Metrik uzayda küme değerli dönüşümler için sabit nokta teoremleri

KIRIKKALE ÜN·IVERS·ITES·I FEN B·IL·IMLER·I ENST·ITÜSÜ

MATEMAT·IK ANAB·IL·IM DALI YÜKSEK L·ISANS TEZ·I

METR·IK UZAYDA KÜME DE ¼GERL·I DÖNܸSÜMLER ·IÇ·IN SAB·IT

NOKTA TEOREMLER·I

GÜLHAN MINAK

EYLÜL 2013

Matematik Anabilim Dal¬nda GÜLHAN MINAK taraf¬ndan haz¬rlanan METR·IK UZAYDA KÜME DE ¼GERL·I DÖNܸSÜMLER ·IÇ·IN SAB·IT NOKTA TEO- REMLER·I adl¬Yüksek Lisans Tezinin Anabilim Dal¬standartlar¬na uygun oldugunu onaylar¬m.

Prof. Dr. Kerim KOCA Anabilim Dal¬Ba¸skan¬

Bu tezi okudu¼gumu ve tezin Yüksek Lisans Tezi olarak bütün gereklilikleri yerine getirdi¼gini onaylar¬m.

Doç. Dr. ·Ishak ALTUN Dan¬¸sman

Jüri Üyeleri:

Ba¸skan : Doç. Dr. Muammer KULA

Üye (Dan¬¸sman) : Doç. Dr. ·Ishak ALTUN

Üye : Doç. Dr. Ali ARAL

.../.../...

Bu tez ile K¬r¬kkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini onaylam¬¸st¬r.

Doç. Dr. Erdem Kamil YILDIRIM Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

i ÖZET

METRĠK UZAYDA KÜME DEĞERLĠ DÖNÜġÜMLER ĠÇĠN SABĠT NOKTA TEOREMLERĠ

MINAK, Gülhan Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dalı, Yüksek Lisans Tezi DanıĢman: Doç. Dr. Ġshak ALTUN

Eylül 2013, 101 sayfa

Bu tez çalıĢmasında, temel olarak tam metrik uzaylarda küme değerli dönüĢümler için bazı sabit nokta teoremleri incelenmiĢtir. Ġlk olarak, tez boyunca kullanılacak metrik uzay ile ilgili temel tanımlar ve teoremler verilmiĢtir. Sonra, tam metrik uzaylarda küme değerli dönüĢümler için önemli sabit nokta teoremlerinden Nadler, Reich ve Mizoguchi-Takahashi sabit nokta teoremleri detaylı bir Ģekilde incelenmiĢtir. Daha sonra, tezin asıl kısmında dört ana teorem verilmiĢtir. Bunlar küme değerli F-büzülmeler için sabit nokta teoremi, küme değerli genelleĢtirilmiĢ F- büzülmeler için sabit nokta teoremi, küme değerli α-geçiĢli (𝛼_∗-geçiĢli) dönüĢümler için sabit nokta teoremi ve son olarak küme değerli hemen hemen α-geçiĢli (𝛼_∗- geçiĢli) dönüĢümler için sabit nokta teoremleridir. Burada literatürde ilk defa tanımlanan Küme Değerli Pseudo Picard Operator kavramı kullanılmıĢtır. Elde edilen sonuçlar, literatürde daha önce verilen sabit nokta sonuçlarının birer öz genelleĢtirmesi olduğunu gösteren örneklerle desteklenmiĢtir.

Anahtar kelimeler: Sabit Nokta, Küme Değerli DönüĢüm, α-GeçiĢli DönüĢüm, 𝛼_∗-GeçiĢli DönüĢüm, Zayıf Picard Operatör, Pseudo Picard Operatör, F-Büzülmeler

ii ABSTRACT

FIXED POINT THEOREMS FOR MULTIVALUED MAPPINGS ON METRIC SPACE

MINAK, Gülhan Kırıkkale University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematic, M. Sc. Thesis Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Ġshak ALTUN

September 2013, 101 pages

In this thesis, some fixed theorems for setvalued mappings in complete metric spaces are mainly examined. Firstly, fundamental concepts of metric spaces and some well-konown theorems are given which will be used throughout thesis. Also, Nadler, Reich and Mizoguchi-Takahashi fixed point theorems which are some of important theorems for setvalued mappings in complete metric spaces are deeply examined. In main section of thesis four main theorems are presented. These are fixed point theorem for setvalued F-contractions, fixed point theorem for setvalued generalized F-contractions, fixed point theorem for setvalued α-admissible mappings and fixed point theorem for setvalued almost α-admissible mappings. The concept of setvalued Pseudo Picard Operator defininig as first time in literature is used. Being a generalization of fixed point theorems in literature of the results obtaining in this thesis is showed with examples.

Key Words: Fixed Point, Multivalued Map, α-Admissible Map, 𝛼_∗-Admissible Map, Weakly Picard Operator, Pseudo Picard Operator, F-Contraction.

iii TEŞEKKÜR

ÇalıĢmalarım boyunca; tecrübe ve katkıları ile beni yönlendiren, tez konusunun oluĢmasında ve hazırlanmasında hiçbir zaman yardımını eksik etmeyen değerli hocam, Sayın Doç. Dr. Ġshak ALTUN'a, çalıĢmalarım esnasında beni daima destekleyen Tuncer ACAR, Özlem ACAR, Gonca DURMAZ, Emre DENĠZ ile Kırıkkale Üniversitesi Matematik Bölümündeki değerli hocalarıma, verdiği maddi desteklerinden dolayı TUBĠTAK'a, ÖYP Birimi'ne ve desteğini hiçbir zaman eksik etmeyen sevgili aileme teĢekkür ederim.

iv

İÇİNDEKİLER DİZİNİ

Sayfa

ÖZET ... i

ABSTRACT ... ii

TEŞEKKÜR ... iii

İÇİNDEKİLER DİZİNİ ... iv

1. GİRİŞ ... 1

1.1. Kaynak Özetleri ... 4

1.2. ÇalıĢmanın Amacı ... 5

2. MATERYAL VE YÖNTEM ... 7

2.1. Bazı Temel Metrik ve Topolojik Kavramlar ... 7

2.2. Küme Değerli DönüĢümler ve Hausdorff Metriği…………...………...… 14

2.3. Küme Değerli DönüĢümler için Bazı Sabit Nokta Teoremleri………...… 24

2.4. Mizoguchi-Tahakashi Fonksiyonu ve Özellikleri………...… 28

3. ARAŞTIRMA BULGULARI ... 40

3.1. F-Büzülmeler için Sabit Nokta Teoremleri ... 40

3.2. Kıyaslama Fonksiyonları ve α-GeçiĢli DönüĢümler ... 52

3.3. Küme Değerli α-GeçiĢli ve 𝛼_∗-GeçiĢli DönüĢümler ... 65

3.4. Küme Değerli Zayıf Picard ve Pseudo Picard Operatörler ... 77

3.5. Uygulama ... 95

4. TARTIŞMA VE SONUÇ ... 98

KAYNAKLAR ... 99

1.

X bo¸s olmayan bir küme ve T : X ! X bir dönü¸süm olsun. E¼ger x = T x olacak ¸sekilde x 2 X varsa o zaman x noktas¬na T nin sabit noktas¬denir. Yani T dönü¸sümü alt¬nda de¼gi¸smeyen bir noktaya T nin bir sabit noktas¬ denir. Örne¼gin X = R olmak üzere T x = 2x dönü¸sümünün x = 0 noktas¬bir sabit noktas¬olmas¬na ra¼gmen T x = x + 2 ¸seklinde tan¬mlanan dönü¸sümün X de hiç bir sabit noktas¬

yoktur. O halde bir dönü¸sümün sabit noktas¬n¬n varl¬¼g¬, o dönü¸sümün tan¬m¬na ba¼gl¬oldu¼gu gibi tan¬mland¬¼g¬kümenin yap¬s¬na da ba¼gl¬d¬r. Bu nedenle sabit nokta teori çal¬¸smalar¬bir dönü¸sümün sabit noktas¬n¬n hangi ko¸sullar alt¬nda var oldu¼gu, varsa tek olup olmad¬¼g¬, tek ise nas¬l bulunabilece¼gi sorular¬na cevap aramaktad¬r.

Sabit nokta teorisi matemati¼gi bir çok dal¬ ile ili¸skilidir. Örne¼gin, nonli- neer fonksiyonel analiz, matematiksel analiz, operatör teori ve genel topoloji bun- lardan ba¸sl¬calar¬d¬r. Tarihsel olarak sabit nokta teori çal¬¸smalar¬ iki ana yönde geli¸smektedir. Bunlardan birincisi, tam metrik uzay üzerinde büzülme ve büzülme tip dönü¸sümler için sabit nokta teoridir. ·Ikincisi ise normlu uzaylar¬n kompakt ve konveks alt kümeleri üzerinde tan¬ml¬ sürekli operatörler için sabit nokta teoridir.

Normlu uzaylarda sabit nokta teori 1910 y¬l¬nda Brouwer ile ba¸slam¬¸st¬r. Brouwer Rⁿ nin kapal¬birim yuvar¬ndan kendisine tan¬ml¬sürekli her dönü¸sümün bir sabit noktas¬n¬n var oldu¼gunu göstermi¸stir. Bunun reel eksende özel bir durumu ¸su ¸sek- ildedir: T : [0; 1] ! [0; 1] sürekli bir dönü¸süm ise T nin bir sabit noktas¬ vard¬r.

