R A M A Z A N A C A R 1 9 9 0 - 2 0 0 3 Ö S S S O R U L A R I v e Ç Ö Z Ü M L E R İ
1. Birbirine içten teğet iki çemberin merkezler arası uzaklığı 10 cm ve büyük çemberin çapı 22 cm dir.
Buna göre, küçük çemberin çapı kaç cm dir?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 (1990 ÖSS)
2. Yandaki şekilde
[AB] çaplı
çemberin bir T noktasından çizilen teğet doğrusu AB yi P de kesiyor.
600 T
A P
6
B
m B 60 , BT 6 cm ise, PB AT
0 değeri nedir?
A) 3 B) 2 C) 3
2 D) 1
2 E) 3
3 (1990 ÖSS)
3. ABCD bir kirişler dörtgeni m(BCD) = 130
m(CBD) = 10
0 0
1300
100 A
B C D
x
Yukarıdaki verilere göre, m(BAC)=x kaç derecedir?
A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40 (1991 ÖSS)
4. Şekildeki [AB] çaplı yarı çemberin T noktasındaki teğeti, ABD doğrusunu C
de kesiyor. A B C D
T
120 0
120
= T) C
m(D ˆ olduğuna göre, m(TAB) = kaç derecedir?
A) 5 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 (1992 ÖSS)
5. ABCD bir dikdörtgen IABI = a
IADI = b
O merkezli çember üç kenara teğet
O
A B
C D
T
a b
Şekilde A noktasından çizilen teğet doğru O merkezli çembere T noktasında değiyor.
IADI = IATI olduğuna göre, a
b oranı kaçtır?
A) 3
2 B) 5
2 C) 2 D) 2 E) 3
(1992 ÖSS)
6. Şekildeki çemberde, kesişen [AB] ve [CD]
kirişlerinin oluşturduğu dört yayın derece türünden ölçüleri verildiğine göre, açısı kaç derecedir?
A) 32 B) 35 C) 36 D) 40 E) 45 (1992 ÖSS)
bö lü m 20. ÇEMBER VE DAİRE
R A M A Z A N A C A R 1 9 9 0 - 2 0 0 3 Ö S S S O R U L A R I v e Ç Ö Z Ü M L E R İ
7. m(DAO) = 55 0 m(CBO) = 80 0 IOBI = 5 birim ICDI = x birim
Şekilde O merkezli ve [AB] çaplı yarıçember üzerinde C ve D noktaları alınmıştır.
Buna göre , ICDI = x kaç birimdir?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 5 2 E) 5 3 (1992 ÖSS)
8. Kenar uzunlukları 4 birim ve 3 birim olan bir dikdörtgende, şekildeki gibi A merkezli, 1 birim yarıçaplı çember yayı çizilmiştir.
C nin, bu yay üzerinde kendisine en yakın olan nokta ile arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 4,3 B) 4,2 C) 4 D) 2 3 E) 3 (1993 ÖSS)
9. O merkezli çember LA, A noktasında çembere teğet
m LAB = 600 AB = 12 birim
Yukarıdaki verilere göre, çemberin yarıçapı kaç birimdir?
A) 6 B) 6 2 C) 3 2 D) 4 3 E) 2 3 (1993 ÖSS)
10. CB CD
ABˆC m
100 D Cˆ B
m 0
Şekilde, O merkezli çemberin [AB] çapı ile birbirine eşit [BC] ve [CD] kirişleri çizilmiştir.
Buna göre, m ABC
kaç derecedir?A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 (1994 ÖSS)
11. Yeryüzündeki denizlerin alanları toplamının, karaların alanları toplamına oranı 7
3 olarak veriliyor.
? Karalar Denizler
Buna göre, yeryüzünün toplam alanında denizlerle karaların payını gösteren bir dairesel grafikte karaların alanı kaç derecelik merkez açı ile gösterilir?
A) 95 B) 100 C) 105 D) 106 E) 108 (1995 ÖSS)
12. [AD], O merkezli çemberin çapı A, D, C doğrusal [CB, B noktasında çembere teğet
m DAB = 300 CB 14 3birim
Yukarıdaki verilere göre, DC kaç birimdir?
A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 (1995 ÖSS)
R A M A Z A N A C A R 1 9 9 0 - 2 0 0 3 Ö S S S O R U L A R I v e Ç Ö Z Ü M L E R İ
13. B, C çember üzerinde T, C, B doğrusal
00
x C Tˆ A m
130 B Oˆ A m
Şekildeki [TE ışını O merkezli çembere A noktasında teğettir.
[AC] // [OB] olduğuna göre, m(ATC)x kaç derecedir?
A) 50 B) 60 C) 65 D) 70 E) 75 (1996 ÖSS)
14. B, C çember üzerinde [DH] [AC]
AD 10 cm DC 14 cm DB 7 cm DH x cm
D
A B
C
H T
7 x 14 10
Şekildeki [AT ışını çembere D noktasında teğettir.
