) hY (Y ) hX] (3.13)
+(rY h)X (rX h)Y
= (rYA)X (rXA)Y
e¸sitli¼gi sa¼glan¬r.
·
Ispat R Riemann e¼grilik tensörü tan¬m¬ve (3.5) e¸sitli¼gi gözönüne al¬n¬rsa
R(X; Y ) = rXrY rYrX r[X;Y ] = rX( 2Y hY ) rY( 2X hX) ( 2[X; Y ] h [X; Y ]) = rX 2Y rX hY + rY 2X +rY hX + 2[X; Y ] + h [X; Y ] = 2[ (X)Y (Y )X] [ (X) hY (Y ) hX] + (rY h)X (rX h)Y elde edilir.
Önerme 3:2:2: (M2n+1; ; ; ; g), bir hemen hemen -kosimplektik manifold olsun. Bu durumda, R(X; ) = 2 2X + 2 hX h2X + (r h)X (3.14) (r h)X = R(X; ) 2 X 2 hX h2X (3.15) R(X; ) R( X; ) = 2 2 2X h2X (3.16) S(X; ) = 2n 2 (X) (div( h))X (3.17) S( ; ) = _Iz(l) = h2n 2+ _Iz(h2)i (3.18)
e¸sitlikleri geçerlidir.
·
Ispat (3.13) e¸sitli¼ginden (3.14) kolayca elde edilir. (3.14) denklemine uygulan¬r ve
g((r h)X; ) = 0 e¸sitli¼gi yard¬m¬yla, (3.15) denklemi elde edilir. Di¼ger yandan, (3.14)
denkleminde X yerine X yaz¬l¬rsa
R( X; ) = 2 3X + 2 h X h2 X + (r h)( X) (3.19)
denklemi bulunur. (3.14) ve (3.19) denklemleri gözönüne al¬nd¬¼g¬nda
R(X; ) R( X; ) = 2 2X + 2 hX h2X + (r h)X
+ 2 2X 2 hX h2X 2(r h)( X)
= 2 2 2X 2h2X + (r h)X + (r h) X
elde edilir. Yard¬mc¬ Teorem 3:1:2: yard¬m¬yla yukar¬daki e¸sitlikteki son iki ifadenin
toplam¬s¬f¬rd¬r. Böylece (3.16) denklemi elde edilir.
Ricci e¼grilik tensörü yard¬m¬yla (3.13) denkleminden
S(X; ) = 2n 2 (X) 2n+1P i=1 g((rEi h)X; Ei) + 2n+1P i=1 g((rX h)Ei; Ei)
elde edilir. _Iz( h) = 0 oldu¼gundan
2n+1X i=1 g((rX h)Ei; Ei) = 0 d¬r. Buradan 2n+1X i=1 g((rX h)Ei; Ei) = 2n+1X i=1 g(rX hEi; Ei) 2n+1X i=1 g(rXEi; hEi) (3.20)
e¸sitli¼gi yaz¬l¬r. Ayr¬ca, 2n+1X i=1 g(rX hEi; Ei) + 2n+1X i=1 g(rXEi; hEi) = 0 (3.21)
d¬r. (3.20) ve (3.21) e¸sitliklerinden dolay¬
g((rX h)Ei; Ei) = 0
bulunur. (3.17) e¸sitli¼ginde X = al¬n¬rsa
S( ; ) = 2n 2 ( ) 2n+1P i=1 g((rEi h) ; Ei) = 2n 2 2n+1P i=1 g((h2E i; Ei) = 2n 2 Iz(h_ 2)
denklemi elde edilir. Böylece (3.18) denkleminin ispat¬tamamlanm¬¸s olur.
Sonuç 3:2:1: (M; ; ; ; g), (2n+1)-boyutlu bir hemen hemen -kosimplektik manifold olsun. Bu durumda,
(i) 6= 0 olmak üzere, S( ; ) her zaman negatif de¼ger al¬r,
(ii) E¼ger S( ; ) = 0 ise o zaman, (M; ; ; ; g) hemen hemen kosimplektik ve bir
hemen hemen Kaehler manifold ile R veya S1 nin lokal bir a¸sikar çarp¬m¬¸seklindedir.
Önerme 3:2:3: (M2n+1; ; ; ; g), bir lokal simetrik hemen hemen -kosimplektik
ma-nifold olsun. O halde, r h = 0 d¬r. ·
Ispat (Pastore and Dileo 2007) deki ispata benzer olarak elde edilir.
Önerme 3:2:4: Sabit e¼grilikli bir hemen hemen Kaehler manifoldun Kaehler manifold
olmas¬için gerek ve yeter ko¸sul manifoldun lokal düzlemsel olmas¬d¬r (Goldberg 1969).
Önerme 3:2:5: (M2n+1; ; ; ; g), bir hemen hemen -kosimplektik manifold olsun.
O zaman, M2n+1 nin -kosimplektik manifold olmas¬ için gerek ve yeter ko¸
sul D
da¼g¬l¬m¬n¬n integral altmanifoldlar¬n¬n Kaehler ve h = 0 olmas¬d¬r (Kim and Pak 2005).
