Bölüm:2 Temel İstatistik

Bölüm:2 Temel İstatistik

2.0 Giriş

2.1 Merkeze Yığılma Ölçüleri 2.2 Yayılma Ölçüleri

2.3 Standart Puanlar 2.4 Normal Dağılım 2.5 İlişki Ölçüleri

Bu bölümün konu başlıkları:

Ölçme sonuçlarımızı 4 yolla betimleyebiliriz:

1) Verileri sözel betimleme

2) Verileri tablolarla betimleme 3) Verileri grafikle betimleme

4) Verileri istatistikle betimleme

SÖZEL BETİMLEME:

Genel bir bakış açısıyla sözlü ifade etmedir: Yığılma şurada, başarı

düşüktür, başarı yüksektir, …

TABLOLARLA BETİMLEME:

Veriler küçükten büyüğe sıralanıp sıklık tablosu oluşturulur.

2.0 Giriş

GRAFİKLE BETİMLEME:

Grafikler verileri özet olarak sunmada bize yardımcı olur: Sütun grafiği,

histogram (gruplandırılmış verilerin grafiği), çizgi grafiği, …

İSTATİSTİKSEL BETİMLEME:

Tablodan sonra, verilerin merkeze yığılma ölçüleri, yayılma ölçüleri gibi değerlerinin hesaplanıp yorumlanması.

Örnek: 50 öğrencinin dersinizden aldığı puanlar aşağıdaki gibi olsun:

Öğr (i)

Puan

(X_i) Öğr (i) ^Puan

(X_i) Öğr (i) ^Puan

(X_i) Öğr (i) ^Puan

(X_i) Öğr (i) ^Puan (X_i)

1 6 ¹¹ 8 ²¹ 6 ³¹ 9 ⁴¹ 5

2 6 ¹² 1 ²² 7 ³² 5 ⁴² 4

3 3 ¹³ 5 ²³ 8 ³³ 4 ⁴³ 9

4 3 ¹⁴ 7 ²⁴ 10 ³⁴ 1 ⁴⁴ 6

5 4 ¹⁵ 3 ²⁵ 7 ³⁵ 7 ⁴⁵ 9

6 2 ¹⁶ 10 ²⁶ 8 ³⁶ 6 ⁴⁶ 9

7 4 ¹⁷ 5 ²⁷ 7 ³⁷ 9 ⁴⁷ 8

8 6 ¹⁸ 5 ²⁸ 10 ³⁸ 2 ⁴⁸ 5

9 7 ¹⁹ 2 ²⁹ 8 ³⁹ 3 ⁴⁹ 4

10 7 ²⁰ 7 ³⁰ 8 ⁴⁰ 6 ⁵⁰ 8

Tablo: (A) Ham (işlenmemiş) veriler.

SÖZEL BETİMLEME: Notların 1-10 arasında olduğu söylenebilir.

Tablo: (B) Ham veriler küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe sıralanır: En küçük, en büyük, en çok tekrar eden, tam ortadaki, … görebiliriz.

Öğr (i)

Puan

(X_i) Öğr (i) ^Puan

(X_i) Öğr (i) ^Puan

(X_i) Öğr (i) ^Puan

(X_i) Öğr (i) ^Puan (X_i)

1 1 4 6 7 8

2 1 4 6 7 8

3 2 4 6 7 9

. 2 4 6 7 9

. 2 5 ²⁵ 6 7 . 9

. 3 5 ²⁶ 6 8 . 9

3 5 6 8 . 9

3 5 7 8 ⁴⁸ 10

3 5 7 8 ⁴⁹ 10

4 5 7 8 ⁵⁰ 10

Puan (X) Sıklık( f ) Toplam ( tf ) Yüzde % Toplam % X.f

1 2 2 0,04 0,04 2

2 3 5 0,06 0,10 6

3 4 9 0,08 0,18 12

4 5 14 0,10 0,28 20

5 6 20 0,12 0,40 30

6 7 27 0,14 0,54 42

7 8 35 0,16 0,70 56

8 7 42 0,14 0,84 56

9 5 47 0,10 0,94 45

10 3 50 0,06 1,00 30

Toplam 50 1 299

Tablo: (C) Verilerin frekans (f) ve yüzde tablosu.

*Bu tabloya göre grafik çizilebilir (sonraki slayt).

*tf sütununda örneğin 42 sayısı, öğrencilerin 42‘sinin 8 ve altında not aldığı anlamına gelir.

