Bu bölümde tezin orijinal k¬sm¬n¬olu¸sturan çal¬¸smalara yer verece¼giz. ·Ilk olarak tek de¼gerli dönü¸sümler için F -büzülme kavram¬ göz önüne al¬narak bunun küme de¼gerli versiyonu tan¬mlanacak ve küme de¼gerli F -büzülme dönü¸sümleri için bir sabit nokta sonucu elde edilecektir. Ard¬ndan bir geni¸sletme ile genelle¸stirilmi¸s küme de¼gerli F -büzülme kavram¬ ile bu tip dönü¸sümler için sabit nokta teoremi elde edilecektir. Daha sonra -geçi¸sli dönü¸süm kavram¬incelenecek ve Mizoguchi-Takahashi sabit nokta teoreminin -geçi¸sli dönü¸sümler göz önüne al¬narak bir is-pat¬na de¼ginilecektir. Son olarak -geçi¸sli dönü¸sümler yard¬m¬yla küme de¼gerli pseudo Picard operatörü tan¬mlanacak ve bu tip operatörlere örnek olmas¬bak¬m¬n-dan baz¬sabit nokta teoremleri elde edilecektir.
3.1. F -Büzülmeler için Sabit Nokta Teoremleri
Bu kesimde Wardowski taraf¬ndan tan¬mlanan ve bilinen büzülme kavram¬n¬
da kapsayan F -büzülme dönü¸sümü tan¬m¬incelenecek ve baz¬sabit nokta teoremleri verilecektir.
F a¸sa¼g¬daki ¸sartlar¬ sa¼glayan bütün F : (0; 1) ! R dönü¸sümlerinin ailesi olsun.
(F1) F kuvvetli artand¬r. Yani her ; 2 (0; 1) için < iken F ( ) < F ( ) d¬r.
(F2) Pozitif say¬lar¬n her fang dizisi için limn!1an= 0d¬r ancak ve ancak limn!1F (an) = 1 d¬r.
(F3) lim !0+ kF ( ) = 0 olacak ¸sekilde bir k 2 (0; 1) vard¬r.
Tan¬m 3.1 (X; d) bir metrik uzay, T : X ! X bir dönü¸süm ve F 2 F olsun. E¼ger d(T x; T y) > 0 özelli¼gindeki her x; y2 X için
+ F (d(T x; T y)) F (d(x; y)) (3.1)
olacak ¸sekilde bir > 0 varsa T ye bir F -büzülme ad¬verilir.
A¸sa¼g¬da F ailesine ait baz¬örnekler verilmi¸stir. Bu örnekler yard¬m¬yla lit-eratürde bulunan baz¬büzülme dönü¸sümlerinin bir F -büzülme olduklar¬görülmek-tedir.
Örnek 3.1 F1 : (0;1) ! R dönü¸sümü F1( ) = ln( ) ¸seklinde tan¬mlans¬n. O zaman F1 2 F oldu¼gu aç¬kt¬r. E¼ger T bir F1-büzülme ise o zaman d(T x; T y) > 0 özelli¼gindeki her x; y 2 X için
d(T x; T y) e d(x; y) (3.2)
sa¼glan¬r. Ayr¬ca d(T x; T y) = 0 olacak ¸sekildeki her x; y 2 X için (3.2) e¸sitsizli¼gi de sa¼glan¬r. Böylece T dönü¸sümü L = e sabiti ile birlikte bir Lipschitz dönü¸sümüdür.
L = e < 1 oldu¼gundan T bir büzülme dönü¸sümüdür. Dolay¬s¬yla her büzülme bir F1-büzülmedir.
Örnek 3.2 F2 : (0;1) ! R dönü¸sümü F2( ) = + ln( ) ¸seklinde tan¬mlans¬n. O zaman F2 2 F oldu¼gu aç¬kt¬r. E¼ger T bir F2-büzülme ise o zaman d(T x; T y) > 0 özelli¼gindeki her x; y 2 X için
d(T x; T y)
d(x; y) ed(T x;T y) d(x;y)
e (3.3)
sa¼glan¬r.
Örnek 3.3 F3 : (0;1) ! R dönü¸sümü F3( ) = p1 ¸seklinde tan¬mlans¬n. O zaman F3 2 F oldu¼gu aç¬kt¬r. E¼ger T bir F3-büzülme ise o zaman d(T x; T y) > 0 özelli¼gindeki her x; y 2 X için
d(T x; T y) 1
(1 + p
d(x; y))2d(x; y) sa¼glan¬r.
Örnek 3.4 F4 : (0;1) ! R dönü¸sümü F4( ) = ln( 2 + ) ¸seklinde tan¬mlans¬n.
O zaman F4 2 F oldu¼gu aç¬kt¬r. E¼ger T bir F4-büzülme ise o zaman d(T x; T y) > 0 özelli¼gindeki her x; y 2 X için
d(T x; T y)(d(T x; T y) + 1) d(x; y)(d(x; y) + 1) e sa¼glan¬r.
Uyar¬3.1 (F1) ve (3.1) e¸sitsizli¼ginden her F -büzülme, bir büzülebilir dönü¸sümdür.
Yani, T bir F -büzülme ise d(T x; T y) > 0 özelli¼gindeki her x; y 2 X için d(T x; T y) <
d(x; y) sa¼glan¬r. Bu yüzden her F -büzülme dönü¸sümü süreklidir.
Uyar¬3.2 H1; H2 2 F olsun. E¼ger her > 0 için H1( ) H2( ) ve G = H2 H1 azalmayan bir dönü¸süm ise o zaman her H1-büzülme bir H2-büzülmedir. Gerçekten Uyar¬3.1 gere¼gince d(T x; T y) > 0 özelli¼gindeki her x; y 2 X için
G(d(T x; T y)) G(d(x; y))
elde edilir. O zaman d(T x; T y) > 0 özelli¼gindeki her x; y 2 X için + H2(d(T x; T y)) + H1(d(T x; T y)) + G(d(T x; T y))
H1(d(x; y)) + G(d(x; y))
= H2(d(x; y)) olur.
¸
Simdi 2012 y¬l¬nda Wardowski taraf¬ndan verilen teoremi ifade ve ispat ede-lim:
Teorem 3.1 (X; d) tam bir metrik uzay ve T : X ! X dönü¸sümü F -büzülme olsun.
