TRİGONOMETRİ (L. Gökçe)

TRİGONOMETRİ (L. Gökçe)

Pozitif/Negatif Yönler ve Yönlü Açı:

Saatin yelkovanının dönme yönünün tersi olan yöne pozitif yön, aynı olan yöne negatif yön denir.

Açı Ölçü Birimleri:

O A

B

O merkezli bir çember yayını 360 eş dilime ayıralım.

Dilimlerden biri AB yayı olsun. AOB açısının kol- ları arasındaki açıklığın ölçüsü 1 derece olarak ta- nımlanır ve

( ) 1

m AOB = biçiminde gösterilir.

Dolayısıyla bir tam açı 360 ölçüye sahip olur.

1 derecenin 1

60’ına 1 dakika, 1 dakikanın 1

60’ına 1 saniye denir. Sırasıyla 1′ ve 1′′ sembolleriyle göste- rilir.

Bir çemberde yarıçapa eşit uzunluktaki yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir.

r yarıçaplı bir çemberin çevresi 2 rπ olduğundan bir tam açı 2π radyan ölçüye sahip olur.

Böylece, bir açının kolları arasındaki açıklık bir gerçel sayı ile ifade edilmiş olur. Bir açının derece ve radyan türünden ölçüleri sırasıyla D, R ise bunla- rın arasında

180

D R

=π eşitliği vardır.

Radyan türünden bir açı ölçüsü bir gerçel sayı oldu- ğundan, derece türünden açı ölçüsü de bu eşitlik yardımıyla gerçel sayıya dönüştürülmüş olur. Bura- daki π, yaklaşık değerini 3,14 olarak bildiğimiz sabittir.

Diğer bir deyişle, derece/radyan dönüşümü yapma- nız gereken bir yerde

π =180 eşitliğini kullanabilirsiniz.

1. Aşağıdaki açı ölçülerinin derece/radyan dönüşü- münü yapınız.

a. 2 5

π b. 5 4

π c. 150 d. 270

Esas Ölçü:

Başlangıç kenarı Ox ekseni ve bitim kenarı aynı olan açılardan, ölçüsü [0 , 360 ) aralığında olan açının ölçüsüne, bu açıların esas ölçüsü denir.

2. Aşağıdaki şekilde yarıçapı 300 m olan dairesel bir pistte A noktasında harekete başlayan bir araç 2000π metre yol alarak B noktasında duruyor. AB yayını gören merkez açının ölçüsü α ’nın kaç radyan ve kaç derece olduğunu bulunuz.

3. Aşağıda verilen açı ölçülerinin esas ölçüsünü bu- lunuz:

a. 1680 b. 1100− c. 47 5

π d. 43 6

− π

Trigonometrik Fonksiyonlar:

A. Sinüs/Kosinüs Fonksiyonları:

Merkezi orijinde ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir. Bu çember üzerinde bir ( , )P x y

noktası alalım. m AOP( )=α olmak üzere cos

x= α ^{ve y}=^sinα olarak tanımlanır.

Not. Her α gerçel sayısı için

• sin²α+cos²α =1

• − ≤1 sinα ≤1 ve 1 cos− ≤ α ≤1.

4. Birim çember üzerindeki noktaların koordinatla- rından faydalanarak aşağıdaki trigonometrik oranları hesaplayalım:

a. sin 0 b. cos 0 c. sin 90 d. cos 90

e. sin180 f. cos180 g. sin 270 h. cos 270

5. α ^, β birer gerçel sayı ve

3sin 2 cos 1

A= α+2 β−

olmak üzere, A’nın alabileceği kaç farklı tamsayı değeri vardır?

B. Tanjant/Kotanjant Fonksiyonları:

Birim çemberi ve x=1 teğet doğrusunu göz önüne alalım. Birim çember üzerindeki bir P noktası için

( )

m AOP =α olmak üzere [OP ışını, x=1 doğrusu- nu T(1, )t noktasında kessin.

tan

t = α

olarak tanımlanır.

Benzer biçimde y=1 doğrusu ile [OP ışınının kesim noktası olan K k( ,1) yardımıyla

cot

k= α

tanımlaması yapılır.