Brouwer’¬n bu teoreminin sonsuz boyutlu uzaylara geni¸sletilmesi dü¸sünülmü¸s fakat Kakutani bu teoremin sonsuz boyutlu uzaylarda geçerli olmad¬¼g¬n¬gösteren a¸sa¼g¬- daki örne¼gi vermi¸stir:

(l₂;k k2) Hilbert uzay¬n¬ ve bunun C = fx = fxⁿg 2 l² :kxk2 1g kapal¬

birim yuvar¬n¬göz önüne alal¬m. T : C ! C dönü¸sümü

T x = q

1 kxk²2; x₁; x₂; :::; x_n; :::

olarak tan¬mlans¬n. Bu durumda her x = fxⁿg 2 l² için kT xk2 =

q

1 kxk²2 +jx¹j²+jx²j²+ ::: +jxⁿj²+ :::

= q

1 kxk²2 +kxk²2

= 1

olur. Ayr¬ca T dönü¸sümü süreklidir. ¸Simdi T nin sabit noktas¬n¬n var oldu¼gunu kabul edelim ve bu nokta x0 = fx⁽ⁿ⁾0 g olsun. O halde, kx⁰k2 = kT x⁰k2 = 1 olur.

Fakat,

T x₀ = q

1 kx⁰k²2; x⁽¹⁾₀ ; x⁽²⁾₀ ; :::; x⁽ⁿ⁾₀ ; :::

= n

0; x⁽¹⁾₀ ; x⁽²⁾₀ ; :::; x⁽ⁿ⁾₀ ; :::o

= x_o

= n

x⁽¹⁾₀ ; x⁽²⁾₀ ; :::; x⁽ⁿ⁾₀ ; :::o

oldu¼gundan x⁽¹⁾₀ = 0; x⁽²⁾₀ = 0; :::; x⁽ⁿ⁾₀ = 0 veya x0 =f0; 0; :::; 0; :::g bulunur. Bu ise kx⁰k2 = 1 olmas¬ile çeli¸sir.

Ancak yine de Brouwer sabit nokta teoremi baz¬ ek ¸sartlarla birlikte 1930 y¬l¬nda Schauder taraf¬ndan sonsuz boyutlu uzaylara a¸sa¼g¬daki ¸sekilde geni¸sletilmi¸stir:

X bir Banach uzay¬, C; X uzay¬n¬n kompakt, konveks bir alt kümesi ve T : C ! C sürekli bir dönü¸süm olsun. Bu durumda, T dönü¸sümü C de en az bir sabit noktaya sahiptir.

Di¼ger taraftan, tam metrik uzaylarda sabit nokta teori çal¬¸smalar¬1922 y¬l¬nda Banach ile ba¸slam¬¸st¬r. Banach literatürde büzülme dönü¸sümü prensibi olarak da adland¬r¬lan ¸su teoremi ifade ve ispat etmi¸stir: (X; d) bir tam metrik uzay ve T : X ! X bir büzülme dönü¸sümü olsun.Yani her x; y 2 X için

d(T x; T y) kd(x; y)

olacak ¸sekilde bir k 2 [0; 1) var olsun. O zaman T dönü¸sümünün X de bir tek sabit noktas¬vard¬r. Üstelik X deki herhangi bir ba¸slang¬ç noktas¬ndan elde edilen Picard iterasyonu T nin sabit noktas¬na yak¬nsar. Büzülme dönü¸süm prensibi, matematikte çok önemli problemlerin çözümünün varl¬¼g¬ ve tekli¼gi için iyi bir araçt¬r. Bu öne- mimden dolay¬bu prensip ço¼gu ara¸st¬rmac¬lar taraf¬ndan geni¸sletilmi¸s ve genelle¸stir- ilmi¸stir.

Öte yandan, 1969 da Nadler, Hausdor¤ metri¼gini kullanarak, küme de¼gerli büzülme kavram¬n¬verip, büzülme dönü¸süm prensibinin küme de¼gerli versiyonunu ispatlam¬¸st¬r.

(X; d)bir metrik uzay olmak üzere P(X), X in bo¸s olmayan tüm alt kümelerinin s¬n¬f¬n¬, B(X), X in bo¸s olmayan tüm s¬n¬rl¬alt kümelerinin s¬n¬f¬n¬, C(X), X in bo¸s olmayan tüm kapal¬alt kümelerinin s¬n¬f¬n¬ve CB(X) de X in bo¸s olmayan tüm ka- pal¬ve s¬n¬rl¬alt kümelerinin s¬n¬f¬n¬göstersin. T : X ! P(X) dönü¸sümü için, e¼ger x 2 T x olacak ¸sekilde bir x 2 X varsa bu noktaya T küme de¼gerli dönü¸sümünün bir sabit noktas¬ denir. Örne¼gin, X = [0; 1] olmak üzere T x = [x⁴; x²] ¸seklinde tan¬mlans¬n. O zaman x1 = 0 ve x2 = 1 bu dönü¸sümün sabit noktalar¬d¬r.

(X; d) bir metrik uzay, A X ve x 2 X olsun. x noktas¬n¬n A kümesine olan uzakl¬¼g¬

D(x; A) = inffd(x; y) : y 2 Ag ile tan¬mlan¬r. A; B 2 P(X) için

(A; B) = supfD(x; B) : x 2 Ag ve

H(A; B) = maxf (A; B); (B; A)g

¸seklinde tan¬mlans¬n. A; B 2 B(X) ise hem (A; B) ve hem de H(A; B) birer reel say¬d¬r. Ayr¬ca iyi tan¬ml¬olmalar¬nedeni ile ve H, B(X) B(X) üzerinde birer reel de¼gerli fonksiyondurlar. Yine H; CB(X) üzerinde bir metriktir. Bunun bir metrik oldu¼gu ileriki bölümlerde gösterilecektir. Bu metri¼ge Hausdor¤ metri¼gi denir.

(X; d)bir metrik uzay ve T : X ! CB(X) küme de¼gerli dönü¸süm olsun. E¼ger her x; y 2 X için

H(T x; T y) kd(x; y)

olacak ¸sekilde bir k 2 [0; 1) sabiti varsa T ye küme de¼gerli büzülme dönü¸sümü ad¬

verilir. Nadler, tam metrik uzayda tan¬ml¬her küme de¼gerli büzülme dönü¸sümünün bir sabit noktas¬n¬n var oldu¼gunu ispatlam¬¸st¬r.

Nadler’in bu teoreminden sonra geli¸smeye ba¸slayan küme de¼gerli dönü¸sümler için sabit nokta teori de tek de¼gerli dönü¸sümler için verilen sabit nokta teoremlerine

paralel ¸sekilde diferensiyel ve integral içermelerin çözümlerinin varl¬¼g¬nda kullan¬l- maktad¬r.

1.1 Kaynak Özetleri

Metrik uzay ve topolojik uzaylar ile ilgili temel kavramlar için Koçak’¬n

"Genel Topolojiye Giri¸s ve Çözümlü Al¬¸st¬rmalar", Mucuk’un "Topoloji ve Kate- gori" ile Soykan’¬n "Metrik Uzaylar ve Topolojisi" adl¬kitaplar¬kullan¬lm¬¸st¬r[^{1, 2, 3}] . Küme de¼gerli dönü¸sümler için baz¬tan¬mlar ve kavramlar için Agarwal, O’Regan ve Sahu’nun "Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applica- tions" adl¬ kitab¬ temel al¬nm¬¸st¬r[⁴] . Daha sonra tezin as¬l amac¬n¬ olu¸sturan Nadler sabit nokta teoremi için Nadler’in "Multivalued contraction mappings" adl¬

makalesi, Mizoguchi-Takahashi sabit nokta teoremi için Mizoguchi ve Takahashi’nin

"Fixed point theorems for multivalued mappings on complete metric spaces" adl¬

makalesi, -geçi¸sli dönü¸sümlerle ilgili sabit nokta teoremleri için Samet, Vetro ve Vetro’nun "Fixed point theorems for - -contractive type mappings" adl¬makalesi, küme de¼gerli -geçi¸sli ve -geçi¸sli dönü¸sümlerle ilgili sabit nokta teoremleri için Asl, Rezapour ve Shahzad’¬n "On …xed points of - -contractive multifunctions"

adl¬makalesi, F -büzülmeler için Wardowski’nin "Fixed points of a new type of con- tractive mappings in complete metric spaces" adl¬makalesi incelenmi¸stir[5, 6, 7, 8, 9] . Ayr¬ca, Nadler sabit nokta teoreminin genelle¸stirmeleri için Reich’in "Some remarks concerning contraction mappings" ile "Some problems and results in …xed point the- ory" adl¬makaleleri, Mizoguchi-Takahashi fonksiyonunun özellikleri için Du’nun "On coincidence point and …xed point theorems for nonlinear multivalued maps", "Cou- pled …xed point theorems for nonlinear contractions satis…ed Mizoguchi-Takahashi’s condition in quasiordered metric spaces" ve "Some new results and generalizations in metric …xed point theory" adl¬makaleleri, Mizoguchi-Takahashi sabit nokta teo- reminin çok bir basit ispat¬için Suzuki’nin "Mizoguchi-Takahashi’s …xed point theo- rem is a real generalization of Nadler’s" adl¬makalesi, (c)-k¬yaslama fonksiyonunun özellikleri için Berinde’nin "Iterative Approximation of Fixed Points" adl¬kitab¬in- celenmi¸stir[10, 11, 12, 13, 14, 15, 16]. -geçi¸sli ve -geçi¸sli dönü¸sümlerle ilgili sabit nokta teoremlerinin genelle¸stirmeleri için Mohammedi, Rezapour ve Shahzad’¬n "Some re-

sults on …xed points of - -´Ciri´c generalized multifunctions" adl¬makalesi incelen- mi¸stir[¹⁷] . Küme de¼gerli zay¬f Picard (MWP) operatörün tan¬m¬ve bu operatörler için sabit nokta teoremleri Rus’un "Basic problems of the metric …xed point theory revisited (II)", M. Berinde ve V. Berinde’nin "On a general class of multivalued weakly Picard mappings" adl¬ makalelerinden ve M¬nak ve Altun’un "Mizoguchi- Takahashi type …xed point theorem" adl¬ çal¬¸smas¬ndan yararlan¬lm¬¸st¬r[^{18, 19, 20}] . Küme de¼gerli Pseudo Picard (MPP) operatörün tan¬m¬ve bu operatörlerle ilgili sabit nokta teoremleri için M¬nak, Acar ve Altun’un "Multivalued Pseudo Picard Opera- tors and Fixed Point Results" adl¬makalesinden yararlan¬lm¬¸st¬r[²¹]. F -büzülmeler için sabit nokta teoreminin genelle¸stirmeleri için Altun, M¬nak ve Da¼g’¬n "Multival- ued F -Contractions On Complete Metric Space" adl¬çal¬¸smas¬ve Acar, Durmaz ve M¬nak’¬n "Generalized multivalued F -contractions on complete metric spaces" çal¬¸s- mas¬ incelenmi¸stir[^{22, 23}] . Son olarak elde edilen sonuçlar¬n s¬ral¬ metrik uzaylara uygulanmas¬nda Feng ve Liu’nun "Fixed point theorems for multi-valued increasing operators in partially ordered spaces" adl¬makalesinden yararlan¬lm¬¸st¬r[²⁴] .