ABD üçgeninin alanı 25
2 cm2 olduğuna göre, IDHI = x kaç cm dir?
A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 (1996 ÖSS)
15. O merkezli, [AB] çaplı yarım çember D, C çember üzerinde
x ) C Eˆ D ( m
90 ) C Oˆ B ( m
2 ) DC ( m
A B
C D
O E x
Yukarıdaki verilere göre, m(DEC) x derece türünden aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) B) 2 C) + 45
D) + 90 E) 2 + 45
(1997 ÖSS)
16. Merkezleri arasındaki uzaklık 15 birim olan, r ve R yarıçaplı eş düzlemli iki çember farklı iki noktada kesişmektedir.
r R
1
4 olduğuna göre, r için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) 1 < r < 3 B) 3 < r < 5 C) 5 < r < 6 D) 6 < r < 7 E) 7 < r < 8
(1997 ÖSS)
17. O merkezli, [AB] çaplı çember
D, C çember üzerinde
) B Cˆ D (
m A B
D C
O
Şekilde IADI = a cm, IABI = 2a cm olduğuna göre, m(D ˆCB)= kaç derecedir?
A) 120 B) 110 C) 100 D) 90 E) 80 (1998 ÖSS)
18.
A noktasından yuvarlanmaya başlayan r yarıçaplı bir çember 5 tam dönme yaparak şekildeki gibi A’
noktasında durmuştur.
240
AA' cm olduğuna göre, çemberin yarıçapı r kaç cm dir?
A) 30 B) 26 C) 24 D) 20 E) 18 (1998 ÖSS)
A Aı
r r
240 cm
R A M A Z A N A C A R 1 9 9 0 - 2 0 0 3 Ö S S S O R U L A R I v e Ç Ö Z Ü M L E R İ
19. [CD] çap
) B Aˆ O ( m
124 ) D Mˆ B (
m
Şekildeki M ve O merkezli çemberler B noktasında dıştan teğet ve [AO] // [CD] dir.
Buna göre, m(O ˆAB) kaç derecedir?
A) 33 B) 30 C) 28 D) 26 E) 21 (1999/İpt. ÖSS)
20. IKTI = ITLI = 8 cm IBMI = 2 cm IOPI = r
Şekilde yarıçapı 2 cm olan M merkezli çember, O merkezli r yarıçaplı çembere, B noktasında içten teğet ve O merkezli çember içindeki [KL]
kirişine de T noktasında teğettir.
Buna göre, O merkezli çemberin yarıçapı IOPI=r kaç cm dir?
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 (1999/İpt. ÖSS)
21.
O merkezli çember içine çizilen yukarıdaki düzgün altıgende K, L ve M bölgelerinin alanları hangi sayılarla orantılıdır?
K L M
A) 1 3 6
B) 1 5 6
C) 2 3 6
D) 3 4 5
E) 3 4 6
(1999/İpt. ÖSS)
22. Bir saat kulesindeki saatin akrebinin uzunluğu 72 cm’ dir.
Bu akrebin ucu 1 saatte kaç cm yol alır?
A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 4
(1999 ÖSS)
23.
O merkezli [BC] çaplı yarım çemberin PD keseni, BC doğrusunu şekildeki gibi A noktasında kesmektedir.
IADI = IBOI ve m(PAC) = 18 olduğuna göre, m(ACP) = kaç derecedir?
A) 51 B) 54 C) 57 D) 60 E) 63 (1999 ÖSS)
24. IACI = 20 cm IBDI = 9 cm ICDI = x cm
Şekildeki [AC] çaplı çemberin, A daki teğetine ait noktasını C ye birleştiren doğru, çemberi D de kesmektedir.
Buna göre, ICDI = x kaç cm dir?
A) 18 B) 16 C) 15 D) 14 E) 12 (1999 ÖSS)
R A M A Z A N A C A R 1 9 9 0 - 2 0 0 3 Ö S S S O R U L A R I v e Ç Ö Z Ü M L E R İ A
C x B
D 30
25. IDCI = 9 cm IBCI = 8 cm
Kenarları 9 cm ve 8 cm
olan ABCD
dikdörtgeninin, A köşesinden geçen O merkezli çember bu dikdörtgenin [BC] ve [DC]
kenarlarına şekildeki gibi teğettir.
Buna göre, çemberin yarıçapı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 3 B) 2 2 C) 6 D) 5 E) 2 (1999 ÖSS)
26.
A, B, C ve D bir düzlemin dört noktası olmak üzere, merkezleri bu noktalar olan 3 cm yarıçaplı dört makara, şekildeki gibi bir iple sıkıca çevrelenmiştir.
ABCD dörtgeninin çevresi 47 cm olduğuna göre, ipin uzunluğu kaç cm dir?