*Yüzde sütununda 0,10 sayısı, öğrencilerin %10’

unun 4 alması demektir.

Sıklık (frekans)

Öğrenci notları Grafik:1 50 öğrencinin notlarının frekans grafiği.

Yığmalı frekans

Öğrenci notları Grafik:2 50 öğrencinin notlarının yığmalı frekans grafiği.

NOT: Bu grafikle, örneğin kaç öğrencinin 5 ve altında not aldığını kolayca söyleyebiliriz (20).

Verileri Gruplama

Verilerinizin çok ve yayılmış olduğu durumlarda gruplamak isteyebilirsiniz:

1) Öncelikle kaç gruba ayıracağınızı belirleyin.(g)

2) EnBüyük ile EnKüçük verilerin farkını g’ye bölerek aralık genişliğini (aralık katsayısı) bulun.(a)

3) Aralık katsayısı üstten en yakın tam sayıya yuvarlanır. (Tercihen tek sayıya!)

4) Verilerin tümü gruplara dağıtılır.

Puan X Sıklık ( f )

1 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

8 7

9 5

10 3

Toplam 50

*Grup sayısını 5 alalım.

*EB=10 ve EK=1 olup

*10-1 sayısı 5’e bölünür: 9/5=1,8 olup bu sayı 2’ye yuvarlanır.

*Aralık genişliği=2 alınır.

ÖRNEK:

Yandaki verileri gruplayalım.

Grup Kesikli

Gruplar Gerçek gruplar

Sıklık ( f )

1 1-2 ^0,5-2,5 5 2 3-4 ^2,5-4,5 9 3 5-6 ^4,5-6,5 13 4 7-8 ^6,5-8,5 15 5 9-10 ^8,5-10,5 8

Toplam 50

NOT: Gruplama, verileri tabloya göre daha özetler.

Grafik daha da özetler!

f

Gruplar 16

8 12

4

1 2 3 4 5

Grafik: Grupların histogram grafiği.

Tablo: Gruplanmış veriler.

Veriler Üzerinde Yapılabilecek İstatistiksel Betimlemeler

MERKEZE YIĞILMA ÖLÇÜLERİ

YAYILMA (DEĞİŞİM) ÖLÇÜLERİ

İLİŞKİ ÖLÇÜLERİ

*Medyan*Mod

*Ortalama

*Ranj

*Çeyrek sapma

*Standart sapma ^*Kore

lasyon

2.1 Merkeze Yığılma Ölçüleri



Merkeze yığılma ölçüleri, verilerin, etrafında birikme eğilimi gösterdiği ölçülerdir.



«Vasat Ölçüleri» de denir.



Mod

, Medyan

ve

Aritmetik ortalama

’dan

oluşur.

MOD (Tepedeğer):

 Ölçümlerden en sık tekrarlananı (moda olanı), yani frekansı en çok olanıdır.

 Mod, bir vasat ölçüsü olarak o grubun performansını yansıtır.

 Bir veri grubunun 2 modu olabilir. Böyle veri gruplarına bimodal denir.

 2’den daha çok modlulara

multimodal denir!

 Mod, sınıflama ölçeğindeki veriler için uygun olan vasat ölçüsüdür.

Öğrenci notlarında MOD=7

Örnek: 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5 verilerinin modu 3’tür.

Örnek: A, 0, 0, 0, B, AB, AB kan gruplarının modu 0’dır.

(Slayt 6)

Veriler küçükten büyüğe sıralandığında tam ortadakidir.

MEDYAN (Ortanca)

Örnek: 2,4,7,8,10

veri grubunda başa ve sona eşit uzaklıkta olan veri 7’dir. Medyan 7’dir.

Örnek: 0, 2, 4, 6, 8, 8

veri grubunda başa ve sona eşit uzaklıkta olan veri (4+6)/2=5 alınır. Medyan 5’tir.

Veri sayısı N tekse (N+1)/2 inci kişiye ait veri medyandır. Veri sayısı N çiftse N/2 inci veri ile (N/2)+1 inci verinin toplamının yarısı medyandır.

Medyan, sıralama ölçeğindeki veriler için uygun bir vasat ölçüsüdür!

Öğrenci notlarında MEDYAN (6+6)/2=6

ÖRNEK: 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7. şeklinde

sıralanmış veriler için medyan 4. sıradaki veridir.

