BAZI DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ MATRİS DÖNÜŞÜMLERİ VE NONKOMPAKTLIK ÖLÇÜSÜ
DOKTORA TEZİ
Emrah Evren KARA
Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATİK
Tez Danışmanı : Prof. Dr. Metin BAŞARIR
Şubat 2012
ii
TEŞEKKÜR
Bu çalışmanın hazırlanmasında değerli zamanını ayıran, her aşamasını titizlikle değerlendirip, önerileriyle yol gösteren danışman hocam Sayın Prof. Dr. Metin BAŞARIR’a minnet ve şükranlarımı sunarım.
Eğitim hayatımın her aşamasında bana destek olup bugünlere gelebilmem için büyük fedakarlıklar gösteren, maddi ve manevi her türlü desteği veren aileme, özellikle de abim Recep İbrahim KARA’ya en derin duygularla teşekkür ederim.
2011-50-02-002 nolu proje ile çalışmama destek veren SAÜ Bilimsel Araştırma Projeleri Komisyonuna da teşekkürlerimi sunarım.
iii
İÇİNDEKİLER
TEŞEKKÜR... ii
İÇİNDEKİLER... iii
SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ... v
ÖZET... vii
SUMMARY... viii
BÖLÜM 1. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER………. 1
1.1.Temel Kavramlar ve Teoremler………. 1
1.2. Dizi Uzayları ve Matris Dönüşümleri………... 6
1.3. Nonkompaktlık Hausdorff Ölçüsü……… 16
BÖLÜM 2. BAZI EULER ݉. DERECEDEN FARK DİZİ UZAYLARI VE KOMPAKT OPERATÖRLER………... 21
2.1. Giriş………... 21
2.2. ݁௧ሺܤሺሻሻ, ݁௧ሺܤሺሻሻ ve ݁ஶ௧ሺܤሺሻሻ Uzaylarının ߙ-, ߚ- ve ߛ- Dualleri……….………... 25
2.3. ݁௧ሺܤሺሻሻ, ݁௧ሺܤሺሻሻ ve ݁ஶ௧ሺܤሺሻሻ Uzayları Üzerinde Bazı Matris Dönüşümleri………... 29
2.4. ݁௧ሺܤሺሻሻ ve ݁ஶ௧ሺܤሺሻሻ Uzaylarında Kompakt Operatörler………. 34
iv
OPERATÖRLER………... 43
3.1. Giriş………... 43 3.2. κሺݑǡ ݒǡ Ǣ ܤሻ Uzayının ߙ-, ߚ- ve ߛ-Dualleri………... 49 3.3. κሺݑǡ ݒǡ Ǣ ܤሻ Uzayı Üzerindeki Bazı Matris Dönüşümleri………… 55 3.4. κሺݑǡ ݒǢ ܤሻሺͳ ൏ λሻ Uzayında Kompakt Operatörler……….. 60 3.5. Bazı Uygulamalar……….. 68
BÖLÜM 4.
SONUÇLAR VE ÖNERİLER………. 75
KAYNAKLAR……….. 77 ÖZGEÇMİŞ………... 84
v
SİMGELER VE KISALTMALAR
Գ : Doğal sayılar kümesi
Թ : Reel sayılar kümesi
Թା : [0,λሻ aralığı
ԧ : Kompleks sayılar kümesi
ܤ : ܺ uzayının kapalı birim yuvarı
ܵ : ܺ uzayının birim küresi
.ܣ : ܣ operatörünün sıfır uzayı (çekirdeği)
߱ : Kompleks terimli bütün dizilerin uzayı
߮ : Sonlu tane terimi hariç geri kalan tüm terimleri sıfır olan dizilerin uzayı
ܿ : Kompeks terimli sıfıra yakınsak dizilerin uzayı
ܿ : Kompleks terimli yakınsak dizilerin uzayı κஶ : Kompleks terimli sınırlı dizilerin uzayı
κ : -mutlak yakınsak seri teşkil eden dizilerin uzayı
ܾݏ : Sınırlı seri teşkil eden dizilerin uzayı
ܿݏ : Yakınsak seri teşkil eden dizilerin uzayı
ߣ : ܣ sonsuz matrisinin bir ߣ dizi uzayı üzerindeki matris etki alanı ߣఈ : ߣ dizi uzayının ߙ-duali
ߣఉ : ߣ dizi uzayının ߚ-duali ߣఊ : ߣ dizi uzayının ߛ-duali
ԡܮԡఞ : ܮ lineer operatörünün nonkompaktlık Hausdorff ölçüsü
ࣧ : ܺ metrik uzayındaki bütün sınırlı kümelerin ailesi
࣠ : Գ’nin bütün sonlu alt kümelerinin ailesi
ܰ : Nörlund ortalaması
ܴ௧ : Riesz ortalaması
ܥଵ : 1. mertebeden Cesàro ortalaması
vi οሺሻ : ݉Ǥ mertebeden fark matrisi ܤሺݎǡ ݏሻ : Genelleştirilmiş fark matrisi
ܤሺሻ : ݉Ǥ mertebeden genelleştirilmiş fark matrisi ܧ௧ : ݐ. mertebeden Euler ortalaması
NH : Nonkompaktlık Hausdorff Ölçüsü
vii
ÖZET
Anahtar kelimeler: Dizi Uzayları, Paranormlu Uzay, Schauder Bazı, ߙ-, ߚ-, ߛ- Dualleri, Matris Dönüşümleri, Ağırlıklı Ortalama, Euler Ortalaması, Genelleştirilmiş Fark Matrisi, Nonkompaktlık Hausdorff Ölçüsü, Kompakt Operatörler.
“Bazı dizi uzayları arasındaki matris dönüşümleri ve nonkompaktlık ölçüsü” isimli bu tez çalışması dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, dizi uzayları, matris dönüşümleri ve nonkompaktlık Hausdorff ölçüsü ile ilgili bazı temel tanım ve teoremler verildi. İkinci ve üçüncü bölüm, bu çalışmanın orijinal kısmını oluşturmaktadır.
İkinci bölümde, ݁௧ሺܤሺሻሻ, ݁௧ሺܤሺሻሻ ve ݁ஶ௧ሺܤሺሻሻ Euler ݉Ǥ dereceden fark dizi uzayları tanımlanıp, bu uzayların ߙ-, ߚ-, ߛ- dualleri belirlendi. Ayrıca bu uzaylar üzerindeki bazı matris dönüşümlerinin sınıfları karakterize edildi ve nonkompaktlık Hausdorff ölçüsü yardımı ile ݁௧ሺܤሺሻሻ ve ݁ஶ௧ሺܤሺሻሻ uzayları üzerindeki bazı matris dönüşümlerinin kompakt olması için taşıması gereken şartlar belirlendi.
Üçüncü bölümde, κሺݑǡ ݒǡ Ǣ ܤሻ ve κሺݑǡ ݒǢ ܤሻ ağırlıklı ܤ-fark dizi uzayları tanımlandı. κሺݑǡ ݒǡ Ǣ ܤሻ paranormlu dizi uzayının bazı topolojik özellikleri çalışılıp, bu uzay üzerinde tanımlanan bazı matris dönüşümlerinin sınıfları incelendi. Ayrıca nonkompaktlık Hausdorff ölçüsünün uygulanması ile κሺݑǡ ݒǢ ܤሻ dizi uzayı üzerinde, sonsuz matrisler tarafından verilen kompakt operatörlerin bazı sınıfları karakterize edildi.
Son bölümde ise ikinci ve üçüncü bölümde tanımlanan dizi uzaylarının bazı özel halleri verildi ve bundan sonra yapılacak araştırmalara yönelik önerilerde bulunuldu.
viii
ON MATRIX TRANSFORMATIONS BETWEEN SOME SEQUENCE SPACES AND THE HAUSDORFF MEASURE OF NONCOMPACTNESS
SUMMARY
Key Words: Sequence Spaces, Paranormed Spaces, Schauder Basis, ߙ-, ߚ-, ߛ-Duals, Matrix Transformations, Weighted Means, Euler Mean, Generalized Difference Matrix, Hausdorff Measure of Noncompactness, Compact Operators.
This study which is entitled “ On Matrix Transformations between Some Sequence Spaces and the Hausdorff Measure of Noncompactness” contains four chapters. In the first chapter, some basic definitions and theorems related to sequence spaces, matrix mappings and the Hausdorff measure of noncompactness are given. The second and third chapters are original parts of this study.
