MADEN HAVALANDIRMA. M. Sa im S ARAÇ. Anadolu Üniversitesi. Fen Bilimleri Enstitüsü. Anabilim Dalında DOKTORA TEZİ. Doç.Dr. M.

M. Sa im S ARAÇ

1

Anadolu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Lisansüstü Yönetmeliği Uyarınca

Maden Mühendisliği Anabilim Dalında

DOKTORA TEZİ

Olarak Hazırlanmıştır.

Danışman Doç.Dr. M. Rifat BOZKURT

Nisan-1988

M. Saim SARAǹ ın DOKTORA tezi olarak hazırladığı ¹¹MADEN HAVALArmiRMA ŞEBEKELERİNİN OPTİMİZASYONU" başlıklı bu çalışma, jü- rimizce lisansüstü yönetmeliğinin ilgili maddeleri uyarınca değer-

lendirilerek kabul edilmiştir.

. ... 1 . ... 1 . ...

Başkan

Üye

Üye

Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu ı nun . ~

·.6:

...

ve •• .

i1:ı.-. ~ ... sayılı kararıyla onaylanmıştır.

Müdürü Prof.Dr. Rüstem KAYA

ÖZET

Bu çalışmada, havalandırma şebekelerinin kısıtsız optimizasyon teknikleri ile çözümlenebilirliği incelenmiş ve havalandırma şebeke hesaplamalarında maden mühendisine getirebileceği kolaylıklar araştı­

rılmıştır.

Havalandırma şebekeleri için çok değişkenli, doğrusal olmayan,

kısıtsız bir model oluşturulmuştur. Model, şebekede tüketilen hava gücünün üçte birini ifade etmektedir. Bu durumda problem, şebekedeki

güç tüketimini enküçükleyen hava miktarı değerlerinin hesaplanması

olarak şekillenmektedir.

Modelin çözümünde, amaç fonksiyonunun türevini değerlendiren kı­

sıtsız optimizasyon teknikleri kullanılmıştır. Bu tekniklerden En Hız­

lı İniş, Fletcher-Reeves, Newton ve Davidon-Fletcher-Powell yöntemleri için bilgisayar programları yazılmıştır. Örnek şebekeler üzerinde uy- gulamalar yapılarak, havalandırma şebekelerinin kısıtsız optimizasyon teknikleri ile çözümlenebileceği kanıtlanmıştır.

Başlangıç hava miktarı değerlerinin sıfır olarak atanmasının kı­

sıtsız optimizasyon tekniklerinin çalışmasında önemli bir olumsuz etki

yapmadığı belirlenmiştir. Davidon-Fletcher-Powell yönteminin göz se- çimine büyük kolaylıklar getirdiği saptanmıştır. Kısıtsız optimizas- yon teknikleri sonuca daha az iterasyanda ulaşabilmekle birlikte, çö- züm süresi bakımından Hardy Cross yöntemine üstünlük sağlayamamıştır.

Kısıtsız optimizasyon tekniklerinin ilk bir kaç timum noktaya oldukça yaklaşabildikleri, daha sonraki ise yavaş bir yakınsama gösterdikleri belirlenmiştir.

iterasyanda op- iterasyonlarda

Hardy Cross yöntemi ise tersine bir yaklaşım göstermiştir. Her iki avantajı bir-

leştiren bir kombine yöntem geliştirilerek, örnek .şebekelere uygulan-

mıştır.

Kombine yöntemin gerek iterasyon sayısı, gerekse çözüm süresi

bakımından Hardy Cross tekniğine oranla daha avantajlı olduğu belir-

lenmiştir. Bu yöntem için bir bilgisayar programı yazılarak, uygu-

lamacı maden mühendisinin kullanımına sunulmuştur.

Anahtar Kelimeler Maden Havalandırma, Kısıtsız Optimizasyon.

SUMMARY

In this study, the solvability of mine ventilation networks by unconstrained optimization techniques has been analysed and their pro- bable advantages have been investigated.

A multi-dimensional, nonlinear and unconstrained model for mine ventilation networks has been formed. The model represents one third of the air power consumed in the network. In this case, the problem appears as the power consumption in the network.

In the solution of the model, unconstrained optimization techni- ques which evaluate the derivation of the objective function have been used. Of these techniques, computer programmes have been prepared for Steepest Descent, Fletcher-Reeves, Newton and Davidon-Fletcher-Powell methods. The solvability of ventilation networks by unconstrained optimization techniques was proved: by the applications on network mo- dels.

It has been determined that, the assignation of initial quantity values as zero, doesn't create any important negative effect on the performance of unconstrained optimization techniques. It was also found out that Davidon-Fletcher-Powell method provides great facili- ties with mesh selection. Although unconstrained optimization tech- niques might reach to the solution by less iteration, with respect to the solution time it's not superior over Hardy Cross method.

It has been determined that, unconstrained optimization techni- ques could nearly approach to the optimum point within first few ite- rations, and show a slower convergence speed in the later iterations.

It was found out that Hardy Cross method has an opposite trend. A com- bined method which includes both advantages has been developed and applied to the network models.

It has been concluded that Combined method is advantageous com- pared with Hardy Cross method, both from the point of iteration num- ber and solution period. A computer programme of the method has been

prepared and presented to the use of Mining Engineers.

Keywords Mine Ventilation, Unconstrained Optimization.

TEŞEKKÜR

Bu tezin yürütülmesinde danışmanlığımı yaparak görüş ve öneri- leriyle bana yol gösteren değerli hacarn Doç.Dr. M.Rifat BOZKURT'a, lisans öğrenimimden başlayarak tüm yüksek öğrenim yaşamımda bilgi-

lendiğim, doktora tezimin her aşamasında beni yönlendiren İ.T.Ü. !~den·

Fakültesi Öğretim Üyesi Doç.Dr. Erdil AYVAZOGLU'na, Şebeke Analizi ve Optimizasyon konularında fikirlerinden yararlandığım Ege Üniversitesi

Öğretim Üyesi Doç. Orhan YÜKSEL'e, çalışmalarım süresince destekleri- ni gördüğüm Anadolu Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi yet- kilileri ile Maden Mühendisliği Bölümündeki çalışma arkadaşlarıma, İ.T.Ü. Maden Fakültesi Öğretim Üyelerine, tüm yaşamım boyunca büyük maddi ve manevi fedakarlıklara katlanarak eğitimimi sağlayan aileme

teşekkürlerimi sunarım.

ÖZET "

... .

