Serkan GÜMÜŞ DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 2008 ANKARA

Serkan GÜMÜŞ

DOKTORA TEZİ MATEMATİK

GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ŞUBAT 2008 ANKARA

olarak uygun olduğunu onaylarım.

Prof. Dr. Cemil YILDIZ ………

Tez Danışmanı, Matematik Anabilim Dalı

Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında Doktora tezi olarak kabul edilmiştir.

Prof. Dr. Sebahattin BALCI ……….

Matematik Anabilim Dalı, Ankara Ünv.

Prof. Dr. Cemil YILDIZ ……….

Matematik Anabilim Dalı, Gazi Ünv.

Prof. Dr. Ahmet Ali ÖÇAL ……….

Matematik Anabilim Dalı, Gazi Ünv.

Prof. Dr. Haydar EŞ ……….

Matematik Anabilim Dalı, Hacettepe Ünv.

Doç. Dr. Duran TÜRKOĞLU ……….……….

Matematik Anabilim Dalı, Gazi Ünv.

Tarih: 13 / 02 / 2008

Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Doktora derecesini onamıştır.

Prof. Dr. Nermin ERTAN ……….

Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada orijinal olmayan her türlü kaynağa eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.

Serkan GÜMÜŞ

FUZZY TOPOLOJİK UZAYLARINDA HOMOTOPİ İLE OLUŞTURULAN FUZZY DEMETLER

(Doktora Tezi)

Serkan GÜMÜŞ

GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Şubat 2008

ÖZET

Bu tezde, noktalı fuzzy topolojik uzaylar üzerinde fuzzy topolojik gruplar tarafından belirlenen fuzzy gruplardan fuzzy demetleri oluşturulmuştur. Ayrıca fuzzy demetler ile ilgili karakterizasyonlar verilmiştir.

Bilim Kodu : 204.1.132

Anahtar Kelimeler : Fuzzy demet, Fuzzy homotopi, Fuzzy topolojik grup.

Sayfa Adedi : 61

Tez Yöneticisi : Prof.Dr.Cemil YILDIZ

FUZZY SHEAVES THAT ARE FORMED BY HOMOTOPY OVER FUZZY TOPOLOGICAL SPACES

(Ph.D. Thesis)

Serkan GÜMÜŞ

GAZİ UNIVERSITY

INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY February 2008

ABSTRACT

In this thesis, fuzzy sheaves are formed from fuzzy groups that are determined by fuzzy topological groups over pointed fuzzy topological spaces. Moreover, some characterizations related to fuzzy sheaves are given.

Science Code : 204.1.132

Key Words : Fuzzy sheaf, Fuzzy homotopy, Fuzzy topological group.

Page Number : 61

Adviser : Prof.Dr.Cemil YILDIZ

TEŞEKKÜR

Çalışmalarım boyunca değerli yardım ve katkılarıyla beni yönlendiren, yanlışa düştüğümde bana doğru yolu gösteren Sayın Hocam Prof. Dr. Cemil YILDIZ’a, beni en başından beri her zaman cesaretlendiren ve desteklerini bir an dahi olsun benden esirgemeyen anne ve babam Semiha ve Nihat GÜMÜŞ’e, omuzlarımdaki yükü daima hafifletmek için çabalayan kıymetli eşim Özlem Dirilen GÜMÜŞ’e, maddi ve manevi desteklerini esirgemeyen kardeşlerim Sibel ve Mehmet’e, ayrıca beni her zaman destekleyen mesai arkadaşlarıma ve komutanlarıma teşekkürü bir borç bilirim.

İÇİNDEKİLER

Sayfa

ÖZET ... iv

ABSTRACT... v

TEŞEKKÜR... vi

İÇİNDEKİLER ... vii

ŞEKİLLERİN LİSTESİ ... viii

SİMGELER VE KISALTMALAR... ix

1. GİRİŞ ... 1

2. TEMEL KAVRAMLAR... 3

2.1. Fuzzy Topolojik Gruplar ... 8

2.1.1.Fuzzy topolojik grupların oluşturduğu gruplar ... 13

3. FUZZY HOMOTOPİ... 16

4. FUZZY DEMETLER... 25

4.1. Demet Kavramı ... 25

4.2. Fuzzy Demetler ... 26

5. FUZZY DEMETLERİN KARAKTERİZASYONLARI-I ... 39

6. FUZZY DEMETLERİN KARAKTERİZASYONLARI-II ... 50

KAYNAKLAR ... 58

ÖZGEÇMİŞ ... 60

ŞEKİLLERİN LİSTESİ

Şekil Sayfa

Şekil 4.1. Demet ve kesitlerin tanımı ... 25

Şekil 4.2. f ve Φ* fuzzy fonksiyonlarının bileşkesi ... 31

Şekil 4.3. f ve Φ′ fuzzy fonksiyonlarının bileşkesi... 33

Şekil 4.4. f ve Φ fuzzy fonksiyonlarının bileşkesi... 33

Şekil 5.1. f1 fonksiyonunun tanımı... 41

Şekil 5.2. α^* fonksiyonunun tanımı... 42

SİMGELER VE KISALTMALAR

Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur.

Simgeler Açıklama

∼∼∼∼ Homotopi bağıntısı

∼∼∼∼ (Rel X0) X0 a göre homotop

≃

≃≃≃ Homotopi eşdeğer

≈

≈≈≈ İzomorfizm

Kısaltmalar Açıklama

A q B A ve B fuzzy kümeleri çakışığımsıdır.

FS((X,τ),(Y,τ′)) (X,τ) dan (Y,τ′) ya tanımlanan fuzzy sürekli fonksiyonların kümesi

(S,ΠΠΠΠ) Demet

(X, P_m^r) Taban noktası P olan fuzzy topolojik uzay _m^r (Z,∗∗∗∗′′, P_e^r) Taban noktası P_e^r∈I^Z yi birim eleman olarak

kabul eden fuzzy topolojik grup

ΓΓΓΓ(W,H(X)) H(X) in W üzerindeki tüm kesitlerinin kümesi (H(X),ψψψψ) Fuzzy Demet

r

Pm

X

H( ) Fuzzy demetin I^X üzerindeki sapı

(I ^X ,H(X)) X den elde edilen I^X üzerindeki demet

1. GİRİŞ

Yaşadığımız evrende gördüğümüz ya da göremediğimiz olayların her biri kendi içinde bir mükemmeliyetle meydana gelir. İnsanoğlu her zaman bu olayların nasıl oluştuğunu ve devam ettiğini merak etmiş, açıklamak için de var gücü ile çalışmıştır.

Tüm bilim adamlarının kafasını kurcalayan bu sorulara cevap aramak, asırlarca matematikçilerin de temel amacı olmuştur.