O zaman T nin bir tek sabit noktas¬vard¬r. Üstelik herhangi bir x0 2 X için fTnx0g dizisi T nin sabit noktas¬na yak¬nsar.
Ispat. ·· Ilk olarak T nin sabit noktas¬n¬n var olmas¬ halinde tek olmas¬gerekti¼gini gösterelim. Gerçekten z ile w; T nin farkl¬iki sabit noktas¬olsun. O zaman d(z; w) = d(T z; T w) > 0 oldu¼gundan (3.1) e¸sitsizli¼ginden
F (d(z; w)) F (d(T z; T w)) = 0
elde edilir ki bu bir çeli¸skidir. O halde T nin sabit noktas¬varsa tektir.
¸
Simdi T nin bir sabit noktas¬n¬n var oldu¼gunu gösterelim. Bunun için key…
bir x0 2 X noktas¬n¬ele alal¬m. Her n 0 tamsay¬için xn+1 = T xn olacak ¸sekilde X de bir fxng dizisini göz önüne alal¬m ve n= d(xn+1; xn)olsun. E¼ger xn0+1 = xn0 olacak ¸sekilde bir n0 2 N varsa, o zaman T xn0 = xn0 olur. Böylece ispat tamamlan¬r.
¸
Simdi her n 0tamsay¬için xn+1 6= xn oldu¼gunu kabul edelim. O halde her n 0 tamsay¬için n > 0 oldu¼gundan (3.1) e¸sitsizli¼ginden
F ( n) F ( n 1) F ( n 2) 2 F ( 0) n (3.4) e¸sitsizli¼gi elde edilir. (3.4) e¸sitsizli¼ginden n ! 1 için limit al¬n¬rsa
n!1lim F ( n) = 1 elde edilir. Bu yüzden (F2) den
n!1lim n = 0 olur. O halde (F3) den
n!1lim
k
nF ( n) = 0
olacak ¸sekilde bir k 2 (0; 1) vard¬r. Ayr¬ca (3.4) e¸sitsizli¼ginden her n 0 tamsay¬
için
k
nF ( n) knF ( 0) knn 0 (3.5)
olur. (3.5) e¸sitsizli¼ginden n ! 1 için limit al¬n¬rsa
n!1lim
k
nn = 0 (3.6)
bulunur. Dolay¬s¬yla (3.6) dan her n n1 için knn 1 olacak ¸sekilde bir n1 2 N say¬s¬vard¬r. Sonuç olarak her n n1 için
n
olup P1
i=1 1
i1=k serisinin yak¬nsakl¬¼g¬ndan fxng dizisi X de bir Cauchy dizisi olur. X tam oldu¼gundan limn!1xn = z olacak ¸sekilde bir z 2 X vard¬r. Son olarak, T nin süreklili¼ginden
d(z; T z) = lim
n!1d(xn; T xn) = lim
n!1d(xn; xn+1) = 0 olur. Böylece z = T z olup ispat tamamlan¬r.
Örnek 3.1 ve Örnek 3.2 de tanml¬F1ve F2dönü¸sümlerini göz önüne alal¬m. O zaman her > 0için F1( ) < F2( )ve F2 F1dönü¸sümü kuvvetli artan oldu¼gundan Uyar¬ 3.1 gere¼gince her büzülme dönü¸sümü (3.3) büzülme ¸sart¬n¬ sa¼glar. Ancak bunun tersi do¼gru olmayabilir. Bunun için a¸sa¼g¬daki örne¼gi verelim.
Örnek 3.5 X = n
xn = n(n+1)2 : n2 No
kümesi al¬¸s¬lm¬¸s metrik ile birlikte göz önüne al¬ns¬n. O zaman (X; d) tam bir metrik uzayd¬r. T : X ! X dönü¸sümü -büzülme de¼gildir. Yani T dönü¸sümü bir büzülme dönü¸sümü de¼gildir. Gerçekten,
n!1lim birlikte bir F2-büzülmedir. Bunun için a¸sa¼g¬daki durumlar¬ göz önüne alal¬m. Her m; n2 N için
d(T xm; T xn) > 0 , ((m > 2 ^ n = 1) _ (m > n > 1)) dir.
Durum 1 m > 2 ve n = 1 için d(T xm; T x1)
d(xm; x1) ed(T xm;T x1) d(xm;x1) = xm 1 1
xm 1 exm 1 xm
= m2 m 2
m2+ m 2e m
< e m
< e 1 olur.
Durum 2 m > n > 1 için d(T xm; T xn)
d(xm; xn) ed(T xm;T xn) d(xm;xn) = xm 1 xn 1
xm xn exm 1 xn 1 xm+xn
= m + n 1 m + n + 1en m
< en m e 1 olur.
¸
Simdi F -büzülme dönü¸sümlerinin küme de¼gerli versiyonunu verelim.
Tan¬m 3.2 (X; d) bir metrik uzay, F 2 F ve T : X ! CB(X) bir dönü¸süm olsun.
E¼ger H(T x; T y) > 0 özelli¼gindeki her x; y 2 X için
+ F (H(T x; T y)) F (d(x; y)) (3.7)
olacak ¸sekilde bir > 0 varsa T ye küme de¼gerli F -büzülme denir.
E¼ger Örnek 3.1 de tan¬mlanan F1( ) = ln ( ) dönü¸sümü göz önüne al¬n¬rsa, her küme de¼gerli büzülme, bir küme de¼gerli F -büzülme olur.
Teorem 3.2 (X; d) bir tam metrik uzay ve T : X ! K(X) küme de¼gerli F -büzülme olsun. O zaman T bir sabit noktaya sahiptir.
