Ders 1 : Kabul Edilebilirlik ve Karar Verme ˙Ilkeleri II

˙IST 304 ˙Istatistik Karar Kuramı ve Y¨ ontemleri Hafta IX

Ders 1 : Kabul Edilebilirlik ve Karar Verme ˙Ilkeleri II

Dersi anlatan: ˙Ihsan Karabulut Notları yazan: ˙Ihsan Karabulut

Not: LaTeX ders kalıbı UC Berkeley EECS B¨ ol¨ um¨ u’n¨ und¨ ur.

Uyarı: Bu ders notları formal yayınların tabi oldu˘ gu kanun, y¨ onetmelik, kural ve esaslar dı¸sındadır.

Ders dı¸sında herhangi bir ¸sekilde kopya edilmesi, ¸ co˘ galtılması, yayımlanması yalnızca bu notları hazırlayan ve yazanın iznini gerektirir.

Kullanılan minimaks ve Bayes y¨ ontemlerinin kabul edilebilirlik bakımından y¨ uzeysel bir de˘ gerlendir- mesini yapmak karar verme problemlerinde ve ileride incelenecek istatistiksel karar verme s¨ urecinde g¨ or¨ u¸sleri de zenginle¸stirecektir. Bunun i¸ cin Chernoff ve Moses’dan ¨ ozet olarak ¸sunlar aktarılabilir:

Kabul edilebilir her eylem belirli bir ¨ onsel da˘ gılım i¸ cin bir Bayes eylemidir. Bu, iki do˘ ga durumun oldu˘ gu bir karar verme problemine ili¸skin, S ¸ekil’de verilen tipik bir ¸ cizim dikkate alınarak g¨ or¨ ulebilir. Bu ¸ cizimde C b¨ ut¨ un sade ve karma eylemlerin yer aldı˘ gı sınırlı ve kapalı bir konveks k¨ umeyi , T yine bir ba¸ska konveks k¨ umeyi g¨ ostersin.

Kabul edilebilir u eylemine ait beklenen kayıplar (L 1 , L 2 ) olsun. u ∈ C , u / ∈ T olup u, T nin bir sınır noktasıdır. Bu noktadan ge¸ cen iki k¨ umeyi ayırt edici bir do˘ gru vardırve bu do˘ gru kesinlikle u noktasından ge¸ cmelidir (y¨ uksek boyutlarda da ayırt edici d¨ uzlem teoreminin bir sonucudur). O halde bu do˘ gru hem C hem de T k¨ umesinin destek do˘ grusudur. S¨ oz konusu do˘ gru yatay, dikey veya negatif e˘ gimli olabilir. (S ¸ekilde yapılan ¸ cizim ve genel olarak i¸slenilen konular boyunca verilmi¸s olan konveks k¨ umelerin konumlarıyla da uyumlu bir ifadedir!). Her ¨ u¸ c durumda da aL ₁ + bL ₂ = c do˘ grusunda a, b sabitleri ancak aynı i¸saretli olabilirler dolayısıyla a + b 6= 0 ve bu toplam a, b’nin i¸saretine sahiptir. Ayrıca aL 1 + bL 2 = c do˘ grusunun katsayı ve sabitlerini aynı sayı ile ¨ ol¸ ceklemek do˘ gruya ait noktaların k¨ umesini de de˘ gi¸stirmeyecektir. Bu nedenle do˘ grunun sabit ve katsayıları a + b ile b¨ ol¨ un¨ urse

1-1

1-2 Ders 1 : Kabul Edilebilirlik ve Karar Verme ˙Ilkeleri II

u C

T

w

L

1

+ w

2

L

2

=

c L

L

S ¸ek˙ıl 1.1: ˙Iki do˘ ga durumunun oldu˘ gu bir karar verme probleminde u noktasıyla temsil edilen kabul edilebilir bir eylemin bir (w ₁ , w ₂ ) ¨ onsel da˘ gılımı i¸ cin Bayes eylemi oldu˘ gunun g¨ osterimi.

{(L 1 , L 2 ) : aL 1 + bL 2 = c} = {(L 1 , L 2 ) : a

a + b L 1 + b

a + b L 2 = c a + b } oldu˘ gu g¨ or¨ ul¨ ur.