Bu amaç için çalışan matematikçilerden Cantor klasik küme teorisini ortaya koymuş fakat bu küme teorisinin evrende meydana gelen olayları tam olarak açıklayamadığı görülmüştür. Matematikte kullanılan klasik küme mantığındaki eksiklikleri gören Zadeh 1965 yılında fuzzy küme kavramını ortaya atmıştır [1]. Fuzzy küme kavramı, Cantor’un tanımladığı kesin sınırlar çizen küme teorisinin aksine günlük hayatı daha iyi açıklayan ve kesin sınırlar çizmeyen bir küme teorisi olduğundan, matematik çevreleri tarafından hemen kabul görmüştür. Chang, Wong ve diğer bazı matematikçiler fuzzy kümelerini genel topolojide kullanarak bazı basit kavramları tanımlamış ve fuzzy topolojik uzay kavramını oluşturmuşlardır[2-3]. Ayrıca 1971 yılında Rosenfeld, benzer çalışmaları gruplar üzerinde yaparak fuzzy alt grup tanımını yapmıştır[4]. 1979 yılında Fuzzy grup ve fuzzy topolojik uzay tanımını birleştiren Foster, fuzzy topolojik grupların tanımını yaptı [5]. 1984 ve 1987 yıllarındaki iki makalesi ile Liang ve Hai bu tanımı bilinen topolojik gruplardan hareketle genelleştirmiş ve daha da kullanışlı bir hale getirmişlerdir[6-7]. Tüm bu gelişmeler olurken Changyou, Liu ve Chuanlin adındaki Çinli matematikçiler fuzzy topolojik uzaylarda fuzzy homotopi ve fuzzy temel grupların tanımlarını ve ilgili bazı teoremleri verdiler [8-9].

Bu gelişmelerin yanında, 1982 yılında Yıldız, doktora tezinde, cebirsel topolojinin çok önemli iki konusu olan homotopi teori-H-grupları ve demet teorisini birlikte ele alarak H-grupları vasıtasıyla yeni bir cebirsel yapılı demet inşa etmiş ve önemli bazı cebirsel topolojik karakterizasyonlar vermiştir[10]. 1991 yılında benzer bir çalışmayı topolojik gruplar ve demet teorisini birlikte ele alarak yapmıştır [11].

Bu çalışmamızda, fuzzy topolojik uzaylarda fuzzy topolojik grupların oluşturduğu gruplar üzerinde fuzzy demet inşa edildi ve bu fuzzy demetlerin bazı karakterizasyonları verildi.

Tezin ilk bölümünde, çalışmamızın kolay anlaşılabilmesini sağlamak için fuzzy kümelerindeki bazı temel tanımları, fuzzy topolojik uzay, fuzzy stratified topolojik uzay, fuzzy süreklilik, fuzzy komşuluk, fuzzy grup tanımları verildi. Ardından fuzzy topolojik grupların tanımı ve tezde kullanılacak bazı teoremleri vererek fuzzy topolojik grupların oluşturduğu grupları inceledik. Üçüncü bölümde Chang ve Liu’nun oluşturduğu anlamda fuzzy homotopi tanımı yapılarak, ilgili teoremler verilmiştir [12]. Dördüncü bölümde, demet teorisine bir giriş yapılmış ve demet teorisi ile ilgili bazı önemli tanımlar verilmiştir. Ardından fuzzy topolojik uzaylarda fuzzy topolojik grupları kullanarak fuzzy demet yapısı inşa edilmiştir. Beşinci bölümde fuzzy demetlerin bazı karakterizasyonları incelenerek, fuzzy topolojik uzaylar ve örten, fuzzy açık ve fuzzy sürekli fonksiyonların kategorisinden, demetler ve demet homomorfizmleri kategorisine bir kontravaryant funktorun varlığı ispat edilmiştir. Altıncı bölümde ise beşinci bölümdeki karakterizasyonların bir anlamda tersi karakterizasyonlar verilerek yeni sonuçlar elde edilmiştir.

2. TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde, fuzzy topolojik uzay, fuzzy süreklilik, fuzzy grup ve fuzzy topolojik grup kavramları ve ilgili teoremler verilmiştir.

2.1.Tanım

X ≠∅, X in bir A fuzzy alt kümesi, µA: X → I = [0,1] üyelik fonksiyonu ile karakterize edilen, A={(x , µA(x)) : x∈X}⊂ X × I kümesine denir. X den I ya tanımlanan bütün fonksiyonların kümesini I^X ile gösterilir ve her bir elemanı bir fuzzy kümesidir [1].

2.2.Tanım

X ≠∅ olmak üzere ∅ ve X fuzzy kümeleri sırası ile

∀x∈X için µ∅(x)=0=0(x) ve µX(x)=1=1(x)

üyelik fonksiyonları ile karakterize edilir ve ∅={(x,0), x∈X} ve X={(x,1), x∈X}

şeklinde gösterilir [1].

2.3.Tanım

X boştan farklı herhangi bir küme olmak üzere, X deki P fuzzy kümesine X de _m^λ fuzzy noktası denir ve üyelik fonksiyonu p_m^λ :X →I





≠

= =

m x

m x x

P_m

, 0 ) ,

( λ

λ , λ∈(0,1]

şeklinde tanımlanır. Burada m’ye P fuzzy noktasının dayanağı (support) ve _m^λ λ ^ya da P fuzzy noktasının değeri denir [13]. _m^λ

2.4.Tanım

X≠∅, X üzerinde bir fuzzy kümesi A olmak üzere Supp A= {x∈X | µA(x)>0}

kümesine A’nın Support kümesi (Destek kümesi) denir.

2.5.Tanım

X boştan farklı bir küme ve τ ^{, IX} deki fuzzy kümelerinden oluşan bir alt aile olsun.

Aşağıdaki özellikleri sağlayan τ ailesine I^X üzerinde fuzzy topolojisi ve (X,τ ⁾ ikilisine de fuzzy topolojik uzayı denir;

(i) ∅, X ∈ τ (veya 0,1∈τ ⁾ (ii) Eğer A, B ∈τ ^{ise A} ∧ B∈τ (iii) Eğer her j∈J için Aj ∈τ ^ise,

∨

∈J j

Aj ∈ τ ^.

τ nun her elemanına fuzzy açık küme, tümleyenine de fuzzy kapalı küme denir [2].

2.6.Tanım

X boştan farklı bir küme olsun ve r∈ [0,1] olmak üzere I^X de bir fuzzy kümesini

∀x∈X için r^*(x) = r olarak tanımlayalım. I^X deki fuzzy kümelerinden oluşan bir alt aile τ olsun. Aşağıdaki özellikleri sağlayan τ ailesine I^X üzerinde stratified fuzzy topolojisi ve (X,τ) ikilisine de fully stratified fuzzy topolojik uzayı denir;

(i) r^* ∈ τ

(ii) Eğer A, B∈ τ ise A ∧ B ∈ τ (iii) Eğer her j∈ J için A^j ∈τ ^ise,

∨

∈J j

Aj ∈τ ^[14].