SUMMARY • • • • • • • • . . • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • V

TEŞEKKÜR vi

ŞEKİLLER DİZİNİ • . . . • . • . . . • • • • • • . . • • • • . . • . • • . • • . • • . • • . • • . . • • • • • • • • xii

ÇİZELGELER DİZİNİ xv

SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ •••••••.•..••••••.•.••.•••••••••.•• xvii

ı. GİRİŞ ı

2. HAVALANDIRMA ŞEBEKE HESAPLARI ••••••••.••••••••.•...•••••••••• 4

2.1. Giriş . • • • •• •• • • . . • • • • • • •• . . . . • • • • •• • • . • •. • • . . • • • • •• . •• . . 4 2.2. Basınç Düşüşü . • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 4 2. 3. Kirchoff Yasaları • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • . • • • • • . • • • • • • 6 2. 4. Hardy Cross İ terasyon Tekniği • • • • • • • • • • • • • • • • . • . • • • • • . • • 7 2.4.1. Düzeltme değeri . • . • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 7 2.4.2. Göz s e ç i m i . . . 9 2.4.3. Yöntemin algoritması ••••••••••••••••••••••••••••• 10 2.4.4. Bilgisayar programı •••••••••••••••••••••••••••••• 10

3. DO~RUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMADA BAZI KAVRAM VE ÖZELLİKLER ••.•• 13

3.1. Giriş 13

3. 2. Tanım ve Genel Yapı • • • • • . • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 14 3.3. Konvekslik-Konkavlık • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 15 3.4. Süreklilik • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 19 3.5. Optimum Çözüm ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 20

3.6. Ekstremum İçin Gerek ve Yeter Şartlar 20

3. 6 .ı. Ek s tremumlar . . . • . • • • • • . . . • • . • . • . • . . . • . . . • . 20

3.6.2. Ekstremum için gerek şart 22 3.6.3. Ekstremum için yeter şart 22 3.6.4. Konveks-Konkav fonksiyonlarda ekstremumlar .•..•.. 23

3.7. Ayrılabilir Fonksiyon 24 3. 8. Kareli Biçimler . . . • . • . . . • • . • . . . • • . . • 24

3.9. Tek Değişkenli Fonksiyonların Optimizasyonu ...•.... 25

3.9.ı. Eşzamanlı Arama yöntemi ..•..•.•.•..•..•....••.... 25

3.9.2. Simetrik İki Nokta yöntemi •...••.•...•. 26

3.9.3. Fibonacci yöntemi ...•.•.•..•..• 27

3.9.4. Altın Oran yöntemi ..•...••.•.•...•...•...•. 29

3.9.5. Kareli İnterpolasyon yöntemi •..•...•...•..•. 30

4. DOGRUSAL OLMAYAN MODELLERİN ÇÖZÜM TEKNİKLERİ .••....•••.•..••• 35

4.ı. Sınıflama . . • . • . . • • . . . • • . . • . • • . • . . . • . . • . • . . . • . • • . . • . 35

4.2. Kısıtsız Modelin Optimizasyonu ..••...••..•••.•.••....•.• 36

4.2.1. Sayısal çözüm teknikleri . • . • • . • • . . . . • • . . . • • • • • • • • 37

4.2.2. Gradyan yöntemleri ..•.••...••••.••••..••.•..•.. 39

4.2.2.ı. En Hızlı İniş yöntemi ...•••••••...•••• 40

4.2.2.2. Fletcher-Reeves yöntemi •.••...•••••••. 44

4.2.2.3. Newton yöntemi •••..•.•••.•••.•••.•..••.• 48

4.2.2.4. Davidon-Fletcher-Powell yöntemi .••...•.• 5ı 5. HAVALANDIRMA ŞEBEKELERİNİN OPTİMİZASYONUNDA MATEMATİKSEL MODELİN OLUŞTUROLMASI •.•....•.••.••••.••.•..••.• 55

5 .ı. Problemin ^Tanımı • • • • . • . . • • • . • • . . . . • . • . • . . . • • . • • . • • 55

5.2. Amaç Fonksiyonunun Oluşturulması .•••••.••.••..•.••.•.••• 55

5.3. Modelin Kısıtları 58 5. 4. Kısı ts ız Illodel . . . • . . . • . • . . . . • . . . • . 59 5.5. Amaç Fonksiyonunun Analizi ••...•...•...•••...• 64 6. HAVALANDIRMA ŞEBEKELERİNİN KISITSIZ OPTİMİZASYON

TEKNİKLERİ İLE ANALİZİ . • . . • • . . • . . . • . • . . . . • . . . • . . . 65 .

6. ı. Giriş 65

6.2. En Hızlı İniş yöntemi ••...••.•.•••..•••..••...••.•••.. 67

6.2.ı. Algoritma 67

6.2.2. Başlangıç mümkün çözümü .••..•••.•..••...•..••. 68 6.2.3. Gradyanın hesaplanması •...•••...••..•.•.•••••. 68 6.2.4. Tek boyutlu optimizasyon

6.2.5. iterasyon bitirme ölçütü

70 77 6.2.6. Bilgisayar programı .••.•...••.•...•...••.•... 78 6. 2. 7. Optimum çözüm seti • • • • • • • • • • . • • . . • • • . • • . • • • • • • . . • 79 6.3. Fletcher-Reeves yöntemi •.•••••••.••.•••.••.••••.•••.••.• 83 6. 3. ı. Algori tma . • . • • . . . • • . • • • . • • . • . • • • • . • • • • • • • • . • • • • • . 83 6.3.2. Bilgisayar programı ••••.•..••••••.•••••..••.•.••• 84 6.3.3. Optimum çözüm seti . . . . 85

6.4. Newton Yöntemi 87

6. 4. 1. Algor i tma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.4.2. Hessien matrisinin oluşturulması ••.•..•...•••.••. 90 6.4.3. Bilgisayar programı •.•...•.••....••..••.•••••.••• 90 6.4.4. Optimum çözüm seti •.••.•••.••..•....••..••••.•.•. 93 6.5. Davidon-Fletcher-Powell .Yöntemi ..••..•.••.••.•..••.••.•• 96 6. 5. ı. Algori tma . . . . • • . • . • . . • • . . • • • . . . • . • . . • • . • • • • • • 96 6.5.2. Bilgisayar programı .•....•.•••••..•.•.•.••••••.•. 97 6. 5. 3. Optimum çözüm seti . • • • . • . • • • • • • • . . • • . • • . • • • • . • . . • 99

7. ÇÖZÜM TEKNİKLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI 102 7. 1. İ terasyon Sayısı . • • . . • • • . . . • . . . • . . . • • • • . . • • . • • • • • 103 7. 2. Çözüm Süresi ..•.•...•.•...•.••..•..•.•...•... ·• • • . . . . • • • 103 7.3. Kullanılan Bellek ^Hacmı ••.•.••.•••.••••.•••.••••.•••.•• 105 7.4. Hassasiyet Değerinin Çalışma Perfermansına Etkisi .•••.• 106 7.5. Göz Dizileri Seçiminin Çalışma Perfermansına Etkisi •.•. 110 7.6. Başlangıç Q Değerlerinin Etkisi ••••..•.•.••••..•••..••• 114 7.7. Optimum Çözüme Yaklaşım •.••••••.••••••••.•••••••••••••• 117 8. KOMBİNE YÖNTEMİN GELİŞTİRİLMESİ •.••••••.•••••••••••••••••••• 124 8.1. Amaç . . . 124 8.2. Kombine Yöntemde İzlenen Algoritma ••...•.••.••..••••.•• 124

