ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
YAKINSAKLIK ve İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIK ORANLARI
TUBA AYDOĞAN
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA 2006
Her hakkı saklıdır
i
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
YAKINSAKLIK ve İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIK ORANLARI
Tuba AYDOĞAN
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. Cihan ORHAN
Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır.
İlk bölüm giriş kısmına ayrılmıştır.
İkinci bölümde yakınsaklık oranlarına ilişkin temel kavramlar hatırlatılmıştır.
Üçüncü bölümde dizilerin yakınsaklık oranlarıyla ilgili örnekler verilmiş ve bazı matris dönüşümleri yardımıyla yakınsaklığın hızlandırılması ya da yavaşlatılması incelenmiştir.
Son bölümde de istatistiksel ve T- istatistiksel yakınsaklık oranları ele alınmıştır.
2006, 34 sayfa
Anahtar Kelimeler: Yakınsaklık, İstatistiksel yakınsaklık, T-istatistiksel yakınsaklık, Yoğunluk, Toplanabilme, Regüler, Metod.
ii
ABSTRACT Master Thesis
RATES of CONVERGENCE and STATISTICAL CONVERGENCE
Tuba AYDOĞAN
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics
Supervisor: Prof. Dr. Cihan ORHAN
This thesis consists of four chapters.
The first chapter is devoted to the introduction.
In Chapter two some basic concepts concerning the rates of convergence are recalled.
In Chapter three some examples related to rates of convergence of sequences are presented.
Furthermore some summability methods which are speeding up or slowing down convergence of sequences are studied.
In the last chapter rates of satistical and T- statistical convergences are examined.
2006, 34 pages
Key Words: Convergence, Statistical convergence, T-statistical convergence, Density, Summability, Regular, Method.
iii
TEŞEKKÜR
Bana araştırma olanağı sağlayan ve çalışmamın her safhasında yakın ilgi ve önerileri ile beni yönlendiren danışman hocam, Sayın Prof. Dr. Cihan ORHAN (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’a, çalışmalarımda yardım ve katkılarını esirgemeyen çok değerli hocam Araş. Gör. Özlem Atlıhan GİRGİN’e teşekkürlerimi sunarım.
Çalışmalarım esnasında beni her konuda destekleyip, her zaman yanımda olan aileme sonsuz teşekkür ederim.
Tuba AYDOĞAN Ankara, Aralık 2006
iv
İÇİNDEKİLER
ÖZET... i
ABSTRACT ... ii
TEŞEKKÜR ... iii
SİMGELER DİZİNİ ... ... v
1. GİRİŞ ... 1
2. TEMEL KAVRAMLAR ... 2
3. YAKINSAKLIK ORANLARI VE TOPLANABİLME... 4
3.1 Yakınsaklık Oranları ... 4
3.2 F- Yakınsaklık Oranları ... 13
4. İSTATİSTİKSEL VE T- İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIK ORANLARI ... .15
4.1 İstatistiksel Yakınsaklık Oranları ... 15
4.2 T- İstatistiksel Yakınsaklık Oranları... 27
KAYNAKLAR ... 32
ÖZGEÇMİŞ... 34
S·IMGELER D·IZ·IN·I
Ax = ((Ax)n)
à 1 X
k=1
ankxk
!
dönü¸süm dizisi c Reel terimli yak¬nsak diziler uzay¬
c0 Reel terimli s¬f¬ra yak¬nsayan diziler uzay¬
`1 Reel terimli s¬n¬rl¬ diziler uzay¬
st Reel terimli istatistiksel yak¬nsak diziler uzay¬
N Do¼gal say¬lar kümesi
R Reel say¬lar kümesi
±(K) K cümlesinin yo¼gunlu¼gu
±T(K) K cümlesinin T - yo¼gunlu¼gu
ÂK K cümlesinin karakteristik fonksiyonu
(C; 1) Cesàro matrisi
1. G˙IR˙I¸S
Xan serisinin kısmi toplamlar dizisi (sn)olsun. E˘ger
tn = s0 + s1 + s2+ . . . + sn
n + 1 → L
ise (sn)dizisi L de˘gerine (C, 1) yakınsaktır veya Cesàro Toplanabilirdir diyoruz.
Böylelikle yakınsaklık kavramının genelle¸stirilmesi görü¸sü ortaya çıkar. Örne˘gin X∞
n=0
(−1)n serisi ele alınsın. Bu serinin kısmi toplamlar dizisi (sn) = (1, 0, 1, 0, . . .) olup genel terimi
(sn) = µ1
2 +(−1)n 2
¶
biçimindedir. (sn)dizisinin aritmetik ortalamasına (tn) dersek,
(tn) = s0+ s1+ s2+ . . . + sn
n + 1
= (n + 1) + 1+(−1)2 n 2(n + 1)
= 1
2+ 1 + (−1)n 4 (n + 1)
olur. Burada n → ∞ için tn → 12 olup klasik anlamda yakınsak olmayan (1, 0, 1, . . .) dizisi 12 de˘gerine (C, 1) yakınsaktır.
Toplanabilme teorisi yukarıdaki örnekte de görüldü˘gü üzere, ıraksak bir seriye bir toplam kar¸sılık getirmekle ilgilenir. En yaygın yöntem olarak sonsuz matrislerden yararlanılır.
˙Iki sıfır dizisinden birinin di˘gerine göre daha hızlı yakınsak olamamasına ra˘gmen istatiksel anlamda daha hızlı yakınsayabilece˘gi yakın zamanda gösterilmi¸stir. Bu nedenle yakınsaklık ve istatistiksel yakınsaklık oranlarının bilinmesi önemlidir.
Bu çalı¸smada yakınsaklık ve istatistiksel yakınsaklık oranları tanıtılacak, aralarındaki ili¸skiler incelenecektir. Ayrıca bu dü¸sünceler toplanabilme metodlarına uygulanacak- tır.
2. TEMEL KAVRAMLAR
Bu kısımda tezde yararlanaca˘gımız temel kavramları verece˘giz.
Tanım 2.1. xn → L1, yn → L2 olacak biçimde iki yakınsak dizi alalım. Her n için yn 6= L2 olmak üzere
n→∞lim
xn− L1 yn− L2 = 0
sa˘glanıyorsa (xn)dizisi, (yn) dizisinden daha hızlı yakınsaktır denir (Miller 1973).
Örne˘gin
xn= 1
(n + 1)2 ve yn = 1 n + 1 olsun. (xn)∈ c0 ve (yn)∈ c0 olup
limn
xn
yn
= 0
bulunur. O halde (xn) dizisi, (yn) dizisinden daha hızlı yakınsaktır.