Ispat.· x0 2 X olsun. Her x 2 X için T x bo¸s olmad¬¼g¬ndan, x1 2 T x0 olacak ¸sekilde x1 2 X seçilebilir. E¼ger x1 2 T x1 ise, o zaman x1; T nin bir sabit noktas¬olur ve
böylece ispat tamamlan¬r. x1 2 T x= 1 olsun. T x1 kapal¬oldu¼gundan D(x1; T x1) > 0 d¬r. Öte yandan, D(x1; T x1) H(T x0; T x1) ve (F1) den
F (D(x1; T x1)) F (H(T x0; T x1)) olur. Dolay¬s¬yla (3.7) e¸sitsizli¼ginden
F (D(x1; T x1)) F (H(T x0; T x1)) F (d(x1; x0)) (3.8) elde edilir. T x1 kompakt oldu¼gundan, d(x1; x2) = D(x1; T x1) olacak ¸sekilde x2 2 T x1 vard¬r. Bu durumda (3.8) e¸sitsizli¼ginden
F (d(x1; x2)) F (H(T x0; T x1)) F (d(x1; x0))
elde edilir. E¼ger bu ¸sekilde devam edilirse, her n 0 tamsay¬s¬için xn+1 2 T xn ve F (d(xn; xn+1)) F (d(xn; xn 1)) (3.9) olacak ¸sekilde X de bir fxng dizisi elde edilir. E¼ger xn0 2 T xn0 olacak ¸sekilde bir n0 2 N var ise o zaman xn0; T nin bir sabit noktas¬olur ve böylece ispat tamamlan¬r.
Bu yüzden her n 0 tamsay¬s¬için xn 2 T x= n oldu¼gunu kabul edelim ve her n 0 tamsay¬s¬ için an = d(xn; xn+1) olsun. O zaman her n 0 tamsay¬s¬ için an > 0 oldu¼gundan ve (3.9) e¸sitsizli¼gini kullanarak
F (an) F (an 1) F (an 2) 2 F (a0) n (3.10) bulunur. (3.10) e¸sitsizli¼ginden n ! 1 için limit al¬n¬rsa limn!1F (an) = 1 elde edilir. Bu yüzden (F2) den
n!1lim an= 0 olur. O halde (F3) den
n!1lim aknF (an) = 0
olacak ¸sekilde bir k 2 (0; 1) vard¬r. Ayr¬ca (3.10) e¸sitsizli¼ginde her n 0 tamsay¬
için
aknF (an) aknF (a0) aknn 0 (3.11) olur. (3.11) e¸sitsizli¼ginden n ! 1 için limit al¬n¬rsa
n!1lim nakn = 0 (3.12)
bulunur. Dolay¬s¬yla (3.12) ifadesinden her n n1 için knn 1 olacak ¸sekilde bir n1 2 N say¬s¬vard¬r. Sonuç olarak her n n1 için
n
1 n1=k
bulunur. Böylece m > n n1 olacak ¸sekildeki her m; n 2 N için
d(xn; xm) d(xn; xn+1) + d(xn+1; xn+2) + + d(xm 1; xm)
= n+ n+1+ + m 1
=
m 1X
i=n i
<
X1 i=n
i
X1 i=n
1 i1=k olup P1
i=1 1
i1=k serisinin yak¬nsakl¬¼g¬ndan fxng dizisi X de bir Cauchy dizisi olur. X tam oldu¼gundan limn!1xn = z olacak ¸sekilde bir z 2 X vard¬r. Di¼ger taraftan (3.7) e¸sitsizli¼ginden H(T x; T y) > 0 olacak ¸sekildeki x; y 2 X için
H(T x; T y) < d(x; y) elde edilir ve böylece her x; y 2 X için
H(T x; T y) d(x; y) olur. O zaman
D(xn+1; T z) H(T xn; T z) d(xn; z) (3.13) olaca¼g¬ndan (3.7) e¸sitsizli¼ginden n ! 1 için limit al¬n¬rsa D(z; T z) = 0 bulunur.
Dolay¬s¬yla z 2 T z = T z elde edilir ki bu T nin bir sabit noktaya sahip oldu¼gunu gösterir. Böylece ispat tamamlan¬r.
Uyar¬3.3 Dikkat edelim ki Teorem 3.2 de her x 2 X için T x kompakt¬r. Bu yüzden Reich probleminde oldu¼gu gibi a¸sa¼g¬daki soru akla gelebilir.
Problem 3.1 Teorem 3.2 de K(X) yerine CB(X) al¬nd¬¼g¬nda T bir sabit noktaya sahip midir?
Bu sorunun cevab¬da tam olarak bilinmese de, F üzerine bir ¸sart eklenerek Problem 3.1 e k¬smen Teorem 3.3 de bir cevap verilmi¸stir.
Teorem 3.3 (X; d) tam bir metrik uzay ve T : X ! CB(X) küme de¼gerli F -büzülme olsun. Ayr¬ca F a¸sa¼g¬daki ¸sart¬ sa¼glarsa o zaman T bir sabit noktaya sahiptir.
(F4) inf A > 0 olacak ¸sekildeki her A (0;1) kümesi için F (inf A) = inf F (A) d¬r.
Ispat.· x0 2 X olsun. Her x 2 X için T x bo¸s olmad¬¼g¬ndan, x1 2 T x0 olacak ¸sekilde x1 2 X seçilebilir. E¼ger x1 2 T x1 ise, o zaman x1; T nin bir sabit noktas¬olur ve böylece ispat tamamlan¬r. x1 2 T x= 1 olsun. T x1 kapal¬oldu¼gundan D(x1; T x1) > 0 d¬r. Öte yandan, D(x1; T x1) H(T x0; T x1) ve (F1) den
F (D(x1; T x1)) F (H(T x0; T x1)) olur. Dolay¬s¬yla (3.7) e¸sitsizli¼ginden
F (D(x1; T x1)) F (H(T x0; T x1)) F (d(x1; x0)) (3.14) elde edilir. Dikkat edelim ki D(x1; T x1) > 0 d¬r. (F4) den
F (D(x1; T x1)) = inf
y2T x1
F (d(x1; y)) olur ve böylece (3.14) e¸sitsizli¼ginden
y2T xinf1
F (d(x1; y)) F (d(x1; x0)) < F (d(x1; x0))
2 (3.15)
bulunur. O zama (3.15) e¸sitsizli¼ginden
F (d(x1; x2)) F (d(x1; x0)) 2
olacak ¸sekilde x2 2 T x1 vard¬r. E¼ger x2 2 T x2 ise ispat biter. Aksi takdirde biz ayn¬
yolla
F (d(x2; x3)) F (d(x2; x1)) 2
olacak ¸sekilde x3 2 T x2 elde edebiliriz. Bu ¸sekilde devam edildi¼ginde her n 0 tamsay¬s¬için xn+1 2 T xn ve
F (d(xn; xn+1)) F (d(xn; xn 1)) 2
olacak ¸sekilde X de bir fxng dizisi elde edilir. ·Ispat¬n geri kalan k¬sm¬, Teorem 3.2 ispat¬nda oldu¼gu gibi yap¬labilir.