In the second chapter, the Euler ݉th-order difference sequence spaces ݁௧ሺܤሺሻሻ,
݁௧ሺܤሺሻሻ and ݁ஶ௧ ሺܤሺሻሻ are introduced and the ߙ-, ߚ-, ߛ- duals of these spaces are determined. Also, some classes of matrix mappings on them are characterized.
Moreover, by applying the Hausdorff measure of noncompactness, the characterization of some classes of compact operators on the sequence spaces
݁௧ሺܤሺሻሻ and ݁ஶ௧ሺܤሺሻሻ are given.
In the third chapter, the weighted ܤ-difference sequence spaces κሺݑǡ ݒǡ Ǣ ܤሻ and κሺݑǡ ݒǢ ܤሻ are defined. Also, some topological properties of the paranormed space κሺݑǡ ݒǡ Ǣ ܤሻ are studied and some classes of matrix mappings on this space are examined. Moreover, the Hausdorff measure of noncompactness is applied to characterize some classes of compact operators given by infinite matrices on the space κሺݑǡ ݒǢ ܤሻሺͳ ൏ λሻǤ
In the last chapter, some special cases of sequence spaces defined in the second and third chapters are given. Also, some suggestions are proposed for investigations on the Hausdorff measure of noncompactness.
BÖLÜM 1. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER
1.1. Temel Kavramlar ve Teoremler
Bu bölümde, diğer bölümlerde kullanılacak olan temel tanımlar ve teoremler verilecektir.
Tanım 1.1.1. ܺ ് ve ԋ ൌ Թ veya ԋ ൌ ԧ olmak üzere
ǣ ܺ ൈ ܺ ՜ ܺ Ǥ ԋ ൈ ܺ ՜ ܺ
ሺݔǡ ݕሻ ՜ ݔ ݕ ሺߣǡ ݔሻ ՜ ߣǤ ݔ
ikili işlemleri ߙǡ ߚ א ԋ ve ݔǡ ݕǡ ݖ א ܺ için
1) ݔ ݕ ൌ ݕ ݔ
2) ሺݔ ݕሻ ݖ ൌ ݔ ሺݕ ݖሻ
3) ݔ ݁ ൌ ݁ ݔ ൌ ݔ olacak şekilde bir ݁ א ܺ vardır 4) ݔ ሺെݔሻ ൌ ሺെݔሻ ݔ olacak şekilde bir െݔ א ܺ vardır 5) ͳǤ ݔ ൌ ݔ
6) ߙǤ ሺݔ ݕሻ ൌ ߙǤ ݔ ߙǤ ݕ 7) ሺߙ ߚሻǤ ݔ ൌ ߙǤ ݔ ߚǤ ݔ 8) ߙǤ ሺߚǤ ݔሻ ൌ ሺߙǤ ߚሻǤ ݔ
şartlarını sağlıyorsa ሺܺǡ ǡ Ǥ ሻ üçlüsüne, ԋ üzerinde bir lineer uzay (vektör uzayı) denir [1].
Tanım 1.1.2. ܺ, ԋ cismi üzerinde bir lineer uzay ve ܯ’de ܺ’in bir alt kümesi olsun.
Her ݔǡ ݕ א ܯ ve her ߙǡ ߚ א ԋ için ߙݔ ߚݕ א ܯ ise ܯ’ye ܺ’in bir lineer alt uzayı denir [2].
Tanım 1.1.3. Sınırlı bir ݔ ൌ ሺݔሻ dizisinin üst limiti
՜ஶ ݔ ൌ ՜ஶ൬
ஹ ݔ൰
şeklinde tanımlıdır. Ayrıca ݊ א Գ için ݔ Ͳ ise
՜ஶ ݔ ൌ Ͳ ֞ ՜ஶݔ ൌ Ͳ
dır [3].
Tanım 1.1.4. Boş olmayan bir ܺ kümesi ve bir
݀ǣ ܺ ൈ ܺ ՜ Թା ሺݔǡ ݕሻ ՜ ݀ሺݔǡ ݕ)
dönüşümü verilsin. Eğer bu ݀ dönüşümü ݔǡ ݕǡ ݖ א ܺ için
(M1) ݀ሺݔǡ ݕሻ ൌ Ͳ ֞ ݔ ൌ ݕ (M2) ݀ሺݔǡ ݕሻ ൌ ݀ሺݕǡ ݔሻ
(M3) ݀ሺݔǡ ݕሻ ݀ሺݔǡ ݖሻ ݀ሺݖǡ ݕሻ (üçgen eşitsizliği)
özelliklerini sağlıyorsa ܺ üzerinde uzaklık fonksiyonu ya da metrik adını alır ve bu durumda ሺܺǡ ݀ሻ ikilisine bir metrik uzay denir [2].
Tanım 1.1.5. ሺܺǡ ݀ሻ metrik uzay ve ሺݔሻ’de bu uzayda bir dizi olsun. Eğer her ߝ Ͳ ve ݉ǡ ݊ ݊ olan bütün ݊ǡ ݉ א Գ’ler için ݀ሺݔǡ ݔሻ ൏ ߝ olacak şekilde bir
݊ ൌ ݊ሺߝሻ א Գ bulunabiliyorsa, ሺݔሻ dizisine ሺܺǡ ݀ሻ metrik uzayında bir Cauchy dizisi denir [1].
Tanım 1.1.6. Bir ሺܺǡ ݀ሻ metrik uzayındaki her Cauchy dizisi ܺ içinde bir limite sahipse bu ሺܺǡ ݀ሻ metrik uzayına tam metrik uzay adı verilir [1].
Tanım 1.1.7. ܺ bir lineer uzay olsun. ݃ǣ ܺ ՜ Թ dönüşümü ݔǡ ݕ א ܺ için aşağıdaki şartları sağlıyorsa ݃’ye X üzerinde bir paranorm ሺܺǡ ݃ሻ ikilisine de paranormlu uzay denir.
(P1) ݃ሺݔሻ Ͳ ve ݃ሺߠሻ ൌ Ͳ (P2) ݃ሺെݔሻ ൌ ݃ሺݔሻ
(P3) (alt toplamsallık özelliği): ݃ሺݔ ݕሻ ݃ሺݔሻ ݃ሺݕሻ
(P4) (skalerle çarpımın sürekliliği): ሺݐሻ, ݐ ՜ ݐሺ݊ ՜ λሻ şartını sağlayan skalerlerin bir dizisi ve ሺݔሻ, ܺ içinde ݃ሺݔെ ݔሻ ՜ Ͳሺ݊ ՜ λሻ olan bir dizi ise
݊ ՜ λ iken ݃ሺݔݐെ ݔݐሻ ՜ Ͳ dır [1].
Tanım 1.1.8. Bir ሺܺǡ ݃ሻ paranormlu uzayında alınan her Cauchy dizisi bu uzayın bir noktasına yakınsıyorsa ሺܺǡ ݃ሻ uzayına tam paranormlu uzay denir [1].
Tanım 1.1.9. ܺ, ԋ cismi (ԋ ൌ Թ veyaԋ ൌ ԧ ) üzerinde bir vektör uzayı olsun.
צǤ צǣ ܺ ՜ Թା ݔ ՜צ ݔ צ
dönüşümü ݔǡ ݕ א ܺ ve ߙ א ԋ için
(N1) צ ݔ צൌ Ͳ ֞ ݔ ൌ Ʌ (N2) צ ߙݔ צൌ ȁߙȁ צ ݔ צ
(N3) צ ݔ ݕ צצ ݔ צ צ ݕ צ
özelliklerini sağlıyorsa ܺ üzerinde norm adını alır ve bu durumda ሺܺǡ צǤ צሻ ikilisine bir normlu vektör uzayı denir [1].
Tanım 1.1.10. Bir ሺܺǡ צǤ צሻ normlu uzayındaki her Cauchy dizisi ܺ içinde bir noktaya yakınsıyorsa, bu ሺܺǡ צǤ צሻ normlu uzayına tam normlu uzay veya Banach uzayı denir [1].
Tanım 1.1.11. Bir ሺܺǡ ԡǤ ԡሻ normlu uzayınınܤ kapalı birim yuvarı ve ܵ birim küresi
ܤ ൌ ሼݔ א ܺǣ צ ݔ צ ͳሽ
ve
ܵ ൌ ሼݔ א ܺǣ צ ݔ צൌ ͳሽ
şeklinde tanımlıdır [4].