Teorem 3:2:1: (M2n+1; ; ; ; g), bir lokal simetrik hemen hemen -Kenmotsu
(i) M2n+1 bir -Kenmotsu manifold,
(ii) h = 0;
¸sartlar¬birbirine denktir. Ayr¬ca, bu ¸sartlardan herhangi biri sa¼glad¬¼g¬nda M2n+1
ma-nifoldu K = 2 kesit e¼grili¼gine sahiptir.
·
Ispat M2n+1 nin bir -Kenmotsu manifold oldu¼
gu kabul edilirse r = 2 d¬r. O
halde, (3.10) ifadesinden h = 0 olur. Di¼ger yandan, h = 0 ise r = 2; (3.8) ve
(3.13) yard¬m¬yla
R(X; Y ) = 2[ (X)Y (Y )X]
d¬r. Bu son denklemin Z vektör alan¬na göre kovaryant türevi al¬n¬rsa
(rZR)(X; Y ) = (rZR)(X; Y ) R(rZX; Y ) R(X;rZY ) R(X; Y )rZ = 2[ ( rZX)Y + g(X;rZ )Y + (X)rZY (rZY )X g(Y;rZ )X (Y )rZX] 2[ (rZY )X (Y )rZX] 2[ (X) rZY (rZY )X] + R(X; Y ) 2Z = 3[g(X; Z)Y g(Y:Z)X] R(X; Y )Z
bulunur. rR = 0 oldu¼gundan
2
(g(X; Z)Y g(Y; Z)X) R(X; Y )Z = 0
elde edilir. 6= 0 oldu¼gundan
R(X; Y )Z = 2[g(Y; Z)X g(X; Z)Y ]
yaz¬l¬r. Böylece M2n+1 manifoldu negatif sabit kesit e¼grili¼gine sahip ve K = 2 d¬r.
D da¼g¬l¬m¬n¬n integral altmanifoldu M0 olmak üzere, M0 bir hemen hemen Kaehler ve
total umbilik bir altmanifolddur. M0 altmanifoldunun kesit e¼grili¼gi her X; Y ortonormal
vektörleri için,
k0(X; Y ) = k(X; Y ) +k k2 = k(X; Y ) + 2 = 0
e¸sitli¼gi ile tan¬mlan¬r (Chen 1973). Böylece Önerme 3:2:4: gere¼gince M0 bir Kaehler
manifold ve lokal düzlemseldir. Bundan dolay¬, Önerme 3:2:5 yard¬m¬yla M2n+1 bir
¸
Simdi, bir hemen hemen -kosimplektik manifold örne¼gi verelim.
Örnek 3:2:1: M3 =
f(x; y; z) 2 R3
g 3-boyutlu manifoldunu gözönüne alal¬m. Burada
(x; y; z)-üçlüsü R3 uzay¬ndaki standart koordinatlar olmak üzere, vektör alanlar¬n¬
bazlar cinsinden e1 = f1(z) @ @x + f2(z) @ @y e2 = f2(z) @ @x + f1(z) @ @y e3 = @ @z
¸seklinde seçelim. Burada c1; c2 ayn¬anda s¬f¬r olmayan sabitler ve ; 2 R olmak üzere,
f1; f2 fonksiyonlar¬
f1(z) = c2e zcos z c1e zsin z
f2(z) = c1e zcos z + c2e zsin z
biçiminde tan¬mlanm¬¸st¬r. fe1; e2; e3g çat¬s¬n¬n M3 manifoldunun her noktas¬nda lineer
ba¼g¬ms¬z oldu¼gu aç¬kt¬r. g Riemann metri¼gi
g(e1; e1) = g(e2; e2) = g(e3; e3) = 1; g(e1; e2) = g(e1; e3) = g(e2; e3) = 0
ile tan¬mlans¬n. Ayr¬ca, g Riemann metri¼gi tensör çarp¬m¬yard¬m¬yla
g = 1
f2
1 + f22
(dx dx + dy dy) + dz dz
¸seklinde tan¬mlan¬r.
1-formu M3 üzerindeki herhangi bir vektör alan¬için, (X) = g(X; e3) olarak
tan¬m-lans¬n. (1; 1)-tipli tensor alan¬ise (e1) = e2; (e2) = e1; (e3) = 0 d¬r. Ayr¬ca, h
(1; 1)-tipli tensör alan¬da h(e1) = e1; h(e2) = e2 ve h(e3) = 0¸seklinde tan¬mlans¬n.
g ve tensörlerinin lineer özelli¼gi kullan¬larak herhangi vektör alanlar¬X; Y için,
2
X = X + (X)e3; (e3) = 1; g( X; Y ) = g(X; Y ) (X) (Y )
elde edilir. O halde, M3manifoldunun bir hemen hemen -kosimplektik oldu¼gunu
olacakt¬r. Bunun için, @ @x; @ @y = @ @y; @ @x = 1 f2 1 + f22 = e 2 z c2 1+ c22
e¸sitli¼gini kullanarak
= 2e
2 z
c2
1+ c22
dx^ dy
elde edilir. Bu nedenle, d = 2 ^ oldu¼gu kolayca görülür. Benzer olarak,
is-pat Levi-Civita konneksiyonu ve Riemann e¼grilik tensörü kullan¬larak hesaplanabilir.
