- 1 - EYLÜL KAMPI SINAVI-2001 I. GRUP

(1)

silindirlerin a

EYLÜL KAMPI SINAVI-2001 I. GRUP

3



v₂

v1

x0

1. Boyu  olan bir cisim v1 hızı, ilk boyu 3 olan bir mum ise v2 hızı ile birbirinden uzaklaşacak şekilde hareket etmektedirler. Cisim ile mum arasın-daki uzaklık x0 dır. Mumun erime hızı sabit ve mumun tamamının erime süresi t0 dır. Cismin gölgesinin uzama hızının zamanın fonksiyonu olarak bulunuz.

g



y

x

 v0



d F(x,y)

S



2. Bir cisim  açısı ve v₀ hızı ile atıldığında ana yörüngeyi izlemektedir. Bir demet tanecik ana yörüngeye küçük d açısı ile saçılarak atıldığında bir noktaya odaklandığını kanıtlayın. Odak noktanın koordinatlarını bulunuz. =45° açı için taneciklerin yeryü-zünde nasıl bir S alana saçılacağını bulunuz. Yerçekimi ivmesi g veriliyor.

3. Tekerleksiz kütlesi m1 olan bir arabanın disk şeklindeki 4 tekerleğinin her birisinin kütlesi m2 dir. Bu araba  eğim açılı bir yokuştan aşağı bırakıldığında ivmesi ne olur? (Tekerleklerin kaymadan yuvarlanmasını sağlayacak yeterli sürtünme kuvveti vardır.)

4. Eksenleri paralel olan eşit büyüklükteki iki silindir şekilde gösterilen yönlerde eşit hızla dönmektedirler. Silindirlerin üzerine yatay olacak şekilde kütlesi m olan homojen bir tahta bulunuyor. Başlangıçta tahtanın kütle merkezi

rasındaki uzaklığın tam ortasında yerleştirilmiştir. Silindirlerin eksenleri arasındaki uzaklık  dir. Silindirle kalasın arasındaki sürtünme katsayısı f 'dir. Tahtanın nasıl hareket edeceğini tarif ediniz.

g





f f

5. Özkütlesi ρ=0,8 gr/cm³ olan tahtadan boyu =4,5 m, yarıçapı R=30 cm olan silindir şeklindeki kütük özkütlesi ρ0=1 gr/cm³ olan su içerisinde durmaktadır.

a) Kütük denge durumunda iken su yüzünde kalan kısmının yüksekliği kaç R’dir?

b) Kütük çok az miktarda suya batırılıp bırakıldığında yapacağı titreşimin periyodu nedir?

c) Kütüğün üzerine kütlesi 108 kg olan bir sporcu çıkarsa titreşimin periyodu ne kadar olur?

6. Kuyruklu bir yıldızın Dünya gezegenine çarparak tamamen gezegeni yok etmek için kuyruklu yıldızın enerjisi en az ne kadar olmalıdır? Dünyanın yarıçapı R=6,374.10⁶ m ve kütlesi m=5,976.10²⁴ kg dır. Gravitasyonel çekim sabiti =6,67.10^-11 m³/kg.s² olarak veriliyor.

7. N tane noktanın her biri birbirine R dirençli tellerle bağlıdır (yani her nokta diğer N-1 noktaya telle bağlıdır). Herhangi iki nokta arasındaki eşdeğer direnç nedir?

1  v



2

R

8. Birbirine dik olan iki sonsuz telden ₁ ve ₂ akımları geçmektedir. Kenar uzunluğu  ve toplam direnci R olan kare şeklindeki tel çerçeveyi ikinci tele paralel olacak şekilde v hızıyla hareket ettirmek için gereken yatay kuvvet ve bu kuvvetin sarf ettiği gücü birinci telden uzaklığına bağlı olarak bulunuz.

Çerçevenin ikinci tele yakın olan kenarı, bu telden  uzaklıktadır. Çerçeveyi ikinci telden bu sabit uzaklıkta tutmak için gereken kuvvet nedir?