8.3. Bilgisayar Programı 125

8.4. Hardy Cross Yöntemi İle Karşılaştırma •••••••••.••••••.• 130 8.5. Genel Amaçlı Bilgisayar Programı ••.•.••.•••••..•••.•..• 133 8.5.1. Vantilatör katsayıları hesabı alt ^programı •••••• 133 8.5.2. Göz seçimi alt programı ••••.••.•••••.•.••.•.••.• 135 8.5.3. Doğal havalandırma alt programı •..••.•.••••.•.•. 135

8.5.4. Verilerin okutulması 136

9. SONUÇLAR . . . • . . . • • • • • • . • • • • • • • . • • . • • . . . • • • . • . • • • • . • • • . • . . • • 138

KAYNAKLAR DİZİNİ

...

EKLER

ı. Örnek Şebeke-l

2. Örnek Şebeke-2

3. Örnek Şebeke-3

4. Örnek Şebeke-4

5. Hardy Cross Yöntemi Bilgisayar Programı

6. En Hızlı İniş Yöntemi (Altın Oran Tekniğini Kullanan) Bilgisayar

]§~rogramı

7. En Hızlı İniş Yöntemi (Kareli İnterpolasyon Tekniğini Kullanan) Bilgisayar Programı

8. Fletcher-Reeves Yöntemi Bilgisayar ^Programı 9. Newton Yöntemi Bilgisayar Programı

10. Davidon-Fletcher-Powell Yöntemi Bilgisayar Programı

ll. Kombine Yöntem Bilgisayar Programı

12. Kombine Yöntem İçin Genel Amaçlı Bilgisayar Programı

2.1. Hardy Cross yöntemi bilgisayar programının

genelleştirilmiş akış şeması ...••.•...•.•.••.•.•••• 12

3.1. Konveks bir f(x) fonksiyonu e~risi •••••••.•...•..••.• 16

3.2. Bir f(x) fonksiyonunda ekstremumlar .•...•.•••.•..•.•.• 21

3.3. Eşzamanlı Arama yönteminde ızgaralama •••..•.••..•.•••...•• 26

3.4. Simetrik İki Nokta yöntemi ₂₇ 3.5. Fibonacci yönteminde aralı~ı daraltma ..••.••..•.•...• 28

3.6. Altın Oran yönteminde aralığın daraltılması .••.•...••.•.•. 29

3.7. Kareli interpolasyonda noktaların belirlenmesi ....•••..••. 33

3.8. Kareli İnterpolasyon yönteminin işleyişi •.••.•...••..• 33

4.1. İki de~işkenli bir fonksiyonun enküçüklenmesinde izlenen yol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2. Bir noktadaki gradyan ve en hızlı azalma yönü .••.•..••.... 41

4.3. En Hızlı İniş yönteminde ilerleme 42 4.4. Newton yönteminde enküçük noktaya yaklaşım ....•..•....•... 49

5.1. Örnek Şebeke-l için oluşturulan a~aç •.•....•...•.... 61

6.1. Gradyan hesaplama alt programının akış şeması ...•..•..•. 71

6.2. Altın Oran tekniği alt programının akış şeması ...•... 73

6.3. Kareli İnterpolasyon alt programının akış şeması ...•... 75

6.4. Fonksiyon değerini hesaplama alt programının akış şeması .. 76

6.5. En Hızlı İniş yöntemi bilgisayar programının genelleştirilmiş akış şeması .•...•...•. 80

6.6. Fletcher-Reeves yöntemi bilgisayar programının genelleştirilmiş akış şeması ....•...•...•.•.•....•. 86

6.7. Hessien matrisini oluşturan program kesiminin genelleştirilmiş akış şeması ...•...•.•....••.•... 91

6.8. Newton yöntemi bilgisayar programının genelleştirilmiş akış şeması •...•.•....•...•••.•.•. 92

ŞEKİLLER DİZİNİ (Devam ediyor)

6.9. Davidon-Fletcher-Powell yöntemi bilgisayar programının

genelleştirilmiş akış şeması •••••••••••.•••....••..•••.••• 98 7.1. Şebekedeki kol sayısı ile iterasyon sayısı

arasındaki ilişki .•••••.•••..•••••••...••....•..••.••••.•• 103 7.2. Kol sayısına bağlı olarak çözüm süresinin değişimi •••••••. 104 7.3. Şebekedeki kol sayısına ve kullanılan çözüm tekniğine

göre, kullanılan bellek hacmı •••...•.•.•..••.•••.•...•.. 106 7.4. Örnek Şebeke-2 için, hassasiyet değeri ile

iterasyon sayısının değişimi ••..••.•••••.•...•••.••...•••• 107 7.5. Örnek Şebeke-2 için, hassasiyet değeri ile

çözüm süresinin değişimi ...••••.•.••...•.••••••.••... 107 7.6. Örnek Şebeke-3 için, hassasiyet değeri ile

iterasyon sayısının değişimi .•...•..••.•..•..•.•.•••... 108 7.7. Örnek Şebeke-3 için, hassasiyet değeri ile

çözüm süresinin değişimi .•...•..•...••....••••.••••••...•• 108 7.8. Örnek Şebeke-4 için, hassasiyet değeri ile

iterasyon sayısının değişimi .•.•••..•••••.••...••.••••.••• 109 7.9. Örnek Şebeke-4 için, hassasiyet değeri ile

çözüm süresinin değişimi .•..•..•..•....•.•.•...•.•.• 109 7.10. Örnek Şebeke-4 için, başlangıç Q değerleri ile

iterasyon sayısının değişimi ..•..•.•...•••....•••... 116 7.11. Örnek Şebeke-4 için, başlangıç Q değerleri ile

çözüm süresinin değişimi ..•...•..•.•...•....••..•..• 116 7.12. Hardy Cross yöntemi ile Örnek Şebeke-l için,

optimum çözüme yaklaşım ••..•••...•..••••.•••.••••..•.••.•. 118 7.13. Fletcher-Reeves yöntemi ile Örnek Şebeke-l için,

optimum çözüme yaklaşım •.••....•...••••...•.•...••. 119 7.14. Davidon-Fletcher-Powell yöntemi ile Örnek Şebeke-l için,

optimum çözüme yaklaşım ••.••....••..••...•.••...••••••• 119 7.15. Newton yöntemi ile Örnek Şebeke-l için,

optimum çözüme yaklaşım •.•.•••••••.•...•..•..•••..•..••••• 120

ŞEKİLLER DİZİNİ (Devam ediyor)

