4.3. Çözümlü Problemler

4.3. Çözümlü Problemler

4.3.1 a a

¹

, ,...,

²

a

_n

 

^

olmak üzere, bu a

ⁱ

reel sayılarının aritmetik, geometrik ve harmonik ortalamaları

1

1

ⁿ

A i

i

a a

n

_

 

,

1/

1 n n

G i

i

a a



 

  

   ,

1

1

1

ⁿ

1

H i i

a n a





 

  

  

şeklinde hesaplanır. a

^H

 a

^G

 a

^A

olduğunu gösteriniz (Casella ve Berger (2002), sayfa 191).

Çözüm: Değer kümesi { , ,..., } a a

^{1 2}

a

_n

olan herhangi bir X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu

(

_i

) 1 , 1, 2,3,...,

P X a i n

  n 

olarak verilmiş olsun. ( ) log( ) g x  x fonksiyonu konkavdır ( g x  ( )   1/ x

²

olup her zaman negatiftir). Bu durumda, X rasgele değişkeninin beklenen değeri

1 1

( )

ⁿ _i

(

_i

) 1

ⁿ _{i A}

i i

E X a P X a a a



n



     

olup

 

1/

1 1

log( ) log 1 log( ) log( )

n n n

G i i

i i

a a a E X

n

_



   

 

          

 

ve

 

1

log ( ) log 1

ⁿ _i

log(

_A

)

i

E X a a

n

_

 

   

  

dir. Jensen eşitsizliğine göre, (log( )) log( ( )) E X  E X olduğundan,

1 1

1 1

log(

_G

)

ⁿ

log( )

_i

(log( )) log( ( )) log

ⁿ _i

log(

_A

)

i i

a a E X E X a a

n

_

n

_

 

      

 

 

yazılabilir. Yani, ^log   a

G

 ^log( a

A

⁾

eşitsizliği elde edilir. Logaritma fonksiyonunun

özelliğinden ise a

^G

 a

^A

dir. Yine ( ) log( ) g x  x fonksiyonunun konkav olduğundan,

1

1 1 1 1

log(1/

_H

) log

ⁿ

log log (log( ))

i i

a E E E X

n

_

a X X

         

                            Eşitsizliği yazılır. ^log   a

G

 E  ^{log( )} X 

olup  E (log( )) X   log( a

_G

) log(1/  a

_G

) _dir.

Yani, log(1/ a

_H

) log(1/  a

_G

) olup logaritmanın özelliğinden, (1/ a

_H

) (1/  a

_G

) _yani,

H G

a  a elde edilir. Bu iki eşitsizlik birleştirildiğinde a

^H

 a

^G

 a

^A

elde edilir.

4.3.2 Sonlu beklenen değere sahip bir rasgele değişken X olsun. ( ) E X  ve g de  azalmayan konveks bir fonksiyon ise, ( ( ) ( E g X X   )) 0  olduğunu gösteriniz.

Çözüm: X in olasılık yoğunluk fonksiyonu ( ) f x olsun (kesikli ise integral yerine

toplam gelir). ( ) g x konveks olduğundan Jensen eşitsizliğine göre, ^{E g X}  ^{( )}  ^{ g E X}  ^{( )} 

dir. Ayrıca, ( ) g x azalmayan ( x  y _{ise, ( )} g x  g y ( ) ) olduğundan,

 

0

0 0

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

E g X X g x x f x dx

g x x f x dx g x x f x dx

g x f x dx g x f x dx

 

 

   













  

   

   



 

 

 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

g  x  f x dx g  E X 





     

şeklinde aranan eşitsizlik elde edilir.

