18.102

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret ediniz.

18.102

Introduction to Functional Analysis Bahar 2009

Prof.Dr.Richard Melrose

18.102 Fonksiyonel Analize Giri¸s Bahar D¨ onemi 2009 DERS 10. BESSEL ES ¸ ˙ITS˙IZL˙I ˘ G˙I

Bu derste ele alacaklarımız bir ¸cok kaynakta oldu˘ gundan bunlara kısaca de˘ ginilecektir.

(1) Bessel E¸sitsizli˘ gi

e _i , i = 1, .., N bir i¸c¸carpım uzayı H de boyları bir olan dik bir dizi(ortonormal dizi), yani (e _i , e _j ) = δ _ij olsun. H uzayının keyfi u ¨ o˘ gesi i¸cin, a¸sa˘ gıdakiler vardır:

v =

N

X

i=1

(u, e _i )e _i

(10.1) ||v|| ² _H =

N

X

i=1

|(u, e _i )| ² ≤ ||u|| ² _H

(u − v)⊥e _i , i = 1, ..., n

Buradaki son sav (u, e _j ) = (v, e _j ) hesaplanarak bulunur. Benzer bi¸cimde

||v|| ² ifadesi ise yine do˘ grudan hesap ile bulunur. Bessel e¸sitsizli˘ gi olarak bilinen e¸sitsizlik Cauchy e¸sitsizli˘ ginden elde edilir. C ¸ ¨ unk¨ u son e¸sitsizlikten

(10.2) ||v|| ² = (v, v) = (v, u) + (v, v − u) = (v, u) = |(v, u)| ≤ ||v||||u||

den ||v|| ≤ ||u|| bulunur.

(2) Ortonormal Tabanlar:

(10.1) e¸sitsizli˘ ginde sa˘ g taraf N den ba˘ gımsız oldu˘ gundan, e˘ ger (e _i ) dizisi ortonormal bir dizi ise,

(10.3)

∞

X

i=1

|(u, e _i )| ² ≤ ||u|| ² _H buradan da

(10.4) v _n =

n

X

i=1

(u, e _i )e _i

dizisinin Cauchy dizisi oldu˘ gunu elde ederiz, ¸c¨ unk¨ u m > n iken (10.5) ||v _n − v _m || ² = ^X

n<j<m

||(u, e _j )|| ² ≤

∞

X

j=n+1

||(u, e _j )|| ²

yukarıdaki e¸sitsizlikde sa˘ g taraf, n sayısının b¨ uy¨ uk de˘ gerleri i¸cin m sayısından ba˘ gımsız olarak, k¨ u¸c¨ uk oldu˘ gundan, dizi Cauchy dizisidir.

Onteorem H bir Hilbert uzayı - yani ¸simdi tamlık varsayılıyor- ve (e ¨ i ) de ortonormal bir dizi ise, H uzayının her u ¨ o˘ gesi i¸cin

(10.6) v =

∞

X

j=1

(u, e _j )e _j ∈ H serisi yakınsaktır ve her j i¸cin (u − v)⊥e _j sa˘ glanır.

Kanıt. Limitin varlı˘ gı dizinin Cauchy ve uzayın tamlı˘ gından elde edilir.

Diklik ise (u − v _n , e _j ) = 0 e¸sitli˘ ginden n ≥ j oldu˘ gunda (10.7) (u − v, e _j ) = lim _n→∞ (u − v _n , e _j ) = 0

Cauchy e¸sitsizli˘ ginin bir sonucu olan i¸c¸carpımın s¨ urekli oldu˘ gu kullanılarak g¨ or¨ ul¨ ur.

S ¸imdi ortonormal bir dizinin tam veya ortonormal taban olması demek: her j i¸cin u⊥e _j = 0 ise u = 0 olması demektir.

Onerme 15 ¨ E˘ ger (e j ) ^∞ _j=1 Hilbert uzayı H de ortonormal taban ise H uzayındaki her u vekt¨ or¨ u i¸cin

(10.8) u =

∞

X

j=1

(u, e j )e j

vardır.