A) 50 B) 51 C) 53 D) 56 E) 60
(1999 ÖSS)
27. A, B, C, D noktaları çember üzerinde
) CAD ( m ) ADB ( m ) ABD ( m
30 ) BAC ( m
x ) ACD (
m
Yukarıdaki verilere göre, m(ACD )x kaç derecedir?
A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 (2000 ÖSS)
28. Şekilde, O merkezli, yarıçapları 3 cm ve 5 cm olan iki çember verilmiştir. ABC ikizkenar üçgeninin A köşesi dıştaki çemberin üzerinde, kenarları da içteki çembere teğettir.
A
B C
O
AB = AC olduğuna göre, BC kaç cm dir?
A) 6 3 B) 8 2 C) 9 D) 10 E) 12 (2000 ÖSS)
29. Şekildeki [BO] çaplı çember, O merkezli ve [BC] çaplı çembere B noktasında içten teğettir.
A
B O C
D
AB doğrusu her iki çembere B noktasında teğet, AC doğrusu da içteki çembere D noktasında teğet olduğuna göre,
| AC
|
| AB
| oranı kaçtır?
A) 2
1 B) 3
1 C) 4
1 D) 5
2 E) 7 2
(2000 ÖSS)
30. IFCI = 2 cm IABI = 8 cm
Şekildeki [AB] çaplı yarım çember, ABCD dikdörtgeninin [DC] kenarını E ve F noktalarında kesmektedir.
Buna göre, ABCD dikdörtgeninin alanı kaç cm2 dir?
A) 32 B) 32 3 C) 16 3
D) 16 2 E) 8 6
R A M A Z A N A C A R 1 9 9 0 - 2 0 0 3 Ö S S S O R U L A R I v e Ç Ö Z Ü M L E R İ
(2001 ÖSS) 31. m(CAB) = 1200
IABI = 1 cm
Şekildeki [AB ışını O merkezli çembere B noktasında, [AC ışını da C noktasında teğettir.
Buna göre, A noktasının çembere uzaklığı (en kısa) kaç cm dir?
A) 2 3 B)
2
1 C)
2 3
D) 31 E)
2 1 3
(2001 ÖSS)
32. ABCD kare m(ECB) = x
Şekildeki E noktası, A ve B merkezli IABI yarıçaplı çember yaylarının kesim noktasıdır.
Buna göre, x kaç derecedir?
A) 55 B) 60 C) 65 D) 70 E) 75 (2001 ÖSS)
33. Şekildeki O merkezli
çember ABC
eşkenar üçgeninin iç teğet çemberi ve [KL] bu çembere T noktasında teğettir.
ABC eşkenar üçgeninin çevresinin uzunluğu 24 cm olduğuna göre, AKL üçgeninin çevresinin uzunluğu kaç cm dir?
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
(2001 ÖSS) 34. IFCI = IFDI = 3 cm
A, H, E doğrusal B, H, G doğrusal
Yukarıdaki ABCD karesinde D ve C merkezli çemberler F noktasında birbirine teğettir.
Buna göre, taralı bölgenin alanı kaç cm2 dir?
A) (5 ) 2
3 B) (7 )
2
5 C) (9 )
2 5
D) (3 ) 2
7 E) (5 )
2 9
(2001 ÖSS)
35. [TB Teğet [TA teğet ) BDA ( m
= 3
) BTA ( m
=
Şekildeki verilere göre, kaç derecedir?
A) 45 B) 36 C) 34 D) 32 E) 30 (2002 ÖSS)
36. KL AT
KC = CM = r
Şekildeki M ve N merkezli çemberler T noktasında birbirlerine teğettir.
M merkezli çemberin yarıçap uzunluğu r olduğuna göre, ABC üçgeninin alanı kaç r2 dir?
A) 2,5 B) 3 C) 3,5 D) 4 E) 4,5
R A M A Z A N A C A R 1 9 9 0 - 2 0 0 3 Ö S S S O R U L A R I v e Ç Ö Z Ü M L E R İ
(2002 ÖSS) 37. Şekildeki M
merkezli çember, O merkezli ve 1 cm yarıçaplı çeyrek
çembere T
noktasında, Ox ve Oy eksenlerine de sırasıyla A ve B noktalarında teğettir.
Buna göre, M merkezli çemberin yarıçapı kaç cm dir?
A) 2 B) 21 C) 22
D) 2 E) 4
(2002 ÖSS)
38. D C
A B
Şekildeki çember ABCD kenarlarına teğettir.
Çember üzerinde alınan bir P noktasının [AB]
ve [AD] kenarlarına uzaklıkları sırasıyla 2 cm ve 1 cm olduğuna göre, çemberin yarıçapının alabileceği değerler toplamı kaç cm dir?
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 (2003 ÖSS)
39. ABCD bir kare
[AC] ve [BD]
köşegenler
D C
A B
K
Yukarıdaki şekilde, K noktası A merkezli, AB
yarıçaplı çember ve [AC] köşegeni üzerindedir.