Tanım 2.2.
un =
¯¯
¯¯xn− L1 yn− L2
¯¯
¯¯ alalım.
0 < lim
n→∞
un≤ lim
n→∞un <∞ ise (xn) ile (yn) aynı oranda yakınsaktır denir (Miller 1982).
Tanım 2.3. A = (ank) reel ya da kompleks terimli sonsuz bir matris ve x = (xk) bir dizi olsun. Her n için
(Ax)n= X∞ k=1
ankxk
yakınsak ise Ax = ((Ax)n) dizisine x = (xn) dizisinin A dönü¸sümü denir. E˘ger Ax∈ c ise x dizisine A- toplanabilirdir denir. c yakınsak diziler uzayı olmak üzere
cA={x : Ax ∈ c}
uzayına da A matrisinin toplanabilirlik alanı denir (Boos 2000).
Tanım 2.4. Ax = ((Ax)n) mevcut olsun. xn → L1 ve (Ax)n→ L2 olsun. E˘ger
n→∞lim
(Ax)n− L2
xn− L1 = 0 (veya ∞ ise)
A matrisi (xn) dizisinin yakınsaklık hızını artırır (veya azaltır) denir. Ne (xn) dizisi ((Ax)n) dizisinden, ne de ((Ax)n) dizisi (xn) dizisinden daha hızlı yakınsak de˘gilse bu durumda A dönü¸sümüne yakınsaklık hızını de˘gi¸stirmeyen dönü¸süm denir (Miller 1973).
Tanım 2.5. A ve B sonsuz matrisleri verilsin. E˘ger her x ∈ cA∩ cB için
n→∞lim(Ax)n= lim
n→∞(Bx)n ise A ve B metodları tutarlıdır denir (Miller 1983).
Tanım 2.6. Yakınsak her diziyi yine yakınsak bir diziye limitleri koruyarak dönü¸stüren matrislere regüler matris denir (Boos 2000).
Regüler matrisler a¸sa˘gıdaki teoremle karakterize edilir.
Teorem 2.1. Reel ya da kompleks terimli sonsuz bir A = (ank) matrisinin regüler olması için gerek ve yeter ¸sart
i)sup
n
X∞ k=1
|ank| < ∞ ii) Her k için lim
n ank = 0 iii) lim
n
X∞ k=1
ank = 1
gerçeklenmesidir (Boos 2000).
Tanım 2.7. Sınırlı dizileri yakınsak dizilere dönü¸stüren A = (ank) matrisine Schur matrisi denir. Schur matrisleri sınıfı τ∗ ile gösterilir (Boos 2000).
3. YAKINSAKLIK ORANLARI VE TOPLANAB˙ILME
Bu bölümde yakınsaklık hızlarının kıyaslanmasına de˘ginilecek ve çe¸sitli metodlar yardımıyla yakınsaklı˘gın hızlandırılması ya da yava¸slatılmasına ili¸skin örnekler ve- rilecektir.
3.1 Yakınsaklık Oranları Önce a¸sa˘gıdaki örne˘gi inceleyelim.
Örnek 3.1.1. (an) dizisi verilsin. E˘ger
x→∞lim e−x X∞ n=0
an
xn n! = L
oluyorsa (an)dizisi L- de˘gerine Borel Toplanabilirdir denir. Borel metoduna kar¸sılık gelen matris regüler olup
cmn= e−mmn
n! ; m, n = 0, 1, 2, . . . ile verilir.
Xan serisinin n− inci kısmi toplamı sn = (−1)n+1n olacak biçimde seçilsin. Borel metodunu (sn) dizisine uygularsak
tm = X∞ n=0
cmnsn
= e−m X∞ n=0
(−1)nmn (n + 1) n!
= e−m X∞ n=0
(−m)n (n + 1)!
µ−m
−m
¶
= e−m
−m X∞ n=0
(−m)n+1 (n + 1)!
= −e−m m
¡e−m− 1¢
; m≥ 1
elde edilir. Buradan m → ∞ için tm → 0 oldu˘gu görülür.
Yakınsaklık oranlarına bakıldı˘gında,
m→∞lim
tm− 0
sm− 0 = lim
m→∞
−e−m(e−m−1)
m (−1)m
m+1
= 0
bulunur. Yani Borel metodu, (sn) dizisinin yakınsaklı˘gını hızlandırır.
Örnek 3.1.2.
X∞ n=0
an serisi verilsin. Euler metoduna kar¸sılık gelen matris
cmn=
2−m−1
m + 1 n + 1
; n≤ m
0 ; n > m
biçimindedir.
Xan serisi n− inci kısmi toplamı
sn= 1− 1 2n+1
olacak biçimde seçilsin. Euler metodunu (sn) dizisine uygularsak
tm = X∞ n=0
cmnsn
= X∞ n=0
2−m−1
m + 1 n + 1
µ
1− 1 2n+1
¶
= X∞ n=0
2−m−1
m + 1 n + 1
−X∞
n=0
2−m−1
m + 1 n + 1
1
2n+1
= 2−m−1¡
2m+1− 1¢
− 2−m−1[−1]
= 1− 2−m−1 µ3
2
¶m+1
elde edilir. Burada m → ∞ için tm → 1 oldu˘gu görülür. Ayrıca
m→∞lim
sm− 1
tm− 1 = lim
m→∞
1− 2m+11 − 1
−2−m−1¡3
2
¢m+1
= lim
m→∞
µ2 3
¶m+1
= 0
bulunur. Yani Euler metodu (sn) dizisinin yakınsaklı˘gını yava¸slatır.
Teorem 3.1.1. Yakınsaklık hızını de˘gi¸stirmeyen ve bazı sınırlı dizileri limitleyen regüler bir A matrisi vardır (Miller 1973).
˙Ispat : Bir A matrisi
amn =
a2n−1,2n−1 = a2n,2n+1 = 1 ; n = 1, 2, . . .
0 ; m≥ 1 ve n ≥ 1
ile tanımlansın. Bu matris (xn)dizisine uygulanırsa
1 0 . . . . 0 0 1 0 . . . . 0 0 1 0 . . . . 0 0 0 0 1 0 . . . 0 0 0 0 1 0 . . . ... ... ... ... ... ... ...
x1
x2
x3
... ... ...