Kanıt. ¨ Onteorem, serinin v vekt¨ or¨ une yakınsamasını ve her j i¸cin (u−v)⊥e j

elde ederiz. Tamlık varsayımı, u = v verir.

(3) Gram-Schmidt

Teorem 6 Her ayrılabilir Hilbert uzayının ortonormal tabanı vardır.

Kanıt. Ayrılabilir olma tanımından, bir dizi olarak ta yazılabilecek (v _j ) yo˘ gun dizisi bulabiliriz. Dizinin her ¨ o˘ gesini kendi boyuna b¨ olerek diziyi boyları bir olacak ¸sekilde alabiliriz. B¨ oylelikle, e˘ ger v 1 6= 0 ise e 1 = v 1 /||v 1 || alalım.

T¨ umevarımla devam ederek bir n tamsayısı i¸cin i = 1, ..., m ≤ n olmak ¨ uzere ortonormal e _i ¨ o˘ gelerini secmi¸s olalım. Bu vekt¨ orlerin gerdi˘ gi altuzay aynıdır.

Yani,

(10.9) ger[e ₁ , ..., e _m ] = ger[v ₁ , ..., v _n ]

Dikkat edersek, t¨ umevarım adımı i¸cin e˘ ger v n+1 (10.9) da gerilen altuzayda ise

n+1 i¸cin aynı e _i ¸calı¸sacaktır. Dolayısı ile

(10.10) w = v _n+1 −

n

X

j=1

(v _n+1 , e _j )e _j 6= 0

dolayısı ile e _m+1 = w/||w|| anlamlı olup e _m+1 eklendi˘ ginde n+1 i¸cin gerilen uzayların e¸sitli˘ gi bulunur.

B¨ oylece sonsuza kadar devam edilebilir. Sadece iki olasılık vardır. Ya sonlu tane e _i veya bunların sonsuz bir dizisi bulunacaktır. Her iki durumda da elde edilen k¨ ume ortonormal bir taban olacaktır. Yani;

(10.11) u⊥e _j ∀j ⇒ u = 0

Bu v _n lerin yo˘ gun oldu˘ gunu kullanmaktadır. Bu ise verilen u ∈ H i¸cin her w _j ’ in bir v _n oldu˘ gu w _j dizisi i¸cin H uzayında w _j → u dizisinin varolması demektir. S ¸imdi her v _n , dolayısı ile her w _j , e _k ların sonlu do˘ grusal birle¸simi oldu˘ gundan, Bessel e¸sitsizli˘ gi uygulayarak

(10.12) ||w _j || ² = ^X

k

|(w _j , e _k )| ² = ^X

k

|(u − w _j , e _k )| ² ≤ ||u − w _j || ²

elde edilirki burada her j i¸cin (u, e _j ) = 0 kullandık. B¨ oylece ||w _j || → 0 ve u = 0 elde edilir.

(4) l ² uzayının isomorfizmaları ( e¸syapı d¨ on¨ u¸s¨ umleri)

Sonlu boyutlu bir Hilbert uzayı her zamanki i¸c¸carpımı ile donanmı¸s C ⁿ uzayına izomorftur. Yukarıdaki sonu¸clardan benzer ¸su sonucu elde ederiz.

Onerme 16 Kompleks sayılar ¨ ¨ uzerinde tanımlı sonsuz boyutlu ayrılabilir her Hilbert uzayı l ² uzayına izomorftur, yani ¨ oyle do˘ grusal bir d¨ on¨ u¸s¨ um

(10.13) T : H → L ²

vardırki bu d¨ on¨ u¸s¨ um 1-1, ¨ uzerine oldu˘ gu gibi H deki her u, v i¸cin (T u, T u) _l

= (u, v) _H ve ||T u|| _l

= ||u|| _H sa˘ glanır.