9. 2P0 basıncına, V0 hacmine ve T0 sıcaklığına sahip tek atomlu bir mol gaz sabit basınç altında 2V0

hacmine kadar genleştiriliyor. Daha sonra izokorik (eş hacimli) olarak soğutulmakta, ve sonrada adyabatik olarak V0 hacmine kadar sıkıştırılmaktadır. Bu şekilde çalışan bir ısı makinesinin verimi nedir?

10. Yarıçapı R olan saydam bir cam kürenin kırıcılık indisi n’dir. Dar bir lazer ışını demeti kürenin merkezi O noktası hedeflenerek dışarıdan gönderilmek-tedir. Bu ışın demeti kürenin çapının diğer ucundaki noktasında odaklanıyorsa n değeri ne kadardır. (Gerektiğinde açıları küçük kabul ediniz.)

n R

O A

(2)

EYLÜL KAMPI SINAVI-2001 I. GRUBUN SORULARIN ÇÖZÜMLERİ 1. Mumun yanma hızı

3



v2

v₁

x

-ut

z

u=

t0

3

olsun. Hareketin başlamasından t süre sonra cisim ile mum arasındaki uzaklık

x=x0+(v1+v2)t mumun boyu

3-ut=3 _







  t0

1 t

olur. Zemin boyunca cismin gölgenin uzunluğu z ise benzer üçgenlerden gölgenin uzunluğu

 z=

ut 3

x z

; z=

0 2 1 0

t 3 t 2

t ) v v ( x





olarak bulunur. Bu ifadenin türevi cismin zemin üzerindeki gölgenin hızını vermektedir.

vg= dt dz=

2

0 0 2 0 1

t 3 t 2

t x ) 3 v v ( 2



 



 



Hareketin başlamasından t=

3 t 2 ₀

süre sonra cismin ve mumun boyları birbirine eşit oluyor. Bu durumda gölge hızı sonsuz oluyor. Bundan sonra da zemin üzerinde gölge oluşmamaktadır.

2. Taneciklerin ivmesi a=g dir. Hareket denklemi  ve +d açısı için

y=xtan-gx² ₂²

0

1 tan 2v

 

 ^ ^_; y=xtan(+d)-gx

 

2 ²

2 0

1 tan ( d ) 2v

     

 

 

yazılabilir.

tan(+d)=tan+(1+tan²)d

1+tan²(+d)=1+tan²+2tan(1+tan²)d

açılımları kullanarak odak noktasının koordinatları xF=

2 0

; yF=

2 2

0 2

v (tan 1) 2gtan

 

 v

gtan

olarak bulunur. Taneciklerin menzili

= g

2 sin v₀² 

=45 ise saçılan taneciklerin açısı 45d açının değişimi sonucu menzildeki değişim

d= g

d 2 cos v

2 =

2

0  

g

d ) d 45 ( 2 cos v

2 ₀² ^   

=

= g

d 2 sin 2 ₀

v ² d=

 

g d v 4 ₀² ² olur. x yönüne dik yöndeki saçılma

dz=2(v0d)t=2(v₀d)2v sin⁰ g

=

2

4v sin d0

g

 =

2

2 2v d0

g



ve taradıkları alan

dS=d.dz= 0⁴

 

³

2

8 2 v d g



olarak bulunur.

(3)

3. Arabaya etki eden kuvvetler için

(m1+4m2)gsin-4Fs=(m1+4m2)a

yazabiliriz. Burada Fs tekerleklere etki eden sürtünme kuvvetidir. Tekerleklerin kütle merkezine göre etki eden moment için

Fsr=J02; J₀₂= 2

r m₂ ² , =

r a yazabiliriz. Buradan sürtünme kuvveti

Fs= 2

a m₂ ve ivme

a=

2 1

6m + m

)gsin 4m +

(m 

olarak bulunur.