=
x1
x3
x3
x5
x5
...
elde edilir. lim
n xn = Loldu˘gunda lim
n (Ax)n= Lolup A dönü¸sümünün regüler oldu˘gu görülür. Ayrıca
(Ax)n− L xn− L =
½x1− L
x1− L,x3− L
x2− L,x3 − L x3 − L,· · ·
¾
oldu˘gundan dizi sonsuz tane “1” içerir. Dolayısıyla sıfıra yakınsıyamaz. Benzer biçimde
n→∞lim
xn− L (Ax)n− L 6= 0
olaca˘gı gösterilebilir. Yani A dönü¸sümü yakınsaklık hızını de˘gi¸stirmez. E˘ger
xn =
µ1 + (−1)n 2
¶∞
n=1
= (1, 0, 1, 0, . . .)
ile tanımlanan diziye A dönü¸sümü uygulanırsa
Ax = (1, 1, 1, 1, . . .)
dizisi elde edilir. Burada lim Ax = 1 olup verilen dönü¸süm, ıraksak olan x dizisini limitler. ¥
Teorem 3.1.2.
lim sup
m
cmm< 1
olacak biçimde bir negatif olmayan, regüler üçgensel matrislerin (cmn)toplanabilme metodu, bazı sıfır dizilerinin yakınsaklı˘gını yava¸slatır (Miller 1973).
˙Ispat : µ
1 n!
¶∞ n=0
dizisini ele alalım. lim sup
m
cmm < 1 ko¸sulu gerçeklendi˘ginden en az bir ε > 0 ve pozitif bir M1 tamsayısı bulunabilir öyle ki her m ≥ M1 için
cmm< 1− ε
gerçeklenir. (cmn) metodu regüler oldu˘gundan
limm
X∞ n=0
cmn= 1
olup her m ≥ M2 için
Xm n=0
cmn> 1− ε 2
olacak biçimde pozitif bir M2 sayısı vardır. Bu durumda Xm
n=0
cmn =
m−1X
n=0
cmn+ cmm> 1− ε 2 olup
m−1X
n=0
cmn > 1− ε
2 − cmm
> 1− ε
2 − 1 + ε
= ε
2 (3.1.1)
bulunur. ¸Simdi m ≥ maks(M1, M2) olmak üzere 3.1.1 den
1 m! − 0 Xm n=0
cmn1 n! − 0
≤
1 m!
m−1X
n=0
cmn1 n!
≤
1 m!
ε 2(m−1)!
=
1 m(m−1)!
ε 2(m−1)!
= 2
mε elde edilir. ε > 0 sabit ve lim
m 2
mε = 0 oldu˘gundan (cmn) metodu, ¡1
n!
¢ dizisinin yakınsaklı˘gını yava¸slatır. ¥
Teorem 3.1.3. Bir A Schur matrisi ve terimleri sıfırdan farklı olan bir x sıfır dizisi vardır öyle ki A matrisi, x in bir y altdizisinin yakınsaklık hızını ne artırır ne de yava¸slatır (Miller 1973).
˙Ispat : A = (cmn) matrisi
c2m,[|2m4 |] = 1
2m2 ; m = 0, 1, 2, . . . c2m,[|54(2m+1)|] = 1
22m+14 ; m = 0, 1, 2, . . . cm,n = 0 ; di˘ger durumlarda
olacak biçimde tanımlansın. Bu matris (zn) dizisine uygulanırsa
0 0 0 . . . . 1 0 0 . . . . 2−12 2−14 0 . . . . 0 0 0 2−34 0 . . . ... ... ... ... ... ...
z0
z1
z2
z3
...
=
0 z0
z02−12 z12−14 ...
elde edilir. (zn) sınırlı dizi oldu˘gunda m → ∞ için (Az)m → 0 olup A matrisinin Schur matrisi oldu˘gu görülür.
¸ Simdi
x =
½1 2k
¾∞ k=0
ve x dizisinin y altdizisi de
y =
½ 1 2kn
¾∞
n=0
olarak tanımlansın. Yakınsaklık hızlarına bakıldı˘gında
(Ay)2m− 0 y2m − 0 =
1 2m2 2k[|2m4 |]
1 2k2m
= 2k2m−(m2)−k[|2m4 |]
≥ 22m−[|2m4 |]−m2 → ∞ ; m→ ∞
bulunur. Yani ((Ay)2m) alt-dizisi, (y2m) den daha hızlı yakınsak de˘gildir. Ayrıca
0 ≤ (Ay)2m+1− 0 y2m+1− 0
= 2−[|2m+14 |]2−k[|54(2m+1)|]
2−k2m+1
= 2k2m+1−[|2m+14 |]−k[|54(2m+1)|]
≤ 2−2m+14 → 0 ; m→ ∞
oldu˘gundan A matrisinin, x dizisinin bir alt dizisinin yakınsaklı˘gını ne hızlandırıp ne de yava¸slattı˘gı görülür. ¥
Teorem 3.1.4. Bir A Schur matrisi ve terimleri sıfırdan farklı aynı yakınsaklık oranına sahip x ve y sıfır dizileri vardır öyle ki A matrisi, x dizisinin yakınsaklık hızını artırırken y dizisinin yakınsaklık hızını yava¸slatır (Miller 1982).
˙Ispat : A = (cmn) matrisi
cm1 = 1
m ; her m için cm2 = −1
m ; her m için
cmn = 0 ; her m ve n ≥ 3 için
olacak biçimde tanımlansın. Bu dönü¸süm bir (xn) dizisine uygulanırsa
1 −1 0 0 . . .
1
2 −12 0 0 . . .
1
3 −13 0 0 . . . ... ... ... ... ...
x1
x2
x3
...
=
x1− x2
x1−x2
2 x1−x2
.. 3
.
elde edilir. (xm) sınırlı dizi oldu˘gunda
limm (Ax)m = lim
m
x1− x2 m
= 0
oldu˘gundan A, Schur matrisidir.
¸
Simdi (xn)dizisini
x1 = 1 , x2 = 1 ve xn = 1
n2 ; n > 2 ve (yn) dizisini
y1 = 1 , y2 =−1 ve yn = 1
n2 ; n > 2 olacak biçimde tanımlayalım. Böylece
m→∞lim
(Ax)m− 0
(xm)− 0 = lim
m→∞
0
1 m2
= 0
oldu˘gundan A dönü¸sümü, (xn)dizisinin yakınsaklı˘gını hızlandırmı¸stır. Di˘ger yandan
m→∞lim
(Ay)m− 0
(ym)− 0 = lim
m→∞
2 m
1 m2
= ∞
olup A dönü¸sümü, (yn)dizisinin yakınsaklı˘gını yava¸slatmı¸stır. ¥
Teorem 3.1.5. Bir regüler A matrisi ve terimleri sıfırdan farklı aynı yakınsaklık oranına sahip x ve y sıfır dizileri vardır öyle ki A matrisi, x dizisinin yakınsaklık hızını artırırken y dizisinin yakınsaklık hızını yava¸slatır (Miller 1982).