Aynı i¸saretlilikten dolayı a/(a+b) ≥ 0 b/(a+b) ≥ 0 ve a/(a+b)+b/(a+b) = 1 olacaktır. a/(a+b) = w ₁ , b/(a + b) = w ₂ ve c/(a + b) = c ⁰ olarak adlandırılırsa do˘ grunun ifadesi w ₁ L ₁ + w ₂ L ₂ = c ⁰ olarak yazılacaktır. Bu do˘ gru ¨ onsel da˘ gılımı (w 1 , w 2 ) olan karar problemine ili¸skindir ve c ⁰ u noktası ile temsil edilen Bayes eyleminin kaybı olacaktır. Bayes kaybı (w 1 , w 2 ) ¨ onseli i¸ cin bir minimumdur, bu noktanın solunda ve altında C ye ait bir ba¸ska nokta yoktur. Yukarıdaki sonucu veren soru di˘ ger y¨ onde ”Her Bayes eylemi kabul edilebilir midir?” olarak sorulabilir.

Bazı durumlar g¨ oz ardı edilirse soruya olumlu cevap verilecektir. Daha a¸ cık olarak: ¨ Onsel olasılık- ların w ₁ > 0 ve w ₂ > 0 oldu˘ gu her Bayes eylemi kabul edilebilirdir. ¨ Onsel olasılıkların hepsinin de sıfırdan farklı olmaları gerekti˘ gine dikkat edilmelidir. Yine iki durumlu bir karar verme problemi ele alınarak cevap do˘ grulanacaktır.

Bunu g¨ ostermek i¸ cin ¨ oncelikle herhangi bir eylemin do˘ ganın b¨ ut¨ un durumları i¸ cin ”en iyi” olamay-

aca˘ gı ve benzer olarak herhangi bir eylemin do˘ ganın b¨ ut¨ un durumları i¸ cin ”en k¨ ot¨ u” olamayaca˘ gı

Ders 1 : Kabul Edilebilirlik ve Karar Verme ˙Ilkeleri II 1-3

kabul edilmelidir. u 0 , R ² de bir a 0 eylemine ili¸skin beklenen kayıp vekt¨ or¨ un¨ u g¨ ostersin. E˘ ger bir (w 1 , w 2 ) ¨ onsel da˘ gılımı i¸ cin a 0 bir Bayes eylemi ise bu eylem i¸ cin C konveks k¨ umesinin noktaları arasından birine (ya da bazılarına) kar¸sılık gelen bu eylem i¸ cin

w 1 L 1 + w 2 L 2 = c

en k¨ u¸ c¨ uk olmalıdır. w 1 6= 0 ve w 2 6= 0 oldu˘ gunda negatif e˘ gimli olan bu do˘ gru ilk kez C k¨ umesine de˘ ginceye dek ¨ otelenmi¸s, yani do˘ gru kendine parelel olarak yukarıya do˘ gru kaydırılmı¸stır. C nin b¨ ut¨ un noktaları, bir destek do˘ grusu olan bu do˘ grunun de˘ gdi˘ gi bu nokta ya da noktalar k¨ umesinin (L ₁ , L ₂ ) elemanlarına baskın olamaz; destek do˘ grusu (d¨ uzlemi) ¨ uzerindeki hi¸ c bir noktaya baskın de˘ gildir. O halde bu t¨ ur bir eylem ya da eylemler kabul edilebilirdirler. w 1 , w 2 den biri ¨ orne˘ gin w 2 = 0 olsaydı bu sonu¸ c ¸ cıkarılamazdı, bu durumda bulunacak Bayes eylemi i¸ cin

w 1 L(θ 1 , a) + w 2 L 2 (θ 2 , a) = L(θ 1 , a)

olmalıdır. Di˘ ger taraftan w 1 = 0 olması durumunda da bulunacak Bayes eylemi kabul edilebilir olacaktır. Bu saptamalara ili¸skin ¸ cizim S ¸ekil’de verilmi¸stir.