7.16. En Hızlı İniş yöntemi ile Örnek Şebeke-l için,

optimum çözüme yaklaşım ...••.••.••...•.••.•.••..••.•. 120 8.1. Kombine yöntemin bilgisayar programının

genelleştirilmiş akış şeması ...•.•.••..•.•...•...•..•..• 127 8.2. Tekrarlama sayısı ile toplam çözüm süresinin değişimi ••... 129 8.3. Tekrarlama sayısı ile iterasyon sayısının değişimi •... 129 8.4. Kombine yöntem ile Hardy Cross tekniğinin

iterasyon sayısı açısından karşılaştırılması •....•..•... 131 8.5. Kombine yöntem ile Hardy Cross tekniğinin

çözüm süresi açısından karşılaştırılması •.••...•..•..••••. 131 8.6. Kombine yöntem ile Hardy Cross tekniğinin

kullanılan bellek hacmı açısından karşılaştırılması ... 132

ÇiZELGELER DİZİNİ

Çizelge

6.1. Altın Oran ve Kareli İnterpolasyon

yöntemlerinin karşılaştırılması . . . • . . . 77 6.2. Örnek Şebeke-l için En Hızlı İniş yönteminin işleyişi 81 6.3. En Hızlı İniş yöntemi ile elde edilen çözümlerin,

Hardy Cross tekni~i sonuçlarıyla karşılaştırılması 82 6.4. Örnek Şebeke-l için Fletcher-Reeves yönteminin işleyişi 88 6.5. Fletcher-Reeves yöntemi ile elde edilen çözümlerin,

Hardy Cross tekni~i sonuçlarıyla karşılaştırılması •...•. 89 6.6. Örnek Şebeke-l için Newton yönteminin işleyişi 94 6.7. Newton yöntemi ile elde edilen çözümlerin,

Hardy Cross tekni~i sonuçlarıyla karşılaştırılması 95 6.8. Örnek Şebeke-l için Davidon-Fletcher-Powell

yönteminin işleyişi 100

6.9. Davidon-Fletcher-Powell yöntemi ile elde edilen çözümlerin, Hardy Cross tekni~i sonuçlarıyla karşılaştırılması •••.••.• 101 7.1. Örnek şebekeler için çöztime ulaşma özellikleri •••...•... 102 7.2. Örnek Şebeke-4'den seçilen göz dizileri ••.••.•...••.•••••• lll 7.3. Örnek Şebeke-4'den seçilen de~işik göz dizileri için,

yöntemlerin çöztime ulaşma özellikleri ...•..•..••.•••••.• 112 7.4. Örnek Şebeke-4 için, de~işik başlangıç Q de~erleri ile,

elde edilen çalışma performansları ...••...•.•••...•••..• 115 7.5. Örnek Şebeke-l için her iterasyondaki Q de~erlerinin,

tahminin standard hataları ...••••...•..•..•...•..•.••.•• 121 7.6. Örnek Şebeke-2 için her iterasyondaki Q değerlerinin,

tahminin standard hataları ..•...•..••...•••...•.•••••. 121 7.7. Örnek Şebeke-3 için her iterasyondaki Q de~erlerinin,

tahminin standard hataları ..•••...••.•..••...•..••••••.... 122

ÇİZELGELER DİZİNİ (Devam ediyor)

Çizelge

8.1. Değişik tekrarlama sayıları (t) ile, Qt değerlerinin

değişimi (Örnek Şebeke-l için) •...•..••..•...•...•• 128 8.2. Örnek şebekeler için, değişik tekrarlama sayıları ile

optimum çözüme ulaşma özellikleri ....•...•....••.••.••.. 128 8.3. Hardy Cross ve Kombine yöntemlerin, örnek şebekeler

için verdiği sonuçlar ••.••.••.••...•.•.•••.•••••.•••• 130

Simgeler

D

d ij E e ^{o o}

ıJ

F i H H -1

k'

p

r

u

V' U

Kısaltınalar

E.H.İ.

F-R D-F-P N.

H.C.

S.H.

İ. S.

ç.s.

SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ

Açıklama

Şebekenin göz matrisi.

Göz matrisinin elemanları.

Şebekenin durum matrisi.

Durum matrisinin elemanları.

Fibonacci katsayıları.

Hessien matrisi.

Hessien matrisinin inversi.·

Altın Oran.

İlerleme yönü vektörü.

Optimal ^adım boyutu.

Tahminin standard hatası.

Başlangıç Q değerleri seti, m /s. 3 Amaç fonksiyonu.

Amaç fonksiyonunun gradyan vektörü.

Açıklama

En Hızlı İniş Yöntemi.

Fletcher-Reeves Yöntemi.

Davidon-Fletcher-Powell Yöntemi.

Newton Yöntemi.

Hardy Cross Yöntemi.

Tahminin Standard ^Hatası.

iterasyon Sayısı.

Çözüm Süresi.

ı. GİRİŞ

Yeraltı ocaklarının havalandırılması maden mühendisliği disip- lini için gerek planlama aşamasında, gerekse günlük çalışmalarda önem- li bir uğraşı alanıdır.

Havalandırma çalışmalarının amacı kısaca:

a) Ocaktaki canlıların hava gereksinimini karşılamak,

b) Tehlikeli gaz birikimlerini etkisiz kılmak,

c) Optimum bir ocak iklimi elde etmek,

d) Açık alevli lambalar ve patıarlı motorlar için oksijen gereksi- nimini karşılamak,

e) Tozlu havayı fazla miktarda hava ile seyreltmek veya zararsız.

hale getirmek,

olarak özetlenebilir (Saltoğlu, 1975).

Maden mühendisinin karşılaşacağı havalandırma sorunları ise, ye- ni damarlarda üretime geçmek, var olan bir veya birkaç vantilatörü şe­

bekeden çıkarmak, devreye yeni vantilatörler ilave etmek, yeni galeri- lerin sürülmesi veya bazı eski galerilerin kapatılması, doğal havalan-

dırmanın ve ocak yangınlarının etkisinin analiz edilmesi olarak şekil­

lenebilir (Ayvazoğlu, 1986).

Ayvazoğlu (1973), yeraltı madencilik çalışmalarında havalandırma

maliyetinin, genel maliyetin ancak %1 kadarını oluşturmasına karşılık,

uygun olmayan bir havalandırma sisteminin üretim çalışmalarında çok bü- yük olumsuzluklar yaratacağını belirtmektedir.