Uyar¬3.4 (F1) ¸sart¬n¬sa¼glayan sürekli her F fonksiyonu (F4) ¸sart¬n¬sa¼glar.
A¸sa¼g¬daki örnek, küme de¼gerli F -büzülme dönü¸sümü olan fakat küme de¼gerli büzülme dönü¸sümü olmayan dönü¸sümlerin var oldu¼gunu göstermesi bak¬m¬ndan önemlidir.
Örnek 3.6 X = n
xn = n(n+1)2 : n2 No
kümesi al¬¸s¬lm¬¸s metrik ile birlikte göz önüne al¬ns¬n. O zaman (X; d) tam bir metrik uzayd¬r. T : X ! K(X) dönü¸sümü
T x = 8>
>>
<
>>
>:
fx1g ; x = x1
fx1; x2; ; xn 1g ; x = xn
¸
seklinde tan¬mlans¬n. O zaman T dönü¸sümü F ( ) = + ln ve = 1 ile birlikte küme de¼gerli F -büzülmedir. Bunun için a¸sa¼g¬daki durumlar¬göz önüne alal¬m. Her m; n2 N için
H(T xm; T xn) > 0, ((m > 2 ^ n = 1) _ (m > n > 1))
d¬r.
Durum 1 m > 2 ve n = 1 için H(T xm; T x1)
d(xm; x1) eH(T xm;T x1) d(xm;x1) = xm 1 x1
xm x1 exm 1 xm
= m2 m 2
m2+ m 2e m < e m < e 1 elde edilir.
Durum 2 m > n > 1 için H(T xm; T xn)
d(xm; xn) eH(T xm;T xn) d(xm;xn) = xm 1 xn 1
xm xn exm 1 xn 1 xm+xn
= m + n 1
m + n + 1en m < en m e 1 elde edilir.
Bu yüzden T bir küme de¼gerli F -büzülmedir. Ayr¬ca Teorem 3.2 veya Teorem 3.3 nin di¼ger ¸sartlar¬ da sa¼glan¬r. O halde T; X de bir sabit noktaya sahiptir. Öte yandan
n!1lim
H(T xn; T x1)
d(xn; x1) = lim
n!1
xn 1 1 xn 1 = 1 oldu¼gu için T küme de¼gerli büzülme dönü¸sümü de¼gildir.
Tan¬m 3.3 (X; d) bir metrik uzay, F 2 F ve T : X ! CB(X) bir dönü¸süm olsun.
E¼ger H(T x; T y) > 0 özelli¼gindeki her x; y 2 X için
H(T x; T y) > 0) + F (H(T x; T y)) F (M (x; y)) (3.16) olacak ¸sekilde bir > 0 varsa T ye genelle¸stirilmi¸s küme de¼gerli F -büzülme denir.
Burada
M (x; y) = max d(x; y); D(x; T x); D(y; T y);1
2[D(x; T y) + D(y; T x)]
dir.
E¼ger Örnek 3.1 de tan¬mlanan F1( ) = ln ( ) dönü¸sümü göz önüne al¬n¬rsa, bu durumda her genelle¸stirilmi¸s küme de¼gerli büzülme, bir genelle¸stirilmi¸s küme de¼gerli F -büzülmedir.
Teorem 3.4 (X; d) bir tam metrik uzay ve T : X ! K(X) genelle¸stirilmi¸s küme de¼gerli F -büzülme olsun. E¼ger T veya F sürekli ise o zaman T bir sabit noktaya sahiptir.
Ispat.· x0 2 X olsun. Her x 2 X için T x bo¸s olmad¬¼g¬ndan, x1 2 T x0 olacak ¸sekilde x1 2 X seçilebilir. E¼ger x1 2 T x1 ise, o zaman x1; T nin bir sabit noktas¬olur ve
böylece ispat tamamlan¬r. x1 2 T x= 1 olsun. T x1 kapal¬oldu¼gundan D(x1; T x1) > 0 d¬r. Öte yandan, D(x1; T x1) H(T x0; T x1) ve (F1) den
F (D(x1; T x1)) F (H(T x0; T x1)) olur. Dolay¬s¬yla (3.16) e¸sitsizli¼ginden
F (D(x1; T x1)) F (H(T x0; T x1)) F (M (x0; x1))
= F (max 8<
:
d(x0; x1); D(x0; T x0); D(x1; T x1);
1
2[D(x0; T x1) + D(x1; T x0)]
9=
;) F (max d(x0; x1);1
2D(x0; T x1) ) F (max d(x0; x1);1
2[d(x0; x1) + D(x1; T x1)] ) F (maxfd(x0; x1); D(x1; T x1)g)
= F (d(x0; x1)) (3.17)
yaz¬labilir. T x1kompakt oldu¼gundan d(x1; x2) = D(x1; T x1)olacak ¸sekilde x2 2 T x1 vard¬r. O zaman (3.17) e¸sitsizli¼ginden
F (d(x1; x2)) F (H(T x0; T x1)) F (d(x1; x0))
elde edilir. Bu ¸sekilde devam edildi¼ginde her n 0 tamsay¬s¬için xn+1 2 T xn ve F (d(xn; xn+1)) F (d(xn; xn 1)) (3.18) olacak ¸sekilde X de bir fxng dizisi elde edilir. Teorem 3.1 deki gibi fxng dizisinin X de bir Cauchy dizisi oldu¼gu gösterilebilir. X tam oldu¼gundan limn!1xn= z olacak
¸sekilde bir z 2 X vard¬r.
E¼ger T sürekli ise limn!1T xn = T z ve
D(xn; T z) H(T xn; T z)
dir. Son e¸sitsizlikte n ! 1 için D(z; T z) = 0 elde edilir. Dolay¬s¬yla z 2 T z dir.