˙Ispat : A matrisini (C, 1) Cesàro matrisi olarak alalım. Burada
A =
1 0 0 . . . .
1 2
1
2 0 . . . .
1 3
1 3
1
3 0 . . . . ... ... ... ... ... ...
1 n
1
n . . . n1 0 . . . ... ... ... ... ... ...
olup böylece A matrisinin regüler oldu˘gu açıktır.
x = (xn)dizisini
x = µ
1,−1,1 2,−1
2,1 3,−1
3,· · ·
¶
ve y = (yn) dizisini
y = µ
1, 1,1 2,1
2,1 3,1
3,· · ·
¶
olacak biçimde seçelim. Burada x ∈ c0 ve y ∈ c0 olup dönü¸süm bu dizilere uygu- lanırsa
Ax = µ
1, 0,1
6, 0, 1
(n + 1) (2n + 1), 0,· · ·
¶
Ay = (1,1 2+ 1
2,1 3+ 1
3+ 1 2.3,· · ·) elde edilir.
Yakınsaklık oranını tek ve çift indisli terimler olarak iki kısımda inceleyece˘giz.
(Ax)2n− 0
x2n− 0 = 0
−n1 → 0 ; n→ ∞
(Ax)2n+1− 0 x2n+1− 0 =
1 (n+1)(2n+1)
1 (n+1)
→ 0 ; n→ ∞
oldu˘gundan A dönü¸sümü (xn)dizisinin yakınsaklık hızını artırır. Di˘ger yandan (Ay)2n− 0
y2n− 0 =
2 2n
¡1 +12 +· · · +n1¢
1
∼ n
= log n→ ∞ ; n→ ∞
(Ay)2n+1− 0 y2n+1− 0 =
£2¡
1 +12 +13 +· · · +n1¢
+n+11 ¤ 1
2n+1 1
n+1
=
·
2 (n + 1) (2n + 1)−1 µ
1 +1
2 +· · · + 1 n
¶¸
+ 1
2n + 1 → ∞ ; n → ∞ oldu˘gundan A dönü¸sümü (yn) dizisinin yakınsaklık hızını yava¸slatır. ¥
Teorem 3.1.6. A metodu (xn) dizisinin yakınsaklık hızını yava¸slatırken B metodu (xn) dizisinin yakınsaklık hızını artıracak ¸sekilde regüler A ve B denk toplanabilme metodları ve tüm terimleri sıfırdan farklı olan bir x sıfır dizisi vardır (Miller 1983).
Bu teorem ispatsız verilecektir.
3.2 F- Yakınsaklık Oranları
xn
yn oranında paydada bazı terimlerin sıfır olması halinde birinci kısımda verilen tanım- ların kullanılmayaca˘gı açıktır. Bu yüzden Fridy (1978) a¸sa˘gıdaki tanımları geli¸stir- mi¸stir.
Tanım 3.2.1. lim
n xn= L1 ve lim
n yn= L2 iken lim
n→∞
¯¯
¯¯
xn− L1 yn− L2
¯¯
¯¯ = 0 ve limn→∞
¯¯
¯¯
xn− L1 yn− L2
¯¯
¯¯ = +∞
oluyorsa (xn) ve (yn)dizilerinin yakınsaklık oranları kıyaslanamıyordu, bu durumda
limn tn= L ve ρmt =maks
n>m |tn− L|
olmak üzere
limn
ρnx
ρny = 0 ise x dizisi, y dizisinden (F) hızlı yakınsar (3.2.1) limn
ρnx
ρny = +∞ ise x dizisi, y dizisinden (F) yava¸s yakınsar (3.2.2) 0 < lim
n
ρnx
ρny ≤limn ρnx
ρny < +∞ ise
x ve y dizileri aynı oranda yakınsar (3.2.3) lim
n
ρnx
ρny = 0 ve lim
n
ρnx
ρny = +∞ ise
x ve y dizileri kıyaslanamaz (3.2.4)
denir (Fridy 1978).
¸
Simdi de klasik anlamda hızlı yakınsamanın Fridy anlamında hızlı yakınsamayı gerek- tirece˘gini gösterelim.
Tanım 2.1.den tüm terimleri sıfırdan farklı olan (xn) ve (yn) dizileri için n → ∞ olmak üzere xn→ L1 ve yn→ L2 oldu˘gunda
limn
xn− L1 yn− L2 = 0
oluyorsa (xn) dizisinin (yn) dizisinden daha hızlı yakınsak oldu˘gunu biliyoruz. Bu- rada
xn− L1 yn− L2 = εn
alırsak
limn εn = 0 olacaktır. O halde xn− L1 = εn(yn− L2) oldu˘gunda
ρmx = maks
n>m |xn− L1|
= maks
n>m |εn(yn− L2)|
≤ maksn>m |εn| maksn>m |yn− L2|
= ρmε.ρmy
elde edilir. Yani
ρmx
ρmy ≤ ρmε olup her iki yanın limiti alınırsa
limm
ρmx
ρmy ≤ limm ρmε = 0 bulunur. Dolayısıyla
limm
ρmx ρmy = 0
gerçeklendi˘gi için (xn) dizisinin (yn) dizisinden (F) hızlı yakınsak oldu˘gunu söyleye- biliriz.
Teorem 3.2.1. Aregüler matris ve reel terimli azalmayan bir t sıfır dizisi için bir y sıfır dizisi vardır öyle ki t dizisi Ay dizisinden daha hızlı yakınsaktır (Fridy 1978).
Bu teorem ispatsız olarak verilecektir.
4. ˙ISTAT˙IST˙IKSEL VE T- ˙ISTAT˙IST˙IKSEL YAKINSAKLIK ORANLARI
Bu bölümde istatistiksel yakınsaklık tanımı verilecek ve buna ba˘glı olarak istatistiksel yakınsaklık oranları incelenecektir.Ayrıca T - istatistiksel yakınsaklık oranları da yine bu bölümde ele alınacaktır.
4.1 ˙Istatistiksel Yakınsaklık Oranları
Tanım 4.1.1. N nin bir E alt cümlesi için En := {k ∈ N : k ≤ n} olmak üzere En cümlesinin eleman sayısı |En| ile gösterilsin.
limn
1 n|En|
limiti mevcut ise bu limit de˘gerine E cümlesinin yo˘gunlu˘gu denir ve δ (E) ile gösterilir (Niven and Zuckerman 1980).
Örne˘gin
δ (N) = 1
δ{n2 : n∈ N} = 0 δ{2n : n ∈ N} = 12 oldu˘gu gösterilebilir.