1

X  olacak şekilde bir rasgele değişken için, E X (

^n1

)  E X E X ( ) (

ⁿ

) eşitsizliği

 ^{( ) ( )}  ⁰

E g X X   

nin bir sonucu olarak elde edilir. Bunun için g x ( )  x

ⁿ

_denirse, ( ) ( 1)

ⁿ 2

0

g x   n n  x

^

 _olup g x ( )  x

ⁿ

konveks ve x  1 için azalmayandır. Yukarıdaki

eşitsizlik g x ( )  x

ⁿ

fonksiyonuna uygulandığında,

1 1

0 ( ( ) ( )) ( ( )) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

n n n

n n

E g X X E X X E X E X

E X E X E X

 

^





     

 

elde edilir. Buradan her n   için,

1 1

0  E X (

^n

)  E X E X ( ) (

ⁿ

)  E X (

^n

)  E X E X ( ) (

ⁿ

)

eşitsizliği yazılır. Yani, E X (

^n1

)  E X E X ( ) (

ⁿ

) _dir.

4.3.3 X sürekli bir rasgele değişken ve ( ) 0 E X  , Var X ( )  

²

olsun. Buna göre, a)   0 _ise ^{P X}  ^{ }  ^{ }

²

^{/ ( }

²

^{ }

²

⁾

b)   0 _ise ^{P X}  ^{ }  ^{  1 }

²

^{/ ( }

²

^{ }

²

⁾

eşitsizliklerinin doğru olduğunu gösteriniz.

Çözüm: Sorunun çözümüne geçmeden önce ,  t  olmak üzere önce 0

  ^{( ) /}

²

 

²

P X    E X t    t

eşitsizliğinin doğru olduğunu gösterelim. Buradaki beklenen değer

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

E X t x t f x dx x t f x dx

t f x dx t f x dx t P X



 

   

 



 

    

      

 

 

şeklinde yazılabildiğinden, P X (   )  E X t (  ) / (

²

  t )

²

bulunur. Bu eşitsizlik yardımı ile istenen eşitsizlikler kolayca gösterilir.

a)   0 _ise    0 _olup,

      

²

^/ 

²

P X    P    X   E   X t    t

eşitsizliği yazılır. Buradan, t   

²

/  için ( ) 0 E X  ve Var X ( )  

²

olduğundan,

    ⁽

₂²

^{/ )}

₂²

⁽

²

⁾

₂²

^{( ) /}

_{2 2 2}

⁽

⁴

^/

²

⁾

( / ) ( ) /

E X E X E X

P X  P X       

     

   

      

  

2 2 4 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

( )

( ) ( ) ( )

      

     

 

  

  

şeklinde aranan eşitsizlik elde edilmiş olur.

b)   0 olsun. X sürekli olduğundan ( P X   )  P X (   ) dir (kesikli ise

( ) ( )

P X    P X   dir). Buradan,

  ¹   ^{1 ( ) 1 ( ) /(}

²

⁾

²

P X     P X     P X     E X t  t   eşitsizliğinde t  

²

/  yazıldığında aranan eşitsizlik,

     

   

2 2 4 2 2 2 4 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

( ) / /

1 1 1

( )

/

E X E X

P X

        

 

    

  

      

  

şeklinde elde edilir.

Burada, t  

²

/  alınmasının nedeni, E X t (  ) / (

²

t   )

²

oranının bu noktada minimum olmasıdır. Yani, E X t (  ) / (

²

t   )

²

fonksiyonu (

^t

fonksiyonudur) t  

²

/  noktasında minimumdur. ( ) 0 E X  ve Var X ( )  

²

olduğundan,

2 2 2 2 2

( ) / ( ) ( ) / ( )

E X t    t    t   t olup,

 

   

 

 

2 2 2 2 2

2 2 2

2 t 0

E X t

d d t

d t t dt t t t

   

   

      

        

      

   

bulunur. İkinci türev bu noktada

 

 

²

 

²

2 2 2 2 2

2 2 2 2 0

t t

E X t

d d t

d t t  d t t 

 





_



_

     

     

     

   

pozitif olup, E X t (  ) / (

²

t   )

²

_oranının

_t

_{ }

²_/

noktasında minimum olduğu görülür.