¸Simdi F sürekli olsun. Bu durumda biz iddia ediyoruz ki z 2 T z dir. Aksini kabul edelim. Yani, z =2 T z olsun. Bu durumda her nk n0 için D(xnk+1; T z) > 0olacak
¸sekilde n0 2 N ve fxng nin bir fxnkg alt dizisi vard¬r. Aksi halde her n n1 için xn 2 T z olacak ¸sekilde n1 2 N vard¬r ki bu ise z 2 T z olmas¬ demektir. Bu ise z =2 T z olmas¬ile çeli¸sir. O halde nk n0 için D(xnk+1; T z) > 0 oldu¼gundan
+ F (D(xnk+1; T z)) + F (H(T xnk; T z)) F (M (xnk; z))
F (max 8<
:
d(xnk; z); d(xnk; xnk+1); D(z; T z);
1
2[D(xnk; T z) + d(z; xnk+1) 9=
;) elde edilir. F nin süreklili¼gi kullan¬l¬rsa k ! 1 için + F (D(z; T z)) F (D(z; T z)) bulunur ki bu ise bir çeli¸skidir. Bu yüzden z 2 T z elde edilir ve böylece ispat tamamlan¬r.
Uyar¬3.5 Örnek 3.6 göz önüne al¬nd¬¼g¬nda T genelle¸stirilmi¸s küme de¼gerli F -büzülmedir, fakat genelle¸stirilmi¸s küme de¼gerli büzülme de¼gildir.
3.2 K¬yaslama Fonksiyonlar¬ve -Geçi¸sli Dönü¸sümler
Bu k¬s¬mda k¬yaslama fonksiyonlar¬ve baz¬özellikleri incelenecek, ard¬ndan (c)-k¬yaslama fonksiyonlar¬ kullan¬larak -geçi¸sli tek de¼gerli dön¸sümler için baz¬ sabit nokta teoremleri göz önüne al¬nacakt¬r. Buradaki bilgiler sonraki k¬s¬mlara alt yap¬
olu¸sturacakt¬r.
Ilk olarak : [0; 1) ! [0; 1) bir fonksiyon olsun. için a¸sa¼· g¬daki ¸sartlar¬
göz önüne alal¬m.
1) azalmayan bir dönü¸süm,
2) limn!1 n(t) = 0; 8t 0;
3) X1 n=1
n(t) <1; 8t > 0:
K¬sal¬k olmas¬bak¬m¬ndan =f : 1 ve 2 sa¼glan¬rg ve =f : 1 ve 3 sa¼glan¬rg diyelim. Literatürde ailesine ait fonksiyonlara k¬yaslama fonksiyonlar¬, ailesine ait fonksiyonlara da (c)-k¬yaslama fonksiyonlar¬ad¬verilir. Tan¬mlardan oldu¼gu aç¬kt¬r. Yani her (c)-k¬yaslama fonksiyonu bir k¬yaslama fonksiy-onudur.
Lemma 3.1 E¼ger 2 ise o zaman her t > 0 için (t) < t dir.
Ispat.· 2 den her t > 0 için limn!1 n(t) = 0d¬r. En az bir t0 > 0 için (t0) t0 oldu¼gunu kabul edelim. azalmayan bir dönü¸süm oldu¼gundan
t0 (t0) ( (t0)) n(t0) olur. Son e¸sitsizlikte n ! 1 için limit al¬n¬rsa
t0 lim
n!1
n(t0) = 0 olur ki bu çeli¸skidir. O halde her t > 0 için (t) < t dir.
Lemma 3.2 E¼ger 2 ise o zaman (0) = 0 d¬r.
Ispat.· (0) 6= 0 olsun. Bu durumda (0) = t1 > 0 d¬r. azalmayan bir dönü¸süm oldu¼gundan (0) (t1) ve buradan da Lemma 3.1 gere¼gince
0 < t1 = (0) (t1) < t1 olur ki bu bir çeli¸skidir. O halde (0) = 0 d¬r.
Lemma 3.3 E¼ger 2 ise o zaman ; s¬f¬r noktas¬nda süreklidir.
Ispat.· 2 olsun. O zaman Lemma 3.2 gere¼gince (0) = 0 d¬r. tn ! 0 olsun.
(tn) ! (0) = 0 oldu¼gunu gösterece¼giz. tn ! 0 oldu¼gundan tn ! 0+ olur ki bu ise her n 2 N için 0 tn demektir. azalmayan bir dönü¸süm oldu¼gundan
0 = (0) (tn) tn
elde edilir. Son e¸sitsizlikten n ! 1 için limit al¬n¬rsa (tn) ! (0) = 0 olur. O halde ; s¬f¬r noktas¬nda süreklidir.
Örnek 3.7 : [0;1) ! [0; 1) fonksiyonu 2 [0; 1) olmak üzere (t) = t ¸sek-linde tan¬mlans¬n. O zaman 2 oldu¼gu aç¬kt¬r.
Örnek 3.8 : [0;1) ! [0; 1) fonksiyonu
(t) = 8>
>>
<
>>
>:
t
3 ; 0 t 23
t 2
1
18 ; 23 < t
¸seklinde tan¬mlans¬n. O zaman 2 olur.
Örnek 3.9 : [0;1) ! [0; 1) fonksiyonu (t) = t
1 + t ¸seklinde tan¬mlans¬n. Bu durumda 2 n dir.
seklinde tan¬mlans¬n. O zaman T dönü¸sümü -geçi¸slidir.
Örnek 3.11 X = (0;1) olmak üzere T : X ! X dönü¸sümü her x 2 X için
seklinde tan¬mlans¬n. O zaman T dönü¸sümü -geçi¸slidir.
Samet, Vetro ve Vetro, (c)-k¬yaslama fonksiyonlar¬n¬ ve -geçi¸sli dönü¸ süm-leri kullanarak - -büzülme kavram¬n¬ ortaya atm¬¸slard¬r. Ard¬ndan bu yeni tip büzülmeler için baz¬ sabit nokta teoremleri elde etmi¸slerdir. Elde edilen sonuçlar literetürde s¬ral¬ metrik uzaylarda verilen sabit nokta teoremleri ile yak¬ndan ilgi-lidir.
Tan¬m 3.5 (X; d) bir metrik uzay, T : X ! X bir dönü¸süm, 2 ve : X X ! [0;1) bir fonksiyon olsun. O zaman her x; y 2 X için
(x; y)d(T x; T y) (d((x; y)) (3.19) oluyorsa T dönü¸sümüne bir - -büzülme denir.