1.2 Çal¬¸sman¬n Amac¬

Samet, Vetro ve Vetro, 2012 y¬l¬nda sabit nokta teorisinin en önemli teo- remlerinden biri olan Banach büzülme prensibinin bir genelle¸stirmesini a¸sa¼g¬daki

¸sekilde vermi¸slerdir: "(X; d) tam bir metrik uzay, T : X ! X bir -geçi¸sli, 2 ve : X X ! [0; 1) bir fonksiyon olsun. Her x; y 2 X için

(x; y)d(T x; T y) (d((x; y))

e¸sitsizli¼gi var olsun. E¼ger, (x₀; T x₀) 1olacak ¸sekilde bir x0 2 X var ve T sürekli ise o zaman T bir sabit noktaya sahiptir."

Di¼ger yandan, büzülme dönü¸süm prensibinin bir ba¸ska genelle¸stirmesini de Wardowski, 2012 y¬l¬nda bir çal¬¸smas¬nda a¸sa¼g¬daki ¸sekilde vermi¸stir: "(X; d) tam bir metrik uzay, T : X ! X bir dönü¸süm ve F 2 F olsun. d(T x; T y) > 0 olacak

¸sekildeki her x; y 2 X için

+ F (d(T x; T y)) F (d(x; y)) (1.1)

olacak ¸sekilde bir > 0 var olsun. O zaman T nin tek bir sabit z noktas¬ vard¬r.

Üstelik her x0 2 X için fTⁿx0g dizisi T nin bu sabit z noktas¬na yak¬nsar."

Daha sonra bu teoremler pek çok yazar taraf¬ndan genelle¸stirilmi¸s, uygula- malar¬yap¬lm¬¸s, farkl¬uzaylarda ispatlar¬verilmi¸stir. Bu tez çal¬¸smas¬nda bu çal¬¸s- malar¬detayl¬bir ¸sekilde irdeleyerek bunlar¬n küme de¼gerli versiyonlar¬n¬göz önüne al¬p yeni sabit nokta sonuçlar¬n¬n elde edilmesi amaçlanm¬¸st¬r.

2.

2.1. Baz¬Temel Metrik ve Topolojik Kavramlar

Bu k¬s¬mda tez boyunca s¬kça kullanaca¼g¬m¬z, metrik uzay, metrik uzayda aç¬k ve kapal¬yuvar, topolojik uzay ve metrik uzay¬n topolojisi, temel topolojik kavram- lar, metrik uzayda yak¬nsakl¬k, Cauchy dizisi ve taml¬k kavramlar¬n¬hat¬rlataca¼g¬z.

Tan¬m 2.1 X bo¸s olmayan bir küme olmak üzere a¸sa¼g¬daki ¸sartlar¬ sa¼glayan d : X X ! R⁺ fonksiyonuna bir metrik, (X; d) ikilisine de bir metrik uzay denir.

a) d(x; y) = 0 ancak ve ancak x = y, b) her x; y; z 2 X için d(x; y) = d(y; x),

c) her x; y; z 2 X için d(x; y) d(x; z) + d(z; y):

Tan¬m 2.2 (X; d) herhangi bir metrik uzay, x₀ 2 X ve r > 0 bir reel say¬olsun.

B(x₀; r) =fx 2 X : d(x⁰; x) < rg kümesine x0 merkezli r yar¬çapl¬aç¬k yuvar,

D(x0; r) =fx 2 X : d(x⁰; x) rg kümesine x0 merkezli r yar¬çapl¬kapal¬yuvar,

S(x₀; r) =fx 2 X : d(x⁰; x) = rg kümesine x0 merkezli r yar¬çapl¬yuvar yüzeyi denir.

Tan¬m 2.3 (X; d) bir metrik uzay ve U , X in bo¸s olmayan bir alt kümesi olsun.

E¼ger her x 2 U için B(x; r) U olacak ¸sekilde bir r > 0 say¬s¬ varsa U kümesine aç¬k küme denir. E¼ger U^c= XnU kümesi aç¬k ise o zaman U kümesine kapal¬küme denir.

Önerme 2.1 (X; d) bir metrik uzay olsun. Bu takdirde a¸sa¼g¬daki ifadeler do¼grudur.

a) (X; d) uzay¬ndaki her aç¬k yuvar aç¬k bir kümedir.

b) (X; d) uzay¬ndaki her kapal¬yuvar kapal¬bir kümedir.

Tan¬m 2.4 X bo¸s olmayan bir küme ve ; X in alt kümelerinin bir s¬n¬f¬ olsun.

E¼ger s¬n¬f¬, a¸sa¼g¬daki ¸sartlar¬sa¼gl¬yorsa o zaman s¬n¬f¬na X üzerinde bir topoloji ve (X; ) ikilisine de bir topolojik uzay denir.

a) ;; X 2 ,

b) ya ait sonlu say¬daki elemanlar¬n arakesiti ya ait, c) ya ait key… say¬daki elemanlar¬n birle¸simi ya aittir.

Tan¬m 2.5 (X; ) bir topolojik uzay ve olsun. E¼ger nun her eleman¬

n¬n baz¬elemanlar¬n¬n birle¸simi olarak yaz¬labiliyorsa ya topoloji için bir taban (baz) denir.

Tan¬m 2.6 Bir (X; ) topolojik uzay¬nda nun elemanlar¬na aç¬k kümeler denir.

A X için A^c= XnA kümesi aç¬k ise A kümesine kapal¬küme denir. A kümesini kapsayan tüm kapal¬ kümelerin arakesitine A n¬n kapan¬¸s¬ denir ve A ile gösterilir.

A kümesinin kapsad¬¼g¬tüm aç¬k kümelerin birle¸simide ise A kümesinin içi denir ve A^o ile gösterilir. Bir x 2 X noktas¬n¬içeren her G aç¬k kümesi için (Gn fxg)\A 6= ; ise x 2 X noktas¬na A n¬n bir y¬¼g¬lma noktas¬denir. A n¬n tüm y¬¼g¬lma noktalar¬n¬n kümesi A⁰ ile gösterilir.

Tan¬m 2.7 (X; ) bir topolojik uzay, fxⁿg X bir dizi ve x 2 X olsun. E¼ger x 2 G olacak ¸sekildeki her G aç¬k kümesi için, n n₀ oldu¼gunda xn 2 G olacak

¸

sekilde bir n0 2 N varsa fxⁿg dizisi x 2 X noktas¬na yak¬nsar denir ve bu durum lim_n!1x_n= x yada k¬saca x_n! x ¸seklinde gösterilir.

Tan¬m 2.8 (X; ) ve (Y; ) topolojik uzaylar, f : X ! Y bir fonksiyon ve x 2 X olsun. E¼ger f (x) 2 V olacak ¸sekildeki her V 2 için x 2 U ve f(U) V olacak

¸sekilde bir U 2 varsa f fonksiyonuna x 2 X noktas¬nda süreklidir denir. E¼ger f fonksiyonu X in her noktas¬nda sürekli ise f ye bir sürekli fonksiyon denir.

Tan¬m 2.9 (X; ₁) ve (Y; ₂) iki topolojik uzay ve f : X ! Y bir fonksiyon ol- sun. (X; 1) uzay¬nda x noktas¬na yak¬nsayan her fxⁿg dizisi için (Y; ²) uza- y¬nda ff(xⁿ)g dizisi f(x) noktas¬na yak¬ns¬yorsa f fonksiyonuna x noktas¬nda dizisel süreklidir denir. f fonksiyonu X uzay¬n¬n her noktas¬nda dizisel sürekli ise f ye X de dizisel süreklidir veya k¬saca dizisel sürekli denir.

Uyar¬2.1 Her sürekli fonksiyon dizisel süreklidir, fakat genelde tersi do¼gru de¼gildir.

Ancak, metrik uzaylarda süreklilik ve dizisel süreklilik kavramlar¬birbirine denktir.

Tan¬m 2.10 (X; d) bir metrik uzay, x2 X ve A; B X olsun. Bu durumda D(A; B) = inffd(a; b) : a 2 A; b 2 Bg

de¼gerine A ve B kümeleri aras¬ndaki uzakl¬k,

D(x; A) = inffd(x; a) : a 2 Ag de¼gerine x noktas¬n¬n A kümesine uzakl¬¼g¬,

d(A) = supfd(a; b) : a 2 A; b 2 Bg

de¼gerine A kümesinin çap¬ denir. E¼ger d(A) < 1 ise A kümesine s¬n¬rl¬ küme, d(A) =1 ise A kümesine s¬n¬rs¬z küme denir.

Tan¬m 2.11 (X; d) bir metrik uzay olsun. Bu durumda

d =fU X : U kümesi (X; d) uzay¬nda aç¬kg

s¬n¬f¬ X üzerinde bir topolojidir. Bu X üzerindeki d topolojisine metrik topolojisi veya d metri¼ginin üretti¼gi topoloji denir. (X; d) ikilisine de metrik topolojik uzay denir.