Tanım 1.1.12. ܺ ve ܻ aynı ԋ cismi üzerinde iki lineer uzay olsun. Eğer ܮǣ ܺ ՜ ܻ dönüşümü ݔǡ ݕ א ܺ ve ߙǡ ߚ א ԋ için
ܮሺߙݔ ߚݕሻ ൌ ߙܮሺݔሻ ߚܮሺݕሻ
şartını sağlıyorsa ܮ’ye ܺ uzayından ܻ uzayına bir lineer dönüşüm denir [2].
Örnek 1.1.13. ܺ ve ܻ, Թ üzerinde iki lineer uzay olsun. Aşağıda verilen dönüşümler birer lineer dönüşümdür.
(i)ݔ א ܺ için Ͳሺݔሻ ൌ ߠ şeklinde tanımlanan Ͳǣ ܺ ՜ ܻ sıfır dönüşümü, (ii) ݔ א ܺ için ܫሺݔሻ ൌ ݔ şeklinde tanımlanan ܫǣ ܺ ՜ ܻ birim dönüşümü,
(iii) ܽ א Թ sabit bir sayı olmak üzere ݔ א ܺ için ݂ሺݔሻ ൌ ܽݔ şeklinde tanımlanan
݂ǣ ܺ ՜ ܻdönüşümü [2].
Tanım 1.1.14. ܣǣ ܺ ՜ ܻ lineer operatörü verilsin.
.ܣ ൌ ሼݔ א ܺǣܣሺݔሻ ൌ Ͳሽ
kümesine ܣ operatörünün sıfır uzayı veya çekirdeği denir [5].
Lemma 1.1.15. ܣ lineer operatörünün bire-bir olması için gerek yeter şart .ܣ ൌ ሼͲሽ olmasıdır [5].
Tanım 1.1.16. ሺܺǡ ԡǤ ԡሻ ve ሺܻǡ ԡǤ ԡሻ iki normlu uzay olsun. ܶǣ ܺ ՜ ܻ lineer dönüşümünün sürekli (sınırlı) olması için gerek ve yeter şart ݔ א ܺ için
ԡܶሺݔሻԡ ܯԡݔԡ
olacak şekilde bir ܯ Ͳ reel sayısının bulunabilmesidir [1].
ܺ’den ܻ’ye tanımlı bütün sınırlı lineer operatörlerin kümesi ܤሺܺǡ ܻሻ ile gösterilir.
Tanım 1.1.17. ܮ א ܤሺܺǡ ܻሻ olsun. Bu durumda ܮ operatörünün normu
ԡܮԡ ൌ
ԡ௫ԡୀଵԡܮሺݔሻԡ
şeklinde tanımlıdır [1].
Tanım 1.1.18. Aynı bir ԋ cismi üzerinde tanımlı olan ܺ ve ܻ lineer uzayları arasında
bire-bir ve örten bir ܶ lineer dönüşümü varsa ܺ ve ܻ uzaylarına izomorfik (ya da lineer izomorfik) uzaylar denir. Bu durumda ܶ dönüşümüne de izomorfizm
adı verilir [2].
Lemma 1.1.19. ͳ ve ିଵ ݍିଵൌ ͳ olsun. O zaman herhangi bir ܤ Ͳ sayısı ve herhangi iki ܽǡ ݔ kompleks sayıları için
ȁܽݔȁ ܤሺȁܽȁܤି ȁݔȁሻ
eşitsizliği sağlanır [6].
1.2. Dizi Uzayları ve Matris Dönüşümleri
Tanım 1.2.1. ԋ ൌ Թ veyaԋ ൌ ԧ olmak üzere
߱ ൌ ሼݔ ൌ ሺݔሻȁݔǣ Գ ՜ ԋǡ ݇ ՜ ݔሺ݇ሻ ൌ ሺݔሻሽ
kümesine bütün dizilerin kümesi denir. ߱ kümesi,
ሺሺݔሻǡ ሺݕሻሻ ՜ ሺݔ ݕሻ ve ൫ߣǡ ሺݔሻ൯ ՜ ሺߣݔሻ
ikili işlemleri ile ԋ üzerinde bir vektör uzayıdır. ߱’nın herhangi bir alt vektör uzayına bir dizi uzayı denir [7].
Örnek 1.2.2.
߮ ൌ ሼݔ ൌ ሺݔሻ א ߱ǣܰ א ԳǢ݇ ܰݔ ൌ Ͳሽ,
ܿ ൌ ቄݔ ൌ ሺݔሻ א ߱ǣ ՜ஶݔ ൌ Ͳቅǡ
ܿ ൌ ቄݔ ൌ ሺݔሻ א ߱ǣ ՜ஶݔൌ݈ǡ݈ א Թቅǡ κஶൌ ൜ݔ ൌ ሺݔሻ א ߱ǣ
אԳȁݔȁ ൏ λൠǡ κൌ ൝ݔ ൌ ሺݔሻ א ߱ǣ ȁݔȁ ൏ λ
ǡͳ ൏ λൡǡ
ܾݏ ൌ ൝ݔ ൌ ሺݔሻ א ߱ǣ
אԳอ ݔ
ୀ
อ ൏ λൡǡ
ܿݏ ൌ ൝ݔ ൌ ሺݔሻ א ߱ǣ ՜ஶ൭ ݔ
ୀ
െ ݈൱ ൌ Ͳǡ݈ א Թൡǡ
ve
ܿݏ ൌ ൝ݔ ൌ ሺݔሻ א ߱ǣ ՜ஶ൭ ݔ
ୀ
൱ ൌ Ͳൡ
uzayları birer dizi uzayıdır [7,8].
Tez çalışması boyunca aksi belirtilmedikçe, κ uzayından söz edildiğinde ͳ ൏ λ olduğu anlaşılacak ve ݍ ile de ’nin eşleniği gösterilecektir. Yani ൌ ͳ
ise ݍ ൌ λ ve ͳ ൏ ൏ λ ise ݍ ൌ Ȁሺ െ ͳሻ’dir. Ayrıca Գ’nin bütün sonlu alt kümelerinin ailesi ࣠ ile gösterilecek ve her bir ݎ א Գ için ࣠ kümesi
࣠ ൌ ሼܰ א ࣠ǣ݊ א ܰ݊ ݎሽ
şeklinde tanımlanacaktır.
Örnek 1.2.3. ൌ ሺሻ pozitif reel sayıların sınırlı bir dizisi, ൌ ܪ ve ܯ ൌ ሼͳǡ ܪሽ olsun. Bu durumda
κሺሻ ൌ ൝ݔ ൌ ሺݔሻ א ߱ǣ ȁݔȁೖ
ஶ
ୀ
൏ λൡǡ
κஶሺሻ ൌ ൜ݔ ൌ ሺݔሻ א ߱ǣ
אԳȁݔȁೖ ൏ λൠǡ
ܿሺሻ ൌ ቄݔ ൌ ሺݔሻ א ߱ǣ ՜ஶȁݔെ ݈ȁೖൌ Ͳǡ݈ א Թቅ
ve
ܿሺሻ ൌ ቄݔ ൌ ሺݔሻ א ߱ǣ ՜ஶȁݔȁೖ ൌ Ͳቅ
uzayları birer dizi uzayıdır. Ayrıca κሺሻ uzayı
݃ଵሺݔሻ ൌ ൭ȁݔȁೖ
ஶ
ୀ
൱
ଵȀெ
paranormu ile, κஶሺሻǡ ܿሺሻ ve ܿሺሻ uzayları da
݃ଶሺݔሻ ൌ
אԳȁݔȁೖȀெ
paranormu ile birer tam paranormlu uzaydır [8].
Tanım 1.2.4. ݅ א Գ için ߣ dizi uzayı üzerinde ሺݔሻ ൌ ݔ şeklinde tanımlanan
ǣ ߣ ՜ ԧ koordinat dönüşümü sürekli ise ߣ dizi uzayına bir ܭ-uzayı denir [8].
Tanım 1.2.5. Tam lineer metrik bir ܭ-uzayına ܨܭ-uzayı denir [8].
Tanım 1.2.6. Bir ܨܭ-uzayı, kendisine ait topoloji ile normlanabiliyorsa bu uzaya ܤܭ-uzayı denir [8].
Örnek 1.2.7. κஶ, ܿ ve ܿ uzayları צ ݔ צஶൌ אԳȁݔȁ normuna göre, κ uzayı da צ ݔ צൌ ሺσஶୀȁݔȁሻଵ ൗ normuna göre birer ܤܭ-uzayıdır [4].