Uyar¬3.6 Tan¬m 3.5 da e¼ger (x; y) = 1 ve 2 [0; 1) olmak üzere (t) = t
¸
seklinde al¬n¬rsa her büzülme dönü¸sümünün bir - -büzülme oldu¼gu görülür.
Tan¬m 3.6 (X; ) bir topolojik uzay fxng ; X de bir dizi ve x 2 X olsun. E¼ger : X X ! [0; 1) fonksiyonu a¸sa¼g¬daki ¸sart¬sa¼gl¬yorsa ya (B) özelli¼gine sahiptir denir.
(B) Her n 2 N için (xn; xn+1) 1 ve xn ! x iken (xn; x) 1 dir.
Tan¬m 3.7 X bo¸s olmayan bir küme olmak üzere e¼ger : X X ! [0; 1) fonksiy-onu a¸sa¼g¬daki ¸sart¬sa¼gl¬yorsa o zaman X e (H) özelli¼gine sahiptir denir.
(H) Her x; y 2 F (T ) için (x; z) 1 ve (y; z) 1 olacak ¸sekilde z 2 X vard¬r.
Teorem 3.5 (X; d) tam bir metrik uzay, T : X ! X bir -geçi¸sli, - -büzülme dönü¸sümü olsun. E¼ger (x0; T x0) 1 olacak ¸sekilde bir x0 2 X var ve T sürekli ise o zaman T bir sabit noktaya sahiptir.
Ispat.· x0 2 X hipotezde bahsedilen nokta olsun. Her n 2 N için xn = Tnx0 = T xn 1 olacak ¸sekilde X de bir fxng dizisi tan¬mlayal¬m. E¼ger xn0 = xn0+1 olacak
¸sekilde bir n0 2 N varsa o zaman xn0; T nin bir sabit noktas¬ olur. Böylece ispat tamamlan¬r. Dolay¬s¬yla her n 2 N için xn6= xn+1 olsun. T; -geçi¸sli oldu¼gundan
(x0; x1) = (x0; T x0) 1) (T x0; T x1) = (x1; x2) 1 dir. Bu ¸sekilde devam edilirse her n 2 N için
(xn; xn+1) 1 (3.20)
elde edilir. (3.19) e¸sitsizli¼ginde x = xn 1 ve y = xn alarak ve (3.20) e¸sitsizli¼gini göz önünde bulundurarak
d(xn; xn+1) = d(T xn 1; T xn)
(xn 1; xn)d(T xn 1; T xn) (d(xn 1; xn))
elde edilir. Tümevar¬m yöntemiyle her n 2 N için
d(xn; xn+1) n(d(x0; x1))
olur. ¸Simdi, her m; n 2 N; m > n için
d(xn; xm)
m 1X
k=n
d (xk; xk+1)
m 1X
k=n
k(d(x0; x1)) X1
k=n
k(d(x0; x1))
olup P1
k=1
k(d((x0; x1)) serisinin yak¬nsakl¬¼g¬ndan fxng dizisi X de bir Cauchy dizisi olur. X tam oldu¼gundan limn!1xn = z olacak ¸sekilde bir z 2 X vard¬r. T sürekli oldu¼gundan
z = lim
n!1xn+1 = lim
n!1T xn = T ( lim
n!1xn) = T z
elde edilir ki bu T nin sabit noktas¬n¬n var oldu¼gunu gösterir. Böylece ispat tamam-lan¬r.
Uyar¬3.7 Teorem 3.5 de T nin süreklili¼gi yerine n¬n (B) özelli¼gine sahip olmas¬
kullan¬labilir.
Teorem 3.6 (X; d) tam bir metrik uzay, T : X ! X bir -geçi¸sli, - -büzülme dönü¸sümü olsun. (x0; T x0) 1 olacak ¸sekilde bir x0 2 X var oldu¼gunu kabul edelim. E¼ger ; (B) özelli¼gine sahip ise o zaman T bir sabit noktaya sahiptir.
Ispat.· Teorem 3.5 in ispat¬nda oldu¼gu gibi fxng dizisinin (X; d) metrik uzay¬nda bir Cauchy dizisi oldu¼gu gösterilebilir. X tam oldu¼gundan limn!1xn = z olacak
¸sekilde bir z 2 X vard¬r. Di¼ger tarafdan n¬n (B) özelli¼gine sahip olmas¬ve (3.20) e¸sitsizli¼ginden her n 2 N için
(xn; z) 1 (3.21)
dir. (3.19) ve (3.21) e¸sitsizli¼ginden
d(z; T z) d(z; xn+1) + d(xn+1; T z)
= d(z; xn+1) + d(T xn; T z)
d(z; xn+1) + (xn; z)d(T xn; T z) d(z; xn+1) + (d(xn; z))
elde edilir. ; t = 0 noktas¬nda sürekli oldu¼gundan ve son e¸sitsizlikten n ! 1 için d(z; T z) = 0olur. Yani z = T z elde edilir. Böylece ispat tamamlan¬r.
oldu¼gundan T bir büzülme dönü¸sümü de¼gildir. ¸Simdi, : X X ! [0; 1) fonksiyonu
(x; y) = -geçi¸sli dönü¸süm oldu¼gunu gösterelim. (x; y) 1 olsun. O zaman n¬n tan¬m¬ndan x; y 2 [0; 1] dir. O halde T x = x2 2 [0; 1] ve T y = y2 2 [0; 1] oldu¼gundan (T x; T y) 1 dir. Son olarak T sürekli oldu¼gundan Teorem 3.5 in tüm ¸sartlar¬sa¼gland¬. O halde T nin bir sabit noktas¬vard¬r.
Uyar¬3.8 Yukar¬daki örnektende anla¸s¬laca¼g¬üzere Teorem 3.5 sabit noktan¬n tek-li¼gini garanti etmez. Çünkü örnekte 0 ve 3=2; T nin iki sabit noktas¬d¬r.