(Slayt 5)

Eğitimde en çok kullanılan vasat ölçüsüdür.

Ölçümlerin toplanıp, sayısına bölümüdür:

ÖRNEK: Aşağıdaki verilerin ortalaması,

Öğ Test Puanı

1 45

2 50

3 55

4 60

5 65

6 70

7 75

Öğrenci notlarında ORTALAMA:

ÖRNEK:

299/50=5,98

Ölçümlerin homojenliğini (benzeşikliğini) veya ortalamadan ne kadar uzaklara

yayıldığını betimlemede kullanılırlar.

2.2 Yayılma Ölçüleri

Ranj

ÖRNEK:

Yandaki verilerin ranjı, 75-45=30’dur.

Öğ Test Puanı

1 45

2 50

3 55

4 60

5 65

6 70

7 75

RANJ:

En büyük ile En küçük veri arasındaki farktır.

NOT: Öğrenci örneğimizde ranj: 10-1=9 ’dur.

*Ranj değeri idealde (geçerlik ve güvenirlik için) testten alınabilecek puanın yarısına yakın

olmalıdır.

*Yine geçerlik ve güvenirlik için, ranj değeri standart sapmaya bölündüğünde 4-6

aralığında bir oran elde edilmelidir.

ÇEYREK SAPMA:

ÇEYREKLER: (Quartiles)

İlk çeyrek

Q

İkinci çeyrek

Q

Üçüncü çeyrek

Q

Medyan Q2

1 – 2 –

3

6

9

Q¹ Q³

(Çeyrekler açıklığı)

ÇEYREK SAPMA: Q

Çeyrek Sapma (Q) = (Q

- Q

) / 2

şeklinde hesaplanır.

Çeyrekler açıklığı: Q

- Q

Öğr (i)

Puan

(X_i) Öğr (i) ^Puan

(X_i) Öğr (i) ^Puan

(X_i) Öğr (i) ^Puan

(X_i) Öğr (i) ^Puan (X_i)

1 1 4 6 7 8

2 1 ¹² 4 6 7 8

3 2 ¹³ 4 6 7 9

. 2 4 6 7 9

. 2 5 ²⁵ 6 7 . 9

. 3 5 ²⁶ 6 8 . 9

3 5 6 ³⁷ 8 . 9

3 5 7 ³⁸ 8 ⁴⁸ 10

3 5 7 8 ⁴⁹ 10

4 5 7 8 ⁵⁰ 10

Yukarıdaki tabloya göre;

Ranj=10-1=9 Q1=(4+4)/2=4

Q2=6

Q3=(8+8)/2=8

Çeyrek sapma=(8-4)/2=2

Çeyrek Sapma Özellikleri:

1) Puanların sadece ortada kalan %50’sini dikkate alarak hesaplanan bir değişim ölçüsüdür.

2) Standart sapma ile ranj uç değerlerden etkilenirken çeyrek sapma etkilenmez.

3) Ranja göre daha güvenilir bir ölçüdür.

4) Merkezi eğilim ölçüsü olarak ortanca kullanıldığında yayılma ölçüsü olarak çeyrek sapma kullanılmalıdır. Çünkü, bunların ikisi de sıralamaya dayanır;

uçlardan etkilenmezler.

Standart Sapma (S)

eşitliklerinden biri ile hesaplanıp karekökü alınır. İkincisi için,

1-Puanların karelerinin toplamını bulun ve veri sayısına bölün.

2-Bundan ortalamanın karesini çıkarın.

3-Sonucun karekökünü alın.

Öğ Puan

1 45 2 50 3 55 4 60 5 65 6 70 7 75 Yandaki örnekte standart

sapmayı hesaplayalım.

Ortalama 60 olup, ortalamadan sapmaların kareleri toplamının veri sayısına bölümü:

ÖRNEK:

S=10 bulunur.

olup, standart sapma bunun kareköküdür:

(W.L.Jenkins, «A short-cut method for σ and r»,

Educational and Psychological measurement VI (1946)).

Aktaran: Halil TEKİN, Eğitimde Ölçme ve Değerlendirme,

7. baskı, sf. 276.

Standart Sapmanın Tahmini:

1) N tane verinizi büyükten küçüğe sıralayın.

2) N/6 değerini bulun.

3) N/6 tane en büyük puanları toplayın (A).

4) N/6 tane en küçük puanları toplayın (B).

5) A-B değerini bulun.

6) A-B değerini N/2’ye bölün.