Tanım 1.2.8. ߣ ve ߤ iki dizi uzayı ve ܣ ൌ ሺܽሻ (݊ǡ ݇ ൌ Ͳǡͳǡʹǡ ǥ) reel ya da kompleks sayıların bir sonsuz matrisi olsun. ݊ א Գ için ܣ matrisinin ݊Ǥ satır dizisi
ܣ ile gösterilir. Yani ܣ ൌ ሺܽሻୀஶ ’dır. Ayrıca her bir ݊ א Գ için ܣሺݔሻ ൌ σ ܽ ݔ yakınsak ise ܣሺݔሻ ൌ ሺܣሺݔሻሻ yazılır. Eğer ݔ ൌ ሺݔሻ א ߣ için ܣሺݔሻ ൌ ሺܣሺݔሻሻ א ߤ ise o zaman ܣ’ya ߣ dizi uzayından ߤ dizi uzayına bir matris dönüşümü denir ve bu durum ܣǣ ߣ ՜ ߤ olarak gösterilir. ܣݔ dizisine de ݔ’in ܣ-dönüşümü adı verilir.
ܣǣ ߣ ՜ ߤ şeklindeki bütün ܣ matrislerinin kümesi ሺߣǡ ߤሻ ile gösterilir [4].
Tanım 1.2.9. ܣ ൌ ሺܽሻ reel ya da kompleks sayıların bir sonsuz matrisi olsun.
݇ ݊ olmak üzere ݊ǡ ݇ א Գ için ܽ ൌ Ͳ ise ܣ ൌ ሺܽሻ matrisine üçgensel matris denir. ܣ ൌ ሺܽሻ üçgensel matrisinde ݊ א Գ için ്ܽ Ͳ ise ܣ’ya normal matris denir [8].
Lemma 1.2.10. ܨܭ-uzayları arasında tanımlanan herhangi bir matris dönüşümü süreklidir [2].
Lemma 1.2.11. ([8])
ሺሻܣ ൌ ሺܽሻ א ሺκஶǡ ܿሻ ֞ ൞
՜ஶ ܽ ൌ ߙǢሺ݇ א Գሻ
ȁܽȁ
̵݊ÚòòÇ
ሺሻܣ ൌ ሺܽሻ א ሺκஶǡ ܿሻ ֞ ൞
՜ஶ ܽ ൌ ͲǢሺ݇ א Գሻ
ȁܽȁ
̵݊ÚòòÇ
Lemma 1.2.12. ͳ λ ve ݍ’da ’nin eşleniği olmak üzere ܺ uzayı ܿ ve κ
uzaylarından herhangi biri olsun. Bu durumda ܣ א ሺܺǡ ܿሻ ise
ሺሻ ݇ א Գ ՜ஶܽ ൌ ߙ
ሺሻߙ ൌ ሺߙሻ א κǢሺܺ ൌ ܿܺ ൌ κஶݍ ൌ ͳሻ
ሺሻ
אԳ൭ȁܽെ ߙȁ
൱
ଵȀ
൏ λǢሺܺ ൌ ܿܺ ൌ κஶݍ ൌ ͳሻ
ሺሻݔ ൌ ሺݔሻ א ܺ ՜ஶܣሺݔሻ ൌ ߙݔ
özellikleri sağlanır [9,10].
Tanım 1.2.13. Ͳ, Ͳሺ݊ ͳሻ ve ܲ ൌ ଵ ڮ olsun. ݊ǡ ݇ א Գ için
ൌ ൝
ି
ܲ ሺͲ ݇ ݊ሻ
Ͳ ሺ݇ ݊ሻ
şeklinde tanımlanan ܰ ൌ ሺሻ matrisine Nörlund ortalaması denir [8].
Tanım 1.2.14. ݐ Ͳ olmak üzere ݐ ൌ ሺݐሻ negatif olmayan reel sayıların bir dizisi ve ܶ ൌ σୀݐ (݊ א Գ) olsun. O zaman ݊ǡ ݇ א Գ
ݎ௧ ൌ ቊ
௧ೖ
்ሺͲ ݇ ݊ሻ Ͳሺ݇ ݊ሻ
şeklinde tanımlanan ܴ௧ ൌ ሺݎ௧ ሻ matrisine Riesz ortalaması denir [8].
Tanım 1.2.15. ݊ǡ ݇ א Գ݅݅݊
ܿൌ ቊାଵଵ
Ͳ ሺͲ ݇ ݊ሻሺ݇ ݊ሻ
şeklinde tanımlanan ܥଵ ൌ ሺܿሻ matrisine 1. mertebeden Cesàro ortalaması denir [8].
Tanım 1.2.16. ݐ א Թ olmak üzere ݊ǡ ݇ א Գ için
݁௧ ൌ ቊቀ݊
݇ቁ ሺͳ െ ݐሻିݐ
Ͳ ሺͲ ݇ ݊ሻሺ݇ ݊ሻ
şeklinde tanımlanan ܧ௧ ൌ ሺ݁௧ ሻ matrisine ݐǤ mertebeden Euler ortalaması denir [8].
Tanım 1.2.17. ݑǡ ݒ א ܷ ൌ ሼሺݑሻ א ߱ǣ݊ݑ ് Ͳሽ olmak üzere ݊ǡ ݇ א Գ için
݃ ൌ ൜ݑݒ ሺͲ ݇ ݊ሻ
Ͳ ሺ݇ ݊ሻ
şeklinde tanımlanan ܩ ൌ ሺ݃ሻ matrisine genelleştirilmiş ağırlıklı ortalama denir.
Burada ݑ sadece ݊’ye ݒ da sadece ݇’ya bağlıdır [11].
Tanım 1.2.18. Ͳ ൏ ݎ ൏ ͳ ve ߣ ൌ ሺߣሻ dizisi
Ͳ ൏ ߣ ൏ ߣଵ ൏ ڮ ߣ ՜ λሺ݇ ՜ λሻ
şartlarını sağlayan bir dizi olsun. Bu durumda ܣ ൌ ሺܽ ሻ ve Ȧ ൌ ሺߣ) matrisleri
݊ǡ ݇ א Գ için
ܽ ൌ ቐͳ ݎ
݊ ͳ ሺͲ ݇ ݊ሻ
Ͳ ሺ݊ ݇ሻ
ve
ߣ ൌ ቐ
ߣെ ߣିଵ
ߣ ሺͲ ݇ ݊ሻ
Ͳ ሺ݊ ݇ሻ
şeklinde tanımlıdır [12,13].
Tanım 1.2.19. ܵ ൌ ሺݏሻ toplam matrisi, οሺଵሻൌ ሺߜሻ, ȟ ൌ ሺ݀ሻ fark operatörleri ve herhangi sabit bir ݉ א Գ için οሺሻൌ ሺߜሺሻሻ ݉Ǥ dereceden fark matrisi ݊ǡ ݇ א Գ için sırasıyla
ݏ ൌ ൜ͳͲ ሺͲ ݇ ݊ሻ ሺ݇ ݊ሻǡ
ߜ ൌ ൜ሺെͳሻି
Ͳ ሺ݊ െ ͳ ݇ ݊ሻ
ሺͲ ݇ ൏ ݊ െ ͳሻሺ݇ ݊ሻǡ
݀ ൌ ൜ሺെͳሻି
Ͳ ሺ݊ ݇ ݊ ͳሻ ሺͲ ݇ ൏ ݊݇ ݊ ͳሻ
ve
ߜሺሻൌ ൝ሺെͳሻିቀ ݉
݊ െ ݇ቁ ሺሼͲǡ ݊ െ ݉ሽ ݇ ݊ሻ
Ͳ ሺͲ ݇ ൏ ሼͲǡ ݊ െ ݉ሽሻሺ݇ ݊ሻ
şeklinde tanımlıdır [8].
Tanım 1.2.20. ܤሺݎǡ ݏሻ ൌ ሺܾሻ genelleştirilmiş fark matrisi ve herhangi bir sabit
݉ א Գ içinܤሺሻ ൌ ሺܾሺሻሻ ݉Ǥ mertebeden genelleştirilmiş fark matrisi ݊ǡ ݇ א Գ ve
ݎǡ ݏ א Թ െ ሼͲሽ için
ܾ ൌ ቐݎ ሺ݇ ൌ ݊ሻ
ݏ ሺ݇ ൌ ݊ െ ͳሻ
Ͳ ሺͲ ݇ ൏ ݊ െ ͳሻሺ݇ ݊ሻ
ve
ܾሺሻ ൌ ቊቀ ݉
݊ െ ݇ቁ ݎିାݏି ሺሼͲǡ ݊ െ ݉ሽ ݇ ݊ሻ
Ͳ ሺͲ ݇ ൏ ሼͲǡ ݊ െ ݉ሽሻሺ݇ ݊ሻ
şeklinde tanımlıdır. ݎ ൌ ͳ ve ݏ ൌ െͳ durumunda ܤሺݎǡ ݏሻ ve ܤሺሻ matrislerinin sırasıyla οሺଵሻ ve οሺሻ matrislerine dönüşeceği açıktır [15,16].
