DİFERENSİYEL DENKLEM LERİN TARİHSEL GELİŞ
İMİ
Diferensiyel denklemler özellikle matematikte ve mühendislikte vazgeçilmez yeri olan olan bir
branştır.
Diferensiyel denklemleri anlamak bir problem olduğu gibi denklemler üzerinde kestirim ve çözüm yapmak bir hayli güçtür. 18. ve 19. yy’da matematiksel
analizin gelişimi bilhassa türevin ve kısmı
integrasyonun bulunması diferensiyel kavramının gelişimine yol açtı. Euler ve Bernoulli bu ekolün yadsınamaz temsilcilerinden bazılarıdır. Daha çok uygulamalı matematikçilerin çalıştığı konuların
başında gelse de profesyonel anlamda matematik ile uğraşan herkes diferensiyel denklemler ile haşir
neşir olmuştur.
Bugün bilinen ve günlük hayatımızda işimizi kolaylaştıran makinelerin
prensipleri klasik diferensiyel denklemler ile düzenlenmektedir. Diferensiyel
denklemler klasik ve modern şekilde
ikiye ayrılsa da bazı matematikçiler bu
dönemlerin olmaması tarafında…
Mühendislik ve matematikçilerin ortak konusu olması diferensiyel denklemlerin gelişimini
hızlandırdı ve yeni sorular, denklemlerin
üretilmesine neden oldu. Uzay bilimlerinde dünya yörünge dışına atılan uydular ve hava araçlarının bir çoğu bu denklemlerin
oluşturduğu çözümler sonucunda
oluşmaktadır. 18. yy ve gelmiş geçmiş en iyi ve en üretken matematikçi olan
LeonhardEuler akışkanlar mekaniğini analiz konularının parçası yaparak diferensiyel
denklemler ile ilgili 100 e yakın açıklama
getirmiştir.
Diferensiyel denklemler matematikte, fonksiyon veya fonksiyonların, bir veya birden çok değişkene göre türevlerini ilişkilendiren denklemlerdir. Fizik, kimya, mühendislik, biyoloji ve ekonomi
alanlarında matematiksel modeller genellikle
diferensiyel denklemler kullanılarak ifade edilirler.
Diferensiyel denklemler temel olarak iki kola ayrılırlar:
Normal diferansiyel denklemler (veya adi diferansiyel denklemler)
Kısmi diferensiyel denklemler
Şimdi diferensiyel denklemlerin tarihsel gelişim süreçlerine bakalım;
Diferensiyel denklemler konusunda
yapılan ilk çalışmalar, 17. yüzyılın ikinci yarısında, diferansiyel ve integral hesabın keşfinden (ortaya çıkmasından) hemen
sonra, İngiliz matematikçi Newton (1642- 1727) ve Alman matematikçi Leibniz
(1641-1716) ile başlar.
Daha sonraları, matematik tarihinde büyük isim yapmış olan, İsviçreli
matematikçilerden Bernouilli kardeşler,
18. yüzyılda da, Euler, Clairaut, Lagrance, D’Alembert, Charbit, Monge, Laplace ile 19. yüzyılda da, Chrystal, Cauchy, Jacobi, Ampere, Darboux, Picard , Fusch ve F.G.
Frobenius, diferensiyel denklemler
teorisini bugünki ileri seviyeye getiren
matematikçilerdir.
Belli tip diferensiyel denklemlerin, belli şartlar altında bir çözümlerinin mevcut olmasının ispatı, diferensiyel denklemler teorisinde varlık teoremi konusunu teşkil etmekte olup, bu da, ilk olarak 1820 ile
1830 yılları arasında, Fransız matematikçi A.L. Cauchy tarafından tesis edilmiş ve
daha sonra gelenler tarafından
geliştirilmiştir.
Newton ve Diferensiyel Denklem
İngiliz matematikçi Newton (1642-1727), diferensiyel denklemler üzerindeki çalışmalarına 1665 yılında
başlamıştır. 1671 yılında yayınladığı bir makale ile,
diferensiyel denklemleri 3 ayrı sınıfta göstermiştir. Bunlar:
Birinci Sınıf Diferensiyel Denklemler: Bu sınıfa ayırdıkları, dy/dx tipinde olanlardır. Burada y, x’in bir fonksiyonudur veya bunun tersi de söz konusudur.
İkinci Sınıf Diferensiyel Denklemler: Bu sınıfa ayırdıkları, (dy/dx) = f(x,y) tipinde olanlardır.
Üçüncü Sınıf Diferensiyel Denklemler: Bu sınıftaki
diferensiyel denklemler ise, kısmi diferensiyel tipinde olanlardır.
Leibniz ve Diferensiyel Denklem
Alman filozof ve matematikçi Leibniz (1646-1716),
diferensiyel denklemler üzerine çalışmalarına 1673 yılında başlamıştır. Bu konudaki çalışmalarını, 1684 ile 1686 yılları arasında yazdığı Aklaerudilorum adında bir eseri ile ortaya koymuştur.
Leibniz’in bu eseri, yayınlandığı yıllarda Almanya’da
gereken ilgiyi görmemiştir. Fakat, İsviçre’de, Jaques ve Jean Bernouilli kardeşler tarafından ilgiyle incelenmiştir. 1690 yılında, Jaques Bernouilli bu konuda önemli bir eser
yayınlanmıştır. Yine aynı yıllarda; Leibniz ve Bernouilli kardeşler tarafından, diferensiyel üzerinde önemli
araştırmalar yapılmış, yeni çözüm yolları geliştirilmiştir.
Leibniz 1691 yılında; f (x,y) = f (x.g (y)) şeklinde olan diferensiyel denklemin çözümünü yapmıştır.
Euler ve Diferensiyel Denklem
Alman matematikçi Leonard Euler (1707- 1783), 1728 yılında, diferensiyel
denklemler üzerinde geniş çalışmalar yapmıştır. Diferensiyel denklemlerin derecesini düşürme yöntemlerini
geliştirmiştir. Seri çözümleri:
(1-x
4)-1/2dx + (1-y
4)1/2dy = 0