ÖRNEK: 7 öğrencinin puanları için, N/6=7/6 (yaklaşık 1)

1 tane en büyük puan 75 1 tane en küçük puan 45 Farkları 75-45=30

N/2=7/2=3,5

Standart sapma=30/3,5=8,6

NOT: Gerçekte S=10 bulmuştuk!

Ö P 1 45 2 50 3 55 4 60 5 65 6 70 7 75

Öğr (i)

Puan

(X_i) Öğr (i) ^Puan

(X_i) Öğr (i) ^Puan

(X_i) Öğr (i) ^Puan

(X_i) Öğr (i) ^Puan (X_i)

1 1 4 6 7 8

2 1 4 6 7 8

3 2 4 6 7 9

. 2 4 6 7 9

. 2 5 ²⁵ 6 7 . 9

. 3 5 ²⁶ 6 8 . 9

3 5 6 8 . 9

3 5 7 8 ⁴⁸ 10

3 5 7 8 ⁴⁹ 10

4 5 7 8 ⁵⁰ 10

N/6=50/6 (yaklaşık 8)

A=(10+10+10+9+9+9+9+9)=75 B=(1+1+2+2+2+3+3+3)=17

A-B=58

N/2=25 ve (A-B)/25=58/25=2,32

tahmin edilen standart sapmadır.

NOT: Gerçekte standart sapma 2,43’tür.

ÖRNEK

VARYANS:

Standart sapmanın karesidir.

1- Puanların karelerinin toplamını bulun

ve veri sayısına bölün.

2- Bundan ortalamanın karesini çıkarın.

Yani,

1) N tane verinizi büyükten küçüğe sıralayın.

2) N/6 değerini bulun.

3) N/6 tane en büyük puanları toplayın (A).

4) N/6 tane en küçük puanları toplayın (B).

5) A-B değerini bulun.

6) A-B değerini N/2’ye bölün.

7) Bulduğunuzun karesini alın.

DAHA KISA YOLDAN TAHMİN ETMEK İÇİN:

Değerlendirme Yapılırken Yığılma ve Yayılma Ölçülerinin

Kullanılması

1) Aritmetik ortalamaları aynı olan veri

gruplarından standart sapması küçük olan daha homojendir (benzeşiktir) deriz:

S¹ S2

S² ˂ S¹ ‘dir.

Sivri dağılım daha homojendir.

2) Bir dağılımda aritmetik ortalama, mod ve medyan aynı ise dağılım

simetriktir.

Bu dağılımda ortalama, mod ve medyan aynıdır.

3) Solu çarpık dağılımlar kolay, sağı

çarpık dağılımlar daha zor sınav demektir:

Zor Sınav (sağı çarpık)

Kolay Sınav (solu çarpık)

(sağa çarpık) (sola çarpık)

(pozitif kayışlı) (negatif kayışlı)

*Aritmetik ortalama merkeze yığılma ölçüleri içinde EN GÜVENİLİR olanıdır. Çünkü bütün veriler dikkate alınarak hesaplanır.

*Dağılımları yorumlarken, normal ya da normale yakın dağılımlarda merkeze

yığılma ölçüsü olarak ARİTMETİK ORTALAMA, değişme ölçüsü olarak da STANDART SAPMA kullanılır.

*Dağılımı çarpıtan uç değerler varsa,

merkeze yığılma ölçüsü olarak MEDYAN ve değişkenlik ölçüsü olarak da ÇEYREK SAPMA kullanılır.

*Medyana dayalı yorumların güvenirliği aritmetik ortalamaya göre daha az

güvenilirdir.

*Mod, merkeze yığılma ölçüleri içinde en az güvenilir olanıdır.

*Aritmetik ortalama, medyan ve mod eşit ise dağılımın NORMAL ve SİMETRİK olduğu söylenir.

*Eğer medyan ve mod değerleri ortalamadan küçükse bunun anlamı, puanların yarıdan

çoğu ortalamanın altında demektir. Yani,

grubun BAŞARISI DÜŞÜKTÜR yorumu yapılır.

*Eğer medyan ve mod değerleri ortalamadan büyükse, puanların yarıdan çoğu ortalamanın üstünde demektir. Yani, grubun BAŞARISI

YÜKSEKTİR yorumu yapılır.

*Aritmetik ortalamanın yüksek olması ortalama öğrenme düzeyinin yüksek olduğu anlamına gelir.