Tan¬m 2.12 (X; d) bir metrik uzay,fxⁿg, terimleri X de olan bir dizi olsun. E¼ger, her " > 0 için bir n0 2 N say¬s¬, n n₀ özelli¼gindeki her n 2 N için xⁿ 2 B(x; ") olacak ¸sekilde varsa fxⁿg dizisine x 2 X noktas¬na yak¬ns¬yor denir. Bu durum x_n ! x veya limn!1x_n = x ile gösterilir. x noktas¬na fxⁿg dizisinin limiti ad¬

verilir.

Teorem 2.1 Metrik uzayda yak¬nsak her dizinin limiti tektir.

Tan¬m 2.13 (X; d) bir metrik uzay, fxⁿg, X de bir dizi olsun. n^k < n_k+1 olmak üzere fxⁿkg dizisine fxⁿg dizisinin bir alt dizisi denir.

Teorem 2.2 (X; d) bir metrik uzay olsun. fxⁿg dizisi yak¬nsak ise o zaman her fxⁿkg alt dizisi de yak¬nsakt¬r ve ayn¬noktaya yak¬nsar.

Tan¬m 2.14 (X; d) bir metrik uzay, fxⁿg, X de bir dizi olsun. E¼ger her " > 0 için bir n0 2 N say¬s¬, m > n n₀ özelli¼gindeki her m; n 2 N için d(xⁿ; x_m) < " olacak

¸sekilde varsa fxⁿg dizine bir Cauchy dizisi denir. E¼ger (X; d) metrik uzay¬ndaki her Cauchy dizisi bu uzayda bir noktaya yak¬ns¬yor ise o zaman bu uzaya tam metrik uzay denir.

Teorem 2.3 Bir (X; d) metrik uzay¬nda yak¬nsak her fxⁿg dizisi bir Cauchy dizi- sidir. Ayr¬ca her Cauchy dizisi s¬n¬rl¬d¬r.

Önerme 2.2 (X; d) bir metrik uzay, fxⁿg ; X de bir dizi ve P₁

n=1d(x_n; x_n+1) < 1 olsun. Bu durumda fxⁿg dizisi bir Cauchy dizisidir.

Ispat.· Her m; n 2 N ve m > n için

d(x_n; x_m) d(x_n; x_n+1) + + d(x_{m 1}; x_m)

=

m 1X

i=n

d(x_i; x_i+1) X1

i=n

d(x_i; x_i+1) olur. P₁

i=nd(x_i; x_i+1) verilen serinin kalan terimi oldu¼gundan n ! 1 için

n!1lim d(x_n; x_m) = 0

elde edilir ki bu fxⁿg dizisinin bir Cauchy dizisi oldu¼gunu gösterir.

Tan¬m 2.15 (X; d) ve (Y; e) metrik uzaylar, f : (X; d) ! (Y; e) bir fonksiyon ve x₀ 2 X olsun. E¼ger her " > 0 için f(B(x⁰; )) B(f (x₀); ") olacak ¸sekilde bir > 0 varsa, di¼ger bir deyi¸sle her " > 0 için d(x0; x) < oldu¼gunda e(f (x0); f (x)) < "

olacak ¸sekilde bir > 0 say¬s¬ varsa f fonksiyonu x₀ noktas¬nda süreklidir. E¼ger f fonksiyonu X in her noktas¬nda sürekli ise f ye bir sürekli fonksiyon denir.

Tan¬m 2.16 (X; d) bir metrik uzay, x2 X ve A; X in bir alt kümesi olsun. E¼ger, her " > 0 için

(B(x; ")n fxg) \ A 6= ;

oluyorsa x 2 X noktas¬na A n¬n bir y¬¼g¬lma noktas¬d¬r denir. A n¬n tüm y¬¼g¬lma noktalar¬n¬n kümesi A⁰ ile gösterilir. A [ A⁰ kümesine A n¬n kapan¬¸s¬denir ve A ile gösterilir.

Önerme 2.3 (X; d) metrik uzay ve A; X in bir alt kümesi ve x; A n¬n bir y¬¼g¬lma noktas¬ olsun. O zaman her bir B(x; ") aç¬k yuvar¬ A n¬n sonsuz say¬da eleman¬n¬

içerir.

Teorem 2.4 (X; d) metrik uzay ve A; X in bir alt kümesi olsun. O zaman bir x noktas¬ A n¬n bir y¬¼g¬lma noktas¬d¬r ancak ve ancak xn ! x olacak ¸sekilde A kümesinden x den farkl¬x1; x2; x3; ; xn; elemanlar¬n¬seçmek mümkündür.

Teorem 2.5 (X; d) bir metrik uzay ve A; X in bir alt kümesi olsun. x 2 A d¬r ancak ve ancak xn! x olacak ¸sekilde A içinde bir fxⁿg dizisi vard¬r.

Uyar¬2.2 (X; ) topolojik uzay¬nda x2 A iken xⁿ ! x olacak ¸sekilde A içinde bir fxⁿg dizisi bulunmayabilir. Örne¼gin,

=fU R : RnU say¬labilirg [ f;g

olmak üzere (R; ) say¬labilir tümleyenler uzay¬n¬ göz önüne alal¬m. 2 2 (0; 1) ol- mas¬na ra¼gmen (0; 1) de 2 noktas¬na yak¬nsayan hiçbir dizi yoktur.

Sonuç 2.1 (X; d) bir metrik uzay ve A X olsun. O zaman A kapal¬d¬r ancak ve ancak A daki yak¬nsak her dizinin limiti A dad¬r.

Teorem 2.6 (X; d) bir metrik uzay ve A; X in bir alt kümesi olsun. x 2 A d¬r ancak ve ancak her " > 0 için B(x; ") \ A 6= ; d¬r.

Teorem 2.7 (X; d) bir metrik uzay ve A; X in bir alt kümesi olsun. O zaman x2 A d¬r ancak ve ancak D(x; A) = 0 d¬r.

Ispat. ·· Ilk olarak x 2 A olsun. Bu durumda Teorem 2.6 gere¼gince her " > 0 için B(x; ")\ A 6= ; olur. Buna göre her " > 0 için d(x; x^") < "olacak ¸sekilde bir x"2 A vard¬r. Bu nedenle

D(x; A) = inffd(x; y) : y 2 Ag = 0

olmak zorundad¬r. Çünkü e¼ger inf fd(x; y) : y 2 Ag = > 0 olsayd¬ o zaman her y 2 A için d(x; y) > 0 ve buradan B(x; ) \ A = ; olurdu ki bu bir çeli¸skidir.

Tersine D(x; A) = inf fd(x; y) : y 2 Ag = 0 oldu¼gunu kabul edelim. Bu durumda her " > 0 için d(x; x") < " olacak ¸sekilde bir x" 2 A vard¬r. Böylece her " > 0 için B(x; ")\ A 6= ; olur. Buna göre Teorem 2.6 gere¼gince x 2 A bulunur.

Sonuç 2.2 (X; d) bir metrik uzay ve A; X in kapal¬bir alt kümesi olsun. D(x; A) = 0 d¬r ancak ve ancak x2 A d¬r.

Tan¬m 2.17 Bir (X; ) topolojik uzay¬nda aç¬k kümelerin bir ailesi fGⁱ : i2 Ig olsun. E¼ger A X için

A [

i2I

G_i

oluyorsa fGⁱ : i2 Ig ailesine A kümesinin bir aç¬k örtüsü denir. E¼ger, aç¬k örtünün A

[n k=1

G_ik

olacak biçimde bir fGⁱk : k = 1; 2; ; ng alt ailesi var ise, bu aileye A kümesinin sonlu bir alt örtüsü denir.

Tan¬m 2.18 (X; ) bir topolojik uzay ve A X olsun. E¼ger A kümesinin her aç¬k örtüsünün sonlu bir alt örtüsü varsa A kümesine kompakt küme denir. E¼ger, X kompakt bir küme ise (X; ) topolojik uzay¬na kompakt topolojik uzay denir.

Teorem 2.8 Bir (X; ) kompakt topolojik uzay¬n¬n kapal¬ her alt kümesi de kom- pakt¬r.

Tan¬m 2.19 (X; ) bir topolojik uzay olsun. X in farkl¬ her nokta çiftini içeren ayr¬k aç¬k kümeler varsa (X; ) topolojik uzay¬na Hausdor¤ uzay denir.

Teorem 2.9 Bir (X; ) Hausdor¤ uzay¬n¬n kompakt her alt kümesi kapal¬d¬r.

Teorem 2.10 (X; ) bir topolojik uzay, A; X in bo¸s olmayan bir kompakt alt kümesi olsun. E¼ger f : A ! R sürekli ise f(a) = sup f(A) ve f(b) = inf f(A) olacak ¸sekilde a; b2 A vard¬r.

Teorem 2.11 Bir (X; d) metrik uzay¬ kompaktt¬r ancak ve ancak bu uzayda her dizinin yak¬nsak bir alt dizisi vard¬r.

Teorem 2.12 (X; d) metrik uzay ve A ile B; X in bo¸s olmayan alt kümeleri olsun.

E¼ger A kompakt ise D(A; B) = D(p; B) olacak ¸sekilde bir p 2 A noktas¬vard¬r.

Ispat.· A üzerinde f (x) = D(x; B) = inf fd(x; y) : y 2 Bg ile tan¬ml¬ reel de¼gerli sürekli fonksiyonunu gözönüne alal¬m. A kompakt oldu¼gundan f fonksiyonu A üz- erinde bir minimuma sahiptir, yani f (p) = inf_x2Af (x) olacak ¸sekilde bir p 2 A vard¬r ve bu nedenle

D(A; B) = inf

x2AD(x; B) = inf

x2Af (x) = f (p) = D(p; B)

olur. Bir ba¸ska ifade ile D(A; B) = D(p; B) olacak ¸sekilde bir p 2 A noktas¬vard¬r.

Sonuç 2.3 (X; d) bir metrik uzay, x2 X ve A; X in kompakt bir alt kümesi olsun.

O zaman d(x; a) = D(x; A) olacak ¸sekilde bir a 2 A vard¬r.