L ₁ (θ ₁ , a) do˘ grusunun C k¨ umesine ilk kez de˘ gdi˘ gi noktalar arasında sadece en a¸sa˘ gıda a ^∗ast noktası ile temsil edilen eylem kabul edilebilirdir. Di˘ ger Bayes eylemleri kabul edilebilir de˘ gildirler.

Di˘ ger bir sonu¸ c ise bir minimaks eylemin belirli bir (w 1 , w 2 ) ¨ onsel da˘ gılım i¸ cin bir Bayes eylemi olmasıdır.

Bazen bir minimaks ¸ c¨ oz¨ um do˘ ganın durumları i¸ cin kayıpların e¸sit oldu˘ gu Bayes ¸ c¨ oz¨ umleri arasından belirlenerek elde edilebilir:

g (θ) ¨ onsel da˘ gılımına ili¸skin karma Bayes eylemi p ^∗ = (p ^∗ ₁ , p ^∗ ₂ , . . . , p ^∗ _m ) olasılık da˘ gılımı ile tanımlan-

mı¸s olsun. Bu karma eylemin beklenen herhangi bir bir do˘ ga durumu θ i¸ cin kayıp fonksiyonu

1-4 Ders 1 : Kabul Edilebilirlik ve Karar Verme ˙Ilkeleri II

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

L ₁ L ₂

S ¸ek˙ıl 1.2: ˙Iki do˘ ga durumunda sade eylemlerle olu¸sturulan tipik bir konveks kabukta yer alan kabul edilebilir eylemler koyu ¸ cizgiler ¨ uzerinde (L ₁ , L ₂ ) noktalarıyla temsil edilen eylemlerdir.

L(θ, p ^∗ ) = E(l (θ, p ^∗ )) =

m

X

i=1

l(θ, a i )p ^∗ _i

de˘ geri her θ i¸ cin de˘ gi¸smiyorsa (sabitse) p ^∗ bir minimaks eylemidir:

p ^∗ bir Bayes eylemi ise Bayes kaybı B(p) = P m

i=1 g(θ i )E(l(θ i , a)) di˘ ger ifadeyle

B(p) =

m

X

i=1

g(θ _i )L(θ _i , p)

i¸ cin

B(p ^∗ ) = min

p B(p) ≤ B(p)

Ders 1 : Kabul Edilebilirlik ve Karar Verme ˙Ilkeleri II 1-5

C a ^∗

a ^◦

L 1

L 2

S ¸ek˙ıl 1.3: ¨ Onsel da˘ gılımda w 1 , w 2 olasılıklarından w 2 = 0 oldu˘ gunda belirlenecek her Bayes eylem yada eylemlerinin kabul edilebilir olmayaca˘ gı; w ₁ = 0 oldu˘ gunda da Bayes eyleminin kabul edilebilir olaca˘ gına ¨ ornek.

yazılabilecektir. Buradaki yazılı¸sta minimaks b¨ ut¨ un karma ve sade eylemler i¸ cinden bulunmaktadır.

L(θ, p ^∗ ) bir sabit oldu˘ gundan

B(p ^∗ ) = L(θ, p ^∗ )

olacaktır. Di˘ ger taraftan herhangi bir p eylemi i¸ cin B(p), L(θ, p) nin beklenen de˘ geridir ve beklenen de˘ ger, L(θ, p)nin alaca˘ gı de˘ gerlerin, L(θ ₁ , p), L(θ ₂ , p), . . . en b¨ uy¨ u˘ g¨ unden b¨ uy¨ uk olamayaca˘ gından

B(p) ≤ max

θ L(θ, p)

olacaktır. Herhangi bir p i¸ cin do˘ gru olan zaten bir en k¨ u¸ c¨ uk olan Bayes eylemi p ^∗ i¸ cin de do˘ gru olacaktır ve B(p ^∗ ) = L(θ, p ^∗ ) oldu˘ gundan

L(θ, p ^∗ ) ≤ max

θ L(θ, p)

dir. Her iki tarafın en k¨ u¸ c¨ u˘ g¨ u b¨ ut¨ un sade ve karma eylemler ¨ uzerinden bulunursa son e¸sitsizli˘ gin p

1-6 Ders 1 : Kabul Edilebilirlik ve Karar Verme ˙Ilkeleri II

C

a ^∗

max(L

, L

) = c w

1

L

1

+ w

2

L

2

= c

L

= L

L ₁ L 2

S ¸ek˙ıl 1.4: Bir minimaks eylem belirli bir ¨ onsel da˘ gılım i¸ cin bir Bayes eylemi olarak ifade edilebilir.