*ORTALAMALARI EŞİT olan dağılımlardan

medyanı büyük olan dağılım daha başarılıdır.

*ORTALAMA ve MEDYANI AYNI olan

dağılımlarda modu büyük olan daha başarılıdır.

*Ortalama, medyan ve modları aynı olan

dağılımları yorumlarken de standart sapma, çeyrek sapma ve ranja bakılır. Değişim ölçüsü küçük olan dağılım daha başarılıdır.

Bağıl Değişkenlik Katsayısı: V

V=(Standart sapma/Ortalama).100 eşitliği ile hesaplanır.

V Yorum

20’den küçük Veriler normalden sivri 20-25 arasında Veriler normal dağılmış 25’ten büyük Veriler normalden basık

2.3 Standart Puanlar

ÖRNEK:

Ahmet ile Mehmet, farklı okullarda, standart sapmaları verilen, Kimya sınavına girmiş ve aşağıdaki notları almışlar.

İsim Puanı Ortalama St. sapma (S)

Ahmet 75 65 5

Mehmet 81 85 4

Standart puanlar:

Z(Ahmet)=(75-65)/5=+2

Z(Mehmet)=(81-85)/4=-1 olur.

Z=(Xi-X)/S

Z Standart Puanı:

T Standart Puanı

T=50+10Z

T=50+10(Xi-X)/S

ile hesaplanır. Yani, standart sapması 10, ortalaması 50 olan normal dağılımdır.

İsim Puan Ort. St. sapma

(S) Z puanı

Ahmet 75 65 5 2

Mehmet 81 85 4 -1

Verilere göre,

T(Ahmet)=50+10.(2)=70 T(Mehmet)=50+10.(-1)=40

2.4 Normal Dağılım

Doğadaki birçok

değişkene ait veriler ortalarda çok

frekansa sahip, uçlarda ise az

frekansa sahiptir;

yani frekans grafikleri çan eğrisine benzer.

f

f

Gruplar 16

8 12

4

1 2 3 4 5

Grafik: Grupların histogram grafiği.

X X-S

X-2S

X-3S X+S X+2S X+3S

0,3413 0,3413

0,1359 0,1359

0,0215 0,0215

-3 -2 -1 0 1 2 3

Z

20 30 40 50 60 70 80

T

Z=0 noktasına göre simetriktir.

Mod, medyan ve ortalama eşittir.

-3 ve +3 arasında alanın %99,74’ü vardır.

Standart puanı 2 olan bir kişi, normal dağılmış puanlara sahip sınıfın

0,9772’sinden daha iyi bir puan almıştır.

%97,72

%68 %95

%99,7

Daha başarılıyım diyen Mehmet’e ne dersiniz?

İsim Puanı Ort. St. sapma

(S) St. puan (Z)

Ahmet 75 65 5 +2

Mehmet 81 85 4 -1

Ahmet ile Mehmet’in puanlarını tekrar hatırlayalım:

X X-S

X-2S

X-3S X+S X+2S X+3S

0,3413 0,3413

0,1359 0,1359

0,0215 0,0215

-3 -2 -1 0 1 2 3

Z

Ahmet’in 75 puanı veya Mehmet’in 81 puanının iyi veya kötü olduğuna ilişkin elimizde yeterli kanıt yoktur. Ancak,

Z puanı 2 olan Ahmet’in, sınıfın %97,72’sinden daha iyi puan aldığını görüyoruz.

Z puanı -1 olan Mehmet’in ise sınıfın %84,13’

ünden daha kötü bir puan aldığını söyleyebiliriz.

NORMAL DAĞILIM TABLOSU

NORMAL DAĞILIM TABLOSUNUN KULLANILMASI

0 _1,68 Z

?

? işaretli alan için tablodan Z=1,68 değerine karşılık gelen alan bulunur:

Sol baş sütünda 1,6 ile ilk baş satırda 0,08 değerinin kesiştiği yerdeki 0,4535 sayısı aradığımız alandır.

PROBLEM:

800 öğrencinin katıldığı bir sınavda ortalama 60 ve standart sapma 10

bulunmuştur. Puanların normal dağıldığını varsayarak,

a)70 puan altında alan öğrenci yüzdesi ve sayısını

b)80 puan üstünde alan öğrenci yüzdesi ve sayısını

c)Q¹ ve Q³ çeyreklerini (yani, verilerin %25 ile %75 ‘ini ayıran notları)

d)Puanların en kötü %20’sini ayıran değeri e)En iyi %10 arasına girenlere hediye

verilecektir. Hediye alabilmek için en az kaç almak gerektiğini

hesaplayın.

a) 70 için Z=(70-60)/10=1 olur.