Buna ilaveten, tensör alan¬na göre Nijenhuis tensörü hesapland¬¼g¬nda N 6= 0 oldu¼gu
görülür. Ba¸ska bir de¼gi¸sle, bu örnek 3-boyutta normal olmayan bir hemen hemen
4
BAZI YARI S·
IMETR·
IK ¸
SARTLARI SA ¼
GLAYAN
-KENMOTSU MAN·
IFOLDLAR
Bu bölümde belli baz¬ yar¬ simetrik ko¸sullar¬ sa¼glayan -Kenmotsu manifoldlar ele
al¬nacakt¬r. Burada , M2n+1 üzerinde d ^ = 0 ¸seklinde tan¬mlanan bir
diferen-siyellenebilir fonksiyondur. Yar¬ simetrik manifold d¬¸s¬nda özellikle Weyl konformal,
konsirkular ve projektif yar¬ simetrik manifoldlar çal¬¸s¬lm¬¸st¬r. Yar¬ simetrik tensör
alanlar¬n¬n manifold yap¬s¬üzerindeki etkileri incelenmi¸stir. Son olarak, fonksiyonuna
ba¼gl¬olarak -Kenmotsu manifoldlar üzerinde örnekler verilmi¸stir.
4.1
-Kenmotsu Manifoldlar
Bilindi¼gi üzere normal hemen hemen -Kenmotsu manifolduna -Kenmotsu manifold
denir. Önerme 2:1:2:3 ve Teorem 2:1:2:2 gözönüne al¬n¬p Riemann e¼grilik tensörünün
özellikleri kullan¬ld¬¼g¬nda üçüncü bölümde verilen e¼grilik özellikleri a¸sa¼g¬daki önermede
verilmi¸stir:
Önerme 4:1:1: (M2n+1; ; ; ; g), bir hemen hemen -Kenmotsu manifold olsun.
Her-hangi X; Y vektör alanlar¬için
rX = 2X; (4.1) (rX )(Y ) = [g(X; Y ) (X) (Y )] ; (4.2) (5X ) Y = [g(X; Y ) + (Y ) X] ; (4.3) R(X; Y ) = 2+ ( ) ( (X)Y (Y )X); (4.4) R(X; ) = 2+ ( ) ( (X) X); (4.5) R( ; X)Y = 2+ ( ) ( (Y )X g(X; Y ) ); (4.6) g(R( ; X)Y; ) = 2+ ( ) ( g(X; Y ) + (X) (Y )); (4.7) S(X; ) = 2n 2 + ( ) (X); (4.8) S( ; ) = 2n( 2+ ( )); (4.9)
S( X; Y ) = S(X; Y ) + 2n 2+ ( ) (X) (Y ); (4.10)
e¸sitlikleri sa¼glan¬r. Burada r Riemann metri¼ginin Levi-Civita konneksiyonu ve ,
M2n+1
üzerinde d ^ = 0 ¸seklinde tan¬ml¬bir diferensiyellenebilir fonksiyondur. ·
Ispat Bir (M2n+1; ; ; ; g)hemen hemen -kosimplektik manifoldu
R(X; Y ) = (rY h)X (rX h)Y [ (X) hY (Y ) hX] (4.11)
+ 2+ ( ) [ (X)Y (Y )X] ;
¸seklinde yaz¬l¬r (Aktan 2013). Manifold yap¬s¬n¬n normal olmas¬ h = 0 durumunu
gerektirece¼ginden (4.11) ifadesi kullan¬l¬rsa (4.4) kolayca elde edilir. (4.4) e¸sitli¼ginde X
yerine vektör alan¬al¬n¬rsa (4.5) bulunur. Ayr¬ca, (4.5) e¸sitli¼ginin her iki taraf¬n¬n Y
vektör alan¬na göre iç çarp¬m¬al¬n¬rsa
g(R(X; ) ; Y ) = 2+ ( ) ( (X)g( ; Y ) g(X; Y )); (4.12)
yaz¬l¬r. Burada Riemann e¼grilik tensörü özellikleri kullan¬l¬p, R( ; X)Y çekilirse (4.6)
elde edilir. Benzer olarak, (4.6) e¸sitli¼ginin her iki taraf¬n¬n vektör alan¬na göre
tekrar-dan iç çarp¬m¬al¬n¬rsa (4.7) bulunur. (4.4) e¸sitli¼ginden
g(R(X; Y ) ; Z) = 2+ ( ) [ (X)g(Y; Z) (Y )g(X; Z)] (4.13)
yaz¬l¬r. fEig ; i = 1; 2; : : : ; (2n+1) tanjant uzay¬n herhangi bir noktas¬n¬n bir ortonormal
baz¬olmak üzere, X = Z = Ei için kontraksiyon yap¬l¬rsa,
2n+1X i=1 g(Ei; Y ) ; Ei) = 2+ ( ) 2n+1X i=1 (Ei)g(Y; Ei) (Y ) 2n+1X i=1 g(Ei; Ei) !