2.7.Tanım

(X,τ) fuzzy topolojik uzay ve β ≤τ alt ailesi verilsin. Eğer τ nun her bir elemanı β nın bazı elemanlarının birleşimi şeklinde yazılabiliyorsa, bu durumda β ^ya τ ^fuzzy topolojisi için taban denir [15].

2.8.Tanım

(X,τ) fuzzy topolojik uzay ve P bir fuzzy noktası olsun. _m^λ P fuzzy noktasını içeren _m^λ en az bir U∈τ fuzzy kümesini kapsayan W fuzzy kümesine P fuzzy noktasının _m^λ fuzzy komşuluğu denir, yani;

W, P fuzzy noktasının fuzzy komşuluğu _m^λ ⇔∃ U∈τ ^var ∋ P < U _m^λ ≤ W

mλ

P nin tüm fuzzy komşuluklarının ailesi N(P ) olarak gösterilir [13]. _m^λ

2.9.Tanım

A∈I^X ve P herhangi bir fuzzy noktası olmak üzere eğer _m^λ λ > c(x)

µA veya λ + µ_A(x)>1 oluyorsa, bu durumda P fuzzy noktası ile A fuzzy kümesi quasi-_m^λ

coincident (çakışığımsı) denir ve P q A şeklinde gösterilir [13]. _m^λ

2.10.Tanım

A, B ∈ I^X iki fuzzy kümesi olmak üzere eğer x∈X için µ_A(x) ^> c(x)

µB ^veya

)

A(x

µ ⁺µB^(x)>1 oluyorsa, A ile B fuzzy kümeleri quasi-concident (çakışığımsı) denir ve A q B olarak gösterilir [13].

2.11. Tanım

(X,τ) fuzzy topolojik uzay, W bu fuzzy topolojik uzayda bir fuzzy kümesi ve P bir _m^λ fuzzy noktası olsun. Eğer en az bir B∈ τ kümesi için P q B ve B ≤ W oluyorsa W _m^λ fuzzy kümesine P nın Q-komşuluğu denir [13]. _m^λ

2.12.Tanım

X ≠∅, Y ≠∅, g: X → Y fonksiyon, A∈I^X ve B∈I^Y olsun. g^-1(B), X de fuzzy kümesi olup, üyelik fonksiyonu ∀x∈X için;

)) ( ( )

)(

1(_B x _B g x

g µ

µ − = dir.

g(A), Y de fuzzy kümesi olup üyelik fonksiyonu, ∀y∈Y için g^-1(y)={x: g(x)=y}

olmak üzere;







∅

=

∅

= ≠

−

−

∈ ⁻

) ( ,

0

) ( ,

)}

( { )

(

1 1 )

) (

( ¹

y g

y g z

Sup

y z g y ^A

A g

µ µ

şeklindedir [15-17] .

2.13.Tanım

(X,τ1) ve (Y,τ2) iki fuzzy topolojik uzay, P X de bir fuzzy noktası ve _m^λ f : (X,τ1) → (Y,τ2) bir fuzzy fonksiyon olsun. Eğer, f(P ) bir V açık komşuluğu _m^λ

için P ’nın _m^λ ∃ U açık komşuluğu var ∋ f(U) ≤ V ise, f fonksiyonu P fuzzy_m^λ noktasında fuzzy süreklidir denir [2] .

2.1.Teorem

(X,τ1) ve (Y,τ2) iki fuzzy topolojik uzay ve f : (X,τ1) → (Y,τ2) fuzzy fonksiyonu tanımlansın. f fuzzy fonksiyonunun fuzzy sürekli olması için gerek ve yeter şart her U ∈ τ2 için f ^-1(U) ∈τ1 olmasıdır [2] .

2.2.Teorem

(X,τ1) ve (Y,τ2) iki fuzzy topolojik uzay ve f : (X,τ1) → (Y,τ2) fuzzy fonksiyonu ve

mλ

P ∈ I^X fuzzy noktası verilsin. Bu durumda aşağıdakiler denktir;

(i) f fuzzy sürekli

(ii) f (P ) nin Y deki her bir V komşuluğu için, en az bir X de _m^λ P nın U komşuluğu _m^λ var öyle ki f (U) ≤ V

(iii) f (P ) nin Y deki her bir V Q-komşuluğu için, en az bir X de _m^λ P nın U Q- _m^λ komşuluğu var öyle ki f (U) ≤ V [13] .

2.14.Tanım

(X,τ1) ve (Y,τ2) iki fuzzy topolojik uzay ve f : (X,τ1) → (Y,τ2) fuzzy fonksiyonu tanımlansın. f fuzzy fonksiyonunun fuzzy açık olması için gerek ve yeter şart her U ∈ τ1 için f (U) ∈τ2 olmasıdır.

2.15.Tanım

(X,∗) bir grup ve G, X de üyelik fonksiyonu µG olan bir fuzzy kümesi olsun. G’ye aşağıdaki iki şartı sağlarsa X de bir fuzzy grubu denir; ∀ x,y ∈ X için,

(i) µG (x ∗ y ) ≥ Min { µG (x), µG (y) } (ii) µG (x ^-1) ≥ µG (x) [4] .

Bu iki ifadeyi birleştirirsek, şu şekilde verebiliriz;

(X,∗) bir grup olsun. G’nin X de bir fuzzy grup olması için gerek ve yeter şart ∀ x,y

∈ X için µG (x ∗ y^-1 ) ≥ Min { µG (x), µG (y) } olmasıdır [4].

2.1. Fuzzy Topolojik Gruplar

X≠∅ ve (X,∗) bir grup A,B∈I^X ve C,D∈X olmak üzere A.B∈I^X , A^-1∈I^X , C∗D∈X ve C^-1∈X kümeleri aşağıdaki şekilde tanımlanır;

(A.B)(x)=Sup{min{A(x1),B(x2)}, x1∗x2 = x}

A^-1(x)=A(x^-1)

C∗D={c∗d : c∈C , d∈D}

C^-1 ={c^-1: c∈C} [18].

2.16.Tanım

X bir küme olmak üzere aşağıdaki şartlar sağlanırsa (X, ∗, τ ) fuzzy topolojik grup olarak adlandırılır.

(i) (X, ∗) bir grup

(ii) (X,τ ) fuzzy topolojik uzay

(iii) ∀x,y ∈ X ve P_x^λ_∗y fuzzy noktasının W Q-komşuluğu için P ’nin U ve _x^λ P_y^λ’nın V Q-komşuluğu var ∋ U.V ≤ W

(iv) ∀ x∈X ve Px^λ−1 fuzzy noktasının V Q-komşuluğu için P ’nin U Q-komşuluğu _x^λ var ∋ U^-1 ≤ V [6-7] .