ABCD karesinin alanı 64 cm2 olduğuna göre, BKD üçgeninin alanı kaç cm2 dir?
A) 18 B) 16 C) 12
D) 32( 21) E) 16( 21)
(2003 ÖSS)
40. [AC], O merkezli çemberin çapı,
) DBA ( m
= 40
) CAB ( m
= 25
) ODB ( m
= x
Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir?
A) 25 B) 22 C) 20 D) 18 E) 15 (2003 ÖSS)
41.
Şekildeki [AB] çaplı yarım çemberin içinde, [AC] ve [CB] çaplı yarım çemberlerin dışında kalan taralı P bölgesinin alanı p cm2, kenar uzunlukları CB cm ve CD cm olan dikdörtgensel bölge K nin alanı k cm2 dir.
AC = CD olduğuna göre, k
p oranı kaçtır?
A) 4
B)
3
C)
2
D) E) 2
(2003 ÖSS)
42. [AB], O merkezli çemberin çapı
|AE| = |EC| = 4 cm
|AO| = 5 cm
|DE| = x
A B
D C E
O 4
5 x 4
Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir?
A) 13 13
4 B)
13 13
8 C)
17 17 4
D) 17 17
8 E)
13 17
(2003 ÖSS)
R A M A Z A N A C A R 1 9 9 0 - 2 0 0 3 Ö S S S O R U L A R I v e Ç Ö Z Ü M L E R İ 3
6
30
30
30 60
A 6 O 6 B 6 P
6 T
A O B C
T
2 120
ÇÖZÜMLER
1. Küçük çemberin merkezi O1, yarıçapı r1 ve büyük çemberin merkezi O2, yarıçapı
r2 olsun. O1 O2
A
O2A = r2 = 2
22 ve O1A = r1 , O1O2 = 10
O2A = O1O2 + O1A
11 = 10 + r1
r1 = 1 bulunur.
Küçük çemberin yarıçapı 1 cm ise çapı 2 cm olur.
Cevap A’dır.
2. Çemberde çapı gören çevre açı 90
dir.
Buna göre, ) ATB ( m
= 90
olur.
ATB üçgeni (30 - 60 - 90) üçgeni olduğundan, 30 yi gören IBTI = 6 cm ise,
AT = 6 3 ve AB = 12 dir.
Aynı yayı gören çevre açı ile teğet - kiriş açı eşit olduğundan, m(TAB) m(BTP)
= 30 dir.
TBP üçgeninde bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olduğundan
) TPB ( m ) BTP ( m ) ABT ( m
60 = 30 + m(TPB)
m(TPB)
= 30 olur.
Öyleyse TBP üçgeni ikizkenar üçgendir.
TB = BP = 6 cm olacaktır.
Buna göre,
3 3 3 1 3 6
6
| AT
|
| PB
| bulunur.
Cevap E’dir.
3. Çemberde aynı yayı gören çevre açılar eşittir. Buna göre,
DC yayını gören DAC ve DBC açıları eşittir.
) DBC m(
) DAC m(
= 10 olur.
Kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar bütünlerdir.
Buna göre, m(A) m(C)
= 180
10 + x + 130 = 180
x = 40 dir.
Cevap E’dir.
4.
Çemberde merkezden teğetin değme noktasına çizilen doğru teğeti dik keser.
[OT] [TC] dir.
AO = OT ve m(TAO) m(ATO)
= dır.
ATO üçgeninde iki iç açının toplamı, komşu olmayan bir dış açıya eşittir.
) TOC ( m ) ATO ( m ) TAO ( m
m(TOC)
= 2 olur.
TOC üçgeninde aynı özellikten;
2 + 90 = 120 2 = 30 = 15 bulunur.
Cevap B’dir.
5. AD= AT
olduğundan
AT = b dir.
Teğet parçalarının eşitliğinden;
AT = AF = b dir.
D C
A F B
E
b b
b b
2 O
r
r
r H
a T
AFED dörtgeninde EF= AD olduğundan 2r = b
2 rb dir.
OFBH karesinde OH = FB
2 rb olur.
Buna göre, a = 2 bb a =
2 b 3
2 3 b
a olarak bulunur.
Cevap A’dır.
6. Bir çemberin çevresi 360 olduğundan 4x + 3x + x + 2x = 360
10x = 360 x = 36
dir.
ACD açısının ölçüsü gördüğü AD yayının yarısına eşittir.
A
B C
D
4x
3x x
2x
2 ) AD ( m
2 x
2
= 36 bulunur.
Cevap C’dir.
R A M A Z A N A C A R 1 9 9 0 - 2 0 0 3 Ö S S S O R U L A R I v e Ç Ö Z Ü M L E R İ 3
14
A O D
B
C
30
30
30 60
7. Şekilde [AB]
çaplı O merkezli çemberin yarıçapları
C
D
A O B
80
80
55
55
70 20
5 x
5
5 5
AO = OB = OC = OD = 5 br
OBD ve OAC ikizkenar üçgenlerinde m(BOD)
= 20
ve m(AOC)
= 70 bulunur.