0,5 0,3413

60 70

0 1

Z

0,5 + 0,3413=0,8413 (70 altında puan yüzdesi)

800.(0,8413)=673,04

673 öğrenci 70 altında puan almıştır.

ÇÖZÜM:

b) 80 için Z=(80-60)/10=2 olur.

0 2

Z

0,4772

0,0228

0,5 - 0,4772=0,0228 (80 üstü puan yüzdesi)

800.(0,0228)=18,24

18 öğrenci 80 üstünde puan almıştır.

0,5

c) Q¹ ve Q² için:

0

Z

Q¹ Q3

0,25 0,25 ^0,2500 0,25

Normal dağılım tablosundan kalın okun

gösterdiği alanı 0,2500 yapan Z değeri için en yakın 0,67 bulunur. Yani Q³=0,67 olur.

Q¹ ise bunun simetriği, yani -0,67 olur.

-0,67=(X-60)/10 ise X=53,3 ilk çeyrek 0,67=(X-60)/10 ise X=66,7 ikinci çeyrek

0

Z d) En kötü %20 için:

0,20 0,30 ^0,3000

0,20

A -A

A değeri normal dağılım tablosundan en yakın A=0,84 bulunur. Simetriden dolayı –A= –0,84 olup buna karşılık gelen X ham puanı,

-0,84=(X-60)/10 ise X=51,6 olur.

Yani, en kötü %20 arasına girmemek için en az 51,6 almak gerekir.

0

Z e) En iyi %10 için:

0,10

B

0,4000

Normal dağılım tablosundan, 0 ile B arasındaki alanı 0,4000 yapacak en yakın Z puanı 1,28’dir. B’ye karşılık gelen ham puan,

1,28=(X-60)/10 ise X=72,8 olur.

Yani, hediye alabilmek için en az 72,8 almak gerekir.

2.5 İlişki Ölçüleri

SORU: Öğrencilerinizden birinin dersinizden aldığı yüksek bir puana karşılık, başka bir dersten

düşük veya yüksek puan almasını bekler misiniz?

Matematik – Fizik ? Matematik – Tarih ? Edebiyat – Tarih ?

KORELASYON: İki değişken arasındaki birlikte değişme miktarıdır. r ile gösterilir ve -1 ile +1 arasında değişir.

Mükemmel pozitif ilişki

r=-1

Mükemmel negatif ilişki

X y

r=+1

X y

r=-0,70

y

X

r=+0,70

X y

r=0

İlişki yok

X y

En çok kullanılan korelasyon katsayıları:

1) Pearson Momentler Çarpımı Korelasyon Katsayısı (r) 2) Sıra Farkları Korelasyon Katsayısı Rho (ρ)

1) PMÇ Korelasyon Katsayısı:

ile hesaplanır.

-1 ^{-0,70 +0,70} +1

0

-0,30 +0,30 Orta düzey ilişki

Zayıf ilişki Kuvvetli ilişki

ÖRNEK

Kuvvetli pozitif ilişki var.

2) Sıra Farkları Korelasyon Katsayısı

Veri sayısının az olduğu durumlarda

(min. 30) veya verilerin Normal dağılmadığı durumlarda, sıralama ölçeğine ^(slaytta

kırmızı sayılar notların sıralarıdır) dönüştürülerek korelasyon hesaplanır.

eşitliği ile hesaplanır.

NOT: Örneğin, Fizikten 20 notunu alan iki kişi Ali ve Ah 5. ve 6. sırada olduğundan, bunlara 5,5 inci sıra tayin edilmiştir.

şeklinde aynı değer bulunur.

Korelasyon ve Neden Sonuç İlişkisi

Korelasyon katsayısı, iki değişken arasında herhangi bir neden-sonuç ilişkisi olduğunu göstermez.

ÖRNEK: Dondurma tüketim miktarı ile

denizde boğulma sayıları arasında yüksek bir korelasyon vardır (neden?). Oysa,

bunların biri diğerinin nedeni veya sonucu değildir.

Bölüm Değerlendirme Soruları

İlk 3 soruyu aşağıdaki tabloya göre yanıtlayın.