Örnek 3.13 X = R kümesini al¬¸s¬lm¬¸s metrik ile göz önüne alal¬m. T : X ! X
oldu¼gu için T bir büzülme dönü¸sümü de¼gildir. Ayr¬ca T sürekli olmad¬¼g¬ndan Teorem 3.5 bu örne¼ge uygulanamaz. ¸Simdi, : X X ! [0; 1) fonksiyonu
(x; y) = -geçi¸sli dönü¸süm oldu¼gunu gösterelim. (x; y) 1 olsun. Bu durumda n¬n tan¬m¬ndan x; y 2 [0; 1] dir. O halde T x = x4 2 [0; 1] ve T y = y4 2 [0; 1] oldu¼gundan (T x; T y) 1 dir. Son olarak, n¬n (B) özelli¼gine sahip oldu¼gunu gösterelim.
Her n 2 N için (xn; xn+1) 1 ve xn ! x olacak ¸sekilde X de bir fxng dizisi var olsun. Her n 2 N için (xn; xn+1) 1 oldu¼gu için n¬n tan¬m¬ndan her n 2 N için xn 2 [0; 1] dir. Dolay¬s¬yla xn ! x oldu¼gundan x 2 [0; 1] olmal¬d¬r. O halde her n 2 N için (xn; x) 1 dir. Bu yüzden , (B) özelli¼gine sahip olup Teorem 3.6 in tüm ¸sartlar¬sa¼glan¬r. O halde T nin bir sabit noktas¬vard¬r.
Uyar¬3.9 Yine Teorem 3.6 da sabit noktan¬n tekli¼gini garanti etmez. Çünkü yukar¬-daki örnekte 0 ve 3=2, T nin iki sabit noktas¬d¬r.
Teorem 3.7 Teorem 3.5 veya Teorem 3.6 n¬n ¸sartlar¬na ek olarak X, (H) özelli¼gine de sahip olsun. O zaman T bir tek sabit noktaya sahiptir.
Ispat.· z ve w; T nin iki sabit noktas¬olsun. O zaman X in (H) özelli¼ginden dolay¬
(z; u) 1and (w; u) 1olacak ¸sekilde bir u 2 X vard¬r. T; -geçi¸sli oldu¼gundan her n 2 N için
(z; Tnu) 1 (3.22)
ve
(w; Tnu) 1 (3.23)
olur. Bu yüzden (3.19) ve (3.22) e¸sitsizliklerinden her n 2 N için d(z; Tnu) = d(T z; T (Tn 1u))
(z; Tn 1u)d(T z; T (Tn 1u)) (d(z; Tn 1u))
elde edilir. Buradan azalmayan bir fonksiyon oldu¼gundan her n 2 N için d(z; Tnu) n(d(z; u))
bulunur. Son e¸sitsizlikten n ! 1 için limit al¬n¬rsa Tnu ! z elde edilir. Benzer olarak (3.19) ve (3.23) e¸sitsizliklerini kullanarak n ! 1 için Tnu ! w elde edilir.
Metrik uzaylarda limit noktas¬n¬n tekli¼ginden z = w elde edilir. Böylece ispat tamamlan¬r.
¸
Simdi - -büzülme dönü¸sümleri için baz¬genelle¸stirmeler verelim.
Tan¬m 3.8 (X; d) bir metrik uzay, T : X ! X bir dönü¸süm, 2 ve : X X ! [0;1) bir dönü¸süm olsun. O zaman her x; y 2 X için
(x; y)d(T x; T y) (m(x; y)) (3.24)
oluyorsa T ye ´Ciri´c tip - -genelle¸stirilmi¸s büzülme denir. Burada m(x; y) = maxfd(x; y); d(x; T x); d(y; T y);1
2[d(x; T y) + d(y; T x)]g d¬r.
Uyar¬3.10 Tan¬m 3.8 da e¼ger (x; y) = 1 ve 2 [0; 1) olmak üzere (t) = t
¸
seklinde al¬n¬rsa o zaman her ´Ciri´c tip genelle¸stirilmi¸s büzülmeler bir ´Ciri´c tip -genelle¸stirilmi¸s büzülmedir.
Teorem 3.8 (X; d) tam bir metrik uzay, T : X ! X bir -geçi¸sli ve ´Ciri´c tip - -genelle¸stirilmi¸s büzülme dönü¸sümü olsun. Ayr¬ca (x0; T x0) 1 olacak ¸sekilde bir x0 2 X var oldu¼gunu kabul edelim. E¼ger T sürekli veya ; (B) özelli¼gine sahip ise o zaman T bir sabit noktaya sahiptir. Ek olarak X; (H) özelli¼gine de sahip ise o zaman T nin sabit noktas¬tektir.
Ispat.· x0 2 X hipotezde bahsedilen nokta olsun. Her n 2 N için xn = Tnx0 = T xn 1 olacak ¸sekilde X de bir fxng dizisi tan¬mlayal¬m. E¼ger xn0 = xn0+1 olacak
¸sekilde bir n0 2 N varsa o zaman xn0; T nin bir sabit noktas¬ olur. Böylece ispat tamamlan¬r. Dolay¬s¬yla her n 2 N için xn6= xn+1 olsun. T; -geçi¸sli oldu¼gundan
(x0; x1) = (x0; T x0) 1) (T x0; T x1) = (x1; x2) 1
dir. Bu ¸sekilde devam edilirse her n 2 N için
(xn; xn+1) 1 (3.25)
elde edilir. (3.24) e¸sitsizli¼ginde x = xn 1 ve y = xn alarak ve (3.25) e¸sitsizli¼gini göz önünde bulundurularak
d(xn; xn+1) = d(T xn 1; T xn)
(xn 1; xn)d(T xn 1; T xn)
(m(xn 1; xn)) (3.26)
elde edilir ki burada
E¼ger T sürekli ise
z = lim
n!1xn+1 = lim
n!1T xn = T ( lim
n!1xn) = T z elde edilir ki bu T nin sabit noktas¬n¬n var oldu¼gunu gösterir.
¸
Simdi ; (B) özelli¼gine sahip olsun. (3.25) e¸sitsizli¼ginden her n 2 N için
(xn; z) 1 (3.28)
dir. (3.24) ve (3.28) e¸sitsizliklerinden
d(z; T z) d(z; xn+1) + d(xn+1; T z)
bulunur. ¸Simdi (3.29) e¸sitsizli¼ginden her n n0 için
d(z; T z) d(z; xn+1) + (d(z; T z)) elde edilir. Son e¸sitsizlikten n ! 1 için limit al¬n¬rsa
d(z; T z) (d(z; T z)) < d(z; T z)
olur ki bu çeli¸skidir. O halde d(z; T z) = 0 yani z = T z elde edilir. böylece T nin bir sabit noktas¬vard¬r.