2.1.Örnek

(R,+) grubu ve Tanım2.6 da verilen r^∗ fuzzy fonksiyonunu göz önünde bulunduracak olursak, τ={r^∗ | r ∈ [0,1] } olarak tanımlanan fuzzy topoloji ile birlikte (R,+,τ^{) fuzzy} topolojik gruptur [7] .

2.2.Örnek

(X, ∗,τ) bir fuzzy topolojik grup olsun.

τ′={f :X → [0,1] | f alttan yarı sürekli fonksiyon} olarak tanımlanan aile X üzerinde bir fuzzy topoloji olup bu topolojiyle birlikte (X, ∗,τ′) bir fuzzy topolojik gruptur [7].

2.3.Teorem

(Y, τ′) fuzzy topolojik uzay, (Z, ∗′′, τ′′) fuzzy topolojik grup FS(Y,Z) kümesi Y den Z ye tüm fuzzy sürekli fonksiyonların kümesini göstermek üzere; f,g ∈ FS(Y,Z) için f ⊙g : Y → Z ve f ^-1:Y→Z

(f ⊙g)(y)=f (y) ∗′′ g(y) ve

f ^-1(y)=(f (y))^-1

şeklinde tanımlanan fuzzy fonksiyonları fuzzy süreklidir [18] .

İspat

r∈ (0,1] ve y∈Y için P_y^r Y′de bir fuzzy noktası ve W ,

(f ⊙g)(P_y^r) = P ^r_(f ⊙g)(y) r

y g y

Pf_{( )∗'' ( )}

=

fuzzy noktasının Q-komşuluğu olsun. (Z,∗′′,τ′′) fuzzy topolojik grup olduğundan

r y

Pf_{( )} nin U, P_g^r_(y) nin V Q-komşuluşu var öyle ki U.V ≤ W dir. Ayrıca f ve g fuzzy sürekli fonksiyon olduklarından P_y^r nin U1 ve V1 Q-komşulukları var öyle ki f(U1)≤U ve g(V1)≤V olduğu yazılabilir. Buna göre Y'de P_y^r noktasının fuzzy açık

Q-komşuluğu U1∧V1 olarak alınabilir. Eğer (f⊙g)(U1∧V1) ≤ W olduğu gösterilirse ispat tamamlanmış olur.

r

Py den başkan herhangi bir P_y^r

1∈ U₁∧V₁ fuzzy noktasını alalım. Gösterelim ki;

(f ⊙g)(P_y^r

1) ∈W dir.

r

Py

1∈ U1∧V1 olduğundan P_y^r

1 ∈ U1 ve P_y^r

1 ∈ V1 dir. Dolayısıyla

f(P_y^r

1) ∈ f (U1) ≤ U ve

f(P_y^r

1)∈ f (U₁) ≤ U ⇒ r< U( f(y1) ) g(P_y^r

1)∈g(V1) ≤ V ⇒ r< V(g(y1)) dir. Buna göre;

(U.V)( f (y1)∗′′g (y1) ) = Sup{min{U(f(y1),V(g(y1))}}≥ r dir. Böylece;

r≤ (U.V)( f(y1) ∗′′ g(y1) ) ≤ W(f(y1)∗′′g(y1))

yazılabilir. Buradan P_f^r_{(y) ''g(y)}

1

1 ∗ =P₍^r_fog)(y)

1 ∈W dir. Yani, (f ⊙g)( U1∧V1 )≤W yazılabilir. Bu da bize f ⊙g nin fuzzy sürekli olduğunu verir.

Şimdi de f ^-1 in fuzzy sürekli olduğunu gösterelim. Y deki P_y^r fuzzy noktası için

r y f r

y P

P

f ⁻¹( )= −1_{( )} fuzzy noktasının bir Q-komşuluğu W olsun. (Z,∗′′,τ′′) fuzzy topolojik grup olduğundan P_f^r_(y) nin bir U komşuluğu var öyle ki U^-1 ≤ W dir.

f sürekli olduğundan, P_y^r nin U₁ komşuluğu var öyle ki f (U₁) ≤ U olur. Şimdi f ^-1(U1)≤W olduğunu gösterelim. Yani P_y^r

1 ∈U1 fuzzy noktası olsun, gösterelim ki f^-1 (P_y^r

1)∈W dir.

r

Py

1, U1 de bir fuzzy noktası olmak üzere,

f(P_y^r

1)∈ f (U1) ≤ U ⇒ r ≤ U( f(y1) )= U ^-1((f(y1)^-1) ≤ W ( (f(y1)^-1)

yazılabilir. Buradan;

r ≤ W( (f(y₁))^-1) ⇒ ^r

y

P f ₁

1)) (

( ⁻ ≤ W ⇒ ( )

1

1 r

Py

f ⁻ ∈W elde edilir. Bu da bize f ^-1 in sürekli olduğunu gösterir.

2.4.Teorem

(X,τ) fully stratified fuzzy topolojik uzay, (X,∗) birim elemanı e olan bir grup olsun.

Tanım 2.16 daki (iii) ve (iv) şartlarının sağlanması için gerek ve yeter şart P_x^r∗_y−1 in herhangi bir W Q-komşuluğu için en az bir P nin U, _x^r P_y^r nin V Q-komşuluğu var öyle ki UV^-1≤W [6].

İspat

(⇒) Tanım 2.16 daki (iii) ve (iv) şartı sağlansın. Buna göre (iii) şartından P_x^r_∗yin W Q-komşuluğu için en az bir P nin U, _x^r P_y^r−1’nin V′ Q-komşuluğu var öyle ki UV′≤ W.

(iv) şartından P_y^r’nın V Q-komşuluğu var öyle ki V^-1≤V′ dir. Böylece; UV^-1 ≤ UV′ ≤W olur.

(⇐⇐⇐⇐) (X, τ) fully stratified uzay olsun. Yani ∀ λ ∈ [0,1] için λ^∗ ∈ τ dir.

r y r

y

e P

P_∗ −1 = −1 in herhangi bir V Q-komşuluğunu alalım, P ’nin U′ ve _e^r P_y^r’nin U′′

açık Q-komşulukları var öyle ki U′(U′′)^-1 ≤ V, U′(e)+r >1 olduğundan r

r e

U′( )>1− = ′ dür.

Kabul edelim ki λ ^=U′(e) , U=U′′ ∧ λ^∗ olsun bu durumda U∈τ ^, Py^r q U ve U′U^-1 ≤ U′U′′ ≤ V dir.