Tan¬m 2.20 X bo¸s olmayan bir küme olsun. X üzerinde a¸sa¼g¬daki özelliklere sahip bir ba¼g¬nt¬s¬na k¬smi s¬ralama ba¼g¬nt¬s¬ ve (X; ) ikilisine de k¬smi s¬ral¬ küme denir.

a) yans¬mal¬d¬r, yani her x 2 X için x x dir.

b) ters simetriktir, yani her x; y 2 X için x y ve y x ise x = y dir.

c) geçi¸slidir, yani her x; y; z 2 X için x y ve y z ise x z dir.

Bir k¬smi s¬ralama ba¼g¬nt¬s¬n¬göstermek için simgesi yerine gösterimini kullanaca¼g¬z. Böylece x y yerine x y yaz¬p bunu "x; y den önce gelir" yada "x küçük e¸sit y" biçiminde okuyaca¼g¬z.

2.2. Küme De¼gerli Dönü¸sümler ve Hausdor¤ Metri¼gi

Bu k¬s¬mda küme de¼gerli dönü¸süm, küme de¼gerli dönü¸sümün sabit noktas¬, üstten ve alttan yar¬süreklilik kavramlar¬k¬saca ele al¬nacakt¬r. Ayr¬ca Hausdor¤

metri¼gi ve baz¬özellikleri incelenecektir.

Tan¬m 2.21 X ve Y bo¸s olmayan iki küme olsun. T X Y ise T ye X den Y ye bir küme de¼gerli (ço¼gul de¼gerli) dönü¸süm denir. T : X ! P(Y ) ile gösterilir.

Burada P(Y ); Y nin bo¸s olmayan tüm alt kümelerinin s¬n¬f¬d¬r. T : X ! P(Y ) küme de¼gerli dönü¸sümünün tersi

(x; y)2 T , (y; x) 2 T ¹

¸

seklinde tan¬mlan¬r.

T, X den Y ye bir küme de¼gerli dönü¸süm ve x 2 X olsun. T nin x noktas¬n- daki görüntüsü

T x =fy 2 Y : (x; y) 2 T g kümesidir. Yine A X için

T (A) = [

x2A

T x

kümesi A n¬n T küme de¼gerli dönü¸süm alt¬ndaki görüntüsüdür. Ayr¬ca, [

x2A

T x = y 2 Y : T ¹(y)\ A 6= ;

d¬r. Gerçekten,

u2 T (A) = [

x2A

T x , 9x 2 A için u 2 T x , 9x 2 A için (x; u) 2 T , 9x 2 A için x 2 T ¹(u) , T ¹(u)\ A 6= ;

, u 2 y 2 Y : T ¹(y)\ A 6= ; bulunur. B Y için

T ¹(B) = [

y2B

T ¹(y)

kümesine B nin T ¹ alt¬ndaki görüntüsü (veya T alt¬ndaki ters görüntüsü) denir.

Benzer ¸sekilde

[

y2B

T ¹(y) =fx 2 X : T x \ B 6= ;g oldu¼gu gösterilebilir.

Tan¬m 2.22 T : X ! P(X) dönü¸sümü için x⁰ 2 T x⁰ olacak ¸sekilde x0 2 X varsa bu noktaya T nin sabit noktas¬ denir. T dönü¸sümünün sabit noktalar¬n¬n kümesi F (T ) ile gösterilir. Yani

F (T ) =fx 2 X : x 2 T xg dir.

Örnek 2.1 X = [0; 1] olmak üzere T : X ! P(X) dönü¸sümü

T x = 8>

>>

<

>>

>:

f1g ; 0 x < ¹₂ [0; 1] ; x = ¹₂ [0; 1 x] ; ¹₂ < x 1

¸

seklinde tan¬mlans¬n. O halde

T (0) =f1g ; T (³4) = 0;¹₄ T (¹₂) = [0; 1] ; T ((¹₄;³₄)) = [0; 1]

T ((0;¹₄) = f1g ; T ((¹2;³₄)) = 0; ¹₂

oldu¼gu görülebilir. Burada ¹₂ 2 T¹₂ = [0; 1] oldu¼gundan ¹₂; T nin bir sabit noktas¬d¬r.

Tan¬m 2.23 X ve Y iki topolojik uzay ve T : X ! P(Y ) bir küme de¼gerli dönü¸süm olsun. E¼ger Y deki her kapal¬ kümenin ters görüntüsü X de kapal¬ oluyorsa, T ye üsten yar¬sürekli, Y deki her aç¬k kümenin ters görüntüsü X de aç¬k ise T ye alttan yar¬ sürekli dönü¸süm denir. E¼ger bir küme de¼gerli dönü¸süm hem alttan hem de üstten yar¬sürekli ise bu dönü¸süme süreklidir denir.

Örnek 2.2 T : [0; 1]! P([0; 1])

T x = 8>

>>

>>

>>

>>

<

>>

>>

>>

>>

>:

3

4 ; 0 x < ¹₂

1

4;³₄ ; x = ¹₂

1

4 ; ¹₂ < x ³₄

¸

seklinde tan¬mlans¬n. O zaman T dönü¸sümü üstten yar¬ süreklidir ancak alttan yar¬ sürekli de¼gildir. Çünkü V = ¹₄;³₄ aç¬k kümesi için T ¹(V ) = ¹₂ olup aç¬k de¼gildir. Burada dikkat edelim ki her kapal¬kümenin ters görüntüsü de kapal¬d¬r.

Örnek 2.3 T : R ! P(R) dönü¸sümü

T x = 8>

>>

<

>>

>:

f0g ; x6= 0

[ 1; 1] ; x = 0

¸

seklinde tan¬mlans¬n. O zaman T dönü¸sümü üstten yar¬süreklidir ancak alttan yar¬

sürekli de¼gildir. K kapal¬kümesi için

T ¹(K) = 8>

>>

>>

>>

>>

<

>>

>>

>>

>>

>:

R ; 02 K

f0g ; 0 =2 K ve K \ [ 1; 1] 6= ;

; ; K\ [ 1; 1] = ;

oldu¼gundan T dönü¸sümü üstten yar¬süreklidir. Ancak U = ¹₂; 2 a笼g¬için T ¹(U ) = f0g olup aç¬k de¼gildir. O halde T dönü¸sümü alttan yar¬sürekli de¼gildir.

Örnek 2.4 T : R ! P(R) dönü¸sümü

T x = 8>

>>

<

>>

>:

[ 1; 1] ; x6= 0

f0g ; x = 0

¸

seklinde tan¬mlans¬n. O zaman T dönü¸sümü alttan yar¬süreklidir ancak üstten yar¬

sürekli de¼gildir. Bu dönü¸sümde bir aç¬k kümenin ters görüntüsü ya Rn f0g ya R yada ; dur. Dolay¬s¬yla T dönü¸sümü alttan yar¬ süreklidir. Ancak, K = ¹2; 2 kapal¬ kümesi için T ¹(K) = Rn f0g olup kapal¬ de¼gildir. O halde T dönü¸sümü üstten yar¬sürekli de¼gildir.

(X; d)bir metrik uzay ve K(X); X in bo¸s olmayan tüm kompakt alt kümelerin s¬n¬f¬olsun. O zaman K(X) CB(X) C(X) ve K(X) CB(X) B(X) oldu¼gu aç¬kt¬r. A; B 2 P(X) için

(A; B) = sup

x2AfD(x; B)g = sup

x2A

y2Binf d(x; y)

ve

H(A; B) = maxf (A; B); (B; A)g

= max sup

x2A

y2Binf d(x; y); sup

x2B

y2Ainf d(x; y)

¸seklinde tan¬mlans¬n.

Örnek 2.5 X = R kümesi al¬¸s¬lm¬¸s metrik ile göz önüne al¬ns¬n. A = [1; 2] ve B = [4;1) kümeleri için

(A; B) = 3; (B; A) =1 oldu¼gundan

H(A; B) = maxf (A; B); (B; A)g = 1

bulunur. nin simetrik olmad¬¼g¬ buradan görülebilir. Yani genelde (A; B) 6=

(B; A) d¬r. Ayr¬ca, ve H ¬n P(X) P(X) üzerinde tan¬ml¬reel de¼gerli fonksiy- onlar olmad¬¼g¬da görülmektedir.

Uyar¬2.3 E¼ger A ve B kümeleri (X; d) metrik uzay¬n¬n s¬n¬rl¬ alt kümeleri ise (A; B), (B; A) ve H(A; B) birer reel say¬d¬r. O halde ve H, B(X) B(X) üzerinde tan¬ml¬reel de¼gerli fonksiyonlard¬r.

Örnek 2.6 X = R kümesi al¬¸s¬lm¬¸s metrik ile göz önüne al¬ns¬n. A = [2; 4] ve B = (2; 4) kümeleri için

(A; B) = (B; A) = 0 oldu¼gundan

H(A; B) = maxf (A; B); (B; A)g = 0

bulunur. Burada H(A; B) = 0 olmas¬na ra¼gmen A 6= B dir. Yani H : B(X) B(X) ! R fonksiyonu bir metrik de¼gildir.

Teorem 2.13 (X; d) bir metrik uzay, A; B 2 P(X) olsun. O zaman H(A; B) = supfjD(x; A) D(x; B)j : x 2 Xg dir.

Ispat.· Her x 2 X ve her b 2 B için

D(x; A) d(x; b) + D(b; A) yaz¬labilir. D(b; A) H(A; B)oldu¼gundan

D(x; A) d(x; b) + H(A; B) olup bu e¸sitsizlik her b 2 B için de geçerlidir. Dolay¬s¬yla

D(x; A) D(x; B) + H(A; B) veya

D(x; A) D(x; B) H(A; B) yaz¬labilir. Benzer ¸sekilde

D(x; B) D(x; A) H(A; B) elde edilir. O zaman her x 2 X için

jD(x; B) D(x; A)j H(A; B) olur ki buradan

sup

x2XjD(x; A) D(x; B)j H(A; B) (2.1)

elde edilir. Di¼ger taraftan

(B; A) = supfD(b; A) : b 2 Bg

= supfD(b; A) D(b; B) : b2 Bg supfD(x; A) D(x; B) : x2 Xg supfjD(x; A) D(x; B)j : x 2 Xg olur. Benzer ¸sekilde

(A; B) supfjD(x; A) D(x; B)j : x 2 Xg oldu¼gu gösterilebilir. O zaman

H(A; B) = maxf (A; B); (B; A)g

supfjD(x; A) D(x; B)j : x 2 Xg (2.2) bulunur. O halde (2.1) ve (2.2) den istenilen e¸sitlik elde edilir.