Not. İlgili trigonometrik fonksiyonların tanımlı ol- ması şartıyla her α gerçel sayısı için

• sin

tan cos

α α

= α ve cos

cot sin

α α

= α

• tanα^⋅cotα ⁼1 eşitlikleri vardır.

C. Sekant/Kosekant Fonksiyonları:

Birim çembere, üzerindeki P noktasından teğet çizi- lip, bu teğetin koordinat eksenlerini kestiği noktalar yardımıyla secα^{, cosec}α^(cscα) fonksiyonları tanımlanabilir.

Not. İlgili trigonometrik fonksiyonların tanımlı ol- ması şartıyla her α gerçel sayısı için

sec 1 α cos

= α ve 1

cosec α sin

= α eşitlikleri geçerlidir.

6. 1 1

1 sin− α ⁺1 sin+ α ifadesini sade biçimde yazı- nız.

7. Aşağıdaki ifadeleri sade biçimde yazınız.

a. 1 tan+ ²α b. 1 cot+ ²α

8. 0 < <α 90 olmak üzere csc²α +2 cotα ^ifade- sini sade biçimde yazınız.

9. sin⁴x−cos⁴ x+2 cos²x ifadesinin değeri kaçtır?

10. S =sinx ve C=cosx olmak üzere

6 6 4 4

2S +2C −3S −3C ifadesini sade biçimde yazınız.

11. S =sinx ve C=cosx olmak üzere

6 6 4 2

2S +2C −3C +3C ifadesinin sade biçimde yazınız.

12.

Birim çember üzerinde bir D noktası alınarak ABCD dik yamuğu oluşturuluyor. Yamuğun alanının α türünden eşiti nedir?

13.

Yarıçapı 1 birim olan O merkezli yarım çember veri- liyor. m COB( )=α olduğuna göre,

BC CD

DA AB

+ + oranının α türünden eşiti nedir?

14.

Şekilde birim çember üzerinde bir P noktası alınarak bu noktadan çembere teğet olan [AB] doğru parçası çizilmiştir. m POA( )=α olduğuna göre AB uzun- luğunun α türünden eşiti nedir?

İndirgeme Formülleri:

15. Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz a. sin 300 b. 7

cos 4

π c. cot120 d. 11 tan 6 π

16.

tan 2 cos( 390 )

3 sin 210 cot 3

4 π

π

 

− + −

 

 

 

+ − 

 

ifadesinin değerini hesaplayınız.

17. Uygun bir kümede tanımlı

5 3

( ) sin(5 ) cos cot

2 2

f x = π + −x ^ π +x^+ ^ π −x^

   

fonksiyonu için f ^π3^

 

  görüntüsünü hesaplayınız.

18. tanx−cotx=4 2 ^{ise tanx}+^cotx toplamının pozitif değeri kaçtır?

19. a=tan 310 , b=sin 470 , c=sec( 40 )− oldu- ğuna göre a, b, c sayılarının işaretlerini bulunuz.

20. a=tan 230 , b=sin130 , c=cos( 20 )− oldu- ğuna göre a, b, c sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız.

21. π α< <2π ve 3

cosα = −5 olduğuna göre, tan sin

cot

α α

α

+ ifadesinin değeri kaçtır?

22. ABCD bir kare ve AE =7 ^birim, EB =5 ^birim olduğuna göre cot(AEC) kaçtır?

7 E 5

D C

A B

23. ABC bir eşkenar üçgen ve BD =4 AD ^olduğu- na göre sin(ACD) kaçtır?

D C

A B

24. [AB] çaplı yarım çemberde [AC] kirişinin orta noktası D’dir. AB =4 AD ^ise tan(ADB) kaçtır?

A D

B C

Kosinüs Teoremi:

Kenar uzunlukları a, b, c olan ABC üçgeninde

2 2 2

2 cos

a = + −b c bc⋅ A bağıntısı vardır. Buradan,

2 2 2

cos 2

b c a

A bc

= + − yazılabilir.

b a

A c B

C

25. Kenar uzunlukları 7, 8, 13 olan ABC üçgeninde ( )

m A =α kaç derecedir?

α 13 7 8

B C

A

26.