) ( U )) ( U , ( Min

))}

( ), ( ( {Min ) Sup

(

1 - 1

-

2 1

e x

1

1 2

1

x x

x x

x U

e _U

x x

=

=

=

∗ ⁻

=

−

λ

µ µ

λ

olduğundan U^-1 = e_λ * U^-1 ≤ U′U^-1 ≤ V dır. Böylelikle tanım 2.16 daki (iv) şartı sağlanır.

r y

Px_∗ =P_x^r _y1 1

) ( ^{− −}

∗ nın herhangi bir Q-komşuluğu için P ’nin U ve _x^r P_y^r’nın V′ açık Q- komşulukları var ∋ U(V′)^-1 ≤ W ve yukarıdan P_y^r’nin bir Q-komşuluğu V var ∋ V^-1 ≤ V′ dır .Böylece ; UV=U(V^-1)^-1 ≤ (UV′)^-1 ≤ W. Böylelikle ispat tamamlanır.

2.17.Tanım

(X,τ) fuzzy topolojik uzay ve P_m^r∈I^X fuzzy noktası olmak üzere (X,τ,P ) üçlüsüne _m^r taban noktası P fuzzy noktası olan noktalı fuzzy topolojik uzayı denir. Diğer bir _m^r deyimle (X,τ,P ) üçlüsü bir topolojik çifttir ve kısaca (X, _m^r P ) ile gösterilir. Ayrıca _m^r (Z,∗′′,τ′′) fuzzy topolojik grup, P_e^r∈I^Z olmak üzere (Z,∗′′,τ′′,P ) dörtlüsü taban _e^r noktası P olan fuzzy topolojik grubu olup, bu dörtlü kısaca (Z,∗′′, _e^r P ) ile gösterilir. _e^r

2.1.1. Fuzzy topolojik grupların oluşturduğu gruplar

Bu başlık altında, (Y,τ′) fully stratified fuzzy topolojik uzay, (Z,∗′′,τ′′) fuzzy topolojik grup olmak üzere FS(Y,Z) kümesi Y den Z ye tüm fuzzy sürekli fonksiyonların kümesinin üzerindeki grup yapısını fuzzy topolojik grup üzerindeki işlemden faydalanarak tanımlayacağız.

2.5.Teorem

(Z,∗′′) birim elemanı e olan bir grup, (Y,τ′) fully stratified fuzzy topolojik uzay, (Z,∗′′,τ′′) fuzzy topolojik grup olsun . Bu durumda e′:Y→Z, e′(y)=e fuzzy fonksiyonu fuzzy süreklidir [18] .

İspat

U∈τ′′ olsun. µ_(e−1_(U))(y)=µ_U(e′(y))=µ_U(e) olacağından, ∀y∈Y için (e′)^-1(U) sabit olduğu anlaşılır. (Y,τ′′) fully stratified fuzzy topolojik uzay olduğundan (e′)^-1(U)∈τ′ olur. Yani e′ fuzzy süreklidir.

2.6.Teorem

(Y,τ) fully stratified fuzzy topolojik uzay ve (Z,∗′′,τ′′) fuzzy topolojik grup olsun.

⊙ işlemi Teorem 2.3 de tanımlanan işlem olmak üzere, (FS(Y,Z),⊙) gruptur [6] .

İspat

(i) Kapalılık özelliği Teorem 2.3 den f, g∈FS(Y,Z) iken f⊙g ∈FS(Y,Z) olduğundan açıktır.

(ii) f,g,h∈FS(Y,Z) olmak üzere

((f ⊙ g ) ⊙ h)(y) =( f ⊙g)(y) ∗′′ h(y)

= ( f (y) ∗′′ g(y) ) ∗′′ h(y)

=f (y) ∗′′ (g (y) ∗′′ h(y))

=f (y) ∗′′ (g ⊙ h)(y)

=(f ⊙ ( g ⊙ h ) )(y)

Yani (f ⊙ g ) ⊙ h = f ⊙ ( g ⊙ h ) birleşme özelliği sağlanır.

(iii) f∈FS(Y,Z) ise e′∈FS(Y,Z) olsun.

(f ⊙ e′ )(y)=f (y) ∗′′ e′(y) = f (y) ∗′′ e = f(y) (e′ ⊙ f )(y) = e′ (y) ⊙ f (y) = e ∗′′ f(y) = f(y)

Yani f ⊙ e′ = e′ ⊙ f = f olduğundan etkisiz eleman e′∈FS(Y,Z) dir

(iv) f∈FS(Y,Z) için f ^-1∈FS(Y,Z) olduğu Teorem 2.3 de gösterildi. Buna göre;

(f ⊙ f ^-1 )(y) = f (y) ∗′′ f ^-1(y) = f (y) ∗′′ (f (y))^-1 = e(y) (f^-1 ⊙ f)(y) = f ^-1 (y) ∗′′ f (y) = ( f (y) ) ^-1 ∗′′ f (y) = e(y)

Yani f ⊙ f ^-1=f ^-1 ⊙ f = e olduğundan ∀f∈FS(Y,Z) fuzzy sürekli fonksiyonunun ⊙ işlemine göre tersi f ^-1∈FS(Y,Z) fuzzy sürekli fonksiyondur.

2.7.Teorem

(Y,τ′) fully stratified fuzzy topolojik uzay ve (Z,∗′′,τ′′) fuzzy topolojik grup olsun.

Eğer (Z,∗′′) değişmeli (abelyen) grup ise, (FS(Y,Z),⊙) grubu da değişmelidir [6] .

İspat

f,g ∈FS(Y,Z) olmak üzere;

(f ⊙g)(y)=f (y) ∗′′ g(y) = g (y) ∗′′ f(y) = (g ⊙ f)(y). Yani f ⊙ g = g ⊙ f olduğundan (FS(Y,Z),⊙) grubu değişmelidir.

3. FUZZY HOMOTOPİ

Bu bölümde daha sonrada kullanılacak olan fuzzy homotopi tanımını ve fuzzy homotopi ile ilgili bazı teoremleri vereceğiz. Homotopi tanımı eğriler yardımı ile yapılabilir ancak biz fonksiyonlar ile tanımlanan Chang ve Liu’nun oluşturduğu anlamda homotopi tanımını kulacağız[12]. Öncelikle fuzzy homotopi tanımında kullanacağımız, bilinen topolojik uzaylar yardımı ile fuzzy topolojik uzayları nasıl oluşturduğumuzu gösterelim, ardından fuzzy homotopi tanımını verelim.

3.1.Teorem

(X, τ^*) bir topolojik uzay olsun.

τ~ ={A | A, X’de fuzzy küme ve Supp A∈τ^*}

ise τ~ , X üzerinde bir fuzzy topolojidir, (X, τ~ ) da (X, τ^*) tarafından üretilen fuzzy topolojik uzaydır [8].

İspat

(t1) ∅ , X∈τ^{~ (?)}

∅ bir fuzzy küme ve üyelik fonksiyonu 0(x)=0 olmak üzere; Supp ∅, τ ^{* nün} elemanı mıdır?