bulunur. Burada Ricci e¼grilik tensörü tan¬m¬yard¬m¬yla (4.8) elde edilir. (4.8) e¸sitli¼ginde
X yerine vektör alan¬al¬nd¬¼g¬nda (4.9) a¸sikar olarak görülür. Di¼ger yandan, tensör
alan¬n¬n ters simetrik özelli¼ginden
S( X; Y ) = S( 2X; Y )
= S( X + (X) ; Y )
= S(X; Y ) (X)S(Y; )
4.2
Yar¬Simetrik
-Kenmotsu Manifoldlar
Bu k¬s¬mda yar¬simetrik -Kenmotsu manifoldlar için baz¬sonuçlar ortaya
koyulacak-t¬r.
Teorem 4:2:1:(M2n+1; ; ; ; g) bir -Kenmotsu manifold olsun. M2n+1 manifoldu
yar¬simetrik ise o zaman M2n+1 üzerinde sabit e¼grilik mevcut de¼gildir.
·
Ispat M2n+1 manifoldunun yar¬simetrik yani, R:R = 0 oldu¼gunu kabul edelim. M2n+1
üzerindeki her X; U; V ve W vektör alanlar¬için yar¬simetrik ¸sart¬
0 = R(X; )R(U; V )W R(R(X; )U; V )W (4.14)
R(U; R(X; )V )W R(U; V )R(X; )W;
e¸sitli¼gine denktir. Öncelikle M2n+1 üzerinde fonksiyonunu sabit alal¬m. (4.5) ve (4.6)
e¸sitlikleri yard¬m¬yla (4.14) e¸sitli¼ginde U = al¬rsak, (4.14) e¸sitli¼gindeki tensör ifadeleri,
s¬ras¬yla, R(X; )R( ; V )W = 4 (X)g(V; W ) + 4g(V; W )X (4.15) + 4 (W )g(X; V ) 4 (V ) (W )X; R(R(X; ) ; V )W = 4 (X)g(V; W ) + 4 (X) (W )V (4.16) 2R(X; V )W; R( ; R(X; )V )W = 2 (W )g(X; V ) 2 (V ) (W )X (4.17) 2 (W )g(X; V ) + 2 (V )g(X; W ) ; ve R( ; V )R(X; )W = 4 (V )g(X; W ) + 4 (W )g(X; V ) (4.18) + 4g(X; W )V 4 (X) (W )V;
¸seklinde yaz¬l¬r. (4.15), (4.16), (4.17) ve (4.18) e¸sitlikleri (4.14) ifadesinde birlikte hesaba
kat¬l¬rsa
0 = 4g(V; W )X + 2R(X; V )W 4g(X; W )V
4 (V ) (W )X + 2 (V ) (W )X
bulunur. Sabit uzay e¼grili¼gi tan¬m¬ndan
R(X; V )W = k [ g(X; W )V + g(V; W )X]
olacak ¸sekilde bir k reel sabiti mevcut olmal¬d¬r. Fakat (4.19) e¸sitli¼gi ele al¬nd¬¼g¬nda
yukar¬daki ¸sart¬n sa¼glamad¬¼g¬ a¸sikard¬r. O halde, sabit fonksiyonu için M2n+1 nin
sabit e¼grili¼gi yoktur. ¸Simdi, y¬M2n+1 üzerinde d ^ = 0 olacak ¸sekilde bir
diferen-siyellenebilir fonksiyon olarak seçelim. Bu durumda (4.14) e¸sitli¼gi M2n+1 üzerinde her
X; V ve W vektör alanlar¬için
F2( )g(V; W )X + F ( )R(X; V )W F2( )g(X; W )V (4.20)
= F2( ) (V ) (W )X F ( ) (V ) (W )X
+F ( ) (V )g(X; W ) F2( ) (V )g(X; W ) ;
formuna dönü¸sür. Burada kolayl¬k aç¬s¬ndan F ( ) = [ 2+ ( )] ¸seklinde al¬nm¬¸st¬r.
Ard¬ndan (4.20) e¸sitli¼ginin düzenlenmesiyle
R(X; V )W = F ( ) [g(X; W )V g(V; W )X] (4.21)
+(F2( ) F ( )) (V ) [ (W )X g(X; W ) ] :
elde edilir. Böylece dif.bilir fonksiyonu için de M2n+1 sabit uzay e¼grili¼gine sahip
de¼gildir. Bu nedenle, a¸sa¼g¬daki sonuçlar¬verebiliriz:
Sonuç 4:2:1: (M2n+1; ; ; ; g) bir yar¬simetrik -Kenmotsu manifold olsun. E¼ger
vektör alan¬boyunca paralel (F ( ) = 2) ise o zaman
6= 0 reel sabit olmak üzere
M2n+1 üzerinde sabit e¼grilik yoktur.