Tanım 1.2.21. ߣ bir dizi uzayı olmak üzere bir ܣ sonsuz matrisinin ߣ uzayındaki matris etki alanı (domaini) olan ߣ kümesi
ߣ ൌ ሼݔ ൌ ሺݔሻ א ߱ǣܣሺݔሻ א ߣሽ
olarak tanımlanır [8].
Lemma 1.2.22. ܶ bir üçgensel matris ve ሺܺǡ ԡǤ ԡሻ bir ܤܭ-uzayı olsun. Bu durumda
்ܺ uzayı da ݔ א ܺ için
ԡݔԡ் ൌ ԡܶሺݔሻԡ
şeklinde tanımlanan norm ile bir ܤܭ-uzayıdır [17].
Lemma 1.2.23. ܺ ve ܻ, ߱’nın herhangi iki alt uzayı ve ܶ bir üçgensel matris olsun.
O zaman ܣ א ሺܺǡ ்ܻሻ olması için gerek ve yeter şart ܤ ൌ ܶܣ א ሺܺǡ ܻሻ olmasıdır [4].
Tanım 1.2.24. ߣ ـ ߮ bir ܤܭ-uzayı olsun ve ݊ א Գ için ݔሾሿ ൌ σୀݔ݁ሺሻ ifadesi ݔ ൌ ሺݔሻ א ߣ dizisinin ݊. kesimini göstersin (݁ሺሻ, ݇Ǥ terimi 1 diğer terimleri 0 olan dizi). Bu durumda
՜ஶ ݔሾሿ ൌ ݔ݁ሺሻ
ஶ
ୀ
ൌ ݔ
ise ߣ uzayına ܣܭ özelliğine sahiptir denir [4].
Örnek 1.2.25. ߱, ܿ ve κሺͳ ൏ λሻ uzayları ܣܭ özelliğine sahiplerdir. Fakat ܿ ve κஶ uzayları ܣܭ özelliğine sahip değillerdir [4].
Lemma 1.2.26. ܺ ve ܻ iki ܤܭ-uzayı olsun. Bu durumda
(i) ሺܺǡ ܻሻ ؿ ܤሺܺǡ ܻሻ’dir. Yani, her ܣ א ሺܺǡ ܻሻ için ܣሺݔሻ ൌ ܮሺݔሻሺݔሻ olacak şekilde bir ܮ א ܤሺܺǡ ܻሻ lineer operatörü vardır [4].
(ii) Eğer ܺ, ܣܭ özelliğine sahipse bu durumda ܤሺܺǡ ܻሻ ؿ ሺܺǡ ܻሻ’dir. Yani, her ܮ א ܤሺܺǡ ܻሻ için ܣሺݔሻ ൌ ܮሺݔሻሺݔሻ olacak şekilde bir ܣ א ሺܺǡ ܻሻ vardır [17].
Tanım 1.2.27. ߣ bir normlu dizi uzayı olsun ve ሺܾሻ dizisi verilsin. ݔ א ߣ için
՜ஶ צ ݔ െ ሺߙܾ ߙଵܾଵ ڮ ߙܾሻ צൌ Ͳ
olacak şekilde bir tek ሺߙሻ skalerler dizisi varsa ሺܾሻ’ye ߣ dizi uzayının bir Schauder bazı (kısaca bazı) denir ve durumda ݔ ൌ σ ߙ ܾ yazılır [8].
Literatürde, üçgensel bir ܣ sonsuz matrisinin bilinen ߣ dizi uzayındaki matris etki alanı olan ߣ uzayı kullanılarak bir çok yeni dizi uzayı tanımlanmıştır. Aşağıdaki tabloda bunlardan bazıları gösterilmiştir.
ߣ ܣ ߣ Kaynak
κǡ κஶ ܰ ܺሺሻǡ ܺሺஶሻ [19]
κǡ ሺͳ λሻ ܥଵ ܺǡ ܺஶ [20]
ܺǡ ሺͳ λሻ ο ܥሺοሻǡ ܥஶሺοሻ [21]
ܿǡ ܿǡ κஶ ܴ ሺܰഥǡ ݍሻǡ ሺܰഥǡ ݍሻǡ ሺܰഥǡ ݍሻஶ [22]
ܿǡ ܿǡ κஶ ο ܿሺοሻǡ ܿሺοሻǡ κஶሺοሻ [23]
ܿǡ ܿ ܩሺݑǡ ݒሻ ሺܿሻீሺ௨ǡ௩ሻǡ ܿீሺ௨ǡ௩ሻ [24]
κǡ ܿǡ ܿǡ κஶ ܤሺݎǡ ݏሻ κǡ ܿƸǡ ܿƸǡ κஶ [25]
ܿǡ ܿǡ κ ܩሺݑǡ ݒሻ ܼሺݑǡ ݒǢ ܿሻǡ ܼሺݑǡ ݒǢ ܿሻǡ ܼሺݑǡ ݒǢ κሻ [26]
ܿǡ ܿ ܥଵ ܿǁǡ ܿǁ [27]
ܿǡ ܿ ܧ ݁ǡ ݁ [28]
κǡ ሺͳ λሻ ܧ ݁ǡ ݁ஶ [29,30]
ܿǡ ܿ ܣ ܽǡ ܽ [12]
κǡ ሺͳ λሻ ܣ ܽǡ ܽஶ [31]
݁ǡ ݁ǡ ݁ஶ οሺଵሻ ݁ሺοሻǡ ݁ሺοሻǡ ݁ஶሺοሻ [32]
݁ǡ ݁ǡ ݁ஶ οሺሻ ݁൫οሺሻ൯ǡ ݁൫οሺሻ൯ǡ ݁ஶሺοሺሻሻ [33]
݁௧ǡ ݁௧ǡ ݁ஶ௧ ܤሺሻ ݁௧ሺܤሺሻሻǡ ݁௧ሺܤሺሻሻǡ ݁ஶ௧ሺܤሺሻሻ [34]
ܽǡ ܽ οሺଵሻ ܽሺοሻǡ ܽሺοሻ [35]
ܽǡ ሺͳ ൏ λሻ οሺଵሻ ܽሺοሻ [36]
ሺܿሻீሺ௨ǡ௩ሻǡ ܿீሺ௨ǡ௩ሻǡ ሺκஶሻீሺ௨ǡ௩ሻ οሺଵሻܿሺݑǡ ݒǡ οሻǡ ܿሺݑǡ ݒǡ οሻǡ κஶሺݑǡ ݒǡ οሻ [37,9]
κǡ ሺͳ ൏ λሻ οሺଵሻ ܾݒ [38,39]
κǡ ሺͲ ൏ ൏ ͳሻ οሺଵሻ ܾݒ [40]
ܿǡ ܿǡ κஶ ο ܿሺοሻǡ ܿሺοሻǡ κஶሺοሻ [41,42]
ܿǡ ܿǡ κஶ οሺሻ ܿሺοሺሻሻǡ ܿሺοሺሻሻǡ κஶሺοሺሻሻ [43]
κǡ ሺͳ ൏ λሻ οሺሻ κሺοሺሻሻ [44]
ܿǡ ܿ Ȧ ܿఒǡ ܿఒ [13]
κǡ ሺͳ λሻ Ȧ κఒǡ κஶఒ [45]
κஶሺሻ ܵ ܾݏሺሻ [46,47]
κሺሻ ܵ κሺሻതതതതതത [48]
ܿሺሻǡ ܿሺሻǡ κஶሺሻ ο οܿሺሻǡ οܿሺሻǡ οκஶሺሻ [49]
ܿሺሻǡ ܿሺሻǡ κஶሺሻ ο οܿሺሻǡ οܿሺሻǡ οκஶሺሻ [50]
κሺሻ ܴ௧ ݎ௧ሺሻ [51]
ܿሺሻǡ ܿሺሻǡ κஶሺሻ ܴ௧ ݎ௧ሺሻǡ ݎ௧ሺሻǡ ݎஶ௧ሺሻ [52]
κሺሻ ܧ ݁ሺሻ [53]
ݎሺሻ ο ݎሺǡ οሻ [54]
ݎሺሻ ܤሺሻ ݎሺǡ ܤሺሻሻ [16]
ܿሺሻǡ ܿሺሻǡ κஶሺሻ ܩሺݑǡ ݒሻ ܿሺݑǡ ݒǢ ሻǡ ܿሺݑǡ ݒǢ ሻǡ κஶሺݑǡ ݒǢ ሻ [11]
κሺሻ ܩሺݑǡ ݒሻ κሺݑǡ ݒǢ ሻ [55]
ݎ௧ሺሻǡ ݎ௧ሺሻǡ ݎஶ௧ሺሻǡ ݎ௧ሺሻ ܤሺݎǡ ݏሻ ݎ௧ሺǡ ܤሻǡ ݎ௧ሺǡ ܤሻǡ ݎஶ௧ሺǡ ܤሻǡ ݎ௧ሺǡ ܤሻ [56]
Bir ܣ matrisinin ߣ dizi uzayına kısıtlanmasıyla elde edilen ߣ yeni dizi uzayı, genelde orijinal ߣ uzayının genişlemesi ya da daralması olmasına rağmen bazı durumlarda bu uzaylar birbirlerini kapsamazlar. Örneğin, ߣ א ሼκஶǡ ܿǡ ܿሽ ise ߣௌ ؿ ߣ ve ߣ א ሼܿǡ ܿሽ ise ߣ ؿ ߣο kapsamaları kesin bir şekilde sağlanır. Buna rağmen ݖ ൌ ሺሺെͳሻሻ olmak üzere ߣ ൌ ܿ ݖ yani ݔ א ߣ ֞ Çݏ א ܿÇߙ א
ԧ̵ݔ ൌ ݏ ߙݖ olarak alınsın ve ܣ matrisi de satırları ݊ א Գ için ܣ ൌ ሺെͳሻ݁ሺሻ şeklinde tanımlanan bir matris olsun. O zaman ܣ݁ ൌ ݖ א ߣ ama ܣݖ ൌ ݁ ב ߣ olup bu ݖ א ߣ̳ߣ ve ݁ א ߣ̳ߣ olduğunu gösterir (݁ ൌ ሺͳǡͳǡͳǡ ǥ ሻ) [29].