Uyar¬2.4 A ve B, reel say¬lar¬n bo¸s kümeden farkl¬ üsten s¬n¬rl¬ iki alt kümesi olsun. Bu durumda

sup (A[ B) = max fsup A; sup Bg dir. Gerçekten

A A[ B ) sup A sup (A[ B) ve

B A[ B ) sup B sup (A[ B) oldu¼gundan

maxfsup A; sup Bg sup (A[ B) (2.3)

elde edilir. ¸Simdi x 2 A [ B olsun. O zaman x 2 A veya x 2 B dir. Dolay¬s¬yla x sup A veya x sup B dir. Buradan ise x maxfsup A; sup Bg elde edilir.olur.

O zaman

sup (A[ B) maxfsup A; sup Bg (2.4)

olur. O halde (2.3) ve (2.4) den istenilen e¸sitlik elde edilir.

A¸sa¼g¬daki önermede n¬n baz¬özellikleri incelenmi¸stir.

Önerme 2.4 (X; d) bir metrik uzay ve A; B; C 2 B(X) olsun. O zaman a¸sa¼g¬daki özellikler sa¼glan¬r.

1. (A; B) = 0, A B

2. B C ) (A; C) (A; B)

3. (A[ B; C) = max f (A; C); (B; C)g 4. (A; B) (A; C) + (C; B)

Ispat.· A; B; C2 B(X) olsun.

1.

(A; B) = 0 , sup

x2AfD(x; B)g = 0

, her x 2 A için D(x; B) = 0 , her x 2 A için x 2 B

, A B

2. B C olsun. Her x 2 X için D(x; C) D(x; B)dir. Bu durumda her x 2 A için de D(x; C) D(x; B) e¸sitsizli¼gi sa¼gland¬¼g¬ndan (A; C) (A; B) elde edilir.

3. Uyar¬2.4 göz önüne al¬n¬rsa (A[ B; C) = sup

x2A[BfD(x; C)g

= max sup

x2AfD(x; C)g ; sup

x2BfD(x; C)g elde edilir.

4. a 2 A; b 2 B ve c 2 C olsun. O zaman

d(a; b) d(a; c) + d(c; b) olur. Burada b 2 B üzerinden in…mum al¬n¬rsa

D(a; B) d(a; c) + D(c; B) elde edilir. D(c; B) (C; B) oldu¼gundan

D(a; B) d(a; c) + (C; B) olur. Son e¸sitsizlikte c 2 C üzerinden in…mum al¬n¬rsa

D(a; B) D(a; C) + (C; B) olur. Yine D(a; C) (A; C)oldu¼gundan

D(a; B) (A; C) + (C; B) olur. Böylece a 2 A üzerinden supremum al¬n¬rsa

(A; B) (A; C) + (C; B) elde edilir.

Uyar¬2.5 Önerme 2.4 de B kümesi kapal¬ise (A; B) = 0, A B ifadesinin do¼gru oldu¼gu aç¬kt¬r.

Önerme 2.5 (X; d) bir metrik uzay olsun. Bu durumda H; CB(X) üzerinde bir metriktir.

Ispat.· H ¬n CB(X) CB(X) üzerinde tan¬m¬nl¬bir reel de¼gerli fonksiyon oldu¼gu aç¬kt¬r. Ayr¬ca tan¬mdan H(A; B) = H(B; A) d¬r. ¸Simdi A; B 2 CB(X) olsun. O zaman

H(A; B) = 0 , max f (A; B); (B; A)g = 0 , (A; B) = 0 ve (B; A) = 0

, A B ve B A

, A = B bulunur. Son olarak a; b; c; d 2 [0; 1) için

maxfa + b; c + dg maxfa; cg + max fb; dg özelli¼gini kullanarak A; B; C 2 CB(X) için

H(A; B) = maxf (A; B); (B; A)g

maxf (A; C) + (C; B); (B; C) + (C; A)g maxf (A; C); (C; A)g + max f (B; C); (C; B)g

= H(A; C) + H(C; B)

elde edilir. Yani H : CB(X) CB(X) ! R bir metriktir. Bu metri¼ge Hausdor¤

metri¼gi denir.

Hausdor¤ metri¼ginin d ye ba¼gl¬oldu¼gu a¸sa¼g¬daki örnekle gösterilebilir. Ayr¬ca, e¼ger (X; d) tam metrik uzay ise (CB(X); H) ve (K(X); H) metrik uzaylar¬da tamd¬r- lar.

Örnek 2.7 X = R üzerinde d¹(x; y) =jx yj ve

d₂(x; y) = 8<

:

1 ; x6= y 0 ; x = y

metriklerini göz önüne alal¬m. Bu durumda A = [0; 1] ; B = [3; 5] kümeleri için H1(A; B) = 4 ve H2(A; B) = 1 olur. Burada dikkat edelim ki her iki kümede d1 ve d₂ metri¼gine göre kapal¬ve s¬n¬rl¬d¬r.

Lemma 2.1 A; B 2 CB(X) ve a 2 A olsun. O zaman her " > 0 için d(a; b) H(A; B) + "

olacak ¸sekilde bir b 2 B vard¬r.

Ispat.· a2 A için

D(a; B) = inffd(a; y) : y 2 Bg olur. ·In…mumun tan¬m¬ndan her " > 0 için

d(a; b) D(a; B) + "

olacak ¸sekilde bir b 2 B vard¬r. Di¼ger taraftan

D(a; B) (A; B) H(A; B) oldu¼gundan her " > 0 için

d(a; b) H(A; B) + "

olacak ¸sekilde bir b 2 B vard¬r.

Lemma 2.1 i a¸sa¼g¬daki ¸sekilde de ifade edebiliriz.

Lemma 2.2 A; B 2 CB(X) ve a 2 A olsun. O zaman her q > 1 için d(a; b) qH(A; B)

olacak ¸sekilde bir b 2 B vard¬r.

Ispat.· E¼ger H(A; B) = 0 ise A = B dir. Bu durumda b, a olarak al¬n¬rsa her q > 1 için

d(a; b) qH(A; B)

olacak ¸sekilde bir b 2 B vard¬r. ¸Simdi H(A; B) > 0 olsun. Bu durumda

" = (q 1) H(A; B) > 0

olarak seçilirse Lemma 2.1 gere¼gince her q > 1 için d(a; b) H(A; B) + "

= H(A; B) + (q 1) H(A; B)

= qH(A; B) olacak ¸sekilde bir b 2 B vard¬r.

Önerme 2.6 (X; d) bir metrik uzay olsun. Her A; B; C; D2 CB(X) için H(A[ B; C [ D) maxfH(A; C); H(B; D)g

e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r.

Ispat.· Önerme 2.4 dikkate al¬n¬rsa

(A[ B; C [ D) = max f (A; C [ D); (B; C [ D)g (2.5)

maxf (A; C); (B; D)g (2.6)

maxfH(A; C); H(B; D)g olur. Burada (2.5) için

(A₁ [ A²; B₁) = maxf (A¹; B₁); (A₂; B₁)g özelli¼gi, (2.6) için

B₁ A₁[ A² ) (A¹[ A²) (B₁) özelli¼gi kullan¬ld¬. Benzer ¸sekilde

(C[ D; A [ B) maxfH(A; C); H(B; D)g bulunur. O zaman H ¬n tan¬m¬gere¼gi

H(A[ B; C [ D) = max f (A [ B; C [ D); (C [ D; A [ B)g maxfH(A; C); H(B; D)g

elde edilir.

Lemma 2.3 (X; d) bir metrik uzay ve T : X ! CB(X) küme de¼gerli dönü¸süm ve z 2 X olsun. O zaman her x 2 X için

D(z; T z) d(z; x) + D(x; T z) dir.

Ispat.· Her x 2 X için

D(z; T z) = inffd(z; y) : y 2 T zg

inffd(z; x) + d(x; y) : y 2 T zg

= d(z; x) + inffd(x; y) : y 2 T zg

= d(z; x) + D(x; T z) elde edilir.

Lemma 2.4 (X; d) bir metrik uzay ve T : X ! CB(X) küme de¼gerli dönü¸süm ve z 2 X olsun. O zaman her x 2 X için

D(z; T z) D(z; T x) + H(T x; T z) dir.

Ispat.· Her v 2 X için D(z; T z) d(z; v) + D(v; T z) oldu¼gundan her v 2 T x için de D(z; T z) d(z; v) + D(v; T z) e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r. Ayr¬ca D(v; T z) H(T x; T z) oldu¼gundan her v 2 T x için D(z; T z) d(z; v) + H(T x; T z)olur. v 2 T x üzerinden in…mum al¬n¬rsa istenilen elde edilir.

2.3 Küme De¼gerli Dönü¸sümler için Baz¬Sabit Nokta Teoremleri

Bu k¬s¬mda küme de¼gerli Lipschitz dönü¸sümü, küme de¼gerli büzülme dönü¸sümü kavramlar¬hat¬rlanacak ve bu tip dönü¸sümler için Nadler ve Reich taraf¬ndan verilen sabit nokta teoremleri incelenecektir.