Bundan sonra δ (E) 6= 0 durumunu, E kümesinin sıfırdan farklı yo˘gunlu˘ga sahip oldu˘gu ya da bir yo˘gunlu˘ga sahip olmadı˘gı anlamında dü¸sünece˘giz.
E˘ger bir P özelli˘gini gerçeklemeyen k indislerinin kümesi sıfır yo˘gunluklu ise xk, P özelli˘gini hemen her k için gerçekler denir.
Tanım 4.1.2. (xk)reel ya da kompleks terimli bir dizi olsun. E˘ger her ε > 0 için
limn
1
n|{k ≤ n : |xk− L| ≥ ε}| = 0
olacak biçimde bir L sayısı varsa bu durumda x dizisi L de˘gerine istatistiksel yakın- saktır denir ve
st lim x = L
Aslında bu tanım Zygmund (1979) tarafından “hemen hemen yakınsaklık” olarak adlandırılmı¸stır.
˙Istatistiksel diziler uzayı st olmak üzere c ⊂ st sa˘glanır. Gerçekten de
k→∞lim xk = L ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N 3 ∀n ≥ n0 olmak üzere |xn− L| < ε
⇔ ∀ε > 0, Eε={n : |xn− L| ≥ ε} sonludur.
O halde her ε için δ (Eε) = 0 gerçeklenir. Böylece st lim
k xk = L elde edilir.
Ancak kar¸sıt içerme her zaman do˘gru de˘gildir. ¸Simdi buna ili¸skin bir örnek verile- cektir.
Örnek 4.1.1.
xk=
1, k = m2 0, k 6= m2 dizisini ele alalım.
limk xk = 1 ve lim
k
xk= 0
oldu˘gundan (xk) dizisinin yakınsak olmadı˘gı görülür. Buradan
Eε={k : |xk− 0| ≥ ε}
olmak üzere her ε > 0 için δ (Eε) = 0 olup st lim x = 0 elde edilir. Yani (xk) ∈ st bulunur.
Ayrıca uyaralım ki istatistiksel yakınsaklık sınırlılı˘gı gerektirmez ancak klasik an- lamda yakınsaklık sınırlılı˘gı gerektirir.
Tanım 4.1.3. (xn)ve (yn) sıfır dizileri için
st lim
n
xn
yn
= 0
ise (xn) dizisi (yn)dizisinden istatistiksel daha hızlı yakınsaktır (Fridy et. al. 2003).
Teorem 4.1.1.
st lim
k xk = L⇔ δ {nk : k ∈ N} = 1 ve limk xk = L olacak biçimde en az bir (nk) indis dizisi vardır (Salat 1980, Fridy 1985).
Teorem 4.1.2. A terimleri sıfırdan farklı sıfır dizilerinin bir sınıfı olsun. O halde terimleri sıfırdan farklı bir z = (zn)sıfır dizisi vardır ve bu (zn) dizisinin A daki her bir (xn) dizisinden istatistiksel daha hızlı yakınsak olması için gerek ve yeter ¸sart (i) Hemen her An ve her x ∈ A için limn 1n|{k ≤ n : x ∈ Ak}| = 1
(ii) Her bir n için yn = inf{|xn| : x ∈ An} > 0
ko¸sullarını gerçekleyecek ¸sekilde A nın bir alt sınıfının bir (An)∞n=1dizisinin mevcut olmasıdır (Fridy et al. 2003).
˙Ispat : Gereklilik :
st lim
n
zn
xn
= 0 olsun ve
An ={x ∈ A : |xn| > |zn|}
tanımlansın. Hemen her n ve An deki her x için x ∈ A olup An ⊆ A bulunur.
Hipotezden her ε > 0 için
limn
1 n
¯¯
¯¯
½
k≤ n :
¯¯
¯¯zk
xk
¯¯
¯¯ ≥ ε
¾¯¯¯¯ = 0
gerçeklenir. ε = 1 alındı˘gında
limn
1
n|{k ≤ n : |zk| < |xk|}| = 1
olur, böylece (i) ¸sartı sa˘glanır. ¸Simdi bir y = (yn)dizisi
yn= inf{|xn| : x ∈ An}
olacak biçimde tanımlansın. E˘ger
An6= ∅ ise yn≥ |zn| > 0 An=∅ ise yn= inf∅ = ∞ > 0 olup (ii) ¸sartı elde edilir.
Yeterlilik : A terimleri sıfırdan farklı sıfır dizilerinin bir sınıfı olsun. Ayrıca (i) ve (ii) ¸sartları sa˘glansın.
zn =
min©yn
n,1nª
;e˘ger An6= ∅ ise
1
n ;e˘ger An=∅ ise ile tanımlanan (zn) pozitif terimli bir sıfır dizisidir.
E˘ger x ∈ A ise hemen hemen her n için x ∈ An olur. Yani hemen her n için 0 < yn≤ |xn| gerçeklenir. Böylece hemen her n için
zn
|xn| ≤ yn
n· |xn| < 1 n
sa˘glanır. n → ∞ için limit alınırsa st lim|xznn| = 0 bulunur. Bu da z dizisinin x dizisinden istatistiksel hızlı yakınsadı˘gını gösterir. ¥
Teorem 4.1.3. A terimleri sıfır olmayan sıfır dizilerinin bir sınıfı olsun. A daki her bir x dizisinden istatistiksel daha yava¸s yakınsak olan ve negatif olmayan bir z sıfır dizisinin var olması için gerek ve yeter ¸sart bir (εn)∞n=1 pozitif terimli sıfır dizisi ve artan (Nn)∞n=1 dizisi için
(i) ∀n için sup {|xk| : x ∈ An, Nn−1< k < Nn} ≤ ε2n
(ii) ∀x ∈ A, δ(nx) = 1 ; nx =S
{(Nn−1, Nn] ; x∈ An}
ko¸sulları gerçeklenecek ¸sekilde A nın bir alt sınıfının bir (An)∞n=1 dizisinin mevcut olmasıdır (Fridy et al. 2003).
˙Ispat :
Gereklilik : z ∈ c0 olmak üzere her k için zk 6= 0 olsun. z = (zk), A daki her x = (xk) dizisinden istatistiksel olarak daha yava¸s yakınsasın.