HavalandJ.rmadan kaynaklanan sorunlardan dolayı malzeme ve ekipman

kaybına neden olunduğu, üretim yapılan panoların kapatılarak yerine bir daha konulamayacak ulusal servetin yeraltında terk edilmek zorunda ka-

lındığı bir gerçektir.

Getirdiği maddi kayıplardan çok daha önemli olarak, iyi proje- lendirilmeyen ve peryodik denetimleri titiz bir şekilde yapılmayan ha-

valandırma sistemlerinin, toplu can kayıplarına yol açtığı dünya ve maalesef özellikle ülkemiz madencilik pratiğinde iyi bilinmektedir.

Bir havalandırma sisteminin projelendirilmesinde kol direnç de-

ğerleri bilinen, bir veya birkaç vantilatör içeren şebekenin kolların­

daki hava dağılımının hesaplanması istenir. Bu tip şebekeler "Doğal Dağılımlı Şebekeler" olarak nitelenir (Hartman, 1982).

Çizgisel diyagramları paralel ve seri bağlı devreler haline ge- tirilebilen basit şebekeler için kollardaki hava dağılımının hesap-

lanması, elektrik devrelerine benzer şekilde Eşdeğer Dirençler yönte- mi ile kolayca yapılabilir.

Ancak pratikte havalandırma şebekelerinin büyük çoğunluğu, pa- ralel ve seri bağlı devrelere dönüştürülemeyen kompleks şebekeler du-

rumundadır. Bu tür şebekelerin çözümlenmesi ise yoğun ve karmaşık

matematiksel işlemleri gerektirmekte, hesaplamalarda sayısal bilgisa-

yarların kullanılması kaçınılmaz olmaktadır.

Tarihi gelişim içinde, kompleks şebekelerin analizi amacıyla çe-

şitli analog ve sayısal yöntemler kullanılmakla birlikte, sonraki yıl­

larda Hardy Cross yaklaşık tekrarlama (iterasyon) tekniği en uygun me- tod olarak kabul görmüştür (Güyagüler, 1982). Literatürde bu tekniği

temel alan ve ayrıntılarda farklılıklar gösteren pek çok bilgisayar

programı bulunmaktadır.

Bazı araştırmacılar tarafından son yıllarda yapılan yeni çalış­

malarda, probleme değişik matematiksel yaklaşımlar da geliştirilmiş­

tir. Wang ( 1984) ile Ueng ve Wang (.1984), "Bileşke Yön" tekniğinin

bu amaçla kullanılabileceğini ileri sürmüşlerdir. Bhamidipati ve Procarione (1985; 1986), kollardaki hava dağılımının "Parçalı Doğru­

sal Yaklaşım" (Piece Linearization) tekniği ile hesaplanabileceğini,

ancak uygulamada Hardy Cross yöntemine üstünlük sağlanamadığını rapor etmektedirler.

Yeraltı maden işletmeciliğinde yaşamsal bir öneme sahip olan ha-

valandırma sistemlerinin projelendirilmesine yeni yaklaşımlar getirmek, bilim adamları için daima ilgi çekici bir araştırma konusu olmuştur.

Matematik programlama bilim dalındaki ve bilgisayar teknolojisindeki

gelişmeler,yeni hesaplama tekniklerinin mühendislik problemlerine uy-

gulanmasına olanak tanımıştır.

Bu tezde, kompleks havalandırma şebekelerinin analizinde klasik Hardy Cross yöntemine oranla daha hızlı ve daha kullanışlı bir çözüm

tekniğinin araştırılması ve havalandırma mühendisine hesaplama kolay-

lıkları getirilmesi amaçlanmıştır. Bu amaç doğrultusunda kısıtsız op- timizasyon tekniklerinin havalandırma şebeke hesaplamalarında kullanı­

labilirliği araştırılmış, ele alınan teknikler ve Hardy Cross tekniği­

nin çalışma performansları karşılaştırılarak test edilmiştir.

2. HAYALANDIRMA ŞEBEKE HESAPLARI

2.1. Giriş

Havalandırma şebekelerinin projelendirilmesinde öncelikle siste- min planı üzerinde çalışılarak kol ve kavşaklar sistematik şekilde nu-

maralandırılır, sistemin çizgisel diyagramı çizilir ve vantilatörler

işaretlenir.

Ocaktaki hava yollarının direnç değerleri ölçme veya hesaplama yoluyla belirlendikten sonra, diyagramdaki kolların eşdeğer dirençleri

hesaplanır. Şebekedeki vantilatörler sabit basınç kaynağı olarak veya karakteristik eğrilerinin katsayıları belirlenerek hesaba katılır. Do-

ğal hava akımının etkisi incelenerek hava yoğunluklarına göre değişimi

belirlenir.

Havanın ocak yollarındaki akışında akışkanlar mekaniği yasaları

geçerlidir. Ocak havası sıkışahilir bir akışkan olmakla birlikte, ha-

valandırma şebeke analizinde ocak havasının sıkışmaz olduğu, termodi- namik olarak bir hacım değişikliğine uğramadığı kabul edilir. Bu ka- bul hesaplamalarda büyük kolaylıklar sağlar ve hassasiyeti fazla etki- lemez (Skochinsky and Komarov, 1969).

2.2. Basınç Düşüşü

Yeraltı yollarında hava yüksek basınçlı noktadan alçak basınçlı

noktaya doğru hareket eder. Ocak içinde havanın bir noktadan başka

bir noktaya hareketi sırasında, akışa karşı dirençlerden kaynaklanan belli bir basınç düşüşü oluşur.

Toplam basınç düşüşü, sürtünme kaybı ile yol üzerindeki engel- lerden kaynaklanan şok kaybının toplamı olarak ifade edilir. Gözönüne

alınan kolda vantilatör bulunuyarsa vantilatör basıncı basınç yaratıcı, doğal hava basıncı ise basınç yaratıcı veya basınç düşürücü bir etkile- me yapar.

h h + h + h h _(2-1)

s ^X d V

h Toplam basınç düşüşü (mm ss)' h Sürtünme kaybı (mm ss),

s

h Şok kaybı (mm ss),

X

h Doğal hava basıncı (mm ss), d

h Vantilatör basıncı (mm ss).

V

Sürtünme kaybı galeri duvarlarına sürtünmeden dolayı oluşan ka-

yıplardır ve basınç düşüşünün ana kaynağıdır. Sürtünme kaybı ile ha- va hızı arasında üssel bir ilişki olduğu bilinmektedir (Hartman, 1982).

h cı: V n (2-2)

s

Buradaki n üssü akış türüne bağlı olarak 1,7-2,3 arasında değiş-

mekte, Reynolds sayısı 20000 veya daha fazla olduğunda 2 değerini al-

maktadır. Bu sayıya karşılık gelen hız değeri ise 0,1 m/s civarında- dır. Ocak havalandırmasında hava hızının 0,1 mis'den daha az olması olasılığı çok zayıf olduğundan, havalandırma hesaplamalarında n değe­

rini 2 olarak almak fazla bir hata getirmemektedir (Hall, 1981; Güya- güler, 1982) .