[AB] çap olduğundan m(COD)
= 90 olur.
COD ikizkenar dik üçgeninde hipotenüs dik kenarların 2 katına eşittir.
Buna göre, x = 5 2 dir.
Cevap D’dir.
8. C noktasının, yay üzerinde en yakın olduğu nokta, dikdörtgenin köşegeni üzerindeki noktasıdır.
A B
D 4 C
K 3
ABC dik üçgeninde AC= 5 br bulunur. (3-4-5 üçgeni)
A merkezli çemberin yarıçapı AK = 1 br olduğuna göre, KC = 5 – 1 = 4 br bulunur.
Cevap C’dir.
9. Aynı yayı gören merkez açı teğet-kiriş açının iki katına eşittir.
) LAB ( m . 2 ) AOB ( m
m(AOB)
= 120 dir.
A
B
120 O
30
30
12
60
r
r L
AOB ikizkenar üçgen ve m(A) m(B)
= 30 olur.
(30 - 30 - 120) üçgeninde, AB = AO. 3 dir.
12 = r 3 3
r 12 r = 4 3br bulunur.
Cevap D’dir.
10. [DB] çizildiğinde ve
DC = CB olduğundan ) CBD ( m ) CDB ( m
= 40
dir.
Çevre açılar gördüğü yayların yarısına eşittir.
C D
B
A O
40
40
100 80
80
20
CDB ve CBD çevre açılarının gördüğü CB ve
CD yayları 80 er derecedir. Çapı gören yay 180
olduğundan m(AD)
= 20 olur.
Buna göre,
2 ) ADC ( ) m ABC ( m
2
80 ) 20
ABC (
m
= 50 bulunur.
Cevap B’dir.
11. 3
7 Karalar Denizler
ise Denizlerin alanı = 7k Karaların alanı = 3k olur.
Denizler
Karalar 3k 7k
Denizlerin ve karaların alanlar oranı ile bu bölgeleri gösteren merkez açılar orantılıdır.
7k + 3k = 360 10k = 360 k = 36
Karaların alanını gösteren merkez açı istendiğinden; 3k = 3.36 = 108 bulunur.
Cevap E’dir.
12. Çemberin merkezinden teğetin değme noktasına çizilen doğru parçası teğeti dik keser.
[OB] [BC]
O merkezli çemberin yarıçapları AO= OB dir.
Buna göre AOB ikizkenar üçgendir ve )
ABO ( m ) OAB ( m
= 30 dir.
AOB üçgeninde iki iç açının toplamı komşu olmayan bir dış açıya eşit olduğundan
) BOC ( m ) ABO ( m ) OAB ( m
m(BOC)
= 60 olur.
BOC dik üçgeni (30–60–90) üçgeni olduğundan 60 yi gören IBCI = 14 3 birim ise 30 yi gören
OB = 14 ve hipotenüs OC = 28 br olur.
Buna göre, DC + OD = 28 DC = 14 br bulunur.
Cevap A’dır.
R A M A Z A N A C A R 1 9 9 0 - 2 0 0 3 Ö S S S O R U L A R I v e Ç Ö Z Ü M L E R İ
O1 O2
C
A B
r R = 4r
D C
A O B
45–
x x 2
90–2 E
13. [AC] // [OB]
olduğundan;
) AOB ( m
= 130 ise
) CAO ( m
= 50 dir.
Çemberin
merkezinden teğetin değme noktasına çizilen doğru parçası teğeti dik kestiğinden,
T
A
C B 230
130
80
4050
230
x
O
) TAC ( m
= 40 olur. m(TAC)
= 40 teğet kiriş açısının gördüğü AC yayı 80 dir.
Merkez açısı gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. O halde m(AB)
= 230 olur.
Bir çemberde bir dış açının ölçüsü gördüğü yaylar farkının yarısına eşittir.
Buna göre
75
2 80
x 230 bulunur.
Cevap E’dir.
14. BU SORU ÖSYM TARAFINDAN İPTAL EDİLMİŞTİR.
15. m(AOC)
= 90
merkez açının gördüğü yayın ölçüsü
) ADC ( m
= 90 dir.
2 ) DC (
m olduğundan
) AD ( m
= 90 – 2 dir.
ABD çevre açı gördüğü yayın yarısının eşit olduğundan, m(ABD)
= 45 – dır.
EOB dik üçgeninde; x + 45 – = 90
x = + 45 bulunur.
Cevap C’dir.
16. O1 merkezli çemberin yarıçapı O1C = R, O2 merkezli çemberin yarıçapı O2C = r olsun.
4 1 R
r olarak
verildiğinden R = 4r
CO1O2 üçgeninde bir kenar uzunluğu diğer iki kenarın toplamından küçük mutlak farkından büyük olduğundan,
R – r < O1O2 < r + R 3r < 15 < 5r
r < 5 ve 3 < r dir.