Nn= n ; n = 0, 1, 2, . . . ε2n=|zn| ; n ≥ 1
olmak üzere
An = {x ∈ A : |xn| < |zn|}
= {x ∈ A : |xk| < |zk| , Nn−1 < k < Nn}
sınıfı tanımlansın. E˘ger An 6= ∅ ise
sup{|xk| : x ∈ An, Nn−1 < k < Nn} = sup {|xn| : x ∈ An}
≤ |zn|
= ε2n
olur. E˘ger An =∅ ise −∞ < ε2 elde edilir. Yani (i) gerçeklenir.
x∈ A alalım.
st lim
¯¯
¯¯xn
zn
¯¯
¯¯ = 0 oldu˘gunu kabul etmi¸stik, böylece
δ{n ∈ N : |xn| < |zn|} = 1
olup dolayısıyla
δ{n ∈ N : x ∈ An} = 1
elde edilir. O halde
δ [S
{(Nn−1, Nn] : x∈ An}] = 1 olup (ii) gerçeklenmi¸stir.
Yeterlilik : Kabul edelim ki A, (An) , (εn)ve (Nn)için hipotezdeki ko¸sullar sa˘glan- sın. z dizisini a¸sa˘gıdaki gibi tanımlayalım.
z1 = z2 = . . . = zN1 = ε1
z1+N1 = z2+N1 = . . . = zN2 = ε2
z1+N2 = z2+N2 = . . . = zN3 = ε3
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
x, A daki sabit bir dizi olarak alındı˘gında, Nn0−1 < k < Nn0 olmak üzere x ∈ An0
için
|xk| ≤ ε2n0
sa˘glansın. Dolayısıyla
¯¯
¯¯zk
xk
¯¯
¯¯ = εn0
|xk|
≥ εn0
ε2n0
= 1
εn0
elde edilir. O halde
limk
¯¯
¯¯ zk
xk
¯¯
¯¯ = ∞ olur. (ii) den
δ(nx) = 1 oldu˘gundan her x ∈ A için
st lim
n
¯¯
¯¯zn
xn
¯¯
¯¯ = +∞
bulunur. Böylece z, x den istatistiksel daha yava¸s yakınsar. ¥
Tanım 4.1.4. N1, N2 ⊂ N olmak üzere N1 ve N2 cümleleri sıfır yo˘gunluklu olmasın.
limn xn= L1 ve lim
n yn= L2
olacak biçimdeki (xn)ve (yn)dizileri için
n∈Nlim1
¯¯
¯¯xn− L1 yn− L2
¯¯
¯¯ = 0 ve limn∈N2
¯¯
¯¯xn− L1 yn− L2
¯¯
¯¯ = +∞
sa˘glanıyorsa bu iki dizinin yakınsaklı˘gı istatistiksel olarak kıyaslanamaz denir (Fridy et al. 2003).
Örnek 4.1.2. x, y, z ∈ c0 olacak biçimdeki diziler a¸sa˘gıdaki gibi tanımlansın.
xn =
√1n ; n tam kare
1
n2 ; di˘ger durumlarda zn =
√1n ; n tek ise
1
n2 ; nçift ise yn = n1 ; her n için
˙Ilk olarak
xn
yn
=
√n ; ntam kare
1
n ; di˘ger durumlarda olup
lim
n
¯¯
¯¯xn
yn
¯¯
¯¯ = 0 ve limn
¯¯
¯¯xn
yn
¯¯
¯¯ = +∞
elde edilir ki bu (xn) ve (yn) dizilerinin klasik anlamda kıyaslanamaz oldu˘gunu gös- terir. Di˘ger yandan
st lim
¯¯
¯¯xn
yn
¯¯
¯¯ = 0 olup diziler istatistiksel anlamda kıyaslanabilirdir.
Ayrıca
zn
yn
=
√n ; n tek ise
1
n ; nçift ise olup
N1 = {2n − 1; n ∈ N} için δ(N1) = 1 2 6= 0 ve
N2 = {2n; n ∈ N} için δ(N2) = 1 2 6= 0 sa˘glanır. Buradan
n∈Nlim1
¯¯
¯¯zn
yn
¯¯
¯¯ = ∞ ve limn∈N2
¯¯
¯¯zn
yn
¯¯
¯¯ = 0
elde edilir ki bu (zn)ve (yn)dizilerinin hem klasik hem de istatiksel anlamda kıyaslana- maz oldu˘gunu gösterir.
Tanım 4.1.5. xve y negatif olmayan sıfır dizileri olsun. N ⊆ N ve δ(N) = 1 olacak biçimdeki bir N cümlesi için
n∈Nlim
¯¯
¯¯xn
yn
¯¯
¯¯ < +∞ ve limn∈N
¯¯
¯¯xn
yn
¯¯
¯¯ > 0
¸sartları sa˘glanıyorsa bu iki dizi istatistiksel anlamda aynı oranda yakınsar denir ve st (x ∼ y) ile gösterilir (Fridy et al. 2003).
Teorem 4.1.4. A terimleri sıfırdan farklı sıfır dizilerinin bir sınıfı olsun. A daki her bir x dizisi ile aynı oranda istatistiksel yakınsayan terimleri sıfırdan farklı bir z sıfır dizisinin var olması için gerek ve yeter ¸sart A daki her bir x, y dizileri için st (x ∼ y) olmasıdır (Fridy et al. 2003).
˙Ispat :
Gereklilik : A daki her bir diziyle istatistiksel anlamda aynı oranda yakınsayan bir
u dizisi mevcut olsun. O halde
st (x ∼ u) , x ∈ A st (y ∼ u) , y ∈ A
ise st (x ∼ y) elde edilir.
Yeterlilik : Bu kısım açıktır.
Teorem 4.1.5. Bir A Schur matrisi ve terimleri sıfırdan farklı bir (xn) sıfır dizisi vardır öyle ki A dönü¸sümü (xn) dizisinin bir alt dizisinin istatistiksel yakınsaklı˘gını ne hızlandırır ne de yava¸slatır (Fridy et al. 2003).
˙Ispatı klasiktekine benzer biçimde yapılaca˘gından burada yer verilmeyecektir.
Teorem 4.1.6. Terimleri sıfırdan farklı bir (xn) sıfır dizisinin yeniden düzen- lemesinin yakınsaklık hızını istatistiksel anlamda ne artıracak ne de yava¸slatacak biçimde bir A Schur matrisi vardır (Fridy et al. 2003).
˙Ispat : A = (amn) matrisi
a2m+1,2m+1 = 2(m+1)1 ; m = 0, 1, 2, 3, . . . a2m,1 = 2m1 ; m = 1, 2, 3, . . . ank = 0 ; di˘ger durumlarda olacak biçimde tanımlansın. (zm)dizisinin A dönü¸sümü
1
2 0 0 0 . . .
1
2 0 0 0 . . . 0 0 14 0 . . .
1
4 0 0 0 . . . ... ... ... ... ...
z1
z2
z3
z4
...