Tanım 1.2.28. ߣ dizi uzayının ߙ-, ߚߛ െdualleri olan ߣఈǡ ߣఉߣఊ kümeleri,
ߣఈ ൌ ሼݖ ൌ ሺݖሻ א ߱ǣݔ א ߣݔݖ ൌ ሺݔݖሻ א κଵሽǡ ߣఉ ൌ ሼݖ ൌ ሺݖሻ א ߱ǣݔ א ߣݔݖ ൌ ሺݔݖሻ א ܿݏሽ
ve
ߣఊൌ ሼݖ ൌ ሺݖሻ א ߱ǣݔ א ߣݔݖ ൌ ሺݔݖሻ א ܾݏሽ
şeklinde tanımlıdır [8].
Tanım 1.2.29. ܺ ـ ߮ bir ܤܭ-uzayı ve ܽ ൌ ሺܽሻ א ߱ olsun. Bu durumda, ݔ א ܺ için σஶୀܽݔ yakınsak olmak üzere ԡܽԡכ değeri
ԡܽԡכ ൌ ൝อ ܽݔ
ஶ
ୀ
อǣԡݔԡ ൌ ͳൡ
şeklinde tanımlıdır. ܽ א ܺఉ olması durumunda ݔ א ܺ için σஶ ܽݔ
ୀ değerlerinin mevcut ve sonlu olduğu açıktır [4].
Lemma 1.2.30. ܺ uzayı ܿ, ܿ ya da κஶ uzaylarından herhangi biri olsun. Bu durumda ܺఉ ൌ κଵ ve ܽ א κଵ için ԡܽԡכ ൌ ԡܽԡκభ dir [57].
Lemma 1.2.31. ͳ ൏ λ olmak üzere κఉ ൌ κ ve ܽ א κ için ԡܽԡκכ ൌ ԡܽԡκ dir [10].
Lemma 1.2.32. ܶ bir üçgensel matris ve ܴ de ܶିଵ matrisinin transpozesi olsun. Bu durumda ܺ ൌ ܿ ya da ܺ ൌ κஶ ise ܽ א ሺ்ܺሻఉ için ԡܽԡכ ൌ ԡܴܽԡκభ’dir [58].
Lemma 1.2.33. ܺ ـ ߮ bir ܤܭ-uzayı ve ܻ’de ܿ, ܿ ya da κஶ uzaylarından herhangi biri olsun. O zaman ܣ א ሺܺǡ ܻሻ ise
ԡܮԡ ൌ ԡܣԡሺǡஶሻ ൌ
ԡܣԡכ ൏ λ
dır [59].
Lemma 1.2.34. ݔ ൌ ሺݔሻ א κଵ olsun. Bu durumda her bir ݎ א Գ için
ேא࣠ೝอ ݔ
אே
อ ȁݔȁ
ஶ
ୀାଵ
ͶǤ
ேא࣠ೝอ ݔ
אே
อ
eşitsizliği sağlanır [3].
Lemma 1.2.35. ܺ ـ ߮ bir ܤܭ-uzayı ve
ԡܣԡሺǡκభሻ ൌ
ேא࣠ะ ܣ
אே
ะ
כ
൏ λ
olsun. Bu durumda ܣ א ሺܺǡ κଵሻ ise
ԡܣԡሺǡκభሻ ԡܮԡ ͶǤ ԡܣԡሺǡκభሻ
dır [3].
1.3. Nonkompaktlık Hausdorff Ölçüsü
Bu bölümde nonkompaktlık Hausdorff (NH) ölçüsü tanımlanıp bu konuyla ilgili temel kavramlar ve teoremler verilecektir.
Tanım 1.3.1. Bir ሺܺǡ ݀ሻ metrik uzayında ܵveܯ iki alt uzay olsun ve ߝ Ͳ sayısı verilsin. Eğer her bir ݔ א ܯ için ݀ሺݔǡ ݏሻ ൏ ߝ olacak şekilde bir ݏ א ܵ varsa ܵ’ye ܯ
kümesinin ܺ içinde ߝ-neti denir. Ayrıca ܵ kümesi sonlu ise ܵ’ye ܯ kümesinin sonlu bir ߝ-neti denir [1].
Tanım 1.3.2. ሺܺǡ ݀ሻ metrik uzayının bir ܯ alt kümesinin, ߝ Ͳ için sonlu bir ߝ-neti varsa bu ܯ kümesine total sınırlıdır denir [1].
Tanım 1.3.3. ሺܺǡ ݀ሻ bir metrik uzay ve ܯ ؿ ܺ olsun. Eğer ܯ’nin kapanışı olan ܯഥ kümesi kompakt ise ܯ’ye ܺ uzayında ön kompakt küme denir [14].
Tanım 1.3.4. ܺ, ܻ Banach uzayları ve ܮǣ ܺ ՜ ܻ lineer operatörü verilsin. Eğer ܺ uzayındaki sınırlı her ܳ kümesi için ܮሺܳሻ kümesi ܻ uzayında ön kompakt bir küme ise ܮ operatörüne kompakt lineer operatör denir. ܺ’den ܻ’ye bütün kompakt lineer operatörlerin kümesi ܭሺܺǡ ܻሻ ile gösterilir [14].
ሺܺǡ ݀ሻ metrik uzayındaki tüm sınırlı ܳ kümelerinin cümlesi ࣧ ile gösterilecektir.
Tanım 1.3.5. ሺܺǡ ݀ሻ bir metrik uzay olmak üzere bir ܳ א ࣧ kümesinin NH ölçüsü
߯ሺܳሻ ൌ ሼߝ Ͳǣ ̵ܳܺߝǦÇሽ
şeklinde tanımlanır ve ߯ǣ ࣧ ՜ ሾͲǡ λሻ fonksiyonuna NH ölçüsü denir [4].
Kompakt operatörler ilk kez integral operatörler şeklinde Volterra tarafından ortaya konulmuştur. Banach uzaylarında kompakt operatörlerin genel tanımı ilk kez ünlü Alman matematikçi Hilbert tarafından verilmiştir. Kompakt operatörler özellikle de lineer kompakt operatörler fonksiyonel analizin, operatör teorisi ve yaklaşım teorisi gibi birçok dalında önemli bir yer teşkil etmiştir. Çoğu kez iki dizi uzayı arasındaki en genel lineer dönüşüm bir matris dönüşümü ile verilebildiğinden, bir matris dönüşümünün hangi şartlar altında kompakt olacağı sorusunun sorulması da kaçınılmazdır. NH ölçüsü bu soruyu cevaplayacak en önemli kavramlardan biridir.