Bayes eylemleri i¸ cinden L 1 = L 2 olan a ^∗ karma Bayes eyleminin aynı zamanda bir minimaks eylem oldu˘ gu g¨ or¨ ulmektedir.

ye ba˘ glı olmaması nedeniyle

L(θ, p ^∗ ) ≤ min

p max

θ L(θ, p) elde edilecektir ve min

p max

θ L(θ, p) minimaks kaybı olacaktır. L(θ, p ^∗ ) sabit oldu˘ gun- dan

L(θ, p ^∗ ) = max

θ L(θ, p ^∗ ) ≥ min

p max

θ L(θ, p)

olacaktır. E¸sitsizlikler iki taraflı olarak do˘ gru oldu˘ gundan p ^∗ eyleminin bir minimaks eylemi oldu˘ gu

g¨ or¨ ulm¨ u¸s olur.

˙IST 304 ˙Istatistik Karar Kuramı ve Y¨ ontemleri Hafta IX

Ders 2 : Rasgele G¨ ozlemlerle Karar Vermeye Giri¸s

Dersi anlatan: ˙Ihsan Karabulut Notları yazan: ˙Ihsan Karabulut

Bir karar verme probleminde do˘ ganın durumu ile ilgili oldu˘ gu d¨ u¸s¨ un¨ ulen rasgele g¨ ozlemler veri olarak adlandırılacaktır. Elde verinin olması halinde verinin olmaması haline g¨ ore karar vermekle olu¸san beklenen kaybın daha az olaca˘ gı g¨ or¨ ulecektir. Bununla birlikte elde verinin olması duru- munda da veri olmadan alınan karar verme adımları izlenecek ve benzer kavramlar kullanılacaktır.

C ¸ ¨ oz¨ umleme yaparken izlenebilecek yollardan biri, elde veri varken ¸ c¨ oz¨ umlenecek karar problemini g¨ orece daha basit olan elde veri olmadan ¸ c¨ oz¨ umlemesi yapılabilecek karar problemine d¨ on¨ u¸st¨ ur¨ ul- mesidir

Verinin g¨ ozlemlendi˘ gi yı˘ gının, olasılık da˘ gılımını belirleyen do˘ ganın durumudur; di˘ ger bir deyi¸sle do˘ ganın durumunun rasgele g¨ ozlemlerle ili¸skilidir. X ¨ orneklem ¸ capı 1 olan bir ¨ ornekleme ait ras- gele de˘ gi¸skeni g¨ osterece˘ gi gibi X = (X ₁ , X ₂ , X ₃ , . . . , X _n ) olan n ¸ caplı bir ¨ ornekleme ait rasgele de˘ gi¸skenler dizisini veya rasgele vekt¨ or¨ un¨ u g¨ osterecektir. Do˘ ganın durumu θ ∈ Θ olmak ¨ uzere ras- gele bir olguya ait E olayının olasılı˘ gı P θ (E) ile g¨ osterilecektir. Benzer olarak X kesikli rasgele de˘ gi¸skeni i¸ cin olasılık fonksiyonu

f (x; θ) = P θ (X = x)

X = (X 1 , X 2 , X 3 , . . . , X n ) i¸ cin de f (x; θ) = P θ (X = x) g¨ osterimi kullanılacaktır. Bu durumda s¨ oz konusu g¨ osterim

f (x ₁ , x ₂ , x ₃ , . . . , x _n ; θ) = P _θ (X ₁ = x ₁ , X ₂ = x ₂ , X ₂ = x ₂ , X ₃ = x ₃ , . . . , X _n = x _n )

anlamını ta¸sıyacaktır. f (x; θ) olasılık fonksiyonunun verildi˘ gi veya bilindi˘ gi varsayıla- caktır.