Dairesel bir boruda akan akışkanın basınç düşüşü için Darcy ta-

rafından verilen eşitlik üzerinde çalışmalar yapanAtkinson (1854), galerilerdeki sürtünme kaybı için,

h s

' 2 k.W.L.V

F

(mm ss)

veya V= Q/F dönüşümüyle,

(2-3)

h

=

s

1 2

k.W.L.Q

F3

(mn ss) _(2-4)

eşitliklerini vermektedir (Scothinsky and Komarov, 1969'dan). Burada;

k : S .. urtunme .. k atsayısı ( kg.s m , 2/ 4) W^{1 :} Galeri çevresi (m),

L Galeri uzunluğu (m) ,

F Galeri kesiti 2 (m ) , V Hava hızı (m/s), Q Hava miktarı 3

(m /s) 'dir.

(2-4) eşitliğinde hava miktarı dışındaki parametreler hava yolu ile ilgili büyüklüklerdir ve ancak hava yolu karakteristiklerinin de-

ğiştirilmesi durumunda değişirler. Bu sabit değerlerin "Kol Direnci"

olarak nitelenen tek bir terimle,

R

=

olarak ifade edilmesi durumunda basınç düşüşü eşitliği,

h s

=

olarak basitleşmektedir.

( 2-5)

(2-6)

Havalandırma şebeke hesaplamalarında (2-6) bağıntısının, şebeke-

nin tüm kolları için geçerli olduğu kabul edilir (Hall,et.al., 1982).

2.3. Kirchoff ^Yasaları

Temelde elektrik şebekeleri için verilen Kirchoff yasaları ha-

valandırma şebekeleri için de geçerlidir. Kirchoff I yasası olarak bilinen akımın korunumu ilkesine göre, bir kavşak noktasına gelen ve giden hava miktarlarının toplamı sıfırdır.

o

Kirchoff II yasası olarak isimlendirilen basınç düşüşlerinin ko- runumu ilkesine göre de, kapalı bir göz etrafındaki basınç düşüşlerinin.

toplamı sıfırdır.

o (2-8)

2.4. Hardy Cross iterasyon Tekniği

2.4.1. Düzeltme Değeri

Kompleks havalandırma şebekelerinin analizinde kullanılan anali- tik, analog ve sayısal çözüm tekniklerinden en yaygın olanı Hardy Cross iterasyon yöntemidir.

Anılan teknik esas olarak şehir suyu dağılım ağı hesaplamaları

için Hardy Cross (1936) tarafından ortaya konmuş, Scott-Hinsley (1951;

1952) ve McPherson'un (1966) çalışmaları ile havalandırma şebekelerine

uyarlanarak geliştirilmiştir (Hall, et al., 1982'den).

Ocak yollarındaki hava akışı (2-6) eşitliğine uymaktadır. Bu ifadede h ve R değerleri bilindiğinde, üçüncü para.metre olan Q hava

miktarının gerçek değerinin saptanması ile havalandırma şebekesinin

analizi sözkonusudur.

Bu analizde önce şebekenin her kolu için akımın korunumu ilkesi- ni gerçeklernek koşuluyla, başlangıç Q değerleri rassal olarak atanır.

a

Bu durumda gerçek Q değeri ile atanan Q değeri arasında 6Q kadar hata a

olacaktır.

Q Q + ÖQ

a

Böylece basınç düşüşü bağıntısı,

(2-9)

h= R.(Q +

~Q)

a

biçimine gelir. Bu eşitli~in açınımı,

h R.(Q +2.Q ² .~Q+~Q ² )

a a (2-11)

olarak şekillenir. İkinci dereceden terimi ihmal ederek bulunan,

h 2

R.Q + 2.R.Q .~Q (2-12)

a a

ifadesinden ~Q çekilirse,

~Q

=

düzeltme de~erini veren eşitlik elde edilir. Bu ifadeden hesaplanan düzeltme miktarı Q başlangıç de~erine uygulanır. Düzeltme işlemleri

a

tekrarlı olarak bir çok kez yapılırsa, gerçek Q de~erine istenen has- sasiyette yaklaşılır.

Q

=

a

Tek bir kol için verilen hesaplama mantı~ı bir şebekeye uyarlan-

dı~ında, bu şebekeden seçilen kapalı gözler için düzeltme de~erleri he-

saplanır. Bir göz etrafındaki basınç düşüşlerinin toplamı sıfır oldu-

~undan, m'inci göze uygulanacak düzeltme için,

~Q m

E(R.Qa)-2 hv E(2.R.Qa)

(2-15)

eşitli~i elde edilir. Bu eşitli~in payı m'inci göz etrafındaki toplam

basınç düşüşünün ifadesi olup, hava akış yönüne göre pozitif veya ne- gatif olması sözkonusudur. Payda ise kol kar~kteristik e~rilerinin e~imlerinin toplamıdır ve daima pozitif işaretlidir. Bu işaret siste-

mini gerçekleyerek ve vantilatör karakteristik eğrisinin eğimi (S) ile gözdeki doğal havalandırma basıncını da hesaba katarak,

tıQ _m

=

eşitliğine ulaşılır.

(2-16)

Elde edilen ifadenin şebekeden seçilen gözlere tekrarlı olarak

uygulanması ile şebekenin her kolundaki gerçek hava miktarı belli bir

yaklaşıklıkla hesaplanmış olur.

2.4.2. Göz seçimi

Düzeltme değerlerinin şebekedeki olası her göz için hesaplanması

zorunlu olmayıp, kol sayısı N, kavşak sayısı K kadar olan bir şebeke

için,

G N - K + 1 (2-17)

sayıda göz seçerek, düzeltme işlemlerinin bu gözler için yapılması ye- terli olmaktadır. Ancak tüm kollardaki hava miktarlarını hesaplayabil- rnek bakımından her kol en azından bir kez ele alınmalıdır.

Büyük dirençli kollar hesaplamalarda iterasyon sayısını ve çözüm süresini artırır. Bu nedenle büyük dirençli kolların birden fazla ~-

de yer almamasına dikkat edilir. Bunu sağlamak için göz sayısı kadar büyük dirençli kol "Ana Kol" olarak ayrılır, diğer kollar ise "Tali Kollar" olarak nitelenir.

Her gözün ilk kolu ana kollardan birisi olmalı, gözdeki tali kol- lar kapalı bir göz oluşturmamalıdır. Her gözde bir tek ana kol bulun-

malı, her ana kol sadece bir gözde yer almalıdır. Saat akrebinin dö-

nüş veya ters yönü referans yön olarak kabul edildikten sonra, göz di-

zileri oluşturulurken ele alınan kol numarasına, hava akış yönü refe- rans yönle aynı ise(+), farklı ise(-) işaret verilmelidir.