4.3.4 Markov eşitsizliğini kullanılarak, 0   için p 1 (1  p )

ⁿ

 1/ ( ) np _olduğunu gösteriniz.

Çözüm: Kesikli bir X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu q   olmak üzere, 1 p ( )

^x 1

, 1, 2,3,...

P X  x  p q

^

x 

şeklinde verilmiş olsun. Bu durumda, ( ) 1/ E X  p ve ( P X  n ) olasılığı,

1 1

1 1 0

( ) 1 ( ) 1

ⁿ

( ) 1

^{n x}

1

^{n x}

x x x

P X n P X n P X x p q

^

p

^

q

  

             

1 1

1 1 (1 )

1

n n

n n

q q

p p q p

q p

 

      

 dir. Markov eşitsizliğinden,

(1  p )

ⁿ

 P X (  n )  E X n ( ) /  1/( ) np _veya (1  p )

ⁿ

 1/ ( ) np şeklinde aranan eşitsizlik elde edilir.

Aynı olasılık fonksiyonu kullanılarak Jensen eşitsizliğine göre 0   için p 1 log( ) ( p  p  eşitsizliği de yazılabilir. Bunun için 1) x  0 için ( ) 1/ g x  x fonksiyonu konveks olup, Jensen eşitsizliğine göre (1/ E X ) 1/ ( )  E X dir. ( ) 1/ g X  X in beklenen değeri

1 1

1 1 1

1 1 log(1 )

( ) log( )

x x

x x x

p q q q p

E P X x p p p

X x x x q q

 

  

  

  

           

 

      

olup, ( ) 1/ E X  p dir. Yani, Jensen eşitsizliğinden (1/ E X ) 1/ ( )  E X olup,

1 1 1

log( )

( ) 1/

E p p p

X q E X p

      

 

 

elde edilir. Buradan da, ( / ) log( )  p q p  p dir. Ayrıca,

( / ) log( ) p q p p log( ) p q log( ) p q (1 p ) p 1

            

olduğundan log( ) ( p  p  elde edilir. 1)

4.3.5 a) Her n   için ( n   1) 2 e

ⁿ

/ n olduğunu gösteriniz.

b) Her n   için (1/ 2

^n1

) (1/ )  n olduğunu gösteriniz.

Çözüm: a) X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

, 0

( ) 0 , . .

x e

x

x

f x d y







  



olarak verilmiş olsun. Buna göre,

( )

^x

(

^{x x}

)

^{n n}

x n x n

P X n

^

x e dx

^

x e

^

e

^{ }

n e

^

e

^

 

       

dir. Ayrıca, ( ) E X   (3) 2  olup Markov eşitsizliğinden, ( ) ( ) / 2 /

n n

n e

^

 e

^

 P X  n  E X n  n

eşitsizliği yazılır. Eşitsizlik biraz daha düzenlendiğinde ( 1) 2 /

e

^n

n   n _veya ( n   1) 2 e

ⁿ

/ n şeklinde aranan eşitsizlik elde edilir.

b) X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu, P X (  x ) 1/ 2 , 

^x

x  1, 2,3,...

şeklinde verilmiş olsun. ( P X  n ) olasılığı,

1 1

1 1

( ) ( )

2

^x

2

ⁿ

x n x n

P X n

^

P X x

^

   

      

dir. Ayrıca,

1 1

( ) ( ) 2

2

^x

x x

E X

^

x P X x

^

x

 

     

olup yine Markov eşitsizliğinden,

1/ 2

ⁿ

 P X (  n )  E X ( ) / n  2 / n _veya (1/ 2

^n1

) (1/ )  n eşitsizliği elde edilir.

4.3.6 Sonlu beklenen değere sahip herhangi iki rasgele değişken X ve Y olsun. Buna göre,

a) (min{ , }) min{ ( ), ( )} E X Y  E X E Y b) (max{ , }) max{ ( ), ( )} E X Y  E X E Y c) (min{ , } max{ , }) E X Y  X Y  E X ( )  E Y ( )

eşitsizliklerinin doğru olduğunu gösteriniz.