4. a) Denge durumunda

 



₀ R

mg=FA; Sg=₀S0g; S=R²

yazabiliriz. Buradan su içinde batan kısmın alanı ifadesinden S0=

0

S

 =R²-

R .22 2R sin .Rcos

2 2

   

 

 

2

0

1  

  

 =2-sin2; 2.3,14.(1-0,8)=2-sin2; 2=2,113 rad

60

olarak bulunur.

b) Kütük az bir miktar x kadar batırılırsa kütüğün titreşim denklemi ma=mg-₀(S0+Sx)]g; Sx=2Rsin.x

..+

x 2 sin⁰ R

 

 x=0

olarak yazılabilir. Buradan titreşimi açısal frekansı ve titreşim periyodu

= ² ⁰^sin R

 

 ; T=



 2 =2

0

R 2 sin



  =2.3,14 800.3,14.0,3

2.1000.0,866 =4,14 s olarak bulunur.

c) Bu durumda denge için

mg+msg=FA; Sg+m_sg=₀S02g yazabiliriz. Buradan su içinde batan kısmın alanı

S02=

2 s

0

R m

 





 =800.3,14.0,3 .4,5 108² 1000.4,5

 =0,25 m²

S02=R²-

R .22 2R sin .Rcos

2 2

   

 

 



..

0,25.2=0,3²(2-sin2); 2=1,71 rad; 49

olarak bulunur. Kütük az bir miktar x kadar batırılırsa kütüğün titreşim denklemi (m+ms)a=(m+ms)g-₀(S02+S’x)]g; S’x=2Rsin.x

+ x ⁰₂

s

2 R sin

R m

 

 



 x=0

olarak yazılabilir. Buradan titreşimi açısal frekansı ve titreşim periyodu

= ⁰₂

s

2 R sin

R m

 

 



 ; T=



2=2 ² ^s

0

R m

2 R sin

 

 



 =

=2.3,14 800.3,14.0,3 .4,5 108² 2.1000.0,3.4,5.0,75

 =4,68 s olarak bulunur.

(4)

5. Tahtaya etki eden tepki kuvvetleri için mg=N1+N2

mg 



 

  x 2

 =N1

N1=mg 



 

 

 x 2

1 ; N2=mg 



 

 

 x 2 1

g





f f

x

N1 N2

yazabiliriz. Buradan tahtanın hareket denklemi ma= -fN1-fN2= -

 mgx 2 ; +x^..

 fg 2 x=0

olarak yazılabilir. Bu titreşim hareketin denklemidir. Titreşim periyodu T= 

 2 =2

fg 2

 olarak bulunur.

6. Bir kürenin kütle çekimi potansiyel enerjisini bulmak için kürenin içinde r<R yarıçaplı bir küre alıp kalınlığı dr olan ince küresel bir kabukla etkileşme enerjisini yazarak integre edebiliriz.

d= - r

mdm

m= 3

r 4 ³

; dm=4r²dr

d= -

r

dr r 3 4

r

4 ³  ₂



= - 3

dr r ) (4 ² ⁴



= - ^ ^



^R

0 2 4

dr 3 r

)

(4 = -

15 R ) (4 ² ⁵

 =

= - 5R

m 3 ²

= -22,42.10³⁷ J

Bu aynı zamanda kuyruklu yıldızın sahip olması gereken minimum enerjiyi vermektedir.

7. Tümevarım metodu ile soruyu çözebiliriz. Bir direnç yani iki nokta söz konusu olduğunda R1=r olur. Üç nokta ya da üç direnç söz konusu olduğunda

R2= 2 r r

2 .r r



= 3 r 2

olur. Dört nokta ve altı direnç söz konusu olduğunda bir direncin ucundaki potansiyel farklar eşit olduğu için devre dışı kalır. Bu durumda

R3

1 = r 1+

r 2

1 + r 2

1 ; R3= 2 r

olur. Beş nokta ve dokuz direnç söz konusu olduğunda iki direncin ucundaki potansiyel farklar eşit olduğu için devre dışı kalırlar. Bu durumda

r

r r

r

r r

R4

1 = r 1+

r 2

1 + r 2

1 ; R4= 5

r 2

olur. N nokta ve N+2(N-3) direnç söz konusu olduğunda N-2 direncin ucundaki potansiyel farklar eşit olduğu için devre dışı kalırlar. Bu durumda

RN

1 = r 1+

r 2

1 + r 2

1 +….+

r 2

1 ; RN= N

r 2 olarak bulunur.

