z u x,y iv x,y z- düzlemindeki bir D bölgesini w -düzlemindeki bir G bölgesine dönüştüren birebir ve üzerine bir konform dönüşüm olsun

1. LAPLACE DENKLEMİNİN DEĞİŞMEZLİĞİ VE HARMONİK FONKSİYONLAR İÇİN SINIR DEĞER PROBLEMLERİ

1.1. Laplace Denkleminin Değişmezliği

Aşağıdaki teorem uygun bir analitik dönüşüm altında Laplace denkleminin nasıl değişmez kaldığını göstermektedir.

Teorem 1.1.1. (Laplace denkleminin değişmezliği) ^{w f}    ^{z u x,y iv} ^{x,y z-}

düzlemindeki bir D bölgesini w -düzlemindeki bir G bölgesine dönüştüren birebir ve üzerine bir konform dönüşüm olsun. Eğer  ^x,y D üzerinde sürekli birinci ve ikinci mertebeden kısmi türevlere sahip bir fonksiyon ise bu durumda z f ^1 w ters dönüşümü yardımıyla  ^x,y fonksiyonu

 ^u,v ^x   ^{u,v ,y u,v} 

 ve ^{  f1 veya}  ^{ f }

bileşke fonksiyonuna dönüşür. Bu fonksiyon G üzerinde sürekli ikinci kısmi türevlere sahiptir ve  ^{x,y }^u   ^{x,y ,v x,y}  sağlanır. Bu durumda Laplace denklemi değişmez kalır. Yani,

0 0  



 _{yy uu vv}

xx 

 dır.

İspat. ^{w f}    ^{z u x,y iv} ^x,y birebir ve üzerine olduğundan z f ^1 w ters dönüşümü vardır.

    

 _^



 









v u y y

v u x x y

x v v

y x u u

, , ,

,

 ^{u,v } ^x   ^{u,v,y u,v} ^  ^{x,y }^u   ^{x,y,v x,y} 

  

dir.  ^{x,y }^u   ^{x,y ,v x,y}  denkleminden _x _u u_x_v v_x ve _y _u u_y _v v_y dir. Buradan

    ^{ }

 xx yy u  xx yy v

uv y y x x vv

y x uu y x yy xx

v v u

u

v u v u v

v u

u































 ^{2 2 2 2} 2



iv u

f   analitik olduğundan u_x v_y , u_y v_x Cauchy-Riemann denklemleri sağlanır ve 0

,

0  



 _{yy xx yy}

xx u v v

u yani u ile v D de harmoniktir. Ayrıca,

 ^{z u iv u 2 u 2 v 2 v 2 f}  ^{z 2}

f  _x  _x  _x  _y  _x  _y   dir. Buradan

   uu vv

yy

xx   f z ²  



elde edilir. f, D de konform olduğundan f z( )0 dır dolayısıyla Laplace denklemi konform dönüşüm altında değişmez kalır.

Örnek 1.1.2.  ^{x,y  xy1} fonksiyonu ve wuivLog z dönüşümünü göz önüne alalım. Imz0 üst yarı-düzleminde Logz esas logaritma fonksiyonu Teorem 1.1.1 in şartlarını sağlar. Bu fonksiyonun tersi

 v i v

e e iy

x  ^w  ^u cos  sin dir. Böylece,

v e

x ^u cos ve ye^u sinv dir.  bileşke fonksiyonu

 ^{, } ^cos  ^sin ^{1 2 cos sin 1}

 u v e^u v e^u v e ^u v v

dir.wLogz altında Imz0 ın görüntüsü u , 0v şerididir. Kolayca gösterilebilir ki  ^x,y üst yarı-düzlemde ve  ^u,v de şeritte harmoniktir.

Örnek 1.1.3.  

1 tan 2

, _{2 2}



 

y x Arc x y

 x fonksiyonunun z 1 de harmonik olduğunu

gösteriniz.

Çözüm.  

z i

z z i

f 

  dönüşümünü göz önüne alalım. Bu dönüşüm z 1 birim dairesini 0

Rew sağ yarı-düzlemi üzerine bir bire-bir konform dönüşümdür.

      ^u ^{x y iv}  ^{x y}

y x i x y

x

y x z

i z z i

f , ,

1 2 1

1

2 2 2 2

2

2  



 







 



 

  ^Arg ^{u iv}

u Arc v v

u   

 , tan fonksiyonu Rew0 da harmoniktir. Buradan,

       ^{ }_{ }

1 tan 2

, tan , ,

, ,

, _{2 2}



 





 x y

Arc x y

x u

y x Arc v

y x v y x u y

 x

fonksiyonu Laplace denkleminin değişmezliğinden dolayı harmonik olur.