Tan¬m 2.24 (X; d) bir metrik uzay ve T : X ! CB(X) küme de¼gerli dönü¸süm olsun. E¼ger her x; y 2 X için

H(T x; T y) Ld(x; y) (2.7)

olacak ¸sekilde bir L > 0 sabiti varsa T ye küme de¼gerli Lipschitz dönü¸sümü ad¬

verilir. (2.7) e¸sitsizli¼gini sa¼glayan L say¬lar¬n¬n en küçü¼güne T nin Lipschitz sabiti denir ve k ile gösterilir. E¼ger k < 1 ise T ye küme de¼gerli büzülme dönü¸sümü, k = 1 ise geni¸slemeyen dönü¸süm ad¬verilir.

Teorem 2.14 (Nadler) (X; d) bir tam metrik uzay ve T : X ! CB(X) bir küme de¼gerli büzülme dönü¸sümü olsun. O zaman T; X de bir sabit noktaya sahiptir.

Ispat.· T nin Lipschitz sabiti 0 < k < 1 olsun. x0 2 X key… olmak üzere x¹ 2 T x⁰ seçelim. O zaman Lemma 2.1 gere¼gince

d(x1; x2) H(T x0; T x1) + k olacak ¸sekilde bir x2 2 T x¹ vard¬r. Yine

d(x₂; x₃) H(T x₁; T x₂) + k²

olacak ¸sekilde bir x3 2 T x² vard¬r. Bu ¸sekilde devam edilerek her n 2 N için x_n+12 T xⁿ ve

d(xn; xn+1) H(T xn 1; T xn) + kⁿ olacak ¸sekilde X içinde bir fxⁿg dizisi elde edilir. Her n 2 N için

d(x_n; x_n+1) H(T x_{n 1}; T x_n) + kⁿ kd(x_{n 1}; x_n) + kⁿ

k H(T x_{n 2}; T x_{n 1}) + k^{n 1} + kⁿ

= kH(T x_{n 2}; T x_{n 1}) + 2kⁿ k²d(x_{n 2}; x_{n 1}) + 2kⁿ ...

kⁿd(x₀; x₁) + nkⁿ bulunur. Di¼ger taraftan P¹

n=0

kⁿ <1 ve P¹

n=0

nkⁿ<1 oldu¼gundan X1

n=0

d(x_n; x_n+1)

X1 n=0

[kⁿd(x₀; x₁) + nkⁿ]

= d(x₀; x₁) X1 n=0

kⁿ+ X1 n=0

nkⁿ

< 1

olur. Bu bize fxⁿg dizisinin bir Cauchy dizisi oldu¼gunu gösterir. X tam oldu¼gundan lim_n!1xn= z olacak ¸sekilde bir z 2 X vard¬r. Bu durumda

D(x_n+1; T z) H(T x_n; T z) kd(x_n; z) oldu¼gundan n ! 1 için limit al¬n¬rsa

D(z; T z) = 0

olur. Yani z 2 T z = T z dir. O halde z; T nin bir sabit noktas¬d¬r.

Örnek 2.8 X = [0; 1] kümesini al¬¸s¬lm¬¸s metrik ile göz önüne alal¬m. f : [0; 1] ! [0; 1]

f (x) = 8>

>>

<

>>

>:

x+1

2 ; x2 0;¹2 x

2 + 1 ; x2 ¹2; 1

olmak üzere T : X ! CB(X) dönü¸sümü her x 2 X için T x = ff(x)g [ f0g ¸seklinde tan¬mlans¬n. O zaman T bir küme de¼gerli büzülme dönü¸sümüdür. Ayr¬ca F (T ) = 0;²₃ dir. Bu örnektende anla¸s¬laca¼g¬ üzere küme de¼gerli büzülme dönü¸sümünün sabit noktas¬tek olmayabilir.

Teorem 2.15 (Reich) (X; d) bir tam metrik uzay ve T : X ! CB(X) bir dönü¸süm olsun. Her x; y 2 X için

H(T x; T y) aD(x; T x) + bD(y; T y) + cd(x; y)

olacak ¸sekilde a + b + c < 1 özelli¼gine uygun negatif olmayan a; b ve c say¬lar¬ var olsun. O zaman T bir sabit noktaya sahiptir.

Ispat.· E¼ger a + c = 0 ise her x; y 2 X için

H(T x; T y) bD(y; T y)

e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r. Bu durumda x 2 X key… bir nokta olmak üzere y 2 T x için D(y; T y) H(T x; T y) bD(y; T y)

olur ki bu D(y; T y) = 0 olmas¬ile mümkündür. O halde y 2 T y dir. ¸Simdi a + c > 0 ve x0 2 X key… bir nokta olsun. x¹ 2 T x⁰ noktas¬n¬alal¬m. O zaman Lemma 2.1 gere¼gince

d(x₁; x₂) H(T x₀; T x₁) + (a + c) olacak ¸sekilde x2 2 T x¹ vard¬r. Bu durumda

d(x₁; x₂) aD(x₀; T x₀) + bD(x₁; T x₁) + cd(x₀; x₁) + (a + c) ad(x₀; x₁) + bd(x₁; x₂) + cd(x₀; x₁) + (a + c) olur ki buradan

d(x₁; x₂) a + c

1 bd(x₀; x₁) + a + c 1 b elde edilir. Yine Lemma 2.1 gere¼gince

d(x₂; x₃) H(T x₁; T x₂) + (a + c)² 1 b olacak ¸sekilde x3 2 T x² vard¬r. Bu durumda

d(x₂; x₃) aD(x₁; T x₁) + bD(x₂; T x₂) + cD(x₁; x₂) + (a + c)² 1 b ad(x₁; x₂) + bd(x₂; x₃) + cd(x₁; x₂) + (a + c)²

1 b olur ki buradan

d(x₂; x₃) a + c

1 bd(x₁; x₂) + a + c 1 b

2

a + c 1 b

a + c

1 bd(x₀; x₁) + a + c

1 b + a + c 1 b

2

= a + c 1 b

2

d(x₀; x₁) + 2 a + c 1 b

2

elde edilir. Bu ¸sekilde devam edilerek = ^a+c_{1 b} < 1 olmak üzere d(x_n; x_n+1) ⁿd(x₀; x₁) + n ⁿ

ve xn+1 2 T xⁿ özelliklerine uygun X için de bir fxⁿg dizisi elde edilir. O zaman X1

n=0

d(x_n; x_n+1) d(x₀; x₁) X1 n=0

n+ X1 n=0

n ⁿ

olup P¹

n=0

n < 1 ve P¹

n=0

n ⁿ < 1 oldu¼gundan fxⁿg dizisi bir Cauchy dizisidir. X tam oldu¼gundan lim_n!1xn= z olacak ¸sekilde z 2 X vard¬r. Böylece

D(x_n+1; T z) H(T x_n; T z)

aD(x_n; T x_n) + bD(z; T z) + cd(x_n; z) ad(x_n; x_n+1) + bD(z; T z) + cd(x_n; z) olup n ! 1 için limit al¬n¬rsa

D(z; T z) bDd(z; T z)

olur ki bu D(z; T z) = 0 demektir. Yani z 2 T z dir. Dolay¬s¬yla T bir sabit noktaya sahiptir.

2.4 Mizoguchi-Takahashi Fonksiyonu ve Özellikleri

Küme de¼gerli sabit nokta teoremlerinin en önemlilerinden biri Mizoguchi ve Takahashi taraf¬ndan elde edilmi¸stir. Bu kesimde, önce Mizoguchi-Takahashi fonksiyonu ve özellikleri incelenecek ve daha sonra Mizoguchi-Takahashi sabit nokta teoreminin iki farkl¬yoldan ispat¬na de¼ginilecektir.

Tan¬m 2.25 ' : [0;1) ! [0; 1) bir fonksiyon olsun. E¼ger her t 2 [0; 1) için lim sup_s!t+'(s) < 1 oluyorsa bu ' fonksiyona bir Mizoguchi-Takahashi fonksiyonu denir ve k¬saca MT -fonksiyonu ¸seklinde gösterilir.

Uyar¬2.6 ' : R ! R bir fonksiyon olsun. t 2 R için lim sup

s!t⁺

'(s) = inf

">0 sup

0<s t<"

'(s) dir.

Örnek 2.9 ' : [0;1) ! [0; 1) artmayan veya azalmayan bir fonksiyon ise o zaman ' bir MT -fonksiyondur.

Örnek 2.10 ' : [0;1) ! [0; 1) ; '(t) = c 2 [0; 1) ; sabit fonksiyonu bir MT - fonksiyondur.

Örnek 2.11 ' : [0;1) ! [0; 1) fonksiyonu

'(t) = 8>

>>

<

>>

>:

sin t

t ; t2 0;2

0 t =2 0;2

¸seklinde tan¬mlans¬n. O zaman ' bir MT -fonksiyon de¼gildir.

Örnek 2.12 ' : [0;1) ! [0; 1) fonksiyonu

'(t) = 8>

>>

<

>>

>:

2t ; t2 0;¹2

0 t 2 ¹2;1

¸seklinde tan¬mlans¬n. O zaman ' bir MT -fonksiyondur.

Lemma 2.5 ' : [0;1) ! [0; 1) foksiyonunun bir MT -fonksiyonu olmas¬için gerek ve yeter ¸sart her t 2 [0; 1) için öyle r^t 2 [0; 1) ve "^t > 0 say¬lar¬ vard¬r ki her s2 [t; t + "^t) için '(s) r_t dir.

Ispat.· E¼ger ' bir MT fonksiyonu ise o zaman her t 2 [0; 1) için lim sup_s!t⁺k(s) <

1sa¼glan¬r. O zaman her bir t 2 [0; 1) için sup

s2[t;t+"t)

'(s) < 1 olacak ¸sekilde "t > 0 vard¬r. Bu yüzden

sup

s2[t;t+"^t)

'(s) r_t< 1

olacak ¸sekilde rt 2 [0; 1) bulanabilir. Dolay¬s¬yla her s 2 [t; t + "^t)için '(s) rtdir.

Tersinin do¼gru oldu¼gu aç¬kt¬r.