Ort. Mod Medyan St.Sapma

1. Test 70 80 75 8

2. Test 40 50 45 6

3. Test 50 50 50 10

4. Test 50 30 35 10

5. Test 60 40 50 15

1.

A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. E) 5.

(C)

2.

En yüksek En düşük

A) 1. test 4. test

B) 1. test 2. test

C) 2. test 5. test

D) 3. test 4. test

E) 5. test 2. test (B)

Ort. Mod Medyan St.Sapma

1. Test 70 80 75 8

2. Test 40 50 45 6

3. Test 50 50 50 10

4. Test 50 30 35 10

5. Test 60 40 50 15

3.

büyüktür?

A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. E) 5.

Ort. Mod Medyan St.Sapma

1. Test 70 80 75 8

2. Test 40 50 45 6

3. Test 50 50 50 10

4. Test 50 30 35 10

5. Test 60 40 50 15

(E)

4.

olduğunu bilen bir kişi, aşağıdakilerden hangisini söyleyebilir?

A) Test puanlarının ranjının büyük olduğunu B) Test için verilen cevaplama süresinin

yeterli olduğunu

C) Test puanlarının normal dağılıma benzer bir dağılım gösterdiğini

D) Öğrencilerin testte başarılı olduklarını E) Öğrencilerin testte ölçülen özellik

bakımından birbirlerine benzer olduğunu

(E)

5.

I. En yüksek frekansa sahip olan değer II. Büyüklük sırasına konmuş ölçümler dizisinin tam oartasındaki değer.

III. Ölçümlerin toplamının ölçüm sayısına bölünmesiyle elde edilen değer

IV. En büyük ölçüm ile en küçük ölçüm arasındaki fark

Bu tanımlara karşılık gelen kavramlar aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

I. II. III. IV.

A) Medyan Mod St. sapma Ranj

B) Medyan Ranj Ar. Ortalama Mod

C) Ranj St.sapma Ar. Ortalama Medyan

D) Mod Medyan Ar. Ortalama Ranj

E) Mod Medyan St.sapma Ar. Ortalama (D)

6.

hangisi hesaplanamaz?

A) Aritmetik ortalama

B) Mod

C) Standart sapma

D) Medyan

E) Ranj

(B)

Altı maddelik bir sınavdan alınan

puanlara ait frekans tablosu aşağıda verilmiştir.

(7. ve 8. soruları aşağıdaki tabloya göre yanıtlayınız.)

Puan Frekans

1 2

2 10

3 5

4 4

5 3

6 2

7.

A) 6 B) 10 C) 21 D) 26 E) 80

(D)

Puan Frekans

1 2

2 10

3 5

4 4

5 3

6 2

8.

A) Tek modlu simetriktir

B) Tek modlu sağa çarpıktır

C) Modu yoktur

D) Çift modlu simetriktir

E) Çift modlu sağa çarpıktır

(B)

9.

Aşağıdaki tabloda, beş öğrencinin ham puanları ve Z puanları verilmiştir.

Öğrenci Ham Puan Z puanı

Kemal 100 1,5

Nuri 90 1

Fatma 70 -0,5

Zeynep 50 -1

Mehmet 30 -2

Öğretmen bir öğrencinin puan dönüşümünde hata yaptığına göre, hatalı puan hangi

öğrenciye aittir?

A) Kemal B) Nuri C) Fatma D) Zeynep E) Mehmet

(C)

10. Bir Tarih öğretmeni, 6A ve 6B şubelerindeki öğrencilere aynı testi uygulamıştır. Şubelerindeki puan dağılımına ait betimsel istatistikleri aşağıdaki tabloda vermiştir.

6A 6B

Öğrenci sayısı 36 34

En düşük puan 8 4

En yüksek puan 40 36

Aritmetik ortalama 25,50 18,74 Standart sapma 5,13 9,11

Bu tabloya göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle söylenebilir?

A) 6A şubesindeki puan aralığı, 6B şubesinin puan aralığından daha geniştir.

B) 6A şubesindeki puanlar, 6B şubesindeki puanlardan daha homojen bir dağılım göstermiştir.

C) 6B şubesi, Tarih testinde 6A şubesinden daha başarılı olmuştur.

D) 6A şubesinde, testteki tüm maddeleri doğru cevaplayan en az bir öğrenci vardır.

E) 6B şubesindeki puan dağılımı sola çarpıktır.

(B)

Teşekkür ederim.

Teşekkür ederim.