Bu iki eşitsizliği birlikte değerlendirdiğimizde 3 < r < 5 olur.
Cevap B’dir.
17. ADO üçgeni eşkenardır. m(AOD)
= 60 ise merkez açı olduğu için m(AD )= 60 olur. DCB açısının gördüğü yay
D C
A B
O
a a
a a
m(DAB) = 60 + 180 = 240 dir.
DCB açısı çember açı olduğu için ölçüsü gördüğü yayın yarısı yani
2
240= 120 dir.
Cevap A’dir.
18. Çember 5 tam dönme yaptığında çevresinin 5 katı kadar yol alır. O halde aldığı yol 5.2r dir.
5.2r = 240
10r = 240 r = 24 cm olur.
Cevap C’dir.
19.
A
C
D
B M
O
L
124
AO doğrusunun uzantısını çizelim. BOL açısı, BMD açısı ile karşı konumlu açı olduğundan,
) BOL ( m
= 180 – 124 = 56 olur.
OAB açısı ile BOL açısı aynı yayı gören iki açı.
OAB çember açısı olduğuna göre ölçüsü BOL merkez açısının yarısına eşittir. Buna göre,
2 56 2
) BOL ( ) m OAB (
m
= 28 olur.
Cevap C’dir.
20. TO = x dersek
OM = x + 4 olur.
Büyük çemberde iç kuvvet teoremini uygularsak,
K
L O T
x 4+x
r P
B M M
2 2 8 8
4.(4 + 2x) = 82
16 + 8x = 64 8x = 48
x = 6 cm olur.
Bu durumda büyük çemberin yarıçapı
OP = OB= r = 4 + 6 = 10 cm olur.
R A M A Z A N A C A R 1 9 9 0 - 2 0 0 3 Ö S S S O R U L A R I v e Ç Ö Z Ü M L E R İ
Cevap A’dır.
21. Şekildeki düzgün altıgeni kesikli çizgilerle alanları eşit üçgenlere bölelim ve her birinin alanına S diyelim. K bölgesinin alanı 3S, L bölgesinin alanı 4S, M bölgesinin alanı 5S olur.
L M
K
O
Buna göre, K, L, M bölgelerinin alanları 3, 4, 5 ile orantılıdır.
Cevap D’dir.
22. Akrep 1 saatte 60 dakikanın 12’de biri kadar, başka bir deyişle 360 nin 12’de biri yani 30 lik yol alır.
Bize sorulan, şekildeki AD yayının uzunluğudur. Yani çemberin çevresinin 12’de biri alınan yoldur. O halde akrebin ucunun aldığı yol,
2..r.
360
30 = 2..72.
12 1 = 12 cm olur.
O
A D 72 cm30
Cevap A’dır.
23.
P
36 36
18
18
D
A B O C
Yarıçap uzunlukları eşit olduğundan POD, POC ve ADO üçgenleri ikizkenar üçgenlerdir. Buna göre,
) AOD ( m
= 18 olur. ADO üçgenin bir dış açısı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olduğundan m(PDO)
= 36 dir. POD üçgeni
ikizkenar olduğuna göre, m(DPO)
= 36 olur. APC üçgeninin iç açıları toplamını 180 ye eşitleyelim.
18 + 36 + + = 180
2 + 54 = 180
2 = 126 = 63 olur.
Cevap E’dir.
24. Çemberin merkezinden indirilen doğru teğete değme noktasında diktir. Dış kuvvet teoreminden,
AB2 = 9.(9+x)=81+9x dir.
D C
A B
9 x 20
ABC üçgeninde pisagor teoremini uygularsak, 202 + AB2 = (9 + x)2
400 + 81 + 9x = 81 + 18x + x2 x2 + 9x – 400 = 0
(x + 25) (x – 16) = 0
x = 16 cm olur.
Cevap B’dir.
25. Şekilde KB = r olduğuna göre
AK = 9 – r olmalıdır.
AKM üçgeninde pisagor teoremini uygularsak, (8 – r)2 + (9 – r)2 = r2
D C
A B
M r
r
8–r K
r r
8–r 9
9–r 64 – 16r + r2 + 81 – 18r + r2 = r2 r2 – 34r + 145 = 0
(r – 29) (r – 5) = 0
Yarıçap 8 den büyük olmayacağına göre r = 5 cm olur.
Cevap D’dir.
26. Kesikli çizgi ile gösterilen çember yayları dışında kalan ipin uzunluğu ABCD dörtgeninin çevresine eşit ve 47 cm dir.
A
B C
D
Çember yaylarının uzunlukları toplamı da bir tam çember oluşturur.
Oluşan bu çemberin çevresi de 2r = 2.3 = 6 olur.
O halde ipin toplam uzunluğu 47 + 6 = 53 olur.