=
z1
2 z1
2 z3
2 z1
2
...
olacaktır. (zm)∈ `∞ oldu˘gunda
limm (Az)m = 0
Her n için
xn = 1 n2 olarak alalım. x dizisinin bir yeniden düzenlemesini
y =©
xσ(m)ª∞ m=1
olarak alalım. O halde
limm
(Ay)2m+1− 0
y2m+1− 0 = lim
m 1
2(m+1)y2m+1
y2m+1
= 0
olması A matrisinin y dizisinin istatistiksel yakınsaklık hızını yava¸slatmadı˘gını gös- terir.
¸
Simdi sıfır yo˘gunluklu olmayan bir N cümlesinde (mk) dizisini
limm
(Ay)2mk − 0 y2mk− 0 =∞ olacak ¸sekilde seçilebilece˘gini gösterece˘giz. Burada
(Ay)2mk − 0 y2mk − 0 =
1 2mkxσ(1)
xσ(2mk)
= [σ(2mk)]2 2mk
xσ(1)
olur. Öncelikle
L =
½
2m : σ(2m) 2m < 1
10
¾
ve M = {2m : m ∈ N}
kümeleri tanımlansın. Burada
δ{(M \ L)} 6= 0
oldu˘gunu göstermeliyiz. Bunun için
Lk={2m ∈ L : 2m ≤ k}
ile tanımlansın. E˘ger 2m ∈ Lk ise
σ(2m) 2m < 1
10 olup buradan da
σ(2m) < 2m 10 < k
10 elde edilir yani
|Lk| k < 1
10 olur. O halde
M \ L =
½
2m : m ∈ N ve σ(2m) 2m ≥ 1
10
¾
olup
δ{(M \ L)} 6= 0
bulunur. M \ L kümesini (2mk) dizisi olarak yazabiliriz, böylece (Ay)2mk
y2mk
≥
¡2mk
10
¢2
xσ(1)
2mk → ∞ ; k → ∞
olacaktır. Bu da A matrisinin, y dizisinin istatistiksel yakınsaklı˘gını hızlandırmadı˘gını gösterir. Yani A dönü¸sümü, y dizisinin istatistiksel yakınsaklı˘gını ne artırır ne de yava¸slatır.. ¥
Sonuç 4.1.1. Keyfi x, y ∈ c0 alalım. y dizisinden istatistiksel anlamda daha hızlı yakınsak olacak biçimde x dizisinin bir xσ yeniden düzenlemesi vardır (Fridy et al.
2003).
˙Ispat : ˙Ilk olarak klasik anlamda yakınsaklık söz konusu oldu˘gunda bunun mümkün olmadı˘gını gösterelim. Çünkü,
xn = yn = 1
biçiminde seçilen diziler için
I. Durum : {n : σ (n) = n} sonsuz ise bu durumda sonsuz çokluktaki n ler için xσ(n)
yn
= 1
oldu˘gundan xσ, y dizisinden daha hızlı yakınsak de˘gildir.
II. Durum : {n : σ (n) = n} sonlu ise
E ={n : σ (n) < n} ve F = {n : σ (n) > n}
cümleleri sonsuz olmak zorundadır (Miller 1983).
Her bir n ∈ E için xσ(n)
yn
> 1 ve her bir n ∈ F için xσ(n)
yn
< 1
oldu˘gundan xσ, y dizisinden daha hızlı yakınsayamaz.
Bu iki durum bize yeniden düzenlemenin klasik anlamda y den daha hızlı yakınsak olamayaca˘gını gösterir.
¸
Simdi bunun istatistiksel anlamda mümkün olabilece˘gini gösterelim. N cümlesinin
N0 ={s1, s2, . . .} için δ(N0) = 0 ve N1 ={t1, t2, . . .} için δ(N1) = 1
olacak biçimde iki ayrık parçalanmasını alalım. Burada
1 < m1 < m2 < . . . <∞
olacak biçimde pozitif tamsayıların artan bir {mk} indis dizisi ele alınsın ve her k için
xmk
ytk
< 1
k (4.1.1)
sa˘glansın. σ yeniden düzenlemesini
σ(t1) = m1, σ(t2) = m2, . . .
biçiminde olu¸sturalım. Ayrıca
N \ (mk) = (nk)
ile tanımlarsak, (nk) artandır. ¸Simdi her k için σ(sk) = nk tanımlayalım. Böylece σ : N → N birebir ve örtendir. 4.1.1 den her k için
xσ(tk)
ytk
= xmk
ytk
< 1 k olup
limk
xσ(tk)
ytk
= 0
elde edilir. δ(N1) = 1oldu˘gundan x dizisinin yeniden düzenlemesi olan xσ, y dizisin- den istatistiksel daha hızlı yakınsaktır.
4.2 T - ˙Istatistiksel Yakınsaklık Oranları
Bu kısımda, T = (tnk)negatif olmayan regüler bir matris olmak üzere T - istatistiksel yakınsaklık tanıtılacak ve T - istatistiksel yakınsaklık hızları incelenecektir.
˙Ilk olarak bazı hatırlatmalar yapmakta yarar vardır. Hatırlanaca˘gı gibi
st lim
k xk = L ⇔ ∀ε > 0, K(ε) = {k ∈ N : |xk− L| ≥ ε}
kümesini sıfır yo˘gunluklu olmasıdır.
⇔ ¡
C1χK(ε)¢
n→ 0 ; n → ∞
olmasıdır. Yukarıdaki ifadede Cesàro matrisi yerine herhangi negatif olmayan, regüler T matrisleri de alınabilir.
O halde a¸sa˘gıdaki tanımı yapabiliriz.
Tanım 4.2.1. K ⊆ N cümlesi için
δT(K) = limX
n∈K
tmn
mevcut ise K cümlesi T yo˘gunlukludur denir (Freedman and Sember 1981).
E˘ger bir P özelli˘gini gerçeklemeyen k indislerinin kümesinin T - yo˘gunlu˘gu sıfır ise xk, P özelli˘gini T - hemen her k için gerçekler denir.
Tanım 4.2.2. Her ε > 0 için
limm
Xm n=1
{tmn :|xn− L| ≥ ε} = 0
sa˘glanıyorsa (xn)dizisinin L de˘gerine T - istatistiksel yakınsaktır denir ve stT lim x = Lile gösterilir (Connor 1989, Kolk 1993, Miller 1995).
Tanım 4.2.3. (xn)dizisinin T - istatistiksel yakınsak olması,
δT ({n ∈ N : |xn− L| < ε}) = 1
olmasına denktir (Kolk 1993, Miller 1995).