Sonuç 4:2:2: (M2n+1; ; ; ; g) bir yar¬simetrik Kenmotsu manifold olsun. O zaman
M2n+1 manifoldu 1 sabit e¼grili¼gine sahiptir.
Teorem 4:2:2:(M2n+1; ; ; ; g)bir -Kenmotsu manifold ve vektör alan¬boyunca
paralel olsun. O halde, M2n+1 manifoldu lokal simetrik ise o zaman M2n+1 manifoldu
2 negatif sabit uzay e¼grili¼gine sahiptir.
·
Ispat Verilen hipotez yard¬m¬yla Riemann e¼grilik tensörü R
¸seklinde yaz¬l¬r. Yukar¬daki e¸sitli¼gin her iki taraf¬n¬n key… Z vektör alan¬na göre ko-varyant türevi al¬n¬rsa
= rZR(X; Y ) R(rZX; Y ) R(X;rZY ) R(X; Y )rZ (rZR)(X; Y ) = 2[ (rZX)Y + g(X;rZ )Y + (X)rZY (rZY )X g(Y;rZ )X (Y )rZX] 2[ (rZY )X (Y )rZX] 2[ (X) rZY (rZY )X] + R(X; Y ) 2Z = 3[g(X; Z)Y g(Y:Z)X] R(X; Y )Z: (4.22)
elde edilir. (4.22) e¸sitli¼ginin kullan¬lmas¬yla lokal simetri ¸sart¬alt¬nda (rR = 0) 6= 0
için
R(X; Y )Z = 2[g(Y; Z)X g(X; Z)Y ] ;
bulunur. Bu son e¸sitlik sayesinde manifoldun k = 2 negatif sabit e¼grili¼gine sahip
oldu¼gunu söyleyebiliriz. Böylece ispat tamamlanm¬¸s olur. Ayr¬ca, = 1 durumu için
a¸sa¼g¬daki sonuçlar¬da verebiliriz:
Hat¬rlatma 4:2:1: Bir (M2n+1; ; ; ; g) Kenmotsu manifold için a¸sa¼g¬daki ko¸sullar
denktir.
i) M2n+1 manifoldu 1sabit e¼grili¼gine sahiptir,
ii) M2n+1 manifoldu lokal simetriktir,
iii) M2n+1 manifoldu yar¬simetriktir,
iv) M2n+1 üzerinde herhangi bir X vektör alan¬için R(X; ) R = 0 d¬r.
4.3
Ricci Yar¬Simetrik
-Kenmotsu Manifoldlar
Bu k¬s¬mda M2n+1 üzerinde her X; Y; Z ve U vektör alanlar¬için
(R(X; Y ) S)(Z; U ) = R(X; Y )S(Z; U ) S(R(X; Y )Z; U ) S(Z; R(X; Y )U ); (4.23) ¸ seklinde tan¬ml¬ (R(X; Y ) S)(Z; U ) = 0; (4.24) ¸
Teorem 4:3:1: (M2n+1; ; ; ; g) bir -Kenmotsu manifold olsun. E¼ger M2n+1 bir
Ricci yar¬simetrik manifold (R:S = 0) ise o zaman M2n+1 manifoldu S = 2nF ( )g
ile verilen bir Einstein manifoldudur. ·
Ispat Varsay¬m¬m¬z gere¼gince (4.23) ve (4.24) e¸sitliklerinin birlikte ele al¬nmas¬yla her
X; Z; U vektör alanlar¬için
S(R(X; )Z; U ) + S(Z; R(X; )U ) = 0; (4.25)
elde edilir. U = için (4.25) e¸sitli¼gi
F ( ) [g(X; Z)S( ; ) (Z)S(X; ) + (X)S(Z; ) S(X; Z)] = 0; (4.26)
¸seklinde yaz¬l¬r. Burada F ( ) = [ 2+ ( )]d¬r.(4.8)ve (4.9) e¸sitliklerinin (4.26) e¸sitli¼ginde
hesaba kat¬lmas¬yla
2nF2( )g(X; Z) + F ( )S(X; Z) = 0;
bulunur. Buradan
S(X; Z) = 2nF ( )g(X; Z);
oldu¼gu kolayl¬kla görülür. O halde istenen ispata ula¸s¬lm¬¸st¬r.
Hat¬rlatma 4:3:1: R R = 0 R S = 0oldu¼gunu biliyoruz. Böylece R R = 0 e¸sitli¼gi
sa¼gland¬¼g¬nda (4.19) e¸sitli¼gi yard¬m¬yla
S(X; Z) = 2n 2g(X; Z) + 2n( 2 1) (X) (Z);
¸
seklinde yaz¬labilir. Burada = 1 için a¸sa¼g¬daki sonucu verebiliriz:
Sonuç 4:3:1: Bir (M2n+1; ; ; ; g) yar¬ simetrik Kenmotsu manifoldu S = 2ng ile
verilen bir Einstein manifoldudur.