NH ölçüsü ile ilgili çalışmalara Gohberg [60] ile başlandı. 1968’de Goldenstein ve Markus, 1972’de Istrătesku ve sonrasında bir çok matematikçi tarafından çalışıldı.
NH ölçüsünün operatör teorisi, sabit nokta teorisi, diferansiyel denklemler gibi bir çok alanda önemli özellikleri vardır. Bir lineer operatörün kompakt operatör olması için taşıması gereken şartları belirlemenin en etkili yollarından biri de NH ölçüsüdür.
Bu yöntemle bir çok dizi uzayı üzerinde kompakt matris dönüşümleri sınıflandırılmıştır. Örneğin, Malafosse ve ark. [57] ܿ ve ܿ uzayları üzerinde lineer operatörler ile matris dönüşümlerinin kompaktlık durumunu incelemişler ve ܭሺܿǡ ܿǡ ሻ, ܭሺܿǡ ܿሻ, ܭሺܿǡ ܿሻ, ܭሺܿǡ ܿሻ kümelerini karakterize etmişlerdir. Malafosse ve Rakočević [61] ݏఈ, ݏఈǡ ݏఈ, κఈ uzayları üzerinde, Mursaleen ve Noman [59], ܿఒǡ κஶఒ dizi uzayları üzerinde, Mursaleen ve ark. [9] ܿሺݑǡ ݒǡ οሻκஶሺݑǡ ݒǡ οሻ uzayları üzerinde, Başar ve Malkosky [62] ݓ, ݓஶ ve ݓ dizi uzayları üzerinde, Djolović [63] ܽሺοሻǡ ܽሺοሻ ve ܽஶሺοሻ uzayları üzerinde, Malkowsky ve ark. [64]
ܾݒሺͳ ൏ ൏ λሻ uzayı üzerinde, Başarır ve Kara [65] ܿሺݑǡ ݒǡ οሻ ve κஶሺݑǡ ݒǡ οሻ uzayları üzerinde NH ölçüsünü kullanarak matris dönüşümlerinin kompaktlık durumunu incelemişlerdir. Ayrıca [4] ve [66-76] nolu çalışmalar, dizi uzayları üzerinde NH ölçüsünün uygulanması ile ilgili diğer önemli çalışmalardır.
[3,4,18,77,78] nolu çalışmalarda yazarlar, ܨܭ-uzaylarında keyfi üçgensel matrislerin, matris etki alanları üzerinde bazı matris dönüşümlerinin sınıflarını inceleyip, NH ölçüsünün uygulanması ile bu uzaylar üzerinde kompakt lineer dönüşümlerle ilgili daha genel sonuçlar elde etmişlerdir. Djolović ve Malkowsky [58], ܶ bir üçgensel matris olmak üzere ܭሺሺκஶሻ்ǡ ܿሻ ve ܭሺሺܿሻ்ǡ ܿሻ sınıflarını karakterize etmişlerdir.
[34] nolu çalışmada Kara ve Başarır ݁௧ሺܤሺሻሻ, ݁௧ሺܤሺሻሻ ve ݁ஶ௧ሺܤሺሻሻ dizi uzaylarını tanımlayıp bu uzaylar üzerinde matris dönüşümlerinin kompaktlık durumunu incelemiş ve NH ölçüsünü kullanarak, Djolović ve Malkowsky’nin çalışmalarını bir adım daha öne götürüp, herhangi bir ܶ üçgensel matrisi için ሺκஶሻ்ǡ ܿሻ ؿ ܭሺሺκஶሻ்ǡ ܿሻ ve ሺሺκஶሻ்ǡ ܿሻ ؿ ܭሺሺκஶሻ்ǡ ܿሻ olduğunu göstermişlerdir.
Son zamanlarda Mursaleen [79], NH ölçüsünü Sargent tarafından tanımlanan ݊ሺ߶ሻ dizi uzayı üzerinde uygulayıp bu uzay üzerindeki bazı matris dönüşümlerinin kompaktlık durumunu incelemiştir. Ayrıca bu çalışmada yazar, NH ölçüsü yardımı ile ݊ሺ߶ሻ Banach uzayındaki diferansiyel denklemlerin sonsuz sistemlerinin çözümlerini araştırmıştır.
NH ölçüsünün uygulanmasıyla, bir matris dönüşümünün kompakt olması için taşıması gereken şartları belirlerken genel itibariyle şu adımlar takip edilir.
1. Adım : ܺ bir keyfi ܤܭ uzayı ve ܻ’de bilinen bir dizi uzayı iken ܣ א ሺܺǡ ܻሻ olması için gerek ve yeter şartlar bulunur.
2. Adım : Verilen bir ܺ, ܤܭ uzayının ߚ-duali bulunur.
3. Adım : ܺ ve ܻ bilinen ܤܭ uzayları iken ܣ א ሺܺǡ ܻሻ olması için gerek ve yeter şartlar bulunur. Bu, 1. ve 2. Adım’daki sonuçların kullanılması ve 2. Adım’da bulunan ܺ’in ߚ-dualindeki doğal norm ile operatörün normunun yer değiştirilmesi ile yapılır.
4. Adım : 3. Adım’daki sonuçlar ve NH ölçüsünün uygulanması ile ܣ א ܭሺܺǡ ܻሻ olması için gerek ve yeter şartlar bulunur.
Lemma 1.3.6. Bir ሺܺǡ ݀ሻ metrik uzayının sınırlı ܳǡ ܳଵܳଶ alt kümeleri için ߯ fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir [80].
(i) ߯ሺܳሻ ൌ Ͳ ֞ ܳ total sınırlı bir kümedir (ii) ܳ’nın ܳ kapanışı için ߯ሺܳሻ ൌ ߯൫ܳ൯ dir (iii) ܳଵ ؿ ܳଶ߯ሺܳଵሻ ߯ሺܳଶሻ
(iv) ߯ሺܳଵ ܳଶሻ ൌ ሼ߯ሺܳଵሻǡ ߯ሺܳଶሻሽ (v) ߯ሺܳଵת ܳଶሻ ൌ ሼ߯ሺܳଵሻǡ ߯ሺܳଶሻሽ
Lemma 1.3.7. ܳǡ ܳଵܳଶ kümeleri bir ܺ normlu uzayının sınırlı alt kümeleri olsun.
Bu durumda
(i) ߯ሺܳଵ ܳଶሻ ߯ሺܳଵሻ ߯ሺܳଶሻ
(ii) Her bir ݔ א ܺ için ߯ሺܳ ݔሻ ൌ ߯ሺܳሻ (iii) Her bir ߣ א ԋ için ߯ሺߣܳሻ ൌ ȁߣȁ߯ሺܳሻ
özellikleri sağlanır [80].
Lemma 1.3.8. ܺ ൌ κሺͳ ൏ λሻ ya da ܺ ൌ ܿ ve ܳ א ࣧ olsun. Ayrıca
ܲǣܺ ՜ ܺ operatörü ݔ ൌ ሺݔሻ א ܺ için ܲሺݔሻ ൌ ሺݔǡ ݔଵǡ ǥ ǡ ݔǡ ͲǡͲǡ ǥ ሻ olarak tanımlansın. Bu durumda ߯ሺܳሻ ൌ ՜ஶ൫௫אொԡሺܫ െ ܲሻሺݔሻԡ൯ dir [4].
Tanım 1.3.9. ܺ, ܻ Banach uzayları ve ܮ א ܤሺܺǡ ܻሻ olsun. Bu durumda
(i) ԡܮԡఞ ൌ ߯൫ܮሺܤതሻ൯ ൌ ߯൫ܮሺܵሻ൯ (ii) ܮ א ܭሺܺǡ ܻሻ ֞ ԡܮԡఞ ൌ Ͳ
dır [4].