Ornek. (Asans¨ ¨ or problemi) Her katta asans¨ ore ili¸skin iki lambalı bir ı¸sık panosu vardır ve yanan

2-1

2-2 Ders 2 : Rasgele G¨ ozlemlerle Karar Vermeye Giri¸s

ı¸sıkların sayısı rasgeledir ve asans¨ or¨ un ¸ calı¸sma durumuyla ili¸skili oldu˘ gu d¨ u¸s¨ un¨ ulmektedir. Veri, yanan ı¸sık sayısı X rasgele de˘ gi¸skenidir ve θ 1 ve θ 2 do˘ ga durumlarında a¸sa˘ gıdaki da˘ gılıma sahiptir:

X = x 0 1 2

P _θ

(X = x) 0.6 0.3 0.1

P _θ

(X = x) 0.1 0.4 0.5

Not 1) Yanan ı¸sık sayısına ¸ ce¸sitli anlamlar y¨ uklenebilir. X = 0 oldu˘ gunda hi¸ c kimse asans¨ or¨ u

¸

ca˘ gırmıyor, e˘ ger X = 1 ise asans¨ or bir kata ¸ ca˘ grılmı¸s olup hizmet verip vermedi˘ gi bilinmez, e˘ ger X = 2 ise asans¨ or hem zemin kattan hem de birinci kattan ¸ ca˘ gırılmı¸stır, ancak ı¸sı˘ gın bir s¨ ure yanıyor olması nedeni ile asans¨ or¨ un ¸calı¸smadı˘ gı sanılabilir. 2) Yukarıda verilen da˘ gılımın nasıl belirlendi˘ gi veya bilindi˘ gi ¸simdilik ilgi alanının dı¸sındadır.

Veri olmaksızın karar verme problemlerinden farklı olarak verinin kullanılıyor olmasıyla bunu karar verme s¨ urecine katacak bir aracın var olması gerekir.

X = x g¨ ozleminin yapılması ile eylem k¨ umesinde yer alan bir a eyleminin yapılması olarak verilen kural

a = d (X)

gibi rasgele de˘ gi¸skenin fonksiyonu olacaktır. d(X) fonksiyonu karar fonksiyonu olarak adlandırılacaktır.

Formal olarak:

Tanım. X bir rasgele de˘ gi¸sken veya rasgele vekt¨ or olsun.

d : X → A x → d(x) = a

olan fonksiyona karar fonksiyonu veya istatistiksel karar fonksiyonu denilir. Karar fonksiy- onlarının sınıfı sade eylemlerin k¨ umesi olacaktır.

Not. Karar fonksiyonu yerine karar kuralı terimi de kullanılabilmektedir.

Ders 2 : Rasgele G¨ ozlemlerle Karar Vermeye Giri¸s 2-3

a 1 = 1 , a 2 = 2 vb.. veya her bir a ∈ A bir reel sayıya kar¸sılık tanımlanırsa karar fonksiyonu bir rasgele de˘ gi¸ sken olacaktır. m tane sade eylemin bulundu˘ gu, A = {a 1 , a 2 , . . . , a m } ve k de˘ gi¸sik de˘ ger alan rasgele de˘ gi¸sken X in bir karar probleminde her bir X = x g¨ ozlem de˘ gerine g¨ ore bir a ∈ A sade eylemine kararı verilecek olursa her de˘ gi¸sik g¨ ozleme kar¸sılık m eylemden birine karar verilecek olup, k de˘ gi¸sik g¨ ozlemle m ^k de˘ gi¸sik karar fonksiyonu tanımlanabilir oldu˘ gu g¨ or¨ ul¨ ur. Karar fonksiyonlarının sınıfı bu m ^k fonksiyondan olu¸sacaktır.

Ornek. (Asans¨ ¨ or problemine devam). X r.d. x = 0, 1, 2 de˘ gerlerini almakta ve eylem k¨ umesi A = {a ₁ , a ₂ } oldu˘ gundan karar fonksiyonların sayısı 2 ³ = 8 dir. Bu fonksiyonlar iste˘ ge g¨ ore numaralandırıp a¸sa˘ gıdaki tablodaki gibi verilebilir.