¸
Simdi X in (H) özelli¼gine sahip oldu¼gunu kabul edelim. z ve w; T nin iki sabit noktas¬olsun. O zaman X in (H) özelli¼ginden dolay¬ (z; u) 1 and (w; u) 1 olacak ¸sekilde bir u 2 X vard¬r. T; -geçi¸sli oldu¼gundan her n 2 N için
(z; Tnu) 1 (3.30)
ve
(w; Tnu) 1 (3.31)
elde edilir. Bu yüzden (3.24) ve (3.30) e¸sitsizlikleri kullan¬larak
d(z; Tn+1u) = d(T z; T (Tnu))
(z; Tnu)d(T z; T (Tnu)) (m(z; Tnu))
elde edilir ki burada
m(x; y) = max d(z; Tnu); d(z; Tn+1u)
bulunur. Yani
d(z; Tn+1u) max d(z; Tnu); d(z; Tn+1u) (3.32)
bulunur. Genelli¼gi bozmaks¬z¬n her n 2 N için d(z; Tnu) > 0 olsun. O zaman d(z; Tnu) > d(z; Tn+1u) olmal¬d¬r. Aksi halde bir çeli¸ski elde edilir. O halde biz (3.32) den ve azalmayan bir fonksiyon oldu¼gundan her n 2 N için
d(z; Tn+1u) (d(z; Tnu)) n(d(z; u))
bulunur. Son e¸sitsizlikten n ! 1 için limit al¬n¬rsa Tn+1u ! z elde edilir. Benzer olarak (3.24) ve (3.31) e¸sitsizlikleri kullan¬larak n ! 1 için Tn+1u! w elde edilir.
Metrik uzaylarda limit noktas¬n¬n tekli¼ginden z = w elde edilir. Böylece ispat tamamlan¬r.
Örnek 3.14 X = [0;1) kümesini al¬¸s¬lm¬¸s metrik ile göz önüne alal¬m. T : X !
olacak ¸sekilde hiç bir 2 [0; 1) say¬s¬bulunamad¬¼g¬ndan T; ´Ciri´c tip genelle¸stirilmi¸s büzülme dönü¸sümü de¼gildir. Fakat T dönü¸sümü her t 0 için (t) = 3t ile birlikte bir ´Ciri´c tip - -genelle¸stirilmi¸s büzülmedir, çünkü her x; y 2 X için
(x; y)d(T x; T y) 1
3d(x; y) 1
3m(x; y)
e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r. Ayr¬ca x0 = 1 için (1; T 1) = (1; 13) = 1 dir. ¸Simdi T nin -geçi¸sli oldu¼gunu gösterelim. (x; y) 1 olsun. O zaman n¬n tan¬m¬ndan x; y 2 [0; 1] dir. O halde T x = x3 2 [0; 1] ve T y = y3 2 [0; 1] oldu¼gundan (T x; T y) 1 dir. Son olarak n¬n (B) özelli¼gine sahip oldu¼gunu da gösterelim. Her n 2 N için (xn; xn+1) 1 ve xn ! x olacak ¸sekilde X de bir fxng dizisi var olsun. Her n2 N için (xn; xn+1) 1 oldu¼gu için n¬n tan¬m¬ndan her n 2 N için xn2 [0; 1]
dir. Dolay¬s¬yla xn ! x oldu¼gundan x 2 [0; 1] olmal¬d¬r. O halde her n 2 N için (xn; x) 1 dir. Bu yüzden , (B) özelli¼gine sahiptir. Dolay¬s¬yla Teorem 3.8 in tüm ¸sartlar¬sa¼glan¬r. O halde T nin bir sabit noktas¬vard¬r.
Uyar¬3.11 Dikkat edelim ki Teorem 3.8, e¼ger X; (H) özelli¼gine sahip de¼gilse sabit noktan¬n tekli¼gini garanti etmemektedir. Yukar¬daki örnekte X; (H) özelli¼gine sahip olmay¬p 0 ve 5=3; T nin iki sabit noktas¬d¬r.
3.3 Küme De¼gerli -Geçi¸sli ve -Geçi¸sli Dönü¸sümler
Bu kesimde -geçi¸sli dönü¸sümlerin küme de¼gerli versiyonlar¬gözönüne al¬narak küme de¼gerli dönü¸sümler için baz¬sabit nokta teoremleri elde edilecektir.
Tan¬m 3.9 (X; d) bir metrik uzay, T : X ! P(X) bir küme de¼gerli dönü¸süm, 2 ve : X X ! [0; 1) bir dönü¸süm olsun. E¼ger her x; y 2 X için
(x; y)H(T x; T y) (d(x; y)) oluyorsa T ye küme de¼gerli - -büzülme;
(T x; T y)H(T x; T y) (d(x; y));
oluyorsa T ye küme de¼gerli - -büzülme dönü¸sümü denir. Burada (T x; T y) = inff (a; b) : a 2 T x; b 2 T yg
d¬r. Benzer olarak d(x; y) yerine M (x; y) al¬narak T ye s¬ras¬ ile ´Ciri´c tip küme de¼gerli - -genelle¸stirilmi¸s büzülme ve ´Ciri´c tip küme de¼gerli - -genelle¸stirilmi¸s büzülme denir.
Tan¬m 3.10 X bo¸s olmayan bir küme, T : X ! P(X) bir küme de¼gerli dönü¸süm ve : X X ! [0; 1) bir dönü¸süm olsun.
(a) e¼ger (x; y) 1 olacak ¸sekildeki her x 2 X ve y 2 T x için; (y; z) 1 e¸sitsizli¼gi her z 2 T y için sa¼glan¬yorsa T ye -geçi¸sli denir.
(a) e¼ger (x; y) 1 olacak ¸sekildeki her x 2 X ve y 2 T x için; (y; z) 1 e¸sitsizli¼gi her z 2 T y için sa¼glan¬yorsa T ye -geçi¸sli denir.