Supp∅={x∈X | 0(x)>0}=∅ ∈ τ^* ⇒ ∅ ∈τ^{~ .}

X bir fuzzy küme ve üyelik fonksiyonu 1(x)=1 olmak üzere; SuppX τ^* in elemanı mıdır?

Supp X = {x∈X | 1(x)>0}=X∈ τ^* ⇒ X ∈ τ^{~ .}

(t2) A, B ∈τ~ olmak üzere A∧B ∈ τ~ olduğunu gösterelim.

A ∈τ~ ⇒ A,X’de bir fuzzy küme ve Supp A ∈ τ^* B ∈τ~ ⇒ B,X’de bir fuzzy küme ve Supp B ∈ τ^*

Supp A ∈ τ^* , Supp B ∈ τ^* olduğuna göre SuppA ∩ Supp B∈ τ^* olur. Buna göre;

SuppA ∩ Supp B = { x ∈ X | A(x) >0}∩{ x ∈ X | B(x)} >0}

= { x ∈ X | A(x) >0 ve B(x) >0 }

= { x ∈ X | min{A(x), B(x)} >0}

= {x ∈ X | (A∧B)(x) >0}

=Supp(A∧B).

Buradan SuppA ∩ Supp B = Supp(A∧B) elde edilir. SuppA ∩ Supp B∈ τ ^{* ise,} Supp(A∧B) ∈ τ^* dir, böylece A∧B ∈τ~ olduğu görülür.

( t3 ) {Ai}i∈I ⊆ τ^{~ ⇒} i I i

∨

∀ i ∈ I için Ai ∈τ^{~ ⇒ A}i ler X de fuzzy kümeleri ve Supp Ai ∈τ^{* dır.}

A_i ler X de fuzzy kümeleri ⇒ _i

I i

∨

∈ de X’de fuzzy kümesidir. Bunun yanında; ∀ i∈ I için Supp Ai ∈τ^* olduğundan topoloji tanımından dolayı

I

i∪∈ SuppAi ∈τ ^* dır. Bu durumda;

∀ i ∈ I için Supp Ai={ x ∈ X | Ai(x) >0} olmak üzere;

i∈I

∪ Supp Ai =

i∈I

∪{ x ∈ X | Ai(x) >0}

= Sup

I

i∈ { x ∈ X | Ai(x) >0}

= {x ∈ X | ^Sup

{

}

i∈I >0}

= { x ∈ X | ( _i

I i

∨A

∈ )(x) >0 }

= Supp _i

I i

∨

Buradan

I

i∪∈ ^{Supp A}i = Supp _i

I i

∨

∈ ⇒

I

i∪∈ Supp A_i ∈τ^* dir. Bu durumda

Supp _i

I i

∨

∨

Buna göre; X≠∅ bir küme olmak üzere X üzerinde bir fuzzy kümesi A olsun.

Teorem 3.1 de ispat edilen fuzzy topolojik uzayını göz önünde bulundurursak X = I = [0,1], I üzerinde R’nin alışılmış topolojisinden indirgenen topoloji ε_I ^olmak üzere (I,ε_I) topolojik uzayı tarafından üretilen fuzzy topolojik uzayını (I,ε~ ) ile _I gösterebiliriz. Bu durumda fuzzy homotopi tanımı aşağıdaki gibi yapılabilir;

3.1.Tanım

(X,τ), (Y,τ′) fuzzy topolojik uzaylar, (I,ε_I) topolojik uzayından üretilen fuzzy topolojik uzay (I,ε~ ) ve f,g:(X,τ)→ (Y,τ′) fuzzy sürekli fonksiyonlar olsun. Eğer _I F:(X,τ)x(I,ε~ )→(Y,τ′) sürekli fonksiyonu var öyle ki _I ∀x∈X için F(x,0)=f(x) ve F(x,1)=g(x) oluyorsa F’ye f den g ye fuzzy homotopi denir ve

F

g

f ∼ olarak gösterilir [12].

3.2.Tanım

(X,τ),(Y,τ′) fuzzy topolojik uzaylar f,g:(X,τ)→ (Y ,τ′) fuzzy sürekli fonksiyonlar olsun. Eğer F:(X,τ)x(I,ε~ )→(Y,τ′) sürekli fonksiyonu var öyle ki _I ∀x∈X için F(x,0)=f(x), F(x,1)=g(x) ve X0 ⊂ X olmak üzere ∀x∈X0 için F(x,t) = f(x) = g(x) ise f , g 'ye X₀ a nazaran homotoptur denir ve

F

g

f ∼ (Rel X₀) şeklinde gösterilir.

3.2.Teorem

(X,τ), (Y,τ′) fuzzy topolojik uzay olsun. Tanım 3.2 de verilen ∼ (Rel X0) bağıntısı FS((X,τ),(Y,τ′))={f | f:(X,τ)→ (Y ,τ′) fuzzy sürekli} kümesi üzerinde bir denklik bağıntısıdır [12].

İspat

(1) Yansıma;

f∈FS((X,τ),(Y,τ′)) olsun. P1:(X,τ)x(I,ε~ )→(Y,τ′), P_{I 1}(x,t)=x şeklinde fuzzy 1’inci izdüşüm fonksiyonunu tanımlayalım. Buna göre;

F:(X,τ)x(I,ε~ )→(Y,τ′) ve F(x,t) = f oP_I 1(x,t) olarak tanımlayacağımız F fuzzy fonksi- yonu f ve P₁ fuzzy sürekli olduklarından fuzzy süreklidir ve

F(x,0)=foP1 (x,0)= f (P1(x,0)) = f(x), F(x,1)=foP1 (x,1)= f (P1(x,1))= f(x) ve

X0⊂X olmak üzere ∀x∈ X0 için F(x,t)=foP1(x,t)=f(x) olur ki bu da bize

F

f

f ∼ (Rel X0) olduğunu gösterir.

(2) Simetri

f,g∈FS((X,τ),(Y,τ′)) ve f ^F∼g(RelX0) olsun. Bu durumda ∃ F:(X,τ)x(I,ε~ )→(Y,τ′) _I fuzzy sürekli fonksiyonu vardır ∋ ∀ x∈X için F(x,0)=f(x) , F(x,1)=g(x) ve X0⊂X olmak üzere ∀ x∈X0 için F(x,t) = f(x) = g(x) yazılabilir ve bu fuzzy sürekli fonksiyon yardımı ile G:(X,τ)x(I,ε~ )→(Y,τ′) , G(x,t)=F(x,1-t) fuzzy fonksiyonunu _I tanımlayabiliriz ve yeni tanımladığımız bu G fuzzy fonksiyonu fuzzy süreklidir.