X = x d ₁ d ₂ d ₃ d ₄ d ₅ d ₆ d ₇ d ₈ 0 a 2 a 2 a 2 a 1 a 2 a 1 a 1 a 1

1 a 2 a 2 a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 a 1

2 a 2 a 1 a 2 a 2 a 1 a 1 a 2 a 1

Bu tabloya g¨ ore d ₁ (X) karar fonksiyonu X hangi de˘ ger g¨ ozlemlenirse g¨ ozlemlensin hep a ₂ eylemini yapmayı , benzer olarak d ₈ (X), X ne g¨ ozlemlenirse g¨ ozlemlensin dikkate almadan a ₁ eylemini yapmayı tanımlar. d 4 (X) karar fonksiyonu ise X = 0 g¨ ozlenirse a 1 eylemini, X = 1 veya X = 2 g¨ ozlenirse a 2 eylemini yapmayı tanımlar.

Not. X rasgele de˘ gi¸skeninin alaca˘ gı de˘ gerlerin sayısı k ve sade eylemlerin k¨ umesinde yer alan eylem sayısı m arttık¸ ca yazılabilecek karar fonksiyonlarının sayısı hızla artar ve listeleme yapmak olanaksızla¸sır.

Sonu¸ cları rasgele eylem olan d _i (X) karar fonksiyonları verinin olmadı˘ gı durumdaki a _i sade eylemleri gibi birer sade karar fonksiyonları olarak d¨ u¸s¨ un¨ ul¨ ur. Sade karar fonksiyonlarından karma yada rasgele karar fonksiyonları da tanımlanabilir.

Tanım.(p 1 , p 2 , . . . , p _m

), P m

i=1 p i = 1 olmak ¨ uzere p 1 , d 1 (X) karar fonksiyonunun rasgele se¸ cilmesi

olasılı˘ gı ; p 2 , d 2 (X) karar fonksiyonunun rasgele se¸ cilmesi olasılı˘ gı ;,. . . ve p _m

, d _m

(X) karar

2-4 Ders 2 : Rasgele G¨ ozlemlerle Karar Vermeye Giri¸s

fonksiyonunun rasgele se¸ cilmesi olasılı˘ gı olmak ¨ uzere bir olasılık da˘ gılımı olsun.

d(X) ∼ [d 1 (X), d 2 (X), d 3 (X) . . . , d _m

(X)] ₍ p 1 , p 2 , p 3 , . . . , p _m

)

olarak tanımlanan sonu¸ cları rasgele eylemler olan karar fonksiyonuna rasgele karar fonksiyonu veya karma karar fonksiyonu denir.

Bir karma karar fonksiyonunu belirleyici olan bir (p ₁ , p ₂ , . . . , p _m

) olasılık da˘ gılımı oldu˘ gu g¨ or¨ ulmektedir.

Ornek. (Asans¨ ¨ or problemi) Olasılık da˘ gılımının (0.1, 0.3, 0, 0.2, 0.3, 0, 0.1, 0) oldu- ˘ gu bir karma (rasgele) karar fonksiyonu, uygun bir rasgelelik mekanizması kullanıla- rak d i karar fonksiyonu belirlenir. ¨ Orne˘ gin, d¨ uzg¨ un ve e¸sit y¨ uzey alanlarına sahip 10 y¨ uzl¨ u bir zar ¨ uzerine iki y¨ uzeye d 4 ve yine iki y¨ uzeye d 5 yazılır geri kalan her y¨ uzeye geri kalan bir d i karar fonksiyonları yazılır. Rasgele bir atı¸sla hangi y¨ uzey ¨ uste gelirse o y¨ uzeyde yazılı olan fayda fonksiyonu uygulanır. ¨ Orne˘ gin d 3

g¨ ozlenmi¸sse bu X = 0 veya X = 2 rasgele g¨ ozlemi yapıldı˘ gında a ₂ eylemine X = 1 g¨ ozlenmi¸sse a ₁ eylemine karar vermektir. Karma karar fonksiyonu

d(X) ∼ [d ₁ (X), d ₂ (X), d ₃ (X), . . . , d ₈ (X)] (0.1, 0.3, 0, 0.2, 0.3, 0, 0.1, 0)