Lemma 1.3.10. ܺ, bir ሼ݁ଵǡ ݁ଶǡ ݁ଷǡ ǥ ሽ Schauder bazına sahip Banach uzayı, ܳ, ܺ’in sınırlı bir alt kümesi ve ܲǣ ܺ ՜ ܺ dönüşümü ሼ݁ଵǡ ݁ଶǡ ݁ଷǡ ǥ ሽ’nin lineer gereni üzerinde bir projektör olsun. Bu durumda ܽ ൌ ՜ஶԡܫ െ ܲԡ olmak üzere
ͳ
ܽ Ǥ ՜ஶ ቆ
௫אொԡሺܫ െ ܲሻሺݔሻԡቇ ߯ሺܳሻ
՜ஶ ቆ
௫אொԡሺܫ െ ܲሻሺݔሻԡቇ
dır [4].
Teorem 1.3.11. ܺ bir normlu uzay ve ܶ bir üçgensel matris olsun. ࣧ ve ࣧ kümeleri sırasıyla ܺ ve ்ܺ uzaylarındaki bütün sınırlı kümelerin aileleri, ߯ ve ்߯ değerleri de sırasıyla ࣧ ve ࣧ üzerindeki NH ölçüleri olsun. O zaman her
ܳ א ࣧ için ்߯ሺܳሻ ൌ ߯ሺܶሺܳሻሻ’dır [81].
BÖLÜM 2. BAZI EULER . DERECEDEN FARK DİZİ UZAYLARI VE KOMPAKT OPERATÖRLER
Bu bölümde ܤሺሻ ve ܧ௧ matrisleri kullanılarak ݁௧൫ܤሺሻ൯, ݁௧൫ܤሺሻ൯ ve ݁ஶ௧൫ܤሺሻ൯ Euler ݉Ǥ dereceden fark dizi uzayları tanımlanacak ve bu uzayların sırasıyla ܿ, ܿ ve κஶ uzaylarına lineer izomorfik oldukları gösterilecektir. Ayrıca bu uzayların ߙ-, ߚ- ve ߛ- dualleri belirlenecek ve ݁௧൫ܤሺሻ൯, ݁௧൫ܤሺሻ൯ uzayları üzerinde bazı matris dönüşümlerinin sınıfları karakterize edilecektir. Son olarak NH ölçüsü kullanılarak
݁௧൫ܤሺሻ൯ ve ݁ஶ௧൫ܤሺሻ൯ dizi uzayları üzerinde tanımlanan bazı matris dönüşümlerinin kompakt olması için taşıması gereken şartlar belirlenecektir.
Tez çalışması boyunca, ݎǡ ݏ א Թ െ ሼͲሽ ve Ͳ ൏ ݐ ൏ ͳ olduğu kabul edilecektir. Ayrıca kısalık olması bakımından, herhangi bir ݆ǡ ݇ǡ ݉ א Գ için
ሺ݆ǡ ݇ሻ ൌ ൬݉ ݆ െ ݅ െ ͳ݆ െ ݅ ൰ ቀ݅݇ቁሺെͳሻି ݏି
ݎାିሺݐ െ ͳሻିݐି
ୀ
gösterimi kullanılacaktır.
2.1. Giriş
Tanım 2.1.1. ݁௧, ݁௧ ve ݁ஶ௧ Euler dizi uzayları
݁௧ ൌ ൝ݔ ൌ ሺݔሻ א ߱ǣ ՜ஶ ቀ݊
݇ቁ ሺͳ െ ݐሻିݐݔ ൌ Ͳ
ୀ
ൡǡ
݁௧ ൌ ൝ݔ ൌ ሺݔሻ א ߱ǣ ՜ஶ ቀ݊
݇ቁ ሺͳ െ ݐሻିݐݔ
ୀ
ൡ
ve
݁ஶ௧ ൌ ൝ݔ ൌ ሺݔሻ א ߱ǣ
אԳอ ቀ݊
݇ቁ ሺͳ െ ݎሻିݎݔ
ୀ
อ ൏ λൡ
olarak tanımlanır [28-30].
Tanım 2.1.2. ݁௧ሺܤሺሻሻ, ݁௧ሺܤሺሻሻ ve ݁ஶ௧ሺܤሺሻሻ Euler ݉Ǥ dereceden genelleştirilmiş fark dizi uzayları
݁௧൫ܤሺሻ൯ ൌ ൛ݔ ൌ ሺݔሻ א ߱ǣܤሺሻሺݔሻ א ݁௧ൟǡ
݁௧൫ܤሺሻ൯ ൌ ൛ݔ ൌ ሺݔሻ א ߱ǣܤሺሻሺݔሻ א ݁௧ൟ
ve
݁ஶ௧൫ܤሺሻ൯ ൌ ൛ݔ ൌ ሺݔሻ א ߱ǣܤሺሻሺݔሻ א ݁ஶ௧ൟ
şeklinde tanımlıdır. Tanım 1.2.21’deki matris etki alanı tanımı kullanılarak ݁௧ሺܤሺሻሻ,
݁௧ሺܤሺሻሻ ve ݁ஶ௧ሺܤሺሻሻ uzayları
݁௧൫ܤሺሻ൯ ൌ ሼ݁௧ሽሺሻǡ ݁௧൫ܤሺሻ൯ ൌ ሼ݁௧ሽሺሻ݁ஶ௧൫ܤሺሻ൯ ൌ ሼ݁ஶ௧ሽሺሻ
yada ܶሺሻ ൌ ܧ௧Ǥ ܤሺሻ olmak üzere
݁௧൫ܤሺሻ൯ ൌ ሼܿሽ்ሺሻǡ ݁௧൫ܤሺሻ൯ ൌ ሼܿሽ்ሺሻ݁ஶ௧൫ܤሺሻ൯ ൌ ሼκஶሽ்ሺሻ
şeklinde tekrar tanımlanabilir.
Tanım 2.1.3. Bir ݔ ൌ ሺݔሻ dizisinin ܶሺሻൌ ܧ௧Ǥ ܤሺሻ-dönüşüm dizisi olan ݕ ൌ ሺݕሺݎǡ ݏǡ ݐሻሻ dizisi, ݇ א Գ için
ݕሺݎǡ ݏǡ ݐሻ ൌ ܶሺሻሺݔሻ ൌ ቀ ݉
݅ െ ݆ቁ ቀ݇
݅ ቁሺͳ െ ݐሻିݐݎାିݏି
ୀ
ୀ
ݔሺʹǤͳǤͳሻ
şeklinde tanımlıdır.
Teorem 2.1.4. ߣ א ሼܿǡ ܿǡ κஶሽ olsun. Bu durumda ߣ்ሺሻ uzayı koordinatsal toplama ve skalerle çarpma işlemlerine göre bir lineer uzaydır ve
ԡݔԡఒሺሻ ൌ ฮܶሺሻሺݔሻฮκ
ಮ ൌ ԡݕԡκಮሺʹǤͳǤʹሻ
normu ile de bir ܤܭ-uzayıdır.
İspat: Teoremin ilk kısmının ispatı yani ߣ்ሺሻ uzayının bir lineer uzay olduğunun gösterilmesi kolaydır. Diğer taraftan ܶሺሻ ൌ ܧ௧Ǥ ܤሺሻ matrisi bir normal matris ve ߣ uzayı da ԡǤ ԡκಮ normuna göre bir ܤܭ-uzayı olduğundan Lemma 1.2.22’den dolayı ߣ்ሺሻ uzayı ሺʹǤͳǤʹሻ normlu ile bir ܤܭ-uzayıdır.
Teorem 2.1.5. ݁௧ሺܤሺሻሻ, ݁௧ሺܤሺሻሻ ve ݁ஶ௧ሺܤሺሻሻ uzayları, sırasıyla ܿǡ ܿ ve κஶ uzaylarına lineer izomorfiktir. Yani ݁௧൫ܤሺሻ൯ ؆ ܿ, ݁௧൫ܤሺሻ൯ ؆ ܿ ve
݁ஶ௧൫ܤሺሻ൯ ؆ κஶ’dır.
İspat: Benzer yöntem ile ݁௧ሺܤሺሻሻ ve ݁ஶ௧ሺܤሺሻሻ uzayları içinde ispat yapılabileceğinden, teorem sadece ݁௧ሺܤሺሻሻ uzayı için ispatlanacaktır.
Bunun için ݁௧ሺܤሺሻሻ ve ܿ uzayları arasında bire bir, örten ve normu koruyan bir lineer ܮ dönüşümün varlığının gösterilmesi gerekir. Bu ܮ dönüşümü ሺʹǤͳǤͳሻ ile verilen ifade olarak alınsın. Yani
ܮǣ ݁௧൫ܤሺሻ൯ ՜ ܿǡݔ ՜ ܮሺݔሻ ൌ ܶሺሻሺݔሻ ൌ ݕ