Cevap C’dir.
R A M A Z A N A C A R 1 9 9 0 - 2 0 0 3 Ö S S S O R U L A R I v e Ç Ö Z Ü M L E R İ
27. B ve C açıları aynı yayı görüyorlar. Bu durumda ölçüleri eşittir.
m(ABD) = m(ADB) = m(CAD)= x olduğundan ABD üçgeninin iç açıları toplamını da 180 ye eşitlersek,
3x + 30 = 180
A
D
C B
x x x
x 30
3x = 150 x = 50 bulunur.
Cevap B’dir.
28. Merkezden teğetlerin değme noktalarına çizilen doğrular teğete diktir. Küçük çemberin yarıçapı 3, büyük çemberin yarıçapı 5
olduğundan bir AKO (3, 4, 5) üçgeni oluştu.
A
B H C
L 5
3 3 O K
4
Bu durumda AK = 4 cm dir.
BK = BH= HC = x deyip, ABH üçgeninde pisagor teoremini uygulayalım.
82 + x2 = (4 + x)2 64 + x2 = 16 + 8x + x2 8x = 48 x = 6 cm olur.
BC = 2x = 2.6 = 12 cm olarak bulunur.
Cevap E’dir.
29. MDC üçgeninde pisagor teoremini uygularsak
DC2 + r2 = (3r)2
DC = 2 2 r olur.
A
B r M r 2r C
D r
O
AB = AD = x deyip, ABC üçgeninde pisagor teoremini uygulayalım.
x2 + (4r)2 = (x + 2 2 r)2 x2 + 16r2 = x2 + 4 2xr + 8r2 8r2 = 4 2xr.
r 2
x 2 x = 2r olur.
O halde,
3 1 r 2 3
r 2 r 2 2 r 2
r 2
| AC
|
| AB
|
olur.
Cevap B’dir.
30.
3 2
3 2
D E F C
A 4 O 2 H 2 B
2
4 2 3
3 2
[AB] çaplı yarım çemberde AB= 8 cm ise yarıçapı AO = OB= OF = 4 cm dir.
[FH] dikmesi çizildiğinde FC = HB = 2 cm ve
OH = 2 cm olur.
FOH dik üçgeninde pisagor bağıntısından;
FH = 2 3 cm bulunur.
FH = BC= 2 3 cm dir.
O halde A(ABCD) = 8.2 3= 16 3cm2 dir.
Cevap C’dir.
31. Dış açının kolları çembere teğet ise dış açının
açıortayı çemberin merkezinden geçer. O ve B yi birleştirirsek OB AB ve ABO dik üçgeninde 30 yi gören
3
3 A
B
O
C E 60
60
30
AB= 1 cm ise 60 yi gören BO = 3 cm ve hipotenüs AO= 2 cm olur.
Çemberin yarıçapı BO= 3cm ise
EO= 3cm dir.
O halde AE + EO = AO
AE + 3 = 2
AE= (2 3)cm bulunur.
Cevap A’dır.
32. [AE] ve [BE] doğru parçalarını çizelim.
D C
A B
E
60 60
30
x 60
x
a
a a
a a
AD = AB = AE= BE= BC= a ve
R A M A Z A N A C A R 1 9 9 0 - 2 0 0 3 Ö S S S O R U L A R I v e Ç Ö Z Ü M L E R İ
ABE eşkenar üçgen BCE ikizkenar üçgen olur.
) EBC ( m
= 30 ise BCE üçgenin iç açılar toplamı 180 olduğundan
x + x + 30 = 180 2x = 150 x = 75 dir.
Cevap E’dir.
33. ABC eşkenar üçgen olduğundan D, E ve F orta noktalardır. ABC eşkenar üçgeninin çevresi 24 cm ise bir kenar uzunluğu 8 cm ve
A
K
L
4
B 4 F 4 C
D x
4–x 4–y
E y
4
x T y
BD = DA = AE = EC= 4 cm dir.
Teğet parçalarının eşitliğinden;
DK = KT = x ve TL= LE= y olsun.
AK = 4 – x ve AL= 4 – y olur.
O halde AKL üçgeninin çevresi
Ç(AKL) = 4 – x + 4 – y + x + y = 8 cm bulunur.
Cevap C’dir.
34. [GE] nin çizilmesiyle taralı bölge A1 ve A2
olmak üzere iki parçaya bölünüyor.
D F C
A B
H
3 3
6
G E
A1
A2
3 3
3 3
GECD dikdörtgeninde;
A1 = A(GECD) – 4
1[32 + 32]
A1 = )
2 18 9
( cm2 ABEG dikdörtgeninde;
A2 =
2 3 9 . 6 4.
1 cm2 Taralı bölge = A1 + A2
= 2
9 2 45 2 9 2
189
) 5 2( 9
cm2 bulunur.
Cevap E’dir.
35.
