Olasılık Ölçüsü. Olasılık Uzayı

Olasılık Ölçüsü. Olasılık Uzayı

Önceki derste, gerçek dünya ile ilgili,

Rasgele Sonuçlu Deney: Sonuçlarının kümesi belli olan, ancak hangi sonucun ortaya çıkacağı önceden söylenemeyen bir işleme Rasgele Sonuçlu Deney veya kısaca Deney denir,

Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir, Olay: Örnek uzayın bir altkümesine Olay denir,

kavramlarını ve aklımızın dünyasında,



-cebir:    ve U, ’da bir sınıf olmak üzere

i)  U

ii) AU  A U

iii) ( A ), _n U‘daki kümelerin bir dizisi 

1 n n A   U özellikleri sağlandığında U’ya ’da



-cebir denir,

kavramını tanımladık. Deney-Örnek Uzay  olay A  ve veya değil tümleme ilgilendiğimiz olaylar



-cebir

bir olayın olasılığı ? Şimdi Olasılık Ölçüsü tanımını verelim.

Tanım: U, ’da bir



-cebir olsun. Bir

: P U  A ( )A fonksiyonu, i)  A Uiçin ( )P A 0 ii) P  ( ) 1

iii) A A₁, ₂,...,A_n,...lerU'da ayrık olaylar

1 1 ( n) ( n) n n P A P A     



özelliklerine sahip olduğunda, P fonksiyonuna olasılık ölçüsü denir. P A( )değerine A olayının olasılık ölçüsü ya da kısaca A’nın olasılığı denir.

Teorem: ( U P) bir olasılık uzayı olsun: a)   ( ) 0 b) A A … A₁    _{2 n} U da ayrık kümeler (A₁  A₂ ... A_n) ( ) ...A₁   (A_n) c) P A( ) 1 P A( ) d) A B P A( )P B( ) e) 0P A( ) 1 f) P A( B)P A( )P B( )P A( B) 1 1 2 1 2 1 1 1 ( ... ) ( ) ( ) ( ) ... ( 1) ( ... ) n n n i i j i j k n i i j n i j k n A A A A A A A A A  A A A             



 



  



          g) (A₁  A₂ ... A_n) ( )A₁  (A₂) ...  (A_n) 1 1 ( ) ( ) n n i i i i P A P A    _    



 (A₁  A₂ ... A_n...) ( )A₁  (A₂) ...  (A_n) ... 1 1 ( _i) ( )_i i i P A P A      _    



 h) A₁A₂ A_n 1 lim ( _n) ( _n) n n P A P A   _   A₁A₂  A_n 1 lim ( n) ( n) n n P A P A   _   dır. İspat:

a) A    _n n  1 2… olsun. Bu durumda, A ‘ler ayrık ve _n

1 n n A    

dır. Ölasılık ölçüsü tanımındaki (iii) şıkkından, 1 1 ( _n) ( _n) n n A A      



  ( )= 1 ( ) n    



  ( ) 0 dır.

d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0) A B B A A B P B P A P A B P A P B P A B               e)  A U için      A 0 P A( ) 1 dır. f) A  B A (AB)P A( B)P A( )P A( B) ve B(AB)(AB)P B( )P A( B)P A( B) olmak üzere, P A( B)P A( )P B( )P A( B) elde edilir. 1 1 2 1 2 1 1 1 ( ... ) ( ) ( ) ( ) ... ( 1) ( ... ) n n n i i j i j k n i i j n i j k n A A A A A A A A A  A A A             



 



  



          eşitliğini ödev olarak ispatlayınız.

1 1 2 1 2 3 1 2 1 1 ( _n) ( ) ( ) ( ) ... ( ... _{n n}) ... n A A P A A P A A A P A A A A (seri) lim ( )₁ ( _{1 2}) ( _{1 2 3}) ... ( _{1 2} ... _{n 1 n}) n A P A A P A A A P A A A A

(kısmi toplamlar dizisinin limiti) lim ₁ ( _{1 2}) ( _{1 2 3}) ... ( _{1 2} ... _{n 1 n}) n A A A A A A A A A A lim ( _{1 2} ... _n) n A A A lim ( n) n A dır.

Şimdi A₁A₂ A_n olsun. Bu durumda, A₁ A₂   A_n  olmak üzere, 1 lim ( _n) ( _n) n n P A P A 1 lim 1 ( _n) 1 ( _n) n n P A P A 1 lim ( _n) ( _n) n n P A P A dır.