kendine denk olarak

X = 0 g¨ ozlenirse 0.3 olasılıkla a 1 eylemine ve 0.7 olasılıkla a 2 eylemine,

X = 1 g¨ ozlenirse 0.4 olasılıkla a ₁ eylemine ve 0.6 olasılıkla a ₂ eylemine,

X = 2 g¨ ozlenirse 0.6 olasılıkla a 1 eylemine ve 0.4 olasılıkla a 2 eylemine

karar verildi˘ gi bir karar fonksiyonu olarak da tanımlanabilir. Bu X = 0 g¨ ozlendi˘ ginde 0’dan farklı

olasılıkara sahip d 1 , d 2 , d 4 , d 5 , d 7 karar fonksiyonları ile hesaplanırsa p 4 + p 7 = 0.3 olasılıkla a 1 ve

d 1 + d 2 + d 5 = 0.7 olasılıkla a 2 eylemini yapmaktır. X = 1 ve X = 2 g¨ ozlemleri i¸ cin de benzer

i¸slemler yapıldı˘ gında yukarıdaki tanımlama

Ders 2 : Rasgele G¨ ozlemlerle Karar Vermeye Giri¸s 2-5

d(X) =



 

 



 

 



0.3 olasılıkla a 1 veya 0.7 olasılıkla a 2 , X = 0 0.4 olasılıkla a ₁ veya 0.6 olasılıkla a ₂ , X = 1 0.6 olasılıkla a ₁ veya 0.4 olasılıkla a ₂ , X = 2

Karma karar fonksiyonuna ili¸skin olasılık da˘ gılımı (0, 0, 0.1, 0.3, 0.6, 0, 0, 0) ise bu karma fonksiyon X = 0 g¨ ozlendi˘ ginde 0.7 olasılıkla a 2 , 0.3 olasılıkla a 1 eyleminin, X = 1 g¨ ozlendi˘ ginde 0.3 olasılıkla a 2 eyleminin , X = 2 g¨ ozlendi˘ ginde 0.4 olasılıklaa 2 eyleminin yapıldı˘ gı bir karar fonksiyonunu tanımlar.

Karar verme s¨ urecine verinin katılmadı˘ gı durumdan farklı olarak rasgele de˘ gi¸skenin karar verme s¨ urecine katıldı˘ gı durumda kayıp fonksiyonu l (θ, d (X)) de rasgele olacaktır; burada rasgele kayıpla s¨ oz¨ u edilen daha ¨ once karma (rasgele) eylemlerin ¨ uretmi¸s oldu˘ gu rasgele kayıptan ayrıdır. Bu ayrım belirli bir θ do˘ ga durumu altında herhangi bir sade a j eylemiyle ya¸sanan l (θ, a j ) kayıp de˘ geri ile aynı do˘ ga durumu ve herhangi bir d j (X) sade karar fonksiyonunun kullanıldı˘ gı l (θ, d j (X)) kaybının kar¸sıla¸stırılması ile daha kolay anla¸sılacaktır. l (θ, a j ) sabit bir de˘ ger iken l (θ, d (X)) g¨ ozlemlenen rasgele X = x de˘ gerine g¨ ore l (θ, d (x)) kayıp de˘ gerini alacaktır.

O halde rasgele g¨ ozlemlerin karar verme s¨ urecine katılması halinde kayıp fonksiyonu l (θ, d (X))’nin rasgele g¨ ozlenecek de˘ gerleri yerine beklenen de˘ gerinin kayıpları de˘ gerlendirme s¨ urecine katılması akılcı olacaktır. Hatırlanacak olursa, benzer yakla¸sım karma eylemlerin kaybının de˘ gerlendirilmesi sırasında karma da˘ gılım kullanılarak yapılmı¸stı. Bu kez s¨ oz konusu beklenen de˘ ger X rasgele de˘ gi¸skeninin da˘ gılımı kullanılarak elde edilecektir. Bu d¨ u¸s¨ uncenin bir sonucu olarak risk fonksiyonu tanımına ula¸sılır.

Kaynaklar

[1] H. Chernoff and L. E. Moses (1986), Elementary Decision Theory, Dover Pub-

lications, New York.

2-6 Ders 2 : Rasgele G¨ ozlemlerle Karar Vermeye Giri¸s

[2] B. W. Lindgren (1971), Elements of Decision Theory, Macmillan Company, New

York.