Çözüm: Önce,

min{ , } 0.5[( X Y  X Y   ) | X Y  |] ve max{ , } 0.5[( X Y  X Y   ) | X Y  |]

olduğunu hatırlayalım. ( ) | | g x  x fonksiyonu konveks olup Jensen eşitsizliğinden,

| ( E X Y  ) |  E X Y (|  |) dir. Buradan da

^{E X Y(|  |)  | (E X Y )|}

olup

 

^{( ) ( ) ( )}

E X Y E X Y E X E Y

       

eşitsizliği yazılabilir. Şimdi eşitsizliklerin ispatına geçebiliriz.

a) min{ , } X Y nin ifadesi Jensen eşitsizliği ile beraber kullanıldığında ( ( ) | | g x  x fonksiyonu konvekstir),

 

(min{ , }) 0.5 ( ) (| |)

0.5[ ( ) ( ) | ( ) ( ) |] min{ ( ), ( )}

E X Y E X Y E X Y

E X E Y E X E Y E X E Y

   

    

elde edilir. Yani, (min{ , }) min{ ( ), ( )} E X Y  E X E Y dir.

b) Benzer şekilde max{ , } X Y nin yukarıdaki ifadesi Jensen eşitsizliği ile beraber kullanıldığında,

(max{ , }) 0.5[ ( ) (| |)]

0.5[ ( ) ( ) | ( ) ( ) | max{ ( ), ( )}

E X Y E X Y E X Y

E X E Y E X E Y E X E Y

   

    

bulunur. Dolayısı ile, (max{ , }) max{ ( ), ( )} E X Y  E X E Y dir.

c) min{ , } max{ , } X Y  X Y  X Y  olduğundan, kolayca görüleceği gibi

(min{ , } max{ , }) ( ) ( ) ( )

E X Y  X Y  E X Y   E X  E Y dir.

4.3.7 Değer kümesi D

_X

 { , ,..., } x x

^{1 2}

x

_n

olan X herhangi bir kesikli rasgele değişken, f ve g azalmayan fonksiyonlar olsun. Bu durumda

[ ( )] [ ( )] [ ( ) ( )]

E f X E g X  E f X g X olduğunu gösteriniz.

Çözüm: X in olasılık fonksiyonu, x

¹

 x

²

  ... x

_n

_için P X (  x

_i

)  p

_i

_olsun.

Buradan eşitsizliğin ispatı için,

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n n

k k k k k k k

k k k

f x P X x g x P X x f x g x P X x

  

    

   

    

       

olduğunun gösterilmesi gerekir. f ve g azalmayan fonksiyonlar olduğundan 1   ve j n 1 k n   _için 0 { ( )  f x

_k

 f x ( )}{ ( )

_j

g x

_k

 g x ( )}

_j

dir. Buradan da,

f x g x ( ) ( )

_{k j}

 f x g x ( ) ( )

_{j k}

 f x g x ( ) ( )

_{j j}

 f x g x ( ) ( )

_{k k}

yazılabilir. P X (  x

_i

)  p

_i

 0 olduğundan, eşitsizliğin sol tarafı P X (  x P X

_j

) (  x

_k

) ile çarpılıp toplandığında

1 1

[ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( )

n n

k j j k j k

j k

f x g x f x g x P X x P X x

 

  

 

1 1

2

^{n n}

( ) ( ) (

_{k j j}

) (

_k

)

j k

f x g x P X x P X x

 

    

  

1 1

2

ⁿ

( ) (

_{j k}

)

ⁿ

( ) (

_{k k}

) ( ( )) ( ( ))

j k

f x P X x g x P X x E f X E g X

 

  