Bunun yanında G(x,0)=F(x,1)=g(x), G(x,1) = F(x,0) = f(x) ve X0⊂X olmak üzere

∀x∈X₀ için G(x,t)=F(x,1-t) = f(x) = g(x) olur yani

G

f

g ∼ (Rel X₀)

(3) Geçişme

f,g,h ∈ FS((X,τ),(Y,τ′)) ve

F

g

f ∼ (RelX₀),

G

h

g ∼ (RelX₀) olsun. Buna göre

∃F:(X,τ)x(I,ε~ )→(Y,τ′) fuzzy sürekli fonksiyonu vardır ∋ ∀ x∈X için F(x,0) = f(x) , _I F(x,1) = g(x) ve X0⊂X olmak üzere ∀ x∈X0 için F(x,t) = f(x) = g(x) ve

∃G:(X,τ)x(I,ε~ )→(Y,τ′) fuzzy sürekli fonksiyonu vardır ∋ ∀ x∈X için G(x,0) =g(x) , _I G(x,1) = h(x) ve X₀⊂ X olmak üzere ∀ x∈X0 için G(x,t) = g(x) = h(x) yazılabilir.

Buna göre;





≤

≤

−

≤

= ≤

1 2 / 1 , ) 1 2 (

2 / 1 0 , ) 2 ) (

,

( G t t

t t

t F x H

şeklinde tanımladığımız H(x,t) fuzzy fonksiyonu fuzzy sürekli ve H(x,0)=f(x) ve H(x,1)=h(x) dir ayrıca X0⊂X olmak üzere ∀ x∈X0 için H(x,t)=f(x)=h(x) dir.

Böylece,

H

h

f ∼ (Rel X0) yazılabilir.

Teorem 3.2 de ispatlanan denklik bağıntısı FS((X,τ),(Y,τ′)) kümesini denklik sınıfların ayırır. Bu denklik bağıntısına göre bir f fonksiyonunun denklik sınıfı [ f ] ile gösterilir.

3.3. Teorem

(X,τ), (Y,τ′), (Z,τ′′) fuzzy topolojik uzaylar ve f₀,f₁:(X,τ)→(Y,τ′), g₀,g₁:(Y,τ′)→(Z,τ′′) fuzzy sürekli fonksiyonlar olmak üzere;

F

f

f₀ ∼ ₁ (Rel X₀),

G

g

g₀ ∼ ₁ (Rel X₀) ⇒ g₀of₀ ∼g₁of₁(Rel X₀) [12].

İspat

(1)

F

f

f₀ ∼ ₁ (RelX0) olduğundan ∃ F:(X,τ)x(I,ε~ )→(Y,τ′ ) fuzzy sürekli fonksiyonu _I vardır ∋ ∀ x∈X için F(x,0)=f0(x) , F(x,1)=f1(x), X0 ⊂ X olmak üzere ∀ x∈X0 için F(x,t)= f0(x) = f1(x), Buna göre;

H:(X,τ)x(I,ε~ )→(Z,τ′′) _I

fuzzy fonksiyonu ∀ x∈X ve t∈I için H(x,t)=g0oF(x,t) olarak tanımlanır ve bu fonksiyon fuzzy süreklidir. Bunun yanında;

H(x,0)= g0 F(x,0)= g0 (f0(x))= g0 o f0(x)

H (x,1)= g0 F(x,1)= g0 (f1(x))= g0o f1(x)

X₀⊂X olmak üzere ∀ x∈X₀ için H (x,t)=g₀ o F(x,t)=g₀ (f₀ (x))=g₀ (f₁ (x)) olduğundan dolayı

H

of g of

g_{0 0} ∼ _{0 1}(RelX0) olduğu görülür.

(2) g₀∼g₁ (RelX₀) olduğundan ∃G:(Y,τ′)x(I,ε~ )→(Z,τ′′) fuzzy sürekli fonksiyonu _I vardır ∋ ∀ x∈X için G(x,0)= g0 (x) , G(x,1)= g1 (x) ve X0 ⊂ X olmak üzere ∀ x∈X0

için G(x,t)= g0(x)= g1(x)dir. Buna göre

M:(Y,τ′)x(I,ε~ )→(Z,τ′′) _I

fuzzy fonksiyonu ∀ x∈X ve t∈I için M(y,t)=G(f1(x),t) olarak tanımlanır ve bu fonksiyon fuzzy süreklidir.

M(y,0)=G(f₁(x),0)=g₀(f₁(x))=g₀ of₁(x) M(y,0)=G(f₁(x),1)=g₁(f₁(x))=g₁ of₁(x)

X0⊂X olmak üzere ∀ x∈X0 için M(y,t)=G(f1(x),t)=g0 o f1(x)=g1 o f1(x) olduğundan dolayı

M

of g of

g_{0 1} ∼ _{1 1} (RelX₀) olduğu görülür.

(1) ve (2) den g₀of₀ ∼g₀of₁ ∼g₁of₁ (RelX₀) (∼ bağıntısı bir denklik bağıntısı olduğundan geçişme özelliği sağlanır).

3.3.Tanım

(X,τ) ve (Y,τ′) iki fuzzy topolojik uzay olsun. f:(X,τ)→(Y,τ′) sürekli fuzzy fonksiyonuna "fuzzy homotopi eşdeğerlik" denir, eğer aşağıdaki şartları sağlayan fuzzy sürekli bir f′ : (Y,τ′)→(X,τ) fonksiyonu varsa;

(i) f o f′ ∼ iY

(ii) f′ o f ∼ iX .

(X,τ) ile (Y,τ′) arasında homotopi eşdeğerlik fonksiyonu varsa, bu uzaylara fuzzy homotopi eşdeğer veya aynı homotopi tipindendir denir ve (X,τ) ≃ (Y,τ′) olarak gösterilir [12].

3.4.Teorem

Tanım 3.3 de verilen aynı homotopi tipinden olma bağıntısı bir denklik bağıntısıdır [12].

İspat

Yansıma ve simetri özelliklerinin sağlandığı açık olup geçişme özelliğinin sağlandığını göstermek yeterlidir.

(X,τ), (Y,τ′), (Z,τ′′) fuzzy topolojik uzaylar ve (X,τ) ≃ (Y,τ′) ve (Y,τ′) ≃ (Z,τ′′)

olsun. (X,τ)≃(Y,τ′) olduğundan f:(X,τ)→(Y,τ′) fuzzy sürekli fonksiyonu için bir f′ :(Y,τ′)→(X,τ) fuzzy sürekli fonksiyonu var öyle ki f of′ ∼ iY ve f′of ∼ iX dir. Ayrıca

(Y,τ′)≃(Z,τ′′) olduğundan g:(Y,τ′)→(Z,τ′′) fuzzy sürekli fonksiyonu için bir g:(Z,τ′′)→(Y,τ′) fuzzy sürekli fonksiyonu var öyle ki gog′∼iZ ve g′og∼ iY dir.