Hat¬rlatma 4:3:2: Bir (M2n+1; ; ; ; g) Kenmotsu manifold için a¸sa¼g¬daki ko¸sullar
denktir.
i) M2n+1 manifoldu S = 2ng ile verilen bir Einstein uzayd¬r,
ii) M2n+1 manifoldu lokal Ricci simetriktir,
iii) M2n+1 manifoldu Ricci yar¬simetriktir,
4.4
Konformal Yar¬Simetrik
-Kenmotsu Manifoldlar
Bu k¬s¬mda -Kenmotsu manifoldlar üzerinde konformal yar¬simetrik ¸sart¬n¬ara¸
st¬ra-ca¼g¬z. Kenmotsu manifoldlar¬n konformal ‡at olmas¬için gerek ve yeter ko¸sulun
mani-foldun 1sabit e¼grili¼gine sahip olmas¬gerekti¼gi bilinmektedir (Kenmotsu 1972). ¸Simdi,
R:C = 0¸sart¬n¬ -Kenmotsu yap¬üzerinde inceleyelim.
Teorem 4:4:1: (M2n+1; ; ; ; g) bir konformal yar¬ simetrik -Kenmotsu manifoldu
olsun. O zaman M2n+1 manifoldunun konformal ‡at olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart
manifoldun F ( ) = 0 olmas¬d¬r. ·
IspatHipotez gere¼gince M2n+1 konformal yar¬simetrik olsun. O halde R:C = 0 e¸sitli¼gi
0 = R(X; )C(U; V )W C(R(X; )U; V )W (4.27)
C(U; R(X; )V )W C(U; V )R(X; )W:
ifadesine denktir. Tan¬m 2:1:1:10 daki (2.3) e¸sitli¼gi gözönüne al¬nd¬¼g¬nda
g(C(X; Y )Z; ) = F ( ) + 2nF ( ) 2n 1 + r 2n(2n 1) (X)g(Y; Z) + F ( ) 2nF ( ) 2n 1 r 2n(2n 1) (Y )g(X; Z) + 1 2n 1[ (Y )S(X; Z) (X)S(Y; Z)] : (4.28)
elde edilir. Bundan sonraki hesaplamalarda kolayl¬k aç¬s¬ndan G = F ( ) + 2nF ( )2n 1 +
r
2n(2n 1) al¬nacakt¬r. Buna göre (4.28) e¸sitli¼gi X = için hesaplan¬rsa
g(C( ; Y )Z; ) = G [g(Y; Z) (Y ) (Z)] (4.29)
+ 1
2n 1[ 2nF ( ) (Y ) (Z) S(Y; Z)] :
bulunur. (4.28), (4.29) e¸sitlikleri ve Riemann e¼grilik özellikleri (4.27) e¸sitli¼gine
uygu-lan¬rsa, bu e¸sitlikteki ifadeler, s¬ras¬yla,
g(R(X; )C(U; V )W; ) = F ( )g(C(U; V )W; X)
F ( ) (X) [G ( (U )g(V; W ) (V )g(U; W ))
g(C(R(X; )U; V )W; ) = F ( ) (U ) [G ( (X)g(V; W ) (V )g(X; W )) +2n 11 ( (V )S(X; W ) (X)S(V; W )) +F ( )g(X; U ) [G (g(V; W ) (V ) (W )) (4.31) 1 2n 1(2nF ( ) (V ) (W ) + S(V; W )) ; g(C(U; R(X; )V )W; ) = F ( ) (V ) [G ( (X)g(U; W ) (U )g(X; W )) +2n 11 ( (U )S(X; W ) (X)S(U; W )) F ( )g(X; V ) [G (g(U; W ) (U ) (W )) (4.32) 1 2n 1(2nF ( ) (U ) (W ) + S(U; W )) ; ve g(C(U; V )R(X; )W; ) = F ( ) (W ) [G ( (U )g(X; V ) (V )g(X; U )) +2n 11 ( (V )S(X; U ) (U )S(V; X)) ; (4.33)
d¬r. Burada g(C(X; Y ) ; ) = 0 d¬r. (4.30), (4.31), (4.32) ve (4.33) e¸sitlikleri (4.27)
e¸sitli¼ginde yerine yaz¬l¬rsa
F ( )g(C(U; V )W; X) F ( ) (X) [G ( (U )g(V; W ) (V )g(U; W )) +2n 11 ( (V )S(U; W ) (U )S(V; W )) + F ( ) (U ) [G ( (X)g(V; W ) (V )g(X; W )) +2n 11 ( (V )S(X; W ) (X)S(V; W )) F ( )g(X; U ) [G (g(V; W ) (V ) (W )) 1 2n 1(2nF ( ) (V ) (W ) + S(V; W )) F ( ) (V ) [G ( (X)g(U; W ) (U )g(X; W )) +2n 11 ( (U )S(X; W ) (X)S(U; W )) + F ( )g(X; V ) [G (g(U; W ) (U ) (W )) 1 2n 1(2nF ( ) (U ) (W ) + S(U; W )) + F ( ) (W ) [G ( (U )g(X; V ) (V )g(X; U )) +2n 11 ( (V )S(X; U ) (U )S(V; X)) = 0 (4.34)
elde edilir. fEi; i = 1; 2; : : : ; 2n + 1g tanjant uzay¬n herhangi bir noktas¬ndaki bir
orto-normal baz olsun. O halde, (2.3) e¸sitli¼gi yard¬m¬yla
2n+1X
i=1
g(C(Ei; Y )Z; Ei) = 0; (4.35)
bulunur. (4.34) e¸sitli¼ginde i = 1; 2; : : : ; 2n + 1 ve X = U = Ei için kontraksiyon yap¬l¬r
ve (4.35) kullan¬l¬rsa
elde edilir. Burada E, E = r
2n + F ( )(2n + 1) ¸seklinde tan¬ml¬bir fonksiyondur.
