FZM 306: Kuantum Mekaniği II
7. HAFTA
Deniz Yılmaz
KAYNAKLAR
Bu ders sunumu hazırlanırken aşağıdaki kaynak kullanılmıştır:
Kuantum Mekaniği ve Atom Fiziği Ders Notları Z. Zekeriya AYDIN
Ankara Üniversitesi
Açısal Momentumun Analizi
Bu kesimde açısal momentumun kuantum teorisini en temel yanlarıyla inceleyeceğiz. L2 ve Lz' nin özdeğer denklemini çözmeye çalışacağız.
x = r sinθ cosφ , y = r sinθ sinφ , z = r cosθ Küresel koordinatların
Lz=−i ℏ ∂
∂ ϕ
tanımını kullanarak açısal momentum bileşenleri küresel koordinatlarda
Lx=i ℏ
(
sin ϕ ∂∂θ +cos ϕcot θ ∂∂ ϕ
)
Ly =i ℏ
(
−cosϕ ∂∂θ +sin ϕ cot θ ∂∂ ϕ
)
ve
L2 işlemcisi de
olarak bulunur. Görüldüğü gibi L2 yalnızca θ ve φ' ye bağlıdır.
L2=−ℏ2
(
sin θ1 ∂∂θ(
sin θ ∂∂θ)
+sin12θ∂2
∂ ϕ2
)
Cebirsel yöntemle açısal momentum analizinde çok önemli rol oynayan
L+ = Lx + iLy ve L+ = Lx - iLy
işlemcilerini tanımlayalım. L+ ve L- işlemcileri Hermitik değillerdir:
(L+ )†= L- (L- )†= L+
Bu iki işlemci ile ilgili aşağıdaki yerdeğiştirme bağıntıları hemen gösterilebilir:
Son olarak da açısal momentumun karesi [Lz , L+ ] = ћL+
[Lz , L- ] = -ћL- [L+ , L- ] = 2ћLz [L2 , L±] = 0
L2=Lx2+L2y +L2z = L+ L−+L2z−ℏ Lz
= L− L++Lz2+ ℏLz şeklinde çeşitli ifadelerle yazılabilir.
Lz ve L2' nin özdeğer denklemlerini çözmeye başlayabiliriz.
Önce Lz için olan denklemi çözmeye çalışalım.
Lz Y(θ, φ) = mћY(θ, φ)
−i ℏ ∂
∂ϕ Y (θ,ϕ )=m ℏ Y (θ,ϕ)
Bu denklem
L2 Y(θ, φ) =
l
(l
+1)ћ2Y(θ, φ)Y (θ,ϕ )=Θ(θ )Φ(ϕ)
şeklinde θ ve φ değişkenlerine ayrılarak çözülebilir:
d
dϕ Φ (ϕ)=imΦ(ϕ )
Bu diferensiyel denklemin çözümü
şeklinde olup C bir boylandırma sabitidir: C = 1/(2π)1/2 . Çözümün φ' deki değeriyle φ+2π' deki değerinin aynı olması gerektiğinden m yalnızca
tamsayı değerlerini alır. Φ(φ) özfonksiyonları birim boylu ve karşılıklı diktirler:
⟨Φm|Φm' ⟩≡
∫
0 2 π
Φm(ϕ)Φm' (ϕ) d =δϕ mm'
Y(θ, φ) çözümlerini Yl m (θ, φ) şeklinde l ve m indisleriyle yazabiliriz.
Φ (ϕ)=Ceimϕ
m = 0, ±1, ±2, ±3, …
< Yl ' m' | Yl m > = δl l' δmm'
Şimdi de
denkleminde yerine yazarsak
Şeklinde bağlı Legendre diferensiyel denklemi elde edilir. Bu denklem çözülerek Θl m
(
θ) fonksiyonları bulunur ve Φ
m(
φ) ile birleştirildiğinde
Yl m(θ, φ) küresel harmonikleri elde edilmiş olur.L2 Y(θ, φ) =
l
(l
+1)ћ2Y(θ, φ) Y (θ,ϕ )=Θ(θ )Φ(ϕ)ifadesini
−ℏ2
(
sin θ1 dθd(
sin θ dθd)
−sinm22θ)
Θlm(θ)=l (l+ 1)ℏ2Θlm(θ)Burada L2' nin özdeğer denklemi işlemci yöntemiyle çözülecek.
sonucu bulunur. Şimdi de (L±Yl m ) fonksiyonlarına L2 ve Lz ' yi uygulayalım:
l
(l
+1) ≥0 skaler çarpımından<Yl m |L2 Yl m > = <LxYl m |LxYl m >+ <LyYl m |LyYl m >+ <LzYl m |LzYl m >
L2(L±Y
l m ) =
l
(l
+1)ћ2(L±Yl m )LZ(L±Yl m ) = (m ± 1)ћ(L±Yl m ) Bu sonuçlardan sonra
L±Yl m
= C
±(l
,m
)Yl , m±1yazabiliriz.
L± işlemcilerine arttırma ve azaltma işlemcileri (ya da yükseltme ve alçaltma işlemcileri) genel olarak da basamak işlemcileri adları verilir.
L+Ylm ve L-Ylm fonksiyonlarının
eşitliklerini buluruz. Bu da
<L+Yl m |L+Yl m >=<Yl m |L-L+Yl m > ≥ 0
<L-Yl m |L-Yl m >=<Yl m |L+L-Yl m > ≥ 0 kendileriyle skaler çarpımlarına bakacak olursak
l
(l
+1) ≥ m(m+1)l
(l
+1) ≥ m(m -1)l ≤
m≤ l
sınırlamasına yol açar.
<L±Yl m |L±Yl m > =|
C
± (l , m)|2 < Yl m±1 | Yl m±1 > = |C
± (l , m)|2 ifadesine bakarsakC
± boylandırma katsayılarını bulmak içinC+(l,m)=ℏ
√
l(l+1)−m(m+1)C−(l,m)=ℏ
√
l (l+1)−m (m−1)olarak bulunurlar.
L± işlemcilerinin diferensiyel ifadeleri de
L±(l,m)=ℏ e±iϕ
(
± ∂∂θ +i cot θ ∂∂ϕ
)
şeklinde verilir.
L
± işlemcisini Yll' ye uygularsak sıfır buluruz:L
± Yll = 0.diferensiyel denkleminin çözümünden
bulunur. Böylece
ℏ
(
∂∂θ +i cot θ ∂∂ ϕ
)
Θll(θ)eilϕ=0küresel harmoniği elde edilir. Bu fonksiyona L- işlemcisini uygulaya uygulaya Ylm(θ, φ)' yi elde ederiz. Bu fonksiyonları, bağlı Legendre çok terimlileri cinsinden ifade edebiliriz:
Θll(θ )=C (sin θ)l
Y ll (θ,ϕ)=A (sin θ )l eilϕ
Y lm(θ,ϕ)=(−1)m