Kanıt. Yukarıda varoldu˘ gunu ¨ o˘ grendi˘ gimiz bir ortonormal taban se¸celim ve

(10.14) T u = (u, e j ) ^∞ _j=1

alalım. Bu d¨ on¨ u¸s¨ um, Bessel e¸sitsizli˘ gi nedeni ile, H uzayını l ² uzayına

g¨ ot¨ ur¨ ur. T d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ u betimleyen dizinin her ¨ o˘ gesi do˘ grusal oldu˘ gundan

T de do˘ grusaldır. 1-1 dir ¸c¨ unk¨ u e˘ ger T u = 0 ise her j i¸cin (u, e _j ) = 0 dan ve

ortonormal tabanın tamlı˘ gından u = 0 elde ederiz. ¨ Uzerine bir d¨ on¨ u¸s¨ umd¨ ur,

¸c¨ unk¨ u (c _j ) verilen bir kompleks sayılar dizisi ise (10.15) u =

∞

X

j=1

c _j e _j

serisi H i¸cinde yakınsar. Bu yukarıdaki akıl y¨ ur¨ utme ile aynıdır- kısmi

toplamlar dizisi Bessel e¸sitsizli˘ gi nedeni ile bir Cauchy dizisidir. ˙I¸c¸carpımın

s¨ ureklili˘ ginden, T u = (c _j ) olur ve T ’ nin ¨ uzerine oldu˘ gunu verir. Normlar ile

ilgili e¸sitlik i¸c¸carpımların e¸sitli˘ ginden elde edilir. Sonrası ise ¨ once e _j lerin sonlu

do˘ grusal toplamlarından ve bunlara s¨ ureklilik uygulanarak elde edilir.

PROBLEMLER 5

A¸sa˘ gıdaki kimi sorularda Lebesgue Sınırlı Yakınsama teoremini hatırlamanızda yarar vardır.

Problem 5.1 f : R → C fonksiyonu L ¹ (R) uzayında olsun.

(10.16) x ∈ [−L, L] ise F L (x) = f (x) di˘ ger durumda 0

olarak tanımlanan F L fonksiyonunun L ¹ (R) uzayında ve L → ∞ iken ^R |f L − f | → 0 oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

Problem 5.2 Ger¸cel de˘ gerli ve a¸sa˘ gıdaki anlamda yerel integrallenebilir, f : R → R fonksiyonunun

(10.17) g L (x) =

( f (x), x ∈ [−L, L]

0, x ∈ R \ [−L, L]

Yani, her L tamsayısı i¸cin Lebesgue integrallenebilirdir ko¸sulunu sa˘ glayan f i¸cin,

1) Her sabit L sayısı i¸cin

(10.18) g _L ^N (x) =



 

 

g _L (x), g _L (x) ∈ [−N, N ] N, g _L (x) > N

−N, g L (x) < −N

fonksiyonunun Lebesgue integrallenebilir oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

2)N → ∞ iken ^R |g _L ^{(N )} − g _L | → 0 g¨ osteriniz.

3) Bulunabilinecek h n basamak fonksiyonları dizisi i¸cin, hemen her yerde (10.19) h _n (x) → f (x)

g¨ osteriniz.

4)

(10.20) L ^{(N )} _n,L (x) =



 

 

 

 

0, x / ∈ [−L, L]

h n (x), h n (x) ∈ [−N, N ], x ∈ [−L, L]

N, h _n (x) > N, x ∈ [−L, L]

−N, h _n (x) < −N, x ∈ [−L, L]

Bu durumda n → ∞ iken ^R |h ^N _n − g ^N _L | → 0 g¨ osteriniz.

Problem 5.3 L ² (R) uzayının Hilbert uzayı oldu˘gunu g¨osteriniz. ¨ Once ger¸cel

sayılarla ¸calı¸sarak L ^∈ (R) uzayını f : R → R, |f | ² integrallenebilir ve yukarıdaki

anlamda yerel integrallenebilir fonksiyonlar olarak tanımlayın.

(1) B¨ oylesi f fonksiyonları i¸cin h _n se¸cip g _L , g _L ^{(N )} , h ^{(N )} _n fonksiyonlarını (10.17)), (10.18) ve (10.20) g¨ ore tanımlayınız.

(2) Sabit N ve L sayıları i¸cin h ^{(N )} _n,L dizisini kullanarak g _L ^{(N )} , (g _L ^{(N )} ) ² fonksiy- onlarının L ¹ (R) uzayında ve n → ∞ iken ^R |(h ^{(N )} _n,L ) ² − (g _L ^{(N )} ) ² | → 0 g¨ osteriniz.