Son olarak, (4.34) ve (4.36) e¸sitlikleri birlikte hesaba kat¬l¬rsa
g(C(U; V )W; X) = E 2nF ( )
2n 1 G g(X; U ) (V ) (W )
+ G E + 2nF ( )
2n 1 g(X; V ) (U ) (W ); (4.37)
ifadesine ula¸s¬l¬r. Sonra tekrardan (4.37) e¸sitli¼ginde i = 1; 2; : : : ; 2n + 1 ve X = U = Ei
için kontraksiyon yap¬l¬rsa
0 = (2n + 1) E 2nF ( )
2n 1 G (V ) (W )
+ G E + 2nF ( )
2n 1 (V ) (W );
elde edilir ki bu son e¸sitlik F ( ) = 0 olmas¬n¬gerektirir. Bu durum ise n¬n sabit ve
= 0olmas¬n¬gerektirir. Fakat M2n+1 manifoldu -Kenmotsu oldu¼gundan
6= 0 d¬r.
O halde, konformal yar¬simetrik ¸sart¬alt¬nda M2n+1 manifoldu konformal ‡at olamaz.
Bu yüzden M2n+1manifoldunu -kosimplektik manifolda geni¸sletirsek a¸sa¼g¬daki sonucu
verebiliriz:
Sonuç 4:4:1: (M2n+1; ; ; ; g) bir konformal yar¬ simetrik -kosimplektik manifold
olsun. O zaman M2n+1 manifoldunun konformal ‡at olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart
manifoldun kosimplektik olmas¬d¬r.
4.5
Projektif Yar¬Simetrik
-Kenmotsu Manifoldlar
Bu k¬s¬mda projektif ‡at ve projektif yar¬simetrik -Kenmotsu manifodlar¬çal¬¸saca¼g¬z.
Özellikle R:P = 0 ¸sart¬n¬n manifold üzerindeki etkilerini inceleyece¼giz.
Teorem 4:5:1:Bir (M2n+1; ; ; ; g)projektif ‡at -Kenmotsu manifoldu bir Einstein
uzay¬d¬r. ·
Ispat P = 0 oldu¼gunu kabul edelim. O halde, (2.5) e¸sitli¼ginden
R(X; Y )Z = 1
2n[S(Y; Z)X S(X; Z)Y ] ; (4.38)
yaz¬l¬r. (4.38) e¸sitli¼gi gözönüne al¬nd¬¼g¬nda
R(X; Y; Z; W ) = 1
bulunur. Burada R(X; Y; Z; W ) = g(R(X; Y )Z; W ) d¬r.(4.39) e¸sitli¼ginde W = al¬n¬rsa
(R(X; Y )Z) = 1
2n[S(Y; Z) (X) S(X; Z) (Y )] ;
bulunur. Bu son e¸sitlikte tekrardan X = al¬n¬r ve (4.5), (4.8) e¸sitlikleri birlikte
kullan¬l¬rsa
S(Y; Z) = 2nF ( )g(Y; Z); (4.40)
elde edilir. Böylece ispat tamamlanm¬¸s olur.
Teorem 4:5:2: (M2n+1; ; ; ; g) bir projektif yar¬ simetrik -Kenmotsu manifoldu
olsun. O zaman n > 0 için M2n+1 projektif ‡at -Kenmotsu manifoldudur.