2.4.3. Yöntemin algoritması

Hardy Cross tekniğinin algoritması McPherson (1966) tarafından aşağıdaki gibi verilmektedir:

1. Adım : Akımın korunumu ilkesini sağlayacak şekilde, her kol için

2. Adım

3. Adım

4. Adım

başlangıç Q⁰ değerleri ve istenen hassasiyet değeri (e) ata-

nır, vantilatör basıncı belirlenir.

Göz dizileri oluşturulur.

Her göze uygulanacak düzeltme değeri (2-16) eşitliğinden he-

saplanır ve hesaplanan değer gözün kollarındaki hava miktar-

larına uygulanır.

löQ !<e ise işlem bitirilir, tersi durumda üçüncü adıma

max dönülür.

2.4.4. Bilgisayar programı

Literatürde Hardy Cross tekniğini temel alan, gözleri otomatik olarak seçip seçmemeye, doğal havalandırmanın, ocak yangınlarının, ha-

cım değişmesinin etkisini analiz edip etmemeye göre farklılıklar gös- teren pek çok bilgisayar programı bulunmaktadır. Havalandırma şebeke-

lerinin analizi için Ayvazoğlu (1973) tarafından FORTRAN II dilinde ve- rilen bilgisayar programı BASIC programlama diline çevrilip, bazı kat-

kılar da yapılarak bu çalışmada kullanılmıştır.

Göz dizileri elle seçildikten sonra programa veri olarak okutul- makta, doğal havalandırmanın etkisi analize sokulmamaktadır. Vantila- tör tprafından yaratılan basınç farkı, vantilatör karakteristik eğrisi-

nin katsayılarının veri olarak okutulması ile, vantilatörün bulunduğu

kol akımı için,

h

V

A.Q 2 ⁺ B.Q ⁺ C

polinomundan hesaplanmaktadır. Burada,

A B ; C : Vantilatör karakteristik eğrisinin katsayıları,

Q Vantilatörün bulunduğu koldaki hava miktarıdır.

(2-18)

İşlemlere her iterasyanda hesaplanan maksimum düzeltme değeri,

hassasiyet derec2sinin altına düşene kadar devam edilmektedir. İste-

nen hassasiyet sağlandığında döngü dışına çıkılarak, şebekenin her ko- lundaki hava miktarı ve basınç düşüşü değerleri tablo düzeninde basıl­

maktadır. Hassasiyet değeri uygulamalarda e=0,005 m3/s olarak kulla-

nılmıştır.

Eklerde verilen örnek şebekelerin Hardy Cross tekniği ile çözüm- lenmesinde kullanılan bilgisayar programı EK-5'de, genelleştirilmiş akış şeması ise Şekil 2,1'de verilmektedir.

r---

ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı

J

ı ı ı ı ı

.

r----

ı ı ı

ı ı ı ı

ı L _____ _

L - - - · -

H

Sonuçları E

Şekil 2.1 Hardy Cross tekniği bilgisayar programının genelleştirilmiş akış şeması.

3. DOGRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMADA BAZI KAVRAM VE ÖZELLİKLER

3.1. Giriş

Doğrusal olmayan programlama tekniklerini içeren Yöneylem Araş­

tırması bilim dalı, İkinci Dünya Savaşı sırasındaki hava akınları kar-

şısında en iyi savunma şeklini belirlemede, radarların etkin bir şekil­

de kullanılmasını sağlamak amacıyla, farklı disiplinlerden bilim adam-

larının çalışmaları ile doğmuş, başarılı sonuçlar alınmasından sonra

diğer sanayi problemlerine uygulanması ile büyük ilerlemeler göstermiş­

tir.

Yöneylem Araştırması örgütlerin problemlerini sistemin bütünü içinde, disiplinlerarası ekiple ve bilimsel yöntem uygulamasıyla be- lirlemek ve bunlara çözüm bulmak şeklinde tanımlanır (Kara, 1985).

Yöneylem Araştırmasının problemlere bilimsel yaklaşımı:

- Problemin belirlenmesi,

-Matematiksel modelin geliştirilmesi,

-Modelin çözülebilirliğinin sağlanması,

- Modelin çözümü ve kanıtlanması evrelerinden oluşur.

"Matematiksel Model", sistemin mantıksal akış modelinin sembol- lerle gösterimidir. Sistemin verilen koşullarda amacına uygun eniyi

davranışı gösterebilmesi için uygulanacak eylemleri belirleyen mate- matiksel modeline "Karar Modeli" denir. Bir karar modeli sistemin

amaçlarına ulaşahilmesi için karar değişkenlerine verilmesi gereken

değerleri belirler. Bir karar modelinin temel bileşenleri:

- Karar değişkenleri,

- Parametreler,

- Kısıtlar,

- Amaç fonksiyonu, olarak sıralanabilir.

Sistemin davranışını etkileyen ve alabileceği değerler karar ve- rici tarafından saptanan bileşenlere "Karar Değişkeni", değerlerinde

karar vericinin hiç bir etkisi olmayan bileşenlere de "Parametre" de- nir. Karar değişkenlerinde ve karar değişkenleri ile parqmetreler ~ sında gerçekleşmesi gereken zorunlu ilişkiler "Kısıtlar" olarak modele

katılır. "Amaç Fonksiyonu" ise eniyilenmesi istenen ilişkinin matema- tiksel ifadesidir.

Sistemin istenen davranışa getirilebilmesi için karar değişken-

lerinin alacağı değerleri araştırma çalışmaları "Programlama" kavramı

ile ifade edilir. Programlama teknikleri modelin yapısına göre beş başlık altında toplanabilir (Kara, 1985):

- Doğrusal Programlama,

- Doğrusal olmayan programlama, - Tamsayılı programlama,

- Dinamik programlama,

- Stokastik (Rassal) programlama.

3.2. Tanım ve Genel Yapı

Bir problem için geliştirilen karar modelinin amaç fonksiyonunun veya kısıtlarından birinin doğrusal olmaması durumunda, kullanılan kav- ram ve teknikler "Doğrusal Olmayan Programlama" olarak tanımlanmakta- dır (Kara, 1986).

Doğrusal olmayan karar modelinin genel yapısı, amaç fonksiyonu veya kısıtlardan en az birinin doğrusal olmaması koşuluyla;

Amaç fonksiyonu :

U = f(x ,x , .... ,x)

m~x 1 2 n

m ^ın

Kısıtlar :

g.(x ,x , ... ,x) ~b.

ı ı 2 n ı (i=ı,2,

...

x , x , ... ,x ?O

ı 2 n

olarak verilir (Tulunay, ı980). Kısıtlar eşitlik ve/veya eşitsizlik

halinde olabilir.