(3) (g _L ) ² ∈ L ¹ (R) ve N → ∞ iken ^R |(g ^{(N )} _L ) ² − (g _L ) ² | → 0 g¨ osteriniz.

(4) L → ∞ iken ^R |(g _L ) ² − f | ² → 0 g¨ osteriniz.

(5) f, g ∈ L ² (R) ise f g ∈ L ¹ (R) ve (10.21) |

Z

f g| ≤

Z

|f g| ≤ ||f || _L

||g|| _L

, ||f || ² _L

=

Z

|f | ² g¨ osteriniz.

(6) Yukarıdakileri kullanarak L ² (R) uzayının vekt¨or uzayı oldu˘gunu g¨osteriniz.

(7) N sıfırımsı fonksiyonlar ise L ² (R) = L ² (R)/N uzayının ger¸cel bir Hilbert uzayı oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(8) Yukarıdakileri kompleks sayılara geni¸sletiniz.

Problem 5.4

(10.22) h ^2,1 = {c : N 3 j → c j ∈ C, ^X

j

(1 + j ² )|c _j | ² < ∞}

le tanımlanan dizi uzayları i¸cin

(10.23) h ^2,1 × h ^2,1 : (c, d) →< c, d >= ^X

j

(1 + j ² )c j d j

i¸c¸carpımının h ^2,1 uzayını Hilbert uzayı yapan Hermitsel bir i¸c¸carpım oldu˘ gunu g¨ osteriniz ve ∀c ∈ h ^2,1 i¸cin

(10.24) h ^2,1 ⊂ l ² , ||c|| ₂ ≤ ||c|| _2,1 g¨ osteriniz.

Problem 5.5 Ayrılabilir uzaylarda Riesz Temsil teoremini do˘ grudan kanıtlayınız.

Ayrılabilir Hilbert uzayı H i¸cin ortonormal (e _i ) tabanı se¸ciniz. E˘ ger T : H → C sınırlı ve do˘ grusal bir fonksiyonel ise

(10.25) w _i = T (e _i ), i ∈ N tanımlayınız.

(1) S ¸imdi bir C sayısı i¸cin, |T u| ≤ C||u|| sa˘ glandı˘ gını anımsayarak her N

tamsayısı i¸cin

(10.26)

N

X

j=1

|w _i | ² ≤ C ² g¨ osteriniz.

(2) (w _i ) dizisinin l ² uzayında oldu˘ gunu g¨ osteriniz ve (10.27) w = ^X

i

w i e i ∈ H g¨ osteriniz.

(3) Her u ∈ H i¸cin,

(10.28) T (u) =< u, w > _H ve ||T || = ||w|| _H

g¨ osteriniz.

PROBLEM 4’¨ uN C ¸ ¨ OZ ¨ UMLERi 4

Problem 4.1 H bir normlu uzay ve norm a¸sa˘ gıdaki paralelkenar kuralını sa˘ glasın.

(10.29) ku + vk ² + ku − vk ² = 2(kuk ² + kvk ² ) u, v ∈ H.

Bu normun pozitif sesquilinear (yani Hermitsel) bir i¸c¸carpımdan geldi˘ gini kanıtlayınız.

Ana fikir olarak

(10.30) (u, v) = 1

4 (ku + vk ² − ku − vk ² + iku + ivk ² − iku − ivk ² ) e¸sitli˘ gini deneyiniz.

C ¸ ¨ oz¨ um. u = v alalım. Paralelkenar kuralı olmadan da (10.31) (u, v) = 1

4 ||2u|| ² + i||(1 + i)u|| ² − i||(1 − i)u|| ² = ||u|| ²

Buradan (u, v) nin Hermitsel oldu˘ gunu elde ederiz. Kompleks e¸slenik alıp,

||u + iv|| = ||v − iu|| gibi norm ¨ ozelliklerini kullanarak,

(10.32) (u, v) = 1

4 (||v + u|| ² − ||v − u|| ² − i||v − iu|| ² + i||v + iu|| ² ) = (v, u) Dolayısı ile bakılması gereken tek ¸sey, ilk de˘ gi¸skendeki do˘ grusallıktır. Hemen hesaplara ba¸slayalım. ¨ Once (u, −v) = −(u, v) den (10.32) kullanarak,(−u, v) =