3

2 8

7 7 E

D C

A B

ABC bir üçgen ve AE =3 ^birim, EC = ED =7 birim, AD =8 ^birim, DB =2 birim olduğuna göre

BC uzunluğu kaç birimdir?

27.

L K

H G

F

A B

D C E

Yukarıda (ABCD, EFGH) küpü verilmiştir. [AB]

ayrıtının orta noktası K ve CL =3BL olduğuna göre, cos(KHL) değeri kaçtır?

28. Aşağıda taban çemberinin merkezi O, tepe nok- tası P olan dik koni veriliyor. PO =12 ^birim,

5

AO = birim ve m AOB( )=60 olduğuna göre, cos(APB) değeri kaçtır?

O P

A B

29. ABC üçgeninde BC =a^, CA =b^, AB =c olmak üzere b³+ =c³ a b² +a c² bağıntısı sağlanıyor.

Buna göre m BAC( ) kaç derecedir?

30.

x

4 4

8 5

A B

C

D

Yukarıda verilen ABC üçgeninin [CD] kenarortayı- nın uzunluğu kaç birimdir?

Sinüs Yardımıyla Alan ve Sinüs Teoremi:

( ) 1 sin( )

Alan ABC = 2bc A ve

2 sin( ) sin( ) sin( )

a b c

R C

A = B = =

bağıntıları vardır.

O

C A

B R

c b

a

31. AB =6 birim olan aşağıdaki ABC üçgeninin AC , BC kenar uzunluklarını ve çevrel çemberi- nin yarıçapını bulunuz.

C

A 6 B

30°

45°

32. Aşağıdaki ABC üçgeninde AC , BC uzunluk- larını bulunuz.

A D B

C

3 9 60°

30°

33. Çevresi 36 birim ve çevrel çemberinin yarıçapı 7,5 birim olan ABC üçgeninde sinA+sinB+sinC toplamının değeri kaçtır?

34. Aşağıdaki ABC üçgeninde AB =6 birim oldu- ğuna göre, CD kaç birimdir?

A 6 D

B C

70° 50°

40°

35. Bir ABC üçgeninde BC uzunluğu çevrel çem- berin yarıçapına eşit ise m A( ) nın alabileceği değer- leri bulunuz.

Trigonometrik Fonksiyonların Periyotları:

:

f A→B bir fonksiyon olsun. Her x∈A için

( ) ( )

f x T+ = f x

olacak biçimde sıfırdan farklı bir T gerçel sayısı var- sa f fonksiyonuna periyodik fonksiyon denir.

Bu şekildeki T sayıları arasında pozitif ve en küçüğü varsa, T’ye f fonksiyonunun esas periyodu denir.

Not:

• n pozitif tek tamsayı olsun. y=sin (ⁿ ax b+ ) ve cos (ⁿ )

y= ax b+ fonksiyonlarının esas periyodu T 2

a

= π

• n pozitif çift tamsayı olsun. y=sin (ⁿ ax b+ ) ve cos (ⁿ )

y= ax b+ fonksiyonlarının esas periyodu T 2

a

= π

• n pozitif tamsayı olsun. y=tan (ⁿ ax b+ ) ve cot (ⁿ )

y= ax b+ fonksiyonlarının esas periyodu T a

= π

olur.

36. Aşağıdaki fonksiyonların (varsa) esas periyodu- nu bulunuz.

a. sin³ 4 y₌ ^ x₊π6^

 

 

b. 2 cos⁴ 6 y_{= −} ^ x₊π5^

 

 

c. 5 tan² 3 y₌ ^ x₊π4^

 

 

d. ⁶ 2

3cot 4

y_{= −} ^ x₊ 5π ^

 

 

e. y=cos(2 )x +2 sin ( )² x

Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri:

37. y=sinx fonksiyonunun grafiğini çizelim.

38. y=cosx fonksiyonunun grafiğini çizelim.

39. y=tanx fonksiyonunun grafiğini çizelim.

40. ,a b>0 olmak üzere aşağıda

( ) cos( )

f x = ⋅a bx

fonksiyonunun grafiği verilmiştir. a b⋅ kaçtır?