Matematiksel modele göre, amaç denklemini eniyileyen ve kısıtla- yıcı şartları gerçekleyen bir (x ,x , .•• ,x) seti problemin optimum

ı 2 n

çözümünü verir.

Verilen genel matematiksel forma uyan her problemi çözebilecek, genel bir doğrusal olmayan programlama tekniği yoktur. Çözülecek problemin amaç fonksiyonu ve kısıtlarının yapılarına göre, doğrusal

olmayan programlama çözüm tekniklerinden en uygun olanı ile çözüme gidilir.

3.3. Konvekslik-Konkavlık

Tanımlı olduğu aralıkta bir fonksiyonun eğrisi üzerinde alınan

herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçası fonksiyon eğrisinin

üzerinde kalırsa "Konveks", fonksiyon eğrisinin altında kalırsa da

"Konkav" bir fonksiyondan söz edilir (Hillier and Lieberman, ^ı974).

Tek değişkenli bir f(x) fonksiyonunun eğrisi üzerinde alınan

herhangi iki P ve R noktalarını birleştiren PR doğru parçası üzerin- de gözönüne ^alınan herhangi bir M noktasının koordinatları;

M[x +A.(x -x ) ; f(x )+A.(f(x )-f(x ))]

ı

2

2

olarak, M noktasının fonksiyon eğrisi üzerindeki izdüşümü olan M' nok-

tasının koordinatları ise;

M'[x +A.(X -X) ; f(x )+A.(X -X)]

ı

2

2

olarak ifade edilebilir.

111 ve M' noktalarının apsisleri aynı olduğundan 0<).<1 aralığında-

ki her nokta için M noktasının ordinatının M' noktasının ordinatından

büyük olması durumunda, bir başka deyinıle PR doğru parçasının daima fonksiyon eğrisi üzerinde kalması durumunda fonksiyon konveks olacak-

tır. Benzer şekilde, M' noktasının ordinatının M noktası ordinatından

daima büyük olması durumunda ise, fonksiyon konkav bir fonksiyon ola-

caktır.

f(x)

f(Xı) - - - -

X

Şekil 3.ı Konveks bir f(x) fonksiyonu eğrisi.

Matematiksel olarak bir f(x) fonksiyonu O~).~ı aralığında olmak üzere, x'in herhangi iki x ve x değerleri için;

1 2

f[x +A.(x -x )) ~ f(x )+A.[f(x )-f(x ))

ı 2 ^ı 1 2 ^ı (3-3)

koşulunu sağlıyorsa f(x) konveks bir fonksiyon olur (Bradley, et al.,

ı977). Burada eşitsizliğin sol tarafı gözönüne alınan noktada fonk- siyonun değerini, sağ tarafı ise doğrusal interpolasyonu ifade etmek- tedir. Q<).<ı aralığında,

f[x +A.(x -x )] < f(x )+A.[f(x

2)-f(x 1)]

ı 2 ı ı (3-4)

koşulu sağlanıyorsa f(x) "Tam Konveks" bir fonksiyondur.

Tek değişkenli bir fonksiyonun konveks veya konkavlığını belir- lemede, fonksiyonun ikinci türevinden de yararlanılabilir. (a-b) ara-

lığında tanımlı olan bir f(x) fonksiyonu, bu aralıkta sürekli bir·

ikinci türeve sahipse;

a) (a-b) aralığındaki tüm x değerleri için;

f"(x) ~O ise bu aralıkta konveks,

fıı(x) > o ise tam konvekstir.

b) (a-b) aralığındaki tüm x değerleri için;

fıı(x) ~ o ise bu aralıkta konkav,

fıı (x) < O ise bu aralıkta tam konkavdır (Gaver and Thompson, 1973).

Tek değişkenli fonksiyonlar için verilen bu kurallar çok değiş-

kenli fonksiyonlar için de geçerlidir. Burada x yerine (x ,x , •• ,x)

1 2 n

seti, f(x) yerine de f(x ,x , .. ,x) fonksiyonu gelecektir. Böyle bir 1 2 n

fonksiyanda x seti n boyutlu Öklit Uzayında bir nokta tanımlayacaktır.

m=n+1 olmak üzere (xı ,xı, •• ,xı) ve (xıı ,xıı, •• ,xıı) gibi fonksiyon

1 2 n ı 2 m

eğrisi üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçası üzerinde her- hangi bir noktanın koordinatları;

A. X ı+ (l-A) • X ı ) (3-5)

m m

olarak belirlenir (Hillier and Lieberman, 1974).

f(x ,x , .. ,x) fonksiyonunun eğrisi üzerinde alınan her nokta 1 2 n

çiftlerini birleştiren doğru parçaları eğri üzerinde kalıyorsa fonk- siyon konveks, bu doğru parçaları eğriye sadece uç noktalarda deği-

yorsa tam konveks bir fonksiyon olur (Koo, 1977).

Çok değişkenli fonksiyonların konveks veya konkavlığı Hessien matrisinin oluşturulması ile de analiz edilebilir.

Bir f(x ,x , •• ,x ) fonksiyonu onun (nXn) boyutlu Hessien matrisi, 1 2 n

tüm mümkün (x ,x , •• ,x) setleri için pozitif belirli olduğunda tam~

1 2 n

veks, pozitif yarı belirli olduğunda konvekstir (Tulunay, 1980).

H

n değişkenli bir fonksiyonun Hessien matrisi;

ax ..

ı J

( 3-6)

olarak ifade edilir (Hadley, 1964). Bu matrisin M ,M , •• ,M determi- 1 2 n

nantları Hessien matrisinin asal minörleri olarak nitelenir.

a ²f

...

a;q ^ax1^.a~

M _n

=

aır a²f

a xn.axı a~

Hessien matrisinin cinsini belirlemek için"asal minörlere bakı- lır;

a) M ~O,M ~O, ••. ,M (-1) n ~O ise matris negatif yarı belirli, fonksiyon

1 2 n

konkav,

b) M <O,M >O, .•. ,M (-1) >0 ise matris negatif belirli ve fonksiyon tam n

ı 2 n

konkav,

c) M ~O,M ~o •... ,M ~O ise matris pozitif yarı belirli ve fonksiyon

1 2 n

konveks,

d) M >O,M >O, ... ,M >0 ise matris pozitif belirli ve fonksiyon tam~

1 2 n

vekstir (Loomba and Turban, 1974).

Doğrusal olmayan programlama problemlerinde amaç fonksiyonu ve

kısıt fonksiyonlarının tiplerinin araştırılması önemlidir. Fonksiyo- nun konveks veya konkav gibi özel tip bir fonksiyon olması, kullanıla-

cak çözüm tekniğini belirler ve çözümde büyük kolaylıklar sağlar.