Hipotezden hareketle u=gof:(X,τ) →(Z,τ′′) ve v= f′og′:(Z,τ′′)→ (X,τ) fuzzy fonksiyonlarını tanımlayalım. Tanımlanan u ve v fuzzy fonksiyonları süreklidir ve aynı zamanda;

uov=(g of)o(f′ og′)=go (fo f′ ^{)o g′}∼gog′∼ i_Z

vou=(f′ og′)o(go f)= f′o(g′og)o f ∼ f′ of ∼ iX

elde edilir ki bu da bize (X,τ) ≃ (Z,τ′′) olduğunu gösterir.

Aynı homotopi tipinden olma bağıntısı fuzzy topolojik uzaylarını ayrık alt sınıflara böler.

3.5.Teorem

(X,τ), (Y,τ′) fuzzy topolojik eşdeğer iki uzay olsun. Bu taktirde (X,τ) ve (Y,τ′) fuzzy homotopi eşdeğerdir.

İspat

(X,τ) ve (Y,τ′) fuzzy topolojik eşdeğer olduklarından f:(X,τ)→(Y,τ′) fuzzy fonksiyonu fuzzy sürekli, birebir ve örtendir. Ayrıca f nin tersi olan f ^-1:(Y,τ′) →(X,τ) fonksiyonu fuzzy süreklidir. Dolayısı ile fo f ^-1= iY ve f ^-1of = iX yazılabilir ayrıca = bağıntısı bir eşdeğerlik bağıntısı olduğundan fo f ^-1 ∼ iY ve f ^-1of ∼ iX elde edilir ki bu da bize X≃Y olduğunu gösterir.

Not: Bu teoremin tersi her zaman doğru olmayabilir.

4. FUZZY DEMETLER

Bu bölümde öncelikle, genel olarak demet kavramı ele alınmış ve bu tanımdan hareketle daha önce fuzzy uzaylarda tanımlanmamış olan, fuzzy demet kavramı fuzzy topolojik gruplarla oluşturulmuştur. Ayrıca fuzzy demetlerin topolojik ve cebirsel yapıları üzerinde durulmuştur.

4.1. Demet Kavramı

Öncelikle bilinen topolojik uzaylarda demet tanımını verelim;

4.1.Tanım

X, S iki topolojik uzay ve π: S → X lokal topolojik bir tasvir olsun. Bu taktirde (S, π) çiftine X üzerinde bir demet denir. Her x∈X için S_X=π^-1(x) e x üzerinde (S, π) nin veya sadece S nin sapı denir [19].

4.2.Tanım

(S, π), X üzerinde bir demet, W⊂X açık bir küme s:W→ S sürekli bir tasvir öyle ki πos=1W olsun. Bu durumda s’ye W üzerinde S’nin kesiti denir ve W üzerinde S’nin bütün kesitlerinin kümesi Γ(W,S) ile gösterilir. [19].

Şekil 4.1.Demet ve kesitlerin tanımı s(W)

S SX

s π

W x

4.2. Fuzzy Demetler

Bu başlık altında topolojik uzaylardaki demet tanımından hareketle fuzzy demet yapısını fuzzy topolojik gruplar vasıtasıyla oluşturacağız. (X,τ) fuzzy topolojik uzay ise, P_m^r∈I^X fuzzy noktasını taban noktası olarak kabul eden (X,P_m^r) noktalı fuzzy topolojik uzayları her P_m^r∈ I^X için aynı homotopi tipine sahip olsun. Bunun yanında

r

Pe ∈ I^Z taban noktası birim eleman olan (Z,∗′′,τ′′) fuzzy topolojik grubunu ise (Z,∗′′,P_e^r) olarak gösterelim.

Eğer (X,P_m^r) noktalı fuzzy topolojik uzay, (Z,∗′′,P_e^r) herhangi bir fuzzy topolojik grup ise, (X,P_m^r) den (Z,∗′′,P_e^r) ye tanımlanan fuzzy sürekli ve taban noktayı koruyan fonksiyonların homotopi sınıflarının kümesini;

}

, )

( ), , ' ' , ( ) P (X, :

| ] {[

)]

, '' , ( ), P (X, [ )

( _m^r _m^r _{( )}

sürekli fuzzy

f

P P

P f P Z f

f P

Z X

H _{P e}^r _Pr _e^r _m^r _f^r _{m e}^r

m r

m = ∗ = → ∗ = =

olarak göstereceğiz. Ayrıca r

Pm

X

H( ) nin üyelik fonksiyonu;

) ( ) )(

]

) ([

(_X f _P x P_m^r x

H ^r

r m Pm

µ =

şeklinde tanımlanırsa r

Pm

X

H( ) , X de bir fuzzy kümesidir.

4.1.Teorem

f ,g∈ ^FS((X,P_m^{r),(Z,∗′′,P}_e^r)) olsun, bu durumda (f ⊙g)(P_m^r)=f(P_m^r) ∗′′g(P_m^r) fuzzy fonksiyonu fuzzy süreklidir ve taban noktayı korur.

İspat

∀ f, g ∈ ^FS((X,P_m^{r),(Z,∗′′,P}_e^r)) için (f ⊙g)(P_m^r)=f(P_m^r) ∗′′g(P_m^r) in fuzzy sürekli

olduğu Teorem 2.3 de ispat edildi. Biz (f ⊙g)(P_m^r)=f(P_m^r) ∗′′g(P_m^r) nin taban noktayı koruduğunu gösterelim. ∀ f, g ∈ FS((X, P_m^r),(Z,∗′′, P_e^r)) fuzzy fonksi- yonları için,

f (P_m^r)=P_f^r_(m)=P_e^r ve g (P_m^r)=P_g^r_(m)=P_e^r

olduğu yazılabilir. Bu durumda;

(f ⊙g)(P_m^r)= f(P_m^r) ∗′′g(P_m^r)=P ∗′′_e^r P_e^r=P_e^r.

4.3.Tanım

Şimdi ∀ ^r

m r

m P

P g

f] ,[ ]

[ ∈[(X, P_m^r),(Z,∗′′,P_e^r)] için ● işlemi;

=

• ^r

m r

m P

P g

f] [ ]

[ [ f ⊙g] ^r

Pm ∈[(X, P_m^r),(Z,∗′′,P_e^r)] şeklinde tanımlanabilir.

4.2.Teorem

Eğer (X,P_m^r) noktalı fuzzy topolojik uzay, (Z,∗′′,P_e^r) noktalı fuzzy topolojik grup ise ([(X,P_m^r),(Z,∗′′,P_e^r)],●)=( r

Pm

X

H( ) ,●) bir gruptur. Ayrıca ∀m∈X için oluşan her bir grup diğerlerinden farklıdır.

İspat

Kapalılık özelliği Tanım 4.3 de verilen işlem tanımından açıktır.