41. , ,a b c>0 olmak üzere aşağıda

( )

( ) sin2

f x = ⋅a bx +c

fonksiyonunun grafiği verilmiştir. a b c⋅ ⋅ kaçtır?

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar:

1. Sinüs Fonksiyonun Tersi:

: , [ 1,1]

f ^₋π π2 2^_{→ −}

 

  , ( )f x =sinx

biçiminde tanımlı f fonksiyonu bire bir ve örtendir.

Dolayısıyla f fonksiyonunun bir ters fonksiyonu var- dır. Bu fonksiyon

1:[ 1,1] ,

f−  π π2 2

− → − , f⁻¹( )x =arcsinx biçiminde tanımlanır. Bu iki fonksiyon arasındaki ilişki, tanımlı oldukları aralıklar göz önüne alınarak

sin arcsin

y= x⇔ =x y

önermesiyle ifade edilebilir.

2. Kosinüs Fonksiyonun Tersi:

[ ]

: 0, [ 1,1]

f π → − ^{, ( )f x} =^cosx

biçiminde tanımlı f fonksiyonu bire bir ve örtendir.

Dolayısıyla f fonksiyonunun bir ters fonksiyonu var- dır. Bu fonksiyon

1:[ 1,1] [0, ]

f⁻ − → π , f⁻¹( )x =arccosx

biçiminde tanımlanır. Bu iki fonksiyon arasındaki ilişki, tanımlı oldukları aralıklar göz önüne alınarak

cos arccos

y= x⇔ =x y

önermesiyle ifade edilebilir.

3. Tanjant Fonksiyonun Tersi:

: ,

f ^₋π π2 2^_→

 

  R , ( ) tanf x = x

biçiminde tanımlı f fonksiyonu bire bir ve örtendir.

Dolayısıyla f fonksiyonunun bir ters fonksiyonu var- dır. Bu fonksiyon

1: ,

f−  π π2 2

→ − 

 

R , f⁻¹( )x =arctanx

biçiminde tanımlanır. Bu iki fonksiyon arasındaki ilişki, tanımlı oldukları aralıklar göz önüne alınarak

tan arctan

y= x⇔ =x y

önermesiyle ifade edilebilir.

42. Aşağıdaki ifadelerin değerlerini hesaplayınız

a. 3

arcsin 2

 

 

 

  b. 1 arcsin

2

 

− 

 

c. 2

arccos 2

 

−

 

 

  d. ^arccos

( )

e. ^arctan

( )

3

 

 

 

 

g. ^{arccos 0}

( )

( )

43. Aşağıdaki ifadelerin değerlerini hesaplayınız

a. 3

tan arcsin

2 5

π

 

 + 

 

b. 5

sin arccos π 13

 

 − 

 

c. 3

cos arctan 3

2 π

 

 − 

 

44. 1 1

arccos arccos

3 3

 

+ − 

  toplamının değeri kaç derecedir?

45. 1

arccos arctan(2 )

3 x

x = olduğuna göre x kaçtır?

46. 2 1

( ) arcsin 3

f x  x− 

=  

  fonksiyonunun gerçel sayılardaki en geniş tanım aralığı nedir?

47. 1

( ) 3 arccos 2

f x x+ 

= ⋅  

  fonksiyonunun ters fonksiyonu olan f⁻¹( )x ’i bulunuz.

48. Uygun bir aralıkta bire bir ve örten olan f fonk- siyonunun kuralı

( )

( ) 2 sin 5 1 f x = ⋅ x+

biçiminde veriliyor. f ‘nin ters fonksiyonu olan f⁻1 fonksiyonunun kuralını bulunuz.

Toplam – Fark Formülleri:

Aşağıdaki dikdörtgeni inceleyelim.

Dikdörtgenin kenar uzunlukları eşitlenirse sin(α β+ )=sinαcosβ+cosαsinβ cos(α β+ )=cosαcosβ−sinαsinβ

toplam formülleri elde edilir. β ^yerine −β alınarak sin(α β− )=sinαcosβ−cosαsinβ

cos(α β− )=cosαcosβ+sinαsinβ fark formülleri bulunur.

49. Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz a. sin 75 b. cos 75

Aşağıdaki dikdörtgeni inceleyelim.

tan tan

tan( )

1 tan tan

α β

α β α β

+ = +

−

olduğu görülebilir. β ^yerine −β alınarak

tan tan

tan( )

1 tan tan

α β

α β α β

− = − +

fark formülü elde edilir.

50. Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz a. tan 75 b. tan15

51. Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz a. sin 25 cos 20 +cos 25 sin 20

b. cos 80 cos 20 +sin 80 sin 20

52. Aşağıdaki ABC üçgeninde AH ⊥BC dir. Veri- len uzunluklara göre, sin(BAC) ve cos(BAC) de- ğerlerini bulunuz.

20 13 12

H C

B

A

53. Aşağıdaki dik ABC üçgeninde D∈[BC] dir.

Verilen uzunluklara göre, cos(DAC) ve tan(DAC) değerlerini bulunuz.

6 9 8

B D A

C

54. Aşağıdaki ABCD dikdörtgeninde, m AFE( )=α ^, 3 AD =6 AE =4 EB olduğuna göre tanα ^kaçtır?

F

E

D C

A B

55. Aşağıdaki şekilde ABCD bir kare, AB =3CE ve m CAE( )=α olduğuna göre sinα ^kaçtır?

D C E

A B

56. Aşağıdaki ABCD dörtgeninde m ADC( )=α ^ise cosα ^kaçtır?

7 24 20

A 15

B C D

57. Aşağıdaki şekilde ABCD bir karedir.

3 2

AB = DE = BF ^ise m EAF( ) kaç derecedir?

E

F

A B

D C

58. AB =26 çaplı yarım çember veriliyor.

10

AD = ^, BC =13 ^ve m AEB( )=α olduğuna göre cosα ^kaçtır?

D E

A B

C

59. ^{a b, ∈}

(

)

olduğuna göre sin(2 )a kaçtır?

60. 0

2 θ π

< < ve 1 sin( )

θ =3 ise sin(3 )θ ^kaçtır?

61. arctan 2 arctan 3+ kaç derecedir?

62. 7

sin arccos arctan1 4

 

−

 

 

  kaçtır?

63. sin 20 3 cos 20 cos190

+ ⋅

kaçtır?

İki Kat Açı (Yarım Açı) Formülleri:

sin(2 )x =2 sinx⋅cosx

2 2

cos(2 )x =cos x−sin x

=2 cos²x− = −1 1 2 sin²x

2

2 tan tan(2 )

1 tan x x

= x

− bağıntıları vardır.

64. Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz a. 2 sin 20 cos 20

b. sin15 cos15

c. sin cos

8 8

π _⋅ π

65. Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz

a. ²3 ²3

cos sin

8 8

π ₋ π

b. cos 75² −sin 75²

c.

(

)(

)

66. sin18 cos 36 değeri kaçtır?

67. cos 20 cos 40 cos 80 değeri kaçtır?

68. Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz a. 1 cos(2 )

sin(2 ) x x +

b. 1 cos(2 ) sin(2 )

x x

−

c. cos(2 ) 1 sin(2 )

x + x

69. 0

x π2

< < ve 1

sinx=4 ise sin(2 )x kaçtır?

70. 1

cosx=3 ise cos(2 )x kaçtır?

71. π2 < <x π ve 3 tan(2 )

x =4 ise tan x kaçtır?

72. 12 2 arctan

α = 5 ise tanα ^kaçtır?

73. 0

x π8

< < ve 24 tan(4 )

x = 7 ise tan x kaçtır?

74. ABCD karesi A noktası etrafında pozitif yönde α derece döndürülerek AEFG karesi oluşturuluyor.

tan 4

α =3 olduğuna göre HC

DH oranı kaçtır?

H

G

α

E F

A B

D C

75. 1− ≤ ≤x 1 olmak üzere cos(2 arccos )x ifadesi- nin polinom biçiminde yazılışını bulunuz.

76. sin 9 cos 9

cos 27 −sin 27 ifadesinin değeri kaçtır?

77. Aşağıdaki ABC üçgeninde m B( )=2 ( )m A =2α olduğuna göre cosα ^kaçtır?

A B

C

12 8

2α α