Uyarı 4.2.1. Bu bölümde T matrisi a¸sa˘gıdaki gibi seçilecektir.
tmn > 0 ; n≤ m tmn = 0 ; n > m P∞
n=1
tmn = 1 ; her m için limm tmn = 0 ; her n için
Tanım 4.2.4. x 6= 0, z 6= 0, limn xn = 0, lim
n zn = 0 olacak biçimde alınan (xn) ve (zn) dizileri için
stT lim zn
xn
= 0
ise (zn)dizisi, (xn)dizisinden T - istatistiksel daha hızlı yakınsaktır denir (Miller and Orhan 2004).
A¸sa˘gıdaki örnekle T - istatistiksel yakınsaklık hızının, seçilen T matrisine ba˘glı oldu˘gunu gösterece˘giz.
Örnek 4.2.1.
xn = 1
n ; her n için
yn =
1
n2 ; n tek ise
√1
n ; nçift ise
olacak biçimde x ve y sıfır dizilerini ele alalım. Her m için T1 metodunu
¡tmn(1)¢
= Xm n=1
£tmn(1) : nçift¤
= 1− 1 m
¡tmn(1)¢
= Xm n=1
£tmn(1) : n tek¤
= 1 m
olarak seçelim. Her m için T2 metodunu da benzer biçimde ancak tek ve çift indisli terimler yer de˘gi¸stirilerek olu¸sturulsun. Bu ¸sekilde alınan T1 ve T2 metodları için
x dizisi T1- istatistiksel olarak y dizisinden daha hızlı, y dizisi T2- istatistiksel olarak x dizisinden daha hızlı
yakınsaktır.
A¸sa˘gıdaki teorem, bir önceki bölümde verilen Teorem 4.1.2. nin bir benzeridir.
Teorem 4.2.1. A tüm terimleri sıfır olmayan sıfır dizilerinin bir sınıfı olsun ve T regüler matrisi yukarıdaki gibi alınsın. A daki her bir x dizisinden T - istatistiksel olarak daha hızlı yakınsayan bir z (her n için zn 6= 0) sıfır dizisinin mevcut olması için gerek ve yeter ¸sart A daki (An)∞n=1 dizileri için
(i) A daki her bir x, T - hemen her An kümesine aittir, yani
limn
X∞ k=1
[tnk : x∈ Ak] = 1
(ii) Her n için
yn = inf{|xn| : x ∈ An} > 0
olacak biçimde A nın bir alt sınıfının bir (An)dizisinin mevcut olmasıdır (Miller and Orhan 2004).
˙Ispat :
Gereklilik : z dizisi, A daki her bir x dizisinden T - istatistiksel olarak daha hızlı yakınsak olsun.
An={x ∈ A : |xn| > |zn|}
tanımlayalım. Her n ve her x ∈ A için An ⊆ A olmak üzere
δT
µ½
n∈ N :
¯¯
¯¯zn
xn
¯¯
¯¯ < ε = 1
¾¶
= 1
oldu˘gu hipotezden biliniyor. Yani
δT ({n ∈ N : |zn| < |xn|}) = 1
olup buradan
δT ({k : x ∈ Ak}) = 1 bulunur. Yani
limn
X∞ k=1
[tnk : x∈ Ak] = 1 geçeklenir. Ayrıca
An 6= ∅ ise yn= inf{|xn| : x ∈ An} ≥ |zn| > 0 An = ∅ ise yn= inf∅ = ∞ > 0
olup (ii) ¸sartı sa˘glanır.
Yeterlilik : (An)∞n=1 dizisi için (i) ve (ii) ¸sartları sa˘glansın. (zn) dizisi
zn=
min (yntn, tn) ; An6= ∅ tn ; An=∅ olacak biçimde tanımlansın, burada
tn= min (tn1, tn2, . . . , tnn)
ile verilir.
0 < tn≤ 1 n
oldu˘gu açıktır. Böylece (zn) dizisinin terimleri sıfır olmayan bir sıfır dizisi oldu˘gu açıktır.
E˘ger x ∈ A ise T - hemen her n için x ∈ An olup
0 < yn≤ |xn|
sa˘glanır. Böylece T - hemen her n için zn
|xn| ≤ yntn
|xn|
≤ tn
≤ 1
n bulunur. Böylece
stT lim zn
|xn| = 0
olup z dizisi, x dizisinden T - istatistiksel daha hızlı yakınsaktır. ¥
Hemen belirtelim ki istatistiksel yakınsaklık oranları için verilen sonuçların hemen hepsi T - istatistiksel yakınsaklık oranları için de verilebilirdi. Ancak burada sadece bir örnek olarak Teorem 4.2.1 verilmi¸stir.
KAYNAKLAR
Boos, J. 2000. Classical and Modern Methods in Summability. Oxford Science Publications, 46-47.
Connor, J. 1989. On strong matrix summability with respect to a modulus and statistical convergence. Canad. Math. Soc, 32, 194-198.
Fast, H. 1951. Sur la convergence statistique. Colloq. Math, 2, 241-244.
Freedman, A. R. and Sember, J. J. 1981. Densities and Summability. Pasific J.
Math, 95, 293-305.
Fridy, J. 1978. Minimal rates of summability. Canad. J. Math, 30, 808-816.
Fridy, J. 1985. On statistical convergence. Analysis, 5, 301-313.
Fridy, J. A, Miller, H. I. and Orhan, C. 2003. Statistical Rates of Convergence. Acta Sci. Math. (Szeged), 69, 147-157.
Kolk, E. 1993. Matrix summability of statistically convergent sequences. Analysis, 13, 77-83.
Miller, H. I. 1973. Rates of Convergence and Summability. Radovi XLV, 85-92.
Miller, H. I. 1982. Futher Results About Rates of Convergence and Summability.
Radovi LXIX, 79-85.
Miller, H. I. 1983. Rates of Convergence and Summability Theory. Radovi LXXIV, 39-55.
Miller, H. I. 1995. A measure theoritical subsequence characterization of statistical convergence. Trans. Amer. Math. Soc, 347, 1811-1819.
Miller, H. I. and Orhan, C. 2004. Statistical (T) Rates of Convergence. Glasnik Matematiˇcki, Vol. (39) 59, 101-110.
Niven, I. and Zuckerman, H. S. 1980. An Introduction to the Theory of Numbers.
John Waley and Sons, 4th ed. New York.
Salat, T. 1980. On statistically convergent sequences of real numbers. Math. Slo- vaco, 30, 139-150.
ÖZGEÇM˙I¸S
Adı Soyadı : Tuba AYDO ˘GAN Do˘gum Yeri : Ankara
Do˘gum Tarihi : 22. 09.1982
E˘gitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise : Çankaya Cumhuriyet Lisesi (Süper Lise), 1996 − 2000 Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi
Matematik Bölümü , 2000 − 2004
Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı, 2004 − 2006