Teorem 2.16 ' : [0;1) ! [0; 1) bir fonksiyon olsun. O zaman a¸sa¼g¬daki ifadeler denktir.

i) ' bir MT -fonksiyonudur.

ii) Her t 2 [0; 1) ve her s 2 t; t + "⁽¹⁾t için ' (s) r_t⁽¹⁾ olacak ¸sekilde r_t⁽¹⁾ 2 [0; 1) ve "⁽¹⁾_t > 0 vard¬r.

iii) Her t 2 [0; 1) ve her s 2 h

t; t + "⁽²⁾_t i

için ' (s) r⁽²⁾_t olacak ¸sekilde r_t⁽²⁾ 2 [0; 1) ve "⁽²⁾_t > 0 vard¬r.

iv) Her t 2 [0; 1) ve her s 2 (t; t + "⁽³⁾t ] için ' (s) r⁽³⁾_t olacak ¸sekilde r_t⁽³⁾ 2 [0; 1) ve "⁽³⁾_t > 0 vard¬r.

v) Her t 2 [0; 1) ve her s 2 [t; t + "⁽⁴⁾t ) için ' (s) r_t⁽⁴⁾ olacak ¸sekilde r⁽⁴⁾_t 2 [0; 1) ve "⁽⁴⁾_t > 0 vard¬r.

vi) Herhangi bir fxⁿg [0;1) artmayan dizisi için 0 sup

n2N

'(x_n) < 1 dir.

vii) Herhangi bir fxⁿg [0;1) kesin azalan dizisi için 0 sup

n2N

'(x_n) < 1 dir.

Ispat.· A¸sa¼g¬daki a¸samalar¬takip ederek ispat¬yapal¬m.

(a) (i),(ii). ·Ilk önce (i))(ii) oldu¼gunu gösterelim. ' nin bir MT -fonksiyon oldu¼gunu kabul edelim. O zaman her t 2 [0; 1) için

sup

t<s<t+"t

'(s) < 1 olacak ¸sekilde "t> 0 vard¬r. R nin yo¼gunlu¼gundan

sup

t<s<t+"t

'(s) r_t< 1

olacak ¸sekilde rt 2 [0; 1) vard¬r. Bu ise her s 2 (t; t + "^t) için ' (s) r_t demektir. Tersinin yani (ii))(i) oldu¼gu aç¬kt¬r.

(b) (ii),(iii). rt⁽²⁾ = r⁽¹⁾_t ve "⁽²⁾_t = "⁽¹⁾_t al¬rsak (iii))(ii) olur. Tersine (ii) yi kabul edelim. t 2 [0; 1) verilsin. Kabulümüzden her s 2 t; t + "⁽¹⁾t için ' (s) r⁽¹⁾_t olacak ¸sekilde r_t⁽¹⁾ 2 [0; 1) ve "⁽¹⁾t > 0 vard¬r. "⁽²⁾_t = "⁽¹⁾_t ve

r_t⁽²⁾ = maxn

r_t⁽¹⁾; ' (t) ; ' t + "⁽¹⁾_t o

al¬rsak, o zaman her s 2 h

t; t + "⁽²⁾_t i

için ' (s) r_t⁽²⁾ ve r⁽²⁾_t 2 [0; 1) dir.

Böylece (ii))(iii) ispatland¬.

(c) (iii))(iv))(ii) ve (iii))(v))(ii) gerektirmeleri aç¬kt¬r.

(d) (v))(vi). (v) nin oldu¼gunu kabul edelim. fxⁿg ; [0; 1) da artmayan bir dizi olsun. O zaman

t₀ = lim

n!1x_n= inf

n2Nx_n 0

d¬r. Kabulümüzden her s 2 [t; t + "^t0)için ' (s) r_t0 olacak ¸sekilde rt0 2 [0; 1) ve "t0 > 0 vard¬r. Öte yandan n l özelli¼gindeki her n 2 N için t⁰ x_n <

t₀+ "_t0 olacak ¸sekilde l 2 N vard¬r. Bu yüzden her n l için ' (xn) r_t0 d¬r.

= maxf' (x¹) ; ' (x₂) ; ; ' (x_n) ; r_t0g

olsun. O zaman her n 2 N için ' (xⁿ) dir. Bu yüzden 0 sup_n2N'(x_n) <

1dir. Dolay¬s¬yla (vi) sa¼glan¬r.

(e) (vi))(vii) gerektirmesi aç¬kt¬r.

(f ) Son olarak (vii))(v) gerektirmesini ispat edelim. (vii) sa¼glans¬n. O zaman (v) sa¼glan¬r. Gerçekten, aksini kabul edelim. Yani, her r 2 [0; 1) ve her " > 0 için öyle bir t0 2 [0; 1) eleman¬var ki s 2 [t⁰; t₀+ ") için ' (s) > r e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r. Bu yüzden r1 = ' (t₀) 2 [0; 1) ve "¹ = 1 > 0 için ' (s1) > r₁

¸sart¬n¬sa¼glayan s1 2 [t⁰; t₀ + "₁) var olmal¬d¬r. Son e¸sitsizlik s1 6= t⁰ olmas¬n¬

gerektirir. Dolay¬s¬yla t0 < s₁ dir. t0 + "₂ s₁ olacak ¸sekilde "2 > 0 seçelim ve r2 = max ' (s₁) ; 1 ¹₂ olsun. O zaman r2 ve "2 için ' (s2) > r₂ ¸sart¬n¬

sa¼glayan s2 2 [t⁰; t₀+"₂)bulabiliriz. Bu ayr¬ca t0 < s₂ < s₁olmas¬n¬gerektirir.

Böyle devam edilirse her n 2 N için

' (s_n) > r_n= max ' (s_{n 1}) ; 1 1

n 1 1

n

olacak ¸sekilde kesin azalan fsⁿg [t₀;1) [0;1) dizisi olu¸sturabiliriz. Bu ise sup_n2N'(x_n) 1demektir ki bu bir çeli¸skidir. Dolay¬s¬yla (vii))(v) gerek- tirmesi do¼grudur.

1972 y¬l¬nda Reich bir çal¬¸smas¬nda a¸sa¼g¬daki teoremi ispatlam¬¸st¬r.

Teorem 2.17 (X; d) bir tam metrik uzay ve T : X ! K(X) bir dönü¸süm olsun.

k : (0;1) ! [0; 1) ; her t 2 (0; 1) için lim sup

r!t⁺

k(r) < 1

özelli¼gini sa¼glayan bir fonksiyon olmak üzere her x; y 2 X; x 6= y için H(T x; T y) k(d(x; y))d(x; y)

e¸sitsizli¼gi sa¼glans¬n. O zaman T bir sabit noktaya sahiptir.

Reich bu teoremi ispatlad¬ktan sonra 1974 y¬l¬nda a¸sa¼g¬daki problemi ortaya atm¬¸st¬r.

Problem 2.1 Teorem 2.17 de K(X) yerine CB(X) al¬nd¬¼g¬nda T bir sabit noktaya sahip midir?

Reich’in bu problemi üzerine bir çok çal¬¸sma yap¬lm¬¸st¬r. Bu problemin çözümü tam olarak yap¬lamasada baz¬ k¬smi cevaplar verilmi¸stir. Bunlardan en önemlisi Mizoguchi ve Takahashi taraf¬ndan 1989 y¬l¬nda elde edilmi¸stir. Mizoguchi ve Takahashi, Reich’in sorusunda k üzerindeki

lim sup

r!t⁺

k(r) < 1

¸sart¬n¬n her t 2 [0; 1) için sa¼glanmas¬ halinde K(X) yerine CB(X) al¬nabilece¼gini göstermi¸stir.

Teorem 2.18 (Mizoguchi-Takahashi) (X; d) bir tam metrik uzay ve T : X ! CB(X) bir dönü¸süm olsun. k : (0; 1) ! [0; 1) ; her t 2 [0; 1) için

lim sup

r!t⁺

k(r) < 1

özelli¼gini sa¼glayan bir fonksiyon olmak üzere x 6= y olacak ¸sekildeki her x; y 2 X için

H(T x; T y) k(d(x; y))d(x; y) e¸sitsizli¼gi sa¼glans¬n. O zaman T bir sabit noktaya sahiptir.

Ispat.· T nin sabit noktaya sahip olmad¬¼g¬n¬kabul edelim. Yani her x 2 X için D(x; T x) > 0

olsun. k fonksiyonu üzerindeki ¸sart dikkate al¬n¬rsa her t > 0 için öyle M (t) ve e(t) pozitif say¬lar¬vard¬r ki her r 2 (t; t + e(t)) için

k(r) M (t) < 1

dir. ¸Simdi x1 2 X noktas¬n¬göz önüne alal¬m. t¹ = D(x₁; T x₁) diyelim. O zaman her y 2 T x¹ için D(x1; T x₁) < d(x₁; y) olmas¬durumunda

d(t₁) < min e(t₁); 1

M (t1) 1 t₁ e¸sitsizli¼gini sa¼glayan d(t1) pozitif say¬s¬n¬seçelim.

"(x₁) = min d(t₁) t₁ ; 1 diyelim. Dolay¬s¬yla

d(x₁; x₂) < D(x₁; T x₁) + "(x₁)D(x₁; T x₁)

= (1 + "(x₁)) D(x₁; T x₁)

olacak ¸sekilde x2 2 T x¹ vard¬r. T nin sabit noktaya sahip olmamas¬ kabulünden x₁ 6= x² dir. Bu durumda

D(x₂; T x₂) H(T x₁; T x₂)

k(d(x₁; x₂))d(x₁; x₂)) oldu¼gundan

D(x₁; T x₁) D(x₂; T x₂) D(x₁; T x₁) k(d(x₁; x₂))d(x₁; x₂)) 1

1 + "(x1)d(x₁; x₂) k(d(x₁; x₂))d(x₁; x₂)

= 1

1 + "(x₁) k(d(x₁; x₂)) d(x₁; x₂) olur. Ayr¬ca

t₁ = D(x₁; T x₁) < d(x₁; x₂)

< D(x₁; T x₁) + "(x₁)D(x₁; T x₁)

< t₁+ d(t₁)

< t₁+ e(t₁)