−(u, v) buluruz. Buradan

(2u, v) = 1

4 (||u + (u + v)|| ² − ||u + (u − v)|| ² + i||u + (u + iv)|| ² − i||u + (u − iv)|| ² )

(10.33) = 1

2 (||u+v|| ² +||u|| ² −||u−v|| ² −||u|| ² +i||(u+iv)|| ² +i||u|| ² −i||u−iv|| ² −i||u|| ² )

− 1

4 (||u−(u+v)|| ² −||u−(u−v)|| ² +i||u−(u+iv)|| ² −i||u−(u−iv)|| ² ) = 2(u, v)

S ¸imdi bu ve (10.32) den herhangi u, u ⁰ ve v i¸cin

(u+u ⁰ , v) = 1

2 (u+u ⁰ , 2v) = 1 2

1

4 (||(u+v)+(u ⁰ +v)|| ² −||(u−v)+(u ⁰ −v)|| ² +i||(u+iv)−(u−iv)|| ²

−i||u − iv|| ² || ² ) + i||(u + iv) − (u − iv)|| ² − i||(u − iv)) = (u, v) + (u ⁰ , v) bulunur. ˙Ikinci ¨ ozde¸slik kullanılarak, birincide ¨ oteleme yapılırsa, u, v vekt¨ orleri ve k tamsayısı i¸cin (ku, v) = k(u, v) bulunur. S ¸imdi n pozitif tamsayısı i¸cin nu ⁰ = u ve r = k/n alarak

(10.35) (ru, v) = (ku ⁰ , v) = k(u ⁰ , v) = r(u, v)

bulunur ve buradan her kesirli r sayısı i¸cin (ru, v) = r(u, v) elde ederiz.

Tanımdan, i¸c¸carpım her iki de˘ gi¸skende de norma g¨ ore s¨ ureklidir. Bu nedenle, r → x ∈ R, limitine ge¸cebiliriz. Yine tanımdan, do˘grudan a¸sa˘gıdaki e¸sitlikleri;

(10.36) (iu, v) = 1

4 (||iu + v|| ² − ||iu − v|| ² + i||iu + iv|| ² − i||iu − iv|| ² ) = i(u, v) ve buradan da ilk de˘ gi¸skende do˘ grusallı˘ gı elde ederiz.

Problem 4.2 H sonsuz boyutlu bir (¨ on)Hilbert uzayı olsun. Dolayısıyla H’nın her elemanının

(10.37) v = ^X

i

c _i v _i

gibi ifade edebilece˘ gimiz (v _i ) tabanı vardır. Burada v _i ’ler arasında do˘ grusal ba˘ gımlılık ili¸ski yoktur-(8.9) da v = 0 temsili tek bir tanedir. (e _i , e _j ) = δ _ij (i = j i¸cin 1 di˘ ger durumda sıfır anlamında) H’nın bir ortonormal tabanı (e _i ) ⁿ _i=1 vardır. Ortonormal taban i¸cin (10.37) da ge¸cen katsayıların c _i = (v, e _i ) oldu˘ gunu kanıtlayınız ve

(10.38) T : H → C ⁿ , T (v) = ((v, e _i )) nın

(10.39) (u, v) = ^X

i

(T u) _i (T v) _i , kuk _H = kT uk _C

, u, v ∈ H

¨

ozelli˘ gini sa˘ glayan bir izomorfizma oldu˘ gunu kanıtlayınız. Ni¸cin sonlu boyutlu

¨

onHilbert uzayı bir Hilbert uzayıdır?