             

eşitliği elde edilir. Benzer şekilde, yukarıdaki eşitsizliğin sağ tarafı kullanıldığında

1 1

1 1 1 1

1

[ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( )

[ ( ) ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )

2 [ ( ) ( )] ( ) 2 [ ( ) ( )]

n n

j j k k k j

k j

n n n n

k k k j j j j k

k j j k

n

j j j

j

f x g x f x g x P X x P X x

f x g x P X x P X x f x g x P X x P X x f x g x P X x E f X g X

 

   



  

     

  

 

   



eşitliği elde edilir. Buradan da, bu iki eşitlik

( ) ( )

_{k j}

( ) ( )

_{j k}

( ) ( )

_{j j}

( ) ( )

_{k k}

f x g x  f x g x  f x g x  f x g x

eşitsizliğinde kullanıldığında, [ ( )] [ ( )] E f X E g X  E f X g X [ ( ) ( )] eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizlik literatürde, Chebyshev Lemması olarak bilinir (Chebyshev eşitsizliği ile karıştırılmasın). Fonksiyonlardan biri azalmayan diğer artmayan ise eşitsizlik yön değiştirir.

4.3.8. Beklenen değeri sıfır, varyansı 

²

olan bağımsız rasgele değişkenler

1 2

, ,...,

_n

e e e olsun ( E e ( ) 0

_i

 _ve Var e ( )

_i

 

²

). x i

_i

,  1, 2,3,..., n

rasgele olmayan değişkenler olmak üzere, Y

_i

  x

_i

 e i

_i

,  1, 2,3,..., n

modelini göz önüne alalım.

Buradan,

1 1 2

1 1

ˆ

^{n n}

i i i

i i

x x Y





 

 

  

   

1

2 1 1

ˆ

^{n n}

i i

i i

x Y





 

 

  

   

₃

1

ˆ 1

ⁿ

( / )

_{i i}

i

n Y x





 

rasgele değişkenlerinin varyansları sırası ile,

 

^{1 2 2 1}

1

ˆ

ⁿ

i i

Var   x





 

  

  

,  

^{2 2 2}

1

ˆ

ⁿ

i i

Var  n  x





 

  

  

,  

³ ₂² ₂

1

ˆ

ⁿ

1

i i

Var n x

 



 

dir. Bu varyansları küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Çözüm: Cauchy-Schwartz eşitsizliğinden

1 2

2

1 1

n n

i i

i i

x n x

 

 

   

    

     

ve

2 1

2 2

1 1

1 1

n n

i i i i

x n x



 

 

  

   

olduğunu biliyoruz (Örnek (4.2.1)). Buradan Var ( )  ˆ

¹

 Var (  ˆ

²

)

ve Var (  ˆ

¹

)  Var (  ˆ

³

)

dir. Yani, Var (  ˆ

¹

)

diğer iki varyansdan da küçüktür. Var (  ˆ

²

)

ve Var (  ˆ

³

)

arasındaki sıralamaya bakalım. X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu,

(

_i

) 1 , 1, 2,3,...,

P X x i n

  n 

olarak verilmiş olsun. Buna göre, g x ( ) 1/  x

²

fonksiyonu konvekstir. Jensen eşitsizliğinden ( ( )) E g X  g E X ( ( )) olup beklenen değerler,

 

₂

1 1

1 1

( )

ⁿ

( ) (

_{i i}

)

ⁿ

i i i

E g X g x P X x

n x

 

    

ve

^{1 1}

( )

ⁿ _i

(

_i

) 1

ⁿ _i

i i

E X x P X x x



n



    

şeklinde hesaplanmıştır. Jensen eşitsizliğine göre,

 

₂

 

^{2 2 2}

1 1 1

1 1 1

( )

ⁿ

( )

ⁿ _i ⁿ _i

i i i i

E g X g E X x n x

n x n

 

  

   

       

   