(5)

8. Telden x uzaklıktaki manyetik alan ve çerçeveden geçen manyetik akı Bx= ^{0 1}

2 x

 

 ; =^x



^^^ ^ =

x

dS B

x 0 1 x

dx 2 x

  



^ ^ ⁼^{ }₂^{0 1}_^^ln^{x }_x^ indükte edilmiş e.m.k. ve akım



= - dt d= -

2 0 1

2 x(x+ )

 





 dt dx =

2 0 2 v 2 x(x+ )

 





 ; _ç= R



₌ 0 1 ²v 2 x(x+ )R

 





 çerçeveye etki eden yatay kuvvet

Fx=_çBx-_çBx+=

2 0 1 v 2 x(x+ )R

 





0 1 0 1

2 x 2 (x+ )

   

  

   

  =

2 2 4 0 1

2 2 2

v 4 x (x+ ) R

 





 ve açığa çıkan güç

P=²R=

2 2 4 2 0 1

2 2 2

v 4 x (x+ ) R

 





olarak bulunur. Kuvveti bulmak için ikinci bir yöntem de kullanabiliriz. Çerçevede akan akımın oluşturduğu manyetik dipol momenti

pm=çS=

4 0 1 v 2 x(x+ )R

 





bu dipol momentine etki eden manyetik kuvvet Fmx=pm

dx dB=

4 0 1 v 2 x(x+ )R

 





 d 0 1

dx 2 x

  

  

 = -

2 2 4 0 1

2 2 2

v 4 x (x+ ) R

 





olarak bulunur. Çerçeveyi ikinci telden sabit  uzaklıkta tutmak için gerekeli olan kuvvet Fy=_çBy-_çBy+=

2 0 1 v 2 x(x+ )R

 





0 2 0 2

2 2 .2

   

  

   

  =

2 2

0 1 2 2

v 8 x(x+ )R

  





 olarak bulunur.

P 1 2

3 V V0 2V

0

P 2P

0 3

9. Her durum için ideal gaz hal denklemini 2P0V0=RT0

2P0.2V0=RT2 P3.2V0=RT3 yazabiliriz. 1-2 proses için

0 0 0

T V P

2 =

2 0 0

T V P

4 ; T2=2T0 2-3 proses ve 3-1 proses için

2 0

T P

2 =

3 3

T

P ; PV^=sabit; =

3

5; P3. ³

5 0) V 2

( =2P0 3

5

V0 ; P3= ³

2

2^ P0 yazabiliriz. Buradan

T3= ³

2

2^ T0

olarak bulunur. İzobarik 1-2 proseste yapılan iş A12=2P0(2V0-V0)=2P0V0

İzokorik 2-3 proseste yapılan iş sıfır, adyabatik 2-3 prosesinde gazdan yapılan iş iç enerjinin değişimine eşittir.

A31= -U₃₁= -cV(T1-T3)= - 2

3R (T0- ³T

2

2^ 0)= -3

2

1 2^3

 

  

 

 

P0V0 Yapılan iş

A=A12+A23+A31=P0V0 2

2^3 1

 

  

 

 

sisteme verilen ısı ve verim Q1=cp(T2-T1)=

2

5R (2T0-T0)=5P0V0; =

Q1

A =

2

2 3 1 5

 

olarak bulunur.

(6)

10. Işın birinci küresel yüzeye düştüğünde kırılıyor. Bu durumda



 sin sin =n

yazılabilir. Küçük açılar için sintan; sintan

yaklaşımını kullanabiliriz. Buradan

=n

olarak bulunur. Işın ikinci küresel yüzeye düştüğünde  açısı ile gelip

 açısı ile kırılıyor. Sinüs teoreminden n







 

  R b

R

=sin b

+ R

) -

sin(180^o   eşitliği elde edilir. Burada

=180-(180- )-=-[180-(180- -2)=2-2=2(n-1)

olarak yazılabilir. Buradan b=2(n-1)

n)R -

(2 =0; n=2 olarak bulunur.