ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR (L. Gökçe)

ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR (L. Gökçe)

Üstel Fonksiyon:

1

a≠ bir pozitif sayı olmak üzere f :R→R , ⁺

( ) ^x

f x =a biçiminde tanımlı f fonksiyonuna üstel fonksiyon denir.

Not:

1

a> ise f artan fonksiyondur.

0< <a 1 ise f azalan fonksiyondur.

1. Gerçel sayılarda tanımlı f x( )= ⋅b a^x fonksiyo- nunun grafiği (0, 3) ve (2,12) noktalarından geç- mektedir. Buna göre, a b⋅ çarpımının değeri kaç- tır?

2. y=a^x, y=b^x, y=c^x fonksiyonlarının grafik- leri aşağıda verilmiştir. Buna göre a, b, c arasında- ki sıralama aşağıdakilerden hangisidir?

3. 6000 kişiden oluşan bir kasabanın nüfusu göç etkisiyle azalmaktadır. Kasabanın t yıl sonraki nü-

fusu 1

( ) 1000

2

t

f t A 

=   +

  fonksiyonu ile model- lenmiştir.

Kaç yıl sonra kasabanın nüfusu 1625 kişi olacak- tır?

Logaritma:

, 0

a b> , a≠1 olmak üzere a^x =b denkleminin kökü x=log_ab ile gösterilir ve bu değere b sayısı- nın a tabanındaki logaritması denir.

Yani,

x log

a = ⇔ =b x ab olur.

4. Aşağıdaki denklemleri sağlayan x değerlerini bulunuz:

a. log (3₂ x+ =1) 6 b. log (2_x x+ =8) 2

Örnek 5. Aşağıdaki denklemleri sağlayan x değer- lerini bulunuz:

a. 2^x+1 =3 b. 3^2x−1 =5

Temel Logaritma Özellikleri:

1. log 1_a =0

2. log_aa=1

3. log_a x+log_a y=log (_a x y⋅ )

4. log_a log_a log_a x

x y

y

− =   

 

5. _{( )} 1

logan x loga x

= ⋅n 6. log (_a b^m)= ⋅m log_ab

6. Aşağıda verilen ifadelerin değerlerini hesapla- yınız

a. log 2 log 5 log 10 log 1 log 1₂ + ₅ + ₁₀ + ₄ + ₇

b. log 32 log 9 log 125₂ + ₃ − ₅

c. log 2 log 7 log 9₄ + ₄₉ + ₂₇

7. Aşağıda verilen ifadelerin değerlerini hesaplayı- nız

a. log₂ ³ 2+log₃ 27+log₇ ⁶ 7

b. log 28 log 125 log+ 35 + 439

c. _{1 0,1}

4

log 2+log 100

8. Aşağıda verilen ifadelerin değerlerini hesaplayı- nız

a. log 8 log 9 log 18₆ + ₆ + ₆

b. log 21 log 6 log 25 log 14₁₅ + ₁₅ + ₁₅ − ₁₅

Onluk Logaritma ve Doğal Logaritma:

log10 x=logx ve log_e x=lnx biçiminde tanımla- nan logaritmalara sırasıyla onluk logaritma ve do- ğal logaritma denir.

Burada e, matematikteki özel sayılardan biri olup yaklaşık olarak 2,71 değerine sahiptir. e sayısı,

lim 1 1

n

n^→∞ n

 

 + 

 

limitidir. Bu limitin bir değere yaklaştığının göste- rilmesi, konumunuz dışında kalmaktadır.

9. log 2≅0, 301 ve log 3≅0, 477 olarak veriliyor.

Buna göre, aşağıda verilen sayıların yaklaşık de- ğerlerini bulunuz

a. log18000 b. log 75

10. log 5=x olduğuna göre log 80 ’in x türünden eşiti nedir?

11. ln 2=x, ln 3=y olduğuna göre 9 ln 8

e ifadesi- nin x, y türünden eşiti nedir?

12. log 0, 0001 ln1 ln e− + ² ifadesinin değeri kaçtır?

Taban Değiştirme Kuralı:

c keyfi bir taban olmak üzere,

log log ln

log^a log log ln

c c

b b b

b= a = a = a =⋯

v.b eşitlikler yazılabilir.

Bazı Sonuçlar:

1. log_ab⋅log_bc⋅log_cd =log_ad

2. log_ab⋅log_ba=1 ve 1 log^ab log_b

= a

3. a^logbc =c^logba ve a^logac =c

13. log 5₃ =n ise log 15 ifadesinin n türünden ₂₅ eşiti nedir?

14. log 2=x olduğuna göre log 50 ifadesinin x ₂₀ türünden eşiti nedir?

15. log 25 log 49 log 27₃ ⋅ ₅ ⋅ ₇ çarpımının değeri kaç- tır?

16.

3 2 5

3 6 3

log 60+log 60+log 60 toplamının değeri kaçtır?

17. log_ab=2, log_bc=3 ise log_ab c

b değeri kaç- tır?

18. 10^2logx−2x− =8 0 ise x kaçtır?

19.

ln ln 8

2 ln ln 10

x y

x y

+ =

− =

olduğuna göre, log_y x değeri kaçtır?

Logaritma Fonksiyonu:

: (0, )

f ∞ →R , ( ) logf x = ax fonksiyonuna loga- ritma fonksiyonu denir. Burada a tabanı pozitif ve

1

a≠ olan bir sabittir.

20. Aşağıda verilen fonksiyonların en geniş tanım kümesini bulunuz.

a. ( )f x =log(2x+ −4) log(x−3)

b. 2 4

( ) log

3 g x x

x +

 

=  

−

 

21. f x( )=log_(5−x)(2x+3) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde bulunan x tamsayılarının toplamı kaçtır?

22. f : (3, )∞ →R , f x( )=log (2 x−3) fonksiyonu bire bir ve örtendir. Buna göre y= f⁻¹( )x ters fonksiyonunu bulunuz.

23. f :R→ ∞(1, ), f x( )=3^x+2 +1 fonksiyonu bire bir ve örtendir. Buna göre y= f⁻¹( )x ters fonksi- yonunu bulunuz.

24. Aşağıda f x( )=log (_a bx c+ ) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre a+2b c− kaçtır?

25.

: ( , 2)

f −∞ →R , f x( )=log (2 − +x a) biçiminde tanımlı f fonksiyonunun grafiği yukarıda veril- miştir.

Buna göre

( )

f f  4

   değeri kaçtır?

26. Uygun koşullarda tanımlı f x( )=log (2₃ x+a) fonksiyonu veriliyor. f a( )=2 ise f⁻¹(3) ters gö- rüntüsünün değeri kaçtır?

Logaritmik Denklemler:

( ), ( ) 0

f x g x > olmak üzere

log_a f x( )=log_a g x( )⇔ f x( )=g x( ).

27. ln(x²+ =3) ln(5x−1) denkleminin çözüm kü- mesini bulunuz.

28. log (₂ x+ −1) log (3₂ x− =1) 5 denkleminin çö- züm kümesini bulunuz.

29. ^{ln log (5}

(

)

30.

(

)

31. log₂x−log 16_x =3 denkleminin çözüm küme- sini bulunuz.

32. x^{ln x} =e x² denkleminin kökler çarpımı kaçtır?