C ¸ ¨ oz¨ um 2. H’nin sonlu boyutlu bir (¨ on)Hilbert uzayı oldu˘ gu kabul edildi˘ ginden, bir v _i , i = 1, ..., n tabanı vardır. Bu taban n-adımda ortonormal bir tabanla de˘ gi¸stirilebilir. ˙Ilk olarak v 1 vekt¨ or¨ un¨ u e 1 = v 1 /||v 1 || ile de˘ gi¸stirelim. Taban vekt¨ orlerinin do˘ grusal ba˘ gımsızlı˘ gından ||v ₁ || 6= 0 dır. S ¸imdi de v ₂ vekt¨ or¨ un¨ u

(10.40) e 2 = w 2 /||w 2 ||, w 2 = v 2 − (v 2 , e 1 )e 1

ile de˘ gi¸stirelim. Burada w ₂ ⊥e ₁ oldu˘ gu i¸c¸carpım alarak g¨ or¨ ul¨ ur. v ₂ ,e ₁ do˘ grusal ba˘ gımsız olduklarından, w ₂ 6= 0 vardır. Sonlu t¨ umevarımla k < n i¸cin v ₁ , ...., v _k vekt¨ orlerini ortonormal ve v _i ler ile aynı uzayı geren e ₁ , ..., e _k ile de˘ gi¸stirdi˘ gimizi kabul edelim. v _k+1 vekt¨ or¨ un¨ u a¸sa˘ gıdaki;

(10.41) e _k+1 = w _k+1 /||w _k+1 ||, w _k+1 = v _k+1 −

k

X

i=1

(v _k+1 , e _i )e _i

ile de˘ gi¸stirelim. ˙I¸carpım alarak w _k+1 ⊥e _i , i = 1, ..., k ve v _i ler do˘ grusal ba˘ gımsız olduklarından, w k+1 6= 0 elde ederiz. Dolayısıyla, ortonormal k¨ umemizin

¨

o˘ ge sayısını aynı ¨ ozelliklere sahip olacak bi¸cimde bir ¨ o˘ ge artırttık. Bu nedenle taban ortonormal hale getirilebilir.

S ¸imdi her u ∈ H i¸cin

(10.42) c _i = (u, e _i )

olsun. Buradan elde edece˘ gimiz ¸sey, U = u − ^{P n} _i=1 vekt¨ or¨ un¨ un her e _i ’ye dik oldu˘ gudur. Nedeni ise;

(10.43) (u, e _j ) = (u, e _j ) − ^X

i

c _i (e _i , e _j ) = (u, e _j ) − e _j = 0

olmasıdır. Buradan U = 0 elde edilir. C ¸ ¨ unk¨ u U = ^P _i d _i e _i yazıldı˘ gında her i i¸cin d i = (U, e i ) = 0 bulunur. S ¸imdi (10.38) deki d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ u d¨ u¸s¨ unelim.

Biraz ¨ once kanıtladı˘ gımız ¸sey bu d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un bire-bir oldu˘ gudur ¸c¨ unk¨ u T u = 0 t¨ um c _i = 0 ve dolayısıyla u = 0 vermektedir. c _i sayıları u vekt¨ or¨ une do˘ grusal olarak ba˘ glı ve i¸c¸carpım ilk de˘ gi¸skende do˘ grusal olduklarından, T do˘ grusal bir d¨ on¨ u¸s¨ umd¨ ur. Her c _i ∈ C i¸cin u = ^P c _i e _i (10.42) nedeniyle c _i sayılarını verdi˘ ginden, T ¨ orten bir d¨ on¨ u¸s¨ umd¨ ur. B¨ oylelikle T d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un esasında bir izomorfizma oldu˘ gunu buluruz. (10.39) daki ilk ¨ ozde¸slik, a¸sa˘ gıdaki hesaptan elde edilir:

(10.44)

n

X

i=1

(T u) i (T v) i = ^X (u, e i ) = (u, ^X

i

(u, e i )e i ) = (u, v)

Burada u = v alarak, ||T U || _C = ||u|| _H buluruz.

Standart normu ile donandı˘ gında C ^N uzayının tam oldu˘ gunu biliyoruz. T de

bir izomorfizma oldu˘ gundan H deki Cauchy dizilerini C ^N uzayındaki Cauchy

dizilerine resmeder. Ustelik T ¨ ⁻¹ , C ^N uzayındaki yakınsak dizileri H deki

yakınsak dizilere g¨ ot¨ urd¨ u˘ g¨ unden H deki her Cauchy dizisi yakınsak ve H

tamdır.