  

eşitsizliği yazılabilir. Buradan,

2 2

2

2 2 2

1 1 1 1

1

ⁿ

1

^{n n}

1

ⁿ

1

i i

i i i i i i

n x n x

n x n x

 

   

   

      

   

   

bulunur. Yani, Var (  ˆ

²

)  Var (  ˆ

³

)

dır. Bu eşitsizlikler birleştirildiğinde,

 

^{1 2 2 1}

 

^{2 2 2} 2² 2

 

³

1 1 1

ˆ

ⁿ

ˆ

^{n n}

1 ˆ

i i

i i i i

Var x Var n x Var

n x

     

 

  

   

            

      

sıralaması elde edilir. Yani, Var (  ˆ

¹

)  Var (  ˆ

²

)  Var (  ˆ

³

) dir.

4.3.9 X ve Y rasgele değişkenleri için ( ) E X  E Y ( ) 0  , Var X ( )  Var Y ( ) 1  ve X ile Y arasındaki korelasyon  olsun. Bu durumda,

2 2 2

(max{ , }) 1 1 E X Y    

olduğunu gösteriniz (Öztürk, 1993, sayfa 298).

Çözüm: Önce, Problem (4.3.7) de verilen max{ , } 0.5 [( X Y  X Y   ) | X Y  |] ifadesi X

2

_ve Y

²

rasgele değişkenleri için

2 2 2 2 2 2

max{ X Y , } 0.5[(  X  Y ) |  X  Y |]

şeklinde düzenlendiğinde, X

²

 Y

²

  X Y X Y      olup Cauchy-Schwartz eşitsizliği de X

2

_ve Y

²

rasgele değişkenleri için,

2 2 2 2 2

[ (| E X  Y |)]  [ (| E X Y  |) ][ (| E X Y  |) ] şeklinde yazılır. Buradan da,

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

(max{ , }) 1 [ ( ) (| |)]

2

1 1

[ (| |) 2] 1 (( ) ) (( )

2 2

E X Y E X Y E X Y

E X Y E X Y E X Y

   

      

eşitsizliğine ulaşılmış olur. Ayrıca,

   

2 2

2 2 2 2

2

(( ) ) (( ) )

[ ( ) 2 ( ) ( )][ ( ) 2 ( ) ( )]

2 2 2 2 4(1 )

E X Y E X Y

E X E XY E Y E X E XY E Y

  

 

    

    

dir. Dolayısı ile aranan eşitsizlik,

 

 ^max

²

^,

²

 ^{1 1} ₂ ^{ ( )}

²

^{  ( )}

²

^{ 1 1} ₂ ^{4 1 }

²

^{ 1 1}

²

E X Y   E X Y  E X Y         

den E (max{ X Y

²

,

²

}) 1   1  

²

olarak bulunmuş olur.

4.3.10 X ve Y aralarındaki korelasyon  olan herhangi iki rasgele değişken olsun.

  0 _için E X ( )  

_x

, ( ) E Y  

_y

, Var X ( )  

_x²

ve Var Y ( )  

²_y

olmak üzere,

 ^|

^x

^|

^x

^{veya |}

^y

^|

^y

 ¹

₂

^{1 1}

²

P X   Y   



 

          

olduğunu gösteriniz (Öztürk, 1993, sayfa 299).

Çözüm: Eşitsizliğin sol tarafındaki olasılık açık olarak

 

2 2

2 2

2 2 2

veya

veya max ,

x x y y

y y

x x

x y x y

P X Y

Y Y

X X

P P

   

 

    

   

   

 

               

 

              

şeklinde yazılır. Markov eşitsizliğinden de,

2 2

2 2

2 2

2 2

max , 1 max ,

1 1 1

y y

x x

x y x y

Y Y

X X

P

  

E

 

    

 

                

            

           

          

   

 

    

bulunur. Böylece,

2 2

(|

_x

| veya |

_y

|

_y

(1 1 ) /

P X   Y         

eşitsizliği elde edilmiş olur.