·
Ispat (2.5) ve (4.4) e¸sitliklerinden
(P (X; Y )Z) = F ( ) (X)g(Y; Z) + F ( ) (Y )g(X; Z)
1
2n[ (X)S(Y; Z) (Y )S(X; Z)] ; (4.41)
bulunur. (4.41) e¸sitli¼ginde X = al¬n¬rsa
(P ( ; Y )Z) = F ( )g(Y; Z) 1 2nS(Y; Z) (4.42) ve Z = için (P (X; Y ) ) = 0; (4.43) elde edilir. ¸
Simdi, R(X; Y ) P tensör çarp¬m¬n¬gözönüne alal¬m. Bu çarp¬m her X; Y; U; V ve
Z vektör alanlar¬için
(R(X; Y )P )(U; V )Z = R(X; Y ) P (U; V )Z P (R(X; Y )U; V )Z
P (U; R(X; Y )V )Z P (U; V )R(X; Y )Z: (4.44)
¸
seklinde tan¬ml¬d¬r. (4.44) e¸sitli¼ginde hipotezimizden dolay¬R(X; Y ) P = 0 oldu¼gunu
kabul edersek
0 = R(X; Y ) P (U; V )Z P (R(X; Y )U; V )Z
yaz¬l¬r. (4.45) e¸sitli¼ginde Y = al¬n¬p her iki taraf¬na vektör alan¬na göre iç çarp¬m uygulan¬rsa
0 = g(R(X; ) P (U; V )Z; ) g(P (R(X; )U; V )Z; )
g(P (U; R(X; )V )Z; ) g(P (U; V )R(X; )Z; ); (4.46)
elde edilir. (4.46) e¸sitli¼gindeki ifadeler (4.4) (4.5) (4.6)(4.7) (4.8) ve (2.5) e¸sitlikleri
yard¬m¬yla birlikte hesaba kat¬ld¬¼g¬nda
0 = F ( )P (U; V; Z; X) + F2( )g(V; Z)g(U; X) +F ( ) 2n g(U; X)S(V; Z) + F 2 ( ) (Z) (V )g(U; X) F2( )g(U; Z)g(V; X) F ( ) 2n g(V; X)S(U; Z) F2( ) (Z) (U )g(V; X) F ( ) 2n (U ) (Z)S(X; V ) +F ( ) 2n (Z) (V )S(X; U ); (4.47)
bulunur. Burada P (U; V; Z; X) = g(P (U; V )Z; X) ¸seklinde tan¬ml¬d¬r.
fEi; i = 1; 2; : : : ; 2n + 1g tanjant uzay¬n herhangi bir noktas¬ndaki bir ortonormal
baz olsun. O halde, (2.5) e¸sitli¼gi yard¬m¬yla
2n+1X
i=1
g(P (Ei; Y )Z; Ei) = 0; (4.48)
bulunur. O halde (4.47) e¸sitli¼ginde i = 1; 2; : : : ; 2n + 1 ve X = U = Ei için kontraksiyon
yap¬l¬r ve (4.48) kullan¬l¬rsa
S(V; Z) = 2nF ( )g(V; Z) E (V ) (Z); (4.49)
elde edilir. Burada E, E = 2nr + F ( )(2n + 1) ¸seklinde tan¬ml¬ bir fonksiyondur.
(4.49) e¸sitli¼ginde tekrardan V = Z = Ei için kontraksiyon yap¬ld¬¼g¬nda
r = 2n(2n + 1)F ( ); (4.50)
oldu¼gu görülür. (4.49) ve (4.50) e¸sitlikleri (4.47) e¸sitli¼ginde birlikte hesaplan¬rsa
elde edilir. (4.51) e¸sitli¼ginden s¬f¬rdan farkl¬her Y vektör alan¬için
P (U; V )Z = 0; (4.52)
sonucuna ula¸s¬l¬r. Bu nedenle, M2n+1 konformal ‡at manifolddur.
4.6
Konsirküler Yar¬Simetrik
-Kenmotsu Manifoldlar
Bu k¬s¬mda konsirküler ‡at ve konsirküler yar¬ simetrik -Kenmotsu manifodlar¬ ele
alaca¼g¬z. Öncelikle ‡at durumunu inceleyip daha sonra R C = 0 ¸sart¬n¬çal¬¸saca¼g¬z.
Teorem 4:6:1: (M2n+1; ; ; ; g) bir konsirküler ‡at -Kenmotsu manifoldu olsun. O
zaman M2n+1 manifoldu r = 2n(2n + 1)F ( ) sabit skalar e¼grili¼gine sahiptir.
·
Ispat C = 0 oldu¼gunu kabul edelim. O halde, (2.4) e¸sitli¼ginden
R(X; Y )Z = r
2n(2n + 1)[g(Y; Z)X g(X; Z)Y ] ; (4.53)
yaz¬l¬r. (4.53) e¸sitli¼gi kullan¬larak
R(X; Y; Z; W ) = r
2n(2n + 1)[g(Y; Z)g(X; W ) g(X; Z)g(Y; W )] ; (4.54)
bulunur. Burada R(X; Y; Z; W ) = g(R(X; Y )Z; W ) d¬r. (4.54) e¸sitli¼ginde W =
al¬n¬rsa
r
2n(2n + 1)+ F ( ) [ (X)g(Y; Z) (Y )g(X; Z)] = 0;
elde edilir. Bu son e¸sitlikten
r
2n(2n + 1)+ F ( ) = 0; (4.55)
yaz¬labilir. Böylece ispat tamamlanm¬¸s olur. Ayr¬ca, a¸sa¼g¬daki sonucu verebiliriz:
Sonuç 4:6:1: Kosimplektik durumun ( = 0) olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart r = 0
olmas¬d¬r.
Teorem 4:6:2: (M2n+1; ; ; ; g) bir konsirküler yar¬simetrik -Kenmotsu manifoldu