6
[TB ve [TA teğet olduğundan
+ m(ADB )180 m(ADB )180 – dır.
Çevre açı gördüğü yayın yarısına eşittir.
2 ) AB ( ) m ADB ( m
2 ) AB ( 3 m
m(AB )6 olur.
Çemberin çevresi 360 olduğundan;
) AB ( m ) ADB (
m 360
180 – + 6 = 360
5 = 180
= 36 bulunur.
Cevap B’dir.
36.
r r r
M merkezli çemberde;
MC = MB = MT = r dir.
N merkezli çemberde KL AT olduğundan
MK=ML = 2r ve MT.MA = MK.MT dir.
(İç kuvvet bağıntısı) r.MA = 2r.2r MA = 4r Buna göre, ABC üçgeninin alanı;
2
| BC
| .
| MA ) | ABC (
A
R A M A Z A N A C A R 1 9 9 0 - 2 0 0 3 Ö S S S O R U L A R I v e Ç Ö Z Ü M L E R İ 2
r 2 . r
4
= 4r2 dır.
Cevap D’dir.
37. Şekilde eksenlere teğet olan M merkezli çember O merkezli çeyrek
çembere T
noktasında teğettir.
r
r
1 r
MB = MT= MA= r ve BM = OA= r ve
OT = 1 cm olduğu açıktır. MOA bir ikizkenar dik üçgen olduğunu OA= MA = r den söyleyebiliriz.
O halde MOA ikizkenar dik üçgeninde;
MO= r 2 1rr 2 2 1 1
2
r 1
olur.
Cevap B’dir.
38. Çember üzerinde alınan bir P noktasının [AB] ve [AD] kenarlarına uzaklıkları sırasıyla 2 cm ve 1 cm olacak şekilde [DC] nin orta noktasını aldığımızda çemberin yarıçapı 1 cm olur.
D C
A B
1
2 cm
H P
r – 1 r r O
r
[AB] ve [AD] kenarlarına uzaklıkları sırasıyla 2 cm ve 1 cm olacak şekilde EH yayı üzerinde olan bir P noktası alalım.
Oluşan OPN dik üçgeninde kenar uzunlukları ardışık olduğundan, r nin alabileceği yalnız bir değeri vardır. r = 5 dir. O halde; r nin alabileceği değerler toplamı 1 + 5 = 6 dır.
Cevap B’dir.
39. ABCD karesinin alanı 64 cm2 olduğuna göre, bir kenar uzunluğu 8 cm dir.
Karenin köşegenleri birbirini ortalar ve dik keser. Buradan
AE=BE=DE= 4 2 cm bulunur.
D C
A B
K 2
4
2 4 2
4 8
8
8
A merkezli çemberin yarıçapı olan
AB=AD=1AK = 8 cm dir. Buna göre, EK = (8 –4 2) cm olur.
O halde, BKD üçgeninin alanı
2 ) 2 4 8 .(
2 8 2
| EK
| .
| BD ) | BKD (
A
= 4 2(84 2
= 32 232
= 32( 21)cm2 dir.
Cevap D’dir.
40. Aynı yayı gören merkez açı çevre açısının iki katına eşittir.
) AOD ( m
= 80 olur.
ABDO konkav çokgende;
D C
B
A 25
O 40
x
80
) D ( m ) B ( m ) A ( m ) AOD ( m
80 = 25 + 40 + x x = 15 bulunur.
Cevap E’dir.
41. Verilenleri şekilde yerine
yazdığımızda,
x x y y
2x 2x
2x 2y
2x
P = 2
[(x + y)2 – (x2 + y2)] = 2xy xy 2
K = 2x . 2y = 4xy
4xy 4 xy k
p olarak bulunur.
Cevap A’dır.
42. Çapı gören çevre açı 90 olduğundan
90
) B C A (
m dir.
O ve E noktaları bulundukları
kenarların orta noktaları
olduğundan [OE] // [BC] olur.
A B
C D
E
O 4
5 x 4
5 a
2a
Bu yüzden m(AEO)90 olur. AEO üçgeninde pisagor teoreminden |OE| = 3 cm olur.
[OE] // [BC] olduğuna göre ABC üçgeninde thales teoremine göre |BC| = 2. |OE| dir.
|BC| = 2. |OE| |BC| = 2. 3 = 6 cm
ECB üçgeninde pisagor teoremini uygularsak
|BE|2 = |EC|2 + |BC|2 |BE|2 = 42 + 62
|BE|2 = 16 + 36 |BE|2 = 52
|BE| = 2 13 Çemberde iç kuvvet formülüne göre,
R A M A Z A N A C A R 1 9 9 0 - 2 0 0 3 Ö S S S O R U L A R I v e Ç Ö Z Ü M L E R İ
|AE| . |EC| = |DE| . |EB|
4 . 4 = x . 2 13 16 = x . 2 13
13
13 8 13 x 8
Cevap B’dir.
